37.
SECCIONES PLANAS
37.1.
INTRODUCCIÓN.
P a r a h a l l a r l a s e c c i ó n p l a n o d e u n c u e r p o ge o m é t r i c o s e p u e d e n e m p l e a r t r e s m é t o d o s : a . - P o r i n t e r s e c c i ó n d e a r i s t a s o ge n e r a t r i c e s d e l c u e r p o c o n e l p l a n o . b . - U t i l i z a n d o u n c a m b i o d e p l a n o p a r a s i t u a r e l c u e r p o o e l p l a n o s e c a n t e e n p o s i c i ó n m á s f a v o r a b l e r e s p e c t o a l o s p l a n o s d e p r o ye c c i ó n . c . - P o r h o m o l o gí a o a f i n i d a d n o m o l ó gi c a , s a b i e n d o q u e d o s s e c c i o n e s p l a n a s d e l a s s u p e r f i c i e s r a d i a d a s s o n n o m o l ó gi c a s o a f i n e s . E n n u e s t r o c a s o v a m o s a v e r l o s d o s p r i m e r o s m é t o d o s . 3377..11..1.1.
SECCI ON PLANA DEL PRI SMA
3 7 . 1 . 1 . 1 . P o r i n t e r s e c c i ó n d e a r i s t a s l a t e r a l e s c o n e l p l a n o . La s i n t e r s e c c i o n e s d e f i gu r a s p r i s m á t i c a s c o n p l a n o s d a d o s , s e r e s o l v e r á n h a l l a n d o l o s p u n t o s d e i n t e r s e c c i ó n d e c a d a u n a d e l a s a r i s t a s d e l p r i s m a c o n e l p l a n o e n c u e s t i ó n . U n i e n d o l o s p u n t os o b t e n i d o s t e n d r e m o s l a s e c c i ó n p l a n a . S i q u e r e m o s o b t e n e r d i c h a s s e c c i o n e s e n v e r d a d e r a m a gn i t u d , b a s t a r á c o n a b a t i r e l p l a n o d a d o s o b r e u n o d e l o s d e p r o ye c c i ó n . E n l a f i gu r a v e m o s l a s p r o ye c c i o n e s d e u n p r i s m a c u a l q u i e r a a p o ya d o e n e l p l a n o h o r i z o n t a l y q u e e s s e c c i o n a d o p o r u n p l a n o o b l i c u o
α
1 -α
2 . H a c e m o s p a s a r l o s p l a n o s p r o ye c t a n t e s v e r t i c a l e sω
1 -ω
2 ,λ
1-λ
2 , yβ
1 -β
2 p o r l a s a r i s t a s A ’ ’, B ’ ’ y C ’ ’ y h a l l a m o s l a i n t e r s e c c i ó n c o n e l p l a n o d a d oα
1 -α
2 o b t e n i e n d o e n l a s p r o ye c c i o n e s h o r i z o n t a l e s d e d i c h a s a r i s t a s l o s p u n t o s 1 ’, 2 ’ y 3 ’, d e t e r m i n a n d o a c o n t i n u a c i ó n l a p r o ye c c i ó n v e r t i c a l d e l o s m i s m o s 1 ’’ , 2 ’ ’ y 3 ’ ’.O b t e n i e n d o l a s e c c i ó n p l a n a q u e s i q u e r e m o s o b t e n e r l a v e r d a d e r a m a gn i t u d d e l a m i s m a b a s t a r a c o n a b a t i r e l p l a n o d a d o c o n l a s e c c i ó n i n c l u i d a s o b r e e l v e r t i c a l u h o r i z o n t a l d e p r o ye c c i ó n . 3 7 . 1 . 1 . 2 . P o r c a m b i o s d e p l a n o . Lo p r i m e r o q u e t e n e m o s q u e h a c e r e s r e a l i z a r u n c a m b i o d e p l a n o , p a r a e l l o e l e gi m o s u n a n u e v a LT q u e s e a p e r p e n d i c u l a r a u n a d e l a s t r a z a s d e l p l a n o p a r a t r a n s f o r m a r e s t e e n u n p l a n o p r o ye c t a n t e . E n n u e s t r o c a s o t r a z a m o s l a n u e v a LT p e r p e n d i c u l a r a
α
