MASKAY 9(1), May 2019 Recibido (Received): 2018/09/27 ISSN 1390-6712 Aceptado (Accepted): 2018/12/23
DOI: 10.24133/maskay.v9i1.1043
15 MASKAY
Abstract— The current research paper presents the dynamic model from a UAV (Unmanned Aerial Vehicle) type quadcopter. The mentioned model simulates the closest behavior, respect to a real performance when realizes basic movements. In order to develop the math, model the quadcopter has been considered as a rigid object with 6 DOF (six degrees of freedom), which is divided into translational and rotational coordinates, using a technique based on Euler-Lagrange Equations to model. In that way is possible to acquire the expressed transfer function on the quadcopter dynamic model. The UAV’s rotational dynamic is defined by the most important inertia moments, located in the vehicle center of mass. The inertia moments had been estimated using ‘Solidworks’ software. To achieve it the quadcopter was assembled with a minimum quantity of parts, after that, the design was uploaded into Simulink software to add complete the results including a 3d animation. A Control Strategy was attached to the quadcopter design, to stabilize the described plants, finally, the performance is corroborated applying him external perturbations like gusts of wind, variable masses, looking to create instability during the flight, expecting for a system controlled reaction. The results showed the UAV stabilize to his reference position in less than twelve seconds (12) against a gust of wind that caused its horizontal displacement. This is an important application of the rotational dynamics of the UAV, using Simulink and the Simscape Multibody library in conjunction with Solidworks. Achieving a tool of great interest and therefore a significant contribution to the study of UAVs, giving the possibility of using of a practical tool for the design of quadrotors focused on different applications, such as precision agriculture.
Index Terms—Quadcopter, Simulink, Solidworks, dynamic model, stability.
Resumen—El propósito de este trabajo fue el de realizar el modelo dinámico de un vehículo aéreo no tripulado (VANT) tipo quadrotor, que simule el comportamiento real del mismo, de tal manera que el quadrotor pueda realizar sus movimientos básicos con el mínimo error posible. Para realizar dicho modelo matemático se consideró al quadrotor como un cuerpo rígido de
F. A. González, Ingeniero Electricista. Magíster en Potencia Eléctrica. Profesor carrera Unidades Tecnológicas de Santander (e-mail: fagonzalez@correo.uts.edu.co).
M. E. Afanador Cristancho, Ingeniero Electrónico (e-mail: manueledu_93@hotmail.com).
E. F. Niño López, Ingeniero Electrónico (e-mail: ferneyninho94@hotmail.com).
seis grados de libertad en donde el sistema es dividido en coordenadas traslacionales y rotacionales al manejar una técnica para la modelación, mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange, y así obtener la función de transferencia, expresada en las plantas del modelo dinámico que describe el comportamiento del quadrotor. La dinámica rotacional del VANT fue definida por los principales momentos de inercia, los cuales fueron hallados en el centro de masa del vehículo, dichos momentos fueron estimados a través del software de entorno CAD Solidworks. Para ello, el quadrotor se ensambló allí con el mínimo de partes posibles y luego el diseño se exportó a Simulink para complementar los resultados de la simulación con una animación en 3D del movimiento. Al diseño de la estructura se le implementó una estrategia de control que estabiliza las plantas ya descritas y se corroboró el funcionamiento del sistema al aplicar al mismo, perturbaciones externas como lo son las ráfagas de viento y masas variables que puedan producir inestabilidad durante el vuelo, logrando que ante este tipo de señales el sistema reaccione de forma controlada. En los resultados se observó que la simulación de una ráfaga de viento en donde el VANT cambio su posición en los ejes de desplazamiento horizontal, este mismo logró llegar nuevamente a su posición de referencia en menos de doce (12) segundos. Lo anterior constituye una importante aplicación de la dinámica rotacional del Vehículo Aéreo No Tripulado, al utilizar Simulink y la librería Simscape Multibody en conjunto con Solidworks, lográndose una herramienta de gran interés y por ende un aporte significativo para el estudio de los VANT, dando posibilidad del uso de una herramienta práctica para el diseño de quadrotores, enfocados en diferentes aplicaciones, tales como la agricultura de precisión.
Palabras Claves—Quadrotor, Simulink, Solidworks, modelo matemático, estabilidad.
I. INTRODUCCIÓN
EBIDO a los diferentes factores que se presentan en los cultivos de café y cacao, se desea tener control e inspección a través del desarrollo de tecnologías que permitan el mejor crecimiento y entorno productivo de estos cultivos. Una de estas innovaciones es el uso de los vehículos aéreos no tripulados, también llamado VANT o UAV por sus siglas en inglés; estos son aeronaves piloteadas mediante control remoto o por controladores autónomos incorporados en la misma estructura [1] es decir, es una tecnología conformada por tres agentes principales: una plataforma aérea, un enlace de datos entre tierra y aeronave, y una estación de control en tierra [2].
Modelamiento y simulación de un quadrotor
mediante la integración de Simulink y
SolidWorks
Modeling and simulation of a quadrotor through the
integration of Simulink and Solidworks
F. A. González, M. E. Afanador Cristancho y E. F. Niño López
16 MASKAY Estas permiten monitorear grandes áreas de campo en tiempo
real, así como la detección de plagas y fallas en los cultivos, además se reducen los costos en comparación con vuelos tripulados, y las imágenes captadas por el VANT no presentan problemas con las nubes en comparación con las imágenes por satélite.
