Ecuación de difusión fraccional en espacio-tiempo

(1)

Departamento de Matem´

aticas

Facultad de Ciencias

Universidad de los Andes

Ecuaci´

on de difusi´

on fraccional

en espacio-tiempo

Tesis de pregrado

Mateo Dulce Rubio

Director: Alexander Sasha Getmanenko

Jurado: Alexander Cardona

(2)

(3)

Contenido

1 Introducci´on 4

2 Preliminares 5

2.1 Transformaciones integrales . . . 5

Transformada de Laplace . . . 5

Transformada de Fourier . . . 10

Transformada de Mellin . . . 10

2.2 Funciones especiales . . . 13

Funci´on Gamma . . . 13

Funci´on Beta . . . 15

Funci´on de Mittag-Leffler . . . 15

2.3 Distribuciones estables . . . 16

3 Cálculo fraccional 19 4 Ecuación de difusión fraccional 33 4.1 Solución a la ecuación de difusión de orden fracciónal . . . 33

4.2 Casos particulares de difusi´on fraccional . . . 45

Difusi´on cl´asica . . . 45

Difusi´on fraccional espacial . . . 45

Difusi´on fraccional temporal . . . 47

Difusi´on fraccional neutral . . . 48

4.3 Rango de interpretación de la solución como función de densidad de probabilidad . . . 49

5 Conclusiones 51

(4)

1 Introducci´

on

Una forma de generalizar la ecuaci´on de difusi´on

∂2

∂x2u(x, t) = ∂

∂tu(x, t), x∈R, t∈R +

es remplazar las derivadas parciales en el espacio y en el tiempo por operadores integro-diferenciales que representen derivadas de orden no entero. De esta manera, se considera la ecuaci´on de difusi´on fraccional en espacio y tiempo

xDαθu(x, t) = C tD

β_u₍_{x, t}₎_{, x}_∈

R, t∈R+,

conα,β yθpar´ametros reales restringidos por 0< α≤2,|θ| ≤min{α,2−α}, y 0< β≤2. En la anterior ecuaci´onxDθαes el derivada fraccional en el espacio

de Riesz-Feller de orden α y asimetr´ıa θ, y CtDβ es la derivada fraccional en

tiempo de Caputo de ordenβ.

El presente trabajo inicia con unas nociones preliminares pertinentes para el entendimiento del mismo. Posteriormente, continúa con una revisión del cálculo fraccional como una herramienta para extender la noción de derivada y de muchos otros conceptos del cálculo, a órdenes no enteros. Se presentan los operadores más importantes de derivación fraccional junto con sus principales propiedades, y ventajas y desventajas en su aplicación a las ecuaciones diferen-ciales.

Acto seguido, se resuelve el problema de difusión fraccional con las condi-ciones iniciales u(x,0+_{) =} _δ₍_x_{) (la funci´}_{on delta de Dirac) y} _u₍_±∞_{, t}_{) = 0,} dando una solución en términos de una integral gracias a la transformada de Mellin. Luego, se estudia e interpreta la solución de casos particulares como la difusión clásica {α = 2, β = 1}, la difusión fracional espacial {0 < α < 2, β = 1}, la difusión fraccional temporal {α = 2, 0 < β < 2}, y la difusión fraccional neutral {0 < α = β < 2}. Finalmente, se estudia en qué rangos de los parámetros se puede seguir interpretando la solución, como una ley de probabilidad espacial que evoluciona en el tiempo concluyendo que estos sucede para los rangos{0< α≤2} ∩ {0< β≤1} y{0< β≤α≤2}.

(5)

2 Preliminares

En este capitulo se definen algunos conceptos necesarios para la comprensi´on de este trabajo, como las transformaciones integrales, algunas funciones especiales, y las distribuciones de probabilidad estables y estrictamente estables.

2.1 Transformaciones integrales

En primer lugar, se introduce la noción y la notación de las transformadas in-tegrales más importantes, a saber, la transforamda de Laplace, la transformada de Fourier, y la transformada de Mellin. Se calcula la transformada de algunas funciones en particular, y se prueban sus relaciones y propiedades usadas más adelante. Se sigue principalmente a V. V. Uchaikin y V. M. Zolotarev [9], y a F. Mainardi, G. Pagnini, y R. Gorenflo [6].

Las transformaciones integrales son aplicaciones que asocian a una función dada, otra función por medio de la integración. Son una de las herramientas más usadas y más poderosas del análisis, puesto que si se escoge de manera ade-cuada el dominio de la función transformada, la solución de ciertos problemas resulta más sencilla que en el dominio de la función original.

De manera general, una transformación integral es un operador T que le asigna a una funciónf(x) definida en un dominioDla funciónF(z) definida en cierto dominioI, a través de

F(z) =T(f)(z) =

Z

D

K(z, x)f(x)dx, z∈I. (2.1) La funci´on de dos variables K(z, x), se conoce como el kernel de la transfor-maci´on, y dependiendo de este, as´ı como de los dominios de salidaDy de llegada I, se determinan las propiedades y la utilidad de la misma.

A su vez se quisiera recuperar una función a partir de su función transfor-mada, es decir que existiera un operador inverso a la transformación T−1 _tal que dada F(z) definida enI

f(x) =T−1(F)(x), x∈D. (2.2) Dado que la integral es un operador lineal, las transformaciones integrales tambi´en lo son. As´ı, dadas funciones transformablesf(x) yg(x) definidas sobre un dominioD, y constantesayb,

T(af+bg)(z) =

Z

D

K(z, x)[af(x) +bg(x)]dx

=a

Z

D

K(z, x)f(x)dx+b

Z

D

K(z, x)g(x)dx

=aT(f(x)) +bT(g(x)).

(6)

Transformada de Laplace

Una de las transformaciones integrales m´as conocidas es la transformada de Laplace - denotada porL-, usada para la resoluci´on de ecuaciones diferenciales ordinarias, y definida por

e

f(s) =L{f(x);s}=

Z ∞

0

e−sxf(x)dx, (2.4)

para una funcionf(x) sobre la semi-recta realx >0. La transformadafe(s) est´a

definida paras∈Ctal que la integral impropia converge.

Si fe(s) es una funci´on dada por (2.4), definida ens∈_Ctales que1 <s > σ,

para alg´unσfijo su transformada inversa -L−1_{- se define como}

f(x) =L−1_{

e

f(s);x}= 1 2πi

Z σ+i∞

σ−i∞

esxfe(s)ds. (2.5)

Una propiedad importante de la transformada de Laplace es su propiedad de escalamiento

L{f(cx);s}=

Z ∞

0

e−sxf(cx)dx,

y=cx dy=c dx

=

Z ∞

0

e−s(y/c)f(c)1 c dy

= 1 c

Z ∞

0

e−(s/c)yf(y)dy= 1

cL{f(x);s/c}, c >0.

(2.6)

A continuación se presenta la transformada de Laplace de algunas funciones importantes que se usarán más adelante en el trabajo. Se recuerda la definición de convolución entre dos funcionesf yg:

(f∗g)(x) =

Z x

0

f(t)g(x−t)dt. (2.7)

Proposici´on 1

L{xn;s}=n!s−(n+1), <s >0. (2.8)

L{f(n)(x);s}=snfe(s)−

n−1

X

k=0

sn−k−1f(k)(0+), f(k)(0+) = lim

x→0+f

(k)₍_x₎_, _(2.9)

L{(f ∗g)(x);s}=fe(s)_eg(s). (2.10)

1_{Todo n´}_{umero complejo}_z_∈

Cse puede escribir comoz=a+ib, conila unidad imaginaria,

i2₌_{−1, y}_{a, b}_∈

R. As´ı,<z=acorresponde a la parte real dez, mientras=z=bse refiere la parte imaginaria.

(7)

Prueba La prueba de las dos primeras transformadas es por inducci´on enn:

1. Caso base,n= 1:

L{x;s}=

Z ∞

0

e−stt dt

integrando por partes

  

u=t ⇒ du=dt

dv=e−st dt ⇒ v=−e

−st s , = −te −st s ∞ 0 − Z ∞ 0 −e −st s dt = lim

t→∞−

t sest −

−0e

−s0 s +1 s Z ∞ 0

e−st dt

= lim

t→∞−

1 s2_est +

1 s −e −st s ∞ 0

, por regla de l’Hˆopital (asumiendo <s >0),

= 0 + 1 s

lim

t→∞−

e−st

s −

−e

−s0 s

= 1 s

0 + 1 s

=s−2, <s >0.