1 p a r a t r a n s f o r m a r e l p l a n o d e c o r t e e n p r o y e c t a n t e v e r t i c a l . T o m a m o s u n p u n t o F ’ - F ’ ’ q u e p e r t e n e c e a l p l a n o d a d oα
1-α
2 y h a l l a m o s l a s n u e v a s p r o y e c c i o n e s . P o r F ’ t r a z a m o s u n a p e r p e n d i c u l a r a l a n u e v a L T y s o b r e e s t a l l e v a m o s l a c o t a d e F ’ - F ’ ’ y s e o b t i e n e l a p r o y e c c i ó n v e r t i c a l F ’ ’1 y p o r t a n t o l a n u e v a t r a z a v e r t i c a lα’
2. S e t o m a o t r o p u n t o E ’ - E ’ ’ d e u n a a r i s t a y s e r e p i t e e l m i s m o p r o c e d i m i e n t o q u e p a r a F ’ -F ’ ’ y o b t e n e m o s l a n u e v a p r o y e c c i ó n v e r t i c a l E ’ ’1, l l e v a m o s A ’ , B ’ y C ’ s o b r e l a n u e v a L T y o b t e n e m o s l a s n u e v a s p r o y e c c i o n e s A ’1, B ’1 y C ’1 u n i m o s C ’1 c o n E ’ ’1 y o b t e n e m o s l a n u e v a d i r e c c i ó n d e l a s a r i s t a s d e l p r i s m a , t r a z a m o s p a r a l e l a s p o r A ’1, B ’1 y t e n e m o s l a s n u e v a s p r o y e c c i o n e s . La s e c c i ó n s o b r e l a n u e v a t r a z a v e r t i c a l e s e l s e gm e n t o 1 ’ ’1, 2 ’ ’1y 3 ’ ’1 e s t o s p u nt o s s e l l e v a n s o b r e l a p r o ye c c i ó n h o r i z o n t a l o b t e n i e n d o l o s p u n t o 1 ’,2 ’y 3 ’ a c o n t i n u a c i ó n s e r e f i e r e a l a p r o ye c c i ó n v e r t i c a l a n t i gu a o b t e n i e n d o l a s e c c i ó n p l a n a s o l i c i t a d a . 3377..11..22..
SECCI ON PLANA DE LA PI RÁMI DE
3 7 . 1 . 2 . 1 . P o r i n t e r s e c c i ó n d e a r i s t a s l a t e r a l e s c o n e l p l a n o . La s i n t e r s e c c i o n e s d e f i gu r a s p i r a m i d a l e s c o n p l a n o s d a d o s , s e r e s o l v e r á n h a l l a n d o l o s p u n t o s d e i n t e r s e c c i ó n d e c a d a u n a d e l a s a r i s t a s d e l a p i r á m i d e c o n e l p l a n o e n c u e s t i ó n . U n i e n d o l o s p u n t o s o b t e n i d o s t e n d r e m o s l a s e c c i ó n p l a n a . S i q u e r e m o s o b t e n e r d i c h a s s e c c i o n e s e n v e r d a d e r a m a gn i t u d , b a s t a r á c o n a b a t i r e l p l a n o d a d o s o br e u n o d e l o s d e p r o ye c c i ó n .
E n l a f i gu r a v e m o s l a s p r o ye c c i o n e s d e u n p i r á m i d e o b l i c u a c u a l q u i e r a a p o ya d o e n e l p l a n o h o r i z o n t a l y q u e e s s e c c i o n a d o p o r u n p l a n o o b l i c u o
α
1 -α
2 . H a c e m o s p a s a r l o s p l a n o s p r o ye c t a n t e s v e r t i c a l e sβ
1 -β
2 ,ω
1 -ω
2 ,λ
1-λ
2 , …T a n t o s c o m o a r i s t a s t i e n e l a p i r á m i d e A ’ ’, B ’ ’ y C ’ ’ … e n n u e s t r o c a s o s o l a m e n t e n o m b r a m o s e l p l a n oβ
1 -β
2 q u e p a s a p o r l a a r i s t a A ’ ’ l o s r e s t a n t e s l o s s u p o n e m o s . H a l l a m o s l a i n t e r s e c c i ó n d e p l a n oβ
1 -β
2 c o n e l p l a n o d a d oα
1 -α