Al depender de su configuración los VANT pueden ser los que utilizan rotores (uno, dos, tres o múltiples rotores) o los que utilizan alas flexibles [3]. Dentro de los que utilizan rotores se encuentra el VANT a cuatro motores llamado quadrotor, el cual se representa de forma esquemática y es objeto de estudio del presente, considerado como una estructura en forma de cruz con su centro de gravedad en concordancia con el centro de masa y los cuatro motores en la punta de cada brazo [4]. Para el modelamiento del mismo existen dos métodos de aproximación; para el presente se escogió la formulación matemática de Euler-Lagrange para hallar las ecuaciones que permiten caracterizar el comportamiento del quadrotor validado mediante software computacional. El modelamiento de un VANT es definido principalmente por la cinemática y la dinámica del sistema. En la dinámica se incluyen los momentos de inercia, los cuales son los encargados de describir la dinámica rotacional de la aeronave, para ello existen diferentes técnicas matemáticas para hallarlo, o también se suelen usar programas de diseño mecánico que las calculan automáticamente. Uno de esos programas es Solidworks, que es un software de entorno CAD para diseño de mecanismos y estructuras muy ampliamente usado en la ingeniería, el cual para el presente proyecto se usó para estimar los momentos de inercia del quadrotor ensamblándolo con el menor número de partes posibles.
En el mercado existen una gran variedad de programas de simulación para poner a prueba el diseño de una estructura, pero en concreto uno de los más usados en la ingeniería es Simulink, un entorno de simulación integrado a Matlab que ofrece una amplia gama de herramientas para simular casi cualquier sistema mediante diagramas de bloques. Dentro de las tantas herramientas que posee Simulink se encuentra Simscape Multibody, el cual utiliza diseños de mecanismos en formato CAD para simular el movimiento de estructuras mecánicas a través de las propiedades físicas que estas poseen. Para implementación y pruebas de controladores se suelen usar con gran frecuencia los VANT, a continuación, se muestran algunos proyectos en donde se modela y simula quadrotores al probar en ellos algunas estrategias de control. La estrategia de control más conocida y usada es el PID, y en particular un PID independiente para el eje de orientación del VANT al utilizar una placa Arduino uno [1]. Se describe en la literatura el paso a paso de cómo se diseñan las diferentes partes de un sistema de esta naturaleza y se presenta con frecuencia cómo se modela en Simulink, bloque por bloque; se utilizan con frecuencia VANT comerciales, como el Draganflyer SAVS. La placa de control a parte del controlador, también posee una IMU de tecnología MEMS que trae integrado en su tarjeta el giróscopo y el acelerómetro que además ayuda a mitigar un poco las perturbaciones provocadas por el efecto Coriolis. Durante las pruebas se
presenta la necesidad de corregir algunos parámetros como el filtro de Kalman; también de la IMU en cuanto a los ángulos de orientación y del controlador cuyo ajuste de ganancias se hizo de forma manual para que tuviera una respuesta estable y un vuelo estático ante perturbaciones externas.
Una forma común de afrontar el problema de los VANT es construirlo desde cero, i.e., diseñar y construir un cuadricóptero a control remoto al tener en cuenta para el diseño mecánico la ligereza, la rigidez, la resistencia y aerodinámica montado en SolidWorks. Para el diseño del modelo dinámico del VANT se aplicaron las fórmulas de Lagrange-Euler con lo que se obtuvo las ecuaciones que describen el comportamiento del VANT. Con la planta ya establecida se implementa un controlador PID como estrategia de control y un filtro complementario para obtener las lecturas de los sensores acelerómetro y giróscopo. De esta forma, se determinan los ángulos de cabeceo y alabeo, lo que entregó como resultados una respuesta satisfactoria. Sin embargo, se hace necesario ajustar las constantes del controlador para que el sistema sea estable ante cualquier tipo de perturbación [5].
Diversas estrategias de controladores PID de lazo cerrado doble se utilizan con frecuencia, lo cual divide el sistema en dos partes, un control de lazo interior para la orientación y un control de lazo exterior para la posición; se aplicó a un VANT de referencia MAV que es un quadrotor de pequeñas proporciones. El modelo dinámico se obtiene mediante el uso de las ecuaciones de Newton-Euler. El controlador PID se implementa en la planta y las pruebas se hacen mediante Simulink. Los resultados de la simulación se presentan de forma tal, que varias señales de escalón se aplican como una referencia para los tres ángulos y para la altura. Los resultados mostraron que los controladores tienen una importante habilidad adaptativa y robustez. Se concluye, que el sistema de un lazo cerrado solo puede manejar cuatro señales de control y el de doble lazo cerrado seis(6) señales de control, por lo que el quadrotor logra alcanzar el punto de referencia [6].
II. RESULTADOS
Se describe el modelado matemático del quadrotor que dispone el grupo de investigación en Control Avanzado -GICAV de las Unidades tecnológicas de Santander-UTS, mediante el cual se caracterizó la planta con la que se trabajó. Debido a que el modelo dinámico del VANT ya ha sido analizado al usar el método de Newton-Euler [7], dicho modelo se decidió desarrollar mediante la formulación matemática de Euler-Lagrange.
Para poder comprender cómo es posible cada uno de los movimientos que realiza el quadrotor, primero se debe realizar un análisis detallado de cómo el VANT lo logra físicamente. Para ello se tiene el siguiente diagrama de fuerzas y marcos de referencia que se expone en la Fig. 1. De todas las ilustraciones presentes en la literatura, se usa esta, debido a que en ella se puede apreciar de gran forma la descripción general del quadrotor, mismo que es caracterizado por los sistemas de coordenadas, las fuerzas, momentos, y velocidades angulares que generan los cuatro motores.
