Forzamiento a lo largo de plantillas y consistencia de d < a

(1)

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

Departamento de Matem´

aticas

Trabajo de grado de maestr´ıa

FORZAMIENTO A LO LARGO DE PLANTILLAS Y

CONSISTENCIA DE

d

<

a

Presentado por:

ESTEBAN VARGAS BERNAL

Dirigido por:

DR. RAMIRO HERNANDO DE LA VEGA SINISTERRA

(2)

´

_{Indice general}

1. Introducci´on 2

2. Preliminares 4

2.1. Cardinales peque˜nos . . . 4

2.2. Hechos b´asicos de Forcing . . . 6

2.2.1. Forcing de Cohen . . . 9

2.2.2. Forcing de Hechler . . . 10

2.2.3. Ultrapotencia de un orden . . . 11

2.2.4. A˜nadiendo una familia mad . . . 12

2.2.5. Embebimientos entre ordenes parciales . . . 13

2.2.6. Algebras Booleanas y Forcing . . . .´ 16

2.3. Ultrapotencia del universo . . . 18

3. Iteraciones de Forcing 19 3.1. Iteraciones de soporte finito y contable . . . 19

3.2. Iteraci´on sobre plantillas . . . 29

3.2.1. Propiedades de plantillas . . . 32

3.2.2. Modificaciones y cadenas de plantillas . . . 40

4. Algunas aplicaciones de las plantillas sin usar un cardinal me-dible 46 4.1. CON(d<a) sin usar un cardinal medible . . . 46

4.2. CON(cf(a) =ω) . . . 55 Bibliograf´ıa

(3)

Cap´ıtulo 1

Introducci´

on

Una familia infinita de conjuntos infinitos A ⊆ P(ω) se denomina casi dis-juntasi para cadaX, Y ∈ Atenemos|X∩Y|< ω. Una familia casi disjuntaAse denomina maximal casi disjunta (omad por sus iniciales en ingl´es) si para cada B⊆ωinfinito, existeA∈ Atal queA∩Bes infinito. Un subconjuntoF ⊆ωω_es

cofinal en el orden≤∗_{(ver Definici´}_{on 1) si para cada}_g_∈_ωω_existe_f _{∈ F}_{tal que}

f ≥∗_{g. A partir de las familias mad y las familias cofinales definimos los}

cardina-lesa=min{|F |:F es familiamad}yd=min{|F |:F es cofinal en (ωω_,_≤∗_)}.

Como veremos en este trabajo (ver Teorema 43) tenemos quea<d es consis-tente, lo cual se demostr´o antes de 1980 ([7]). Sin embargo, la consistencia de

d<atardó casi 20 años más en ser demostrada (por Saharon Shelah en 1999 en [3]). Los dos anteriores resultados se pueden interpretar como la incapacidad de ZF Cde poder asociar a una familia mad una familia cofinal del mismo tamaño y viceversa.

En este trabajo estudiamos la innovadora técnica que ideó Saharon Shelah para probar CON(d < a). Shelah generaliza las iteraciones sobre ordinales a iteraciones sobre conjuntos más generales, denominados plantillas. Él logra con esta técnica mostrar que en presencia de un cardinal medibleκ(esta hipótesis se puede omitir usando plantillas también), cardinales regularesλ, µ, con κ < µ < λy una adecuada plantilla, podemos construir un forcing_Ptal que_Pµ=

d=by_P λ=a. Además del uso de las plantillas, la idea básica detrás de la construcción es que la ultrapotencia (por medio de un ultrafiltroκcompletoD) de un orden parcialccc Q hace que las antiguas familiasmad en la extensión

porQse destruyan en la extensi´on porQκ/D. Adicionalmente, la ultrapotencia

preserva cierto testigo (una escala) de una familia cofinal de cardinalµ en la extensión porQ, el cual seguirá siendo una de las familias cofinales más pequeñas

en la extensi´on porQκ/D.

M´as que el estudio de los mismos cardinalesayd, el trabajo intenta exponer la t´ecnica del forzamiento a lo largo de plantillas, la cual tiene importancia en si misma por su innovador enfoque y por la variedad de aplicaciones que puede tener, como por ejemploCON(cf(a) =ω).

(4)

pa-ra poder entender el contenido de los cap´ıtulos posteriores. Otro objetivo del contenido en el Cap´ıtulo 2 es poner cada concepto de forcing en el contexto del problema deCON(d<a) a trav´es de ejemplos. Uno de estos ejemplos es el for-cing de Hechler, el cual permite a˜nadir reales dominantes (en el orden≤∗_{). Las}

plantillas que construiremos en las Secciones 3.2.2 y 4.1 tienen como objetivo definir iteraciones del forcing de Hechler.

En la Sección 3.1 se estudian las primeras aproximaciones aCON(d<a) y por que fallan en resolver el problema. Por ejemplo, usar una iteración de soporte finito de forcingccc no funciona porque se daña la escala al añadirse reales de Cohen en los pasos de cofinalidad enumerable. Usar una iteración de soporte contable de forcingccctampoco es útil, debido a que se colapsar´ıa el continuo. Otra posibilidad ser´ıa iterar sobre otros ordenes (no necesariamente un ordinal). Hjorth muestra que el conjunto base de una iteración del forcing de Hechler no puede tener cadenas descendentes infinitas, por lo cual tendremos que pensar en iteraciones bien fundamentadas, pero que nos permitan preservar la escala. El objetivo de la Sección 3.1 es motivar el concepto de iteración sobre plantillas a través de ejemplos como los anteriores. En la Sección 3.2.1 se establecen los conceptos básicos de plantillas y se define la iteración de soporte finito del forcing de Hechler PL sobre una plantilla (L,I). Además se establecen propiedades

para la iteración sobre plantillas análogas a las presentadas en la Sección 3.1 para iteraciones de soporte finito, como serccc. En la Sección 3.2.2 se muestra cómo construir, usando ultrapotencias de ordenes parciales, una plantilla (L,I) para tener _PL µ = d < a = λ, con λ, µ cardinales regulares, κ medible y

κ < µ < λ(este es el Teorema 82). Otro objetivo de la Sección 3.2.2 es mostrar por qué la construcción presentada en el Teorema 82 es natural una vez se entiende por qué las iteraciones presentadas en la Sección 3.1 no solucionan el problema, y por qué cada una de las propiedades establecidas en la Sección 3.2.1 apunta a que las plantillas arreglen los problemas que tienen las iteraciones expuestas en las Sección 3.1. Aunque se use la existencia de un cardinal medible, el estudio de la consistencia ded<ausando cadenas de plantillas tiene interés en s´ı mismo por los conceptos que se involucran, como ultrapotencia de ordenes parciales y extensiones inofensivas.

En la Sección 4.1 se construye una plantilla (L(µ, λ),I(µ, λ)) para probar CON(d < a), sin suponer la existencia de un cardinal medible. En esta sec-ción se expone la técnica de isomorfismo de nombres, la cual juega un papel análogo al de la ultrapotencia en la iteracción expuesta en la Sección 3.2.2 en el sentido de que permite construir nombres que dañen la maximalidad de fa-milias casi disjuntas pequeñas. Al final de la Sección 4.1 se señala cómo el uso de las plantillas es insuficiente para resolver el problema CON(ω1 = d < a)

(el cual está abierto). Otro objetivo de esta sección es señalar la naturalidad de la idea del isomorfismo de nombres una vez se entiende cómo se aplica en otros resultados (ver Teorema 85). Además, en la Sección 4.1 se señalan los puntos fundamentales en la prueba de CON(d<a). El objetivo de la Sección 4.2 es mencionar como se modifica la plantilla (L(µ, λ),I(µ, λ)) y la definición de plantilla para construir una plantilla (L(λ),I(λ)) la cual lleve a resolver el problema deCON(cf(a) =ω).

(5)

Cap´ıtulo 2

Preliminares

2.1. Cardinales peque˜

nos

A continuaci´on presentamos las definiciones y hechos b´asicos sobre los car-dinalesa,b,d.

Definici´on 1 Sif, g∈ωω_{, definimos} _f _≤∗_g _{si y s´}_{olo si}_{n_∈_ω_:_f_(n)_{> g(n)}}

es finito. Definimos los siguientes cardinales:

d =min{|F | :F es cofinal en (ωω_,_≤∗_)} _{el cual es conocido como}

domi-nating number.

b = min{|F | : F no es acotada en(ωω_,_≤∗_)} _{el cual es conocido como}

unbounding number.

a = min{|F | : F es una familiamad} el cual es conocido como almost disjointness number.

En ZF Cpodemos probar solamente las siguientes desigualdades.

Lema 2 a,d≥b≥ω1.

Demostraci´on.En primer lugar tenemos queb≥ω1. En efecto, si{fn}n∈ω⊆

ωω definamos f ∈ ωω por f(m) = P

i≤mfi(m) + 1 para m ∈ ω. Claramente

fn(m) < f(m) para m ≥ n y n ∈ ω, por lo cual f acota superiormente a

{fn}n∈ω.

Adem´as d≥b, pues toda familia cofinal es no acotada.

Veamos ahoraa≥b. Sea{Aδ :δ <a}una familia mad. Definimos

fδ(n) =







n+ 1 si n /∈Aδ

n si n∈Aδ

Parag ∈ ωω_{, sea} _X

g = {n ∈ ω : g(n) ≤ n}. Claramente Xfδ =Aδ. Veamos

(6)

Entonces, paraδ <a, Aδ ∩Xf ={n∈ω :fδ(n) =n∧f(n)≤n} ⊆ {n∈ω :

f(n)≤fδ(n)}el cual es finito. Entonces{Aδ :δ <a} ∪ {Xf}ser´ıa casi disjunta,

contradiciendo la maximalidad de{Aδ :δ <a}.

El siguiente principio permite codificar una familia mad a partir de una familia cofinal de (ωω_,_≤∗_{). Claramente este principio es independiente de}_{ZF C.}

Definici´on 3 El principio♦d afirma que existe una sucesi´on {fα:fα:α−→

ω, α < ω1} (llamada una sucesi´on ♦d) tal que si g : ω1 −→ ω entonces existe

α≥ω satisfaciendogα≤∗_f α.

Claramente si {fα}α<ω1 es una sucesi´on ♦d entonces F ={fαω}α<ω1 es una sucesi´on cofinal en (ωω_,_≤∗_{). En efecto, si}_f _∈_ωω _{entonces podemos definir}

¯

f :ω1−→ω por ¯fω=f y ¯f(α) = 0 paraα≥ω. Tomemos entoncesβ≥ω tal

que ¯fβ≤∗_f

β. Entoncesfβω≥∗f¯ω=f y as´ıb=d=ω1.

