Taller 1. Cálculo diferencial

Taller 1. Cálculo diferencial. 2016-2

Profesor Jaime Andrés Jaramillo González. [email protected]. ITM

Repaso conceptos previos

1. Resolver las siguientes inecuaciones lineales:

a) 2x−3<4−2x b) 5+3x<4−x c) 9 2 10 3 31< + ≤− − x

2. Resolver las siguientes inecuaciones lineales y representar gráficamente su solución en la recta real: a) 3 1 4 2 _≤ a− + a b) 4 6 -5 12 3x− ≤ x _c) 3 3 3 ≥      x+

3. Resolver las siguientes inecuaciones no lineales y representar gráficamente su solución: a) −5x2+3x+8<0 b) 25x2 −101x+102<0 c) 4 3 4 2x _≤      − + x d) x3−x2 −4x+4<0 e)

(

x2 −1

) (

⋅ x2+1

)

≤0 f)

(

₍

) (

_{) (}

) (

₎

)

0 1 3 1 2 4 _≥ ⋅ − ⋅ − ⋅ − + x + x x x x g) x 2 −9 x−1 ≥0 h) 5x2 −4x+7<2x2 +6x−5 i) 16 4 3 1 2 − + x+ > x x x

Dominio y rango de una función 4. Determine el dominio de la función

a. 3 ) (x = x+ g b. 40 7 3 4 ) ( ₂ 2 − − − = x x x x f c. 42 13 9 ) ( ₂ + − − − = x x x x F d. 6 7 5 8 ) ( ₂ 3 − − − = x x x x f e.

(

)

(

4 49

)

(

1

)

9 ) ( ₂ 2 − − − = x x x x x f f. 11 9 9 5 3 ) ( 2 3 − + + − = x x x x x f

5. Determine el dominio y dibuje la gráfica de la función

6. Encuentre dominio y rango de la función

Función lineal

La función lineal tiene como gráfica una línea recta, ésta tiene tres tipos de ecuación:

• Ecuación pendiente intersección: y=mx+b (tiene pendiente m e intersección con el eje y en (0,b)

• Ecuación punto-pendiente: y−y₀ =m(x−x₀) (tiene pendiente m y pasa por el punto (x₀, y₀))

• Ecuación general: ax+by=c

La pendiente de una recta, cuando se conoce que pasa por los puntos

(

x₁, y₁

)

y

(

x₂, y₂

)

puede calcularse mediante la fórmula

1 2 1 2 x x y y m − − = . g. 8 3 5 ) (x = x− + x+ f h. 36 5 32 12 ) ( ₂ 2 − + + + = x x x x x f i. 6 17 3 1 ) ( ₂ 4 2 − − − = x x x x f j. 4 15 4 1 5 ) ( 2+ − − = x x x x f k. 3 4 13 60 8 9 3 4 7 ) ( − + + − − − = x x x x x x f l. 6 7 17 11 9 117 ) ( 2− + + + − = x x x x x f m. 12 7 12 ) ( ₂ + − − = x x x x f n. 9 1 ) ( ₂ 3 2 − − = x x x f _o.

12

13

4

13

3

7

)

(

2 2

−

−

−

+

=

x

x

x

x

x

f

a. 1 3 ) (x = x+ g b. 5 6 ) ( + = x x G c. 2 ) (x x x F = + d. 15 2 3 ) ( ₂ − + + = x x x x f a. 4 ) (x = x− g b. 9 ) ( = 2− x x G c. 2 25 ) (x x F = − d. 9 7 ) (x = −x− f

7. Determine la ecuación general de la recta que: a. Tiene pendiente -2/5 y pasa por (2,2) b. Contiene los puntos (-5,1) y (-6,2)

Dos rectas con pendientes m1 y m2 son paralelas si 1 2 1 =

m m

y son perpendiculares si m1m2 =−1.

8. Determine la ecuación punto- pendiente de la recta que: a. Es paralela a x – 2y + 2 = 0 y pasa por (-2,-1) b. Es perpendicular a 3x – 4y = 2 y pasa por (-4,2)

9. Determine la ecuación pendiente-intersección de la recta que es paralela a 2x +1 = y y pasa por (-2,5)

10. Encuentre las ecuaciones generales de las rectas r₁ y r₂, y elabore sus gráficas en un mismo sistema de referencia.

a. r₁= AB; A(3,−2);B(−1,4); r₂:r₂ ⊥r₁;P(4,3)∈r₂ b. r1= AB; A(−4,−2);B(1,3); r2:r2 r1;P(0,4)∈r2

11. Una empresa compró un equipo de computo por $15 000 000, el cual se deprecia linealmente hasta valer en 8 años $3 200 000.

a. Encuentre la función lineal V = f(t)que relacione el valor V en pesos con el tiempo t en años. Explicar por qué el dominio de la función es [0,8].

b. Determine el valor del equipo a los 4

(

f

( )

4

)

y a los 8

(

f

( )

8

)

años.

c. Elabore la gráfica de V = f(t), obtenga la pendiente de la recta que representa a la función )

(t

f

V = y explique qué significa.

d. ¿A los cuantos años el equipo costará la tercera parte de su valor original?