17 re fo m m de Fig zB el di eje pe m in co las ut [1 m co de ali di re eje es to ve to en ca de ro 7
ferencia fijo a orma de X. La mismo es la de motores, se enc e coordenadas
g. 1. Marcos de r
De acuerdo c , como el siste
eje de direcci rección en la e vertical ori erpendicular a mano derecha ( ercial está des on respecto la
El empuje ae s hélices en tilizado para p
]. El empuje s motores media
onstante de em enotada por ωi
Si se consi ineados con r rección de la f ferencia menc es es nula [1]. ste se desplac dos los motor ector de fuerza
tal f expresada
El momento ncarga de gira ambiar su sent el cuerpo por otores, debido
al quadrotor: u a estructura e e tipo cruz, d cuentran en la coinciden con
referencia y sistem
con la Fig. 1 e ema de coorde ión normal de
que el vehícu ientado en se a xB y zB posit
sistema dextró scrito por los
tierra [8]. erodinámico s
un fluido vi poder elevar e se relaciona co ante la siguie mpuje y la v
i:
i
f =
dera que lo respecto al si fuerza de emp cionado, dond . El empuje to ce verticalmen res tal como s a traslacional a solo en la dir
4 1 i f f = =
Fdebido al arr ar el quadrotor tido de orient r la diferenci a la fricción
una en forma elegida para e donde los actu
s puntas de ca n los brazos de
ma de fuerzas del
en el modelo enadas fijo al e ataque del qu ulo avanza hac ntido ascende tivo que cump ógiro). El siste ejes x y z que se genera debi iscoso, aire e el VANT y m
on la velocida ente expresió velocidad angu
2
t i
k
= ⋅ω
s motores e istema de coo puje será en el de esta compo otal del quadro nte, será la su se ve en (2), y del VANT F rección del eje
4 2 1
i t i
i
f k
=
= ⋅
ω0 0 f =
rastre aerodiná r alrededor de tación. Este se ia de velocid entre el aire
de cruz y la o l modelamien uadores que s
ada brazo y lo e la estructura
l quadrotor.
se define a xB
VANT, donde uadrotor, es de cia adelante, zB
ente y yB es
ple con la ley ema de coorde e se considera
ido a la rotac en este caso, mantenerlo en
ad de rotación ón, donde kt
ular del moto
están perfecta ordenadas mó eje z del siste nente en el re otor el cual ha uma del empu y en (3) se de
debido a al e e z [8]:
ámico, es el q e su propio ej e genera en el dad de giro d y las hélices
otra en nto del on los os ejes a [4].
B, yB y
e xB es
ecir, la zB es el
el eje y de la enadas an fijos ión de , y es el aire de los es la or i es
(1) amente óvil, la ema de esto de ará que uje de fine el empuje
(2)
(3)
que se e para l eje z de los de los
roto esfu dich mom de fenó gen don mot que un v den lo ta E cada fuer que relo [1]. aero L ángu den l es qua S posi rota Eule P de E llam muy han la e veh la IS A
ores. Al girar uerzo causado has hélices en mento o torqu
los rotores ómeno, en la
erado en el ro
nde Kd es la
tor. El termino el efecto ωi
valor mayor a sidad del aire anto, el mome
El momento t a rotor y es g rzas f2 y f4 co
los rotores p oj, y los rotore Por esta odinámico es d
ψ
τ =
Los momento ulos del marc otan con el ve s la distancia
drotor:
Se designa el v ición lineal ab acionales o po
er: roll φ, pitch
Para describir Euler y más es mada ángulos
y extendido [1 publicado div special impor ículos aéreos, SO 1151-2:19 A continuació
r las hélices, o por el roza n movimiento ue en sentido
[1]. Para ent a siguiente e
tor:
Mi Kd
τ =
constante de o Imωinorma
es muy peque a cero y depe , del radio y d ento o torque a
Mi
τ =
total es propo generado por e on f1 y f3 [8].
ares 2 y 4 gir es impares 1 y razón el m denotado con
(
4 1 Mi d i K =τ = ⋅
s correspondi co del cuerpo ector τ median a entre el ro
φ θ ψ
τ
τ = τ = τ
vector ξ para l absoluta, y el osición angula h θ y yaw ψ.
, x y z
ξ =
la orientación specíficamente
de Tait-Bryan 1] a causa de
versos estánda rtancia de las c , y remarca la 985 como uno
ón, en (9) s
estas se ven amiento que o y el aire, l
contrario a la tender cómo expresión se
2
m i
I
⋅ω + ω arrastre e Im
almente es des eño [9]. El co ende entre otr de la forma de aerodinámico d
2
d
K ⋅ω orcional al em el desequilibri
Este movimie ran en sentido y 3 lo hacen e momento deb
τψ:
2 2 2
1 2 3
−ω + ω − ω
ientes en la mencionados nte la siguiente otor y el cen
(
)
(
43 21)
41 Mi i
l f f l f f
= ⋅ − ⋅ − τ
las coordenad vector η para ar que represenφ
η = θ
ψ
n del VANT se e la convenció n; el uso de es que numerosa ares para ser convenciones
norma DIN 9 de esos estánd se muestran
MASK n sometidas a se produce e lo que genera a dirección de
se produce define el to
es la inercia spreciado debi oeficiente Kd p
ros factores, d e la hélice [3]
del motor es:
mpuje que ge io del conjunt ento es posibl o de las aguja
en sentido opu bido al arr
)
2 2 3+ ω4
dirección de anteriorment e expresión, do ntro de masa
das traslaciona a las coorden nta los ángulo
e usan los áng ón XYZ o tam stos ángulos s as organizacio seguidos debi internacionale 9300 adoptada dares.
