g(x) se llama función integrante ò integrando.

Integral indefinida, técnicas de integración CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Una función se dice que es una de una función en un intervalo cerrado I si ' . Observar que si donde es alguna constante entonces es una antiderivada de f pues ' ' .

Del teorema del valor medio(5.19) se tiene que si es una función tal que ' 0 para todo x I (intervalo) entonces es constante en I.

Si y son dos antiderivadas de f en un intervalo I entonces existe una constante C tal

que .

El item (2) nos indica que las antiderivadas de una función f se ferencian solo en una constante. Luego si es una antiderivada de entonces es llamada la

notar que es una familia de funciones pues varía con cada antiderivada.

El proceso para hallar la antiderivada mas general es llamado escribiremos: = ' = f(x)+ ó = G(x)+ ; G’(x)=g(x). Donde: - es llamado . - es la . = x+C. En general n = 1 1 +C, n ? -1, n

Si 1,….., son funciones definidas en un intervalo y 1,…., constantes:

Entonces: _{1 1} ... _{1 1} ... 1) Obvio pues si F(x)= 1 1 +C F’(x)=

2) Se sigue por inducción veamos para = 2

Por demostrar _{1 1 2 1 1 2 2}

8.1. ANTIDIFERENCIACION Ó INTEGRAL INDEFINIDA.

Definición 8.1. antiderivada

Observación: 1)

2) 3)

antiderivada mas general de

Definición 8.2 integración

signo de integral

-118

-x variable de integración Teorema 8.1. ( Integrales iniciales )

1.

2.

Demostración: F f x f x F x I G x F x C C G F x G x f f f x f f g C x G x F x F F F x C f F x C C x f d f xdx C dx x g C dx x dx

n

x

n f f_n a a_n dx x f dx f a dx f a x f a _{n n n} n xn n x n dx x f a x f a dx x f a x f a

( ) ( )

= ∈

( ) ( )

= +

( )

=

( )

( )

= ∈

( ) ( )

= +

( )

( )

+

( )

+

( )

(

)

∫

∫

( )

( )

∫

∫

∫

∫

₊

+ ∈

( )

[

]

_∫

_∫

( )

∫

± = ± ± + + ⇒

( )

( )

[

]

_∫

( )

_∫

( )

∫

+ = ± Q

Si [ _{1 1 1 1} ] ( ) ' ' _{1 1 2 2} 1 1 1 1 ' 1 ' 1 1 _{2 2 2} 2 ' 2 ' 2 2 Por definición: _{1 1 2 2 1 1 2 2} 4 2 2 2 1 4 2 1 2 2 4 2 4 3 2 1 2 5 3 3 2 3/2 5 2 3 / 2

Sea u una función diferenciable de x. Si f es una función definida en u(x) con antiderivada F entonces: Si pero ' ' ' ( ( )) '( ) ) 2 ( 2 1 2 1 2 2 2 Cambiando: 2 1 2 , 2 y 2 / 3 3 2

Antiderivada mas general 3 2 2 1 2 1 2 2 2 2 / 3 2 1 3 2 : Consideremos la función tal que '

entonces ' ' ' ecuación diferencial.

1 2

; 2 1

Como ya vimos se tiene una familia de funciones de pendientes de C que se pueden representar en el plano y cada punto (x1, y1) pertenece a una sola curva.

( )

( )

∫

+ = + ⇒

( )

=

(

( )

+

)

= +

( )

=

(

( )

+

)

∫

⇒

( )

=

(

( )

+

)

=

( )

( )

=

(

( )

+

)

∫

⇒

( )

=

(

( )

+

)

=

( )

( )

( )

[

]

_∫

( )

_∫

( )

∫

+ = ± + + + = + +       +     =       _{+ +}

∫

( )

(

+ +

)

= + + +

∫

( )

( )

∫

= +

( )

=

( )

( )

+

( )

( )

=

( )

( )

⇒

( )

=

( ) ( )

( )

=

∫

∫

+ = +

( )

= + =

( )

=

( )

= + ⇒ ⇒

_∫

+ =

_∫

+ =

_∫

( )

=

( )

+  +      + =

( )

=

( ) ( )

=

( )

= =

( )

= ⇒ =

( )

⇒ =

( )

( )

∫

=

∫

⇒ + =

( )

+ ⇒ ₌

( )

₊ = − C x F dx x f a x f a F x F x C a f a f c x G a dx x f a aG x a G x c a f x c x H a dx x f a a H x a H x c a f x dx x f a dx x f a dx x f a x f a C x x x C x x x dx x x C x x x dx x x x C u F du u f C x u F x G F u x f u x G x F u x u x f u x u x xdx x dx x x x x u xdx du f u u C u u F C u F du u f xdx x dx x x x C x g y g x f x y x f dx dy x g ydx f x dx dy f x dx dx x f dy y c g x c c x g y c c c Ejemplo: 1) 2)

Teorema 8.2.(Regla de la cadena para la integral indefinida).

Demostración:

Ejemplo:

8.2. ANTIDIFERENCIACIÓN EN ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES. 1.- Ecuaciones diferenciales con variables separadas

i)

c = -1 c = 0 c = 1 c = 2

Se quiere la solución completa de la ecuación diferencial 2 Luego encontrar la solución particular que satisfaga la condición (x1, y1) = (2,6).

Según lo anterior ₁ 2 ₂ 2 es la solucióncompleta de la ecuación diferencial.