El siguiente teorema establece algo m´as fuerte de lo que acabamos de men-cionar.

Teorema 4 ♦d implicaa=ω1.

Demostración.Fijemos{fα}α<ω1una sucesión♦dy construyamos{Aβ}β<ω1 una familia mad. Definimos{An}n<ω como una partición en conjuntos infinitos

deω. Supongamos que hemos construido una familia casi disjunta de conjun-tos infiniconjun-tos {Aα}α<β donde β ≥ ω. Tomemos una enumeraci´on {Aα}α<β =

{Aαn}n<ω y definamos ¯g : ω −→ ω como sigue. Sea ¯g(0) tal que ¯g(0) ∈/ Aα0 y ¯g(0) > fβ(α0). Si hemos definido ¯g(n) para n ≤ m sea ¯g(m+ 1) ∈/ (Aα0∪ . . .∪Aαm) (el cual existe por que sil > mentonces Aαl es casi disjunto aAαn

para n ≤ m) tal que ¯g(m+ 1) > ¯g(n) para n ≤m y ¯g(m+ 1) > fβ(αm+1).

Veamos que ran(¯g) ⊆ ω\S

i∈ω(Aαi\(¯g+ 1)). Para m ∈ ω y n ≥ m tenemos

que ¯g(m) < ¯g(n) + 1 y as´ı ¯g(m) ∈/ Aαn\(¯g(n) + 1). Para n < m tenemos

que ¯g(m) ∈/ Aαn. En consecuencia ¯g(m) ∈ ω\

S

i∈ω(Aαi\(¯g+ 1)) y de esta

manera ω\S

i∈ω(Aαi\(¯g+ 1)) es infinito. Ahora definimos gβ : β −→ ω por

gβ(α) = ¯g(n) + 1 donde Aα = Aαn. Tomemos Aβ = ω\

S

α<β(Aα\gβ(α)) =

S

i∈ω(Aαi\(¯g+ 1)). Por construcci´ongβ(α)> fβ(α) para α < β yAβ es casi

disjunto de los elementos en {Aα}α<β. En efecto, si α < β y x ∈ Aα∩Aβ

entoncesx /∈Aα\gβ(α) yx∈Aα, lo cual lleva a quex∈gβ(α). Como resultado

tenemos queAα∩Aβ ⊆gβ(α) es finito. Resta ver que {Aβ}β<ω1 es maximal. Por contradicci´on, supongamos que existe B ⊆ ω infinito tal que B∩Aα es

finito para cadaα < ω1. Definimosg :ω1−→ω por g(α) =max(B∩Aα) + 1

si B ∩Aα 6= ∅ y g(α) = 0 si B ∩Aα = ∅. Por construcci´on tenemos que

{gα}α<ω1 es una sucesi´on ♦d y por lo tanto podemos tomar θ ≥ ω tal que gθ≤∗ _g

θ. Si retiramos los puntos de B que hacenmax(B∩Aα) + 1> gθ(α)

(los cuales son finitos) podemos suponer que (gθ)(α)≤gθ(α) para cadaα < θ.

Adem´as, por definici´on tenemos que si n ∈ B\Aθ entonces existe β < θ tal

que n ∈ Aβ\gθ(β) ⊆ Aβ\g(β) (pues gθ(β) ≥ g(β)). Lo anterior implica que

(7)

manera tenemos queB⊆Aθ, lo que contradice queAθyBson casi disjuntos.

Definiremos un tipo se sucesi´on deωω que nos permite controlar el cardinal

d(ver [5, Cap 6, teorema 2.6] para el lema 6).

Definici´on 5 Seaµ cardinal. A{fα}α<µ⊆ωω le llamamos unaµ-escala si es

cofinal en(ωω,≤∗₎_y _f

α<∗fβ paraα < β < µ.

Lema 6 Sea µun cardinal regular. Entonces hay unaµ-escala si y s´olo si b=

d=µ.

Los modelos ded<aque estudiaremos en los teoremas 89 y 82 contendr´an unaµ-escala conµ≥ω2. En consecuencia en tales modelos se tiened≥ω2. Sin

embargo, Judith Roitman formul´o en los 90 el siguiente problema, el cual sigue abierto.

Problema 7 ¿Es consistented=ω1<a?

2.2. Hechos b´

asicos de Forcing

En el estudio del forcing los ordenes parciales tienen como papel aproximar objetos que deseamos añadir en una extensión. A continuación se definen los conceptos que nos permitirán ver a un orden como dicha aproximación.

Definición 8 Sea (P,≤,1P) un orden parcial. Para nuestros propósitos sólo

necesitamos que la relación binaria ≤sea reflexiva y transitiva. Además todos los ordenes que consideraremos tienen un elemento máximo1_P. Por simplicidad en la notación nos referimos al orden (P,≤,1P) como P. Definimos para P lo

queq≤p.

Si p, q∈_P decimos quepy q son compatibles (p6⊥q) si existe r∈_P tal que r≤py r≤q. De lo contrario diremos que py q son incompatibles

(p⊥q).

Un conjuntoF ⊆Pes llamado filtrosi para cadap, q∈ F exister∈ F tal

quer≤py r≤qy adem´as para cada p∈ F y q≥pse tiene queq∈ F.

El ordenPes no at´omicosi para cadap∈Pexistenq, r∈Ptal queq≤p,

r≤py r⊥q.

El orden _P es separativo si cuando p6≤ q para p, q ∈P, entonces existe

r∈P tal quer≤pyr⊥q.

Un conjunto A ⊆ P es llamado una anticadena si para cada p, q ∈ A

tenemosp⊥q. Adem´asAes una anticadena maximal si para cadar∈P

(8)

Un ordenPtiene la propiedad κ−cc, conκcardinal infinito, si cualquier

anticadena tiene tama˜no menor queκ. SiP tieneω1−cc, diremos queP

tieneccc (la condici´on de cadena contable).

Ahora presentamos los hechos b´asicos que necesitamos de forcing.

Definici´on 9 Sea_Pun orden parcial. DefinimosVP_{, la clase de los}

P-nombres,

como la clase de los objetosτ que son relaciones binarias y tal que si(σ, p)∈τ

entonces σ en un _P-nombre y p∈_P. SiM es un modelo transitivo de ZFC y

P∈M definimosMP=VP∩M ={τ∈M : (τ es unP-nombre)M}. La ´ultima

igualdad se tiene gracias a que la noci´on “τ es un _P-nombre” es absoluta (ver [7, Definici´on 2,6-Cap. 3]).

Definici´on 10 Sea M un modelo transitivo contable de ZF C y P ∈ M un

orden parcial. Decimos que un filtroG⊆PesP-gen´erico sobre M si para cada

densoD ⊆P conD ∈M se tieneD ∩G6=∅.

En [7, Lema 2.20-Cap 7] se muestra que si GesP-gen´erico sobreM,p∈G

yD ∈M es denso bajop, entoncesD ∩G6=∅.

Definici´on 11 Seaτ∈MP _y_G_{un filtro}

P-gen´erico sobreM. Definimos τG =

{σG:∃p∈G((σ, p)∈τ)} y M[G] ={τG:τ ∈MP}.

En este documento siempre que nos refiramos a M estaremos suponiendo queM es un modelo transitivo y contable de un fragmento lo suficientemente grande deZF C. La raz´on de imponer la transitividad es que las f´ormulas ∆0

son absolutas para M, como por ejemplo la f´ormula que expresa “τ es un _P -nombre” (ver [7, Secci´on 3-Cap 4]). El siguiente teorema evidencia la necesidad de queM sea contable (ver [7, Lema 2.3-Cap 7]).

Teorema 12 SeaP∈M un orden parcial yp∈P. Entonces existe Gun filtro P-gen´erico sobre M tal quep∈G.

En consecuencia, si P ∈M, siempre tiene sentido hablar de M[G] para alg´un

filtroGP-genérico sobreM. Entenderemos también aMPcomo alguna extensión

M[G] sin referirnos a G. El siguiente teorema establece las propiedades m´as importantes deM[G].

Teorema 13 ParaM[G]se satisfacen las siguientes propiedades:

SiN es un modelos transitivo deZF Ctal queM ⊆N yG∈N. Entonces

M ⊆M[G]⊆N.

Ord(M) =Ord(M[G]).

M[G]|=ZF C.

(9)

Definici´on 14 SeaP ∈M un orden parcial. Decimos que ψ es una sentencia

del lenguaje del forcing si ψ es una L_P-sentencia, donde L_P = {∈, MP_} _{es el}

lenguaje que tiene a los P-nombres MP como constantes. Parap∈ P decimos

que p_P ψ si y s´olo si para cada G P-gen´erico sobre M con p ∈ G tenemos

M[G]|=ψ, dondeτM[G]=τG para cada constanteτ.

El siguiente lema establece las propiedades m´as importantes de _P.

Lema 15 Para _P∈ M,p, q ∈_P y ϕ, ψ L_P-sentencias se tienen las siguientes propiedades:

Sip_Pϕy q≤pentonces q_Pϕ.

p_P ϕ∧p_Pψ⇔p_Pϕ∧ψ.

{p∈P:pP ϕ∨pP ¬ϕ} es denso.

p_P ¬ϕ⇔ ¬∃q≤p(q_Pϕ).

Sip_P∃x(x∈σ∧ϕ(x))entonces ∃q≤p∃π∈dom(σ)(q_P ϕ(π)).

Los siguientes dos resultados son fundamentales para el desarrollo de la teor´ıa del forcing. El primero es conocido como el lema de la definibilidad, y esencial-mente establece que la relaci´on _P es definible enM. El segundo es conocido como el lema de la verdad (ver [7, Teorema 3.6-Cap 7]).

Teorema 16 Sea_P∈M un orden parcial yϕuna L_P-sentencia. Entonces: Existe una relaci´on definible∗_P tal que para cadap∈_P,

p_Pϕ⇔(p∗_Pϕ)M

Para cadaGfiltroP-gen´erico sobreM,M[G]|=ϕsi y s´olo si existep∈G

tal quep_P ϕ.

Con las anteriores definiciones y resultados tenemos las herramientas para dar ejemplos particulares de los conceptos de forcing.