12. Un fabricante de queso produjo 18 000 libras del 1 de enero al 24 de marzo de 2007. Suponiendo que durante todo el año mantuvo el mismo ritmo de producción.

a. Escriba como función de x las libras de queso que produce en x días.

b. Aproxime a la libra más cercana la cantidad de libras producidas en todo 2007.

13. El volumen de un gas a presión constante es directamente proporcional a la temperatura absoluta. A la temperatura de 175 ºK el gas ocupa 100 m3, (a) Encuentre un modelo matemático que exprese el volumen como una función de la temperatura, (b) ¿Cuál es volumen del gas a una temperatura de 140°K? (Nota: Las escalas de temperatura absoluta son Kelvin (ºK) y Rankine (ºR))

14. Un avión despega de un portaviones y vuela hacia el occidente durante 2 horas a razón de 600km/h. Después regresa a 500km/h. Mientras tanto, el barco ha viajado hacia el occidente a 30km/h. ¿A las cuántas horas se encontrarán?

15. Una lancha tarda 1 hora más en viajar 24 km contra la corriente de un río que en el viaje de regreso. Si la lancha tiene una velocidad de 10km/h en aguas tranquilas, ¿Cuál es la velocidad de la corriente?

16. El largo de un terreno rectangular es el doble que el ancho. Si el largo se aumenta en 40m y el al ancho en 6m, el área se duplica. Encuentra las dimensiones del rectángulo.

17. En un bosque un depredador se alimenta de su presa, y para las primeras 15 semanas a partir del fin de la temporada de caza, la población de depredadores es una función f de x, el número de presas en el bosque, la cual a su vez, es una función g de t, el número de semanas que han pasado desde el fin de la temporada de caza. Si

50 2 48 1 ) (x = x2 − x+ f y g

( )

t =4t+52

donde 0≤t≤15 , haga lo siguiente: (a) Encuentre un modelo matemático que exprese la población de depredadores como una función del número de semanas a partir del fin de la temporada de caza, (b) Determine la población de depredadores 11 semanas después del cierre de la temporada de caza.

18. Un puente que cruza un río de 30 metros de ancho tiene la forma de una parábola con una altura máxima de 6 metros con respecto al río. De acuerdo con esto,

a) Representar la situación en el plano cartesiano

b) Hallar una expresión para la altura del puente, con respecto al río, en función de la distancia horizontal a una de sus orillas.

c) ¿A qué altura sobre el río se encuentra una persona ubicada sobre el puente a una distancia horizontal de 7 metros a partir de la orilla del río?

d) ¿A qué distancia horizontal desde las orillas está una persona ubicada sobre el puente a una altura de 4.5 metros sobre el río?

19. Para un viaje a un centro turístico, una compañía de fletes de autobuses cobra $ 48.000 por persona, más $2.000 por persona por cada lugar que no se venda en el autobús. Si el autobús tiene 42 asientos y x representa el número de lugares no vendidos, obtener lo siguiente:

a. Una función que defina el ingreso total, R, del viaje, en función del número de lugares no vendidos, x. b. El gráfico de la función del numeral a.

c. El número de asientos no vendidos que producen el ingreso máximo. d. El ingreso máximo.

20. Queremos fijar un poste de 3,5 m de altura, con un cable que va desde el extremo superior del poste al suelo. Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo de 40º. ¿A qué distancia del poste sujetaremos el cable? ¿Cuál es la longitud del cable?

21. Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el punto más alto de la torre bajo un ángulo de 60º. Nos acercamos 5 metros a la torre en línea recta y el ángulo es de 80º. Halla la altura de la torre.

22. Determine amplitud, periodo, frecuencia y rango de la función, y elabore su gráfico:

Inversa de una función

23. Determine si la función es o no inyectiva:

24. Tenga en cuenta que no es indispensable que una función tenga inversa para hallar su rango, por ejemplo, para hallar el rango de y=9x2 +27 puede encontrar la inversa de y=9x2 +27, x≥0 y determinar su dominio.

Encuentre dominio y rango de la función. Si es posible encuentre su inversa. En caso contrario explicar porque no es posible encontrar la inversa de la función.

a. t t g( )=−2cos5 b. t sen t f( )=−4+2 8 a. 2 4 ) (x = x+ f b. 2 2 1 ) ( ₂ − = x x f c. 2 2 1 ) ( ₂ − = x x f , x≥0 d. 2 2 1 ) ( ₂ − = x x f 1 − > x

a. 9 3 ) ( ₂ − + = x x x g b. x x f( )=− 16− c. 49 1 2 − − = x y d. 3 / 2 2 ) 2 3 ( ) (x = x + f

INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y APLICADAS

JEFATURA DE EDUCACIÓN Y CIENCIAS BÁSICAS

TALLER 1 CÁLCULO DIFERENCIAL

EJE TEMÁTICO 1: FUNCIONES DE VARIABLE REAL

1

OBJETIVO

Utilizar el concepto de función, sus propiedades y representaciones para dar solución a situaciones problema en distintos contextos.