Para la solución particular: 2 2 6 , 2 , 2 1 1

Consideremos la función tal que: '' ''

Entonces

''

'

'

1

' ' 1 ' 1

_{1 2} depende de dos parámetros. Encontrar la solución completa de la ecuación diferencial.

3 4

2 2

ó sea ' 4 3 integrando 2 2 3 ₁ de aquí

1 2 3 2 integrando se tiene 3 2 _{1 2} 2 3 3 2

Consideremos la ecuación diferencial ' Esta puede solucionarse multiplicando por

Ósea '

Como ya sabemos el movimiento de una partícula a lo largo de una recta es dado por la función del tiempo = ( ), la velocidad instantánea y la aceleración instantánea se pueden determinar a partir de ' y ₂ ''

2

Luego con algunas condiciones de frontera es posible determinar la ecuación del movimiento por integración.

Una partícula se mueve en la línea recta, s es la distancia instantánea dirigida de la partícula desde el origen en t segundos, v esta en p/seg. De la partícula en t segundos y a esta en p/seg2y a = 2t-1, s =3, s = 4 cuando t es igual a 1 expresar v y s en función de t.

Ejemplo:

ii)

Ejemplo:

iii)

2.- Integración y movimiento rectilíneo.

Ejercicio Solución: xdx dy c x c y c x y x y c y x x g y g x f x y

c

x

g

y

dx

x

f

dx

y

dx c dx x g dx c x g dx y c x c x g y x dx y d dx x dy y x x c dx c x x dy y x x c x c y y g x f dx dy dx y g dx x f dy y g dx x f dx y y g g y dy f x dx s f t t f dt ds v f t dt dv dt s d a = + = = ⇒ = +

(

) ( )

+ = ⇒ = ⇒ =

( )

=

( ) ( )

= =

( )

⇒

=

( )

+

=

⇒ =

(

( )

+

)

=

( )

+ ⇒ =

( )

+ + + = =

(

+

)

= + +

(

+ +

)

= = + + +

( )

( )

= =

( )

( )

=

( )

⇒

( )

=

( )

⇒

_∫

( )

=

( )

( )

= = = = =

( )

Como 2 1 2 1 2 ₂ Sustituyendo v=3, t=1 3 =1-1+c1 , c1= 3 También 2 3 2 3 3 2 3 ₂ 2 1 3 1

Sustituyendo s= 4, t =1 c2=7/6 se tiene la distancia s en función de t

6 7 3 2 1 3 1 _{3 2} : Si 1 sabemos ' 1 ; Entonces: ; 1 1 , 1 Si sabemos ' Entonces: Si Sabemos ' Entonces: Si Sabemos ' 1 ; u > 0 Entonces: 1 : Si Sabemos ' cos Entonces: cos Si cos Sabemos ' Entonces: cos Si Sabemos ' sec2 Entonces: sec2 Si Sabemos ' csc2 Entonces: 2

Si sec Sabemos ' sec

Entonces: sec sec

Si csc Sabemos ' csc Entonces: csc csc Si sec Sabemos '

(

−

)

= ⇒ − = = ⇒ = − +

(

− +

)

= ⇒ + − = = ⇒ = − + +

( )

= − + +

( )

₌ +

( )

₌

( )

_{+ ∈} ∈ + + = +

∫

≠−

( )

=

( )

= + =

∫

( )

=

( )

= +

∫

( )

=

( )

( )

=

( )

+ =

∫

( )

=

( )

=

∫

= +

( )

=

( )

=−

∫

=− +

( )

=

( )

= + =

∫

( )

=

( )

=− + − =

∫

( )

=

( )

=

∫

= +

( )

=

( )

=−

∫

=− +

( )

=

( )

= dt t dv t dt dv a v t t c dt t t ds t t dt ds v s t t t c t t t t s n u x F F x dx n un n n C n u du u n n n u e x F F x dx eudu C e du eu u u a x F F x dx auLnadu C Lna au u Ln x F du u dx x F C u Ln du u senu x F F x dx udu C senu udu u x F F x dx senudu C u senudu tgu x F F x dx udu C tgu udu ctgu x F F x dx udu C ctgu udu csc u x F F x dx utgudu C u utgudu u x F F x dx uctgudu C u uctgudu u Ln x F F x dx tgudu

8.3. INTEGRALES INDEFINIDAS BÁSICAS. Primer Bloque de formulas básicas

1)

2) 3)

4)

Segundo bloque de formulas básicas

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) Q Q

Entonces: sec Si Sabemos '

Entonces:

Si sec Sabemos ' sec

Entonces: sec sec

Si csc Sabemos ' csc Entonces: csc csc Si Sabemos ' cosh Entonces: cosh Si cosh Sabemos ' Entonces: cosh Si Sabemos ' sec 2 Entonces: sec 2 Si Sabemos ' csc 2 Entonces: csc 2

Si sec Sabemos ' sec

Entonces: sec sec Si csc Sabemos ' csc Entonces: csc csc Si cosh Sabemos ' Entonces: cosh Si Sabemos ' cot Entonces: : Si 1 sabemos 2 1 1 ' Entonces: 1 2 1 1 Consecuencia: 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ; , a>0 1 2 2 1 ; a> 0

∫

= +

( )

=

( )

=

∫

= +

( )

= +

( )

=

∫

= + +

( )

= −

( )

= + − =

∫

( )

=

( )

=

∫

= +

( )

=

( )

= + =

∫

( )

=

( )

=

∫

= +

( )

=

( )

=− + =

∫

( )

=

( )

=−

∫

=− +

( )

=

( )

=− + =

∫

( )

=

( )

