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2º A - B Prof: J. A. Hernández "EJERCICIOS Y PROBLEMAS EXTRAIDOS DE LAS PAU"

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Academic year: 2021

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(1)

"EJERCICIOS Y PROBLEMAS EXTRAIDOS DE LAS PAU"

1. E1 volumen de agua embalsada V (en m3) de una pequeña presa durante la época de lluvias está dado por la ecuación V(t)=5000(t+1)2 , donde el tiempo t se mide en meses y 0≤t≤3. Calcular la tasa instantánea de cambio de volumen del agua embalsada en los tiempos t = 0 y t = 2. ¿Cuál es el valor de dicha tasa cuando el volumen es de 11250 m3 ?

2. Una población de insectos crece dentro de un recipiente suficientemente grande. El número de centenares de insectos al cabo de t semanas, N(t) , viene dado por la ecuación N(t)=12t2−t4+5.a) ¿Cuándo deja de crecer la población de insectos? b) ¿En qué intervalo

de tiempo es positiva o negativa la tasa instantánea de variación de la población? Justificar las respuestas.

3. Averiguar razonadamente las dimensiones de un rectángulo de perímetro 60 cm tal que, al girar una vuelta completa alrededor de uno de sus lados, determine un cilindro de volumen máximo. Expresar en litros el valor de dicho volumen.

4. Dados dos postes de alturas 12 y 18 metros, distantes 30 metros, se quiere unir sus puntas mediante un cable metálico tenso que toque el suelo en un punto intermedio. ¿En qué punto entre ambos postes debe tocar dicho cable el suelo para que su longitud sea mínima?

5. Un avión pasa por Valencia a l0 kilómetros de altura y se aleja en línea recta, manteniendo constante su altura, a una velocidad de 6 kilómetros por minuto. Obtener razonadamente en función del tiempo, la distancia del avión a Valencia y deducir la velocidad de alejamiento. 6. Se estima que el coste de la construcción de un edifico de oficinas que tiene n plantas es C(n)=2n2+500n+600 cientos de euros.

¿Cuántas plantas deberá tener el edificio para que el coste medio por planta sea el menor posible? Discutir la solución.

7. Un campo de petróleo tiene 8 pozos que producen un total de 1600 barriles de crudo al día. Por cada pozo nuevo que se perfora, la producción media por pozo disminuye en 10 barriles diarios. ¿Cuántos pozos adicionales se deben perforar para obtener la mayor producción de crudo al día?

8. El precio de cierto tipo de brillante es proporcional a la potencia 5/3 del peso p. Si el brillante se parte en dos trozos de pesos x y p -x, se deprecia. Calcular x para que la depreciación sea máxima. Si inicialmente el brillante tenía un precio de 12000€, indicar cuánto se ha depreciado.

10. Se desea construir con el mínimo costo una caja con base cuadrada y volumen 1000 cm3. El precio de un cm2 del material utilizado en la tapa de la caja (= parte superior de la caja) es el triple que el precio de un cm2 del material utilizado para la base y las caras laterales. Obtener, razonadamente, las dimensiones de la caja.

11. Una barra de l0 metros de longitud se apoya en los puntos A = (x, 0) y B = (0, y). Si el punto A se desliza por la parte positiva del eje OX alejándose del origen a 2 m/seg y el punto B se desliza sobre la parte positiva del eje OY se pide averiguar la velocidad del punto B cuando el punto A dista 8 m del origen de coordenadas.

1. Un globo asciende verticalmente sobre un punto A del suelo a razón de 15 pies/seg. Un punto B del suelo dista 30 pies de A. Cuando el globo esta a 40 pies de A, ¿ a qué ritmo esta cambiando su distancia al B? Sol: 12 pies/seg.

2. Un niño está haciendo volar una cometa a 150 pies de altura. Si la cometa se mueve horizontalmente alejándose del niño a 20 pies/seg ¿a qué ritmo está soltando sedal cuando la cometa esta a 250 pies de él? Sol: 16pies/seg.

3. Una piscina rectangular tiene 8 m de largo y 2 de ancho. Si el agua entra en ella a razón de 2m3/min, halla la rapidez con la que sube el nivel de agua. Sol: 1/8 m/min.

