enero – junio 2011
Segundo examen de unidad
Soluciones
Instrucciones
Escriba su nombre en la esquina superior derecha, al hacerlo usted acepta los siguientes t´erminos: (1) trabajar´a solo y no discutir´a con ninguna persona el contenido de este examen salvo con el profesor, (2) en caso de comprobarse que recibi´o o bien proporcion´o ayuda a alguien m´as, autom´aticamente tiene cero y el profesor se reservar´a el derecho de enviar su caso a las autoridades universitarias pertinentes, (3) si no est´a dispuesto a aceptar los t´ermios solamente entregue esta hoja con su nombre (tiene cero).
Justifique cuidadosamente todas sus respuestas. No se der´an puntos por respuestas que no vengan acompa˜nadas por una explicaci´on o demostraci´on (i.e., argumento l´ogicamente v´alido).
Notas: (a) este examen constituye la segunda parte (te´orica) del segundo examen de unidad, la primera parte (pr´actica) la constituy´o el sexto examen parcial. (b) la soluci´on de la pre-gunta uno no ha sido incluida pues esta ha sido hecha en clase en m´ultiples ocasiones (ver hint correspondiente).
1. Problemas
1. SeanA∈Rm×n,b∈Rm,c∈Rn y suponga que rango(A) = rango(A|b) =m. (a)¿Qu´e significa quex0∈Rn sea una soluci´on b´asica del sistemaAx=b? (b)Considere el siguiente programa lineal
min
x φ(x) =c tx
tal que Ax=b x≥0
Describa en claramente una iteraci´on del algoritmo simplex, i.e., describa c´omo, dada una soluci´on b´asica factible x0 con valor objetivo φ0, encontrar otra soluci´on b´asica factible x1 con menor valor objetivo
φ1< φ0, o bien concluir quex0es soluci´on del programa lineal o bien que la soluci´on ´optima se encuentra en infinito (φno acotada inferiormente).
(Hint: esta descripci´on se hizo en clase numerosas veces e incluso aparece en en el documento titulado “intro-ducci´on al algoritmo simplex” (p´agina 2) publicado en nuestra p´agina web. Su descripci´on no tiene que ser excesivamente detallada para s´ı clara.)
Date: May 7, 2011.
2. Considere el siguiente programa lineal, min
x1,x2
φ(x1, x2) =c1x1+c2x2
tal que a11x1+a12x2≥b1
a21x1+a22x2≥b2
a31x1+a32x2≥b3
x1, x2≥0 (1)
(a)Utilizando la notaci´onxj,j ≥3, para las variables de holgura, escriba un programa lineal en forma
est´andar equivalente al anterior con la siguiente forma:
min
x c tx
tal que Ax=b x≥0.
Escriba expl´ıcitamente el vectorxy los t´erminosA,bycen funci´on de las constantes en las restricciones estructurales de (1).
Sol.: 1
minx=(x1,x2,x3,x4,x5) φ(x) = [c1c20 0 0 0] t
| {z }
=ct
x
tal que
a11 a12 −1 0 0
a21 a22 0 −1 0
a31 a32 0 0 −1
| {z }
=A x = b1 b2 b3
| {z }
=b
x≥0
(b)Supongamos que al t´ermino de la iteraci´onkdel algoritmo simplex, se tiene el siguiente tableau:
x3 x5 1
x1 1 2 1
x2 0 1 3
x4 −1 1 1
z a b c
=
x3 x5 1
x1
x2
x4
H h
z a b c
Diga si este tableau es degenerado, no degenerado o si no se puede determinar. Explique.
Sol.: no degenerado, ya que las variables b´asicas (x1, x2, x4) son estrictamente positivas.
(c)Asociados con el tableau anterior, defina los vectoresxByxN de variables b´asicas y no b´asicas. Ahora
determine matricesByNen t´erminos de las componentes deA(inciso (a)) tales queAx=BxB+NxN.
Sol.:
xB= [x1 x2 x4]t, xN = [x3 x5]t, B=
a11 a12 0
a21 a22 −1
a31 a32 0
, N=
−1 0
0 0
0 −1
.
(d)Utilice el resultado del inciso anterior para demostrar quea11a32−a31a126= 0.
Sol.: Bes invertible por definici´on, entonces det(B)6= 0. Desarrollando el determinante deBpor menores tomando su tercera columna se tiene que det(B) =a11a32−a31a12, de donde se sigue el resultado deseado.
1en ocasiones utilizaremosxpara denotar un juego de coordenadas o un vector columna. La interpretaci´on ser´a clara
(e) Establezca dos relaciones, una vectorial y otra matricial, que involucren los t´erminos b, h, B, N yH. Utilice estas dos relaciones para determinarAyb a partir del tableau y diga si el programa lineal requiere de la fase I.
(Hint: las expresiones obtenidas paraByNen el inciso (c), as´ı como las f´ormulas de la pregunta 1b son cruciales para esta parte. Obtenga su respuesta planteando sistemas de ecuaciones lineales.)
Sol.: BxB+NxN =b, entonces (Bes invertible)
(2) xB = B−1b−B−1NxN.
Por otra parte, los primerosmrenglones del tableu del inciso (b) nos dicen que
(3) xB = HxN+h .