Ejemplo 17 Para _P ∈ M orden parcial damos los siguientes ejemplos de _P -nombres:

Para x ∈ M definimos xˇ = {(ˇy,1_P) : y ∈ x}. Tenemos que xˇ ∈ MP _y

ˇ

xG=xpara cada Gfiltro P-gen´erico sobreM.

DefinimosΓ ={(ˇp, p) :p∈_P}. EntoncesΓ es un_P-nombre can´onico para un GP-gen´erico sobreM, puesΓG=G.

(10)

Suponga que P es ccc, p∈ P y f˙ es un P-nombre tal quep P f˙ ∈ ω

ω_.

Para cada n ∈ ω defina An = {q ≤ p : ∃k ∈ ω(q P f˙(n) = k)}. Sea

Bn = {k : ∃q ∈ An(q P f˙(n) = k)}. Sobre An definimos q ∼ q0 si

y s´olo si q _P f˙(n) = k y q0 _P f˙(n) = k para alg´un k ∈ Bn. Sea

Cn un conjunto de representantes de ∼. Como p P f˙ ∈ ω

ω_, _A n 6= ∅

y as´ıCn 6= ∅. Si X = {C : Cn ⊆ C ⊆ An y C es anticadena bajop},

por el lema de Zorn aplicado a (X,⊆) existe An ⊇Cn∗ ⊇Cn anticadena

maximal bajop, la cual es contable porque_Pesccc. EnumereC_n∗={pn,i:

i∈ω} y sea kn,i∈ω tal que pn,i P f˙(n) =kn,i. El anterior argumento

sólo usa ZF C y parámetros en M ( _P es definible en M), luego f¯ = {((n, kˇn,i), pn,i) : n, i∈ω} es un P-nombre en M. Además pP f˙= ¯f,

pues si G es P-gen´erico sobre M con p ∈ G y n ∈ ω, considere D =

{q:q≤pn,i para alg´unpn,i}. Entonces Des denso bajo p, pues sir≤p

entonces existe pn,i 6⊥ r. En consecuencia G∩ D 6= ∅ y si q ∈ G∩ D

entoncespn,i∈Gy as´ıf˙G(n) = ¯fG(n). De esta manera hemos construido

un _P-nombre para el real f. Af¯le llamamos un buen nombre para f.

De nuevo, suponga que _P es ccc y que p _P A˙ ⊆ ωˇ. Para cada n ∈ ω

sea Cn ={pn,i :pn,i P nˇ ∈ A˙ opn,i P n /ˇ ∈A, i˙ ∈ ω} una anticadena

maximal bajop. Definakn,i= 1siˇn∈A˙ okn,i= 0sin /ˇ∈A˙. Si tomamos

¯

A ={(ˇn, pn,i) :n, i ∈ω, kn,i = 1} entonces A¯ ∈MP y pP A˙ = ¯A. Le

llamamos aA¯ un buen nombre deA.

Sean _P ∈ M un orden parcial, G un filtro _P-gen´erico sobre M, _D un orden parcial en M[G] y D¨ un P-nombre para D. En [6, Lema 3.2-Cap

5] se muestra que existe un P-nombre para un orden parcial D˙ tal que

PD˙ = ¨Dy |D˙|M =|D|M[G].

Los siguientes son ejemplos de ordenes que nos van a interesar a lo largo del documento:

2.2.1. Forcing de Cohen

Sea κ ∈ M cardinal infinito y tomemos _Cκ = F n(κ,2) = {p ⊆ κ×2 :

pes funci´on y|p| < ω}. Para p1, p2 ∈ Cκ, definimos p1 ≤ p2 ⇔ p1 ⊇ p2. Al

orden (_Cκ,≤),κinfinito, lo llamamos el orden de Cohen. Gracias a un argumento

de densidad, tenemos que siGes un filtro_Cκ-gen´erico sobreM entoncesM[G]|=

2ω_{≥ |κ|. Usando}

Cκ queremos hacer el continuo de tama˜noκ, pero el cardinal

κdeM no necesariamente ser´a cardinal enM[G]. Incluso, esteκen principio podr´ıa ser un ordinal enumerable enM[G], y as´ı el hecho de queM[G]|= 2ω_≥

|κ| no trae nada nuevo. Sin embargo Cκ es un orden ccc y los ordenes ccc no

colapsan cardinales. M´as precisamente, un ordenP preserva cardinales si para

cadaGfiltroP-gen´erico sobreM y cadaβ∈Ord(M)

M |=β es cardinal ⇔M[G]|=β es cardinal

El siguiente resultado sustenta el hecho de que Cκ preserve cardinales (ver [7,

(11)

Teorema 18 Sea P ∈ M orden parcial tal que M |= Pesccc. Entonces P

preserva cofinalidades y por tanto cardinales.

En consecuencia M[G] |= 2ω ≥ κ para G filtro Cκ-gen´erico sobre M. El

siguiente resultado nos permite acotar por arriba el continuo en una extensi´on gen´erica (ver [7, Lema 5.13-Cap 7]).

Teorema 19 Sea_P∈M y suponga que (enM)_Pes un ordenccc,|_P|=κ≥ω

y λ, θ son cardinales infinitos tales que θ = κλ_{. Si} _G _es

P-gen´erico sobre M

entoncesM[G]|= 2λ_≤_θ_.

Por lo tanto, si M |=κω ₌_κ _{(por ejemplo si} _M _|₌_GCH_{), entonces para}_G

filtroCκ-gen´erico tenemos queM[G]|= 2ω=κ.

Ahora supongamos que N es un modelo transitivo contable de ZF C tal queM ⊆N. Un realf ∈(ωω)N es de Cohen sobreM si existe G ∈N filtro F n(ω, ω)-gen´erico tal que f = S

G. Para cada real h ∈ (ωω)M y para cada n∈ω definimos

Dh,n={p∈F n(ω, ω) :∃m > n(m∈dom(p)∧h(m)< p(m))}

Tenemos queDh,nes denso. En consecuencia, sif es un real de Cohen sobreM,

para cadan∈ω existem > n tal queh(m)< f(m). Esto equivale a que para cadah∈(ωω₎M _¬(h_≥∗_f_{). M´}_{as adelante mostraremos que este hecho implica}

que en las extensiones de Cohen el cardinaldes grande.

2.2.2. Forcing de Hechler

Tomemos _D={(s, f) :s ∈ω<ω_{, f} _∈_ωω_{, s}_⊆_f_{}. Para (s}

0, f0),(s1, f1)∈D

definimos

(s0, f0)≤(s1, f1)⇔s0⊇s1, f0(n)≥f1(n)∀n∈ω.

Al orden (_D,≤) lo llamamos el forcing de Hechler. En primer lugar tenemos que (D,≤) esccc. En efecto, si{(si, fi)}i∈ω1 ⊆Dentonces existeni, j∈ω1,i6=jtal ques=si=sj (pues{si}i∈ω1 es enumerable). Por lo tanto sif =max{fi, fj} entonces (s, f) ≤(sj, fi),(sj, fj). La propiedad m´as importante de este orden

la da el siguiente resultado.

Teorema 20 El forcing de HechlerDa˜nade un real que domina todos los reales

del modelo base.

Demostraci´on. Sea G un filtro _D-gen´erico sobre M. Como Dn = {(s, f) ∈

D: n∈ dom(s)} ∈ M es denso en Dy las condiciones en Gson compatibles,

entoncesf =S_{dom(G) :}_ω_→_{ω. Veamos que el real}_f _{domina a todos los reales}

del modelo base. Tomeh∈ωω_∩_M_{. Entonces}

Dh={(s, f)∈D:∃n∈ω∀m≥n(f(m)> h(m))} ∈M

es denso para D, pues si (t, g) ∈ D, tomamos n > dom(t), y para m ≥ n

(12)

esta manera (t, f) ≤ (t, g), y (t, f) ∈ Dh. Luego, tomamos (s, g) ∈ G∩Dh.

Sea n tal que g(m) > h(m),∀m ≥ n. Para k ≥ n, tome (s0, g0) ∈ G∩Dk, y

(s00, g00) ∈ G con (s00, g00) ≤ (s0, g0),(s, g). De lo anterior se sigue que f(k) = s00(k) =g00(k)≥g(k)> h(k). Por tanto f ≥∗_h.

2.2.3. Ultrapotencia de un orden

Sea _P ∈M un orden parcial. Supongamos que κ∈M es cardinal medible y D es ultrafiltro κ-completo no principal atestiguando la medibilidad de κ. Consideremos_Pκ_/D₌_{{[f] :}_f _∈

Pκ} donde [f] = {g ∈Pκ :{α < κ:f(α) =

g(α)} ∈ D}. Para [f],[g] ∈ Pκ/D definimos [f] ≤ [g] ⇔ {α < κ : f(α) ≤

g(α)} ∈ D. Claramente (Pκ/D,≤) es la ultrapotencia de la estructura (P,≤).

Supongamos queP esccc. Entonces Pκ/D tambi´en es ccc. En efecto, si {[fα] :

α < ω1 < κ} ⊆ Pκ/D es una anticadena, por el Teorema de Lo´s (ver [8,

Teorema 3.2.11]) si α6=β, α, β < ω1 entonces {γ: fα(γ)⊥fβ(γ)} ∈ D (pues

[fα] ⊥ [fβ]). En consecuencia, por ω2-completitud, Tα,β<ω1,α6=β{γ : fα(γ) ⊥ fβ(γ)} ∈ D. En particular el conjunto anterior es no vac´ıo y as´ı existe γ < κ

tal que {fα(γ)}α<ω1 es una anticadena en P, contradiciendo que P esccc. En el anterior argumento s´olo usamosω2-completitud. Aunque solo pidi´eramosω1

-completitud, el cardinal más pequeño sobre el cual un ultrafiltro contablemente completo está definido debe ser medible. Además, para preservar la propiedad ccc en la ultrapotencia la medibilidad es necesaria. Por ejemplo, supongamos que_P= (ω,∅). Por cardinalidad_Pesccc. Sin embargo si tomamosDultrafiltro no principal sobre ω entonces _Pω_/D _{no es} _{ccc. En efecto, si [f}_],_[g] _∈

Pω/D

entonces [f]⊥[g] (por el Teorema de Lo´s). Adem´as |_Pω_{/D| ≥}_ω

1. Esto ´ultimo

se debe a que si{[fn]}n∈ω⊆Pω/Dy definimosf porf(m) =Pi≤mfi(m) + 1

entonces [f]6= [fn] para cadan∈ω (f(m)6=fn(m) para cadam≥n).

