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Modelo de optimización para la planeación de la producción en una planta de alimentos congelados

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Academic year: 2020

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(1)II.07( 10)142. MODELO DE OPTIMIZACION PARA LA PLANEACIÓN DE LA PRODUCCIÓN EN UNA PLAN TA D E A LIMENTOS CONGELADOS. GUILLERMO A. RODRIGU EZ RODRIGU EZ. UNIVERSIDAD DE LOS AND ES. FACULTAD D E ING ENI ERÍA DEPAR TAMENTO DE INGENI ERÍA INDUSTRIAL BOGOTÁ D.C., COLOMBIA JUNIO DE 2007. 1.

(2) II.07( 10)142. MODELO DE OPTIMIZACION PARA LA PLANEACIÓN DE LA PRODUCCIÓN EN UNA PLAN TA D E A LIMENTOS CONGELADOS. GUILLERMO A. RODRÍGU EZ RODRÍGU EZ. Trabajo de grado para optar al tí tul o de: Ingeniero Industrial. Asesor GERMAN RIAÑO. UNIVERSIDAD DE LOS AND ES. FACULTAD D E ING ENI ERÍA DEPAR TAMENTO DE INGENI ERÍA INDUSTRIAL BOGOTÁ D.C., COLOMBIA JUNIO DE 2007. 2.

(3) II.07( 10)142. TABLA DE CONTENIDO. INTRODUCCIÓN ................................................................................................. 6 METODOLOGÍA ...............................................................................................................9 M ARCO TEORICO ............................................................................................10 ADMINISTRACIÓN DE INVENTARIOS..............................................................................10 ELSP – ECONOMIC LOT SCHEDULING PROBLEM.......................................................11 Conjunto .................................................................................................................13 Parámetros .............................................................................................................13 Variables.................................................................................................................13 Función O bjetivo ...................................................................................................13 Res tricciones .........................................................................................................14 SOLUCIO N ELS P .....................................................................................................15 SOLUCIÓ N ELS P PAUL ZIPK IN ............................................................................16 DESCRIPCION DEL PRO BLEM A .................................................................20 IDENTIFICACIÓN DEL PROBLEMA ..................................................................................20 PAR ÁMETROS DEL PR OBLEMA .....................................................................................21 Conjunto .................................................................................................................21 Parámetros .............................................................................................................21 METODOLOGÍA A CTUAL ...............................................................................................25 CONSECUENCIAS .........................................................................................................28 SOLUCIÓN .........................................................................................................30 PROPUESTA DE SOLUCIÓN...........................................................................................30 METODOLOGÍA DE LA SOLUCIÓN..................................................................................30 RESULTADOS ...................................................................................................37 SI MULACIÓN .................................................................................................................37 ESC ENARIO PROPUESTA DE ZIPKIN.............................................................................38 ESC ENARIO METODOLOGÍA ACTUAL ............................................................................39 CONCLUSIONES, RECOM ENDACIONES Y ESTUDIOS POSTERIORES ..............................................................................................................................40 3.

(4) II.07( 10)142 BIBLIOG RAFÍA .................................................................................................43 ANEX OS .............................................................................................................44 ANEXO 1: CÓDIGO DE PROGRAMACIÓN PROBLEMA DE AGEN TE VIAJERO ( TRAVELING SALESMAN PROBLEM) EN XPRESS..............................................................................44 ANEXO 2: MATRICES ALGORI TMO DE ZIPKIN (1985) ..................................................46 ANEXO 3: CÓDIGO DE PROGRAMACIÓN HEURÍSTICA ZIPKIN (1985) EN MATLAB.......48. 4.

(5) II.07( 10)142 INDICE DE GRAFICOS, TABLAS Y DIAGRAMAS DI AGR AM A 1. ESTRUCTURA DE UNA CADENA DE ABASTECIMIENTO .................................6 GRAFICO 1. PIB 2006 POR RAMAS DE ACTIVIDAD ECONÓMICA EN COLOMBIA. .............11 DI AGR AM A 2. SU BPROBLEMAS DE ELSP.......................................................................12 T ABL A 1. CARAC TERISTICAS SUBPROBLEMAS ELS P ....................................................12 GRAFICO 2: CURVA DE INVENTARIO VS. TIEMPO............................................................14 T ABL A 2. SUB INDICES DE LAS REFERENCIAS.................................................................21 T ABL A 3. DEMANDAS ANUALES DE LA REFERENCIAS POR UNIDADES ............................22 T ABL A 4. PRODUCCIONES ANUALES DE LA REFER ENCIAS POR UNIDADES ....................22 T ABL A 5. COSTO MENSUAL DE ALMACENAMIENTO POR ALMACÉN .................................23 T ABL A 6. COSTO ANUAL DE ALMACENAMIENTO PROMEDIO POR ESTIBA .......................24 T ABL A 7. NUMERO DE UNIDADES POR ESTIBA PARA CADA REFERENCIA .......................24 T ABL A 8. VALOR DE ALMACENAMIENTO DE UNA UNIDAD ANUAL.....................................24 T ABL A 9. TIEMPO DE SET UP ENTR E LAS REFERENCIAS .................................................25 T ABL A 10. SECUENCIA DE PRODUCCIÓN PLANTA DE PRODUCTOS CONGELADOS .........27 GRAFICO 3. DEMANDA MENSUAL DE UN PRODUCTO A BASE DE AGUA ...........................28 GRAFICO 4. DEMANDA MENSUAL DE LOS PR ODUCTOS A BASE DE LECHE ......................28 GRAFICO 5. DEMANDA MENSUAL DEL PRODUC TO CILÍNDRICO .......................................29 GRAFICO 6. GR AFO PROBLEMA AGENTE VIAJERO. .........................................................31 GRAFICO 7. RESULTADO PROBLEMA RELAJADA TSP.....................................................32 GRAFICO 8. SOLUCIÓN PROBLEMA AGENTE VIAJER O PARA SECUENCIA ÓPTI MA DE PRODUCCIÓN............................................................................................................34. T ABL A 11. TIEMPOS DE PRODUCCIÓN ETAPA 2 ALGORI TMO DE ZIPKIN .........................36. 5.

(6) II.07( 10)142. INTRODUCCIÓN. Todas las organiz aciones c on ánimo de lucro entr e su misión o vis ión deben tener la gener ación de valor c omo uno de sus objetiv os primor diales para obtener may or es ingr esos a menor costo, siendo estos últimos pr inc ipalmente, el reflejo de las dec is iones tomadas en el área de cadena de abas tec imiento. Es por esto que todos los esfuerzos deben ir enc aminados en la r evis ión de los proc esos que intervienen en la cadena de abastecimiento, para encontrar los puntos neur álgicos y maximizar los ahorros en c ada una de las etapas del proc eso de producción de los productos c ongelados.. Diagrama 1. Estructura de una cadena de abastec imiento. El dis eño del diagrama es pr opio. Sin embar go este pr oyecto se enfoc a en la pr imera etapa de la cadena de abastec imiento de pr oductos congelados , planeación de la producción, por ser este el proc eso gener ador c ada oc ho días de la informac ión necesar ia par a la labor de las demás áreas. De ahí el valor de esta infor mación por las repercusiones en el andamiaje de toda la cadena. Los proc esos der ivados del plan de producción publicado c ada oc ho días son:. 1. Necesidades de c ompra de materi as primas y material de em paque MRP (Material Requi erem ent Planning). En la empr esa de productos congelados el área de c ompr as realiz a los planes de adquis ic ió n de materiales c on los pr oveedores . En caso de un cambio imprev isto en el pr ogr ama se corre el r iesgo de escasez de alguna materia prima y. 6.

(7) II.07( 10)142 por ende no se lleve a cabo la pr oducc ión hasta la res puesta del prov eedor. 2. Planeaci ón del recurs o hum ano para llevar a cab o los pl anes de producción. Se organiza el rec urso humano par a llev ar a c abo las producciones programadas con los distintos c olabor adores de la organización ( oscilan entre 500 a 600). Co mo r esultado de este proc eso se ar man las tr ipulaciones por máquina tenie ndo en cuenta las restricc iones del pers onal c omo: vac ac iones, c apac itac iones e inc apac idades. 3. Estim ar la capacidad de alm acenamiento. El área de logística estima el es pac io nec esar io par a guar dar las producciones en el cuarto frío. Al ser una planta de productos congelados el es pacio es una restr icción a tener en cuenta, debido a las espec ificac iones de frió (almacenar lo a -34ºC) del producto para mantener sus estándares de calidad, mas aun c uando es te tipo de pr oductos no se puede almac enar fuer a del mismo. 4. Planear el núm ero de vehículos par a tr ansportar el pr oducto. Realizar la planeación de vehíc ulos necesarios par a r ealizar los car gues a las difer entes r egionales a las cuales la planta de pr oductos c ongelados prov ee de inventar io.. Por lo anter iormente descr ito es. fundamental realiz ar una adecuada. planeac ión, por ende es te pr oy ecto busc a r ealiz ar un programa de planeac ión de pr oducc ión con un hor izonte super ior a 30 días, par a la máquina con mayor numero de r eferencias a s u c argo en la planta de productos c ongela dos. Con el fin de obtener mayor es utilidades al aumentar el margen de los pr oduc tos debido a la r educc ión de los cos tos . El pr oblema que enfrenta en la actualidad la c adena de abastecimiento de esta organización,. s e debe a la polític a de reposición de inventarios para. deter minar el numer o de unidades a producir , este metodología es mas propens a a tener altos costos de pr oducc ión y logís ticos como consec uencia de la INCERTIDUMB RE de la demanda. A difer enc ia de la metodología por órdenes de compra la cual tiene la ventaja de producir ex actamente las 7.