Paso inductivo, se supone la f´ormula cierta parany se prueba para n+ 1:

L{xn+1;s}=

Z ∞

0

e−sttn+1 dt

  

u=tn+1 _⇒ _du_{= (}_n_{+ 1)}_tn _dt

dv=e−st _dt _⇒ _v₌₋e

−st s , = −t n+1_e−st

s ∞ 0 − Z ∞ 0 −e

−st₍_n_{+ 1)}_tn

s dt

=

lim

t→∞−

tn+1 sest −

−0

n+1_e−s0 s

+n+ 1 s

Z ∞

0

e−sttn dt

= lim

t→∞−

(n+ 1)tn s2_est +

n+ 1 s L{x

n_;_s_}_, _{por regla de l’Hˆ}_{opital (}_<_{s >}₀₎_,

= lim

t→∞−

(n+ 1)! s(n+1)_est +

n+ 1 s L{x

n_;_s

}, por regla de l’Hˆopitaln-veces,

= 0 +n+ 1 s n!s

−n_, _{por la hip´}_{otesis de inducci´}_{on (H.I.)}

= (n+ 1)!s−n−1= (n+ 1)!s−(n+1), <s >0, como se deseaba mostrar. 2.Caso base,n= 1:

(8)

L{f0(x);s}=

Z ∞

0

e−stf0(t)dt

u=e−st ⇒ du=−se−st dt dv=f0₍_t₎_dt _⇒ _v₌_f₍_t₎ ,

=

e−stf(t)∞

0 −

Z ∞

0

−se−stf(t)dt

=hlim

t→∞e

−st_f₍_t₎₋_lim t→0e

−st_f₍_t₎i₊_s

Z ∞

0

e−stf(t)dt

= 0−f(0+) +sL{f(x);s}

=sfe(s)−f(0+).

Paso inductivo, se asume la f´ormula se cumple parany se prueba paran+1:

L{f(n+1)(x);s}=

Z ∞

0

e−stf(n+1)(t)dt

u=e−st _⇒ _du₌₋_se−st _dt

dv=f(n+1)(t)dt ⇒ v=f(n)(t) , =he−stf(n)(t)

i∞

0

−

Z ∞

0

−se−stf(n)(t)dt

=hlim

t→∞e

−st_f(n)₍_t₎₋_lim

t→0e

−st_f(n)₍_t₎i₊_s

Z ∞

0

e−stf(n)(t)dt

= 0−f(n)(0+) +sL{f(n)(x);s}

=−f(n)(0+) +s

"

snfe(s)−

n−1

X

k=0

sn−k−1f(k)(0+)

#

, por H.I.

=sn+1fe(s)−

n−1

X

k=0

sn+1−k−1f(k)(0+)−s0f(n)(0+)

=sn+1fe(s)−

n

X

k=0

(9)

3. Se prueba de manera directa con la definici´on de convoluci´on:

L{(f∗g)(x);s}=

Z ∞

0

e−st(f∗g)(t)dt

=

Z ∞

0 e−st

Z t

0

f(τ)g(t−τ)dτ

dt

=

Z ∞

0

Z t

0

e−st+sτ−sτf(τ)g(t−τ)dτ dt

=

Z ∞

0

Z ∞

τ

e−st+sτe−sτf(τ)g(t−τ)dtdτ

=

Z ∞

0

e−sτf(τ)

Z ∞

τ

e−s(t−τ)g(t−τ)dt

dτ,

se hace el cambio de variable

z=t−τ dz=dt ,

=

Z ∞

0

e−sτf(τ)

Z ∞

0

e−szg(z)dz

dτ

=

Z ∞

0

e−sτf(τ)dτ

Z ∞

0

e−szg(z)dz

=L{f(x);s}L{g(x);s}=fe(s)_eg(s).

El cambio en el orden de integración (del tercer al cuarto renglón) es válido dado que el área de integración es un triángulo (en el plano t−τ) acotado por 0≤t≤ ∞, y 0≤τ ≤t, el cual se puede describir de manera equivalente por 0≤τ≤ ∞, yτ ≤t≤ ∞, tal como se puede ver en la siguiente gráfica:

t τ

τ=t t= 0

τ= 0

0≤t≤ ∞

0≤τ ≤t ⇐⇒

τ≤t≤ ∞

0≤τ≤ ∞.

La transformada de Laplace de una derivada muestra el poder de esta trans-formaci´on integral, pues con esta se puede cambiar un problema que involucra

(10)

ecuaciones diferenciales en uno con ecuaciones agebraicas.

De manera an´aloga se define la transformada de Laplace bilateral -B- para una funci´onf(x) definida en los reales, por

B{f(x);s}=

Z ∞ −∞

e−sxf(x)dx, (2.11)

s∈Cpara los que la integral imporpia converja.

Transformada de Fourier

Dada una funciónf(x) definida en los reales, la transformada de Fourier -F -le asocia la función transformadafb(k) a través de

b

f(k) =F {f(x);k}=

Z ∞ −∞

eikxf(x)dx, (2.12)

parak∈Rtal que la integral impropia converge.

Para este caso, la transformada de Fourier inversa de una funci´onfb(k) est´a

dada por

f(x) =F−1₌ 1 2π

Z ∞ −∞

e−ikxfb(k)dk. (2.13)

La transformada de Fourier tambi´en cuenta con una propiedad de escalamiento

F {f(cx);k}=

Z ∞ −∞

eikxf(cx)dx,

y=cx dy=c dx

=

Z ∞ −∞

eik(y/c)f(y)1 c dy

= 1 c

Z ∞ −∞

ei(k/c)yf(y)dy=1

cF {f(x);k/c}, c >0.

(2.14)

La transformada de Fourier es usada para resolver ecuaciones diferenciales par-ciales, as´ı como en la teor´ıa de la probabilidad para definir la función caracter-istica de una variable aleatoria real para la cual existe una función de densidad. De este modo, dada una variable aleatoria real X, su función caracter´ıstica es definida por

ΦX(u) =E[eiuX], (2.15)

que en el caso de que exista la funci´on de densidad p(x) de la variable aleatoria X, es simplemente

ΦX(u) =E[eiuX] =

Z ∞ −∞

eiuxp(x)dx=p_b(u). (2.16)

(11)

Transformada de Mellin

Para una funci´onf(x), x∈R+, se define su transformada de Mellin -M- como

f∗(s) =M{f(x);s}=

Z ∞

0

xs−1f(x)dx, (2.17)

paras∈Ctal que dicha integral impropia es convergente. Esta regi´on de

con-vergencia en la que está definida la transformada de Mellin es una cinta en el plano complejo dado pors∈_Ctales que−∞ ≤γ1<<s < γ2≤ ∞. Los valores de γ1 y γ2 dependen del comportamiento asintótico (x → 0+, x → ∞) de la función a transformarf(x) [6].

La transformada de Mellin tambi´en puede ser definida por su relaci´on con las transformadas mencionadas anteriormente, puesto que

M{f(x);s}=

Z ∞

0

xs−1f(x)dx, x=e−t→dx= (−e−t)dt

=

Z −∞ ∞

[e−t](s−1)f(e−t)(−e−t)dt=−

Z −∞ ∞

e−ts+te−tf(e−t)dt

=

Z ∞ −∞

e−tsf(e−t)dt=B{f(e−t);s}.

(2.18)

De manera an´aloga podemos establecer que

B{f(t);s}=M{f(−ln(x));s}. (2.19)

De estas relaciones se puede deducir la transformada de Mellin inversa para una funci´onf∗(s), γ1< γ=<s < γ2

f(x) =M−1{f∗(s);x}= 1 2πi

Z γ+i∞

γ−i∞

x−sf∗(s)ds. (2.20)

A continuaci´on se listan las propiedades m´as importantes de la transformada de Mellin:

1. M{xaf(x);s}=

Z ∞

0

xs−1xaf(x)dx=

Z ∞

0

xs+a−1f(x)dx

=M{f(x);s+a}, a∈C.

(2.21)

2. M{f(xb);s}=

Z ∞

0

xs−1f(xb)dx,

y=xb

dy=bxb−1_dx

=

Z ∗ ∗

[y1/b]s−1f(y) 1

by(b−1)/b dy=

1 b

Z ∗ ∗

ys/b−1/b

y1−1/b f(y)dy

= 1 b

Z ∗ ∗

(12)

Los l´ımites de integraci´on dependen de sib >0 ob <0. Sib >0, en el cambio de variable

y→0 cuandox→0 y,y→ ∞cuando x→ ∞, as´ı

M{f(xb);s}=1 b

Z ∞

0

ys/b−1f(y)dy= 1

b M{f(x);s/b}, b >0. Sib <0, en el cambio de variable

y→ ∞cuando x→0 y,y→0 cuandox→ ∞, as´ı, parab <0

M{f(xb);s}= 1 b

Z 0 ∞

ys/b−1f(y)dy=−1

b

Z ∞

0

ys/b−1f(y)dy=−1

b M{f(x);s/b}. Lo anterior se resume en

M{f(xb);s}= 1

|b| M{f(x);s/b}, b∈R\ {0}. (2.22)

3. M{f(cx);s}=

Z ∞

0

xs−1f(cx)dx,

y=cx dy=c dx

=

Z ∞

0

y

c

s−1

f(y)1 c dy=

1 cs−1_c

Z ∞

0

ys−1f(y)dy

=c−sM{f(x);s}, c∈R+.