4. De un deposito cónico esta saliendo agua a razón de 1cm /3 seg . Si el radio de la base es 4 cm y la altura 8cm, halla la rapidez a la que baja el nivel de agua cuando esta a 2cm del borde superior. Sol:-1/9π cm/seg

5.

[

Sep_03

]

En una gran pradera se tiene que vallar una zona de 400 m2, que debe tener forma de rectángulo. Cada metro de valla cuesta 100€. Si x es la medida en metros de uno de sus lados, se pide: a) Obtener la función f tal que f(x) sea el coste de la valla, indicando entre qué valores puede variar la x. b) Deducir razonadamente el valor de x para el que f(x) alcanza el valor mínimo

6.

[

Jun_03

]

Sea T un triangulo de perímetro 60cm. Uno de los lados del triangulo mide x cm y los otros dos lados tienen la misma longitud. A) Deducir razonadamente las expresiones de las funciones A y f tales que : A(x)=área del triangulo T, f(x)=

{ }

A(x)2. Indica además entre que valores puede variar x. b) Obtener el valor de x para el que f(x) alcanza el valor máximo.

7.

[

Jun_04

]

Desde un punto N del la orilla del mar, un nadador debe alcanzar una boya que flota a 3 kilómetros de la costa y dista 3 5 kilómetros del punto N. Si recorriendo la orilla (que se supone recta y plana), su velocidad media es de 5 kilómetros por horra y nadando, de 3 kilómetros por hora, ¿cuánto tiempo deberá caminar hasta lanzarse al mar, para alcanzar la boya en el menor tiempo posible?

8.

[

Jun_04

]

Calcula razonadamente el punto de la curva

2 x 1 1 y +

= en el que la tangente a la curva tiene pendiente máxima y calcular el valor de esta pendiente.

9.

[

Sep_04

]

Sea f(x)=x2+mx (donde m es un parámetro real) y f ´(x) la función derivada de f(x). Se pide: a) Halla el valor del parámetro m para que f(x) tenga un mínimo relativo en x= - 3/4. b) Para el valor de m calculado en a), determinar el área de la región comprendida entre la curva y = f(x) y la recta de ecuación y = f´(x).

(2)

10.

[

Sep_04

]

a) Se tienen inicialmente 10 bacterias en un cultivo de laboratorio y cada día se duplican. Averigua razonadamente el número de bacterias que habrá cuando hayan transcurrido 10 días. b) Para otro cultivo, sea P(t) el numero de bacterias transcurrido el tiempo t medido en días. Averigua el aumento del numero de bacterias al cabo de 10 días, sabiendo que P(0)=500, P(3)=1100 y que la derivada P´(x) es constante para 0≤t≤10

11. Determinar razonadamente la longitud del lado del cuadrado de área mínima cuyos vértices están situados sobre los lados de otro cuadrado de lado 16cm

12.

[

Sep_05

]

a) El perímetro de un sector circular de radio R es 4 m. ¿Cuantos radianes α debe medir su ángulo central parra que su área sea máxima . b) El área de otro sector circular es 1m2. ¿Para qué radio es mínimo su perímetro? Nota : Perímetro: 2R+Rα; Área: αR2/2 .

13.

[

Sep_05

]

El caudal de agua (es decir, el volumen por unidad de tiempo) que circula por una tubería cilíndrica es proporcional a la cuarta potencia de su radio. Para abastecer a una población, se han previsto tuberías de cierto radio, pero el fabricante las suministra de un radio que es un 0.5% menor. Estimar en que porcentaje se reducirá el caudal respecto del previsto.

14.

[

Jun_05

]

La concentración en sangre de un fármaco después de su toma es C(t)=0.29483t+0.04253t2−0.00035t3mg/ml donde t es el tiempo transcurrido en minutos. Se pide: a) Calcular el periodo de tiempo durante el cual el fármaco actúa. b) Determinar en que instante la concentración del fármaco es máxima.

15.

[

Jun_06

]

Dada la función

f

(

x

)

=

ln

x

en el intervalo cerrado

[ ]

1,e , siendo e=2,718281….a) Razonar que existe un punto P de la grafica x

ln

y= en el que la recta tangente a ella es paralela a la recta que pasa por los puntos A(1,0) y B(e,1) b) Obtener el punto P considerado en a). c) calcular la pendiente de la tangente a

y

=

ln

x

en ese punto.

16.