(8) II.07( 10)142 unidades a vender, por ende s e puede afirmar que labor an c on una demanda deter ministic a, y ponen en marc ha s u proces o pr oductiv o s olo cuando y a tienen la venta as egur ada del pr oducto ter minado.. Actualmente en la planta de pr oduc tos congelados se presentan los siguientes inconvenientes: •. Altos niv eles de pr oducto ter minando tr aduc iéndose en una disminuc ión del EVA (Economic V alue A dded) por la reducción de la liquidez de la compañía a causa de la gran cantidad de días de inventar io.. •. Venc imiento de un pr oduc to si se manejan referenc ias per eceder as.. •. Constantes cambios de refer encia en las máquinas.. •. Falt antes de pr oducto ter minado.. Con bas e a este panor ama, la planeación de producción al s er el proc eso responsable de garantiz ar el abas tec imiento de pr oductos para obtener altos niveles de serv icio a los c li entes, s urge la neces idad de plantear un modelo el cual contemple la var iabilidad de la demanda y busque r educir los costos de abastec imiento (logís tico y produc tivo). Con el fin de: evitar los faltantes de producto (indic ador fundamental de las c adenas de abastecimiento); optimizar los costos y gastos en la pr ogramación y gener ar impacto en las utilidades de la empr esa. Para lograrlo en este proy ecto se implementa la s oluc ión propuesta por Zipkin (1989) para una máquina de productos congelados con once referenc ias a pr ogramar.. Zipkin (1989) par a solucionar el problema pr opone hallar los tiempos de producción de cada una de las refer encias confor me a una sec uencia óptima de elabor ac ión de las mis mas, en la literatur a es te problema es c onocido c omo ELSP ( Economic Lot Schedulin g Pr oblem). A l soluc ionar el problema se genera un pr ograma de producción para un horiz onte s uper ior a 30 días con el fin de tener el menor número de cambios sobr e la marc ha y garantiz ar el nivel de servic io a los clientes .. 8.

(9) II.07( 10)142 Apar te de los resultados generados por la implementac ión de la heurística descr ita. El proyecto br inda una s eria de r ecomendac iones a la gerencia de cadena de abastecimiento par a gener ar ahorr os anuales superiores a. $. 200’000.000 COP siempr e y cuando se inv ier ta en infraestr uctura. De igual forma se cr eo una hoja de c alc ulo donde s e realiz a: la simulac ión de la alter nativa de pr oducc ión hallada y s e deja como herramienta a los planeadores de la planta de producción para no s olo tener en c uenta el nivel de inventarios sino el cos to de almac enamiento y faltantes con el fin de esc oger las mejores dec isiones a la hora de realiz ar el pr ograma de pr oducción. Finalmente el objetiv o del pr oyec to consiste en optimizar el pr ogr ama de producción para una máquina productora de referenc ias c ongeladas, sujeto a las r estr icc iones de c apac idad de pr oducc ión y almacenamiento para: racionalizar los tiempos de set-up, contribuy a c on abar atar los c ostos del proc eso productivo y r eduzc a los faltantes de producto, impulsando el mar gen de ganancia que obtiene la empres a por c ada unidad v endida al c ons umidor.. Metodología. Este documento se divide en cinco par tes . En la primer a de ellas, se pr es enta el pr oceso de planeación de pr oducción como factor clav e de éx ito de una organización, los r etos que implica par a una cadena de abastecimiento tr abajar reponiendo inventario. En la segunda sección, se define el proble ma que se busc a s oluc ionar y los pr oc edimientos necesar ios par a la implantación de la misma. En tercer lugar, s e describe el problema en la planta junto sus cons ecuenc ias . En la cuarta sección se ex ponen los res ultados. Finalmente, en la quinta s ección, s e pres entan las r ecomendac iones y c onclusiones del estudio, as í como estudios pos ter iores que se puedan r ealizar alr ededor del tema y/o de la empresa.. 9.

(10) II.07( 10)142. MARCO TEORICO. Adm inistración de inventarios Dada la competencia que enfrentan las compañías hoy en día en cualquier sector de la economía, las diferenc ias frente a las demás empr esas s e generan princ ipalmente en las áreas de: serv ic io al c liente y logística. Esta última entendida c omo: “Aquella parte del pr oc eso de la cadena de abastecimiento que pla nea, implementa y c ontr ola el flujo y almac enamiento de pr oductos y servic ios” Acer o ( 2003). Como engranaje fundamental de este proc eso se encuentra el tema de administrac ión de inventarios , que como su nombr e lo indica, busc a el nivel óptimo de unidades en el sis tema teniendo en cuenta un equilibrio entr e un conjunto de costos inher entes al inventar io. Con este fin, varios autores. han emprendido dif er entes metodologías para soluc ionar el. problema de planeac ió n de producción. Sin embar go, la liter atura se ha centrado en darle respuesta a un pr oblema r ecurrente en las cadenas de abastec imiento reales el ELSP: (Ec onomic Lot Scheduling Problem) sec uencia y tamaño de lotes par a la planeación ec onómica de la producc ión. El inter és en este problema surge debido a la dec is ió n óptima de las organizaciones por optar en tener una maquinaria de alta tecnología con la capac id ad de realiz ar muc hos productos a tener muc has máquinas dedic adas a una solo referenc ia, como lo afir ma Gr egory Dobson (1987) en su doc umento sobr e el tema. Por otr a parte las empresas que afrontan este tip o de conflic tos y tienen la s olvenc ia económica para adquirir esta c lase de maquinar ia aportan entre el 15% al 20% del Producto Interno Br uto. en nac iones en vía de. desarrollo c omo Colo mbia.. Aunque este pr oyecto enfatiza una soluc ión al problema de adminis trac ión de inventarios par a una planta de pr oduc tos congelados, esta puede ser extendida a los demás r amas de la industria manufac tur er a como: bebidas, pr oduc tos químicos, alimentos, entr e otr os que enfrentan el mis mo problema.. 10.

(11) II.07( 10)142. Gr afico 1. PIB 2006 por r amas de activ idad económic a en Colombia.. PIB 2006 por ramas de actividad económica en Colombia Agropecuari, Silvicultura , Caz a y Pesca. 6%. 11%. Explotación Minas y Canteras. 6%. 19%. Electricidad, Agua y Gas Industria Manufacture ra. 4% Const rucción Comercio, Restaurantes, Turismo. 15% 14%. Transp orte, Almacen amiento y Comunica cione s Est ablecimient os Financieros y servicios. 7%. 7% 11%. Servicios S ocia les, comunale s y person ales Otros. Fuente: Departamento Administr ativ o Nacional de Estadística. ELSP – Economic Lot Scheduling Problem. El ELSP cons iste en hallar la s ecuencia y los tamaños de lote que minimicen los c ostos de mantener inventar io y cambio de r efer enc ias, s ujeto a: la capac id ad de producción de la máquina y la satisfacc ión de las demandas de las r efer enc ias producidas. Sin embar go, par tiendo de es ta definic ión ex isten variac io nes al pr oblema or iginal, los cuales se clasifican s iguiendo tres carac ter ísticas : •. Pr esenc ia o aus encia de tiempos y costos de set up.. 11.

(12) II.07( 10)142 •. Planeac ión contr a or den de c ompr a ( Customiz ed o make to or der) o contra inventar io ( Standar diz ed o make to stoc k).. •. Tasas de producción y demandas es toc ásticas o deter ministicas (Winands. et all. 2005).. Las c aracter ísticas de los ocho subproblemas con sus r espec tivas var iantes se s intetizan en el siguiente diagrama de Venn Diagrama 2. Subproblemas de ELSP. Fuente: The Stochastic Ec onomic Lot Sc heduling Problem: A Survey ( 2005). Tabla 1. Caracter isticas subproblemas ELSP Subpr oblema. Ex istenc ia de Setups. 1 2 3 4 5 6 7 8. No No Sí Sí No No Sí Sí. Planeac ión contra inv entario No Sí No Sí No Sí No Sí. Estocástico. No No No No Sí Sí Sí Sí. El pr oblema a tr atar en este proyec to s e c las ific a en la s ección cuatro del diagrama, las c ar acter ístic as de es te subproblema s on: 1. Ex iste un número de referencias a pr oduc ir en un s olo r ecurs o. 2. Solo se puede producir una r eferenc ia a la vez en el r ecurs o.. 12.

(13) II.07( 10)142 3. Ex isten tas as de pr oducción y demanda c onstantes a lo lar go del horiz onte de tiempo. 4. Ex iste un tiempo de alistamiento del rec urs o antes de iniciar la producción de una referencia.. Con base a es ta infor mación proc edemos a plantear el problema de optimización. Conjunt o Numero de referencias: i = { 1,2.., N} Parámetros d i = Tas a de demanda del pr oducto i. pi = Tas a de producción del producto i. s i = Tiempo de set up del pr oduc to i hi = Costo de almacenamiento del producto i. ai = Costo de set up.. ρ i = di / pi Variables f i = Sec uencia de pr oducción de los i pr oductos t i = Tiempo de producción del producto ubic ado en f i . u i = Tiempo ocioso de la máquina después de realiz ar el produc to ubic ado en fi . Función Objetivo La func ión objetiv o de es te problema esta c ompuesta por los costos: debido a los c ambios de r efer enc ia de la máquina y el de almacenamiento de las unidades. Este último se calcula multiplic ando el parámetr o hi por el nivel de inventario promedio de c ada referencia. A continuac ión se deduce la ex pres ión para el niv el promedio de inv entario, el c ual es el área bajo la curva de Inventar io vs. Tiempo.. 13.