(2.23)

De las cuales podemos concluir que

M{xaf(cxb), s}= 1

|b|c

−(s+a)/b_M

f(x),s+a b

. (2.24)

Finalmente, tenemos la f´ormula de convoluci´on de Mellin

h(x) =f(x)∗Mg(x) =

Z ∞ 0 f _x ξ

g(ξ) dξ

ξ , (2.25)

llamada as´ı dado que la transformada de Mellin de la convoluci´on de dos fun-ciones, es el producto de las respectivas transformadas:

M{h(x), s}=

Z ∞

0

xs−1h(x)dx=

Z ∞

0 xs−1

Z ∞ 0 f _x ξ

g(ξ) dξ ξ dx = Z ∞ 0 g(ξ)

Z ∞ 0 f _x ξ

xs−11 ξ dx

dξ, por teorema de Fubini,

=

Z ∞

0 g(ξ)

Z ∞

0

f(u)(uξ)s−1du

dξ, con

uξ=x duξ=dx,

=

Z ∞

0

g(ξ)ξs−1 dξ

Z ∞

0

f(u)us−1du

=M{g(x), s} M{f(x), s}.

(13)

Una de las aplicaciones m´as importantes de la transformada de Mellin es para hallar la densidad de probablidad del producto de dos variables aleatorias reales independientes [6]. De esta manera, dadasX1yX2 dos variables aleato-rias independientes con funciones de densidad de probabilidadp1(x1) yp2(x2) respectivamente (x1 ∈ R y x2 ∈ R+ = (0,∞)), tiene probabilidad conjunta,

dada su independencia

p∗(x1, x2) =p1(x1)p2(x2). (2.27)

Denotando por X la variable aleatoria resultante del producto deX1 con X2, es decirx=x1x2, y haciendo el cambio de variable

x1=x/τ x2=τ,

obtenemos

e

p∗(x, τ)dxdτ=p1(x/τ)p2(τ)J dxdτ, (2.28)

conJ el jacobiano del cambio de variable anterior,

J =

∂x1 ∂x

∂x1 ∂τ

∂x2 ∂x

∂x2 ∂τ

=

1

τ −

x τ2

0 1

= 1

τ. (2.29)

Uniendo las expresiones anteriores (2.28) y (2.29), e integrando respecto a dτ, se obtiene finalmente la funci´on de densidad de probabilidad de la variable aleatoriaX:

pX(x) =

Z

R+

p1

x

τ

p2(x) dτ

τ , x∈R, (2.30)

la cual corresponde a la convoluci´on de Mellin de las densidades de probabilidad deX1 yX2,

pX(x) =p1(x1)∗Mp2(x2). (2.31)

2.2 Funciones especiales

El objetivo de esta sección es introducir ciertas funciones que aparecen a lo largo de este trabajo, y que resultan muy útiles para su comprensión. Se define la función Gamma, la función Beta, y la función de Mittag-Leffler, junto con sus propiedades básicas y utilidad. Se sigue principalmente a I. Podlubny [7].

Funci´on Gamma

La función Gamma Γ(z) es una de las funciones que más aparece en el cálculo fraccional y surge como una generalización de la noción de factoria. Está definida por la integral

Γ(z) =

Z ∞

0

(14)

Por ejemplo,

Γ(1) =

Z ∞

0

e−xx1−1 dx=

Z ∞

0

e−xdx=−e−x ∞

0

= lim

t→∞−e

−t₋₍₋_e−0_{) = 1}_.

Proposici´on 2

Γ(z+ 1) =zΓ(z). (2.33)

Prueba

Γ(z+ 1) =

Z ∞

0

e−xx(z+1)−1dx=

Z ∞

0

e−xxz dx,

u=xz _⇒ _du₌_zxz−1 _dx dv=e−x_dx _⇒ _v₌₋_e−x ,

=−e−xxz

∞

0 −

Z ∞

0

−e−xzxx−1dx= 0 +z

Z ∞

0

e−xxz−1 dx

=zΓ(z).

−e−xxz

∞

0 = limt→∞−e −x

xz−lim

s→0−e

−x

xz.

El primer l´ımite tiende a cero dado que el términoe−xdomina al otro, ye−x→0 cuando x→ ∞. Para que el segundo término tienda a cero, z debe ser mayor que 0. Imponiendo esta restricción, la prposición es cierta.

Esta propiedad junto con Γ(1) = 1, evidencian que Γ extiende la noci´on de factorial puesto que paran∈_N,

Γ(n+ 1) =nΓ(n) =n(n−1)Γ(n−2) =...=n(n−1)...(2)(1)Γ(1) =n!. (2.34) As´ı, aunque inicialmente Γ solo est´a definida para losz∈Ctales que<z >1,

esta se puede extender a todo el plano complejo (y consigo a la noción de factorial) excepto en los enteros negativos. A continuación se enuncian otras propiedades de la función Γ, cuyas pruebas se pueden encontrar en [7, Ch. 1.1].

Proposici´on 3 La funci´on Gamma tiene polos simples en los enteros no nega-tivos, lo que implica

Γ(z)→ ∞, cuando z→ −n, n= 0,1,2,3, ... (2.35) Proposición 4 Fórmula de reflexión

Γ(z)Γ(1−z) = π

sin(πz). (2.36)

Un ejemplo de uso de la funci´on Γ es para generalizar la transformada de Laplace de una potencia (2.8)

(15)

la cual solo tiene sentido sin∈Npuesfactorial solo est´a definido para enteros

no negativos. Sin embargo, usando que n! = Γ(n+ 1), se puede reescribir la f´ormula anterior como

L{xn;s}= Γ(n+ 1)s−(n+1),

la cual tiene sentido para todos los números complejos excepto los enteros nega-tivos y 0. De este modo, se generaliza la fórmula de la transformada de Laplace de una potencia paraα∈R,α >−1 para asegurar la convergencia de la integral. L{xα;s}= Γ(α+ 1)s−(α+1), α >−1, <s >0. (2.37) Otra aplicación es que la función Gamma es que justamente es la transfor-mada de Mellin de la exponencial negativa:

M{e−x;s}=

Z ∞

0

xs−1e−x dx= Γ(s). (2.38)

Con esto se puede hallar a su vez la transformada de Mellin de las funciones trigonom´etricas:

M{sin(x);s}= Γ(s)sin(πs/2), (2.39)

M{cos(x);s}= Γ(s)cos(πs/2). (2.40)

Funci´on Beta

La funci´on Beta se define por la integral

B(x, y) =

Z 1

0

ξx−1(1−ξ)y−1 dξ, <x,<y >0, (2.41) y est´a estrechamente ligada con la funci´on Gamma.

Proposici´on 5

B(x, y) = Γ(x)Γ(y)

Γ(x+y). (2.42)

Prueba

Γ(x)Γ(y) =

Z ∞

0

e−uux−1 du

Z ∞

0

e−vvy−1dv

=

Z ∞

0

Z ∞

0

e−u−vux−1vy−1 dudv

u=zw v=z(1−w)

|J(z, w)|=z ,

=

Z ∞

0

Z 1

0

e−z(zw)x−1(z(1−w))y−1z dwdz

=

Z ∞

0

e−zzx+y−1dz

Z 1

0

wx−1(1−w)y−1dy

(16)

Funci´on de Mittag-Leffler

La función de Mittag-Leffler también juega un rol muy imporante en las ecua-ciones diferenciles de orden fraccional, y surge como una generalización de la función exponencial, la cual se puede representar como una serie de potencias de la forma

ex=

∞ X

n=0 xn

n! =

∞ X

n=0 xn

Γ(n+ 1).

De esta manera, se define la funci´on de Mittag-Leffler de orden α≥0 como

Eα(z) =

∞ X

n=0 zn

Γ(αn+ 1), z∈C. (2.43)

Por ejemplo,

E1(z) =

∞ X

n=0 zn

Γ(n+ 1) =e

z_,

E0(z) =

∞ X

n=0

zn= 1

1−z, |z|<1,

E2(z2) =

∞ X

n=0

(z2₎n

Γ(2n+ 1) =

∞ X

n=0 z2n

(2n)! =cosh(z).

La funci´on de Mittag-Leffler admite una representaci´on integral (gracias al teorema de los residuos de Cauchy) de la forma [5]

Eα(z) =

1 2πi

Z

L−∞

Γ(s)Γ(1−s) Γ(1−βs) (−z)

−s_ds, _(2.44)

en la que el área de integración es un lazo que rodea todos los polos s = 0,−1,−2, ...del integrando en dirección positiva.

Esta representaci´on es un tipo de transformada de Mellin (inversa), y com-parandoEα(−z) con (2.20) se concluye que

M{Eα(−z);s}=

Γ(s)Γ(1−s)

Γ(1−βs , z >0, 0< α≤2, 0<<s <1. (2.45)

2.3 Distribuciones estables

A continuaci´on se define una distribuci´on estable y estrictamente estable, y se enuncian algunas de sus propiedades siguiendo principalmente a V.V. Uchaikin y V.M. Zolotarev [9], quienes hacen un estudio muy detallado de dichas dis-tribuciones.

(17)

Una distribuci´on de probabilidad se llama estable si para una variable aleato-riaY que siga dicha distribuci´on se cumple que para cadan∈N,

n

X

i=1 Yi

d

=an+bnY, (2.46)

para algunas constantes bn > 0 y an, con {Yi}i∈N una sucesión de variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas con la misma distribución que Y. Aqu´ı = denota que ambas variables aleatorias tienen la misma dis-d tribución.