2 o b t e n i e n d o l a i n t e r s e c c i ó n i ’ - i ’ ’ q u e r e s u l t a d e u n i r l o s p u n t o s d e i n t e r s e c c i ó n d e l a s t r a z a s I ’ -I ’ ’ y H ’ - H’’, l a i n t e r s e c c i ó n d e l a r e c t a i ’ - i ’ ’ c o n l a a r i s t a A ’ - V ’ n o d e t e r m i n a e l p u n t o 1 ’ q u e r e f e r i d o a l a p r o ye c c i ó n v e r t i c a l o b t e n e m o s 1 ’ ’. R e p e t i m o s e l m i s m o p r o c e d i m i e n t o c o n l a s o t r a s a r i s t a s y o b t e n e m o s e l r e s t o d e l o s p u n t o s 2 ’ , 3 ’ , 4 ’ , 5 ’ y 6 ’ q u e r e f e r i d o s a l a p r o ye c c i ó n v e r t i c a l s e o b t i e n e n l a s o t r a s p r o ye c c i o n e s 2 ’ ’ , 3 ’ ’ , 4 ’ ’ , 5 ’ ’ y 6 ’ ’ . P a r a o b t e n e r l a v e r d a d e r a f o r m a d e l a s e c c i ó n b a s t a r á c o n a b a t i r e l p l a n o s e c c i ó n s o b r e c u a l q u i e r a d e l o s d e p r o ye c c i ó n . 3 7 . 1 . 2 . 2 . P o r c a m b i o s d e p l a n o . La s i n t e r s e c c i o n e s d e f i gu r a s p i r a m i d a l e s c o n p l a n o s d a d o s , s e r e s o l v e r á n c o n i gu a l p r o c e d i m i e n t o q u e c o n u n a s u p e r f i c i e p r i s m á t i c a t a l c o m o v e m o s e n l a f i gu r a . Lo p r i m e r o q u e t e n e m o s q u e h a c e r e s r e a l i z a r u n c a m b i o d e p l a n o , p a r a e l l o e l e gi m o s u n a n u e v a LT q u e s e a p e r p e n d i c u l a r a u n a d e l a s t r a z a s d e l p l a n o p a r a t r a n s f o r m a r e s t e e n u n p l a n o p r o ye c t a n t e . E n n u e s t r o c a s o t r a z a m o s l a n u e v a LT p e r p e n d i c u l a r aα
1 p a r a t r a n s f o r m a r e l p l a n o d e c o r t e e n p r o y e c t a n t e v e r t i c a l .T o m a m o s u n p u n t o F ’ - F ’ ’ q u e p e r t e n e c e a l p l a n o d a d o
α
1-α
2 y h a l l a m o s l a s n u e v a s p r o y e c c i o n e s . P o r F ’ t r a z a m o s u n a p e r p e n d i c u l a r a l a n u e v a L T y s o b r e e s t a l l e v a m o s l a c o t a d e F ’ - F ’ ’ y s e o b t i e n e l a p r o y e c c i ó n v e r t i c a l F ’ ’1 y p o r t a n t o l a n u e v a t r a z a v e r t i c a lα’
2. S e t o m a e l v é r t i c e d e l a p i r á m i d e V ’ - V ’ ’ y s e r e p i t e e l m i s m o p r o c e d i m i e n t o q u e p a r a F ’ -F ’ ’ y o b t e n e m o s l a n u e v a p r o y e c c i ó n v e r t i c a l V ’ ’1, l l e v a m o s A ’ , B ’ y C ’ s o b r e l a n u e v a L T y o b t e n e m o s l a s n u e v a s p r o y e c c i o n e s A ’1, B ’1 y C ’1 u n i m o s C ’1 c o n V ’ ’1 y o b t e n e m o s l a n u e v a a r i s t a d e l a p i r á m i d e , s e r e p i t e l o m i s m o c o n l a s o t r a s a r i s t a y p o r C ’1, B ’1 y t e n e m o s l a s n u e v a s p r o y e c c i o n e s d e l a p i r á m i d e . La s e c c i ó n s o b r e l a n u e v a t r a z a v e r t i c a l e s e l s e gm e n t o 1 ’ ’1, 2 ’ ’1y 3 ’ ’1 e s t o s p u nt o s s e l l e v a n s o b r e l a p r o ye c c i ó n h o r i z o n t a l o b t e n i e n d o l o s p u n t o 1 ’,2 ’y 3 ’ a c o n t i n u a c i ó n s e r e f i e r e a l a p r o ye c c i ó n v e r t i c a l a n t i gu a o b t e n i e n d o l a s e c c i ó n p l a n a s o l i c i t a d a . 3377..11..33..