(14) II.07( 10)142. Gr afico 2: Curva de inventar io vs. Tiempo. Fuente: A nálisis de la producción y las oper aciones ( Nahmias 1999) . ( p − d )t = d (s + u). → ( s + u) =. (p − d) p 1 1− ρ t = ( − 1)t = ( − 1)t = t d d ρ ρ. 1− ρ 2 ⎛ t ( p − d )t (s + u )d (s + u ) ⎞ 2 + Area = ⎜ t ) ) / 2T ⎟ / T = (t p(1 − ρ ) + ρp( ρ 2 2 ⎝ ⎠ 2 2 ⎡ (1 − ρ ) ρ (1 − ρ ) 2 ⎤ 2 ⎡ ρ − ρ + 1− 2ρ + ρ ⎤ 2 ⎛1 − ρ ⎞ + ⎟⎟ / 2T t 2 p⎢ ⎥ / 2T = t p⎢ ⎥ / 2T = t p⎜⎜ ρ ⎦ ρ ⎝ ρ ⎠ ⎣ ρ ⎣ ⎦ t 2 p(1 − ρ ) Area = 2Tρ. Al obtener la expresión par a el inv entario promedio, proc edemos a escribir la función objetivo. n ⎛ 2 ⎞ t p (1 − ρ i ) min ∑ ⎜⎜ i i + a i ⎟⎟ / T 2 ρi i= 1 ⎝ ⎠. Restricciones La r estr icción de demanda se deduce partiendo del gr áfic o 2 donde el tiempo de pr oducc ión debe satisfacer la demanda del produc to hasta la próx ima elaborac ión del mis mo. ( p − d )t = d (s + u ) → p (1 − ρ )t = pρ ( s + u ) → (1 − ρ )t = ρ ( s + u ) → t i = ρ i (s i + t i + u i ). ∀i ∈ N. 14.

(15) II.07( 10)142 La segunda restricción limita los tiempos de producción a un periodo T . N. ∑ (s i =1. i. + ti + u i ) = T. t i , ui ≥ 0. ∀i ∈ N. SOLUCION ELSP La s oluc ión al pr oblema ELSP no s olo ha despertado el inter és del mundo académico por la frec uencia de ocurr encia en esc enar ios reales , s ino, por la dificultad para llegar a una s olución óptima del mis mo. Lo anter ior se explica debido a la teor ía de la complejidad computac io nal, la cual estudia los recursos requeridos (tiempo y memoria del c omputador) para darle solución a un problema.. En la teoría de la complejidad computacional ex isten dos tipos de problema P y NP. Los pr imer o s on aquellos donde el tiempo de ejecución para hallar una respuesta es func ión polinómic a del tamaño del problema. El pr oblema de tipo NP no tienen una soluc ión práctic a o el tiempo de ejecuc ión para hallar una respuesta es func ió n ex ponencial al tamaño del pr oblema, por ende una máquina no puede res olver los en tiempo raz onable , un ejemplo de estos último es el pr oblema ELSP. Por ende, para solucionarlo se rec urr e a algoritmos o heur ístic as las c uales arrojan una aprox imación al r esultado óptimo.. Khouja, Mec halew icz y Wilmot ( 1998) pr oponen el uso de algor itmo genético. Esta heurística s upone: el planteamiento de un periodo básic o donde los tiempos de producción de los produc tos son un múltiplo enter o del mismo y unas cotas inferior es y superior es para el valor de las v ariables. Se inicializ a el método generando una población aleator ia de s oluciones, donde los valores son transfor mados a base binaria y cada var iable es repr esentada por un número determinado de bits para for mar un cr omosoma de unos y cer os. A continuación, por medio de oper aciones de combinación entr e los cromosomas y el cambio de valor en alguna de s us posiciones se v an variando las soluc iones de tal que forma que a la s ig uiente generación s obr evivan las mejor es soluciones, esta técnic a es conoc ida como elitismo r ealiz ando un s ímil a la teor ía de ev olución de Darw in. 15.

(16) II.07( 10)142. … … … …. k1. k2. k11. g. Dobs on en 1985 se enfoco en brindar una metodología para hallar s ec uenc ias óptimas de producción. Donde los tiempos de elabor ación de una referencia podr ían var iar a lo lar go de un c iclo y no depender de la r estr icción de periodo básic o. Su heur ís tic a se bas a en deter minar frecuencias de producc ión teniendo en cuenta el tiempo de duración de cada refer encia. De esta for ma proc esa las órdenes por dos criter ios: el pr imero es la frecuencia de producc ión en el cic lo y luego de menor a may or tiempo de pr oducc ión.. Sin embargo la técnic a escogida para res olver el pr oblema de progr amac ión en la planta de pr oductos c ongelados se basa en el estudio elabor ado por Paul Zipkin ( 1989) por: •. Fácil implementación a difer enc ia del algoritmo genétic o donde hay que hacer transfor maciones de base binar ia a dec imal.. •. Tiene en c uenta los tiempos de set up para constr uir la sec uencia de producción.. •. Br inda como res ultado los tiempos y secuencia de producción a difer encia de la técnic a de Dobs on (1985) la cual se limita a calcular una secuencia óptima de producc ión.. SOLUCIÓN ELSP PAUL ZIPKIN. Paul Zipkin (1989) considera que el pr oblema ELSP esta confor mado por dos etapas, la primer a de ellas es un pr oblema de combinac ión lineal donde se halla la s ecuencia óptima de producción c ons ignada en el vec tor f , la primera posic ión c orresponde al pr oducto a elabor ar en primera ins tancia y as í suces iv amente. Zipkin se apoya en la metodología r ealizada por Dobson (1986) para enc ontrar esta secuenc ia óptima y parte de este resultado para solucionar la segunda etapa del problema. Sin embar go, en este pr oy ecto se r esuelve. 16.

(17) II.07( 10)142 esta primer a parte del pr oblema us ando la metodología del problema del agente viajero, gr acias al supuesto par a este cas o donde las r eferencias no se repiten dur ante el ciclo de pr oducción T .. La s egunda parte es de tipo c ontinuo y c onsis te en deter minar : el tiempo de producción de una r efer enc ia y el tiempo de ciclo de la máquina. Par a esto Zipkin ( 1989) adopta la notac ión inicial del ELSP. donde c ada uno de los. parámetr os (tasa de demanda, tas a de pr oducc ión, tie mpo de set up, el costo de s et up y almac enamiento) s e le agrega un sub índic e, el cual indica el v alor del parámetro par a la pos ición deter minada. Por ejemplo p jf significa la tas a de producción del pr oduc to ubic ado en la pos ición j del vector f . Por otr a parte, el autor define un vec tor J i = { j : f. j. = i} donde J i es el conjunto de pos iciones. donde s e r epite la producción del pr oduc to ubic ado en la pos ición j del vector. f . Sin embar go par a el pr oblema de la planta de productos congelados las referenc ias a pr oducir solo apar ec en una vez en la secuencia óptima f como cons ecuenc ia de la metodología implementada en la primer a etapa del problema. Por ende el número de elementos del conjunto J es igual J i = 1 lo que s implific a la cons ecuc ión de la s olución final del pr oblema.. Zipkin ( 1989) pr opone plantear la matr iz B defin ida como:. ⎧1 b jk = ⎨ ⎩0. for k = j , j + 1,...next ( j ) − 1 dlc. Con el fin de prec isar el tie mpo de pr oducción en la posic ión f j , el cual debe satisfacer la demanda de unidades has ta la próxima pr oducción de esta referenc ia. Sin embar go, confor me a la s implificación dada al pr oblema, donde las refer encias no se r epiten a lo largo de s ecuenc ia, esta matr iz s e conv ierte j en una matriz de unos. Finalmente s e definen tr es matrices: P = diag ( ρ ) ,. A = PB. y. H = diag (h j p j (1 − ρ j ) / ρ j ) , esta última para los cos tos de. almac enamiento deducidos anterior mente. Y un vec tor que suma los costos de t set up a = e ai donde el vec tor e es una c olumnas de unos.. 17.

(18) II.07( 10)142 Matr icialmente el problema ELS P s e define a c ontin uación.. 1 min( t t Ht + a) / T 2 S. A t = A( s + t + u ) et (s + t + u) = T t, u ≥ 0 El paso clav e que propone Zipkin (1989) en s u planteamiento es fijar la v ar iable. T y a este pr oblema aplicar las c ondiciones de Kar ush Kuhn Tuc ker (KKT), esta herramienta es una generalizac ión del método de multiplic ador es de Lagr ange donde se busc a hallar el óptimo par a los problemas de programac ión no lineal. Estas condiciones suponen una función objetivo F ( x) y restr icciones. g ( x) y h(x ) las c uales son continuas y difer enciables en el punto x*. Si x * es un míni mo loc al ex isten c ons tantes λ ≥ 0 , µ i ≥ 0 , v j. Al realiz ar las condiciones KKT al problema ELS P matric ial s ur gen cuatro ecuac io nes de gran utilidad para res olver el pr oblema para un T fijo.. Ht − eλ − (I − At )µ = 0 − eλ + At µ = v et t + et u = T − s (I − A)t − Au = As u ≥ 0, v ≥ 0, u t v = 0 Donde µ es el vector de las var iables duales de las res tricc iones t = A(s + t + u) ;. λ es la var iable dual de la restricc ión e(s + t + u) = T . y v son los cos tos reduc idos de las variables u . Para inic ializ ar el algoritmo propuesto por Zipkin (1989) se crea una sec uencia finita de pos ib les valor es para la v ariable T ( TO ...TK ) donde la cota inferior es igual a: To =. s 1− ρ. Los pas os del algor it mo s e descr iben a continuación:. 18.