=

∫

= +

∫

( )

=

( )

=

∫

= +

( )

₌ −

( )

− = + = − −

∫

( )

+      = + = − =       − = − − −

∫

∫

∫

= ⇒ +      = + −

∫

C u Ln tgudu senu Ln x F F x dx ctgudu C senu Ln ctgudu tgu u Ln x F F x dx udu C tgu u Ln udu ctgu u Ln x F F x dx udu C ctgu u Ln udu senhu x F F x dx udu C senhu udu u x F F x dx senhudu C u senhudu tghu x F F x dx h udu C tghu udu h ctghu x F F xdx h udu C ctghu udu h hu x F F xdx hutghudu C hu hutghudu hu x F F x dx huctghudu C hu ctghudu hu u Ln x F F x dx tghudu C u Ln tghudu senhu Ln x F F x dx ghudu C senhu Ln ctghudu u sen x F u dx x F C u sen du u C a u sen C z sen z du a a u du u a a u z C a u sen du u a 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18)

Tercer bloque de formulas básicas

Si 1 sabemos ₂ 1 1 ' Entonces: ₂ 1 1 1 Consecuencia: _{2 2 2 2 2} 1 1 1 1 1 1 1 ; 0 1 =1 1 1 1 ₂ 1 ₂ 1 1 ; a>0 Si sec 1 sabemos 1 1 ' 2 ; u>0 Entonces: 1 2 sec 1 1 a>0 Consecuencia: ₂ 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 : a >0: u > 0 = 1 1 1 1 2 : a >0: u> 0 = 1 1 1 2 ; 1 : a>0: u>0 = 1sec1 1sec 1 ; a >0: u> 0 = sec1 sec 1 ; a >0: u> 0 Entonces: 1 2 2 sec 1 1 ; a >0: u> 0

Sean u y v definidas y diferenciables en un intervalo queremos hallar

Sabemos: _{1 1 1}

_{1 2 1 1 2 1 3}

; _{2 3}

Esta es llamada formula de .

Esta fórmula es muy útil para resolver muchas integrales solo tenemos que realizar una elección adecuada de y .

A veces favorece escoger u talque al diferenciar se tenga simplificación.

2)

3)

8.4. INTEGRACIÓN POR PARTES.

integración por partes

Observación: 1)

( )

₌ −

( )

+ = + = + −

∫

∫

∫

∫

= ₊       + = + = > =

( )

+      = + − − _{⇒ +}      = + −

∫

( )

₌ −

( )

− = + = − −

∫

∫

∫

∫

−             = −       = −

∫

−            

( )

∫

₋ = ⇒ = +   = + − − _+    = + − − +       = − −

∫

∫

+ =

∫

⇒

(

(

+

)

)

= +

(

+

)

(

)

(

)

∫

= + + −

∫

+ ⇒ = + + −

_∫

− −

∫

= −

∫

+ ⇒ = − u tg x F u dx x F C u tg du u dz z a du a a u du u a a u z a du a dz C a u tg a C z tg a a C u tg a du u a u x F du u u dx x F C u du u u du a a u a u du a a u u du a u u du a a u a u a dz z z a a dz adu u z C u C z C a a C z a C a u a du a u u udv c v dv d u v c udv v c du du c v c c v u udv uv uc c vdu cu c c vdu uv udv c c c u dv

Como ya vimos al hallar ₁ , no es necesario considerar c1. 2 Consideremos , 2 1 3 3 ₁ 3 3 2 1 3 3 3 1 3 3 3 1 3 3 2 1 2 3 3 considerar , 1 1 cos cos ₁ Considerar ₁ , ₁ cos ₁ , ₁ 1 1 cos 1 _{2 1 2 2} cos cos , cosh

1) Si m es un entero impar 2 1 0 estas integrales pueden resolverse: cos

cos 1 cos

cos 2 2

cosh 2 cosh cosh2 1 cosh

2) Si n es entero impar 2 1 0 los integrales pueden resolverse: cos 1 cos cos cos 2 2 cosh 1 cosh cosh cosh 2 2

3) Si 0; 0 enteros para las integrales se pueden resolver con: 2 ₁, 2 ₂.

2)

Ejemplo:

Ejemplo:

8.5. INTEGRALES DE PRODUCTOS DE POTENCIAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS E HIPERBÓLICAS. a) Integrales de la forma:

∫

= +

∫

= = = =

∫

∫

= − + ⇒ +       ₋ = ⇒ + +     − =

_∫

∫

= = = =−

∫

=− +

∫

+ ⇒ = = = = +     _{− +} + − = ⇒

∫

∫

(

)

∫

− + + = ⇒

∫

∫

> + =

(

)

(

)

∫

=

∫

=

∫

−

(

)

(

)

∫

=

∫

=

∫

− > + =

( )

(

)

( )

(

)

∫

=

∫

=

∫

−

(

)

_∫

(

)

∫

=

∫

= − > > = = c v dv Lnxdx x u Lnx dv x dx dx x du v x c dx x x Lnx x Lnxdx x c Lnx x Lnxdx x c c x Lnx x senbx eax ax e u dv senbxdx dx ae du ax senbx b v c bxdx e b a bx e b senbxdx eax ax ax ax e u dv bxdx dx ae du ax senbx b v c c senbxdx e b a senbx e b b a bx e b senbxdx eax ax ax ax c bx b asenbx b a e senbxdx e ax ax xdx x senm n senhmx n xdx k m xsenxdx x xsenxdx x sen xdx x senm n k n k n xsenhxdx x xsenhxdx x senh xdx x senhm n k n k n k n xdx x sen x sen xdx x x sen xdx x senm n m k m k xdx x senh x senh xdx x x senh xdx x senhm n m k m k n m m k n k