las matrices
KAY a un entre a un giro este orque
(4) a del ido a posee de la . Por (5) enera to de le ya s del uesto rastre (6) e los te, se onde a del
(7) ales o nadas os de (8) gulos mbién se ve ones, ido a es en a por que
18 MASKAY representan la orientación de un sólido en el espacio, esta son
llamadas matrices básicas de rotación de un sistema espacial de tres dimensiones [10], donde cφ = cos (φ) y sφ = sin (φ):
( )
( )
( )
1 0 0
0 0
0
0 1 0
0 1 0
0 0 0
R c s
s c
c s
R
s c
c s
R s c
φ = φ − φ
φ φ
θ θ
θ =
− θ θ
ψ − ψ
ψ = ψ ψ
(9)
En la ecuación (10) se obtiene la matriz de rotación completa del marco de referencia del cuerpo con respecto al marco de referencia fijo conocida como matriz de coseno directa:
(
, ,)
(
,) ( ) ( )
, ,R R z R y R x
c c s c c s s s s c s c
R s s c c s s s c s s s c
s c s c c
φ θ ψ = ψ ⋅ θ ⋅ φ
ψ θ − ψ φ + ψ θ φ ψ φ + ψ θ φ
= ψ θ ψ θ + ψ θ φ − ψ φ + ψ θ φ
− θ θ φ θ φ
(10)
Las matrices ortogonales aparte de la propiedad mencionada, poseen una propiedad con los determinantes, la cual es que estas poseen determinantes de ±1. Tal es el caso de la matriz de coseno directa que es considerada como una matriz ortogonal propia, donde su determinante es +1, si fuera impropia tendría un determinante de -1 [11]. Estas matrices también poseen otras propiedades que pueden determinar la cinemática rotacional del VANT, como la que se muestra a continuación:
3
T
R R I= (11)
donde I3 representa una matriz identidad de 3x3 y R es la
matriz de rotación. La anterior ecuación representa la propiedad más conocida de las matrices ortogonales y esta se deriva con respecto al tiempo para obtener la siguiente expresión [12]:
3 0
T T
R R R R+ = (12)
Se define a:
T
S=R R (13)
Se puede apreciar que S es una matriz anti simétrica, es decir que si A es una matriz cuadrada, esta es anti-simétrica si AT = -A. Por lo tanto, existe una propiedad que relaciona la
derivada de las matrices ortogonales con las matrices anti simétricas [12]. Al realizar la operación mostrada en la ecuación (13), se le puede asignar a la matriz anti simétrica S los siguientes términos:
( )
0 00 r q
S r p
q p
−
Ω = −
−
(14)
A S(Ω) por los términos que contiene se la conoce como el tensor anti simétrico de velocidad angular [11]. Que son las componentes del vector de velocidad angular del VANT cuyos valores son:
p s
q c s c
r s c c
φ − ψ θ
Ω = = θ φ + ψ φ θ
−θ φ + ψ φ θ
(15)
Ya conocidos los valores del vector Ω en términos de η, se calcula la matriz de transformación ωn que permitirá obtener la
relación entre las velocidades angulares para separarlas matricialmente:
1 0
0 0
p s
q c s c
r s c c
− θ φ
= φ φ θ θ
− φ φ θ ψ
(16)
n
Ω = ω η
A continuación, se presenta la dinámica del quadrotor planteado mediante la formulación de Euler-Lagrange, la cual está basada en el concepto de energía mecánica (energía cinética y potencial) [8]. Esta formulación describe el movimiento traslacional y rotacional en un sistema de seis grados de libertad, al utilizar el vector de coordenadas generalizadas q [13]:
q= ξ η
(17)
donde el vector ξ contiene las coordenadas traslacionales del centro de masa del VANT con respecto al marco inercial (x, y, z) y el vector η contiene las coordenadas rotacionales para la orientación del vehículo que son los ángulos de Tait-Bryan (φ, θ, ψ) [3]. Estos dos vectores fueron vistos en (8) de forma que el vector q queda de la siguiente forma:
[
, , , , ,]
Tq= x y z φ θ ψ (18) El Lagrangiano se obtiene al modelar la energía del sistema, definido como la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial, donde la energía cinética del sistema es determinada por los movimientos traslacionales y rotacionales. Mientras la energía potencial se relaciona únicamente por la altura del quadrotor [13]. De lo anteriormente dicho se define el Lagrangiano como una función del vector de coordenadas generalizadas y su primera derivada con respecto al tiempo de la siguiente forma:
( )
, tras rotL q q =T +T −U (19) Se tiene la expresión para desarrollar la energía cinética
19 MASKAY traslacional:
2
1 1
2 2
T tras
T = mξ = mξ ξ (20)
En seguida se describe la energía potencial, la cual como se mencionó anteriormente solo está presente en el eje z de las coordenadas traslacionales y está dada por:
U =mgz (21)
donde m es la masa del quadrotor, g es la aceleración gravitacional y z es la altura del vehículo. En conclusión, el Lagrangiano en términos de las coordenadas de traslación es:
( )
1, 2
T
L ξ ξ = mξ ξ − mgz (22)