(19) II.07( 10)142 Paso 1: Solucionar el problema ELSP con el sistema de ecuaciones KKT para T k y Tk + 1 dados.. * Paso 2: Calcular el v alor de las direcc iones y el valor de Tk que ser á optimo si. se encuentra entr e Tk , Tk +1 debido a que la función objetivo es c onvexa. El cálculo de las direcciones se mues tra a continuac ión.. δk =. t (Tk ) − t (Tk +1 ) Tk − Tk +1. 1 2 1 α k = (t k − Tk δ k )t H (t k − Tk δ k ) 2 Tk* = (α k + a ) / η k. η k = δ kt Hδ k. * * * Paso 3: Si Tk > Tk + 1 se incrementa T y k hasta que Tk ∈ [Tk ,T k+ 1 ] . Per o si Tk < T k. se decr ece T y K hasta que Tk* ∈ [Tk ,T k+ 1 ] . Las condiciones de parada del algoritmo son dos:. •. Cuando en una iter ación s e c umpla Tk* ∈ [Tk ,T k+ 1 ] para los Tk y Tk + 1 analiz ados en la iterac ión. •. Cuando en la iterac ió n se llega a la cota mínima de To.. Por medio de este algoritmo se pr etende llegar a una programación óptima de la planta de pr oduc tos congelados con el fin de gener ar mayor v alor agr egado a la empr esa.. 19.

(20) II.07( 10)142. DESCRIPCION DEL PROBLEMA. Identificación del problema. La empresa de pr oduc tos c ongela dos ofrece un portafolio de cinc uenta y ocho referenc ias con el fin de satisfacer los diferentes gustos de los consumidor es. Cada ocho días el área de planeación in dustr ia l de la organiz ación realiz a un progr ama de pr oducc ión con un horizonte de quinc e días para cada una de las referenc ias teniendo en cuenta: inventarios iniciales, pronóstico de ventas, faltante de pr oducto, capac idades de las máquinas, mano de obr a, eventos extr aordinar ios , entre otros. Pero onc e de los c inc uenta y oc ho pr oductos de la empres a son produc idos en una mis ma máquina, s iendo este equipo el de mayor numero de referencias a progr amar en toda la compañía y el pr oblema a r esolver en este proy ecto.. Para realiz ar los cambios de referencia entr e baches de pr oducción esta maquinar ia r equier e una configuración mecánic a y limpiez a entr e los cambios de producto. Los tiempos de alistamiento del equipo para la s iguiente referenc ia dependen de los c ambios a realiz ar en la máquina y del lavado. Por ejemplo, s e necesita un mayor tiempo de configurac ión s i se pasa de un producto a bas e de agua que a uno que use galletas para su elabor ación, o se neces it a mayor tiempo de lavado s i s e pas a a producir una sustancia blanca después de realiz ar una r oja. Por otra par te, el realizar corridas muy largas de las refer encias gener a altos costos de almacenamiento, sumado a que al ser una empr esa de pr oduc tos congelados los productos no pueden ser depositados a la intemper ie, sino en unos cuartos fríos a una temper atur a de - 34º C par a mantener las propiedades y par ámetr os de calidad, sumado a que la capac idad de almacenamiento de la compañía es limitada (1120 pos iciones) de las cuales 350 fueron as ignadas a esta máquina.. 20.

(21) II.07( 10)142 Por lo anter ior sur ge la necesidad de implementar un modelo de progr amac ión de pr oducc ión el cual sugier a una metodología de planeación par a esta máquina y genere ahorros para la c ompañía.. Parámetros del problema Conjunt o El número de r eferencias que se produc en en la máquina de alta tec nología son once. Los subíndic es con los cuales s e identifican los pr oduc tos en el problema s e muestran a continuac ión: Tabla 2. Sub índic es de las r efer enc ias Subíndice 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11. Product o Pr oducto c ilíndr ic o Producto a base de agua 1 Producto a base de agua 2 Producto a base de leche 1 Producto a base de leche 2 Producto a base de leche 3 Producto a base de leche 4 Producto a base de leche 5 Producto a base de leche 6 Pr oducto con harina 1 Pr oducto con harina 2. Al analiz ar el conjunto de productos se id entifican c uatr o tipos de familias: Pr oductos a base de agua ( 2), pr oductos a bas e de leche (6), productos con harina (2) y finalmente el pr oducto c ilíndric o.. Parámetros Di = Es la demanda anual de la referencia i.. Para la constr ucción de es te dato s e analizo el his tóric o de ventas de los últimos 18 mes es par a cada referenc ia. No s e logr o tener un hor iz onte mayor para este anális is, porque la máquina inicio pr oducc iones en Octubr e de 2005 y desde ese entonc es se están lanz ando nuevos pr oductos al mercado, es tos últimos s on los pr oductos con harina 1 y 2 que fuer on lanzados en Septiembre. 21.

(22) II.07( 10)142 y Octubre de 2006, respectiv amente. Para estos casos donde tan s olo se tienen dos meses de datos, el parámetr o Di sale del pr esupuesto de ventas elaborado por el ár ea de mercadeo de la compañía en el cual s e es pec ific a el número de unidades a vender para los pr óximos doc e mes es.. Tabla 3. Demandas anuales de la r eferenc ias por unidades Producto (i). Pr oducto c ilíndr ic o Producto a base de agua 1 Producto a base de agua 2 Producto a base de leche 1 Producto a base de leche 2 Producto a base de leche 3 Producto a base de leche 4 Producto a base de leche 5 Producto a base de leche 6 Pr oducto c on har ina 1 Pr oducto c on har ina 2. Di 2,175,848 4,794,704 298,700 505,853 2,765,803 1,263,072 934,709 40,614 40,614 2,687,658 3,526,572. Pi = Tas a anual de pr oducción del produc to i.. Esta información fue obtenida de ac uer do a las velocidades de la máquina, establecidas por el ár ea de producción para c ada pr oducto. Las velocidades se deter minan con base al numer o de unidades c apac es de realiz ar en un turno de pr oducc ión (cada tur no es de ocho horas) teniendo en cuenta el tiempo de alistamiento y el lavado del equipo.. Por otra par te, la máquina tiene contemplada dos tr ipulaciones de gente, para trabajar dos tur nos al día. Con esta infor mac ión calculamos las tas as anuales de pr oducc ión, tenie ndo en cuenta que por polític as de la compañía no se permite trabajar los domingos ni festivos . En el año son 18 festiv os, lo que repr esenta 3 semanas de producc ión por ende los cálc ulos se hacen de la siguiente for ma: Pi = Numer o de unid ades en dos turnos de producción (diarias) * 6 días * 49. semanas. Tabla 4. Producc io nes anuales de la referencias por unidades. 22.

(23) II.07( 10)142 Producto (i). Producto c ilíndric o Pr oducto a base de agua 1 Pr oducto a base de agua 2 Pr oducto a base de leche 1 Pr oducto a base de leche 2 Pr oducto a base de leche 3 Pr oducto a base de leche 4 Pr oducto a base de leche 5 Pr oducto a base de leche 6 Pr oducto con harina 1 Pr oducto con harina 2. Pi 21.168.000 26.460.000 26.460.000 24.108.000 24.108.000 24.108.000 24.108.000 24.108.000 24.108.000 20.580.000 10.584.000. Con esta infor mación podemos c omprobar la condic ión de factibil idad del modelo, el cual exige. ∑ρ. i. = 0 .973 < 1 .. i =1. H i = Cos to anual de mantener una unidad del pr oducto i en inventari o.. La c ompañía tiene dos bodegas de almac enamiento con c apacidad para 800 y 420 estibas r espectiv amente. De igual forma cuenta con un prov eedor que pres ta el s ervicio de almac enamiento en frío, el cual cobra de acuerdo al número de pos iciones que tenga la empr esa almac enadas en su bodega. El costo por una estiba de produc to almacenada en el pr oveedor durante un mes es de: $ 119.880. Sin embar go de acuer do con los lineamentos de la gerencia de la cadena de abastec imiento solo s e per mite un máximo de 150 es tibas en el almacén externo. Dado que el pr oduc to se almac ena en tres bodegas difer entes, el c osto de mantener una unidad de producto en el inventar io es un promedio ponderado entre los tres centros. Tabla 5. Costo mens ual de almac enamiento por almac én Costo d e al macenamien to AL MAC EN 1 AL M AC EN 2 Energía mes 13,683,810 7,184,000 Transporte estiba 0 7,280,000 Costo diario x Estiba prov eedor 0 0 Nomina mes 41,515,740 3,389,040 Vigilancia 0 2,980,000 Capacidad cuarto 800 420 % De producto almacenado 58.4% 30.6% Costo mes x Estiba 68,999 49,602. 23. PR OVEED OR 0 18,200 3,996 0 0 150 10.94% 138,080.