2 2 cos 1 2 2 cos 1 cos cos 2 1 2 1 2 2 2 1 2 cosh 2 1 2 cosh cosh cosh 2 1 2 1 2 2 Desarrollando los últimos integrando obtenemos integrales del caso (1), (2)

Y también (3) donde volvemos aplicar el proceso. sec , sec

1) Si 2 1 entero impar positivo:

sec 2 sec 1 sec sec2 1 sec 1 sec

sec 2 sec 1 sec 1 sec 2 sec 1 sec

2) Si 2 entero par positivo:

sec sec2 1sec2 1 2 1sec2

sec sec 2 1sec 2 1 2 1sec 2

csc , csc

1) Si 2 1 entero impar positivo.

csc 2 csc 1 csc csc2 1 csc 1 csc csc csc csc 1 csc csc csc 1 2 1 2

2) Si n = 2k entero par positivo.

2 1 2 2 1 2 csc 1 csc csc csc 2 1 2 2 1 2 csc 1 csc csc csc

cos , , cos cos

cosh , , cosh cosh Basta usar las formulas como:

2 1 cos 2 2 2 2 5 cos 1

1 2cos2 cos4 cos 3 cos5 5 1 cos 3 2 cos b)Integrales de la forma: c) Integrales de la forma: d) Integrales de la forma: Ejemplo:

(

) (

)

(

) (

)

∫

=

∫

=

∫

− +

(

) (

)

₌

(

−

) (

+

)

=

∫

∫

∫

∫

∫

+ =

( )

(

)

∫

₌

∫

− ₌

∫

₋ −

( )

(

)

∫

₌

∫

− ₌

∫

₋ − =

(

)

(

)

∫

∫

−

∫

− + = =

(

)

(

)

∫

∫

−

∫

− − = =

∫

∫

+ =

( )

(

)

∫

₌

∫

− ₌

∫

₋ −

(

)

(

)

∫

∫

∫

− − + = =

∫

(

)

(

)

∫

=

∫

− =

∫

+ −

(

)

_∫

(

)

∫

=

∫

− = − −

( ) ( )

∫

∫

( ) ( )

∫

( ) ( )

( )

( )

∫

∫

( ) ( )

∫

( )

( )

( ) ( )

=

[

(

−

)

−

(

+

)

]

( )

(

)

∫

=

∫

=

∫

−

(

)

(

)

∫

− − + = =− + − + dx x x dx x x sen xdx x sen k k k k n m dx x x dx x x senh xdx x senh k k k k n m xdx tgm n tghm hnxdx k m xdx xtgx x xdx xtgx x tg xdx x tgm n k n k n hxdx xtghx h x h hxdx xtghx h x tgh xdx h x tghm n k n k n k n xdx x tg x tg xdx x x tg xdx x tgm n m k m k xdx h x tgh x tgh xdx h x h x tgh xdx h x tghm n m k m k xdx x ctgm n ctghmx hnxdx k m xdx xctgx x xdx xctgx x ctg xdx x ctgm n k n k n hxdx xctghx h x h hxdx xctghx h x ctgh xdx h x ctgh n k n k n m xdx x ctg x ctg xdx x x ctg xdx x ctgm n m k m k xdx h x ctgh x ctgh xdx h x h x ctgh xdx h x ctghm n m k m k dx nx mx

sen sen mx sen nx dx mx nx dx

dx nx mx

senh senh mxsenh nx dx mx nx dx

x n m sen x n m sen nx mx sen senxdx x senxdx x sen xdx sen x d x x x x x k

3 cos 3 4 2 Considerar : 2 6 cos 1 3 2 , 2 6 cos 1 3 cos2 2 6 cos 1 2 6 cos 1 3 cos 3 4 2 6 1 cos6 8 1 6 cos 1 6 cos 1 8 1 2 2 18 6 2 cos 1 8 1 6 cos 6 6 8 1 2 2 2 3 144 6 24 12 16 3 6

sec considerar: sec2 1 2 Entonces sec6 sec4 sec2

1 2 2sec2 1 2 2 4 2 5/2 9/2 11 2 7 4 3 2 3/2 7/2 11/2

Dado , ,dos polinomios:

Si , /

O sea integrando: O sea integrando: La 1ra integral del 2do miembro es fácil de hallar, aquí estudiaremos

Consideremos la función racional

Tal que (función racional propia).

Si se expresa como producto de expresiones de la forma: 1 1 1 2 1 2 1 1 , , , ; 2 4 0; ₁2 4 _{1 1} 0

Usando fracciones parciales siempre es posible expresar como una suma de expresiones de la forma. , , , , 1 1 2 1 1 1 2 1 1 donde:

1) Por cada factor lineal en habrá un solo termino en la suma . 2) Por cada factor lineal 1 1 en habrá una suma de n términos:

Ejemplo:

Ejemplo:

8.6. INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES. i) Usando fracciones parciales.

( )

( )

∫

( )

= −

( )

= +

( )

( )

      +       − =

∫

∫

(

)

(

)

(

)

∫

− + =

∫

+ =

[

]

      − _{+ +} = + =

_∫

_∫

_∫

+ + − =

∫

= +

∫

=

∫

(

)

[

]

( )

∫

+ =

∫

+ + =

(

)

( )

∫

+ + = + + + =

( ) ( )