Asimismo, una distribuci´on se llama estrictamente estable si la propiedad anterior se cumple conan= 0 para todon.

Un ejemplo de una distribuci´on (estrictamente) estable es la distribuci´on normal

N(µ, σ2) = √ 1

2πσ2exp

−(x−µ)

2

2σ2

, (2.47)

pues se tiene que si{Xi}i∈N es una sucesi´on de variables aleatorias independi-entes e identicamente distribuidas comoN(µ, σ2_),

n

X

i=1 Xi

d

=√nX, X ∼ N(µ, σ2). (2.48)

Se puede probar quebn=n1/α, con 0< α≤2. Abn se le llama coeficiente

de escalamiento y aαel exponente caracter´ıstico o ´ındice de estabilidad de la distribución estable. En el ejemplo anterior se tiene α= 2, y se puede mostrar que la distribución normal es la única distribución estable con varianza finita.

Más aún se puede mostrar que si X es una variable aleatoria con una dis-tribución estrictmente estable Lθ

α con ´ındice de estabilidad α y coeficiente de

asimetr´ıaθ(|θ|<min{α,2−α}), su funci´on caracter´ıstica (dada por su trans-formada de Fourier (2.12)) es ([3], [5]):

ΦX(k) =EeikX=Lcθ_α(k) = exp(−|k|αei(signk)θπ/2). (2.49)

Proposici´on 6 Sea X una variable aleatoria con ditribuci´on normal, mediaµ y varianzaσ2 (2.47). Entonces

ΦX(k) = exp

ikµ−k

2_σ2

2

(18)

Prueba

ΦX(k) =E

eikX

=

Z ∞ −∞

eikx√ 1

2πσ2exp

−(x−µ)

2

2σ2

dx

= √ 1

2πσ2

Z ∞ −∞

eikxexp

−(x−µ)

2

2σ2

dx,

se hace el cambio de variable

y=x−µ dy=dx ,

= √ 1

2πσ2

Z ∞ −∞

eik(y+µ)exp

− y

2

2σ2

dy

= √ 1

2πσ2

Z ∞ −∞

eikyeikµexp

− y

2

2σ2

dy

= √ 1

2πσ2e

ikµ

Z ∞ −∞

exp

iky− y

2

2σ2

dy

= √ 1

2πσ2e

ikµ

Z ∞ −∞

exp

₋₍_y₋_ikσ2₎2_{+ (}_ikσ2₎2 2σ2

dy

= √ 1

2πσ2e

ikµ_e−k₂2σ2

Z ∞ −∞

exp

−(y−ikσ

2₎2 2σ2

dy,       

z= y−ikσ 2

√

2σ2 dz=√1

2σ2dy ,

= √ 1

2πσ2exp

ikµ−k

2_σ2

2

Z ∞

−∞

exp −z2

√

2σ2_dz

= √ 1

2πσ2exp

ikµ−k

2_σ2

2

√

2σ2√_π

= exp

ikµ−k

2_σ2

2

.

Se usa el resultado conocido que

Z ∞ −∞

exp −z2

dz=√π, cuya prueba puede

encontrarse, por ejemplo, en [8, Ch. 3.2].

Una distribuci´on estable se dice extremal si su coeficiente de asimetr´ıa toma alguno de los valores extremales, i.e. θ = ±min{α,2−α}. Se puede probar que todas las funciones de densidad de probabilidad estables y extremales con 0< α <1 son unilaterales, cuyo soporte es_R+ _si _θ₌₋_α_{, y}

R− siθ =α. Es

preferible caracterizar a las distribuciones estables unilaterales con soporte_R+ por su transformada de Laplace (espacial):

g

L−αα(s) :=

Z ∞

0

(19)

3 C´

alculo fraccional

En este capitulo se motiva y se establece la definición de la integral fraccional en el sentido de Riemann-Liouville, y de la derivada fraccional en el sentido de Riemann-Liouville, de Caputo, y de Riesz-Feller, presentando sus relaciones y sus propiedades básicas. Se siguen especialmente a R. Gorenflo y F. Mainardi [4], I. Podlubny [7], y a S. G. Samko, A. A. Kilbas y O. I. Marichev, et al. [8], haciendo los cálculos correspondientes de manera detallada.

Desde la aparición del cálculo con Isaac Newton y Gottfried Leibniz en el siglo XVII, se ha buscado la manera de extender la noción de derivada - y de muchos otros conceptos del cálculo - para cualquier orden, y no exclusivamente para enteros no negativos.

Con esto en mente, se han definido varios operadores que asocian una función con su α-ésima integral o derivada, para α cualquier número real positivo, o incluso complejo. La aproximación de Bernhard Riemann y Joseph Liouville se basa en la fórmula de integración de Cauchy, la cual reduce la integración repetida n-veces de una función (denotada porJn_{) a una sola integral [4].}

Proposici´on 7 Sea2 _f _∈_Lp₍₍_{a, b}_{)) con} _{−∞ ≤}_{a < b}_{≤ ∞}_{, 1}_≤_p_{≤ ∞}_,_n_∈ N,

ya < x < b

Jnf(x) :=

Z x

a

Z x1

a

...

Z xn−1

a

f(xn)dxndxn−1...dx1= 1 (n−1)!

Z x

a

f(t)(x−t)n−1dt. (3.1)

Prueba Se prueba por inducci´on enn.

Caso base,n= 1: J1_f₍_x_{) =}

Z x

a

f(t)dt= 1 (1−1)!

Z x

a

f(t)(x−t)1−1dt, con la convenci´on que 0! = 1.

Paso inductivo, supongamos que la f´ormula es cierta parany probemos que se cumple paran+ 1:

Jn+1f(x) =J(Jnf(x)) =

Z x

a

₁

(n−1)!

Z x1

a

f(t)(x1−t)n−1 dt

dx1

= 1

(n−1)!

Z x

a

Z x1

a

f(t)(x1−t)n−1 dtdx1

= 1

(n−1)!

Z x

a

Z x

t

f(t)(x1−t)n−1 dx1dt

= 1

(n−1)!

Z x

a

f(t)

Z x

t

(x1−t)n−1 dx1

dt

2_{El espacio} _Lp₍₍_{a, b}₎₎_, ₀ _≤ _{p <} _∞ _{se define como aquellas funciones} _f _{tal que} Rb

a|f(x)|

p _{dx <} _{∞. Para el caso} _p ₌ _{∞, se define como aquellas funciones tales que su}

(20)

= 1 (n−1)!

Z x

a

f(t)1

n(x1−t)

n

x t

dt

= 1

n(n−1)!

Z x

a

f(t)[(x−t)n−(t−t)n]dt

= 1 n!

Z x

a

f(t)(x−t)n dt= 1 ((n+ 1)−1)!

Z x

a

f(t)(x−t)(n+1)−1 dt.

El cambio en el orden de integración (del segundo al tercer renglón) es válido dado que el área de integración es un triángulo (en el planot−x1) acotado por las rectast=a, t=x1, x1=ayx1=x. Este área se puede escribir de manera equivalente como aquella acotada por las rectasx1=t, x1=x, t=ayt=x, como se puede ver en la figura abajo, en la que, sin pérdida de generalidad, se suponea >0.

t x1

x1=t

t=a x1=a

x1=x

a≤t≤x1 a≤x1≤x

⇐⇒

a≤t≤x t≤x1≤x.

Gracias a esta fórmula se puede extender el concepto de integral para cualquier orden con la ayuda de la función Gamma (2.32) para generalizar la noción de factorial, (n−1)! = Γ(n). De esta manera, para3 _{α >} _{0 se define la}_integral fraccional de Riemann-Liouvillede orden αparaf ∈Lp₍₍_{a, b}_{)) como}

Jαf(x) = 1 Γ(α)

Z x

a

f(t)(x−t)α−1dt. (3.2)

3_{Se toma}_α _∈

R+ dado que en el presente trabajo solo se usan integralas y derivadas

fraccionales de orden real positivo, pero se habr´ıa podido tomar cualquierα∈_CconRe(α)>0 y definir la integral fraccional de ordenαde manera an´aloga. El casoRe(α) = 0 se debe tratar con m´as cuidado para asegurar la convergencia de la integral. Al lector interesado se refiere a [8, Ch. 2.4].

(21)

Para ilustrar la definici´on anterior, seaf(x) = (x−a)γ, γ >−1 yα >0

Jα(x−a)γ = 1 Γ(α)

Z x

a

(t−a)γ(x−t)α−1 dt,

t=a+ξ(x−a) dt=dξ (x−a) ,

= 1

Γ(α)

Z 1

0

(ξ(x−a))γ((x−a)(1−ξ))α−1 dξ (x−a)

= 1

Γ(α)(x−a)

γ+α−1+1Z 1

0

ξγ(1−ξ)α−1 dξ

= 1

Γ(α)(x−a)

γ+α−1+1

Z 1

0

ξ(γ+1)−1(1−ξ)α−1 dξ

= 1

Γ(α)(x−a)

γ+α

B(γ+ 1, α)

= 1

Γ(α)(x−a)

γ+α Γ(γ+ 1)Γ(α)

Γ(γ+ 1 +α)

= Γ(γ+ 1)

Γ(γ+ 1 +α)(x−a)

γ+α_,

(3.3)

usando la definición y las propiedades de la función Beta (2.41). Usando la propiedad de la función Gamma Γ(n) = (n−1)!, n∈N, se puede verificar que

este resultado coincide con el usual cuandoαes un n´umero entero positivo.