La energía cinética rotacional del cuerpo rígido es: 2
1 2
rot
T = Iω (23)
Ya que un mismo cuerpo que posee diferentes ejes de rotación, pueden tener diferentes momentos de inercia en torno a esos ejes, entonces es conveniente el uso de una matriz o tensor de inercia para resumir todos esos momentos de inercia de un cuerpo en una sola cantidad [14]. De esta forma el tensor de inercia se define como:
xx xy xz yx yy yz zx zy zz
I I I
I I I I
I I I
=
(24)
Se asume que el quadrotor posee una estructura simétrica con los cuatro brazos alineados con los ejes x, y del cuerpo [9]. Por lo tanto, se define el tensor de inercia del cuerpo rígido como una matriz diagonal cuyos componentes se conocen como los principales momentos de inercia [15]:
0 0
0 0
0 0
xx yy
zz
I
I I
I
=
(25)
La energía cinética rotacional del sistema es: 1
2
T rot
T = Ω ΩI (26)
Finalmente, la energía cinética rotacional queda expresada en la siguiente ecuación, donde además ésta también define el Lagrangiano para los términos de las coordenadas rotacionales del quadrotor:
( )
1 21 ,
2
T rot
T
T J
L J
= η η
η η = η η
(27)
El modelo dinámico completo del quadrotor es obtenido de las ecuaciones de Euler-Lagrange con las fuerzas generalizadas externas [3] mediante la siguiente expresión:
F
d L L
dt q q
ξ
∂ −∂ =
∂ ∂ τ
(28)
donde τ representa los momentos de roll, pitch y yaw como los pares resultantes del movimiento rotacional y Fξ representa
la fuerza resultante del movimiento traslacional, la cual se desarrolla a partir del vector de fuerza traslacional ˆF como se muestra en la siguiente expresión donde R es la matriz de coseno directa:
0 0
F R F
F f
ξ = ⋅
=
(29)
En la siguiente expresión se desarrolla las ecuaciones de Euler-Lagrange para las coordenadas de traslación:
( )
,( )
,L L
d F
dt
ξ
∂ ξ ξ ∂ ξ ξ
= −
∂ξ ∂ξ
(30)
( )
Fξ = ξ +m mg k (31)
Al reescribir la ecuación anterior en función del vector de estado ξ [8], hace posible despejar las aceleraciones lineales del sistema:
(
)
(
)
0 1
.ˆ 0 R F m
g f
x c s c s s
m f
y c s s s c
m f
z c c g
m
ξ = −
= φ θ ψ + φ ψ
= φ θ ψ − φ ψ
= φ θ −
(32)
Las ecuaciones de Euler-Lagrange para el movimiento rotacional son:
( )
,( )
,L L
d dt
∂ η η ∂ η η
τ = ∂η − ∂η
(33)
O también se pueden escribir de la siguiente forma:
(
)
(
)
1 1
2 2
T T
d
J J
dt
∂ ∂
τ = η η − η η
∂η ∂η
(34)
Al derivar con respecto al tiempo a la expresión en paréntesis se obtiene la siguiente ecuación:
(
)
1 2
T
J J ∂ J
τ = η + η − η η
∂η
(35)
20 las lin ha an alg m qu do din a g pu so ve 0 Cuyos valore
(
(
(
(
(
11 12 13 21 22 23 31 0 yy xx zz zz xx zz xx yy c c I I c I c I I c I c I c I = = − − ψ = − = − + ψ = −= − ψ
= −
(
(
32 33 zz xx yy xx c I I c I I s = − + ψ = − + θ Al reescribir s coordenadasEn la ecuaci neales del sis acer el respect ngulares se te gunas referen mención a cons
ue el sistema onde los ángul Después de a námica de rot gran parte de l
Sin embargo, ues cuando se olo los ángulo elocidades a
( )
,C η η = J
( )
,C
η η =
es son:
)
(
)
)
(
)
)
2 2 2 zz yy yy yy yy zzI c s
c
I c s c
I c s
c I c s
s c I s
I s c c
θ φ φ + ψ ψ θ
ψ φ φ θ θ φ φ + ψ ψ θ
φ φ φ ψ θ θ + ψ φ
ψ φ φ θ
)
(
)
2 2 yy yy zzI s c s
s c I s
I s c c
s c
θ φ φ θ ψ θ θ − ψ
φ φ φ θ θ θ
la ecuación d s rotacionales: Jη + C
ión anterior s stema, las cua
tivo despeje d endrá en cue cias [16], [17 siderar el áng considerado los de Euler tie aplicar los de tación en (40) la literatura co
xx y x xx y xx I I I I I I I I I + φ = − −
θ =
−
ψ =
, la expresión considera qu os de Euler t angulares. A
(
1 2
T
J− ∂ η J
∂η
11 12 13 21 22 23 31 32 33
c c c
c c c
c c c
)
(
)
(
2 2 zz yy zzs c I
s c I
s c I c
I
ψ φ θ +
θ
ψ φ θ +
φ θ θ + ψ θ −
)
(
2 2 xx zz yy cs c I
s c I c
I s s c
θ θ + φ φ θ + φ θ θ − ψ
− θ φ θ θ
de Euler-Lagra
( )
η η η =, τ se obtuvieronales son muy de cada una d enta el proce
], [18]. Dicha gulo pequeño, está en un p enden a cero. espejes mencio
. El resultado onsultada [17] yy zz xx x yy zz yy yy zz zz z I I I I I I I I I ψ − τ ψθ +
+ ψφ + τ
+ τ θφ + anterior pued e el VANT es tienden a cero Al tener e
)
J )
)
2 2 2 yy y zzI c c
I c c
s c
− ψ φ θ
− ψ φ θ
φ θ θ
)
2 2 2 yy zz zzI I c c
c s c
I c s c
− φ φ
φ θ θ θ − θ φ θ θ
ange en términ
las expresion y complejas, y de las acelera edimiento usa a aproximación
lo cual consi punto de equi onados se def obtenido es d : xx yy zz I φ θ ψ τ
de ser más red stá en equilibr o sino tambié en cuenta
(36) (37) θ θ cθ θ (38) nos de (39) nes no y para aciones ado en n hace iste en ilibrio, fine la distinto
(40)