( )

<

( )

⇒ ∃

( ) ( ) ( ) ( )

= +

( )

( ) ( )

= +

( )

( )

∫

( )

( )

=

∫

( )

+

∫

( )

( )

( ) ( ) ( )

= +

∫

( )

=

∫

( )

+

∫

( )

( )

( )

∫

( ) ( )

=

_{( )}

( )

<

( )

( )

(

+

)

(

+ +

)(

+ +

)

+ − < − <

( )

( )

(

)

₍

+ +

₎

+ + + + + + +

( )

+

( )

(

+

)

( )

dx x x sen sen x x x x dx x x dx x x sen dx x x sen dx x x C x sen dx xdx xdx x sen xdx sen C x sen x sen x xdx tgx x tg x xdx x tgx xdx tgx tgx d x tg x tg tgx xdx x tg tgx tgx d x tg x tg tgx C x tg x tg x tg x g x f x r x g x q x f r q f grad g grad x g x r x q x g x f dx x g x r dx x q dx x g x f x g x q x g g x dx q x dx g x dx dx x g x r x g x r x h g grad r grad x g n n e x d x c e dx cx b x a b ax d ce d ce x h S x j i e x d x c D x C e dx cx D CX b x a B b ax A b ax g x b ax A x S n b x a g x

1 1 2 1 1 1 1 1 1 en la suma .

3) Por cada factor cuadrático 2 ; 2 4 0

en habrá un solo termino

2 en la suma .

4) Por cada factor cuadrático 1 1 1 2 1 ; 4 1 1 0 2 1 en g(x) habrá una suma de n, términos 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 enla suma . Para hallar los , , , 1,2,

- Igualamos coeficientes en los numeradores de ó

- Como la igualdad vale en el recorrido de damos valores adecuados.

Finalmente: Para: ₂ 2 1 1 Consideremos: ₂ 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1

Debemos iguales coeficientes en los numeradores de

2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 3 1 4 1 2 1 0 , 1 , 0 , 1 , 1 _{1 1 2 2} Por tanto. ₂ 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2

Se quiere la integral ; , polinomios Donde es una fracción racional propia.

Si _{1 1} 2 _{1 1} 1 2

donde los factores lineales cuadráticos irreducibles pueden estar repetidos.

Usando fracciones parciales siempre es posible expresar: 2 2 1 1 ……….…. ( )

(

+

)

+ +

(

+

)

+ +

( )

+ + − <

( )

+ + +

_{( )}

(

+ +

)

− <

( )

(

+ +

)

+ + + + + +

_{( )}

=

( ) ( )

=

( )

( )

( )

_{( )}

( )

∫

=

∫

=

∫

( )

∫

₊

( ) ( )

_{( )}

( )

( )

+ =

( )

+ + + + + = + = =

( ) ( )

=

( )

( )

(

( )

+

)

( )

(

)

+ + + + + + = +

( )

+ +

(

+

)

( )

+ +

(

+

)

= ⇒

(

)

(

)

(

)

(

+

)

+ +

(

+ +

)

+

(

+

)

+ = = − = = − = = ⇒

( )

( )

∫

∫

_      + − + − = + = + +

( )

+ +

( )

( )

∫

( ) ( )

( ) ( )

=

_{( )}

( ) (

= −

) (

−

)

(

+ +

) (

+ +

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

∫

= +

∫

n n b x a B b x a B b x a B x S e dx cx d ce g x e dx cx D Cx x S n e x d x c d ce g x n n n e x d x c D x C e x d x c D x C x S i i i i B C D A i x S x h x h dx x S dx x g x r dx x h dx x x x S x D x C x D x C x A x x x g x r x h x S x h x x D x C x x D x C x x A x x D x C x x D x C x x A A x D D x C C A x D x C A D C D C A dx x x x x x dx x x C x x x Ln dx x g x f x g x f x g x f x h s r s s r x px q x p x q a x a x x g i dx x g x f x g x f dx x g x f K K K K K K K K K K Ejemplo:

ii) Usando el método de Hermite.

b b

a a

El polinomio 1 es el máximo común divisor entre el polinomio y su derivada ' .

Donde

1

2( ) en la cual ya no se repite ningún factor.

Para hallar 1 , 2 cuyos grados son menores en una unidad a lo más que los grados de

los polinomios ₁ , ₂ ; se derivan ambos miembros de (*) y se igualan coeficientes según el método estudiado anteriormente.

Para ₂ 2 2 8 4 24 2 Considerar: 8 4 8 4 8 4 24 2 2 2 2 2 2 Derivando ambos miembros:

2 2 2 2 2 2 2 8 4 8 4 4 2 8 4 8 4 24 2

Igualando coeficientes del numerador 0; 5; 3; 10 4 2 5 8 4 10 3 8 4 24 2 2 2 2 2 2 = 2 2 2 5 8 4 10 3 ₁ 2 2 ; n + Podríanintentar resolverse usando la sustitución: 1

2 1 Para _1/2 6 1 _1/2 2 3 3 2 2 / 1 6 1 1 Hacemos 3 2 3 _1/2 2 1 3 1 Hacemos 1 1₂ 1 3 1 3 1 1 3 1 1 1 2 3 1 1 3 1 _, 1 _{, ,} 1 Donde ₁, ,, , ₁, ,

Podríanintentar resolverse considerando Mínimo común múltiplo ₁, ₂, ,

( )

( )

( )

( )

( )

=

( ) ( )

( ) ( )

(

)

∫

₋ +₊

(

)

