UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Recinto UNI Norte - Sede Regional Estelí

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN

Recinto UNI Norte - Sede Regional Estelí

Ing. Sergio Navarro Hudiel Agosto 2009

CONDICIONES DE EQUILIBRIO BASADO EN LA PRIMERA LEY DE NEWTON

“Un

cuerpo

se

encuentra

en

equilibrio

traslacional si y solo si la suma vectorial de

las fuerzas que actúan sobre el es igual a

cero”.

“Todos los cuerpos tienden a permanecer en el estado

de movimiento que tienen a menos que una causa

externa (fuerza) altere dicha condición”

Cuando dos o más fuerzas actúan sobre una partícula en tres dimensiones, las componentes rectangulares de su resultante R

se obtienen al sumar las componentes correspondientes de las fuerzas dadas.

La partícula está en equilibrio cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre ella es cero.

R

F

R

F

F

F

F

En dos dimensiones, sólo se necesitan dos de estas ecuaciones: Para resolver un problema que comprende una partícula en equilibrio, dibuje un diagrama de cuerpo libre en el que se muestren todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. Las condiciones que se deben satisfacer para que la partícula esté en equilibrio son:

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

a) Hacer un dibujo que represente claramente el

problema que se desea resolver

b)

Construye un diagrama de cuerpo libre

sustituyendo por medio de fuerzas todo aquel

efecto que recibe el cuerpo, provocado por su

contacto con otros cuerpos o por la fuerza

gravitacional y que originan que se encuentren en

equilibrio. Indique la magnitud, dirección y

sentido de las fuerzas conocidas. Use símbolos

para señalar las cantidades que se desconocen

.

c) Haga un sistema de referencia utilizando ejes

rectangulares y coloque al cuerpo en equilibrio

en el origen del sistema de coordenadas.

d) Aplique las ecuaciones de equilibrio que

necesite para encontrar las respuestas a las

incógnitas buscadas.



En estos problemas, se hace uso de igual forma de las

funciones trigonométricas.



Mediante una serie de despejes y sustitución de

valores en las ecuaciones que se obtengan, se hallan

los valores de las fuerzas o vectores. Los signos de las

X y las Y en los cuadrantes, de igual forma se deben

de tener en cuenta, para obtener los resultados

correctos.

Problema

Dos cables están atados entre sí en C y cargados como se muestra. Determine la tensión

A 9 ft 5 ft 8.5 ft 12 ft 7.5 ft B C 396 lb

1. Dibuje un diagrama de cuerpo libre de la partícula. En este diagrama se muestra la partícula y todas las fuerzas que

actúan sobre ella.

2. Iguale a cero la resultante, o suma, de las fuerzas ejercidas sobre la partícula. Obtendrá una ecuación vectorial que consta de términos con los vectores unitarios i, j y k. Hay tres ecua-ciones escalares, que pueden resolverse para las incógnitas.

x y T_AC T_BC 4 7.5 12 3.5 396 lb DCL

T

= 0

F

= 0 :

12

12.5

T

7.5

8.5

+

T

= 1.088

T

F

= 0 :

3.5

T

+

_8.5

4

12.5

T

396 lb = 0

Dibuje un diagrama de cuerpo libre de la partícula.

Iguale a cero la resultante, o suma, de las fuerzas ejercidas sobre la partícula.

x y T_AC T_BC 4 7.5 12 3.5 396 lb

a) Sustituya

T

T

4

8.5

+

3.5

12.5

(1.088

T

)

396 lb = 0

(0.280 + 0.512)

T

396 lb = 0

_T

_{= 1.088 (500 lb)}

T

= 500 lb

T

= 544 lb

El motor está suspendido por un sistema de cables. La masa del motor es de 200 kg. ¿Qué valores tienen las tensiones en los cables AB y AC?