(2) es la ´unica soluci´on al sistemaBxB =b−NxN; comparando t´erminos con (3) deducimos que
H=−B−1N, B−1b=h .
Ahora,−B−1N=B−1(−N) =H, entonces−N=BH; escribiendo expl´ıcitamente esta ´ultima igualdad,
1 0 0 0 0 1 =
a11 a12 0
a21 a22 −1
a31 a32 0
1 2 0 1 −1 1
=
a11 2a11+a12
a21+ 1 2a21+a22−1
a31 2a31+a32
.
Comparando componente a componente las matrices de los extremos en la cadena de igualdades anterior, deducimos quea11= 1; 2 +a12= 0⇒a12=−2;a21+ 1 = 0⇒a21=−1;−2 +a22−1 = 0⇒a22= 3;
a31= 0; 2·0 +a32= 1⇒a32= 1. Por lo tanto,
A =
1 −2 −1 0 0
−1 3 0 −1 0
0 1 0 0 −1
.
Similarmente,B−1b=h, entonces b=Bh; escribiendo expl´ıcitamente esta ´ultima igualdad,
b =
1 −2 0
−1 3 −1
0 1 0
1 3 1 = −5 7 3 .
(f )Determinea,b yc en funci´on dec1 yc2.
(Hint: primero determine la componente b´asica,cB, y la componente no b´asica,cNdel vector de costosct,
asoci-adas con el tableau de la parte (b). La relaci´on que encontr´o paraB,NyHen el inciso anterior es crucial para esta parte. Obtenga las relaciones planteando sistemas de ecuaciones lineales.)
Sol.: observamos quecB= [c1 c2 c4] = [c1 c2 0],cN = [c3 c5] = [0 0], entonces
z=φ(x) =ctx=cBxB+cNxN (3)
= cB(HxN +h) +cNxN =cBh+ (cBH+cN)xN.
Escribiendo los extremos de la cadena de igualdades arriba (tomando en cuenta que cN = 0t) tenemos
que
(4) z = [c1 c2 0]
1 3 1
+ [c1 c2 0]
1 2 0 1 −1 1
xN = (c1+ 3c2) + [c1 2c1+c2]xN.
Por otro lado, el ´ultimo rengl´on del tableau del inciso (b) nos dice que
(5) z= [a b]xN +c .
Comparando (4) y (5) se tiene, por unicidad de la la soluci´on factible b´asica, que
a=c1 b= 2c1+c2, c=c1+ 3c2.
(g) Establezca una condici´on necesaria y suficiente en forma de una desigualdad que involucre a c1 y
Sol.: del tableau del inciso (b) observamos que la primera columna de H tiene una componente neg-ativa, la cual acota el crecimiento dex3 (x4 es su variable de bloqueo) en el caso a <0. En cambio, la segunda columna deHno posee componentes negativas, de manera que sib <0, podr´ıamos incrementar el valor dex5sin abandonar la regi´on de factibilidad; rec´ıprocamente, esta es la ´unica via para tener una regi´on no acotada. De lo anterior concluimos que una condici´on necesaria y suficiente para que la regi´on de factibilidad sea no acotada es 2c1+c2<0, es decir,
(6) c2<−2c1.
(h)Demuestre quec1= 1 yc2=−3 satisfacen la condici´on que encontr´o en el inciso anterior y escriba el tableau del inciso (b) para estos valores de c1 yc2. A partir de su tableau obtenga la ecuaci´on de un rayo en el planox1x2 el cual se encuentre dentro de la regi´on de factibilidad.
Sol.: claramente c1 = 1 y c2 = 3 satisfacen (6) (−3 < −2·1); por lo tanto, el tableau correspondi-ente a estos valores,
x3 x5 1
x1 1 2 1
x2 0 1 3
x4 −1 1 1
z 1 −1 −8
corresponde al caso deφno acotada inferiormente sobre la regi´on de factibilidad. Finalmente, tomando
x5=λ,λ >0 se tienen las ecuaciones param´etricas de un rayo en el planox1x2completamente contenido en la regi´on de factibilidad:
(7) x1(λ) = 1 + 2λ , x2(λ) = 3 +λ; λ∈[0,∞).
(i)Encuentre un punto factible (x1, x2) tal queφ(x1, x2) =−101. Sol.:
−101 = φ(x1(λ), x2(λ)) =c1x1(λ) +c2x2(λ) (7)
= 1·(1 + 2λ) + (−3)(3 +λ) =−8−λ ,
entoncesλ= 93 y por lo tanto
(x1(93), x2(93)) = (1 + 2·93,3 + 93) = (187,96)
es un punto factible con las propiedades buscadas.
(j) A partir de su respuesta en (h), dibuje la regi´on de factibilidad para (1). Sobre su dibujo mar-que el v´ertice asociado con el tableau del inciso (b) y el rayo del inciso (h).
Sol.: las restricciones estructurales quedan determinadas, x1−2x2 ≥ −5, −x1+ 3x2 ≥ 7, x2 ≥ 3 (cf. figura 1).
Preguntas: Jorge Viveros. Centro de Investigaci´on en Matem´aticas, Universidad Aut´onoma del Estado de
Hidalgo. Hgo, M´exico.
Figure 1. Ejercicio 2j. Regi´on de factibilidad. 1: x2≤52 + x1
2. 2: x2≥ 73+ x1