SECCI ON PLANA DEL CONO
La s i n t e r s e c c i o n e s d e f i gu r a s c ó n i c a s c o n p l a n o s d a d o s , s e r e s o l v e r á n h a l l a n d o l o s p u n t o s d e i n t e r s e c c i ó n d e c a d a u n a d e l a s a r i s t a s f i c t i c i a s d e l c o n o c o n e l p l a n o e n c u e s t i ó n . U n i e n d o l o s p u n t o s o b t e n i d o s t e n d r e m o s l a c u r v a s e c c i ó n . E n l a f i g. r e p r e s e n t a m o s l a s p r o ye c c i o n e s d e u n c o n o r e c t o a p o ya d o e n e l p l a n o h o r i z o n t a l , s e c c i o n a d o p o r u n p l a n o p r o ye c t a n t e v e r t i c a l . P a r a o b t e n e r l a v e r d a d e r a f o r m a d e l a s e c c i ó n b a s t a r á c o n a b a t i r e l p l a n o s e c c i ó n s o b r e c u a l q u i e r a d e l o s d e p r o ye c c i ó n . S e a e l c o n o d a d o y e l p l a n o
α
1-α2
p r o ye c t a n t e v e r t i c a l , t r a z a m o s u n a s e r i e d e a r i s t a s a r b i t r a r i a s A V , B V , C V , D -V , E - -V y F - -V, h a l l a m o s e n l a p r o ye c c i ó n v e r t i c a l l a s i n t e r s e c c i o n e s d e l a s a r i s t a s y l a t r a z a v e r t i c a lα
2 p u n t o s 1 ’ ’, 2 ’ ’, 3 ’ ’, 4 ’ ’, 5 ’ ’ y 6 ’ ’. R e f e r i m o s e s t o s a l a p r oye c c i ó n h o r i z o n t a l d e l a s a r i s t a s y s e o b t i e n e n l o s p u n t o s e n p r o ye c c i ó n h o r i z o n t a l 1 ’, 2 ’, 3 ’, 4 ’, 5 ’ y 6 ’, u n i m o s l os p u n t o s y t e n e m o s l a s p r o ye c c i o n e s d e l a s e c c i ó n q u e r e s u l t a u n a e l i p s e c o m o e r a p r e v i s t o .P o d e m o s o b t e n e r l a e l i p s e d e o t r a m a ne r a o b t e n i e n d o l o s d i á m e t r o s d e l a f o r m a s i gu i e n t e . E n l a p r o ye c c i ó n v e r t i c a l h a l l a m o s e l p u n t o m e d i o d e 1 ’ ’ - 4 ’ ’ p u n t o O ’ ’ t r a z a m o s e l p l a n o β2 p a r a l e l o a l P H q u e n o s d e t e r m i n a e l r a d i o O ’ ’ - H ’ ’ q u e r e s u l t a e l s e m i e j e m e n o r d e l a e l i p s e , h a l l a m o s e l l a p r o ye c c i ó n h o r i z o n t a l l o s p u n t o s O ’ y H ’ y t r a z a m o s u n a c i r c u n f e r e n c i a d e c e n t r o V ’ y r a d i o V ’ - H ’ y p o r O ’ s e t r a z a e l e j e m e n o r y s o b r e e s t e s e l l e v a e l r a d i o V ’ - H ’ y t e n e m o s l o s d o s e j e s d e l a e l i p s e y t r a z a m o s l a m i s m a . A b a t i m o s s o b r e e l h o r i z o n t a l y t e n e m o s l a e l i p s e e n v e r d a d e r a m a gn i t u d . 3 7 . 1 . 3 . 1 . P o r c a m b i o s d e p l a n o . La s i n t e r s e c c i o n e s d e f i gu r a s c ó n i c a s c o n p l a n o s d a d o s , s e r e s o l v e r á n c o n i gu a l p r o c e d i m i e n t o q u e c o n u n a s u p e r f i c i e p r i s m á t i c a o p i r a m i d a l , t a l c o m o v e m o s e n l a f i gu r a Lo p r i m e r o q u e t e n e m o s q u e h a c e r e s r e a l i z a r u n c a m b i o d e p l a n o , p a r a e l l o e l e gi m o s u n a n u e v a LT q u e s e a p e r p e n d i c u l a r a u n a d e l a s t r a z a s d e l p l a n o p a r a t r a n s f o r m a r e s t e e n u n p l a n o p r o ye c t a n t e . E n n u e s t r o c a s o t r a z a m o s l a n u e v a LT p e r p e n d i c u l a r a
α
1 p a r a t r a n s f o r m a r e l p l a n o d e c o r t e e n p r o y e c t a n t e v e r t i c a l . T o m a m o s u n p u n t o P ’ - P ’ ’ q u e p e r t e n e c e a l p l a n o d a d oα
1-α
2 y h a l l a m o s l a s n u e v a s p r o y e c c i o n e s . P o r P ’ t r a z a m o s u n a p e r p e n d i c u l a r a l a n u e v a L T y s o b r e e s t a l l e v a m o s l a c o t a d e P ’ - P ’ ’ y s e o b t i e n e l a p r o y e c c i ó n v e r t i c a l P ’ ’1 y p o r t a n t o l a n u e v a t r a z a v e r t i c a lα’
2. S e t o m a e l v é r t i c e V ’ - V ’ ’ d e l c o n o y s e r e p i t e e l m i s m o p r o c e d i m i e n t o q u e p a r a P ’ - P ’ ’ y s e p r o c e d e c o m o c o n l a p i r á m i d e t r a z a n d o a r i s t a s f i c t i c i a s c u a l e s q u i e r a . 3377..11..44..
