Clase de preparando solemne item 1.
1. lim x→0
√
x+ 1−1 √
x+ 4−2
2. lim x→1
2x2+ 5x−7
3
√
x−1
3. lim x→1
1−x4
1−x5
4. lim x→2
x|x−2|
x−2
5. lim x→2e
[[x]] + 1
x+ 1
6. lim h→0
(x+h)n−xn h
7. lim
x→1(1−x) tan
πx
2
8. lim x→a
senx−sena x−a
9. lim x→1
1−x2
senπx 10. lim x→0 sen3x x 1+x 11. lim
x→0(1 + 4x) (1x+2)
12. lim x→∞
3x−1 3x+ 5
2x
13. lim x→∞
2x+ 1 2x+ 2
x
14. lim x→0(x+e
x)1/x
15. lim x→∞x
x √
n−1
16. lim x→a
lnx−lna x−a
17. lim x→2
ln(3−x)
x2−4
18. lim x→∞
ln(1 +ex)
x
Actividad 1 (Actividad de tres alumnos: Cálculo de límites).
Estudiar la continuidad de las siguientes funciones enR i.)
f(x) =
x+ 6 :si x <3
x2 :si x >3 1 :si x= 3 ii.)
f(x) =
7 :si x≤3
2x+ 1 :si x >3 iii.)
f(x) =
x+ 1 :si x≤3
x−3 √
x+ 1−2 :si x >3
Actividad 2 (Actividad de tres alumnos:Continuidad).
Hacer el esbozo de una función real que cumpla cada una de las siguientes condiciones i.) Sea continua enx= 1
ii.) Tenga una discontinuidad reparable en x= 0 iii.) Tenga una discontinuidad de salto enx= 3 iv.) Tenga una asíntota vertical en x= 5
v.) lim
x→+∞f(x) = 10 v.i) lim
x→−∞f(x) =−∞
Actividad 3 (Actividad de tres alumnos: Gráfica de funciones).
Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones, justificando cada una de sus afirmaciones:
(a) f(x) =
x2−a2
x−a si x < a
sin (x2−a2)
x−a si x > a a
2 si x=a
, es continua en x=a. Verdadero Falso
(b) f(x) =
x+ 3 si x >2
x2+ 1 si x <2
, es continua en x= 2. Verdadero Falso
(c) f(x) =
4−x si 3≤x x−2 si 0< x <3
x−1 si x≤0
(1) El valor dek para que la función f(x) =
x+ 1 si x >2
−x2+k si x≤2 , Sea continua en todoRes:
(a) −1 (b) 0 (c) 7 (d) @
(2) El valor dea para que la funciónf(x) =
x
1 +e
−1
x2
si x6= 0
a si x= 0
, Sea continua en Res:
(a) 1 2
(b) 0 (c) 1 (d) @
Actividad 5 (Actividad de tres alumnos).
(1) B(x) = sen(x)
2x−1+ 2representa el crecimiento de una colonia de bacterias en un laboratorio expuestas a temperaturas sobre los 40 grados celsius. Donde B(x) : en miles yx:en minutos.
(a) Determine población inicial de estudio
(b) Determine la variación media de la población entre los 5 y 6 minutos de estudio (c) Determine la tasa de variación instantánea a los 5 minutos
(d) Estime la población esperada al largo plazo
(2) S(t) = 10 +3t
2−5t−2
t2−t−2 representa la trayectoria de un objeto que se moviliza por el espacio aéreo
de la tercera región del país. Donde S(t) : kilómetros de altura,t:segundo de desplazamientos (a) Determine la posición del objeto a los 2 segundos.
(b) Determine la variación media de la trayectoria del objeto entre los 4 y 6 segundos. (c) Determine la velocidad instantánea que lleva el objeto a los 5 segundos
(d) Estime la altura esperada del objeto al largo plazo
(3) S(x) = 1 + 10(e
3x−1)
(e5x−1) representa a una familia de salmones que vuelven a las aguas dulces para procrear S(x) : Miles de peces,x:minutos de desplazamientos contra la corriente
(a) Determine la población inicial estimada que regresa al lugar.