(24) II.07( 10)142 Con los porcentajes de produc to almacenado en cada almac én se calc ula un promedio ponderado c on los costos en las tr es bodegas. Y se multiplica por 12 para obtener el costo anual de almacenamiento de una estiba.. Tabla 6. Cos to anual de almac enamiento pr omedio por Estiba Costo mes x Estiba Costo anual x Estiba. 70,616 847,398. De igual for ma hay que tener en c uenta que las unidades por estiba var ían de acuer do al v olumen de c ada pr oducto. A contin uación hay una tabla donde se espec if ica las unidades por estiba para cada r efer enc ia.. Tabla 7. Numer o de unidades por estiba par a c ada r efer encia Producto (i). Pr oducto cilíndr ico Pr oducto a base de agua 1 Pr oducto a base de agua 2 Pr oducto a base de leche 1 Pr oducto a base de leche 2 Pr oducto a base de leche 3 Pr oducto a base de leche 4 Pr oducto a base de leche 5 Pr oducto a base de leche 6 Pr oducto c on har ina 1 Pr oducto c on har ina 2. Und/Estiba 12,480 6,000 9,000 5,544 5,544 5,544 5,544 12,012 12,012 10,200 8,500. Con esta infor mac ión se calc ulo el de la siguiente for ma: Hi =. Costo _ anual _ almacenamiento _ x _ Estiba unidaes _ estiba i. Tabla 8. V alor de almac enamiento de una unidad anual Producto (i). Pr oducto cilíndr ico Pr oducto a base de agua 1 Pr oducto a base de agua 2 Pr oducto a base de leche 1 Pr oducto a base de leche 2 Pr oducto a base de leche 3 Pr oducto a base de leche 4 Pr oducto a base de leche 5 Pr oducto a base de leche 6 Producto c on har ina 1 Producto c on har ina 2 24. Hi 67.90 141.23 94.16 152.85 152.85 152.85 152.85 70.55 70.55 83.08 99.69.

(25) II.07( 10)142. S ij = Tiempo de preparaci ón de Set up. Teniendo en c uanta los tiempos de alistamiento mec ánico y lavado del equipo, se c ons truy o la matriz de tiempos en hor as par a el cambio de la referencia i a la referencia j. Tabla 9. Tiempo de set up entre las r eferencias Referencia j Referencia i Pr oducto cilíndr ico Pr oducto a base de agua 1 Pr oducto a base de agua 2 Pr oducto a base de leche 1 Pr oducto a base de leche 2 Pr oducto a base de leche 3 Pr oducto a base de leche 4 Pr oducto a base de leche 5 Pr oducto a base de leche 6 Pr oducto con harina 1 Pr oducto con harina 2. 1. 2 4. 3 4 1. 4 4 2 2. 5 4 2 2 1. 6 4 2 2 2. 6 6 6. 1 3. 3. 6 6 6 6 6 6 6. 3 3 3 3 3 6 6. 3 2 2 3 2 2 3 1 2 2 3 0,5 2 2 3 2 0,5 2 6 6 6 6 6 6 6 6. 7 8 4 4 2 2 2 2 2 0,5 2 1 2 2 6 6. 2 2 2 2 6 6. 9 4 2 2 2. 10 8 8 8 8. 11 8 8 8 8. 0,5 2 2 2. 8 8 8 8 8. 8 8 8 8 8 2. 6 6. 2. Con bas e a esta matr iz de tiempos se soluciona la primer a etapa del pr oblema para hallar la secuenc ia óptima de producción f. a i = Costo de set up.. De acuer do a la infor mac ión reportada por el ár ea de c ostos de la compañía, el costo de Set up par a c ada pr oducto se calcula de la siguiente for ma: a i = Costo de las unidades no pr oduc idas dur ante el Set up + mano de obra. requerida en la configuración de la máquina. Este valor ser á estimado cuando se tenga la secuencia de pr oducción óptima o vector f .. Metodología Actual En la ac tualidad el área de planeac ió n industrial de la organiz ación, realiz a un progr ama de producc ió n c ada miérc oles c on un hor izonte de 30 días. Es. 25.

(26) II.07( 10)142 revis ado c ada oc ho días con el fin de hacer c ambios al pr ogr ama c omo cons ecuenc ia de v ar iaciones en la demanda.. El proceso par a r ealizar el programa de pr oducción c onsta de las siguientes etapas: 1. Revis ión de los días de inventar ios de las onc e r efer encias. 2. Elaborac ión de tres pronósticos (s uav iz ación exponencial, método de Winters y promedio ar itmético). con base al histórico de v entas y. faltantes de los últimos tres meses. Cabe aclar ar que le empresa de productos c ongelados tiene unos pic os de venta los días jueves y viernes, por ende el pronostico de venta s e cons truye tomando los días de la s emana por s epar ado. De igual forma la planilla de planeac ión toma el pronóstico que haya dado la mayor v enta. Esto con el fin de asegurar el abas tec imiento y tener un stoc k de s eguridad en los inventarios. 3. Teniendo en c uenta las c apacidades de pr oducc ión y la dis ponibilidad de materia prima y empaque se pr ogr ama la producc ión. 4. Se tiene en cuenta alguna activ idad especial para. progr amar. producciones adicionales: actividades de rec urs os humanos , progr ama de mantenimiento del equipo, inv entar ios f ísic os.. Como cons ecuencia de esta labor surge el progr ama de producc ión de la máquina, pero al rev isar la pr ogramación de los últimos tr es mes es no se encuentra un patrón claro en los tiempos de durac ión par a cada lote de producción. Sin embargo s e r espeta un patr ón sobre el orden en que deben progr amars e las r eferenc ias entre familias de pr oductos, el patrón sigue el siguiente or den: •. Pr oductos a base de agua. •. Pr oductos a base de leche: r espetando las pigmentaciones de cada referencia donde se pasa del produc to con ingredientes más claros a los oscur os.. •. Pr oductos a base de harina.. •. Pr oducto cilíndr ico.. 26.

(27) II.07( 10)142 La media de dur ación de los bac hes de producción de cada referencia se cons igna en la siguiente tabla: Tabla 10. Secuenc ia de pr oducc ión planta de produc tos congelados Producto (i). Pr oducto cilíndr ico Pr oducto a base de agua 1 Pr oducto a base de agua 2 Pr oducto a base de leche 1 Pr oducto a base de leche 2 Pr oducto a base de leche 3 Pr oducto a base de leche 4 Pr oducto a base de leche 5 Pr oducto a base de leche 6 Producto c on har ina 1 Producto c on har ina 2. t (dias) 3.5 4.3 0.3 1 3 1.5 1 0,5 0,5 4 8. Al sumar los tiempos de pr oducción c on los de set up da c omo res ultado un tiempo de ciclo de 27 días a los cuales se vuelve a repetir el ciclo. Sin embargo los pr oductos a base de lec he 5 y 6 por s u baja r otación en el merc ado se progr aman cada 60 o 90 días , dependiendo si dentr o de las activ idades de estimulación de la demanda se inc luyen estas referenc ias. Con estos tiempos y sec uencia de producción se c alcula el costo de almac enamiento y de setup par a realizar un estimativo de los gastos anuales en los que incurr e la empres a con el actual modelo de planeación de inventarios. 11 1 c(T ) = ( t t Ht + ∑ a i ) / T = (11'242.729 + 32'648.375) / 0.0589 = $745'128.046 2 i= 1. El 25.6% de los gastos anuales de este equipo son gener ados por el numero de unidades almac enadas en los cuartos fríos. El r estante 74.4% se debe a los cambios de referencia que debe soportar el equipo, 11 en total, a lo largo de los 30 días hábiles de pr oducción. Estos cambios no solo cas tigan la eficiencia de la máquina al r ealizar menos unidades por tur no, sino que ex pone a las piezas de tecnología de punta, a la manipulación recurr ente de los operarios de mantenimiento donde se corre un mayor riesgo de r uptur a en un engranaje para el nor mal funcionamiento del r ec urso. Sumado a que este equipo al tener. 27.

(28) II.07( 10)142 una tec nología s ofisticada es ta elaborado para r ealizar c orridas lar gas de alr ededor de una s emana.. Consecuencias Las cons ecuencias de pr ogramar el r ecurs o bajo este esquema de inventar ios son: •. Altos costos de alistamiento.. •. Fatiga mec ánic a de algunas piezas por frec uente manipulac ión de los oper arios.. •. Perdida de tiempo efectiv o de producción y mano de obr a.. •. Sub utilizac ión de la c apacidad tec nológic a de la máquina.. Finalmente es un error pr ogr amar la planta c on base a los his tór ic os de ventas de los últimos tr es meses. Porque estos no predicen con exactit ud el s iguiente mes de ventas que puede estar afectado por alguna es tacionalidad del año. Siendo este el cas o de los pr oductos congelados donde hay un aumento de ventas par a los meses de ju nio y dic iembr e en las refer encias .. Gr afico 3. Demanda mens ual de un producto a base de agua 800.000 UN 700.000 UN 600.000 UN 500.000 UN 400.000 UN 300.000 UN 200.000 UN 100.000 UN 0 UN. D i ci em. br e. 20 Fe 05 br er o 20 06 Ab ri l 20 06 Ju ni o 20 06 Ag os to 20 O 06 ct ub re 20 06. Producto a base de Agua. Gr afico 4. Demanda mens ual de los productos a base de leche 28.

(29) II.07( 10)142. Gr afico 5. Demanda mensual del producto c ilíndr ico. Esta estacionalidad de los productos se explica por el v erano que sufre el país durante estos meses, donde s e incr ementa la v enta de los pr oduc tos congelados por s atisfacer la necesidad de r efrescanc ia de los c onsumidor es. Por ende s ería un error proyec tar las ventas de los mes es de venta pico s obre los histór icos de los últimos datos r egistrados .. 29.