SECCI ON PLANA DEL CI LI NDRO
La s i n t e r s e c c i o n e s d e f i gu r a s c i l í n d r i c a s c o n p l a n o s d a d o s , s e r e s o l v e r á n h a l l a n d o l o s p u n t o s i n t e r s e c c i ó n d e c a d a u n a d e l a s a r i s t a s f i c t i c i a s d e l c i l i n d r o ( r e c t o u
o b l i c u o ) c o n e l p l a n o e n c u e s t i ó n . U n i e n d o l o s p u n t o s o b t e n i d o s , o b t e n d r e m o s l a c u r v a s e c c i ó n . E n l a f i g. r e p r e s e n t a m o s l a s p r o ye c c i o n e s d e u n c i l i n d r o o b l i c u o a p o ya d o e n e l p l a n o h o r i z o n t a l , s e c c i o n a d o p o r u n p l a n o p r o ye c t a n t e v e r t i c a l . P a r a o b t e n e r l a v e r d a d e r a f o r m a d e l a s e c c i ó n b a s t a r á c o n a b a t i r e l p l a n o s e c c i ó n s o b r e c u a l q u i e r a d e l o s d e p r o ye c c i ó n ( e n e s t e c a s o e l h o r i z o n t a l ) . 3 7 . 1 . 4 . 1 . P o r c a m b i o s d e p l a n o . La s i n t e r s e c c i o n e s d e f i gu r a s c i l í n d r i c a s c o n p l a n o s d a d o s , s e r e s o l v e r á n c o n i gu a l p r o c e d i m i e n t o q u e c o n u n a s u p e r f i c i e p r i s m á t i c a , p i r a m i d a l o c ó n i c a , t a l c o m o v e m o s e n l a f i gu r a Lo p r i m e r o q u e t e n e m o s q u e h a c e r e s r e a l i z a r u n c a m b i o d e p l a n o , p a r a e l l o e l e gi m o s u n a n u e v a LT q u e s e a p e r p e n d i c u l a r a u n a d e l a s t r a z a s d e l p l a n o p a r a t r a n s f o r m a r e s t e e n u n p l a n o p r o ye c t a n t e . E n n u e s t r o c a s o t r a z a m o s l a n u e v a LT p e r p e n d i c u l a r a
α
1 p a r a t r a n s f o r m a r e l p l a n o d e c o r t e e n p r o y e c t a n t e v e r t i c a l . T o m a m o s u n p u n t o R ’ - R q u e p e r t e n e c e a l p l a n o d a d oα
1-α
2 y h a l l a m o s l a s n u e v a s p r o y e c c i o n e s . P o r R ’ t r a z a m o s u n a p e r p e n d i c u l a r a l a n u e v a L T y s o b r e e s t a l l e v a m o s l a c o t a d e R ’ - R ’ ’ y s e o b t i e n e l a p r o y e c c i ó n v e r t i c a l R1 y p o r t a n t o l a n u e v a t r a z a v e r t i c a l (α
2). S e t o m a e l c e n t r o d e l a s b a s e s A ’ - A ’ ’ O ’ -O ’ ’ d e l c i l i n d r o y s e r e p i t e e l m i s m o p r o c e d i m i e n t o q u e p a r a R ’ - r ’ ’ y s e p r o c e d e c o m o c o n e l c o n o t r a z a n d o a r i s t a s f i c t i c i a s c u a l e s q u i e r a . 3 377..11..55..SECCI ÓN PLANA
DE LA ESFERA.
E n f i gu r a s e r e p r e s e n t a l a s p r o ye c c i o n e s h o r i z o n t a l e s y v e r t i c a l e s d e u n a e s f e r a d e c e n t r o y r a d i o c o n o c i d o s . La s e c c i ó n p r o d u c i d a e n u n a e s f e r a p o r u n p l a n o p r o ye c t a n t e