1. Indique cuales de las siguientes expresiones algebraicas corresponden a funciones:

A. ݔଷݕ െ ͷݕ ൌ ͵ݔ B. ʹݕସെ ݔହൌ ʹ C. ξͻ െ ݔଶ൅ ݕ ൌ Ͳ D. ͵ݔଶെ ͷݕଶൌ ͳ E. ݕ݁௫െ ͳ ൌ Ͳ F. _{ʹݕ െ ʹŽ ݔ ൌ}0

2. Determine cuáles de los siguientes gráficos corresponden a funciones:

1 _{La mayoría de los ejercicios que se presentan en este taller hacen parte de 5 Módulos de trabajo}

independiente del curso de Cálculo Diferencial, elaborados por los profesores de la Facultad de Artes y Humanidades Sergio Alarcón Vasco y María Cristina González Mazuelo. Son producto del “Proyecto Hurón para la mitigación de causas de deserción en la Facultad de Artes y Humanidades del ITM”.

3. Para cada una de las siguientes funciones, determinar: ݂ሺെ͵ሻ; ݂ሺͲሻ; ݂ሺଶ

ଷሻ; ݂ሺെʹܽሻ; ݂ሺͳ െ ݔሻǢ݂ሺݔ൅݄_݄ሻെ݂ሺݔሻ A. ݂ሺݔሻ ൌ ͷݔ ൅ Ͷ B. _{݂ሺݔሻ ൌ ͵ݔ}ଶ_{െ ʹݔ} C. ݂ሺݔሻ ൌ Ž‘‰_ଷሺͳ െ ݔሻ D. ݂ሺݔሻ ൌ ݁ି௫

Responda las preguntas 4 y 5 de acuerdo con gráfico de la función ݕ ൌ ݃ሺݔሻ, mostrada a continuación:

4. De acuerdo con el gráfico, evaluar:

A. ݃ሺʹǤ͹ͷሻ B. ݃ሺെͳሻ C. ݃ሺ͵ሻ

5. Encontrar los valores de _ݔ para los cuales se cumple que: A. ݃ሺݔሻ ൌ ͷǤ͹ͷ, para ݔ en el intervalo ሺെλǡ Ͳሻ

B. ݃ሺݔሻ ൌ ͸, si ݔ ൒ Ͳ

C. ݃ሺݔሻ ൌ െͶ , para todo ݔ en el dominio de la función

6. El gráfico siguiente representa la corriente eléctrica, ݅ሺݐሻǡ que se distribuye a través de un tramo de un circuito eléctrico en un tiempo ݐ; donde ݅ሺݐሻ se expresa en Amperes (ܣ), y ݐ en segundos (ݏ).

De acuerdo con la información que se da en el gráfico, responder lo siguiente: A. ¿Cuál es la corriente en el circuito cuando han pasado ʹݏ?

B. Entre _ͳǤ͹ͷݏ y _ʹǤʹͷ s, ¿cuáles son los valores mínimo y máximo alcanzados por la corriente?

C. ¿Después de cuántos segundos la corriente en el circuito alcanza los ʹܣ? D. ¿Para qué intervalo de tiempo la corriente se encuentra entre los Ͳܣ y los Ͷܣ?

7. Hallar el dominio y el rango de las funciones cuyos gráficos se muestran a continuación:

A.

B.

C.

D.

8. Encontrar el dominio de cada una de las siguientes funciones:

A.

ݕ ൌ

௫మିଶ௫ାଵ ହି௫ B.

݂ሺݔሻ ൌ

ଶି௫య ξଽି௫మ C. ݄ሺݐሻ ൌ Žሺͷݐ ൅ ͳͲሻ D.

݃ሺݔሻ ൌ ξݔ

య ଶ

൅ ͷݔ ൅ ͸

E.

ݕ ൌ ට

଻ି௫ ସ௫మ_{ାଶ௫ିଶ଴} ర F.

݂ሺݐሻ ൌ ට

ଶ௧ିଷ ௧మ_{ା௧ିଶ଴} ళ G. ݃ሺݔሻ ൌ ͵ݔସെ ͸ݔଶ ൅ ʹݔ െ ͵ H.

ݕ ൌ ට

௫మିସ ௫ି௫య I.

ݕ ൌ

ଷ௫ିଵ ξ௫మ_ାଵ J.

݂ሺݔሻ ൌ

௫ାଷ ξ௫ିଵ

൅

ଶ ସି௫మ K.

݌ሺݔሻ ൌ

ξଶହି௫మ ξ௫మ_ି௫ି଺ ల L.