En la definici´on de la integral fraccional se busca que esta extienda la mayor cantidad de propiedades de la integral de orden entero. Una de estas es que paran, m∈_Nse tiene queJn_Jm₌_Jn+m_:

Jn(Jmf(x)) =

Z x

a

...

Z xn−1

a

Jmf(xn)dxn...dx1

=

Z x

a

...

Z xn−1

a

Z xn

a

...

Z xn+m−1

a

f(xn+1)dxn+m−1...dxn+1

dxn...dx1

=

Z x

a

...

Z xn−1

a

Z xn

a

...

Z xn+m−1

a

f(xn+1)dxn+m−1...dxn+1 dxn...dx1

=Jn+mf(x).

(3.4)

Proposici´on 8 La propiedad anterior tambi´en se cumple para cualesquiera α, βreales positvos:

JαJβ =Jα+β, ∀ α >0, β >0. Prueba

Jα(Jβf(x)) = 1 Γ(α)

Z x

a

Jβf(t)(x−t)α−1 dt

= 1

Γ(α)

Z x

a

₁

Γ(β)

Z t

a

f(y)(t−y)β−1 dy

(22)

= 1 Γ(α)Γ(β)

Z x

a

Z t

a

f(y)(t−y)β−1(x−t)α−1 dydt

= 1

Γ(α)Γ(β)

Z x

a

Z x

y

f(y)(t−y)β−1(x−t)α−1 dtdy,

t=y+ξ(x−y) dt=dξ(x−y) ,

= 1

Γ(α)Γ(β)

Z x

a

f(y)

Z 1

0

(ξ(x−y))β−1((x−y)(1−ξ))α−1 dξ(x−y)

dy

= 1

Γ(α)Γ(β)

Z x

a

f(y)(x−y)β−1+α−1+1

Z 1

0

ξβ−1(1−ξ)α−1dξ

dy

= 1

Γ(α)Γ(β)

Z x

a

f(y)(x−y)β+α−1B(β, α)dy

= 1

Γ(α)Γ(β)

Γ(α)Γ(β) Γ(α+β)

Z x

a

f(y)(x−y)β+α−1 dy

= 1

Γ(α+β)

Z x

a

f(y)(x−y)β+α−1 dy

=Jα+βf(x)

usando nuevamente la función Beta (2.42), y el hecho que el área de integración es un triángulo al momento de intercambiar el orden de integración.

t y

y=t

t=a y=a

t=x

a≤y≤t a≤t≤x ⇐⇒

a≤y≤x y≤t≤x.

A la anterior propiedad se le conoce como la propiedad de semigrupo4de los operadores de integraci´on fraccional, de la cual se puede deducir su propiedad conmutativa:

JαJβ=Jα+β =Jβ+α=JβJα. (3.5) Otra propiedad que preserva la integral fraccional es la de ser un operador lineal tal como la integral usual de orden entero no negativo.

4_{Junto con}_J0 ₌_I _{y el hecho que los operadores de integraci´}_{on fraccional son acotados,}

(23)

Proposici´on 9 Dadasf yg∈Lp((a, b)), constantesc1, c2∈Ryα >0:

Jα(c1f(x) +c2g(x)) =c1Jαf(x) +c2Jαg(x). (3.6)

Prueba

Jα(c1f(x) +c2g(x)) = 1 Γ(α)

Z x

a

(c1f(t) +c2g(t))(x−t)α−1 dt

= 1

Γ(α)

Z x

a

(c1f(t)(x−t)α−1+c2g(t)(x−t)α−1)dt

= 1

Γ(α)

Z x

a

c1f(t)(x−t)α−1dt+ 1 Γ(α)

Z x

a

c2g(t)(x−t)α−1 dt

=c1 1 Γ(α)

Z x

a

f(t)(x−t)α−1dt+c2 1 Γ(α)

Z x

a

g(t)(x−t)α−1 dt =c1Jαf(x) +c2Jαg(x).

An´alogamente, para definir la derivada de orden fraccional de una funci´on se busca que este operador preserve las principales propiedades de las derivadas usuales de orden un entero no negativo. DenotandoDn _{el operador que asigna}

a una funci´on con su n-´esima derivada (n∈_N), y por I el operador identidad,

i.e. If(x) =f(x) para cualquier funci´onf, se tiene la siguiente proposici´on.

Proposici´on 10 Para todon∈Ny toda funci´onf absolutamente continua en

(a, b), con nderivadas se cumple que

DnJn=I,

JnDnf(x) =f(x)− n−1

X

k=0

f(k)(a+)(x−a)

k

k! , x > a, f (k)

(a+) = lim

x→a+f (k)

(x).

Prueba La primera de ellas se sigue por el primer teorema fundamental del c´alculo, dado quef ∈Lp₍₍_{a, b}_)).

1.Caso base,n= 1: DJ f(x) = d dx

Z x

a

f(t)dt=f(x).

Paso inductivo, suponiendo queDnJn =I, entonces

Dn+1Jn+1= (DDn)(JnJ) =D(DnJn)J =DIJ =DJ =I, por lo que se cumple paran+ 1.

La segunda propiedad se sigue del segundo teorema fundamental del c´alculo.

2.Caso base,n= 1: J Df(x) =

Z x

a

(24)

Paso inductivo, se supona la f´ormula cierta parany se prueba paran+ 1:

Jn+1Dn+1f(x) = (J Jn)(DnD)f(x) =J(JnDn)Df(x) =J(JnDn)f0(x)

=J f0(x)− n−1

X

k=0

(f0)(k)(a+)(x−a)

k

k!

!

=

Z x

a

f0(t)− n−1

X

k=0

fk+1(a+)(t−a)

k

k!

!

dt, (f0)(k)=fk+1,

=

Z x

a

f0(t)dt−

Z x

a n−1

X

k=0

f(k+1)(a+)(t−a)

k

k! dt

=f(x)−f(a+)− n−1

X

k=0

Z x

a

f(k+1)₍_a+₎ k! (t−a)

k _dt

=f(x)−f(a+)− n−1

X

k=0

f(k+1)(a+) k!

1

k+ 1(t−a)

k+1

x a

=f(x)−f(a+)− n−1

X

k=0

f(k+1)₍_a+₎

(k+ 1)k! [(x−a)

k+1₋₍_a₋_a₎k+1_]

=f(x)−f(a+)− n−1

X

k=0

f(k+1)₍_a+₎ (k+ 1)! (x−a)

k+1

=f(x)−f(a+)− n

X

k=1

f(k)(a+) (k) (x−a)

k+1

=f(x)− n

X

k=0

f(k)(a+) (k) (x−a)

k+1_.

Las anteriores propiedades se resumen en que la derivada usual es unainversa por izquierda de la integral usual, pero no una inversa por derecha. As´ı, con el prop´osito de preservar esta propiedad de la derivada, se introdujo laderivada fraccional de Riemann-Liouvillede ordenα >0 comoDα_:=_Dm_Jm−α_[4],

con m el primer entero no negativo que excede α, i.e. m−1 < α < m. M´as expl´ıcitamente, paraf ∈Lp₍₍_{a, b}₎₎

Dαf(x) :=

        

dm

dxm

₁

Γ(m−α)

Z x

a

f(t)(x−t)m−α−1 dt

, m−1< α < m,

dm

dxmf(x), α=m.

(25)

De su misma definici´on, se puede ver que la derivada fracional de Riemann-Liouville es efectivamente una inversa por izquierda de la integral fracional (3.2):

DαJα=DmJm−αJα=DmJm−α+α=DmJm=I, m−1< α < m, que coincide con la derivada usual cuandoαes un entero no negativo, y que es un operador lineal tal como la derivada usual:

Dα(c1f(x) +c2g(x)) =DmJm−α(c1f(x) +c2g(x)) =Dm(c1Jm−αf(x) +c2Jm−αg(x)) =c1DmJm−αf(x) +c2DmJm−αg(x) =c1Dαf(x) +c2Dαg(x),

paraf yg∈Lp₍₍_{a, b}_)),_c

1, c2∈R,α >0 ymel primer entero no negativo que

excedeα.

Con el objetivo de esclarecer la definici´on anterior, se calcula la derivada fraccional de Riemann-Liouville de ordenα >0, m−1< α < m, de la funci´on f(x) = (x−a)γ, paraγ >−1:

Dα(x−a)γ =DmJm−α(x−a)γ = d

m

dxm

Γ(γ+ 1)

Γ(γ+ 1 +m−α)(x−a)

γ+m−α

= Γ(γ+ 1) Γ(γ+ 1 +m−α)

dm−1

dxm−1(γ+m−α)(x−a)

γ+m−α−1

= Γ(γ+ 1) Γ(γ+ 1 +m−α)

dm−2

dxm−2(γ+m−α)(γ+m−α−1)(x−a)

γ+m−α−2

...

