1-apuntes cónicas_circunferencia

Contenidos

1. Ecuaciones de la circunferencia a partir de centro y radio

2. Ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos dados (circunscrita a un triángulo) 2.1. método de mediatrices

2.2. método de coeficientes indeterminados

3. Recta tangente y normal a una circunferencia en un punto de la misma 4. Posición relativa de recta y circunferencia. Puntos de corte.

5. Posición relativa de dos circunferencias. Puntos de corte. 6. Potencia de un punto respecto a una circunferencia

1. Ecuaciones de la Circunferencia:

Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que equidistan de un punto fijo del mismo plano, llamado centro.

Sea el centro C = (a, b).

Cualquier punto de la circunferencia está a la misma distancia de C que los otros. A esta distancia

constante la llamamos radio, r.

Abreviadamente, la circunferencia resulta estar formada por los puntos del plano, P, tales que

d(P,C) = r

Para deducir la ecuación de la circunferencia, expresamos analíticamente la condición de l.g. de la

circunferencia Al ser d(P,C) distancia entre dos puntos puede calcularse como:

si P(x,y) está en la circunferencia de centro C, entonces (x-a)2(y-b)2  r elevando al cuadrado:

2 2 2

r

b)

-(y

a)

-(x





que es la ecuación canónica de una circunferencia de centro C(a,b) y radio r.

Desarrollando la ecuación general se obtiene;

2 2 2

2 2

r

b

y

a

x



2

ax







2

bx





que se acostumbra dejar ordenada en la forma:

x2 _{+ y}2 _{+ Ax + By + C= 0}

que es la ecuación general de la circunferencia

observa que al pasar de la forma canónica a la general hemos realizado las identificaciones:

A = - 2a B = - 2b C = a2 _{+ b}2 _{- r}2

b) -(y a) -(x P -C C)

Es decir las coordenadas del centro y el radio puedan obtenerse de la ecuación general como:

2



 A

a

2



 B

b

r



a



b



C

Nota que si el centro C coincide con el origen de coordenadas, se tiene a = b = 0; y la ecuación de la circunferencia queda reducida a:

x2 _{+ y}2 _{= r}2

Ejemplos:

a) Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto C(l,-2) y cuyo radio mide 2 unidades.

(x -1)2 _{+ (y + 2)}2 _{= 4, o bien, desarrollando: x}2 _{+ y}2 _{- 2x + 4y + 1 = 0.}

b) Dada la ecuación (x+3)2 _{+ (y-2)}2 _{= 9, observa que corresponde a una circunferencia de centro}

C(-3, 2), cuyo radio mide 3 unidades.

c) Sea la circunferencia x2 _{+ y}2 _{- 4x + 6y - 3 = 0. Determina las coordenadas del centro y la}

medida del radio.

Basta utilizar las relaciones entre los coeficientes de “x” e “y” y las coordenada del centro

A = -4 = -2a B = 6 = -2b C= -3 = a2+b2-r2, y por tanto

a =2 b = -3 r2 _{= a}2_+b2₊₃₌₂2_+(-3)2₊₃₌₁₆

Luego C=(2,-3) y r=4.

Completar cuadrados

Una técnica alternativa para averiguar centro y radio es completar cuadrados. Agrupamos los términos en x y en y para pasar a la forma canónica:

(x2 _{- 4x) + (y}2 _{+ 6y) = 3.}

Ahora sumamos 4 y 9 en ambos miembros, para completar los cuadrados obteniendo una

ecuación equivalente a la dada1_:

(x2 _{- 4x) +4 + (y}2 _{+ 6y)+9 = 3+4+9}

(x - 2)2 _{+ (y + 3)}2 ₌₁₆

De nuevo vemos que C = (2,-3) y r = 4.

1 _{La expresión desarrollada de un binomio al cuadrado: (x ± a)}2 _{= x}2 _{± 2ax + a}2 _{indica que}

2. Circunferencia determinada por 3 puntos no alineados ó circunscrita a un triángulo:

Calculamos la ecuación de la circunferencia, C, que pasa por los puntos M(1,4), N(1,0) y P(3,2).

2.1. Método de las mediatrices

Los puntos M, N y P de la

figura determinan 3

segmentos (un triángulo).

Los puntos en la

mediatriz,m

de MP

equidistan de M y P.

m

: x – y + 1 = 0

Los puntos de la mediatriz,

m

, de NP equidistan de N y

P.

m

: x + y -3 = 0

El punto de corte de ambas

mediatrices, C, se encuentra

por tanto a igual distancia,

r

,

de los tres puntos.

Resolviendo el sistema entre

las ecuaciones de m

y m

:

C = (1,2)

Así, C es el centro de una

circunferencia, de radio

r

,

que contiene a M, N y P; y se

le denomina circuncentro

del triángulo MNP.



x



1



2



(

y



2

)

2



r

2

El radio, r, es el módulo del

vector que une C con M, N ó

P.

r =

M



C



(

1

,

4

)



(

1

,

2

)



2

.