݃ሺݐሻ ൌ

ξଶ௧మାଷ௧ିଶ ξ௧మ_ିସ௧ ఱ M.

݄ሺݔሻ ൌ

୪୭୥మሺ௫ାସሻήξ௫ିଷ ξ௫ିଶ ర

9. Para cada uno de los pares de funciones que se dan a continuación, encontrar:

ሺ݂ ൅ ݃ሻሺݔሻ, ሺ݂ െ ݃ሻሺݔሻ, ሺ݂݃ሻሺݔሻ y _ቀ௙ ௚ቁ ሺݔሻ. A. ݂ሺݔሻ ൌ ͵ݔ െ ͳ y ݃ሺݔሻ ൌ Ͷݔଶെ ͵ݔ ൅ ͳ B. _{݂ሺݔሻ ൌ ξʹ െ ݔ} y _{݃ሺݔሻ ൌ ξݔ}ଶ_{െ ʹ} C. _{݂ሺݔሻ ൌ} ௫ାଵ ௫మ_ିସ y ‰ሺݔሻ ൌ ୶ାଶ ୶ାଵ D. _{݂ሺݔሻ ൌ} ଶ௫ ௫ିସ y ݃ሺݔሻ ൌ ௫ ௫ାହ

10. Para cada uno de los pares de funciones que se muestra a continuación, hallar: ሺ݂݋݃ሻሺݔሻ, ሺ݃݋݂ሻሺݔሻ, ሺ݂݋݃ሻሺʹሻ; ሺ݃݋݂ሻሺെͷሻ: A. ݂ሺݔሻ ൌ Ž ݔ y ݃ሺݔሻ ൌ ݁௫ B. ݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ y ݃ሺݔሻ ൌ ଵ ξ௫ C. _{݂ሺݔሻ ൌ} ଵ ௫ାଵ y ݃ሺݔሻ ൌ ௫ ௫ିଶ D. ݂ሺݔሻ ൌ ݔଶെ ͻ y ݃ሺݔሻ ൌ ξݔ ൅ ͷ E. ݂ሺݔሻ ൌ –ƒ ݔଶ y ݃ሺݔሻ ൌ ξݔ

11. Cada una de las funciones que se dan a continuación son funciones compuestas. Encontrar las funciones que las componen y comprobar que la composición de dichas funciones es la función compuesta dada.

A. ܨሺݔሻ ൌ ξݔఱ ଶെ ͷݔ ൅ ͹ B. ܩሺݔሻ ൌ ݁ହ௫ି଼ C. ܶሺݔሻ ൌ ݏ݁݊ଷݔ D. ܳሺݐሻ ൌ ͻሺݐଶ൅ ʹݐ െ ͷሻଶ E. ܪሺݔሻ ൌ •‡…ሺݔଶെ ͷሻ ൅ –ƒሺݔଶെ ͷሻ F. ܲሺݐሻ ൌ Ž‘‰ሺݐ െ ͷሻ െ ሺݐ െ ͷሻଶ൅ ͵௧ିହ

12. Encontrar la inversa de cada una de las funciones que se dan a continuación, e indicar si dicha inversa es o no es función:

A. ݕ ൌ ʹݔ െ ͺ B. _{݂ሺݔሻ ൌ ξݔ}ଶ_{െ Ͷ} C. ݃ሺݔሻ ൌ ݔଷ൅ ͸ D. ݄ሺݔሻ ൌ Ž‘‰ሺݔ െ ͷሻ E. ݂ሺݐሻ ൌ ݁ሺ௧ିଶሻ Ǥ ݃ሺݐሻ ൌଷ௧ିସ_௧ିହ

13. Hallar la ecuación de la recta que cumple las siguientes condiciones: A. Tiene pendiente ݉ ൌ െଷ

ଶ y pasa por el punto ሺെͳǡͶሻ

B. Pasa por los puntos ሺʹǡ െͺሻ y _{ሺͷǡ ͵ሻ}

C. Tiene pendiente ݉ ൌ ʹ y pasa por el punto ሺͶǡ ͺሻ D. Pasa por los puntos ሺെͶǡ െͻሻ y ሺെʹǡ െ͸ሻ

14. Para cada una de las siguientes ecuaciones hallar: la pendiente, el intercepto con el eje _ݕ, el intercepto con el eje _ݔ y el gráfico de la recta.

A. ͵ݔ െ Ͷݕ ൅ ͷ ൌ Ͳ B. _{െͷݔ ൅ Ͷݕ െ ͸ ൌ Ͳ}

C. ݔ ൅ ݕ െ ʹ ൌ Ͳ D. _{ݕ ൌ െʹ}

15. El gráfico que se presenta a continuación representa el voltaje ݒሺ݅ሻ, que pasa a través de una resistencia dada, como una función lineal de la corriente ݅ǡ donde ݒሺ݅ሻ se expresa en milivoltios ሺ݉ݒሻ y la corriente ݅en miliamperios (݉ܣ).