ducida, rio, no én sus estas con térm pue exp P tran natu con (41) A simu posi pert part otra trav com la a esta dete A. P fue gen la F esta Fig. E segu dese Las de a tipo
sideraciones, minos de los
den ser simp resiones linea , f m z=
Para finalizar nsferencia de uraleza y obt trol, al aplicar ):
z
G
Gθ
A continuación mulación del
ición y orien turbaciones o tir de dos simu a con perturba vés de la her mplementará en
animación de abilidad del qu
erminada. Simulación de Para la simulac necesario in eran las señal Fig. 2. Esto abilidad del sis
2. Inhabilitación
El tiempo es undos, lo nece eada y así pod referencias o altura y mant o de desplazam
el modelo din movimientos plificado, don ales [18]: , , xx I φ τ φ =
r, se proced el sistema q tener la respu r la transforma
( )
( )
2 2 1 , 1 yy s m s s I s = =n, se presentan quadrotor, el ntación del V
disturbios. L ulaciones difer ación. Los da rramienta Dat n el visualizad el movimiento uadrotor mien
el sistema sin p ción del vuelo nhabilitar los les de perturba
se hace con stema en un am
n de los bloques d
stablecido par esario para qu der analizar su valores desea tener el vehícu miento adicion
námico origina s traslacional nde se obtie
, , yy I θ τ θ =
de a obtener que permitirá uesta transitor ada de Laplace
( )
( )
1 , xx z G s I G s I φ ψ = =n los resultado l cual incluy VANT ante d Los resultado
rentes, una sin atos obtenidos
ta Inspector y dor de Simsca o. Esto servir ntras esta en v
perturbación o sin perturbac bloques corr ación, los cual n el fin de p mbiente de vu
de perturbación.
ra la simula ue el quadroto u comportamie ados fue el de ulo en esa po nal. Al correr
MASK al del quadroto es y rotacion ne las siguie
,
zz
I
ψ τ ψ =
r la función á comprender
ria para post e a los término
2 2 1 1 zz s s
os obtenidos d ye el contro distintos tipo os se obtendr n perturbación
se visualizar y el resultad ape Multibody rá para proba vuelo a una a
ciones inicialm respondientes les se muestra poder observa uelo ideal.
ación fue de or alcance la a ento en ese est alcanzar un m osición sin nin r la simulación
KAY or en nales entes
(41)
n de r la terior os de
(42)
de la l de s de án a n y la rán a do se y con ar la altura
mente que an en ar la
e 40 altura tado. metro ngún n, en
21 las de de Px
las es se de
Fig Sim
Fig
ob pr m de co co lo os rep es y ba sim rep ap lo Eu es alt
1
s Fig. 4, Fig. 5 e la posición y el Data Inspec
xyz [3] se refier
s convencione ste orden a los e puede observ el visualizador
g. 3. Vuelo del mscape Multibod
g. 4. Resultados
En la Fig. 4 bserva que el resentar oscila mientras que
esplazamiento on un poco de ompensador pr s controlado scilaciones co presenta mej stable, ya qu -0.0094 metro ajo como para
En la Fig. 6 mulación par
presentados p preciar, presen s ángulos de uler [2] y Eule s un tipo PID
terada por
5 y Fig. 6, se p y orientación d ctor, donde las ren en este ord es Euler [1], E
ángulos de Eu var una captur r de Simscape
VANT sin per dy.
obtenidos de la p
4, Pxyz [3] sim
sistema alcanz aciones ni sob los otros horizontal m e oscilación d roporcional qu res de pitch omo se puede or estas resp ue estos valo os de la refere ser despreciad 6 se muestran ra la orientac
por los ángu nta leves osci pitch y roll er [3]. Aunqu D, la referen la acción
presentan los r del VANT visu s convencione den a las posic Euler [2], y Eul uler yaw, pitch ra del vuelo de
Multibody.
rturbación visto
posición sin pertur
mboliza la grá za el valor de brepasos man valores qu mantienen su
debido a la ac ue se agregó h y roll. A e apreciar en puestas, el V ores solo osc encia deseada do y no desest n los resultad ción del VAN ulos de Euler ilaciones men
etiquetadas r ue el controlad ncia de estos de control
resultados obte ualizados por s Pxyz [1], Pxyz
ciones Px, Py y
ler [3] se refie h y roll. En la el quadrotor a
en el visualiza
rbación.
áfica de altura eseado a los 6
nteniéndose e ue representa
estado inicial cción de contr a las referenc A pesar de
n la Fig. 5 e VANT se ma cilan entre 0 , lo suficiente tabilizar el sist dos obtenidos NT, los cuale r. Como se nores a un gra
respectivamen dor de estos án
es constante del compen
enidos medio
z [2], y
y Pz. Y
eren en Fig. 3 través
ador de
a y se .6s sin stable, an el l, pero rol del cias de dichas el cual antiene 0.0085 emente tema.
de la es son puede ado en nte por ngulos emente nsador
prop repr apre con
Fig.
Fig.
P mue prop Dic que esta dura velo del man el v
C VAN posi pequ
Fig.