Por tanto la ecuación es:



x



1



2



(

y



2

)

2



4

2.2. Método de los coeficientes indeterminados

La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos M(1,4), N(1,0) y P(3,2) será de la forma general

x2 _{+ y}2 _{+ Ax + By + C= 0,}

con ciertos coeficientes A,B y C que debemos, precisamente, determinar.

Para resolver el sistema basta siempre restar las ecuaciones 2 a 2, obteniéndose un sistema sin la variable C: 12 2 2 16 4      B A B

La solución de este sistema da A= -2, B= -4, C=1

La circunferencia pedida es, por tanto: x2 _{+ y}2 _{- 2x - 4y + 1= 0}

que, por supuesto, coincide con el desarrollo de la ecuación hallada por el método de mediatrices.

3. Recta tangente y normal a una circunferencia por un punto de la misma:

Si P es un punto de una circunferencia de centro C, la recta tangente en P y el segmento radial CP son mutuamente perpendiculares. Por tanto el vector radial CP es un vector normal de la recta tangente, t.

La recta normal a la circunferencia en P, s, es la recta perpendicular a t que pasa por P.

Ejemplo: C: (x -1)2 _{+ (y+3)}2 _{= 25 y P = (4,1)}

t :

_{  }

_{  }

_

_

3 , 4 4 , 3 3 , 1 1 , 4 ) 1 , 4 (         

_r

r

n P   3 1 4 4 :     y x t

4

1

3

4

:

x





y



s

4. Posición relativa de recta y circunferencia. Puntos de corte:

d(C,r) < R, secantes D(C,r) = R, tangentes d(C,r) > R, exteriores

En la figura vemos que para determinar la posición relativa de una recta y una circunferencia basta calcular el radio de esta y la distancia de su centro a la recta, y compararlos.

Ejemplo: Queremos determinar la posición relativa de la circunferencia

(x - 2)2 _{+ (y + 4)}2 _{= 4 y la recta x - y = 0.}

El centro de la circunferencia es C(2,-4), y su radio es R = 2. Utilizando la fórmula de la distancia de un punto a un recta

2 3 2 2

2 6 2

) 4 ( 2 r)

d(C,     

entonces d > R y por tanto la recta es exterior a la circunferencia.

Puntos de corte

En los casos en los que la recta sea tangente o secante a la circunferencia existirán, respectivamente uno ó dos puntos de corte. Para hallar sus coordenadas basta resolver el sistema

Ejemplo:

C : x2_+y2 _{+2x -4y -20= 0} r: y = -7x+20

sustituyendo la y en la primera ecuación, obtenemos la ecuación de segundo grado:

x2_+(-7x+20)2 _{+2x -4(-7x+20) -20= 0} x2_{+ 49x}2 _{-280x+400 +2x +28x -80 - 20= 0}

50x2-250x+300= 0 x2_{-5x+6= 0}

cuyo discriminante es b 2_{- 4ac = (-5)}2 _{- 4.1.6 = 1 > 0; y que por tanto tiene dos soluciones}

2 2

1 5 , 3 2

1 5

x₁    x₂   

introduciendo estos valores en la ecuación de la recta obtenemos

6

20

7

y

1

20

7

y





x











x





y por tanto los puntos de intersección de la circunferencia y la recta son P(3,-1) y Q(2,6). La recta y la circunferencia son entonces secantes.

En el caso general, los puntos de intersección de recta y circunferencia son las soluciones del sistema

C : x2 _{+ y}2 _{+Ax +By +C= 0} r: y = mx+h

que conduce a la ecuación de segundo grado x2 









b2 _{- 4ac > 0 b}2 _{- 4ac = 0 b}2 _{- 4ac < 0}

5. Posición relativa de dos circunferencias. Puntos de corte:

Como se observa en las figuras, para determinar cuál de las 5 posiciones relativas mantienen entre sí dos circunferencias debemos calcular la distancia entre los centros de ambas, d = d(C,C’), así como los radios de ambas, R y r.

Si partimos de la posición concéntrica e imaginamos la circunferencia interior desplazándose hacia el exterior vemos como va aumentando la distancia d entre los centros y como cambia la posición relativa al rebasar el valor de d cada uno de los valores R - r y R + r.

Ejemplo:

Determina la posición relativa de las circunferencias C y C' y, en su caso, los puntos de corte: c : x2 + y2 -2x -4y + 3 = 0 , c' : x2 + y2 -2x + 6y -7 = 0.

Los centros respectivos son C(1,2) y C’(1,-3), y los radios son r 2yR 17.

5 | (0,5) | | (1,-3) -(1,2) | | C' -C | ) C' d(C,

d     y Rr  17  2yRr 17 2

Puesto que

17



2



5



17



2

d

0 R-r R+r

Concéntricas

Disjuntas Interiores

Tangentes Interiores

Secantes

Tangentes exteriores

Los puntos de corte se hallan resolviendo el sistema equivalente que resulta de sustituir la segunda

ecuación por la diferencia de ambas:

0 10 10y

2 x

 

   

 y2 2x 4y 3 0



1 y

0 3 4 2 2 2 x



   

y x y

0

3

1

.