De acuerdo con la información suministrada en el gráfico, encontrar: A. El valor de la resistencia ܴ, en ohmios (ȳ).

B. Un modelo matemático que represente el voltaje ݒ como función de la corriente ݅

Ǧʹ Ǧͳ ͳ ʹ ͵ Ͷ ͷ ͸ ͹ ͺ ͻ ͳͲ ͳͳ ͳʹ ͳ͵ ͳͶ ͳͷ ͳ͸ ͳ͹ ͳͺ ͸ͲͲ ͳʹͲͲ ͳͺͲͲ ʹͶͲͲ ͵ͲͲͲ ͵͸ͲͲ ͶʹͲͲ

v

8

A partir del modelo matemático, hallar:

C. El voltaje ݒሺ݅ሻ, en voltios, cuando la corriente es de 15.4 ݉ܣ D. La corriente ݅ cuando el voltaje es de 3.65 ݒ.

16. La velocidad de un objeto en caída libre está representada por el modelo matemático

ݒሺݐሻ ൌ െͻǤͺݐ ൅ ͷͶǡ donde _ݒሺݐሻ se expresa en metros por segundo _ሺ௠

௦௘௚ሻ y el tiempo ݐ en

segundos ሺݏ݁݃ሻ. De acuerdo con esta información, hallar: A. El significado de la pendiente en el modelo matemático. B. La velocidad inicial del objeto.

C. El tiempo en que el objeto alcanza la máxima altura

D. La velocidad en ݐ ൌ ʹǤͷݏ݁݃ y la velocidad en ݐ ൌ ͸ݏ݁݃ (Indicar si en estos tiempos el objeto sube o baja)

E. El gráfico de la función

17. Un tanque contiene 50 litros de agua. A las 8:00 a.m. se abre una llave para llenarlo de tal forma que a la 1:00 p.m. hay en el tanque 1.250 litros de agua. Si se considera que la cantidad de agua que entra al tanque es constante y que la capacidad del tanque es de 2.000 litros,

A. Representar gráficamente, en el plano cartesiano, la situación B. ¿Cuántos litros de agua entran al tanque cada hora?

C. Hallar el modelo matemático que represente la situación

A partir del modelo matemático del numeral c., responder lo siguiente: D. ¿A qué horas hay en el tanque 1.875 litros de agua?

E. ¿Cuánta agua habrá en el tanque a las 11:30 a.m.? F. ¿Cuándo quedará lleno el tanque?

18. Una motocicleta se compró hace 5 años y desde entonces se deprecia anualmente en $750.000 hasta valer hoy en día $1.200.000. De acuerdo con esta información: A. Hallar el modelo matemático que representa la situación

B. Representar la situación gráficamente, en el plano cartesiano A partir del modelo matemático del numeral b., responder lo siguiente: C. ¿Cuándo se depreciaría totalmente la motocicleta?

D. ¿Cuál fue el valor de adquisición de la motocicleta?

19. Para las funciones cuadráticas de los numerales A. hasta J., encontrar:: I. El vértice de la parábola a la cual representa

9

II. Indique si el gráfico se abre hacia arriba o hacia abajo y, además, si el gráfico es más

ancho, más angosto o igual al de la función 2

( )

f x =x III. Los intersectos con los ejes cartesianos

IV. El dominio y el rango de la función V. Realice un gráfico de la parábola

A. ݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ൅ ͺݔ B. ݂ሺݔሻ ൌ െݔଶ൅ ͳͲݔ C. ݂ሺݔሻ ൌ ݔ ൅ ݔଶ D. ݂ሺݔሻ ൌ ʹݔ െ ݔଶ E. _{݂ሺݔሻ ൌ ݔ}ଶ_{െ ʹݔ ൅ ʹ} F. ݂ሺݔሻ ൌ ʹݔଶ൅ ݔ െ ͸ G. ݂ሺݔሻ ൌ ͸ݔଶ൅ ͳʹݔ െ ͷ H. ݂ሺݔሻ ൌ ͳ െ ͸ݔ െ ݔଶ I. ݂ሺݔሻ ൌ ͵ݔଶെ ͳʹݔ ൅ ͳ͵ J. _{݂ሺݔሻ ൌ െݔ}ଶ_{െ ͵ݔ ൅ ͵}

20. Una mujer que iba en un globo dejó caer sus binoculares cuando el globo se encontraba a ͳͷͲ pies sobre el suelo y se elevaba con una velocidad de ͳͲ௣௜௘௦

௦௘௚. La altura de los

binoculares respecto al suelo está dado por:

ܪሺݐሻ ൌ ͳͷͲ െ ͳͲݐ െ ͳ͸ݐଶ

A partir del modelo matemático conteste las siguientes preguntas:

A. ¿A qué altura respecto al suelo se encontraban los binoculares 2 segundos después de que la señora los dejó caer?

B. ¿En qué momento los binoculares se encontraban a 30 pies de altura respecto al suelo?

C. ¿Cuánto tardarán los binoculares en llegar al suelo? D. Represente en el plano cartesiano la situación. E. Determine el dominio y el rango de la situación.