B. P
porcional par resentado por eciables, debi stante y no un
5. Resultados de
6. Resultados ob
Para corrobora estran las grá pelas del quad has gráficas re tuvieron que abilidad de vu
ante los prime ocidad produc
tiempo de sim ntuvieron al v vehículo en la p Con los datos
NT sin pertu ición inicial q queño.
7. Gráfica de ve
Simulación de Para la simul
ra los ejes x la línea morad ido a que la na acción de co
e la posición horiz
btenidos de la orie
ar los resultad áficas de vel drotor durante epresentan los hacer las hél uelo del VAN eros dos segu cto del despeg mulación las variar en un ra posición de re obtenidos se p urbación fue que se escogió
elocidad de las pro
el sistema con lación con pe
x e y. En el da no presenta referencia de ontrol.
zontal sin perturb
entación sin pertu
dos mostrados ocidad que s e los primeros s distintos cam ices para cont NT. Como s undos hubo un gue de la aero
velocidades d ango constante eferencia.
puede conclui estable, ya ó con un mar
opelas sin perturb
n perturbación erturbación, s
MASK l ángulo de a oscilaciones e esta es un v
bación.
urbación.
s, en la Fig. se sensaron a
8s de simulac mbios de veloc
trolar el ascen e puede obse n sobre paso e nave y en el r de las propela e para perman ir que el vuelo que mantien rgen de error
bación.
n
se habilitaron
KAY yaw muy valor
7 se a las ción. cidad nso y ervar en la resto as se necer o del ne la muy
22 bl el ex mu eje de fo un fo po co eje eje cu qu 50 po la m
Fig
re Fi hé Si pr la de pe se VA 71 Fi tra en m un en in án qu se
2
oques de fuerz cual por med xterna señales muestran en la
es de posición esestabilice el orma el quadro na vez haya ac Las señales orma: A los 6. osición horizon on un tiempo d e x y segundo e y. La otra se ual se aplica uadrotor se le 00g. La idea osición de refe
capacidad de mantener o regr
g. 8. Señales de
Al correr la s sultados de la ig. 10 se tiene élices, estas tr imulink al apli Como se pud rimeros 2s de
gráfica de v espegue de la erturbación. D e aplicaron en ANT un máx 1cm y a lo larg ig. 8. En la Fig avés del visua n el instante e mencionadas.
Al quitar esta n cambio en l n la Fig. 11. E
clinación pico ngulo de pitch uadrotor se de e había dirigido
za externa y d dio de este últi tipo pulso de Fig. 8, que ha n lo cual provo VANT de su otor debe ser c cabado la pertu
de perturbaci 5 s y 7s se añ ntal para simu de duración d o un tiempo d eñal de perturb
a los 16.5s, adiciona en es que el VA erencia con es
e lograrlo, y resar a esa pos
perturbación.
simulación, en a posición y o la gráfica que res obtenidas icarles las seña do observar e la simulación velocidad vis a aeronave al Después de ese
n el tiempo e ximo desplaza go del eje y de g. 12 se obser alizador de Si n que a este s as perturbacion las velocidade El efecto que o en el ángul h de -2.2° visto
esplace en sen o y regrese a s
de perturbación imo introduce tiempo variab ará que genere oca un desplaz u posición de capaz de regre urbación. ión se aplicar ñaden fuerzas ular una corrie de 1s para la s
e 2s para la s bación es de -esta se usa p su centro de ANT sea capa sta carga, pues al quitar la sición.
n las Fig. 8 y orientación de e representa la a través del ales de perturb en las gráfica n se observa un sta en la Fig
igual que en e tiempo las s establecido lo
amiento a lo e casi 1.4m co rva una captur imscape Multi se lo somete a nes, el sistema es de las hélic
produce este lo de roll de o en la Fig. 9 ntido contrario
su posición de
n vistos en la F al bloque de ble como los e fuerzas en lo zamiento brusc referencia. D esar a dicha po ron de la sig de 1N a los e ente de aire, pr eñal de viento eñal de viento -5N para la al para simular q
masa una car az de regresa s los motores carga este se
Fig. 9 se tien el quadrotor, y as velocidades l Data Inspec
bación. as mencionada
n leve sobrep g. 11, produc n la simulació señales de dis
que provoca largo del eje omo se observó
ra del movimi ibody del qua a las perturba a de control pr ces como se a cambio gener más de 4° y , lo que hace o a la direcció e inicial.
Fig. 2, fuerza que se os tres co que De esta osición guiente ejes de rimero o en el o en el tura la que al rga de ar a su tienen e debe
nen los y en la de las ctor de as, los aso en to del ón sin sturbio en el e x de ó en la iento a adrotor aciones rovoca apreció ra una y en el que el ón que
Fig.
Fig.
Fig.
S 16.5 carg Fig. prov de incr qua carg aero de velo que term de posi simu la si
9. Resultados ob
10.Resultados ob
11.Gráfica de ve
Sin embargo, 5s se le aplica ga de 500g qu . 9, esta carga voque que el c
las cuatro h remento gener drotor hasta s ga se elimina onave tenía, es nuevo el con ocidad de las h
provoca que mine estabilizá perturbación, ición y orient mulación, igual imulación sin
btenidos de la pos
btenidos de la orie
elocidad de las pro
al momento a la otra señal
ue como se v a hace que el V
controlador de hélices como
ra una fuerza d su posición de y por efecto ste bruscamen ntrolador de a
hélices para d e el VANT r ándose. Despu
se pueden tación leves o
como se habí perturbación.