[

Jun_06

]

El coste del marco de una ventana rectangular es 12,5 por metro lineal de los lados verticales y 8€ por metro lineal de los lados horizontales. a) Calcula las dimensiones que debe tener el marco de una ventana de 1 m2 de superficie para que resulte lo mas económico posible. B) Calcula ese coste del marco mas económico considerado

17.

[

Jun_06

]

a) Dibuja razonadamente la grafica de la función g(x)=x2−4 cuando −1≤x≤4. B) Obtener los valores máximo y mínimo absolutos de la función f(x)= x2−4 en el intervalo

[ ]

−1,4 . c) calcula el área del recinto limitado por la curva de ecuación

y

=

f

(

x

)

y las rectas

0 y e 4 x 1 x=−, = =

18.

[

Jun_06

]

Una persona camina a la velocidad constante de 3m/s alejándose horizontalmente en línea recta desde la base de un farol cuyo foco luminoso esta a 10m de altura. Sabiendo que la persona mide 1,70m, calcular: a) La longitud de la sombra cuando la persona está a 5m de la base del farol. b) La velocidad de crecimiento de la sombra a los t segunda de comenzar a caminar.

19.

[

Sep_06

]

Dadas las funciones f(x)=x3−3x+8y g(x)=−3x se pide: a) calcula el máximo absoluto de la función f(x) en el intervalo

[ ]

−3,1. b) calcula el punto de corte de la curva y=f(x) y la recta y=g(x). c) Obtener el área del recinto limitado por la curva y=f(x) y las rectas y=g(x), x=-3 y x=0.

20.

[

Sep_06

]

Un incendio se extiende en forma circular uniformemente. El radio del círculo quemado crece a la velocidad constante de 1,8 m/min. a) Obtener el área quemada en función del tiempo t transcurrido desde el comienzo del incendio. b) Calcular la velocidad de crecimiento del área del círculo quemado en el instante en que el radio alcance 45 m.

21.

[

Sep_06

]

Dos postes de 3m y 4m se hallan clavados verticalmente en el suelo. Sus bases distan 5m y, en el segmento que las une, hay un punto P que dista x metros de la base del poste más bajo. El extremo superior de cada poste se une con P mediante un segmento rectilíneo de cable. Se pide: a) Obtener la expresión f(x) de la longitud total de cable utilizado en ambos segmentos b) Demostrar que esa longitud total de cable es mínima cuando son iguales los valores absolutos de las pendientes de los dos segmentos considerados. Calcular esa longitud mínima 22.

[

Sep_06

]

a) Obtener la derivada de la función f(x)=ax+b+senx. Calcular a y b si O(0,0) es un punto de la curva f(x)=ax+b+senx,

cuya recta tangente en O es el eje OX. B) justifica que la función gx 2x+senx π − =

)

( se anula en dos puntos del intervalo

[ ]

0

,

π

c) calcular esos dos puntos

23.

[

Jun_07

]

Se considera la función real f(x)=x3+ax2+bx+c donde a, b y c son parámetros reales. a) Calcular los valores de a y b para que las rectas tangentes a la grafica de f(x) en lo puntos de abscisas x= 2 y x=4 son paralelas al eje OX. b) Con los valores a y b anteriores, obtener el valor de c para el que se cumple que el punto de inflexión de la grafica de f(x) esta en el eje OX.

24.

[

Jun_07

]

Unos altos hornos producen al día x toneladas de acero de baja calidad y x 10 x 5 40 −

toneladas de acero de alta calidad, siendo 8

toneladas la producción máxima diaria de acero de baja calidad. Si el precio de una tonelada de acero de baja calidad es 100€ y el precio de una tonelada de acero de alta calidad es de 250€, demostrar que se deben producir 5 toneladas por día de acero de baja calidad para que el valor de venta de la producción diaria sea máximo.

25.

[

Jun_07

]

Hallar las dimensiones del cartel de área máxima con forma de rectángulo que tienen dos vértices sujetos a una estructura rígida parabólica de ecuación y=12−x2, y los otros dos vértices están situados sobre el eje OX.

26.

[

Sep_07

]

Sea la función con dominio los números reales no nulos x 4 ) x (

f = . a) Calcular la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la grafica de f(x) en el punto de abscisas x=2. b) Determinar los puntos M y N de la grafica de f(x) para los que las rectas tangentes a la grafica en M y N se cortan en el punto (4.-8)

27.