(30) II.07( 10)142. SOLUCIÓN. Propuesta de solución. En pr oc ura de una s oluc ión par a el gr ave pr oblema hasta ahora descrito, en este doc umento s e pretende aplic ar el método de planeación propuesto por Zipkin (1989). que per mita planificar la producción buscando dis minuir los. gastos en los que le empres a de pr oduc tos congelados incurr e por faltantes o exces o de inventarios. Esta sección desarrollar á el método basado en valores pasados de la demanda, que s ervir á como apoyo para la toma de las decis iones de producc ión.. Metodología de la solución. Zipkin ( 1989) div ide el problema en dos etapas, la primera de es tas es un problema de optimiz ación c ombinator ia que c ons iste en hallar la sec uencia óptima de pr oducc ión o v ector f . La segunda es un pr oblema de optimizac ión con variables continuas que busca hallar los tiempos y la frec uencia de producción de las r efer encias.. Et apa 1 Para res olv er la pr imera etapa s upondr emos que a lo largo de la secuencia de producción no se repite ninguna r eferencia, como c onsecuenc ia a los altos costos de set up en relación a los costos de almacenamiento de un turno de producción. Bajo este panor ama el problema de optimizac ión es similar al del agente v iajero TSP (Trav eli ng Sales man pr oblem).. El TS P c ons iste en un vendedor el cual debe vis itar n c lientes antes de r etor nar a su punto de salida. El tiempo que le toma ir del cliente i al j es C ij y se busc a encontr ar el orden en el cual debe realiz ar las v isitas de manera que le tome el menor tiempo pos ible. La adaptación de este. 30. pr oblema par a la.

(31) II.07( 10)142 situac ión pr oblemátic a enunc iada en este doc umento, s e logra r edefiniendo los nodos ya no como c lientes sino c omo las onc e referenc ias a producir en el equipo y el agente viajer o es la máquina de producción. De esta for ma se garantiza que la máquina pr ograme las once r efer enc ias y enc uentr e la secuencia que minimice los tiempos de set up. En el gr áfic o seis se enc uentra el gr afo par a este pr oblema donde los nodos s on las referencias y los arcos son los tiempos de set up registrados en la tabla 9. Gr afico 6. Gr afo problema agente v iajer o.. El objetivo de minimiz ar los tiempos de set up del la máquina genera c omo cons ecuenc ia el aumento de la productividad del equipo. Sumado que al haber menor inactividad del rec urso, los intervalos de tie mpo entre las pr oducciones de deter minada refer enc ia van a s er menor es impactando el numero de unidades neces arias para mantener en inventar io.. Las restricc iones de este problema de programac ión combinatoria son: •. Cada nodo debe s er v isitado y abandonado solo una vez.. •. No se pueden for mar c iclos entr e c ualquier s ubc onjunto de nodos.. El planteamiento al pr oblema se muestr a a continuación:. 31.

(32) II.07( 10)142 11 11. min ∑ ∑ S ij x ij i= 1 j =1. 11. s.a. ∑x i= 1. ij. 11. ∑x j= 1. ij. =1. ∀j ∈ S. (1). =1. ∀i ∈ S. (2). ∀S ⊆ {2 ,..., NR} :. ∑x. (i, j)∈ S. ⎧1 x ij ⎨ ⎩0. i,j. ≤ S −1. (3). si se programa la referencia j despues de i de lo contrario. Las r estricc iones uno y dos garantizan que cada bac he tenga un único predeces or y suc esor. Sin embargo estas dos no gar antiz an solucionar el problema porque exis te la probabilidad de gener arse s ub c iclos dentr o el gr afo. En efecto, c uando s e r elaja esta r estr icción y s e r es uelv e el pr oblema en la herr amienta de pr ogr amación lineal ( X-pr ess) el r esultado de la optimizac ión arroja s ub c iclos los c uales no son una res puesta factible al problema. Grafico 7. Res ultado problema r elajada TSP. La s alida de la herramienta de pr ogramación se muestr a a continuac ión, no sobr a ac larar que se penalizo con valores altos la diagonal de la matriz de tiempos (tabla 9) con el fin de evitar que el progr ama diera como optimo quedars e pr oduciendo una misma refer encia.. 32.

(33) II.07( 10)142 Minimizar tiempo de set up máquina Status : Solv ed to optimality Tiem po de cambio de referencia: 19 x(1,6) =1 x(2,3) =1 x(4,8) =1 x(5,9) =1 x(7,1) =1 x(8,4) =1 x(10,11) =1 x(11,10) =1. x(3,2) =1 x(6,7) =1 x(9,5) =1. Para lograr que el modelo genere un solo cic lo pasando por todas las referenc ias se agr ega al problema la r estr icción (3) la c ual analiz a c ada subc onjunto del grafo. Si una solución contiene un subcic lo dentro de un conjunto de nodos S, la suma de los xij de 1 hasta S tiene el mis mo v alor al número de nodos del s ubconjunto. Per o la res tricc ión ( 3) genera un número exponencial de conjuntos 2 N − 1 = 2 10 =1024, donde N es el númer o de nodos del grafo, que no puede ser r esuelto por el s oftw are de pr ogr amación lineal debido a la complejidad c omputacional mencionada anterior mente.. Por lo anterior es nec es ario usar otra r estr icc ión cr eando una var iable real y j , la cual evita la for mación de sub c iclos dentro del algor itmo.. El numer o de. restr icciones c on esta modificación es igual a N( N-1) = 11 x 10 = 110, siendo este un problema de tamaño razonable par a programar en el softw are Xpress. ∀j ∈ referencias : y j ≥ 0 ∀i ∈ referencia s, ∀j = 2,..., NR, i ≠ j : y j ≥ yi + 1 − NR (1 − xi, j ). Al adicionar estas dos restr icciones y realizar la for mulación del problema en el softw are de optimiz ac ión se obtiene el siguiente r esultado: Minimizar tiempo de set up máquina Status : Solv ed to optimality. Tiem po de cambio de referencia: 28 x(1,3) =1 x(2,6) =1 x(4,8) =1 x(5,9) =1 x(7,4) =1 x(8,5) =1 x(10,11) =1 x(11,1)=1. x(3,2) =1 x(6,7) =1 x(9,10)=1. La r espuesta hallada v a en línea c on r ealizar los pr oduc tos teniendo en cuenta la familia a la que per tenecen. Por ende la s ecuencia óptima inicia progr amando el producto cilíndrico (C) , continúa con los productos a bas e de. 33.

(34) II.07( 10)142 agua (A), luego los s eis productos a base de lec he y finalmente los dos a base de harina. Con esta soluc ión hallamos el vector f el c ual es la base para la s egunda etapa del proble ma, el cual muestr a la sec uenc ia de producción de las referenc ias .. fj. 1. 3. 2. 6. 7. 4. 8. 5. 9. 10 11. Con esta secuenc ia de pr oducc ión s e c alcula los tie mpos de alistamiento pr evio a cada una de las producciones de la s ecuenc ia . Si 6 4 1 2 1 1 0,5 2. 0,5. 8. 2. Finalmente con es ta información se c alcula los c ostos de s et up para esta secuencia de pr oducc ión confor me a las horas en que la máquina se enc uentra en alistamiento par a la elabor ac ión de las referencias a i : 7.141.500 2.388.750 1.871.625 5.040.000 1.796.000 1.388.000 470.000 2.984.000 684.000 7.440.000 1.444.500. Grafico 8. Solución problema agente viajer o par a s ec uenc ia óptima de producción. Como era de esperarse el costo de s et up más alto se pr esenta al pasar de la referenc ia nuev e a la diez, donde pasa de la familia de produc tos a bas e de leche a los pr oductos c on har ina, c omo c onsec uencia al c ambio de configuración que debe r ealiz ar la máquina para poder r ealizar los pr oduc tos de. 34.

(35) II.07( 10)142 la última familia. Finalmente los gastos de set up par a la máquina al r ealizar esta s ecuencia de producción es de $32’648.375 COP.. Et apa 2 El objetiv o de la segunda parte del pr oblema es hallar el tiempo de cic lo y la durac ión del bache de producción par a las onc e r eferenc ias , partiendo de la secuencia encontr ada en la pr imera etapa. Sin embargo a diferencia de la primera fas e, Zipkin (1989) destac a que la natur alez a c uadrática del pr oblema dificulta la obtenc ión de una solución por los métodos tradic ionales de optimización. Surge entonces la neces idad de fijar la var iable tiempo de c iclo ( T ).. La v ariable tiempo de cic lo tiene una cota inferior para gar antizar la factibilidad del pr oblema. To =. s 1− ρ. Donde s es la suma de los tiempos de set up de la sec uencia f y ρ =. 11. ∑ρ. i. , el. i =1. T 0 es igual a 0.1183 años corr espondientes a 43 días . Lo anter ior sugier e que al. menos c ada c uar enta y tres días s e r epite la secuenc ia de pr oducc ión. Luego se define el c onjunto de v alor es pos ibles par a , la c ota s uper ior para esta variable se calc ula con el númer o máx imo de estibas as ignado par a la máquina en el cuarto fr ío. El número per mitido es de 350 posiciones almacenando una parte en el proveedor de externo. Sin embar go el v alor máximo deducido para esta var iable es de 75 días por que c on esta frecuenc ia genera un inventar io promedio de 360 estibas que supera al máx imo permitido por la gerencia de cadena de abastec imiento y evita tomar espacios de almac enamiento asignados a las demás máquinas de la c ompañía. Por ende los “br eakpoints” suger idos por Zipkin (1989) par a r ealiz ar son el conju nto de númer os impares que v an del 43 a 75 días . Porque r es puestas con tiempos de cic los may or es a 75 días sobr epasa las capacidades de almac enamiento de la organiz ación.. La solución óptima encontr ada por el algor itmo dis eñado de Zipkin (1989) al iterar entre el c onjunto de tiempos de c iclo se ilustra a c ontinuación: 35.