21. El gráfico que se presenta a continuación representa el desplazamiento de un objeto en caída libre. De acuerdo con la información suministrada en el gráfico encontrar lo que se pide a continuación:

A. La altura máxima alcanzada por el objeto, y el tiempo que tarda en alcanzarla. B. La altura desde donde fue lanzado el objeto.

C. El tiempo que demora el objeto en caer al piso

D. Un modelo matemático que represente la altura

ݏሺݐሻ

con respecto al piso, en metros, alcanzada por el objeto en un tiempo

ݐ

, en segundos.

E. A partir del modelo matemático encontrar la altura alcanzada por el objeto 8 segundos después de haber sido lanzado.

F. A partir del modelo matemático indicar cuando el objeto alcanza una altura de 100 metros.

10

22. En un cultivo de flores, cierto día a las 11:00 pm la temperatura empezó a descender de tal manera que la temperatura mínima registrada fue de 1° C bajo cero a las 3:00 de la madrugada. Luego volvió a subir hasta alcanzar 19° C a las 8:00 am. Si se sabe que la temperatura en el cultivo obedece a un modelo cuadrático:

A. Identificar las variables que intervienen en la situación y determinar cuál es la independiente y cuál la dependiente.

B. Señale la información clave: puntos de interés y realice una gráfica aproximada de la situación.

C. Hallar el modelo matemático que representa la situación.

Sustentado en el modelo matemático responda las siguientes preguntas: D. ¿Cuál fue la temperatura a la 1:00 am?

E. ¿A qué horas se registró una temperatura de 0°C? F. ¿Cuál fue la temperatura a las 11:00 pm?

G. ¿A qué horas vuelve a alcanzar la temperatura inicial?

23. Para cada una de las siguientes funciones exponenciales (numerales A. hasta J.), determinar:

I. La ecuación de la asíntota horizontal II. Los interceptos con los ejes cartesianos III. Realice un bosquejo de la curva

IV. El dominio y el rango de la función A. _{݂ሺݔሻ ൌ െͷ}௫ B. _{݂ሺݔሻ ൌ ͵}௫_{െ ʹ} C. ݂ሺݔሻ ൌ ͳͲ௫ାଷ D. _{݂ሺݔሻ ൌ Ͷ െ ቀ}ଵ ଶቁ ௫ E. _{݂ሺݔሻ ൌ ʹ݁}ି௫_{െ ͳ} F. ݂ሺݔሻ ൌ ʹଵି௫൅ ͵ G. ݂ሺݔሻ ൌ െͶ ൅ ͵Ǥ ݁ିହି௫ H. ݂ሺݔሻ ൌ ͳ െ ͷǤ ͵ିሺଶି௫ሻ

11

I. ݂ሺݔሻ ൌ െ͵ ቀଵ

௘ቁ ௫

൅ ͹ J. ݂ሺݔሻ ൌ െͳͲ௫൅ Ͷ

24. Para cada una de las siguientes funciones logarítmicas (numerales A. hasta J.), encontrar:

I. El dominio de la función

II. La ecuación de la asíntota vertical

III. Halle los interceptos con los ejes cartesianos IV. Realice un bosquejo de la curva

A. _{݂ሺݔሻ ൌ െ͵ ൅ ݈݊ݔ} B. ݂ሺݔሻ ൌ Ͷ ൅ Ž‘‰ሺݔ െ ʹሻ C. ݂ሺݔሻ ൌ െͳ ൅ Ž‘‰_ଶሺݔ ൅ ͵ሻ D. ݂ሺݔሻ ൌ െʹ െ Ž‘‰_ହሺݔ ൅ ͳሻ E. _{݂ሺݔሻ ൌ ͳ ൅ ݈݊ሺെݔሻ} F. _{݂ሺݔሻ ൌ Ž‘‰ଷ}ሺͳ െ ݔሻ െ Ͷ G. ݂ሺݔሻ ൌ െ͵݈݊ሺʹ െ ݔሻ H. ݂ሺݔሻ ൌ െͷ Ž‘‰_ଶሺͳ ൅ ݔሻ െ Ͷ I. ݂ሺݔሻ ൌଵ ଶŽ‘‰ሺݔ ൅ ͵ሻ ൅ ͳ J. ݂ሺݔሻ ൌ െ݈݊ሺͶ െ ݔሻ െ ͳ

25. Un circuito electrónico contiene una batería que produce un voltaje de 60 voltios (V), un resistor con una resistencia de 13 ohms (Ω), y un inductor con una inductancia de 5 henrys (H). La corriente (en Amperios, (A)) t segundos después de que se cierra el interruptor viene dada por el modelo matemático:

ܫሺݐሻ ൌ͸Ͳ_ͳ͵൬ͳ െ ݁ିଵଷ௧ହ _൰

A. ¿Cuál es la corriente en el circuito 1.5 segundos después de haberse cerrado el interruptor?

B. ¿Después de cuantos segundos la corriente es de 2 A?

26. La velocidad de un paracaidista en el tiempo t está representada por:

) 1 ( 80 ) (t =

e

0,2t -V

Donde t está dada en segundos y V en pies / s

A. Determinar la velocidad inicial del paracaidista.

B. Determinar la velocidad del paracaidista después de transcurridos 5 y 10 segundos. C. ¿Cuándo la velocidad del paracaidista es de 26,4 pies/s?