El siguiente lema establece que tenemos un an´alogo al Teorema de Lo´s para la relaci´on de forcing.

Lema 21 Sea[r]∈_Pκ_/D_y_ϕ_una_∆

0-f´ormula con par´ametros enMP. Entonces

[r]_Pκ_/Dϕsi y s´olo si{α:r(α)_P ϕ} ∈ D.

Demostraci´on.Suponga primero que [r]_Pκ_/DϕyX ={α:r(α)6_P ϕ} ∈ D.

Por el Lema 15 tomemos s(α) ∈ P tal que s(α) ≤ r(α) y s(α) P ¬ϕ para

α∈ X. Entonces {α : s(α) _P ¬ϕ} ∈ D. Si definimos s ∈ Pκ por s(α) para

α∈Xy por cualquier cosa siα /∈X, entonces [s]≤[r]. Esto a la vez implica que [s]_Pκ_/D ϕ. Ahora tomemos Gun filtro _Pκ/D-gen´erico sobreM con [s] ∈G.

Por el Teorema 24 y el Ejemplo 25 que mostraremos más adelante, tenemos que_P∩Ges_P-genérico sobreM y ademásM[G]|=ϕimplica M[_P∩G]|=ϕ. Por el Lema de la verdad podemos tomar t ∈ _P∩G tal que t _P ϕ. Como [t],[s]∈Gtenemos que [t]6⊥[s], y as´ı{α:t6⊥s(α)} ∈ D. En particular existe α < κ tal que t 6⊥ s(α) y s(α) _P ¬ϕ, lo cual contradice que t _P ϕ. Ahora supongamos que [r]6_Pκ_/D ϕy{α:r(α)_P ϕ} ∈ D. Tomemos [s]≤[r] tal que

[s] _Pκ_/D ¬ϕ. Por lo que acabamos de mostrar arriba {α: s(α) _P ¬ϕ} ∈ D

y adem´as {α : s(α) ≤ r(α)} ∈ D. Luego existe α < κ tal que s(α) ≤ r(α), s(α)_P¬ϕyr(α)_Pϕlo cual es una contradicci´on.

(13)

Usando el lema anterior probamos que la ultrapotencia nos permite destruir familiasmad.

Teorema 22 Sea κ cardinal medible. Suponga que P es un orden ccc tal que

P A˙ es casi disjunta y |A| ≥˙ κ. EntoncesPκ/D A˙ no es mad.

Demostraci´on. Suponga que A ={Aα _: _{α <} _|A|MP

} y |A|MP

≥κ. Para α < κ y n ∈ ω tomamos pα

n,i ∈ P y kαn,i ∈ 2 tal que pαn,i P nˇ ∈ A˙α si y

s´olo si kα

n,i = 1, pαn,i P nˇ 6∈ A˙α si y s´olo si kn,iα = 0 y {pαn,i : i ∈ ω} es

anticadena maximal. Definimospn,i ∈Pκ porpn,i(α) =pαn,i para cadaα < κ,

n, i∈ω. Por el Teorema de Lo´s tenemos que {[pn,i] :i∈ω} es una anticadena

maximal enPκ/Dpara cada n∈ω. ComoD es ultrafiltro seakn,i ∈2 tal que

{α : k_n,iα = kn,i} ∈ D. Defina ¯A = {(ˇn,[pn,i]) : kn,i = 1} ∈ MP κ_/D

. Veamos que_Pκ_/D “ ¯A∩Aβ es finito para cadaβ < |A|”. Fijemos β < |A|. Desde que

P |A

α_∩_Aβ_| _{< ω} _{para cada} _{α < κ, podemos tomar anticadenas maximales}

{qα

i :i∈ω} enP y conjuntos{nαi}i∈ω ⊆ω tal queqαi P A

α_∩_Aβ _⊆_nα i para

α < κ. Ahora definimosqi∈Pκporqi(α) =qαi para cadaα < κ. Por el Teorema

de Lo´s tenemos que{[qi] : i∈ω} es una anticadena maximal enPκ/D. Por la

completitud contable deD seani ∈ ω tal que {α: nαi =ni} ∈ D. Si tenemos

que [qi] _Pκ_/D A¯∩Aβ ⊆ ni para cada i ∈ ω entonces por la maximalidad

de {[qi] : i ∈ ω} ning´un [s] ∈ Pκ/D puede satisfacer [s] Pκ/D |A¯∩Aβ| =ω

(pues existe [qi]6⊥[s]). En consecuencia tendr´ıamos _Pκ_/D |A¯∩Aβ|< ω. Por

contradicci´on, supongamos que existe i ∈ ω tal que [qi] 6Pκ/D A¯∩Aβ ⊆ ni.

Entonces por el Lema 15 existenm > ni y [q0] ≤[qi] tal que [q0] Pκ/D mˇ ∈

¯

A∩Aβ_{. Como}_{[p

m,i] : i ∈ ω} es anticadena maximal debe existir j tal que

[q0] 6⊥ [pm,j]. Sin perdida de generalidad podemos suponer que [q0] ≤ [pm,j].

Desde que [q0]_Pκ_/D mˇ ∈A¯∩Aβ, debemos tener quekm,j = 1. De lo contrario,

por la definici´on de ¯A tendr´ıamos que [pm,j] _Pκ_/D m /ˇ ∈A¯ y as´ı se contradice

[q0]_Pκ_/Dmˇ ∈A. De esta manera¯

{α:q0(α)≤q_iα, q0(α)≤pα_m,j, k_m,jα = 1, nα_i =ni, q0(α)_P mˇ ∈Aβ} ∈ D

Esto se debe a que este conjunto es intersecci´on de finitos elementos deDyD es filtro. El hecho de que{α : q0(α) _P mˇ ∈ Aβ_{} ∈ D} _{se debe al lema 2.2.3}

aplicado a la hip´otesis [q0] _Pκ_/D mˇ ∈ Aβ (Note que la f´ormula “ ˇm ∈Aβ” es

una ∆0-f´ormula con par´ametros enMP). En consecuencia existeα < κtal que

q0(α)_P mˇ ∈Aα∩Aβpuesq0(α)≤pα_m,j yk_m,jα = 1. Adem´asq_iα_P Aα∩Aβ ⊆ nα

i, perom > ni=nαi yq0(α)≤qiα, lo cual es una contradicci´on.

Note que el anterior argumento es llevado a cabo dentro deMporque usamos la medibilidad deκ(el cual en una extensi´on podr´ıa dejar de ser medible).

2.2.4. A˜

nadiendo una familia mad

Paraκregular no contable tomemos

Mκ={p∈F n(κ,2<ω) :∀α∈dom(p)(p(α)∈2n p

(14)

Para p1, p2 ∈ Mκ definimos p1 ≤ p2 si y s´olo si dom(p1) ⊇ dom(p2), np1 ≥

np2_{, p}

1(α) ⊇ p2(α) para cada α ∈ dom(p2) y |{α ∈ dom(p2) : p1(α)(n) =

1}| ≤1 para cada n ∈np1_\np2_{. Usando el Lema del delta sistema obtenemos} queMκ esccc. La propiedad m´as importante de Mκ es que a˜nade una familia

mad de tamaño κ, lo cual es útil para hacer el cardinal a pequeño como se ve más adelante. Para ver lo anterior tomemos G un filtro _Mκ-genérico sobre

M. Para cada α ∈ κ sea Aα = {n ∈ ω : ∃p ∈ G(p(α)(n) = 1)}. Tomemos

α, β < κ, α 6= β. Por densidad existe p ∈ G tal queα, β ∈ dom(p). Veamos queAα∩Aβ ={n∈ω :p(α)(n) =p(β)(n) = 1}. Suponga que m ∈Aα∩Aβ

y m ≥ np_{. Por definici´}_{on existe} _q _∈ _G _{tal que} _{q(α)(m) =} _q(β_{)(m) = 1, y}

as´ınq _{> m} _≥ _np_{. Como} _{p, q} _∈ _{G, tomemos} _r _∈ _G _{tal que} _r _≤ _{p, q. Desde}

quem ∈ nr_\np _{deber´ıamos tener que} _|{θ _{∈ {α, β}} _: _{r(θ)(m) = 1}| ≤} _{1, pero}

como r ≤q entonces r(θ)(m) = q(θ)(m) = 1 paraθ ∈ {α, β}, lo cual es una contradicci´on.

Ahora veamos la maximalidad de A = {Aβ : β < κ}. Por contradicci´on,

supongamos que existe p ∈ Mκ y ˙A un Mκ-nombre de un subconjunto de ω

(el cual podemos suponer un buen nombre) tal quep_M_κ ∀α < κ(|_A˙_∩_A_α_|_< ω)∧ |A|˙ =ω. Como κes regular no contable existeθ < κ tal que py todas las condiciones que definen el nombre ˙Aest´an contenidas en _Mθ, y por tanto ˙A es

un_Mθ-nombre. Desde quep_Mκ |A∩A˙ θ|< ωpodemos tomarp0∈Mκyk0∈ω

tal quep0≤pyp0 Mκ A˙ ∩Aθ ⊆k0. Ahora, notemos que siα∈dom(p0)∩θ

entonces para construir un nombre del conjuntoAαbasta considerar condiciones

que tengan aαen su dominio. Por tanto, es suficiente solo tomar condiciones en Mθ para construir un buen nombre de Aα. Adem´as Mθl Mκ y p0θ es

una reducci´on dep0 a Mθ (aplicar la Definici´on 23), por tanto existe ¯p0∈Mθ

tal que ¯p0 ≤ p0θ y ¯p0 Mθ ∀α ∈ dom(p0θ)(|Aα∩A|˙ < ω)∧ |A|˙ = ω. En

consecuencia podemos tomar ¯p1∈Mθyk1≥k0 tal que ¯p1≤p¯0 y ¯p1Mθ ∀α∈

dom(p0θ)(Aα∩A˙ ⊆k1) y luego tomamos ¯p2∈Mθ ei0 > k1 tal que np¯2 > i0,

¯

p2≤p¯1 y ¯p2Mθ i0∈A. Finalmente definimos˙ p2∈Mκpor lo siguiente:

dom(p2) =dom(¯p2)∪dom(p0) ynp2 =np¯2.

Siα < θyα∈dom(¯p2),p2(α) = ¯p2(α).

Si α > θ y α∈dom(p0),p2(α)⊇p0(α) y p2(α)(n) = 0 para cadan con

np2 _{> n}_≥_np0_.