(b) Determine la tasa de variación media de salmones entre los 5 y 6 minutos.
(c) Determine la tasa de crecimiento instantánea de la familia de salmones a los 5 segundos (d) Estime la población al largo plazo de dicha familia de salmones
Determinar la derivada de las siguientes funciones:
(a) f(x) = x
5+√x−3
4
(b) f(x) = 3xcos(x) + 2x3·sin(x)
(c) y = sin(x) + cos(x) sin(x)−cos(x)
(d) h(x) = x+ 1
x−1 (e) y= 3x− 2
4
√
x + ln(x)·csc(x)
(f) f(a) = 3ab2−2aba3
Solución.
Seay=f(x)una función derivable en un intervalo]a, b[. Se define la Segunda Derivada def con respecto ax, por:
f00(x) = d
dx(f
0(x))
La segunda derivada dey=f(x) se puede anotar:
f00(x) =y00= d
2f
dx2 = d2y dx2
Ejemplo. Sif(x) =x3+ sen(x)entonces:
f0(x) = 3x2+ cos(x)
f00(x) = 6x−sen(x) Para derivadas de orden superior a 2, se anota:
f(n)(x) =y(n) = d nf
dxn =
dny
dxn
Ejercicio. En cada caso determinar la derivada que se indica:
(a) h(x) = 1
x−cos(x) ; entonces h
000(x) =
(b) f(x) = e x √
x ; entonces f
00(x) =
(c) f(x) = 5xln(x) ; entoncesf00(x) =
(d) y=x7−3x5+ 2x2−3 ; entoncesy(5)=
Solución.
Resolver los siguientes ejercicios:
(a) Hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal a la curvay =x3+ 2x2−4x−3 , en el punto (-2 ,5)
Solución.
(b) Hallar la ecuación de la parábola y=x2+bx+c, que es tangente a la recta x=y en el punto de coordenadas (1 , 1).
Solución.
(c) Determinar para que valores de x, la recta tangente a la curva f(x) = x3 −4x2−3x+ 15 , es horizontal.
Solución.
(d) Determinar los valores de las constantesa, b yc∈R para los cuales las gráficas de f(x) =x3−c
y g(x) =x2+ax+b se corten en el punto(1,2)y tengan la misma recta tangente en este punto.
Solución.
(e) Determinar en qué punto de la curvay=x4, la recta normal tiene pendiente m= 16.
Solución.
(a) Demostrar que la funcióny=xsen(x), satisface la ecuación diferencialx2y00−2xy0+ (x2+ 2)y= 0
Solución.
(b) Demostrar que y= x
2ex
2 , satisface la ecuación diferencial:
d2y dx2 −2
dy
dx+y=e
x
Solución.
(c) Demostrar quef(x) = sin(x)
1−cos(x), satisface la ecuación(f
0(x))2·sin(x)−f00(x) = 0
Solución.
(d) Verificar si la funcióny = x
2+ 2x+ 2
2 , satisface la ecuación1 + (y
0)2 = 2y
Solución.
(e) Determinar para que valor dex∈Rse cumplef00(x) = 6 , sif(x) = 2x−1 1−3x
Solución.
(a) Se introduce una población de 500 bacterias en un cultivo, creciendo en número de acuerdo con la función:
P(t) = 500
1 + 4t 50 +t2
Donde P(t) : se mide miles de bacterias y t se mide en horas. Determinar la tasa de cambio de la población de bacterias, cuando han pasado 120 minutos.
Solución.
(b) La siguiente función representa la trayectoria de un Misil balístico intercontinental:
S(t) = 500t2+ 80t+ 100
DondeS(t) :se mide en metros y t:en minutos. Determine la velocidad y la acelereación que lleva el misil a los 60 minutos.
Solución.
