Conceptos B´
asicos de Teor´ıa de Conjuntos
Aplicaci´on de Conjuntos: Encuestas
Veremos ahora algunos ejercicios de aplicaci´on a la vida real.
Ejemplo 1
En una encuesta a los estudiantes de razonamiento
matem´atico, acerca de sus preferencias en el uso de las redes sociales se obtuvieron los siguientes resultados:
55 prefierenfacebook 60 prefierentwitter 20 usan ambos
Usa el diagrama de Venn para responder las siguientes preguntas.
1 ¿ Cu´antos estudiantes prefieren ´unicamente facebook? 2 ¿ Cu´antos estudiantes prefieren ´unicamente twitter? 3 ¿ Cu´antos estudiantes usan al menos uno de los dos? 4 ¿ Cu´antos estudiantes fueron encuestados?
Soluci´on:
Paso 1
Reconocer quienes y cu´antos son los conjuntos
La encuesta es acerca de las preferencias de uso de las redes sociales, las cuales lo conforman facebook y twitter; por lo que tenemos dos conjuntos.
Sean los conjuntos:
F = el conjunto de estudiantes que prefieren facebook. T = el conjunto de estudiantes que prefieren twitter. Adem´as tenemos el conjunto:
F ∩T = en conjunto de estudiantes que prefieren ambos.
Paso 2
Identificar lacardinalidad de los conjuntos De los datos del problema tenemos:
card(F) = 55 card(T) = 60 card(F ∩T) = 20.
Paso 3
Ubicar los n´umeros cardinales en el diagrama de Venn.
Estrategia: Empieza siempre por las intersecciones de todos
los conjuntos. As´ıcard(F ∩T) = 20
F
20
T
Para el conjunto F: como dentro del c´ırculo de F tenemos 20 elementos y el card(F) = 55, ¿ Cu´anto le falta a 20 para llegar a 55?. Ubica la respuesta como indica la gr´afica.
F
20
T
35
Para el conjunto T: repite el proceso anterior, ¿ Cu´anto le falta a 20 para llegar a 60?. Ubica la respuesta como indica la gr´afica. F 20 35 40 T U
Finalmente ubicamos el dato que nos falta “10 no prefieren ninguno” F 20 35 40 10 T U
Ahora estamos preparados para responder las preguntas.
1 ¿Cu´antos estudiantes
prefieren ´unicamente facebook? Respuesta: 35
2 ¿Cu´antos estudiantes
prefieren ´unicamente twitter? Respuesta: 40
3 ¿Cu´antos estudiantes usan
al menos uno de los dos?
Respuesta:35+20+40 = 95
4 ¿Cu´antos estudiantes
fueron encuestados? Respuesta: 105 F 20 35 40 10 T U
Ejemplo 2
Recientemente los estudiantes del colegio est´an empleando el uso de tecnolog´ıa para complementar su aprendizaje. Se realiz´o una encuesta sobre el tipo de aparato tecnol´ogico que prefieren, los resultados fueron los siguientes :
60 prefierenlaptop, 25 prefieren tablet, 10 prefieren
smartphone, 2 prefieren los tres aparatos, 10 prefieren laptop y tablet, 4 prefierentablet y smartphone, 4 ninguno, 70 no prefieren smartphone.
Preguntas:
1 ¿ Cu´antos estudiantes prefieren ´unicamente laptop? 2 ¿ Cu´antos estudiantes prefieren ´unicamente smartphone? 3 ¿ Cu´antos estudiantes prefierenlaptop y smartphone? 4 ¿ Cu´antos estudiantes prefieren al menos un aparato? 5 ¿ Cu´antos estudiantes prefieren a lo m´as un aparato? 6 ¿ Cu´antos estudiantes fueron encuestados?
Soluci´on:
Paso 1
Reconocer quienes y cu´antos son los conjuntos
La encuesta es acerca de las preferencias de uso de aparatos tecnol´ogicos, los cuales son laptop,tablet ysmartphone; por lo que tenemos tres conjuntos.
Sean los conjuntos:
L = el conjunto de estudiantes que prefieren laptop. T = el conjunto de estudiantes que prefieren tablet. S = el conjunto de estudiantes que prefieren smartphone.
Paso 2
Identificar lacardinalidad de los conjuntos
De los datos del problema tenemos: card(L) = 60 card(T) = 25 card(S) = 10 card(L∩T∩S) = 2 card(L∩T) = 10 card(T ∩S) = 4 card(L∪T ∪S) = 4 card(S) = 70
Paso 3
Ubicar los n´umeros cardinales en el diagrama de Venn. Estrategia: Intersecci´on de tres card(L∩T ∩S) = 2 Intersecciones de dos card(L∩T) = 10. Tenemos2 elementos, entonces nos hace falta
8elementos para completar los 10. U 2 L 8 T S
card(T ∩S) = 4. Tenemos2 elementos, entonces nos hace falta
2elementos para completar los 4. De L∩S no tenemos informaci´on. U 2 L 8 T 2 S
Llamemosx al espacio que falta en la intersecci´onL∩S: U 2 L 8 T 2 S x
Si card(T) = 25, entonces el espacio que falta debe ser 13.
Si card(L) = 60, entonces el espacio que falta es 60−(8 + 2 +x) =50−x
Si card(S) = 10, entonces el espacio que falta es 10−(2 + 2 +x) =6−x card(L∪T ∪S) =4 U 2 L 8 T 2 50−x 6−x 13 4 S x
Como nos falta usar card(S) = 70, tenemos: 70 =4+ (50−x) +8+13 resolviendo x = 5 U 2 L 8 T 2 50−x 6−x 13 4 S x
Finalmente tenemos: U 2 1 45 L 8 4 T 2 13 S 5
1 ¿ Cu´antos estudiantes prefieren ´unicamente laptop?
Respuesta: 45
2 ¿ Cu´antos estudiantes prefieren ´unicamente smartphone?
Respuesta: 1
3 ¿ Cu´antos estudiantes prefierenlaptop y smartphone?
Respuesta: 5 + 2 = 7
4 ¿ Cu´antos estudiantes prefieren al menos un aparato?
Respuesta: 45+8+13+5+2+2+1=76
5 ¿ Cu´antos estudiantes prefieren a lo m´as un aparato?
Respuesta: 4+45+1+13=63
6 ¿ Cu´antos estudiantes fueron encuestados?