∫

+

∫

₋+ ₊ + − + = + − +

(

)

(

)

(

(

)(

− +

) (

)

)

(

)

+ − + + + − − + − = + − + − = = = =

(

)

(

)

∫

+

∫

_{− +} + − − = + − + ⇒ +      − + + − − −

(

)

∫

_{− + +} ∈ = − ⇒ =−

( )

∫

₋

( )

(

_{( )}

)

∫

=

∫

₋ − ⇒ = ⇒ =

( )

∫

₋ = = ⇒ =−

∫

+      − = + − = − − = − − _+      − = −

∫

_             ++       ++ ∈ =

(

)

x g g x g x x g x g x g x f x f x g x g dx x x x dx x x M Kx x x B Ax x x x x x x x M Kx B Ax x x x A x x x B A M K dx x x x x dx x x x C x tg x x x r qx px a x dx n u a x du u dx x x dx x x dx x x x dx x z dz x dx z z dz du u dz u z C z sen C u sen u du C x sen dx dx c bx a dx c bx a x R k k n m n m k k n n m m n n n n_k Ejemplo:

iii) Integrales del tipo

Ejemplo:

iv) Integrales del tipo

Z Z K K K K K K K K

Luego hacemos el cambio de variables Hallar _{1/2 1/3} 1 1 se tiene 6 ; m.c.m(2,3) Hacemos 1 6 , 6 5 1 1 1 6 6 1 1 2 2 3 5 3 / 1 2 / 1 2 3 3 2 6 6 1 2 1 32 1 66 1 6 6 1 1 Las integrales , 2

Pueden intentar resolverse como sigue: a) Si 0 Hacemos 2

b) Si 0 Hacemos 2

c) Si el trinomio 2 tiene dos raíces reales ,

Hacemos 2 o Para 2 3 2 como 3 2 2 1 2 Considerar 2 3 2 1 2 2 1 Obteniéndose ₂ 2 1 2 , ₂ 2 1 2 , 2 ₂ 1 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 1 3 2 2 ₂ 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 : , ,

Estas integrales se reducen al caso(iii) basta hacer la sustitución: 2 , 2 .

1 1 hacemos: 2 1 ₂ 1 1 1 1 1 1 2 1 1 En (iv) 1 ₁2 ₁ 1 ₁2 ₁2 2 ₁ 2 2 1 2 1 ₂ 2 1 2 1 , 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 n u dx c bx a x x dx n u x dx u du du u u u u u du u x x dx C u Ln u u u C x Ln x x x dx r qx px x R p px qx r px u r px qx r ux r r qx px x u r qx px u x x x x dx x x x x x x x x x u u x u udu dx u u x x du dx u x x u du x x x dx C u u Ln C x x x x Ln dx d cx b ax x R b ax u u cx d x x dx x u u u du u x x dx u u u u u u u u u u u du u u du u u u u u u u u = + +

( )

( )

∫

_{− + −} = = − =

( )

( )

∫

∫

∫

      + + + − = + = − + − ⇒ + + − + − = + + − − − + − − − =

(

)

∫

+ + ≥ + + = + ≥ + + = + + +

(

−

)

= + +

(

−

)

∫

_{− +} − + =

(

−

)( )

−

( )

− = + − ⇒ − =

( )

− − − =

( )

− = − = + − − − +

( )

−

∫

=−

∫

₋ + − + + − =

( )

_{( )}

+ − − − − + − =

(

)

∫

+ + + = = +

∫

_{+ + +} =

_∫

_∫

+ + + = + + + ⇒ + = + ⇒ + = + + ⇒ = − ⇒ = − + + = + = − + = + Ejemplo:

v) Integración por sustitución de Euler:

Ejemplo:

vi) Integrales de la forma

Ejemplo:

b a

a b

2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 4 1 2 1 2 : ……….……….(*)

Donde , , son números racionales. Estas integrales pueden ser resueltas bajo ciertas condiciones debido al matemático en las cuales:

1) Si p es un número entero.

Para resolver (*) sustituimos donde es mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones , .

2) Si no es entero y 1 es un entero.

Para resolver (*) sustituimos donde es el denominador de la fracción . 3) Si no es entero y ( 1 ) es un entero.

Para resolver (*) sustituimos donde es el denominador de fracción . Para resolver (*) sustituimos donde es el denominador de fracción .

5 9 4 Aquí , 2 2 1 , 5 , 1 como 0 5 1 1 1 Sustituimos 5 2 5 2 9 4 9 4 5 4 2 9 4 45 2 2 1 10 1 4 5 2 9 4 5 2 ₅ 2 5 9 2 9 4 10 1

∫

∫

∫

₊ + − + − + − = + + + = + + + ⇒

( )

∫

_+      _{− + +} =       _{− + −} =

( )

₍

₎

₊         − + + − + + + + − + − + =

( )

+ _{+ +}

₍

_{+ −}

₎

₊ − + =

(

)

∫

+ =

( )

+ + =

( )

+ + + = − ₊

( )

= −

( )

∫

₊ = − = = − = + = − + = ∈     − = ⇒ + = −     − =

∫

∫

+ + − = − = + ⇒

(

+ −

)

₊ = du u u u u u u u u u u du u x x dx C u u Ln u u du u u u C x x x x Ln x x x x x C x x Ln x x x x dx bx a xm n p p n m s u x s n m p n m n s bx a u s p p p n m b ax us ax n b s p us n s p x x dx s p n m n m u x x u udu u dx C u u Ln u du x x dx C x x Ln

vii) Las integrales de la forma

Chebyshev

Ejemplo:

1 3 6 Aquí , 2 2 1 , 3 , 2 1 Como 0 2 1 3 2 3 2 1 3 1 2 1 1 Sustituimos 2 6 3 1 2 3 6 3 3 / 2 2 2 3 2 6 1 1 2 2 1 4/3 3 2 6 3 1 _{2 2} 1 3 2 1 3 2 1 1 3 1 3 6 3 3 6 3 3 1 ,cos

Donde es una función racional en y cos . Estas integrales pueden ser resueltas usando la

2 , 2 2 2 Según el triangulo rectángulo:

2 1 2 ; 2 1 1 2 cos Por propiedad: ₂ 1 2 2 cos 2 2 2 2 2 2 1 1 cos cos u 2 1 1 t 2 2 _{2 2 2} 1 1 1 1 1 2 2 cos cos ₂ 1 2 , 2 2 1 1 cos Además 1 _{2 2} 1 2 1 1 2 2 ₂ 1 2

1) Si ,cos ,cos suele ser conveniente la sustitución cos . 2) Si , cos ,cos suele ser conveniente la sustitución u 3) Si , cos ,cos suele ser conveniente la sustitución

Ejemplo:

viii) Integrales de la forma:

sustitución universal Observación:

(

)

∫

+ − = − = = = + + = + − = − = + = ⇒ + = −

( )

− = − = ⇒

( )

− − − =

(

)

_∫

_∫

∫

= ₋ − − = + − + − + =

(

)

(

+

)

+ + + + =

(

)

∫

      = − < < + = + =

( )

= = ₊

( )

= − = − = − +

( )

= ₊− + − + = − =

( )

= ₊ ∴

( )

+ − =

( )

+ = + = ⇒ = − ⇒ + =

(

−

)

=−

(

)

=

(

−

)

=−

(

)

=

(

− −

) (

=

)

= dx x a x s p n m p n m x a x u x a u u a u a x udu u a dx u du u du dx x a x C u u Ln C x a x x a x Ln dx x senx R R senx x x tg u x u u x sen u x u u x x sen x sen u u x sen x x u u u u u u x sen x x u u x sen u u x du u du u dx u tg x du u dx x senx R x senx R u x x senx R x senx R u senx x senx R x senx R u tgx p p

u 1 2 1 x _{2 2} cos 2 cos

Como , cos ,cos

Sustituimos 1 ₂ 1 1 . 2 1 ; 2 1 1 cos Por lo tanto 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 . 1 1 1 2 1 1 1 cos 2 cos 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2

Si es una función de derivable se quiere calcular las integrales: Si es una función de derivable se quiere calcular las integrales:

2 2

, , , 2 2 , , 2 2

Donde es racional en las variables , 2 2 , 2 2

Para la integral : , 2 2 ; >0

Hacemos la sustitución trigonometrica

1

,

y las demás funciones trigonometricas de obtienen del triangulo rectángulo.

t u a 2 2 u dx x sen x x senx x senx R x senx R du u dx u tg x tgx u u u senx u x u du u u u u u u dx x sen x x senx du u u u u u u udu C u Ln u Ln C u u Ln C x tg x tg Ln u x u x du u a u R Ru a u du Ru u a du R u a u u a du u a u R a asent u a u sen t a u t sen a u +

∫

₊

(

− −

) (

=

)

( )

⇒ = ₊ = ⇒ = − + = ⇒ + =

∫

∫

₊     + +     +     +     + = +

(

)( )

∫

∫

      + − + = + + =

( )

+ −

(

+

)

+ = +     + + = +     + + =

(

)

∫

−

_∫

(

+

)

_∫

(

−

)

− ±

(

)

∫

− =       = ⇒ −

( )

_{= −} Ejemplo:

8.7. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMETRICA E HIPERBÓLICA.

Para la integral , 2 2 ; >0

Hacemos la sustitución trigonometrica

1 ,

y las demás funciones trigonometricas se obtienen del triangulorectángulo.

Para la integral , 2 2 ; >0 Si

Hacemos la sustitución trigonometricas sec sec 1 , sec

y las demás funciones trigonometricas se obtienen del triangulo rectángulo.

Si

Cambiamos la variable Luego aplicamos el caso (1)

Las integrales dadas también se pueden intentar resolverse por sustitución hiperbólicas siguiendo los modelos (i), (ii), (iii).

2 / 3 2 2 2 ; >0 Sustituimos cos , 1 x a t 2 2 u a t u 2 2 a t , 1 2 2 cos 2 2 2 3/2 2 2 cos 2 3/2 cos = 2 2 cos 1 2 2 cos 1 cos4 6 2 6 = 2 48 4 64 16 3 6 6 6 = 3 6 3 3 6 6 cos 6 cos cos 16 16 = 3 2 2 6 3 2 2 3 2 2 6 1 6 6 16 16 2 2 t ii) iii) Caso (1): Caso (2): Observación: Ejemplo:

(

)

∫

+

( )

=       = ⇒ −

( )

₌

(

)

∫

− >

( )

=       = ⇒ −

( )

₌ − < ⇒− > − = ⇒ =−

(

)

∫

− = ⇒ = = = −  − + =       = − − =

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

∫

− =

∫

− ⇒

∫

∫

      +       − =

( )

+

( )

+ −

[

−

]

+

(

)