4

2

2

1

2

x





x







x

2



2

x



0

Observa que, por desgracia, no basta conocer el número de soluciones del sistema formado por las dos circunferencias para determinar su posición relativa.

El número de soluciones nos dice si las circunferencias son secantes, tangentes o disjuntas; pero no nos dice en estos dos últimos casos si se trata de circunferencias exteriores o interiores.

6. Potencia de un punto respecto de una circunferencia.

Sean P un punto y c una

circunferencia. Sean s y r rectas cualesquiera incidentes en P y en c. Denominemos a los puntos de incidencia como en la figura.

Entonces se cumple que los “segmentos cortos”, PA y PM, son inversamente proporcionales a los “segmentos largos”, PB y PN. Es decir:

Es decir: Se use la recta que se use para unir P con la circunferencia, el producto del segmento "corto" por el segmento "largo" es siempre el mismo número. [Demostración al final]

Por tanto dicho número depende sólo del punto P y de la circunferencia c escogidos; y recibe el nombre de Potencia de P respecto de c., brevemente Pot(P,c).

Pot(P, c) = PA.PB cualesquiera que sean A y B puntos de c alineados con P.

La forma más cómoda de calcular la potencia es usando, de todas las rectas que pasan por P, la que además pasa por el centro,C , de la circunferencia.

En este caso los segmentos “corto” y “largo” pueden expresarse respecto a d=distancia(P,C), y el radio r de la circunferencia.

PA = segmento corto = d – r PB = segmento largo = d + r

Entonces, Pot (P, c) = PA.PB = (d-r)(d+r) = d2 _{- r}2 _{Pot(P, c) = d}2 _{- r}2

Ejemplo: Sea P(3,2) y c: x2 _{+ (y -1)}2 _{= 4}

Llamamos brazo tangente desde P al segmento de la recta tangente de la figura:

Puesto que tangente y radio son perpendiculares, podemos utilizar el teorema de Pitágoras y escribir:

PT2 _{= d}2 _{– r}2_{, es decir}

Pot(P, c) = PT2

(Otra forma de verlo:en este caso A = B = T, y por tanto el segmento "corto" y el "largo" son iguales:

PA = PB = PT, así que Pot(P,c) = PA.PB = PT2₎

Hay una fórmula más para calcular la Potencia de un punto respecto a una circunferencia, Pot(P,c), muy parecida a la que utilizamos para calcular la distancia de un punto a una recta, d(P,r):

Partimos de que

Si ahora calculamos el módulo del vector a través de las coordenadas de los puntos P y C:

2 2

) (

) (

) ,

(x a y b x a y b

C P CP

PC     _p  _p   _p   _p 

, e introducimos este valor en

dicha expresión se transforma en:

2 2

2

₍

₎

)

(

)

,

(

P

C

x

a

y

b

r

Pot











Por supuesto, si desarrollamos los cuadrados en la anterior expresión y recordamos las

identificaciones A = -2a, B = -2b y C =

a

_{+ b}

_{- r}

_{obtenemos (hazlo tú):}

C p By p Ax p y p x P

Pot( ,C) 2  2   

Cualquiera delas dos últimas se conoce como la expresión analítica de la potencia de un

punto respecto a una circunferencia.

Es decir; para calcular la potencia basta sustituir las coordenadas del punto en la "ecuación

general de la circunferencia sin igualar a cero".

Ejemplo:

Calcular la potencia de P(2,-1) respecto de c:

x

_{+ y}

_{-2x + 8y +5 = 0.}

La potencia de un punto con respecto a una circunferencia permite calcular la posición

relativa de punto y circunferencia:

La expresión Pot(P, c) = d

_{- r}

_{, permite deducir la siguiente tabla de posiciones relativas de}

punto y circunferencia: ( para entenderlo, ver la figura)

Pot(P, c) >0



d > r



P es exterior a c

Pot(P, c) = 0



d = r



P



c

Pot(P, c) <0



d < r



P es interior a c

Ejemplo:

Decide la posición relativa del punto y la circunferencia del ejemplo anterior

El punto interior, porque -2 < 0.

Nota: Observa la analogía entre "distancia de un punto a una recta", d(P,r) y "potencia de un

punto respecto de una circunferencia", Pot(P, c). Ambas se calculan sustituyendo las

coordenadas del punto en la "ecuación general 'normalizada' sin igualar a cero" de la línea

(sea esta recta o circunferencia).

Demostración de la propiedad PM.PN = PM’.PN’

Los ángulos en N y N’ son iguales

por

ser

inscritos

en

una

circunferencia y subtender el mismo

arco.

Lo ángulos en M y M’ son iguales

por la misma razón. Como el

ángulo en P es común tenemos que

los triángulos PNM’ y PMN’ son

semejantes, y por tanto han de

tener los lados correspondientes

proporcionales.

En la figura siguiente se han extraído los dos triángulos y marcado sus lados

correspondientes.

Escribimos pues la proporción:

' '

PN PN PM

PM



. Multiplicando en cruz PM . PN = PM’ . PN’.

P

N’

M’ N

M

P

M’

N _P

N’