Siα=θ,p2(α)⊇p0(α),p2(α)(n) = 0 para cadan6=i0connp2 > n≥np0

yp2(α)(i0) = 1.

Tenemos que p2 ≤ p¯2 y p2(θ)(i0) = 1 por lo cual p2 _Mκ i0 ∈ A˙ ∩Aθ. Sin

embargop2≤p0yp0Mκ A˙∩Aθ⊆k0< i0, lo cual es una contradicci´on.

(15)

Ahora consideremos dos ordenes parcialesP,Q∈M tales que P⊆Q.

Qui-siéramos que dadoH un filtroQ-genérico sobre M pudiésemos producirG

fil-tro P-gen´erico sobre M tal queM[G] ⊆M[H]. La idea m´as natural es tomar

G=P∩H. De este modo tendr´ıamosP∩H∈M[H], y siP∩H fueseP-gen´erico

sobre M, entonces por el Teorema 13 también tendr´ıamos M[G] ⊆M[H]. A continuación damos condiciones suficientes para que_P∩H sea_P-genérico en un contexto más general (ver [7, Cap 7, teorema 7.5]).

Definici´on 23 Sean_P,_Q∈M ordenes parciales. Una funci´on i:_P−→_Q en

M es un embebimiento completo si se tienen:

Para cada p, p0 ∈_P, sip≤p0 entonces i(p)≤i(p0). Para cada p, p0 ∈P,p⊥p0 si y s´olo si i(p)⊥i(p0).

Para cada q∈Qexiste p∈P tal que sip0≤p,p0∈P, entoncesi(p0)6⊥q.

Equivalentemente, para cada q∈Q, el conjunto {p∈P:i(p)⊥q} no es

denso en P. Al elemento plo llamamos una reducci´on deq aP.

Si paraP,Q∈M ordenes parciales existe un embebimiento completoi:P−→Q,

entonces escribimosP l Q.

Teorema 24 Sean i,_P,_Q ∈ M tales que i : _P −→ Q es un embebimiento

completo. Sea H un filtro _P-gen´erico sobre M. Entonces i−1_(H) _{es un filtro}

P-gen´erico sobre M y M[i−1(H)]⊆M[H].

Ejemplo 25 Los siguientes son ejemplos de embebimientos completos.

Un embebimiento completoino necesariamente es inyectivo. Por ejemplo, cualquier orden lineal se embebe completamente en un punto. Se puede verificar f´acilmente que siPyQson separativos entonces un embebimiento

completo entre ellos tiene que ser inyectivo.

Suponga que I ⊆J. Entonces es f´acil ver que F n(I,2)lF n(J,2). Una

reducci´on can´onica de q∈F n(J,2)aF n(I,2) esqI.

Seanθ < κ cardinales. Entonces paraq∈Mκ, qθ es una reducci´on de q

a_Mθ. Es f´acil terminar de comprobar queMθl Mκ.

Sea _P un orden ccc y κ medible. Entonces el embebimiento i : _P −→

Pκ/D definido pori(p) = [p](donde [p]es la clase de la funci´on de valor

constante p) es completo. Para [f] ∈ _Pκ_/D _{debe existir una reducci´}_on.

De lo contrario X ={q ∈_P: i(q)⊥[f]} es denso en _P. Entonces tome una anticadena maximal C ⊆X. Como X es denso, entoncesC es una anticadena maximal enP. Por lo tantoκ=Sx∈C{α:f(α)6⊥x}. Desde

que C es contable y D es contablemente completo, tenemos que existe

[p]∈C tal que {α:f(α)6⊥p} ∈ D. Sin embargo, como [p]∈X entonces

{α : f(α) ⊥ p} ∈ D, lo cual contradice que D es filtro. Adem´as de la anterior propiedad, tenemos que elementos incompatibles enPlo ser´an en

(16)

Pκ/D. A´un m´as, si{pn:n∈ω}es una anticadena maximal enPentonces

la estructura(P,≤)|=¬∃x(Vn∈ω(pn ⊥x)). Como¬∃x(V_n∈ω(pn ⊥x))es

una f´ormula deLκκ yP≺κκPκ/D 1, entonces la anticadena maximal se

preserva.

Si i : P −→ Q es un isomorfismo, entonces i, i−1 son embebimientos

completos. En consecuencia, siGes un filtroP-gen´erico sobreM entonces

M[G] =M[i(G)].

Aunque entre F n(ω, ω) y F n(ω,2) no exista un isomorfismo (los inmediatos predecesores del máximo∅enF n(ω, ω) forman una anticadena infinita, mientras que en F n(ω,2) no) abajo damos una condición suficiente para probar que dos ordenes como los anteriores producen una misma extensión (ver [7, Cap 7, teorema 7.11]).

Definici´on 26 SeanP,Q∈M ordenes parciales. Una funci´on i:P−→Q en

M es un embebimiento denso si se tienen:

Para cada p, p0 ∈P, sip≤p0 entonces i(p)≤i(p0).

Para cada p, p0 ∈_P, sip⊥p0 entonces i(p)⊥i(p0).

i(_P)es denso en_Q.

Si existe i tal quei:P−→Qes un embebimiento denso, entonces diremos

quePy Qson forcing equivalentes (P≡Q).

Teorema 27 Suponga i,P,Q ∈ M tal que i : P −→ Q es un embebimiento

denso. ParaG⊆P definimos˜i(G) ={q∈Q:∃p∈G(i(p)≤q)}. Entonces se

tienen:

Si H ⊆ _Q es un filtro _Q-gen´erico sobre M entonces G = i−1_(H) _{es un}

filtro P-gen´erico sobre M y adem´asM[G] =M[H].

Si G⊆_P es un filtro _P-gen´erico sobreM entonces H = ˜i(G)es un filtro

Q-gen´erico sobreM y adem´asM[G] =M[H].

No es dif´ıcil ver que si _P y _Q son ordenes parciales contables no atómicos (enM) entonces existe una inclusión densa de_Pen_Q(ver [7, Cap 7, C4] para indicaciones). En consecuencia ordenes comoF n(ω,2) yF n(ω, ω) producen las mismas extensiones para ciertos genéricos. A continuación vemos como se induce una transformación en los nombres a partir de un embebimiento completo (ver [7, Cap 7,lema 7.13]).

Definici´on 28 Sean i,P,Q ∈ M tales que i : P −→ Q es un embebimiento

completo y tomemosτ∈MP_{. Definimos}_i

∗(τ)∈MQ pori∗(τ) ={(i∗(σ), i(p)) :

(σ, p)∈τ}.

1

P≺κ,κPκ/Dquiere decir queP|=ϕsi y s´olo siPκ/D |=ϕ, dondeϕtiene par´ametros enP

y perteneces a la l´ogicaLκ,κ(se permiten sucesiones de menos deκconjunciones y sucesiones de menos deκcuantificadores existenciales).

(17)

Note que siP⊆Qcompletamente (es decir, la inclusi´on es completa),

enton-cesi∗(τ) =τ para cadaτ ∈MP. A continuaci´on presentamos las propiedades

que nos interesan dei∗.

Lema 29 Suponga quei:P−→Qes un embebimiento completo enM.

Enton-ces se tiene:

SiH es un filtroQ-gen´erico sobreM entoncesτi−1₍_H₎=i∗(τ)H para cada

τ∈MP_.

Si ϕ(x1, . . . , xn) es ∆0 (o en general, absoluta para modelos transitivos

de ZF C) y τ1, . . . , τn ∈ MP, entonces p P ϕ(τ1, . . . , τn) si y s´olo si

i(p)_Qϕ(i∗(τ1), . . . , i∗(τn)).

Si adem´asies un embebimiento denso,ϕ(x1, . . . , xn)es cualquier f´

ormu-la y τ1, . . . , τn ∈ MP, entonces p P ϕ(τ1, . . . , τn) si y s´olo si i(p) Q

ϕ(i∗(τ1), . . . , i∗(τn)).

2.2.6. Algebras Booleanas y Forcing

´

Las álgebras Booleanas proveen un enfoque alternativo al estudio del forcing. El interés de usarlas radica en que simplifican algunos objetos, como los nombres, y otros objetos tienen una traducción más natural en el álgebra Booleana, como embebimientos completos y conectivos lógicos.

Definici´on 30 Un ´algebra Booleana _B = (B,∧,∨,0_,_0,₁₎ _{es completa si para}

cadaS⊆B existe un supremo W_S _{y un ´ınfimo}V_S_.

Las operaciones∧y∨las denotaremos tambi´en por·y + respectivamente. De igual maneraV_S _yW_S _{los denotaremos por}Q_S _y P_S _{respectivamente.}

Paraa, b∈_Bdefinimosa≤bsi y s´olo sia=a·b, con lo cual (B,≤) es un orden parcial. Forzar sobre un ´algebra Booleana se entiende como forzar sobre el orden

P=B\{0}. El siguiente resultado muestra que forzar sobre un orden cualquiera Pse puede ver como forzar sobre un ´algebra Booleana completaB(P).

Lema 31 Sea _P un orden parcial. Entonces existe una ´unica (salvo isomor-fismo) ´algebra Booleana completa B(_P) tal que hay un embebimiento denso

i:P−→B(P)\{0}.

La anterior asociaci´on respeta embebimientos completos en el sentido del siguiente lema (ver indicaciones en [7, Cap 7, C8]).

Lema 32 Si_{P l Q} entoncesB(_P)_lB(_Q).

Cuando forzamos con un ´algebra Booleana completa _Bpedimos

M |= “_Bes un álgebra Booleana completa”. A diferencia de ser orden parcial (la cual es una noción absoluta), la noción “Bes un álgebra Booleana completa”

no es absoluta. Al ser M contable, las ´algebras Booleanas completas (en el sentido deV) dentro deM deben ser finitas (ver [7, Cap 7, F6]).

El siguiente concepto nos permite reescribir la relaci´onen el ´algebra Boo-leana.

(18)

Definici´on 33 Si (B es un ´algebra Booleana completa)M y τ1, . . . , τn ∈ MB

definimos el valor de verdad de una f´ormulaϕ(τ1, . . . , τn)por[[ϕ(τ1, . . . , τn)]] =

W

{p∈B:pBϕ(τ1, . . . , τn)}.

Las siguientes propiedades muestran que los conectivos lógicos se interpretan co-mo las operaciones en el álgebra Booleana en la relación definida arriba. Además se muestra que la nociónse puede escribir en términos de la noción [[·]] (ver [7, Cap 7, Lema 7.15]).