+ − +                 ₋ +                       ₋ −         ₋ −       − − du u a u R a t atg u a u tg t a u t tg du a u u R a a u t a u a u t a u t a u u a u v dv du dx x a x a tdt a dx asent x x sent t sen x a u u a a x sent a x sen t a x a t tdt a t a a asent dx x a x dt t t a tdt t sen a C t sen a t sen a t a C t sent a t tsen t sent a t a C a x a a x a a x a x a a x a a x a a x sen a x a

Las integrales de la forma:

, 2 2 ; , 2 2 ; , 2 2

Donde es entero impar positivo es más fácil usando las sustituciones 2 2 2. 2 2 2 , 2 2 2 Respectivamente Para 9 2 5 ; 5 Haciendo 2 2 9 y 2 2 9 Entonces 9 9 2 4 2 5 2 2 2 2 9 9 6 81 5 81 18 3 5 2 4 6 81 5 2 4 Observación: Ejemplo:

(

)

∫

−

_∫

(

+

)

_∫

(

−

)

− = = + = −

∫

₋ = − = ⇒ = = +

( )

∫

=

∫

₋ −

( )

_{( )}

∫

+ =

∫

+ =

(

)

∫

+ + = + + + = +     _{+ +} = dx x a x R n R xn a x dx R xn x a dx n x a u u a x u x a dx x x n x u udu xdx x u x xdx x dx x x du u du u u u C u u u du u u C u u u

I.- Encontrar las soluciones completas de las ecuaciones diferenciales dadas 1) 2 1 3 2) 3 1 3 3) Encontrar la solución particular según las condiciones dadas

4) 1 2 ; y = -2 3 , x = -3 5) ₂ 2 2 3 1 4 ; y = -1 , y´ = -2 cuando x = -1

II.- 1) Los puntos (-1, 3) y (0, 2) están en una curva y en cualquier punto (x, y) de la curva 4

2

2 2

. Encontrar la ecuación de la curva. 2) En cualquier punto (x,y) de una curva ₂ 2

2

1 y una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (1, 1) es y = 2 – x encontrar la ecuación de la curva. 3) Sí una pelota rueda sobre el nivel del suelo con una velocidad inicial de 20p/seg. y si la

rapidez de la pelota decrece a razón de 6p/seg2 debido a la fricción ¿Qué tan lejos rodará la pelota ?

III. Hallar las integrales indefinidas. 1) 3 ln 1 2) 2 1 ln 3) 1 ln 4) ln 5) ₂ ln 6) 9 2 4 18

7) sen 8) sen cos 9) 7) cos 8) sen cos 9) tg 1 cos2 IV.-Usar las técnicas de integración para resolver las siguientes integrales: A.- 1) 7 3 2 2) 2 2 1 1 3) arcsen2 4) _{2 4} 1 1 tg 5) 1 1 ln 1 2 5 6) 1 1 ln B.- 1) sen23 cos3 2 2) 2 3 2sen

sen 3) 3 _{cos sen}5

4) 3 2 3 cos cos sen 5) sen cos5 6) sec4 tg3 C.- 1) 2 3 3 2) 2 2 3 ) 10 2 ( 3) 3 3 4 1

8.8. RELACIÓN DE EJERCICIOS.

y y x dx dy x dx dy y y x x dx dy x x dx dy x dx y d x dx y d x dx y d dx x x dx a a a x x dx x x x x

e

dx x x x x x dx dx x x dx x x

e

dx x a x dx dx x x

e

e

dx x a x x x dx x x x

e

dx x x

e

x dx x dx x x x dx x x x x dx x x x dx x x x x dx x xdx dx x x x dx x x dx x c x dx x x x dx x x x dx x x x + = =

(

+

)

− + =

( )(

+ +

)

=

(

+

)

= − = − =

∫

+

∫

+

(

)

∫

+

∫

+

∫

∫

−

∫

+

∫

∫

∫

+

₋

∫

∫

+

(

)

∫

_{+ −} −

( )

( )

∫

+ +

∫

( )

∫

+ −

∫

      − + −

∫

     + −

(

)

∫

+

∫

∫

∫

∫

∫

∫

− +

∫

− +

∫

− −

4) 2 3 3 5) 1 1 4 2 4 3 6) 4 5 2 2 4 2 7) 1 2 4 8) 1 3 5 9) 1 1 2 3 4 D.- 1) 4 2 ) 1 ( 2) 4( 3 1)2 3) 5 2(3 2 2)3 9 4) ₂ 2 2 2 1 ) 1 ( 8 4 5) _{2 3} 2 ) 1 ( 1 3 E.- 1) 2 2 1 ) 1 ( 1 2) 2 3 2 ) 3 2 ( 3 2 3) 3 2 4 4) 2 2 2 3 4 4 2 5) 2 3 4 6) 1 1 ln 1 2 5 F.- 1) 2) 2 4 3) 3 2 2 3 2 3 2 4) 3 3 2 ln 5) 1 4 2 1 2 6) _{2 4} 1 2 2 7) ln ln 1 8) 5 5 1 4 9) tg 10) 1 11) 3 ₁ 4 12) 1 10) 1 2 1 11) 1 12) 4 4 1 1 G.- 1) cos cos 1 2) 1 cos cos 3 1 3) sen 1 sen 4) 2 cos sen 1 5) tg 1 tg 1 6) 2 2 cos 1 sen 7) sen cos 5 sen 1 2 8) sen 6 sen 5 cos 2 9) 2 2 4 4 cos sen cos sen 10) 3 3 cos sen tg 1 11) tg 5 12 1

∫

+

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+ + + +

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+ + − +

∫

+ +

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− + − +

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+ − −

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− +

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