(36) II.07( 10)142. Tabla 11. Tiempos de producc ión etapa 2 algoritmo de Zipkin Pr oducto cilíndr ico Pr oducto a base de agua 2 Pr oducto a base de agua 1 Pr oducto a base de leche 3 Pr oducto a base de leche 4 Pr oducto a base de leche 1 Pr oducto a base de leche 5 Pr oducto a base de leche 2 Pr oducto a base de leche 6 Producto c on har ina 1 Producto c on har ina 2 T ópitm o. t (año) t (días) 0,0188682 6,89 0,0020722 0,76 0,0332624 12,14 0,0096172 3,51 0,007117 2,60 0,0038516 1,41 0,0003092 0,11 0,0210592 7,69 0,0003092 0,11 0,0209758 7,66 0,0611624 22,32 0,184272 67,26. El res ultado sugiere un tiempo de c iclo de nueve s emanas, donde el costo por almac enamiento aumento en su par tic ipac ión, paso de un 25 % a un 66.4%, en relac ión a la pr imera opción. Por otra par te, con esta solución s e r ealizan un menor numero de cambios de refer encia y se opta por tener un mayor nivel de inventarios, no solo por mantener los estándar es de servicio a los clientes de la empr es a, s ino por que los c ostos de almacenamiento s on mas bajos a los de alistamiento del equipo.. El valor de los cos tos totales bajo este panor ama se mues tra a continuac ión 11 1 c(T ) = ( t t Ht + ∑ a i ) / T = (64 '794.309 + 32'648.375) / 0 .18427 = $528'803.842 2 i= 1. Con la implementación de estos tiempos de producc ión y tiempos de s et up la ' .046 a compañía pas o de tener unos c ostos de abastecimiento de $ 745128. $528’803.842 gener ando un ahorro de $ 216’324.204 anuales en valores absolutos y del del 40.9% en valores porc entuales.. 36.

(37) II.07( 10)142. RESULTADOS. Simulación. Para medir la efectividad de la solución se implementó una simulac ión ( mediante una macr o de Vis ual Basic en Micr osoft Excel), que per mite compar ar el desempeño de la propuesta descr ita has ta este punto contr a las polític as de inv entar ios actuales de la compañía frente al histór ico de ventas de es as r eferencias para el primer s emestr e del presente año.. Con la implementación de esta simulación s e tendrá en cuenta los costos de almac enamiento, s et up del r ecurs o y de faltante de unidades, en c aso de que el nivel de inv entario se enc uentr e por debajo de cer o, c on el fin de prec isar exac tamente los costos y la viabilidad de la solución enc ontr ada al realiz ar la heur ístic a de Zipkin ( 1989).. Para enc ontrar un valor par a el costo de faltante, se deter mina que és te s erá igual a lo que la empr esa deja de ganar por la v enta, es to en otr as palabras es el pr ecio de venta del pr oducto. Tabla 12: Prec io de producto por r eferenc ia. Referencia Producto Cilindric o Pr oducto a base de agua 1 Pr oducto a base de agua 2 Pr oducto a base de leche 1 Pr oducto a base de leche 2 Pr oducto a base de leche 3 Pr oducto a base de leche 4 Pr oducto a base de leche 5 Pr oducto a base de leche 6 Pr oducto a base de harina 1 Pr oducto a base de harina 2. 37. $ COP 476 395 350 912 995 850 875 515 515 410 625.

(38) II.07( 10)142. Con el fin de realiz ar la simulac ión en un escenar io real de la alternativa propues ta por Zipkin (1987) c ompar ándola c on la metodolo gía actual de progr amación de la máquina. Ambas políticas son s ometidas al histórico de ventas del último año con el fin de cuantificar los exc esos o faltantes de inventario. No sobr a aclarar que s e toman en c uenta los costos generados a partir de super ado el primer c iclo de pr oducción ( T) para que los inventar ios iniciales no influyan en el valor de la propuesta, por ende par a los esc enar ios actuales y el hallado en este doc umento s e empiez an a cuantificar los c ostos a partir del día 27 y 67 respectivamente.. Escenario propuesta de Zipkin Bajo es te panorama se gener o un valor por conc epto de faltantes igual a 115’466.953 distr ibuidos pr incipalmente entre tr es produc tos : pr oducto a base de harina 1 (66 %), producto a bas e de agua 2 (30 %) y producto a bas e de harina (4 %).. Al s uger ir un tiempo de cic lo de nueve semanas para la planeac ió n de la producción, implic a tener un may or nivel de inv entario de las r eferenc ias generando que 90 de los 245 días simulados ( 36%) s obrepasen el númer o de estibas de 350 per mitidas. Este fenómeno se pr esenta en los meses princ ipalmente en el mes de Septiembr e donde las v entas de pr oducto son bajas. Por ende la organiz ac ión no tiene el espac io ni la logística para adminis trar esta cantidad de producto, sumado a que aumenta dr amátic amente los días de inventario afectando el capital de tr abajo de la empres a. Los productos que mas estibas generan s on el pr oducto a base de agua 1 con un promedio de 103 y el producto a base de leche 2 con un promedio de 59. Para poder implementar esta solución la organiz ación nec esita ampliar su bodega de almacenamiento ha 100 posiciones adicionales par a esta máquina. De igual for ma puede reduc ir el tiempo de pr oducción par a los pr oductos a base de agua 1 y el producto a base de leche 2 par a aumentar los tiempos de. 38.

(39) II.07( 10)142 producción de los pr oductos a bas e de harina 1 y a bas e de agua 2 que están generando faltantes.. Escenario metodología actual Para esta metodología el tiempo de cic lo de cada r eferenc ia es de 27 días, hay que anotar que dado los bac hes c ortos que realiza el rec urs o en esta política se satisface la res tricc ión del número de estibas as ignadas a esta máquina en el cuarto fr ío, las cuales no s obr epasan a las 350 posiciones en ninguna época del año. En c uanto al produc to faltante, en esta polític a se incr ementa el valor del número de faltantes en relación al primer escenario, los faltantes s on igual a 345’730.264 generados en un 44% por el pr oducto a bas e de agua 1 (44%), producto a bas e de harina ( 41%) y el produc to c ilíndric o( 11%). Las principales caus as de estos faltantes se debe a los cortos tiempos de producc ión.. A diferencia del anter ior escenario en este caso los produc tos no tienen exc eso en estibas de almacenamiento para un promedio de 283. Por ende es pr obable incrementar las producciones de los pr oductos c on mayor es faltantes, sin embargo esto afecta el tiempo de cic lo de las demás r efer enc ias pudiendo generar pos iblemente mas agotados.. Por otro lado es ta cif ra de faltantes obtenida por la simulac ión no se asemeja al valor real de faltantes pr esentado por la c ompañía en el último año para es tas referenc ias , el cual fue de 64’354.600. Esto ev idencia la no exis tencia de un patrón de tiempos de pr oducción par a cada una de las refer encias, dado que cada ocho días se realiz a la pr ogr amación de la máquina evitando así generar faltantes al detec tar c ambios dr ásticos en la demanda aleatoria de los productos. Por ende esta aproximación a los tiempos de pr oducción no logra ser la mas adecuada, como consecuencia de los constantes cambios a los que es s ometido el programa de producción.. 39.

(40) II.07( 10)142. CONCLUSIONES,. R ECOMENDACIONES. Y. ESTUDIOS. POSTERIOR ES La c onclus ión fundamental de este trabajo es que la c ompañía de pr oduc tos congelados no tenía la infraestructura par a recibir un equipo de alta tec nología. En c ons ecuenc ia s e encuentra sub utilizada las capac idades del recurs o al no realizar c orr idas largas de producc ión debido a la ausenc ia de espac io en el cuar to frío.. Los pr oblemas de es pac io e ineficiencia de la máquina los produce princ ipalmente la r eferencia 11 (Pr oducto a bas e de har ina 2) el c ual tiene la tasa de demanda mas alta c on la tasa de pr oducción mas baja. Gener ando un tiempo de c iclo para este pr oducto de oc ho y veintitrés días en las alter nativas estudiadas gener ando que las demás refer enc ias aumenten el nivel de inventarios dado lo durader o del tiempo de c ic lo. Una rec omendac ión par a la organización es revis ar mecanismos par a aumentar la productividad de la máquina, o dado el éx ito en ventas del producto en los primer os meses contemplar la adquisic ión de un nuev o equipo para r ealiz ar productos a base de harina.. Al s ometer ambas metodologías de pr oducc ión a la simulación c on los histór icos de venta se gener an faltantes tres y siete vec es más para la soluc ión de la apr ox imación a la metodología actual y Zipkin. Este dato refleja que la aprox imación hec ha par a la programac ión actual no es del todo pr ecis a por que esta maneja un nivel inferior de faltantes. Por otr o lado aunque existe una secuencia óptima de producc ión en la actualidad (igual res ultado se obtuvo por Zipkin). Los tiempos de pr oducc ión de las referencias es variable y responde a cambios inesperados de la demanda.. Aunque la s olución al pr oblema ELSP realizada con la metodología propuesta por Zipkin ( 1989) brinda una mejor s oluc ión por $ 216’324.204 CO P anuales, Esta solución es dif ícil de implementar en la realidad por que:. 40.