Lema 34 Suponga que (_Bes un ´algebra Booleana completa)M _y _τ

1, . . . , τn ∈

MB_.

[[ϕ(τ1, . . . , τn)∧ψ(τ1, . . . , τn)]] = [[ϕ(τ1, . . . , τn)]]∧[[ψ(τ1, . . . , τn)]].

[[¬ϕ(τ1, . . . , τn)]] = [[ϕ(τ1, . . . , τn)]]0.

[[∃xϕ(x, τ1, . . . , τn)]] =W{[[ϕ(σ, τ1, . . . , τn)]] :σ∈MB}.

Para cadap∈Bse tienepϕ(τ1, . . . , τn)si y s´olo sip≤[[ϕ(τ1, . . . , τn)]].

Otro concepto que tiene una contraparte algebraica son los embebimientos completos. En efecto, si_B,_B0 _{son ´}_{algebras Booleanas completas e} _i_:

B−→B0,

entonces i es un embebimiento completo si y s´olo si i es un homomorfismo inyectivo (ver indicaciones en [7, Cap 7, C7]). La inyectividad deise debe a que las ´algebras Booleanas son ordenes separativos. En efecto, tomemosa, b∈_Btal queab. Entonces sic=a·b0 tenemosc≤ayc·b= 0 (lo cual equivale a que c⊥b).

Una ventaja de las álgebras Booleanas completas es que nos permiten tomar elementos canónicos para una cierta propiedad usando supremos e ´ınfimos. En la Definición 33 se establece que [[ϕ]] es un elemento canónico para{p:pϕ}. El siguiente objeto es un elemento canónico para la reducción de un punto.

Definici´on 35 Suponga queB1,B2 son ´algebras Booleanas completas tales que

B1l B2. Parab∈B2, definimos su proyecci´on πB1(b) =

Q

{c∈B1:c≥b}.

Lema 36 Con las mismas condiciones de la definici´on anterior,π_B1(b)es una

reducción deb. Sices reducción deb, entoncesc≤π_B1(b). Además, si{xi}i∈I ⊆

B2, entonces πB1(

P

i∈Ixi) =Pi∈IπB1(xi).

En este documento usamos las ´algebras Booleanas porque nos permiten simplificar la construcci´on de nombres. Por ejemplo, supongamos que ¯A = {(ˇn, pn,i) : kn,i = 1, n, i ∈ ω} donde {pn,i : i ∈ ω} es anticadena maximal

en_Bykn,i∈2, y definamos elB-nombre ¯A¯={(ˇn,W{pn,i:kn,i= 1}) :n∈ω}.

Es f´acil ver que _B A¯¯ = ¯A, por lo cual hemos conseguido un _B-nombre m´as sencillo para el subconjunto deω que codificaba ¯A.

(19)

2.3. Ultrapotencia del universo

Más adelante construiremos la ultrapotencia de una plantilla en M. Tal ultrapotencia será un elemento del objeto que definimos a continuación (ver [11, Cap 17]).

Definici´on 37 SeaDun ultrafiltroκ-completo no principal sobreκenM. De-finimos (Mκ_/D,_∈) _{como el colapso transitivo de la ultrapotencia} _(Mκ_/D,_∈∗₎

del modelo(M,∈))(esta construcci´on se lleva a cabo enM).

La existencia del colapso transitivo (Mκ_/D,_{∈) se debe a que el modelo}

(Mκ_/D,_∈∗_{) es bien fundamentado con la relaci´}_on _∈∗ _{y as´ı podemos aplicar}

el teorema del colapso de Mostowski (ver [11, Teorema 6.15]). Por el teorema de Lo´s, si ϕ(x1, . . . , xn) es una ∈-f´ormula y [f]1, . . . ,[f]n ∈ Mκ/D entonces

{α < κ:M |=ϕ(f1(α), . . . , fn(α))} ∈ Dsi y s´olo siMκ/D |=ϕ([f]1, . . . ,[f]n) si

y s´olo siMκ_{/D |}₌_ϕ(π([f_]

1), . . . , π([f]n)), dondeπes el isomorfismo que colapsa

Mκ/DaMκ_{/D. El siguiente lema establece las propiedades que necesitamos de}

la ultrapotencia (ver [11, Lema 17.9]).

Lema 38 Definimos jD : M −→ Mκ/D por jD(x) =π([cx]), donde x∈ M,

cx∈Mκ/D ycx(α) =xpara cada α < κ. Entonces se tiene:

Mκ_{/D ⊆}_M_.

(20)

Cap´ıtulo 3

Iteraciones de Forcing

3.1. Iteraciones de soporte finito y contable

De ahora en adelante fijemos (en M) κ cardinal medible y λ, µ cardinales regulares tales que λ > µ > κ. El primer objetivo de nuestra construcción es forzard=µ para lo cual añadiremos unaµescala (ver Lema 6). Como hemos visto, el forcing de HechlerDañade un real que domina a los reales del modelo

base (ver Teorema 20). Quisiéramos de alguna manera repetir esta construcción µveces para obtener una µ escala, pero en comienzo no es claro que hacer en los pasos l´ımite. Más precisamente, partimos del modeloM0=M y producimos

una extensi´onM1=MD0, dondeD0es el forcing de Hechler deM0. EnM1se ha

a˜nadido un realf0que domina los reales deM0. Ahora tomamosD1el forcing de

Hechler deM1y obtenemos una nueva extensi´onM2=M1D1 donde hay un real

f1 que domina todos los reales de M1. Si continuamos este proceso, podemos

obtener una cadena creciente{Mi}i∈ωde modelos contables transitivos deZF C

donde para cadai∈ω existe un realfi ∈Mi+1 que domina todos los reales de

Mi. Quisi´eramos definir un modeloMωque contenga a{fi}i∈ωpara continuar el

proceso. Posteriormente, para cadaδl´ımite, si hemos definido {Mi}i∈δ cadena

creciente de modelos deZF C y{fi}i∈δ una familia de reales tal quefi ∈Mi+1

domina todos los reales de Mi para i < δ, queremos definir un modelo Mδ

m´as grande que los anteriores que contenga a{fi}i∈δ. Si tal construcci´on fuera

posible, en Mµ tendr´ıamos una familia {fi}i∈µ de reales de tipo de orden µ

(con el orden≤∗_{). La soluci´}_{on m´}_{as simple para definir}_M

δ,δl´ımite, ser´ıa tomar

Mδ =Sα<δMα. De este modo, si f es un real en Mµ, existir´ıafα con α < δ

tal quefα domina a f y as´ı{fi}i∈µ ser´ıa unaµ-escala. El siguiente resultado

muestra que necesitamos un modelo m´as grande que la uni´on en los pasos l´ımite (ver [6, Cap 4, ejercicio 7.20] para indicaciones).

Teorema 39 Sea {Mi}i∈ω una cadena creciente de modelos transitivos

con-tables de ZF C. Adem´as suponga que existe A ∈ M0 tal que P(A)∩Mn 6=

P(A)∩Mn+1. EntoncesMω=S{Mi}i∈ωno satisface el axioma de partes y por

(21)

La idea de la siguiente construcci´on sugiere que al menos en los pasos finitos de una iteraci´on no es necesario preocuparnos por los modelos, sino solamente por los ordenes (ver [6, Teorema 5.3.6]).

Definici´on 40 Si P es un orden parcial y Q˙ es un P-nombre para un orden

parcial, entonces_P∗Q˙ ⊆P×dom( ˙Q)se define de la siguiente manera:

(p,q)˙ ∈_P∗_Q˙ si y s´olo si (p,q)˙ ∈_P×dom( ˙_Q)y p_Pq˙∈_Q˙.

(p0,q˙0)≤_P_∗_Q˙ (p1,q˙1)si y s´olo si p0≤Pp1 y p0P q˙0≤Qq˙1.

Teorema 41 Si_P∈M es un orden parcial y_Q˙ es un_P-nombre para un orden parcial entonces se tiene que:

1. _P∗_Q˙ es un orden parcial.

2. i:P−→P∗Q˙,i(p) = (p,1Q) es un embebimiento completo.

3. Sea K un filtro _P∗_Q˙-gen´erico sobre M. Entonces G := i−1_(K) _{es un}

filtro _P-gen´erico sobre M y H :={q˙G : ∃p ∈P((p,q)˙ ∈ K)} es un filtro

˙

QG-gen´erico sobreM[G]. Adem´asM[K] =M[G][H].

4. SeaGun filtroP-gen´erico sobreM yH un filtroQ˙G-gen´erico sobreM[G].

EntoncesK={(p,q)˙ ∈P∗Q˙ :p∈G,q˙G∈H} es un filtro P∗Q˙-gen´erico

sobreM. Adem´asM[K] =M[G][H].

Suponga que _P,_Q son ordenes parciales en M. Entonces ( ˇ_Q,≤,ˇ ˇ₁

Q) es un P

-nombre para el orden_Q, y_P×_Qes isomorfo a _P∗_Qˇ.

Ahora tomemosI, I0, I1 ∈ M tal que I = I0∪I1 y ∅ = I0∩I1. Entonces es

f´acil ver que F n(I,2) ∼= F n(I0,2)×F n(I1,2). Adem´as F n(Ij,2)lF n(I,2),

para j ∈ {0,1}. Por tanto F n(I,2) es un ejemplo de la definici´on 40. Usando esta observaci´on y el siguiente resultado mostraremos que si CH vale en M, entonces las extensionesMCκ _satisfacen_a_<_d_{(ver secci´}_on_{Forcing de Cohen}_en

el cap´ıtulo 2 y [7, Cap 8, Teorema 2.3]).

Lema 42 Suponga queI, S∈M. SeaGun filtroF n(I,2)-gen´erico sobreM, y tomeX ⊆S conX ∈M[G]. Entonces X∈M[G∩F n(I0,2)] para alg´unI0⊆I

tal queI0∈M y(|I0| ≤ |S|)M.

Teorema 43 Suponga queM |=CH. Siκ≥ω2 entonces Cκ a<d.