[

Sep_07

]

Se tienen dos programas informáticos A y B. Para procesar n datos, el programa A realiza un número de operaciones elementales no superior a 12+n4 3n , mientras que el programa B ejecuta n2−2n+10 operaciones elementales. Comprobar que cuando el numero n de datos es grande, el programa A procesa los n datos con menos operaciones elementales que el programa B.

(3)

28.

[

Sep_07

]

El borde de un estanque esta formado por el arco de la curva y=4−x2 de extremos (-2,0) y (2,0) y el segmento rectilíneo que

une estos dos puntos. Un surtidor esta situado en el punto de coordenadas (0,2). Se pide: a) determinar, razonadamente, el punto del segmento rectilíneo del borde del estanque que esta mas aproximo del surtidor. b) determinar, razonadamente, los puntos del arco de curva del borde del estanque que están más próximos del surtidor. c) ¿Cuáles son los puntos del borde del estanque mas próximo al surtidor? 29.

[

Jun_08

]

Se considera, en el primer cuadrante, la región R del plano limitada por: el eje X , el eje Y, la recta

x

=

2

2 = x y la curva

2

x

4

1

y

+

=

a) Calcular razonadamente el área de la región R. b) Encontrar el valor de

α

para que la recta

x

=

α

divida la región R en dos partes A (izquierda ) y B (derecha) tales que el área de A sea el doble que la de B.

30.

[

Jun_08

]

Se considera la función real

f

(

x

)

=

x

2

4

. Obtener, explicando el proceso de cálculo: a) La gráfica de la curva. b) Los valores de x para los que está definida la función real

g

(

x

)

=

ln

f

(

x

)

. c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

g

(

x

)

,razonando si tiene, o no, máximo absoluto.

31.

[

Jun_08

]

Una empresa decide lanzar una campaña de propaganda de uno de sus productos editando un texto que ocupa

18

cm

2 en hojas rectangulares impresas a una cara, con márgenes superior e inferior de 2 cm y laterales de 1 cm. Se pide calcular, razonadamente, las dimensiones de la hoja para las que el consumo de papel sea mínimo.

32.

[

Jun_08

]

Una ventana tiene forma de trapecio rectangular. La base menor mide 20 cm y el lado oblicuo mide 40 cm. Hallar, razonadamente, el ángulo

α

que debe formar el lado oblicuo con la base mayor para que el área de la ventana sea máxima. Calcular este área máxima.

33.

[

Sep_08

]

Un móvil se mueve con velocidad constante de 2 m/s, en el primer cuadrante, sobre la recta

x

=

1

partiendo del punto

)

0

,

1

(

M

=

situado a 1 m del origen. Se pide obtener razonadamente: a) Las coordenadas del punto M(t) donde está situado el móvil después de t segundos. b) La función m(t) igual a la pendiente de la recta que pasa por el punto O=(0,0) y por el punto M(t). c) La derivada de la función m(t).

34.

[

Sep_08

]

En un terreno con forma de semicírculo de radio

50

metros, se dibuja un rectángulo que tiene dos vértices sobre la semicircunferencia del perímetro del terreno. Los otros dos vértices del rectángulo están sobre el segmento rectilíneo de dicho perímetro y distan x metros. Obtener razonadamente: a) El área del rectángulo en función de x. b) El valor de x para el que es máxima el área del rectángulo.

35.

[

Jun_09

]

Se desea construir una bodega con forma de paralelepípedo de 100 m3 de volumen de manera que el largo de su base sea 4/3 de la anchura x de su base. Se sabe que los precios de un metro cuadrado de suelo, de techo y de pared lateral son, respectivamente, 225 €/m2, 300 €/m2 y 256 €/m2. Determinar razonadamente: a) El valor x de la anchura de la base que minimiza el coste. b) Dicho coste mínimo.

36.

[

Jun_09

]

Un proveedor vende un producto a un comerciante al precio de 300 euros la unidad. El comerciante incrementa la cantidad de 300

euros e un 40% para obtener el precio de venta al público. El comerciante sabe que a ese precio venderá 50 unidades cada mes y que durante el mes de rebajas por cada 3 euros de reducción en el precio de venta de la unidad conseguirá un incremento de ventas de 5 unidades. Se pide determinar, razonadamente, el número de unidades que debe pedir al proveedor para venderlas en el mes de rebajas y el precio de venta de cada unidad, para maximizar sus beneficios durante ese periodo.