(41) II.07( 10)142 •. Se r equiere alr ededor de 100 posic iones adic ionales para almac enar el producto en la r ed de frío.. •. No. hay. velocidad. de. reacción. ante. cambios. súbitos. en. el. comportamiento de la demanda. Siendo este un punto critico por que las referenc ias elaboradas en la planta de productos congelados s on de cons umo masiv o y por ende responden a una demanda estoc ástica. De ahí que al momento de r ealiz ar la s imulación los faltantes de pr oducto se hayan incr ementado en un 50% en r elación al niv el de faltantes que sostiene la compañía actualmente.. Con el fin de gener ar valor a la compañía el r esult ado de la s imulación género una hoja de cálculo en Excel, la cual facilita la pr ogramación del equipo, no s olo teniendo en cuenta la demanda de las onc e refer enc ias (c omo s e hace actualmente), sino inc luyendo el v alor del faltante y la r estr icc ión de almac enamiento. Por su fácil implementación esta hoja es el modelo para transponer a los demás recursos de la empres a.. Se recomienda a la organiz ac ión en lo pos ible buscar otr a metodología para reduc ir los cos tos de cambios de r eferencia. Para esto el ár ea de planeac ión industrial debe realiz ar pr onósticos teniendo en cuenta el comportamiento del mes a proy ectar, en los años inmediatamente anter iores . A difer encia de la metodología de tr abajo actual donde el pr onostic o de ventas sur ge del histór ico en los últimos tr es meses . Lo anterior con el fin de tener en cuenta las estacionalidades que se pr es entan a lo lar go del año y en especial la temporada de los meses de Junio y Dic iembr e.. La implementación de un hor izonte a mediano plazo de la producción es fundamental para gener ar el menor número de traumatis mos en los pr oc esos que se desprenden de planear la. producción (compras , pr oducc ión,. almac enamiento y transporte). Por ende se rec omienda implementar, con ayuda de la herr amienta de infor mación de la c ompañía, un horizonte a mediano plazo par a brindar un panorama a las demás áreas y des arr ollar mejor utiliz ación de los r ecursos. 41.

(42) II.07( 10)142 Como es tudios posterior es se puede analiz ar la factibilidad de inv ertir en la ampliac ión del almacén de productos c ongelados de la compañía c on el fin de aumentar la capacidad de almac enamiento. Por otr a parte dado que las demandas estocásticas, supues to no tenido en c uenta en es te doc umento, juegan un papel tr ascendental en la deter minac ión de los lotes de pr oducc ión, se sugiere realizar el mismo estudio aplicando el modelo SELSP Stochastic Ec onomic Lot Scheduling Problem. Finalmente s e sugier e a la compañía realizar un es tudio para pr onos ticar la demanda teniendo en cuenta las estacionalidades de los fines de semana y en las épocas de v erano del año.. 42.

(43) II.07( 10)142. BIBLIOGRAFÍA A CERO, M. 2003. Nota Editorial. A dministr ación de la c adena de s uministros. La Repúblic a. 3. BAZA RAA, M., JA RV IS, J., SHERALI, H. 1990. Progr amación lineal y flujo en redes, Gr upo Noriega Editor es, Méx ico. DEPARTAMENTO A DMINISTRATIVO NACIONAL DE ESTA DISTICA . 2007. Colombia, principales agregados macr oeconómic os pr ecios corr ientes a 1994. Recuper ado el 11 de May o de 2007 de http://www.dane.gov.co/files/ investigaciones/pib/anuales/c uadros_publicac ion/Ctas_Consolidadas-yResultados _Gr les _1994-2005/ctas_nles_agr egados _macr oecon_prec ios _ corrientes_1994-05.xls DOBSO N, G. 1987. The economical Lot-Scheduling Pr oblem: Achiev ing feasibil ity us ing Time-v ary ing Lot Siz es. Oper ations Researc h, Vol. 35 (5), 764 – 771. GUERET, C., PRINS, C., SEVA UX, M. 2000. Applic ations of optimization w ith Xpress- MP, Editions Enrolles , Paris , Fr ance. Pag 133 KHO UJA, M. MICHALEWICZ, Z. WILMOT, M. 1998. The us e of genetic algorithms to s olve the ec onomic lot siz e sc heduling pr oblem. Eur opean Jour nal of operational r esearc h, V ol 110, 509-524. NAHMIA S, S. 1999. Anális is de la producción y las oper ac iones, Compañía Editor ial Continental, México. W INA NDS, E., ADAN, I.,VAN HOUTUM, G. 2005. The Stoc hastic Ec onomic Lot Sc heduling Problem: A Surv ey. International Journal of Production Economics, vol 88, 231 – 242. ZIPKIN, P. 1989. Computin g optimal lot s iz es in the economic lot scheduling problem. Operations Res earch, Vol 39, 1. 56 – 63.. 43.

(44) II.07( 10)142. ANEXOS. Anexo 1: Código de programación problema de agente viajero (Traveling Salesman Problem) en Xpress. model orden de pr oducción uses "mmx prs" forw ard function getPr oblemStatus(status:integer):string !Declaración de par ámetros y variables del pr oblema declarations NR = 11 Refer encias = 1..NR Tcam bio: array (refer encias, referencias) of integer x: arr ay(refer encias, refer encias) of mpv ar y: arr ay(refer encias) of mpvar !V ariables que exc luyen s ubtours end- dec larations !Estas son l as asignaci ones de los par ámetros Tc ambio:= [99, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4,. 8, 8,. 6, 99, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,. 8, 8,. 6,. 1, 99, 2, 2, 2, 2, 2, 2,. 8, 8,. 6,. 3, 3, 99, 1, 2, 2, 0.5, 2, 8, 8,. 6,. 3, 3, 2, 99, 2, 2,. 2,0.5, 8, 8,. 6,. 3, 3, 2, 2, 99, 1,. 2, 2, 8, 8,. 6,. 3, 3, 1, 2, 2, 99,. 2, 2, 8, 8,. 6,. 3, 3,0.5, 2, 2, 2, 99, 2, 8, 8,. 6,. 3, 3, 2,0.5, 2, 2,. 2, 99, 8, 8,. 6,. 6, 6, 6, 6, 6, 6,. 6, 6, 99, 2,. 6,. 6, 6, 6, 6, 6, 6,. 6, 6, 2, 99]. !O bjetivo: minimizar la duraci ón de l os c ambios de refer encia tiempoc iclo:= sum( i,j in r eferenc ias |i<>j)Tcambio( i,j) *x(i,j) !Restricciones par a un suc es or y un predeces or forall( i in referencias) s um(j in refer encias|i<>j)x(i,j) = 1 forall( j in referencias) s um(i in refer encias|i<>j)x(i,j) = 1. 44.

(45) II.07( 10)142. !Excl uir los s ubciclos forall( i in referencias, j in 2..NR | i<>j)y( j) >= y(i) + 1 - NR*(1-x( i,j)) forall( i,j in refer encias | i<>j)x( i,j) is_binary minimize( tiempocic lo) !Definición de la funci ón Status function getProblemStatus(status: integer): str ing case status of XPRS_O PT: retur ned:="Solv ed to optimality." XPRS_UNF: retur ned:="Unfinished." XPRS_INF: r eturned:="Infeas ible." XPRS_UNB: retur ned:="Unbounded." els e r etur ned:= "Unknow n Status ." end-c ase end-functio n !G eneraci ón del Reporte w riteln("Minimizar tiempo de set up máquina") w riteln("Status. : ", getPr oblemStatus( getprobstat)). w riteln("Productividad en la empres a: ", getsol(pr oduc tiv idad)) forall( i in trabajador, j in máquina) w riteln(" x(",i," ,",j,") = ", getsol(x( i,j))); end- model. 45.

(46) II.07( 10)142. Anexo 2: Matrices algoritmo de Zipkin (1985). Producto j. b jk 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. Pr oducto k 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. Matriz P 0,103 0 0 0 0 0 0 0 0 0,011 0 0 0 0 0 0 0 0 0,181 0 0 0 0 0 0 0 0 0,052 0 0 0 0 0 0 0 0 0,002 0 0 0 0 0 0 0 0 0,021 0 0 0 0 0 0 0 0 0,115 0 0 0 0 0 0 0 0 0,039 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0,002 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,114 0 0 0,333. Matriz A 0,103 0,1028 0,103 0,103 0,10279 0,103 0,103 0,103 0,10279 0,103 0,011 0,011 0,011 0,011 0,01129 0,011 0,011 0,011 0,01129 0,011 0,181 0,1812 0,181 0,181 0,18121 0,181 0,181 0,181 0,18121 0,181 0,052 0,0524 0,052 0,052 0,05239 0,052 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,021 0,021 0,021 0,021 0,021 0,021 0,115 0,1147 0,115 0,115 0,11473 0,115 0,039 0,0388 0,039 0,039 0,03877 0,039. 0,052 0,002 0,021 0,115 0,039. 0,1 0,01 0,18. 0,052 0,05239 0,052 0,05 0,002 0,002 0,002 0,002 0,021 0,021 0,021 0,021 0,115 0,11473 0,115 0,11 0,039 0,03877 0,039 0,04. 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 0,114 0,1143 0,114 0,114 0,11427 0,114 0,114 0,114 0,11427 0,114 0,11 0,333 0,3332 0,333 0,333 0,3332 0,333 0,333 0,333 0,3332 0,333 0,333. 46.

(47) II.07( 10)142. Matriz H (en millones de COP) 12. 546. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 218.20 2. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 16. 886. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 66. 648. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1.0 07. 82 8. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 171 .93 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 28. 434. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 91. 356. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1.0 07. 82 8. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 15. 146. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 47. 0 2.1 12.

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