sición con perturb
entación con pertu
opelas con perturb
de llegar a e de perturbaci ve en la línea VANT descie e altura increm
se ve en la de empuje qu e referencia. D
de la fuerza nte se eleva a m
altura actúa y disminuir la fu
regrese a su p ués de haber q
observar en oscilaciones h ía apreciado en
MASK
bación.
urbación.
bación.
esa posición a ión, el cual es a anaranjada d enda hasta 70c mente la veloc a Fig. 11; d e hace ascend Después de 22
de empuje qu más de 1.2m, y hace reduc uerza de empu posición inici quitado las señ n las gráficas hasta el final d n los resultado
KAY a los s una de la cm y cidad dicho der al 2s la ue la pero cir la uje lo ial y ñales s de de la os de
23 Fig Sim La ca en la pe co de ca ve ve an re de re di lo pi em el in to eje se im pl sin ex an pe se ell co Si he do qu 3
g. 12.Vuelo del mscape Multibod
Mediante la agrange se lo ada uno de los n tres grados d
cual a este erfectamente oordenadas est
Para obtener efinir la cinem alcular la matr elocidad angu elocidad angu ngular del m ferencias cons e la misma, p
lacionados a l cha demostrac
El desplazam s ángulos de i tch y roll que mpujar la estru eje x con re clinación del rno al eje y, y e y se debe efe e obtiene al rot
Al proponer u mplementar la
antea que n φ ≈sin θ ≈ xpresiones cor ngulares del ermitió lineali e pudieran obte
las y que se onocida.
A través de imscape Multi erramienta PID onde el sistem ue ante distin
VANT con pe dy.
III. CO
técnica de ap ogró obtener s movimientos de libertad tras
e se le cons simétrico c tá ubicado en e r la matriz d mática rotaci riz correspond ular, la cual ular del VAN marco inercia
sultadas no se por lo que se la robótica y a ción.
miento horizont inclinación pro hace que el v uctura hacia e specto al mar ángulo de pit y para realizar fectuar una inc tar en torno al un valor inicia a aproximació el cos φ ≈
sin ψ ≈ 0 a rrespondientes sistema, la c zar dichas exp ener ecuacion lograra imple los bloques ibody y de lo D tuner de Ma ma consiguiera ntas perturbac
erturbación visto
NCLUSIONES
proximación p las ecuacione s que realiza e
slacionales y t sideró como cuyo origen el centro de gr de transforma onal del siste diente al tenso permite obte NT en funció al, que en l e hizo una dem
decidió acudi a la mecánica
tal del VANT ovocados por vector de fuerz esa dirección.
rco inercial se tch la cual se r un desplazam clinación del á
eje –x. al a las velocid ón de ángulo
cos θ ≈ co al momento
s a las acele cual son func
presiones para nes más sencill ementar una e incorporados os controlador
atlab, se logró a llegar a la ciones generad
en el visualiza
propuesta de es que caract l quadrotor di tres rotacional
un cuerpo del sistem ravedad. ación que pe
ema, fue nec or anti simétr ner el valor ón de la velo
a mayoría d mostración det ir a distintos clásica para re T es posible gra los movimien za se incline y Para desplaza e debe efectua e obtiene al ro miento a lo lar ángulo de roll l dades angular o pequeño, la
os ψ ≈ 1 y qu de obtene eraciones line ciones no lin a que de esta las para trabaj estrategia de c s de la libre es diseñados ó una simulac posición dese das que prod
ador de
Euler-terizan ividido les, en rígido ma de ermitió cesario rico de de la ocidad de las tallada textos ealizar acias a ntos de y logre arse en ar una otar en rgo del la cual es y al a cual ue el er las ales y neales, forma jar con control ría de con la ión en eada y dujeran desp a la E perm con de i VAN desp está tens prob dist pue prod por S qua mom simu prod desp para sim tant de f S apo que mis Sim tipo tiem con de p [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
plazarlo de dic posición de re El tensor de ine mite definir
formada fund inercia, los cu NT, y por preciados al co á ubicado en
sor es uno de bar la estabilid tribución de m
de contener p ductos de iner
consiguiente Se observó que
drotor al e mentos de ine mulaciones rea
duce una inc plazamiento a a la simulaci milares que tuv to, se evitó qu forma indesead Se obtiene un
rte significativ mediante la mo y al util mscape Multibo
o de estructur mpos de constr trol para aplic precisión.
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Mass Spectrom.
cha posición, e eferencia. ercia es la mat
la dinámic damentalmente ales son toma los producto onsiderar que
su centro de e los agentes dad del sistem masas en la e rincipales mo rcia apreciabl la desestabiliz e la base del m ensamblarla
ercia ligerame lizadas en Si clinación en anormal, por l
ón fue camb viera momento ue el quadroto
da.
procedimiento vo para el est a aplicación d
lizar Simulink ody y Solidwo ras, con las rucción y la im caciones partic
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este reacciona triz de momen ca rotacional e por los prin ados desde el c
s de inercia el centro de m
gravedad. Po más importa ma, ya que, si n
estructura, el omentos de ine
les que genere zación del siste marco que orig en Solidwor ente asimétric mulink, se co
el VANT lo lo que la bas biado por otro
os de inercia s or en cierta po o de gran inte tudio de los V de la dinámi k en conjunt orks, se facilit cuales se pu mplementación culares como l
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MASK ara y logre reto ntos de inercia l del quadr ncipales mome centro de masa , los cuales masa del quadr
or lo tanto, d antes a la hor no tiene una b tensor de in ercia asimétric en inclinacion ema.
ginalmente tien rks, posee
os y mediante omprobó que o cual genera
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