37.

[

Sep_09

]

Dada la función real

2

x

1

8

)

x

(

f

+

=

, se pide calcular razonadamente: a) Las derivadas primera y segunda de la función f (x). b) Los puntos de inflexión de la curva

y

=

f

(

x

)

. c) La pendiente máxima de las rectas tangentes a la curva

y

=

f

(

x

)

38.

[

Sep_09

]

A las 7 de la mañana, una lancha

A está situada a 150 km al este de otra lancha B. La lancha A navega hacia el oeste a una velocidad constante de 40 km/h y la lancha B se dirige hacia el norte a 30 km/h. Si se mantienen estos rumbos, averiguar razonadamente a qué hora estarán ambas lanchas a distancia mínima.

39.

[

Sep_10

]

Dos elementos de un escudo son una circunferencia y un triángulo. La circunferencia tiene centro (0,0) y radio 5. Uno de los vértices del triángulo

es el punto A(-5,0) . Los otros dos vértices del triángulo son los puntos de la circunferencia B (x, y) y C (x, − y). Se pide obtener razonadamente:

a) El área del triángulo en función de x. b) Los vértices B y C para los que es máxima el área del triángulo. c) El valor máximo del área del triángulo.

40.

[

Sep_10

]

Dadas las funciones

f(x)=x3 g(x)=2x2−x

, se pide: a) Obtener razonadamente los puntos de intersección A y B de las curvas

y=f(x) e y = g(x) b) Demostrar que f (x) ≥ g(x) cuando x ≥ 0 c) Calcular razonadamente el área de la superficie limitada por las dos curvas entre los

puntos A y B .

41.

[

Jun_10

]

Se quiere construir un estadio vallado de 10000 metros cuadrados de superficie. El estadio está formado por un rectángulo de base x y dos

semicírculos exteriores de diámetro x , de manera que cada lado horizontal del rectángulo es diámetro de uno de los semicírculos. El precio de un metro de

valla para los lados verticales del rectángulo es de 1 euro y el precio de un metro de valla para las semicircunferencias es de 2 euros. Se pide obtener

razonadamente: a) La longitud del perímetro del campo en función de x . (3 puntos). b) El coste f (x) de la valla en función de x . (3 puntos). c) El valor de x

para el que el coste de la valla es mínimo.

42.

[

Jun_10

]

Dada la función polinómica

f(x)=4x2, se pide obtener razonadamente: a) La gráfica de la curva . b) El punto P de esa curva cuya tangente

es perpendicular a la recta de ecuación x + y = 0. c) Las rectas que pasan por el punto (− 2,1) y son tangentes a la curva

f(x)=4x2

, obteniendo los

(4)

43.

[

Jun

_

11

]

Sea f la función definida por

2

3

2

+

=

x

x

x

x

f

(

)

. Obtener razonadamente:

a)

El dominio y las asíntotas de la función f(x). (3 puntos)

b)

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x). (4 puntos)

c)

la integral

dx

x

x

x

dx

x

f

+

=

2

3

2

)

(

44.

[

Jun

_

11

]

Se desea construir un campo rectangular con vértices A, B, C y D de manera que:

Los vértices A y B sean puntos del arco de la parábola

f(x)=4x2

, – 2 ≤ x ≤ 2, y el segmento de extremos A y B es horizontal.

Los vértices C y D sean puntos del arco de la parábola

f

(

x

)

=

x

2

16

, – 4 ≤ x ≤ 4, y el segmento de extremos C y D es horizontal.

Los puntos A y C deben tener la misma abcisa, cuyo valor es el número real positivo x.

Los puntos B y D deben tener la misma abcisa, cuyo valor es el número real negativo – x.

Se pide obtener razonadamente:

a)

La expresión S(x) del área del campo rectangular en función del número real positivo x.

b)

El número real positivo x para el que el área S(x) es máxima. )

c)

El valor del área máxima.

45.