= Γ(γ+ 1) Γ(γ+ 1 +m−α)

m−1

Y

k=0

(γ+m−α−k)

!

xγ+m−α−m

= Γ(γ+ 1) Γ(γ+ 1 +m−α)

Γ(γ+m−α+ 1) Γ(γ−α+ 1) x

γ−α

= Γ(γ+ 1) Γ(γ+ 1−α)x

γ−α_,

usando la propiedad de la funci´on Gamma Γ(z+ 1) =zΓ(z) (2.33).

El caso γ = 0 es de particular interés pues es la derivada de la función constantef(x) = 1, la cual se puede usar para hallar la derivada de cualquier función constante gracias a la linealidad de la derivada fraccional:

Dα(x−a)0=Dα1 = 1 Γ(1−α)x

(26)

Este resultado es problemático puesto que se esperar´ıa que la derivada (de cualquier orden) de una función constante fuera 0, tal como sucede con la derivada de orden entero no negativo, lo cual se puede ver en el resultado ante-rior por los polos de la función Gamma (2.35).

Otra dificultad que presenta la derivada fraccional de Riemann-Liouville es que en el caso en que la funci´onf sea diferencialbe (f0 existe),Dα_f₍_x_{) presenta}

una singularidad ena:

Dαf(x) = d

m

dxm

₁

Γ(m−α)

Z x

a

f(t)(x−t)m−α−1 dt

,

  

u=f(t) ⇒ du=f0(t)dt dv= (x−t)m−α−1 dt ⇒ v=−(x−t)

m−α

m−α ,

= d

m

dxm

₁

Γ(m−α)

−f(t)(x−t) m−α

m−α

x a − Z x a −f

0₍_t₎₍_x₋_t₎m−α

m−α dt

= 1

Γ(m−α)

_dm

dxm

_f₍_a+₎₍_x₋_a₎m−α

m−α +

Z

−xa

f0(t)(x−t)m−α

m−α dt

= 1

Γ(m−α)

dm dxm

f(a+)(x−a)m−α

m−α +

dm dxm

Z x

a

f0(t)(x−t)m−α

m−α dt

= 1

Γ(m−α)

_dm−1 dxm−1

f(a+₎₍_m₋_α₎₍_x₋_a₎m−α−1

m−α +

dm

dxm

Z x

a

f0(t)(x−t)m−α

m−α dt

...

= 1

Γ(m−α)

"

f(a+₎Qm−1

k=0(m−α−k)(x−a)

m−α−m

m−α +

dm

dxm

Z x

a

f0(t)(x−t)m−α

m−α dt

#

= 1

Γ(m−α)

f(a+_)Γ(_m₋_α_{+ 1)(}_x₋_a₎−α

(m−α)Γ(−α+ 1) + 1 Γ(m−α)

dm

dxm

Z x

a

f0(t)(x−t)m−α

m−α dt

= f(a

+₎₍_x₋_a₎−α

Γ(1−α) + 1 Γ(m−α)

dm

dxm

Z x

a

f0(t)(x−t)m−α

m−α dt,

de la cual se puede ver que

Dαf(x)→ ∞ cuando x→a gracias al t´ermino (x−a)−αy queα >0.

Esto supone un problema en el uso de la derivada fraccional de Riemann-Liouville en ecuaciones diferenciales con condiciones de frontera, como la estudi-ada en este trabajo en el cap´ıtulo 4. Esto sucede dado que para poder establecer la solución de este tipo de problemas, es necesario conocer el valor de la función (y de sus derivadas en algún sentido) en el punto iniciala.

(27)

Proposici´on 11 Si f es una funci´on tal que f0, f00, ..., f(m) existen, y adi-cionalmentef(m)∈Lp((a, b)), entonces para 0≤m−1< α < m

Dαf(x) =

m−1

X

k=0

(x−a)k−α

Γ(k−α+ 1)f

(k)₍_a+_{) +} 1 Γ(m−α)

Z x

a

f(m)(t)(x−t)m−α−1 dt.

Prueba Dadoα >0 se probar´a por induccion enm, el primer entero no nega-tivo que excedeα.

Caso base,m= 1: Ya se mostr´o que

Dαf(x) = f(a

+₎₍_x₋_a₎−α

Γ(1−α) + 1 Γ(m−α)

dm

dxm

Z x

a

f0(t)(x−t)m−α

m−α dt,

que param= 1, y aplicando el teorema fundamental del c´alculo resulta en

Dαf(x) = f(a

+₎₍_x₋_a₎−α

Γ(1−α) + 1 Γ(1−α)

d dx

Z x

a

f0(t)(x−t)1−α 1−α dt = f(a

+₎₍_x₋_a₎−α

Γ(1−α) + 1 Γ(1−α)

Z x

a

f0(t)(1−α)(x−t)1−α−1

1−α dt−

f0(x)(x−x)1−α 1−α

= f(a

+₎₍_x₋_a₎−α

Γ(1−α) + 1 Γ(1−α)

Z x

a

f0(t)(x−t)−α dt,

como se deseba mostrar.

Paso inductivo, se supone la f´ormula cierta paramy se prueba param+ 1:

Dαf(x) =Dm+1Jm+1−αf(x) =D(DmJm−α)J f(x)

=D

"m−1

X

k=0

(x−a)k−α

Γ(k−α+ 1)(J f) (k)

(a+) + 1 Γ(m−α)

Z x

a

(J f)(m)(t)(x−t)m−α−1 dt

#

= d dx

"m−1

X

k=0

(x−a)k−α Γ(k−α+ 1)f

(k−1)₍_a+_{) +} 1 Γ(m−α)

Z x

a

f(m−1)(t)(x−t)m−α−1 dt

#

= d dx

m−1

X

k=0

(x−a)k−α

Γ(k−α+ 1)f

(k−1)₍_a+_{) +} d dx

1 Γ(m−α)

Z x

a

f(m−1)(t)(x−t)m−α−1dt

= d dx

m−1

X

k=0

(k−1)₍_a+_{) +} d dx

1 Γ(m−α)

Z x

a

f(m−1)(t)(x−t)m−α−1dt

=

m−1

X

k=1

(k−α)(x−a)k−α−1 Γ(k−α+ 1) f

(k−1)₍_a+_{) +} d dx

1 Γ(m−α)

Z x

a

f(m−1)(t)(x−t)m−α−1 dt

integrando por partes:

  

u=f(m−1)(t) ⇒ du=f(m)(t)dt dv= (x−t)m−α−1 _dt _⇒ _v₌₋(x−t)

m−α

m−α ,

(28)

=

m−1

X

k=1

(k−α)(x−a)k−α−1 Γ(k−α+ 1) f

(k−1)₍_a+_{) +} d dx

1 Γ(m−α)

−f

(m−1)₍_t₎₍_x₋_t₎m−α

m−α

x a − Z x a −f

(m)₍_t₎₍_x₋_t₎m−α

m−α dt

=

m−1

X

k=1

(k−α)(x−a)k−α−1 Γ(k−α+ 1) f

(k−1)₍_a+_{) +} d dx

1 Γ(m−α)

_f(m−1)₍_a+₎₍_x₋_a₎m−α

m−α

+

Z x

a

f(m)₍_t₎₍_x₋_t₎m−α

m−α dt

integrando por partes:

  

u=f(m)₍_t₎ _⇒ _du₌_f(m+1)₍_t₎_dt dv= (x−t)m−αdt ⇒ v=−(x−t)

m−α+1 m−α+ 1

,

=

m−1

X

k=1

(k−α)(x−a)k−α−1 Γ(k−α+ 1) f

(k−1)₍_a+_{) +} d dx

1 Γ(m−α)

f(m−1)(a+)(x−a)m−α m−α

+ d dx

1

Γ(m−α)(m−α)

−f

(m)₍_t₎₍_x₋_t₎m−α+1 m−α+ 1

x a− Z x a −f

(m+1)₍_t₎₍_x₋_t₎m−α+1

m−α+ 1 dt

=

m−1

X

k=1

(k−α)(x−a)k−α−1 (k−α)Γ(k−α+ 1−1)f

(k−1)₍_a+_{) +} 1 Γ(m−α)

f(m−1)(a+)(m−α)(x−a)m−α−1 m−α

+ d dx

1 Γ(m−α+ 1)

f(m)(a+)(x−a)m−α+1

m−α+ 1 +

d dx

1 Γ(m−α+ 1)

Z x

a

f(m+1)(t)(x−t)m−α+1

m−α+ 1 dt

=

m−1

X

k=1

(x−a)k−α−1 Γ(k−α+ 1−1)f

(k−1)₍_a+_{) +}(x−a)m−α−1 Γ(m−α) f

(m−1)₍_a+₎

+f

(m)₍_a+₎₍_m₋_α_{+ 1)(}_x₋_a₎m−α

Γ(m−α+ 1)(m−α+ 1) +

1 Γ(m−α+ 1)

Z x

a

f(m+1)₍_t₎₍_m₋_α_{+ 1)(}_x₋_t₎m−α

m−α+ 1 dt

+ 1

Γ(m−α+ 1)

f(m+1)(x)(x−x)m−α+1 m−α+ 1

=

m−2

X

k=0

(x−a)k−α

Γ(k−α+ 1)f (k)

(a+) +(x−a)

m−α−1 Γ(m−α) f

(m−1)

(a+) + (x−a)

m−α

Γ(m−α+ 1)f (m)

(a+)

+ 1

Γ(m−α+ 1)

Z x

a

f(m+1)(t)(x−t)m−α dt

=

m

X

k=0

(k)₍_a+_{) +} 1 Γ(m+ 1−α)

Z x

a

f(m+1)(t)(x−t)m−αdt,

y la proposici´on se sigue.