Demostraci´on. Primero veamos que _C_κ d ≥ κ. Tomemos G un filtro

Cκ-gen´erico sobreM. Supongamos que {hα : α < θ} es una familia de reales

(elementos de ωω_{), con} _{θ < κ. Esta familia se puede codificar mediante una}

funci´on ¯h:θ×ω→ω tal que ¯h(α, n) =hα(n) para cadaα < θyn < ω. Como

S = (θ×ω)×ω ∈ M, ¯h ⊆S y ¯h∈ M[G], por el Lema 42 existe I₀0 ⊆κ tal queI₀0 ∈M, (|I0

0| ≤θ)M y ¯h∈M[K0], donde K0 =F n(I00,2)∩Ges un filtro

F n(I₀0,2)-gen´erico sobreM. Tome I0 ∈ M tal que κ⊇ I0 ⊇ I00 y |κ\I0| =ω.

El conjuntoI0 existe porque (|I00| ≤θ < κ)

(22)

K=F n(I0,2)∩Ges un filtroF n(I0,2)-gen´erico sobreM,H=F n(κ\I0,2)∩G

es un filtro F n(κ\I0,2)-gen´erico sobre M[K] y M[G] = M[K][H]. Desde que

¯

h∈M[K0]⊆M[K] yF n(κ\I0,2) es isomorfo aF n(ω, ω), el gen´ericoH codifica

una funciónh∈M[G] que no es dominada por ninguna función enM[K] (ver secciónForcing de Cohen en el cap´ıtulo 2). Además{hα:α < θ} ⊆M[K], por

lo cual{hα:α < θ}no es una familia dominante enM[G], y as´ıM[G]|=d≥κ.

Ahora veamos que _C_κ a =ω1. Una familia mad A ∈ M esCohen

indes-tructible si sigue siendo maximal en MCκ _{para cualquier} _κ _{cardinal infinito.}

Construiremos una familiaAcon tal propiedad. Es necesario notar queA ∈M esmadenMCκ _{si y s´}_{olo si}_A_es_mad_en_MF n(I,2)_{para cada}_I_⊆_κ_{contable (en}

M). Esto se tiene porque six∈MCκ _{es casi disjunto de todo los elementos de}

A, entonces por el Lema 42 existeI0∈M con |I0| ≤ ω tal quex∈MF n(I0,2).

De esta maneraA no ser´ıa maximal en MF n(I0,2)_{. Adem´}_as _A _es_mad_{en cada} extensi´onMF n(I,2)_{, para}_I _∈_M _{contable, si y s´}_{olo si} _A_es_mad_en_MCω_{. Esto}

se tiene porque F n(I,2) es isomorfo a F n(ω,2) para cada I contable. Por lo anterior, es suficiente construir una familiaAque seamadenMCω_{. El siguiente}

argumento es aplicable a cualquier orden parcial contable.

Trabajando dentro de M, como F n(ω,2) es contable, tiene a lo sumo 2ω

anticadenas maximales, y por tanto hay (2ω₎ω _{= 2}ω ₌_ω

1 buenos nombres de

subconjuntos de ω (ver Ejemplo 17). Entonces el conjunto Z = F n(ω,2)× {τ: τ es un buen nombre de un subconjunto deω}est´a enM y tiene cardinal ω1. Enumerando, tenemosZ ={(pζ, τζ)}ζ<ω1. Definimos inductivamenteA = {Aζ}ζ<ω1 tal que para cadaθ < ω1 se tenga:

La familia{Aζ}ζ≤θes casi disjunta.

Definimosϕ(θ) como la propiedad “|τθ| =ω y para cada ζ < θ se tiene

|Aζ ∩τθ|< ω ”. Queremos que sipθϕ(θ) entoncespθ|Aθ∩τθ|=ω.

Sea ψ(θ) la propiedad “Para cada n∈ω y q≤pθ, existenm ≥ny r≤q tal

quermˇ ∈τθ∩Aθ”. Notemos que ψ(θ) implicapθ |Aθ∩τθ|=ω (es f´acil

ver que realmente son equivalentes). Esto se tiene porque si no valeψ(θ), por el lema 15, existir´ıaq≤pθ yn∈ω tal queqAθ∩τθ⊆n, pero a la vez existir´ıa

r≤q ym≥n tal quermˇ ∈Aθ∩τθ, lo cual es una contradicci´on. Adem´as,

si hemos definidoAcon las propiedades de arriba, entoncesAesmadenMCω_.

De lo contrario, suponga queGes un filtro_Cω-gen´erico sobreM tal que existe

T ∈M[G], conT⊆ω infinito yT casi disjunto a todos los elementos deA. Por el Lema de la verdad existep∈Gtal quepϕ(θ) para cada θ < ω1. Adem´as

existe un buen nombre τ para T (es decir, τG = T). Sin embargo, existir´ıa

α < ω1 tal que (p, τ) = (pα, τα) y por tantop|Aα∩τθ| =ω, lo cual es una

contradicci´on.

Finalmente definimos A por inducción en β. La construcción que realizamos a continuación necesita que hayamos definido infinitos elementos de A. Por lo tanto tomamos {An}n<ω como una partición en conjuntos infinitos de ω.

(23)

escogemos Aβ casi disjunto a todos los elementos de {Aζ}ζ<β, el cual existe

porque{Aζ}ζ<β es contable (ver lema 2). Si pβ ϕ(β), tomemos primero las

enumeraciones {(ni, qi)}i∈ω = ω× {q : q ≤ pβ} y {Bi : i ∈ ω} = {Aζ}ζ<β.

Para k ∈ ω, como qk ≤ pβ y pβ ϕ(β) entonces qk |τβ\S k

i=0Bi| = ω.

Luego existe rk ≤ qk y mk ≥ nk tal que rk mˇk ∈ τβ\Sk_i₌₀Bi. Definimos

Aβ = {mi : i ∈ ω}. Claramente vale ψ(β). Adem´as, si α < β y Aα = Bk,

entoncesAα∩Aβ⊆ {m0, . . . , mk−1}. Por lo tanto{Aζ}ζ≤β es una familia casi

disjunta.

El hecho de que en el modelo base valgaCH es indispensable para la cons-trucci´on de una familia Cohen indestructible en el teorema anterior. La construc-ci´on de una familia mad Cohen indestructible sin el uso deCHes un interrogante sin resolver (ver [10, Pag. 182]).

Problema 44 ¿Hay una familia madCohen indestructible en ZF C?

La parte 4 del Teorema 41 nos da una forma de extender dos veces en un solo paso. Por ejemplo, el modelo M2 = (MD0)D1 se puede obtener como

M2 = MD0∗ ˙

D1 _{donde ˙}

D1 es un D0-nombre para D1 (ver el ´ultimo item del

Ejemplo 17). De esta manera, si definimosP0 ={∅} yPn+1=Pn∗D˙n, donde

Dn es el forcing de Hechler deMPn, obtenemos una cadena de ordenes{Pn}n∈ω

donde_Pnl Pn+1 para cada n∈ω. El objetivo de la siguiente construcci´on es

definir una clase de “l´ımite”_Pω de la sucesi´on{Pn}n∈ω.

Definici´on 45 Seaαun ordinal. Definimos inductivamente unaα-iteraci´on

(Pξ,Q˙ξ)ξ∈αa trav´es de lo siguiente:

1. P0={∅}.

2. Sea α=ξ+ 1. Suponga que Q˙ξ es un Pξ-nombre para un orden parcial.

Decimos que p∈ Pξ+1 si y s´olo si p= ( ˙qβ)β≤ξ tal que pξ = ( ˙qβ)β<ξ ∈

Pξ, q˙ξ ∈ dom( ˙Qξ) y pξ Pξ q˙ξ ∈ Q˙ξ. Adem´as, si p1 = ( ˙q

1

β)β≤ξ, p2 =

( ˙q2

β)β≤ξ ∈ Pξ+1, decimos que p1 ≤Pξ+1 p2 si y s´olo si p1ξ ≤Pξ p2ξ y

p1ξPξ q

1

ξ ≤Q˙ξq

2

ξ.

3. Sea α ordinal l´ımite. Suponga que Q˙ξ es un Pξ-nombre para un orden

parcial para cada ξ < α. Decimos que p∈Pα si y s´olo si p= ( ˙qξ)ξ<α tal

que pξ = ( ˙qβ)β<ξ ∈ Pξ y q˙ξ ∈ dom( ˙Qξ) para cada ξ < α. Adem´as, si

p1, p2 ∈ Pα, decimos que p1 ≤Pα p2 si y s´olo si p1ξ ≤Pξ p2ξ para cada

ξ < α.

Si J es un ideal sobre α, decimos que (Pξ,Q˙ξ)ξ∈α es una α-iteraci´on con

soporte J si para cada p = ( ˙qβ)β<α ∈ Pα, su soporte Supp(p) := {β ∈ α :

˙ qβ 6= 1_Q˙

β} est´a contenido en J. Si J ={X ⊆α: |X| < ω}, a (Pξ,

˙

Qξ)ξ∈α le

llamamos unaα-iteraci´on de soporte finito. Si J ={X ⊆α: (|X| ≤ω)M_}_{, a}

(_Pξ,Q˙ξ)ξ∈αle llamamos una α-iteraci´on de soporte contable.

(24)

El orden de CohenCκ es isomorfo a unaκ-iteraci´on de soporte finito del

ordenF n(1,2).

SeaH(µ)laµ-iteraci´on de soporte finito(Pξ,D˙ξ)ξ∈µ dondeDξes el forcing

de Hechler deMPξ_{. M´}_{as adelante veremos que si}_{µ > κ}_,_κ_{es medible y}_µ

es regular entonces Hκ_/D_{es isomorfo a}_H(µκ_/D)_{(ver Teorema 64).}

El siguiente teorema muestra que en cada paso de la iteraci´on definida en 45 estamos produciendo un orden que contiene completamente a los anteriores ordenes de la iteraci´on (ver [7, Cap 8, Lema 5.11]).

Teorema 47 Seanα < β≤η. Defina la aplicaci´oniβ

α:Pα−→Pβ poriβα(p) =

( ˙qθ)θ<β tal que p = ( ˙qθ)θ<α y q˙Qθ = 1θ para α ≤ θ < β. Entonces i β α es un

embebimiento completo.