[

Sep

_

11

]

Dada la función f definida por

f

(

x

)

=

x

2

e

−x

. Obtener razonadamente:

a) El dominio y el recorrido de la función f . (2 puntos)

b) Los valores de x donde la función alcanza el máximo relativo y el mínimo relativo. (2 puntos)

c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de dicha función f . (2 puntos)

d) Los valores de x donde la función

f

(

x

)

=

x

2

e

−x

tiene los puntos de inflexión. (2 puntos)

e) La gráfica de la curva

y

=

x

2

e

−x

, explicando con detalle la obtención de su asíntota horizontal

46.

[

Sep

_

11

]

Un coche recorre el arco de parábola

Γ

de ecuación

2

y

=

36

x

2

, variando la x de – 6 a 6. Se representa por f(x) a la distancia

del punto ( 0 , 9 ) al punto ( x , y ) del arco

Γ

donde está situado el coche. Se pide obtener razonadamente:

a) La expresión de f(x) . (2 puntos)

b) Los puntos del arco

Γ

donde la distancia f(x) tiene mínimos relativos. (2 puntos)

c) Los valores máximo y mínimo de la distancia f(x). (2 puntos)

d) El área de la superficie limitada por el arco de parábola

Γ

y el segmento rectilíneo que une los puntos ( – 6 , 0 ) y ( 6 , 0 )

47.

[

Jun

_

12

]

Para diseñar un escudo se dibuja un triángulo T de vértices A = (0, 12), B = (– x, x

2

) y C = (x, x

2

), siendo x

2

< 12.

Obtener razonadamente:

a) El área del triángulo T en función de la abscisa x del vértice C.

b) Las coordenadas de los vértices B y C para que el área del triángulo T sea máxima.

Para completar el escudo se añade al triángulo T de área máxima la superficie S limitada entre la recta y = 4 y el arco de parábola

y

=

x

2

,

cuando – 2 ≤ x ≤ 2.. Obtener razonadamente:

c) El área de la superficie S.

d) El área total del escudo. .

48.

[

Jun

_

12

]

Con el símbolo ln x se representa el logaritmo de un número positivo x cuando la base del logaritmo es el número e. Sea f la función

que para un número positivo x está definida por la igualdad

f

(

x

)

=

4

x

ln

x

. Obtener razonadamente:

a) El valor de x donde la función f alcanza el mínimo relativo.

b) La ecuación de la recta tangente a la curva

y

=

4

x

ln

x

en el punto (1,0).

c) El área limitada entre las rectas y = 0, x = e y x = e

2

y la curva y = 4 x ln x.

49.

[

Sep

_

12

]

Se definen las funciones f y g por

f

(

x

)

=

x

2

+

2

x

g(x) = x

2

.

Obtener razonadamente:

a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de cada una de esas dos funciones. ).

b) El máximo relativo de la función

f

(

x

)

=

x

2

+

2

x

y el mínimo relativo de g(x) = x

2

.

c) Los puntos de intersección de las curvas

y

=

x

2

+

2

x

e y = x

2

.

d) El área encerrada entre las curvas

y

=

x

2

+

2

x

e y = x

2

, donde en ambas curvas la x varía entre 0 y 1.

50.

[

Sep

_

12

]

Se desea construir un depósito cilíndrico de 100 m

3

de capacidad, abierto por la parte superior. Su base es un círculo en posición

horizontal de radio x y la pared vertical del depósito es una superficie cilíndrica perpendicular a su base. El precio del material de la base

del depósito es 4 euros/m2. El precio del material de la pared vertical es 2 euros/m2. Obtener razonadamente:

a) El área de la base en función de su radio x . .

b) El área de la pared vertical del cilindro en función de x . .

c) La función f(x) que da el coste del depósito.

d) El valor x del radio de la base para que el coste del depósito es mínimo y el valor de dicho coste mínimo

51.

[

Jun

_

13

]

Se estudió el movimiento de un meteorito del sistema solar durante un mes. Se obtuvo que la ecuación de su trayectoria T es y

2

= 2 x + 9,

siendo – 4,5 ≤ x ≤ 8 e y ≥ 0, estando situado el Sol en el punto (0,0). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento

utilizado:

a) La distancia del meteorito al Sol desde un punto P de su trayectoria cuya abscisa es x.

b) El punto P de la trayectoria T donde el meteorito alcanza la distancia mínima al Sol.

c) Distancia mínima del meteorito al Sol.

Nota. En los tres resultados sólo se dará la expresión algebraica o el valor numérico obtenido, sin mencionar la unidad de medida por no haber sido indicada en el enunciado

.