27. Una persona conduce un automóvil en un día frío de invierno (20°F en el exterior) y la máquina se sobrecalienta (a cerca de 220°F). Cuando el auto se estaciona, la máquina

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comienza a enfriarse. La temperatura T de la máquina t minutos después de que se estaciona viene dada por el modelo matemático

Ž ൬ െ ʹͲ_{ʹͲͲ ൰ ൌ െͲǤͳͳ–}

A. Si la temperatura del motor es de 205 °F, ¿cuántos minutos lleva el automóvil de haberse estacionado?

B. ¿Cuál es la temperatura del motor después de 20 minutos de haberse estacionado el auto?

28. La gráfica que se da a continuación muestra la población de monos en un sector del Amazonas entre el año 2002 y 2006.

A. ¿Cuál es la población de monos en 2002?

B. Encontrar una función que modele la población de monos t años después de 2002. C. ¿Cuál es la población de monos proyectada en 2012?

D. ¿En qué año la población de venados llega a 100 000?

En los ejercicios 29 al 31encontrar lo siguiente:

A. Evaluar la función definida por tramos en los valores indicados. B. Hacer un bosquejo del gráfico

29. î í ì ³ -< = 0 si 5 0 si ) ( 2 x x x x x f Evaluar: f(0), f(5), f(-3), f(2)

ή

Población de monos ݊ሺݐሻ ݐ Ͳ 1 2 3 4 10 000 20 000 30 000 Años desde 2002 (4, 31 000) 40 000

13 30. î í ì > + £ = 3 si 7 3 3 si 2 ) ( x x x x f Evaluar: f(-5), f(5), f(3), _f(10₃) 31. ï î ï í ì > -£ < -£ + = 1 Si 1 1 1 Si 1 Si 2 ) ( 2 x x x x x x x g Evaluar:g(-5), g(3), _g(₂1), _{( )} 4 1 -g ,g(-1)

32. En la gráfica a continuación se presenta la corriente que pasa a través de un oscilador.

A. Determine el modelo matemático que representa a ݅ሺݐሻ

B. Halle la corriente que pasa a través del oscilador en ݐ ൌ ͳǡ ݐ ൌ ʹ y ݐ ൌ ͵Ǥͷ C. ¿Cuándo la corriente que pasa por el oscilador es de _Ͷͺ݉ܣ?

33. Un teléfono celular cuesta 39 dólares al mes. El plan incluye 400 minutos gratis y cada minuto adicional de uso cuesta 20 centavos de dólar. El costo mensual es una función de la cantidad de minutos empleados, y se expresa como

39 si 0 400 ( ) 39 0.2( 400) si 400 x C x x x £ £ ì = í + - > î Determinar: A. El coso de 350 minutos B. El costo de 400 minutos C. El costo de 1000 minutos

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34. Una distribuidora de música ofrece a sus clientes un gran surtido de música en DVDs. Si compran no más de 6 DVDs, se venden a $35.000 cada uno. Si compran más de 6 DVDs, cada DVD adicional se vende a $33.000.

De acuerdo con lo anterior

A. Encontrar un modelo matemático que represente el costo C de x DVDs B. ¿Cuál es el costo de 5 DVD?

C. ¿Cuál es el costo de 15 DVDs?

35. Para cada una de las siguientes funciones trigonométricas: I. Determine la amplitud, el período y la frecuencia. II. Halle los interceptos con los ejes cartesianos III. Grafique la función para un período de ʹߨ IV. Determine el dominio y el rango de la función

A. ݂ሺݐሻ ൌ ͵ݏ݁݊ሺͶݐሻ B. ݂ሺݐሻ ൌ െʹܿ݋ݏሺͷݐሻ C. ݂ሺݐሻ ൌଶ ଷܿ݋ݏ ݐ D. _{݂ሺݐሻ ൌ െ}ଵ ଶݏ݁݊ሺݐሻ E. ݂ሺݐሻ ൌ ͹ܿ݋ݏ ቀଵ ଶݐቁ F. _{݂ሺݐሻ ൌ ʹ ൅ ݏ݁݊ݐ} G. ݂ሺݐሻ ൌ െͶ ൅ ܿ݋ݏሺ͸ݐሻ H. ݂ሺݐሻ ൌ ܿ݋ݏ ቀݐ ൅గ ଶቁ I. ݂ሺݐሻ ൌ ʹݏ݁݊ ቀݐ െగ ଷቁ J. ݂ሺݐሻ ൌ ͵ ൅ ʹݏ݁݊ ቀగ ଶ൅ ݐቁ K. ݂ሺݐሻ ൌଵ ଶെ ଵ ଶܿ݋ݏ ቀʹݐ െ గ ଷቁ