Para evitar esta singularidad de la derivada fraccional de Riemann-Liouville se introduce la derivada fraccional de Caputo:

(29)

C

Dαf(x) :=

        

1 Γ(m−α)

Z x

a

f(m)(t)(x−t)m−α−1 dt, m−1< α < m,

dm

dxmf(x), α=m,

(3.8) paraα >0 y una funci´onf m-veces diferenciable y tal que f(m)_∈_Lp₍₍_{a, b}_).

La derivada fraccional de Caputo es más restrictiva respecto a la de Riemann-Liouville puesto que se pide que la función a diferenciar tenga derivadas de orden entero y quef(m) _{sea integrable. Adem´}_{as, dada una funci´}_on_f _{solo se pueden} obtener susα-ésimas derivadas para aquellos αque cumplan la condición que f0, f00, ..., f(m) _{existen y}_f(m)_∈_Lp₍₍_{a, b}_{), con}_m _{el primer entero no negativo}

que excedeα. Cada vez que se use esta definici´on se supondr´a que dichas condi-ciones se cumplen.

La definici´on de la derivada fraccional de Caputo se puede expresar como

C

Dα=Jm−αDm, m−1< α < m; y de la última proposición se puede obtener su relación con la derivada de Riemann-Liouville:

Dαf(x) =

m−1

X

k=0

(k)₍_a+_{) +} 1 Γ(m−α)

Z x

a

f(m)(t)(x−t)m−α−1 dt

=

m−1

X

k=0

(x−a)k−α

Γ(k−α+ 1)f

(k)₍_a+_{) +}C

Dαf(x),

(3.9)

la cual evidencia que la derivada fraccional de Caputo elimina la singularidad que presenta la derivada fraccional de Riemann-Liouville ena, y es por esto que se le considera como una regularizaci´on de la derivada fraccional de Riemann-Liouville [6]. Adem´as, la derivada fraccional de Caputo de una constante es 0, corrigiendo otro inconveniente de la derivada fraccional de Riemann-Liouville:

C

Dαc=Jm−αDmc=Jm−α0 = 0, 0≤m−1< α < m.

Otra ventaja que supone el operador fracional de Caputo sobre el de Riemann-Liouville, es que en su uso en ecuaciones diferenciales aparecen condiciones iniciales que involucran derivadas de orden entero, mientras que el uso del op-erador de Riemann-Liouville conlleva a condiciones iniciales con derivadas de orden fraccional nuevamente [7]. Lo anterior se evidencia en las transformadas de Laplace (2.4) de cada uno de los operadores, para lo cual se toma a = 0. Para esto, es importante notar que la integral fraccional de ordenαde la funci´on

f(x) es la convoluci´on de las funci´onesf(x) yg(x) = x

α−1 Γ(α):

(f∗g)(x) =

Z x

a

f(t)g(x−t)dt=

Z x

a

f(t)(x−t)

α−1 Γ(α) dt=J

(30)

Proposición 12 Sea f(x) una función para la cual su derivada fraccional de ordenα >0,m−1 < α < m, existe en el sentido de Riemann-Liouville y de Caputo, y que su transformada de Laplace también existe (denotada porfe(s)),

entonces [4]:

L{Dαf(x);s}=sαfe(s)−

m−1

X

k=0

sm−k−1[DkJm−αf(x)]x=0, (3.11)

L{CDαf(x);s}=sαfe(s)−

m−1

X

k=0

sα−k−1f(k)(0+). (3.12)

Prueba Para probar ambas f´ormulas se usan las transformadas de Laplace de una potencia (2.37), de una derivada (2.9), y de una convoluci´on (2.10).

1.Se expresa la derivada fraccional de Riemann-Liouville comoDα=DmJm−α, para obtener

L{Dαf(x);s}=L{DmJm−αf(x);s}

=smL{Jm−αf(x);s} − m−1

X

k=0

sm−k−1DkJm−αf(x)_x₌₀

=smL

f(x)∗ x m−α−1 Γ(m−α);s

− m−1

X

k=0

sm−k−1

DkJm−αf(x)

x=0

=smL{f(x);s}L

_xm−α−1 Γ(m−α);s

− m−1

X

k=0

sm−k−1

DkJm−αf(x)

x=0

=smfe(s)

s−(m−α)− m−1

X

k=0

sm−k−1

DkJm−αf(x)

x=0

=sαfe(s)−

m−1

X

k=0

sm−k−1

DkJm−αf(x)

x=0

2.Por otro lado, al usar la caracterizaci´on de la derivada fraccional de Caputo

C_Dα₌_Jm−α_Dm _{se tiene}

L{CDαf(x);s}=L{Jm−αDmf(x);s}=L{Jm−αf(m)(x);s}

=L

f(m)(x)∗ x m−α−1 Γ(m−α);s

=Lnf(m)(x);soL

_xm−α−1 Γ(m−α);s

(31)

= smfe(s)−

m−1

X

k=0

sm−k−1f(k)(0+)

!

s−(m−α)

=sms−(m−α)fe(s)−

m−1

X

k=0

sm−k−1s−(m−α)f(k)(0+)

=sαfe(s)−

m−1

X

k=0

sα−k−1f(k)(0+).

De esta manera, usando la transformada de Laplace como método de solución de ecuaciones diferenciales que involucren estos operadores de diferenciación fraccional, es necesario conocer los valores deDkJm−αf(x)|x=0, k= 0, ..., m−1, en el caso de usar el operador de Riemann-Liouville, o los valores def(k)(0+), k= 0, ..., m−1, si aparece el operador de Caputo, para garantizar la existencia y unicidad de la solución.

Puesto que las derivadas de orden entero tienen una clara interpretaci´on geom´etrica y f´ısica, mientras que las derivadas de orden fraccional no lo tienen, es preferible usar la derivada fraccional de Caputo en ecuaciones diferenciales que describen situaciones de la realidad.

En resumen, el operador de diferenciaci´on fraccional de Caputo ofree algunas ventajas frente al operador de Riemann-Lioville como:

• No presenta singularidad en el punto iniciala,

• La derivada fraccional de una constante es 0,

• Las condiciones iniciales necesarias para su uso en ecuaciones diferenciales corresponden a derivadas usuales de orden entero, con interpretaci´on f´ısica conocida.

Por lo anterior, el presente trabajo usa la derivada fraccional de Caputo.

Otro operador de diferenciaci´on fraccional es el de Riesz-Feller5 _denotado porDα

θ, el cual se define a partir de su transformada de Fourier [5]:

F {Dθαf(x);s}=−ψαθ(k)fb(k), (3.13)

ψθα(k) =|k| α

ei(sign k)θπ/2, 0< α≤2, |θ| ≤min{α,2−α}. (3.14)

5_{Se considera una derivada fraccional en tanto que es una inversa por izquierda de la}

integral fraccional conocida como elpotencial de Riesz, introducida por Marcel Riesz (para

θ= 0, α6= 1), y generalizada por William Feller (θ6= 0) [5]. Para m´as detalles ver [8, Ch. 25].

(32)

La función−ψα_θ(k) es el logaritmo de la función caracter´ıstica de una den-sidad de probabilidad estrictamente estable, con ´ındice de estabilidadα, y coe-ficiente de asimetr´ıaθ. Es decir que siLα_θ(x) es tal densidad de probabilidad, su función caracter´ıstica (2.49) es:

F {Lα_θ(x);k}=Lcα_θ(k) = exp(−ψα_θ(k)).

La región en la que están definidos los parámetrosαyθ es un rombo (en el planoα−θ) con vértices (0,0), (1,1), (1,−1), (2,0), conocido como el rombo de Feller-Takayatsu [5].

(33)

4 Ecuaci´

on de difusi´

on fraccional

Este cap´ıtulo usa las herrmientas del cálculo frccional definidas en el cap´ıtulo anterior para generalizar la ecuación de difusión clásica. Se da una solución a dicha ecuación de difusión con ciertas condiciones iniciales en términos de una integral gracias a la transformada de Mellin, la cual permite seguir interpre-tando la solución como una ley de probabilidad espacial que evoluciona en el tiempo. Acto seguido, se estudia e interpreta la solución de casos particulares como la difusión fracional espacial, la difusión fraccional temporal, y la difusión fraccional neutral. Se sigue de cerca el trabajo de F. Mainardi, Y. Luchko, y G. Pagnini [5], y el trabajo de F. Mainardi, G. Pagnini, y R. Gorenflo [6], haciendo los cálculos dentro de estos de manera detallada.