(5)

52.

[

Jun

_

13

]

Dada la función f definida por f(x) = sen x, para cualquier valor real, se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del

razonamiento utilizado:

a) La ecuación de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto de abcisa x = π / 6.

b) La ecuación de la recta normal a la curva y = f(x) en el punto de abcisa x = π / 3. Se recuerda que la recta normal a una curva en un

punto P es la recta que pasa por ese punto y es perpendicular a la recta tangente a la curva en el punto P. (3 puntos)

c) El ángulo formado por las rectas determinadas en los apartados a) y b). (3 puntos)

53.

[

Jul

_

13

]

Se dan las funciones

+

=

x

x

x

f

1

1

2

1

ln

)

(

y

x

x

x

f

+

=

1

1

ln

)

(

obtener

razonadamente, escribiendo todos los pasos del

razonamiento utilizado:

a) Las derivadas de f(x) y g(x). (4 puntos).

b) Los dominios de definición de las funciones f(x) y g(x).

c) La expresión simplificada de la función f(x) + g(x), y el recorrido de esta función f(x) + g(x).

54.

[

Jul_13

]

En el plano XY está dibujada una parcela A cuyos límites son dos calles de ecuaciones x = 0 y x = 40, respectivamente, una carretera de

ecuación y = 0, y el tramo del curso de un río de ecuación

y

=

f

(

x

)

=

30

2

x

+

1

con 0 ≤ x ≤ 40, siendo positivo el signo de la raíz cuadrada. Se

pretende urbanizar un rectángulo R inscrito en la parcela A, de manera que los vértices de R sean los puntos ( x , 0 ), ( x, f(x) ), ( 40, f(x) ) y ( 40, 0 ).

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) El área de la parcela A.

b) Los vértices del rectángulo R al que corresponde área máxima.

c) El valor de dicha área máxima.

55.

[

Jun_14

]

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)

El valor de

m

para el cual la función

     ≥ + ≤ + = 0 x x x sen ) 1 x ( 0 x e ) 1 x ( m ) x ( f x 2

es continua en x = 0.

b)

Los intervalos de crecimiento o decrecimiento de la función (x + 1)e

2x

.

c)

La integral

(x+1)e2xdx

, y el área limitada por la curva y = (x + 1)e

2x

y las rectas x = 0, x = 1 e y =0.

56.

[

Jun_14

]

Se tiene un cuadrado de mármol de lado 80 cm. Se produce la rotura de una esquina y queda un pentágono de vértices A = (0, 20), B = (20, 0),

C = (80, 0), D = (80, 80) y E = (0, 80). Para obtener una pieza rectangular se elige un punto P = (x , y) del segmento AB y se hacen dos cortes

paralelos a los ejes X e Y. Así se obtiene un rectángulo cuyos vértices son los puntos P = (x , y), F = (80, y), D = (80, 80) y G = (x, 80). Obtener

razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)

El área del rectángulo R en función de x, cuando 0 ≤ x ≤ 20.

b)

El valor de

x

para el que el área del rectángulo R es máxima. C

c)

El valor del área máxima del rectángulo R.

57.

[

Jul_14

]

Sea f la función real definida por

f(x)=xex−3x

. Se pide la obtención razonada, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, de:

a)

Los puntos de corte de la curva y = f (x) con el eje X.

b)

El punto de inflexión de la curva y = f (x), así como la justificación razonada de que la función f es creciente cuando x > 2 .

c)

El área limitada por el eje X y la curva y = f (x), cuando 0 ≤ x ≤ ln 3, donde ln significa logaritmo neperiano

.

58.

[

Jul_14

]

Un club deportivo alquila un avión de 80 plazas para realizar un viaje a la empresa VR. Hay 60 miembros del club que han reservado su billete.

En el contrato de alquiler se indica que el precio de un billete será 800 euros si sólo viajan 60 personas, pero que el precio por billete disminuye en 10 euros

por cada viajero adicional a partir de esos 60 viajeros que ya han reservado el billete. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del

razonamiento utilizado: a) El total que cobra la empresa VR si viajan 61, 70 y 80 pasajeros. . b) El total que cobra la empresa VR

si viajan 60 + x pasajeros, siendo 0 ≤ x ≤ 20. c) El número de pasajeros entre 60 y 80 que maximiza lo que cobra en total la empresa VR.

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