36. La posición de una cuerda que vibra con respecto al tiempo está representada por:

A. ¿Cuál es la amplitud de vibración de la cuerda? B. ¿Cuál el período?

C. ¿Cuál su frecuencia?

D. Halle el modelo matemático que represente la posición de la cuerda con respecto al tiempo. t f (t) 1 4 -2 p / 3 p 2p

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E. Determine f(p6),f(p12), f(7p6)a partir de la gráfica y del modelo matemático.

F. Determine el rango de la situación.

37. En un cultivo de mangos el número de mangos cosechados tiende a variar periódicamente de acuerdo con el siguiente modelo matemático.

t Sen t

N( )=3250+1550 3

Donde N(t)representa el número de mangos cosechados y t es el número de años a partir del 2005.

A. Construir a partir de la expresión analítica su gráfica que represente la situación en el plano cartesiano

B. ¿Cuál es el mayor número de mangos cosechados en el cultivo? C. ¿Cuándo se alcanzó por primera vez?

D. ¿Cuántas cosechas hay cada año?

E. ¿Cuál será el número de mangos cosechados a finales de octubre del 2007? F. ¿Cuál es el número de mangos cosechados a finales de marzo del 2007?

38. La corriente que fluye a través de un dispositivo en un tiempo ݐ está dada por:

݅ሺݐሻ ൌ ʹͲ …‘• ቀݐ ൅ߨ_{͸ቁ ߤܣ}

Donde ݅ሺݐሻ se mide en micro amperes (ߤܣ) y ݐ en segundos (ݏሻǤ A. Realice el gráfico que representa a ݅ሺݐሻ durante Ͳ ൑ ݐ ൑ ͳݏǤ B. Determine _{݅ሺͲሻǡ ݅ ቀ}ଵ

ଶቁ e ݅ ቀ ଶ ଷቁ

C. ¿Cuándo _{݅ሺݐሻ ൌ െͷ}?

Resuelva los numerales 39 a 41, de acuerdo con la siguiente información.

El modelo matemático que describe el desplazamiento ݏሺݐሻ de un objeto, en un tiempo dado ݐ, es de la forma ݏሺݐሻ ൌ ܽݏ݁݊ݓݐ o ݏሺݐሻ ൌ ܽܿ݋ݏݓݐ, entonces se dice que el objeto sigue un Movimiento Armónico Simple (MAS). Además:

I. ܣ ൌ ȁܽȁ es la amplitud o desplazamiento máximo del objeto. II. _{ܲ ൌ}ଶగ

௪ es el periodo o tiempo necesario para completar un ciclo.

III. ݂ ൌ ௪

ଶగ o ݂ ൌ ଵ

௉ es la frecuencia o número de ciclos por unidad de tiempo. Su

unidad de medida es ௖௜௖௟௢௦

௦௘௚ , también llamada Hertz (Hz).

39. Se golpea un diapasón, lo cual produce un tono puro cuando sus puntas vibran. Dichas vibraciones están representadas por:

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ܣሺݐሻ ൌ Ͳǡ͹ݏ݁݊ሺͺͺͲߨݐሻ

Donde ܣሺݐሻes el desplazamiento de las puntas en milímetros en ݐ segundos. De acuerdo con lo anterior:

A. Determine el período y la frecuencia de la vibración.

B. ¿Cuál es el desplazamiento de las puntas en el instante del golpe?

C. ¿Cuál es el desplazamiento de las puntas 2 segundos después del golpe? D. ¿En qué momento el desplazamiento es de 0,5 milímetros?

E. Graficar ܣሺݐሻ

40. La variación de la presión para la nota MI, de una tuba, a partir de la presión normal del aire viene determinada por el modelo matemático ܸሺݐሻ ൌ ͲǤʹݏ݁݊ͺͲߨݐ, donde ܸሺݐሻ se mide en ௟௜௕௥௔௦

௣௨௟௚మ y ݐ en segundos. De acuerdo con este modelo matemático, encontrar:

A. La amplitud B. El periodo C. La frecuencia

D. El gráfico de ܸሺݐሻpara ݐ en el intervalo ሾͲǡ ͲǤʹͷሿ

41. El gráfico siguiente muestra la pantalla de un osciloscopio, donde se lee la variación del voltaje de una corriente alterna que produce un generador sencillo. De acuerdo con la información suministrada por el oscilador:

A. Encontrar el voltaje máximo producido B. Determinar la frecuencia del generador

C. ¿Cuántos ciclos por segundo da la armadura del generador?

D. Determinar una fórmula que describa la variación en el voltaje en función del tiempo

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Bibliografía recomendada

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