Una manera natural de generalizar la ecuación de difusión clásica

∂2

∂x2u(x, t) = ∂

∂tu(x, t), x∈R, t∈R

+_, _(4.1)

es remplazar las derivadas parciales respecto al espacio y al tiempo que aparecen en esta, por operadores de diferenciación de orden fraccional. De esta manera, se considera la ecuación de difusión fraccional en espacio-tiempo

xDαθu(x, t) = C tD

β_u₍_{x, t}₎_{, x}_∈

R, t∈R+, (4.2)

conα,βyθpar´ametros reales restringidos por 0< α≤2,|θ| ≤min{α,2−α}, y 0< β≤2. En la anterior ecuaci´onxDαθ es el derivada fraccional de Riesz-Feller

(3.13) respecto a la variable espacialxde ordenαy coeficiente de asimetr´ıaθ, y

C

tDβ es la derivada fraccional respecto a la variable temporaltde Caputo (3.8)

de ordenβ.

4.1 Soluci´

on a la ecuaci´

on de difusi´

on de orden fracci´

onal

Para solucionar la ecuaci´on de difusi´on fraccional en espacio-tiempo (5.1), se imponen las condiciones iniciales

u(x,0+) =δ(x), x∈R, u(±∞, t) = 0, t∈R+, (4.3)

con δ(x) la función delta de Dirac. Para el caso en que 1< β ≤2 también se impone la condición

∂

∂tu(x, t)|t=0= 0. (4.4) La solución a este problema se fundamenta en la transformada de Fourier del operador de diferenciación fraccional de Riesz-Feller (3.13), y la transfor-mada de Laplace de la derivada fraccional de Caputo (3.12). Antes es necesario probar que si f es una función de dos variables absolutamente integrable, las transformadas de Laplace y de Fourier conmutan si cada una de ellas se aplica respecto a una de las dos variables.

(34)

Proposici´on 13 Para toda funci´onf ∈L2(R2),

Lx₁{Fx₂{f(x1, x2);k};s}=Fx2{Lx1{f(x1, x2);s};k} (4.5) Prueba Sea f ∈L2₍

R2)

Lx1{Fx2{f(x1, x2);k};s}=

Z ∞

0

e−sx1_F

x2{f(x1, x2);k} dx1

=

Z ∞

0 e−sx1

Z ∞

−∞

eikx2_f₍_x

1, x2)dx2

dx1

=

Z ∞

0

Z ∞ −∞

e−sx1_eikx2_f₍_x

1, x2)dx2dx1

=

Z ∞ −∞

Z ∞

0

e−sx1_eikx2_f₍_x

1, x2)dx1dx2

=

Z ∞ −∞

eikx2

Z ∞

0

e−sx1_f₍_x

1, x2)dx1

dx2

=

Z ∞ −∞

eikx2_Lx

1{f(x1, x2);s} dx2 =Fx2{Lx1{f(x1, x2);s};k}

El cambio en el orden de integraci´on es v´alido por el teorema de Fubini dado

quef ∈L2(R2).

De este modo, siGθ_α,β(x, t) es soluci´on de (5.1) junto con las condiciones ini-ciales (4.3), aplicando transformada de Laplace (respecto a la variable temporal t) y la transformada de Fourier (respecto a la variable espacialx) [5]:

xDαθG θ

α,β(x, t) = C tD

β_Gθ α,β(x, t); Lt{Fx{xD_θαGθ_α,β(x, t);k};s}=Fx{Lt{CtD

β_Gθ

α,β(x, t);s};k}; Lt{−ψθ_α(k)_G[θ

α,β(k, t);s}=Fx{s β_G_]θ

α,β(x, s)− m−1

X

j=0

sβ−j−1∂

j

∂tjG θ

α,β(x, t)|t=0;k}.

Para el caso 0< β ≤1 (m, el primer entero no negativo que excede β, es igual a 1) el t´ermino

m−1

X

j=0

sβ−j−1∂

j

∂tjG θ

α,β(x, t)|t=0 se reduce a

0

X

j=0

sβ−j−1∂

j

∂tjG θ

α,β(x, t)|t=0=sβ−1Gθα,β(x,0

+

) =sβ−1δ(x)

usando la primera condición inicial en (4.3). Para el caso 1< β ≤2 (m= 2) en el que también se impone la condición ∂

∂tu(x, t)|t=0= 0, el t´ermino m−1

X

j=0

sβ−j−1∂

j

∂tjG θ

(35)

se reduce a

1

X

j=0

sβ−j−1∂

j

∂tjG θ

α,β(x, t)|t=0=sβ−1Gθα,β(x,0

+₎₊_sβ−2∂

∂tu(x, t)|t=0=s

β−1_δ₍_x₎₊₀

usando las condiciones iniciales impuestas (4.3) y (4.4). En cualquier caso, la sumatoria se reduce finalmente asβ−1_δ₍_x_{), y as´ı}

Lt{−ψ_αθ(k)_G[θ

α,β(x, s)− m−1

X

j=0

sβ−j−1 ∂

j

∂tjG(x, t)|t=0;k};

Lt{−ψ_αθ(k)_G[θ

α,β(x, s)−s

β−1_δ₍_x_);_k_}_;

−ψ_αθ(k)Lt{G[θα,β(k, t);s}=s β_F

x{G]θα,β(x, s);k} −s β−1_F

x{δ(x);k}; −ψθ_α(k)_G][θ

α,β(k, s) =s β_G[_]θ

α,β(k, s)−s β−1

usando la linealidad de las transformaciones (ψαθ(k) es constante respecto ax),

y que la transformada de Fourier de la funci´on delta de Dirac es 1. Usando

nuevamente la proposici´on 13,_G][θ

α,β(k, s) = [ ]

Gθ

α,β(k, s), y de esta manera

−ψθ_α(k)_G][θ

−ψθ_α(k)_G[]θ

sβ_G[]θ

α,β(k, s) +ψ θ α(k)

[ ]

Gθ

α,β(k, s) =s β−1

[ ]

Gθ

α,β(k, s)(s β₊_ψθ

α(k)) =s β−1

[ ]

Gθ

α,β(k, s) =

sβ−1 sβ₊_ψθ

α(k)

(4.6)

Usando las propiedades de escalamiento de la transformda de Laplace (2.6) y de Fourier (2.14)

^

f(ax)(s) =a−1fg(x)(s/a), \f(bx)(k) =b−1fd(x)(k/b),

se puede deducir la siguiente propiedad de escalamiento de la soluci´onGθ α,β(x, t),

sin necesidad de invertir las dos transformaciones.

Proposici´on 14 Paraa >0, b >0, [5]

Gθα,β(ax, bt) =b− γ

Gθα,β(ax/b γ

, t), γ=β/α.

Prueba Se prueba que la doble transformada de Fourier y Laplace coincide para cada funcion:

(36)

Fx

Lt

Gθ_α,β(ax, bt);s ;k =Fxnb−1_G]θ

α,β(ax, s/b)

o

=a−1b−1_G[]θ

α,β(k/a, s/b)

=a−1b−1

s b

β−1

s b

β

+ψθ α(k/a)

=a−1b−1

sβ−1

bβ−1

sβ

bβ +

k_a

α

exp [i(sign(k/a))θπ/2]

=a−1b−1bβb−(β−1) s

β−1 sβ₊_bβ|k|α

|a|αexp [i(signk)θπ/2]

=a−1 s

β−1 sβ₊ bβ

aα|k|αexp [i(signk)θπ/2]

Fx

Lt

b−γGθ_α,β(ax/bγ, t);s ;k =Fx

n

b−γ_G]θ α,β(ax/b

γ_{, s}_);_ko

=b−γa bγ

−1_[

]

Gθ α,β(kb

γ_{/a, s}₎

=b−γa

−1 b−γ

sβ−1 sβ₊_ψθ

α(kbγ/a)

=a−1 s

β−1 sβ₊

kb

γ

a

α

exp [i(sign(kbγ_/a₎₎_θπ/_2]

=a−1 s

β−1 sβ₊|b|γα

|a|α|k|αexp [i(signk)θπ/2]

=a−1 s

β−1 sβ₊ bβ

aα|k|αexp [i(signk)θπ/2] puesa, b >0 implican|a|=a, |b|=b, y sign(k/a) = sign(k)/sign(a) = sign(k), sign(kbγ_/a_{) = sign(}_k_)sign(_bγ₎_/_sign(_a_{) = sign(}_k_)sign(_b₎γ_/_sign(_a_{) = sign(}_k_).

Finalmente,

Fx

Lt

Gθ_α,β(ax, bt);s ;k =Fx

Lt

b−γGθ_α,β(ax/bγ, t);s ;k ;

⇒Gθ_α,β(ax, bt) =b−γGθ_α,β(ax/bγ, t), γ=β/α,

y la proposici´on queda demostrada.

Con esta propiedad, tomandoa= 1,t= 1 yb=tse tiene que