Volviendo a nuestro problema de añadir unaµ-escala (ver Definición 5), para definir la iteración en los pasos l´ımite tenemos en comienzo dos opciones, las iteraciones de soporte finito y las iteraciones de soporte contable. ¿Será que ambas sirven?. Sea (Pξ,D˙ξ)ξ<µ una µ-iteración de soporte finito o contable,

donde ˙_Dξ en un Pξ-nombre para el forcing de Hechler de MPξ. Tenemos que

ambas iteraciones a˜naden una familia{fα}α<µ deωωcon tipo de ordenµ. Sin

embargo, en comienzo enMPµ _{el cardinal}_µ_{pudo haber colapsado. Por ejemplo}

podr´ıamos tener que MPµ _|₌ _|µ| ₌_ω _{y as´ı}_{f

α}α<µ no podr´ıa ser cofinal. El

siguiente teorema muestra que una iteración de soporte finito de ordenesccc es tambiénccc, y por tanto preserva cardinales. Más adelante mostramos que una iteración de soporte contable puede colapsar cardinales.

Teorema 48 Sea (Pξ,Q˙ξ)ξ∈η una η-iteraci´on de soporte finito y θ > ω un

cardinal regular enM. Suponga que para cadaξ < ηse tiene_P_ξ“ ˙_Qξ es θ−cc”ˇ .

Entonces_Pη es θ−cc enM.

Sea Gun filtroH(µ)-gen´erico sobre M. M[G] a˜nadeµ reales{fα}α<µ que

forman una cadena bien ordenada de tipoµen (ωω_,_≤∗₎M[G]_{, y adem´}_as_µM ₌

µM[G]_{. Lo que falta ver es que}_{f

α}α<µ es cofinal en (ωω,≤∗)M[G]. El problema

es que en el paso µ de la iteración se pueden añadir nuevos reales que no se dejen dominar por ningún real {fα}α<µ. Lo anterior se podr´ıa tener en una

ω-iteración, pues como veremos adelante, en el último paso se añaden reales de Cohen. En cambio, en unaµ-iteración con µ > ω regular, un real es un objeto “pequeño” que debió aparecer en un paso anterior aµde la iteración, y que por tanto es dominado por los reales de{fα}α<µ que se añaden posteriormente. El

siguiente teorema precisa que tan “peque˜no” debe ser el objeto (ver [7, Cap 8, Lema 5.14]).

Teorema 49 Sea η un ordinal l´ımite en M y (_Pξ,Q˙ξ)ξ∈η una η-iteraci´on con

soporte J. Suponga que cada elemento del ideal J es acotado en η. Suponga queGes un filtro_Pη-gen´erico sobre M,S∈M,X ∈M[G],X ⊆S yM[G]|=

|S|< cf(η). Entonces existeα < η tal queX ∈M[(iη

(25)

Aunque el anterior teorema da una cota sobre el tama˜no deX, es importante queX este acotado como subconjunto por un elementoS∈M. Por ejemplo, si Ges un filtro Pµ-gen´erico sobre M, tenemos queX ={G} no puede estar en

ninguna extensi´on intermedia, aunque sea un conjunto con tan solo un elemento. El Teorema 42 es la version de este teorema para el forcing de Cohen F n(κ,2), pues F n(κ,2) es isomorfo a la κ-iteraci´on de soporte finito del or-den F n(1,2). En el Teorema 43, para mostrar que si _P = F n(κ,2) entonces

P d=κ=c, codificamos una familia de reales{hα}α<θ,θ < κpor una sola

fun-ci´on ¯h:θ×ω−→ω. Si aplicamos el resultado anterior aX= ¯h⊆(θ×ω)×ω=S podemos justificar que la familia{hα}α<θ,θ < κhaya aparecido en un paso

an-terior de la iteración. También vale la pena notar que en el anterior resultado nos importa la cofinalidad deµenM[G]. En el caso de iteraciones con soporte finito la cofinalidad deµ se preserva, sin embargo en una iteración de soporte contablecf(µ) podr´ıa colapsar. Por esta razón se debe tener cuidado al aplicar argumentos como los mencionados anteriormente para el forcingCκ(donde no

hab´ıa inconveniente porque el soporte es finito). Volviendo al forcing de Hechler, sif es un real en MH(µ), por el Teorema 49 el real f aparece enMH(α) para algúnα < µ. En consecuencia H(µ) no añade reales en el último paso l´ımite y el siguiente resultado se tiene.

Teorema 50 Seaµ > ω yη≥µtal quecf(η) =µ. Entonces_H(η)b=d=µ. Demostraci´on. Tomemos {θα}α<µ una sucesi´on creciente y cofinal en η.

Sea fα ∈MPθα+1 el real a˜nadido por Dθα+1. Entonces la sucesi´on{fα}α<µ es

unaµ-escala enMPη_.

Si j : µ→µκ_/D _{es la inyecci´}_{on can´}_onica,_j _{induce un embebimiento}

com-pleto ¯j : H(µ) → H(µκ_{/D) definido por ¯}_{j(p)(j(α)) =} _{p(α), para} _p _{∈ H(µ) y}

α < µ. Adem´as, sifα∈MH(α+1)es el real a˜nadido porDα, por ser ¯jcompleta,

fα ∈ MH(j(α)+1) es el real a˜nadido por Dj(α). El hecho de que j sea cofinal

enµκ_/D_{nos garantiza que la} _µ-escala _{f

α}α<µ a˜nadida en MH(µ) siga siendo

escala enMH(µκ/D)_{. Esta ideas se precisan en los comentarios posteriores a la}

prueba del Teorema 82. En [1] se muestra que el hecho anterior (la preservaci´on de la escala) se tiene para la ultrapotencia de cualquier ordenccc.

Teorema 51 SeaP un ordenccc,κmedible yµ > κregular. Si

P “{fβ}β<µ es una escala” entonces _Pκ_/D “{f_β}_β<µ es una escala”.

El siguiente resultado muestra que bajo una hip´otesis suave el continuo en H(µ) toma el m´ınimo valor posible.

Teorema 52 SiM |=µω₌_µ _entonces

H(µ)c=µ.

Demostraci´on.Sea Gun filtro_P-gen´erico sobreM. Llamamos Gα=Pα∩G

y Mα = M[Gα]. Probemos por inducci´on sobre θ que (2ω ≤ µ)Mθ,∀θ ≤ µ.

Supongamos que para cadaα < θ, (2ω_≤_µ)Mα_{. Por el ´}_{ultimo item del Ejemplo}

17 podemos elegir el Pα-nombre ˙Qα de tal manera que |Q˙α|M = |D|Mα =

(26)

µ)M, y por tanto (en M) |Pθ| ≤ |θ||Supα<θ(2ω)Mα| ≤ |θ|µ = µ. La anterior

desigualdad se debe a que los elementos dePθsonθ-tuplas con finitas entradas

distintas de 1, luego hay tantas como subconjuntos finitos deθ(es decir,|θ|) por los posibles valores en cada entrada no trivial, lo cual se acota por la segunda parte de la desigualdad. Como el forcing de Hechler esccc, entonces la iteraci´on

Pθ tambi´en lo es (ver Teorema 48). Desde queM µω=µ, por el Teorema 19

Mθ2ω≤µ.

En general en una iteración queremos añadir ciertos objetos, como por ejem-plo reales dominantes. Sin embargo queremos que no se añadan otros conjuntos. En nuestro caso, si deseamos construir una iteración que fuerce d < a qui-siéramos que no se añadan familias madpequeñas en el último paso. Además quisiéramos que no se añadan reales de Cohen, los cuales no se dejan domi-nar por los reales añadidos anteriormente. A manera de ejemplo, consideremos laω-iteración de soporte finito (Pn,Q˙n)n∈ω dondeQn =F n(ωn,2) (como Pn

preserva cardinales, F n(ωn,2)M

Pn

= F n(ωn,2)M). Como Sn∈ωMPn ⊆ MPω

entonces se han a˜nadido al menos ωω reales, y as´ıMPω |=c > ωω. En

conse-cuencia debemos haber a˜nadido en el pasoω al menosωω+1 reales, es decir, la

mayor´ıa de reales enMPω_{. Este ejemplo evidencia que en ciertas iteraciones no}

tenemos un control absoluto de lo que agregamos. El siguiente resultado es otro ejemplo de esta falta de control. Aqu´ı tambi´en se establece que la condici´on de cofinalidad no enumerable en el Teorema 50 es necesaria.

Teorema 53 Sea(_Pξ,Q˙ξ)ξ∈β unaβ-iteraci´on de soporte finito donde

Pξ “∃q

0

ξ, q

1

ξ ∈Q˙ξ(qξ0⊥q

1

ξ)”, para ξ < β. Suponga que MPβ |=cf(β) =ω . Si

Ges un filtro Pβ-gen´erico, entonces existe f ∈M[G] real de Cohen sobreM.

Demostraci´on.Definimos ¯

Cω={p∈Pω:∀n∈Supp(p)(pnp(n)≤q0n∨pnp(n)⊥qn)}

Veamos que ¯Cω es denso enPω. Seap∈Pω. Construimos inductivamentepn∈

¯

Cωtal queSupp(pn)⊆nypn≤pnparan≥1. Paran= 1 tenemos dos casos.

Si p(0) ⊥q0n definimosp1(0) = p(0). De lo contrario debe existir r0 ∈Q0 tal

quer0 ≤p(0), q0n y entonces definimos p1(0) = r0. En los dos casos anteriores

tomamosp1(n) = 1 para n >0. Supongamos que hemos definido pn. Si pn

p(n)⊥q0

n definimospn+1(n) =p(n). De lo contrario debe existirrn∈dom( ˙Q0)

yp0

n ≤pn con Supp(p0n)⊆ntal quep0n rn ≤p(n), qn0 y entonces definimos

pn+1n=p0n ypn+1(n) =rn. En los dos casos anteriores tomamospn+1(m) = 1

param > n. Entonces tenemos que pn+1 ∈C¯ω,Supp(pn+1)⊆n+ 1 ypn+1 ≤

p(n+1) (ver definici´on 45). Param > Supp(p) tenemos entonces quepm∈C¯ωy

pm≤p, y as´ı ¯Cωes denso enPω. SeaGun filtro ¯Cω-gen´erico sobreM. Definimos

f ∈(ωω₎M[G]_por_{f(n) = 0 si y s´}_{olo si}_∃p_∈_G_{tal que}_p

np(n)≤q0

n. Tenemos

quef es funci´on por la compatibilidad de los elementos de G. Veamos que f es un real de Cohen sobreM. Sea D ⊆ Cω un conjunto denso en M. Defina

D∗={p0 _∈_C¯_ω_:_p0

np0(n)≤q0

n ⇐⇒p(n) = 0, para p∈D}. Veamos queD∗

es denso en ¯Cω. Seaq0 ∈C¯ω yq∈Cωtal que q0nq0(n)≤q0n⇐⇒q(n) = 0.