EJERCICIOS MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO GEOMETRÍA DE LA CIRCUNFERENCIA 1. Halla las ecuaciones de las circunferencias cuyo centro y radio son:
a) C(3, -2) y r = 4; b) C(0, 3) y r = 3; c) C'(2, 3) y r = 1.
a) (x-3)2+ (y+2)2=16; b) x2+ (y-3)2=9; c) (x-2)2+ (y-3)2=1
2. Determina las coordenadas del centro y del radio de las circunferencias: a) x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0; b) 4x2 + 4y2 - 4x + 12y - 6 = 0 c) x2 + y2 + 3x + y - 10 = 0; d) (1/2)x2 +(1/2) y2 + 3x + y +1 = 0
a) c(2,-3); R = 5 b) c(1,-3); R = √13 c) c ; R = 5√2/2 d) c(-3,-1); R = 3
3. Calcula la ecuación de la circunferencia que:
a) tiene su centro en (2, -3) y pasa por el punto (1, 4);
(x-2)2 + (y+3)2 = 50
b) tiene su centro en (2, -3) y es tangente al eje de abscisas;
(x-2)2 + (y+3)2 = 9
c) tiene su centro en el punto de intersección de las rectas x+ 3y + 3 = 0 y
x+ y + 1 = 0 y su radio es igual a 5 unidades;
x2 + (y+1)2 = 25
d) tiene su centro en (- 1, 4) y es tangente al eje de ordenadas;
(x+1)2 + (y-4)2 = 1
e) tiene su centro en (2, 0) y es tangente a la bisectriz del primer cuadrante,
(x-2)2 + y2 = 2
h) tiene su centro en la recta x + y = 1 y pasa por los puntos A (-1, 4) y B(3,2)
x2 + (y-1)2 = 3,162
i) pasa por el punto (-2,0) y es tangente a las rectas 4x + 3y - 8 = 0 y 4x – 3y + 24 = 0.
Bisectriz: x = -2; centro = (-2,2) C: (x+2)2+ (y-2)2=4
j) tiene por diámetro el segmento AB, siendo A(2,0) y B(-6, 6).
(x+2)2 + (y-3)2 = 25
4. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos:
a) A(1, 4), B(4, 7) y C(7,4) b) D (1, 1), E(- 2, 3) y F(-1, 1).
a) x2 + y2 - 8x - 8y +23= 0 b) x2 + y2 - 5,5y + 3,5 = 0
5. Indica la posición relativa de la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 4x + 2y - 20 = 0 con
cada una de las siguientes líneas:
a) x + 7y – 20 = 0; b) x2 + y2 - 6x - 2y - 14 = 0; c) 3x + 4y –27 = 0;
d) x2 + y2 - 16x - 14y +88= 0 f) x2 + y2 - 8x - 2y +16= 0 e) x + y – 10 = 0
a) sec. b)sec. c) tangentes d) tangentes ext. e) disjuntas interiores f) ext.
6. Determina la posición respecto de la circunferencia x2 + y2 - 4x + 4y - 41 = 0 de los
puntos:
a) M(-1,5) b) N(-1,-1) c)(2,5) M exterior; N interior; P Incidente
7. Determina la posición respecto de la circunferencia x2 + y2 - 4x + 4y - 17 = 0 de las
rectas:
En caso de que sea posible, calcula los puntos de corte:
a) 4x + 3y - 27 = 0 b) x + 7y - 13 = 0 c) 3x + 2y +18 = 0
a) tangentes, T(6,1) b) secantes, P(6,1) y Q (-1,2) c) exteriores, no hay corte.
8. Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por A (0,2) y B(0,-2) y que es tangente
9. Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes y de las rectas normales a las siguientes circunferencias, en los puntos de abscisa 2.
a) b)
a) tgte: x=2; normal: y=0
b) T(2,0);nT : 3x - 4y – 6 = 0; tgtT: 4x + 3y - 8 = 0
T’ (2,-6); nT’ : 3x + 4y + 18 = 0; tgtT’: 4x - 3y - 26 = 0
10. Determina la longitud del segmento de recta tangente trazado desde el punto (9,4) a la circunferencia x2 + y2 - 4x - 2y - 4 = 0 Solución: 11
11. Calcula cuáles son las distancias máxima y mínima del punto (8,-3) a la circunferencia de ecuación x2 + y2 + 6x - 4y + 9 = 0
Solución: Máxima = ; Mínima =
12. Dadas las 4 circunferencias: x2 + y2 = 4; x2 + y2 + 4x + 6y = 12; x2 + y2 - 10x - 2y = -1;
(x-3)2 + (y+2)2 = 9; calcula las potencias de los puntos (-2,3) y (2,-1), indicando en cada
caso sus posiciones respecto a la circunferencia correspondiente.
a) 9, ext; 1 ext. b) 11, ext.; -5,int. c) 28, ext.; -12, int. d)41, ext; -7 int.
13. Dadas la circunferencias x2 + y2 = 4 y (1/2)x2 +(1/2) y2 - 3x - 4y = 3,
a) Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto de ambas circunferencias. ¿Qué tipo de línea es?
Sol: 3x + 4y + 1=0; una recta (llamada eje radical de las dos circunferencias)
b) Calcula el punto de dicho lugar geométrico que equidista de los ejes coordenados.
Sol:
14. Calcula la longitud de la cuerda determinada por la recta x + 1 = y y la circunferencia
x2 + y2 = 25. Solución: 7√2
17. Hallar el valor del parámetro para que la recta x – y =k sea tangente a la circunferencia
de ecuación Sol: k = -3 ; k = 1
18. Calcula el radio y las coordenadas del centro de la circunferencia a) inscrita en el triángulo de vértices A(3,3), B(-3,3) y C(0,0)
Bisectrices: x = 0; x - (√2 + 1)y+ 3√2 = 0. Centro (0,6-3√2); Radio = 3√2-3
b) Circunscrita en el triángulo de vértices A(4,2), B(1,-3) y C(-4,4)
c) Inscrita en el triángulo determinado por los ejes coordenados y la recta de ecuación
x - 2y - 4 = 0
Bisectrices: y = -x; x - (√5 + 2)y - 4 = 0. Centro (3-√5, √5-3); Radio =3-√5
d) Circunscrita al triángulo determinado por los ejes coordenados y la recta de ecuación
x - 2y - 4 = 0
Centro = (2,-1); Radio = √5
19. Sea C la circunferencia de centro el origen y radio 4 Calcula las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (8,0) y son tangentes a C. Sol:
20. Dada la ecuación de la circunferencia , hallar la ecuación de las tangentes a ella paralelas a la recta 4x -3y +2 = 0.
Recta que contiene los puntos de tangencia: 3x + 4y -11 = 0
Puntos de Tangencia: T = ; T’ =
21. Halla, en cada apartado, la ecuación de la circunferencia y el área del círculo correspondiente si se sabe que:
a) es tangente a la bisectriz del segundo cuadrante y tiene su centro en el punto (-5,0)
(x+5)2 + y2 = 25/2
b) pasa por el punto (1,4) y es concéntrica con x2 + y2 + 6x -4y = 0
(x+3)2 + (y-2)2 = 20
c) pasa por le punto (3,0) y es tangente a la circunferencia x2 + y2 - 2x + 4y -24 = 0 en el
punto (3,3)
Recta de los centros: 5x -2y -9 = 0; C:
d) es tangente al eje de abscisas en el punto M(2,0) y a la recta y = x
Bisectriz: x- (√2 + 1)y = 0 ; centro (2,2(√2 - 1)); Radio = 2(√2 - 1)
22. Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas y por los puntos M y M', simétricos respecto de la recta y = 2x - 1; siendo M = (3,1)
Sol: O(0,0); M(3,1); M’ ; C: x2 + y2 - x + y = 0
23. Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por A(8,11); B(12,3) y C( 2,-7). Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes y normales a dicha circunferencia en cada uno de estos tres puntos.
Circunferencia:
tangentes: ; x = 12; y = -7
normales: ; y = 3; x = 2
24. Calcular la longitud del segmento de tangente comprendido entre el punto P(2,-1) y la