Una pelota de 100 N suspendida de un cordel es

tirada hacia un lado por otro cordel B y mantenida

de tal forma que el cordel A forme un ángulo de 30°

con la pared vertical. Encuéntrese las tensiones en

los cordeles A y B de acuerdo a la siguiente figura.

Resolviendo:

F

θ

comp. X

comp. Y

A

60

- A cos 60

A sen 60

B

0

B

0

W

0

0

-100 N

Σ

_{Fx =- A cos60 + B = 0}

Σ

_{Fy = A sen 60 -100 N = 0}

Pasando - A cos60 del otro lado de la igualdad con

diferente signo:

Σ

_{Fx = B = A cos60}

Σ

_{Fx = B = A (0.5).}

Como desconocemos A y B, esta última expresión

queda como la ecuación 1.

Pasamos del otro lado de la igualdad el peso de 100 N, con diferente signo:

ΣFy = A sen 60 = 100 N. ΣFy = A (0.8660) = 100 N.

De esta última expresión podemos despejar A, pasando el valor de 0.8660, dividiendo al peso de 100 N:

A = 100 N = 115.47 Newton. 0.8660

Ahora regresamos a la ecuación 1: B = A (0.5).

Y sustituimos el valor de A para hallar B tenemos: B = 115.47 N x 0.5 = 57.73 Newton.

Entonces los valores serán:

Los cables A y B de la figura ejercen fuerzas F_A y F_B sobre el

gancho. La magnitud de F_A es de 100 lb, la tensión en el cable B se ha ajustado para que la fuerza F_A + F_B sea perpendicular a la pared a la que está unido el gancho.

¿Cuál es la magnitud de F_B?

¿Cuál es la magnitud de la fuerza total ejercida por los dos cables sobre el gancho?

F_A + F_B = R Rx = F_Ax + F_Bx Ry = F_Ay + F_By

Como la fuerza resultante debe ser perpendicular a la pared, entonces debe asumirse que Ry = 0

F_Ax = 100 lb * Cos50° F_Ax = 64,278 lb F_Ay = 100 lb * Sen50° F_Ay = 76,604 lb Ry = 0 Ry = F_Ay + F_By 76,604 lb + F_B * Sen70° = 0 F_B = 81,52 lb F_Bx = 81,52 lb * Cos70° F_Bx = 27,881 lb Por lo tanto: R = Rx R = F_Ax + F_Bx R = 64,278 lb + 27,881 lb R = 92,159 lb

Dos cuerdas T1 y T2, sostienen un objeto cuyo peso

es de 500 N, como se ve en la figura siguiente,

elaborar el diagrama de cuerpo libre y hallar las

tensiones de las cuerdasT1 yT2.

Cuadro de fuerzas

 _F θ _{Comp. X Comp. Y}  T1 40 T1 cos 40 T1 sen 40

 T2 0 -T2 0

 _{W 0 -500 N}

 Σ_{Fx =T1 cos 40 -T2 =0} Σ_{Fy= T1 sen 40 -500 N = 0.}

 _{Pasamos T2 del otro lado de la igualdad con signo positivo:} Σ_{Fx = T1 cos40 = T2.} Σ_{Fx = T1}

(0.7660) = T2. Como desconocemos T1 y T2, esta última expresión queda provisionalmente como la ecuación 1. De la ΣFy, pasamos el peso del otro lado de la igualdad, con signo positivo: ΣFy= T1 sen 40 = 500 N. Ahora sacamos el seno de 40 : ΣFy= T1 (0.6427) = 500 N. Despejando el valor de T1, tenemos: T1 = 500 N = 778 N

 0.6427

 Ahora regresamos a la ecuación a la ecuación 1, T1 (0.7660) = T2.  y sustituimos el valor de T1, para hallar T2, tenemos:

 T2 = 778 N x 0.7660 = 596 N



Un cuerpo cuyo peso es de 500 N está suspendido de una

armadura como se ve en la figura. Determinar el valor de la

tensión de la cuerda y el empuje de la barra.

F

θ

comp. X

comp. Y

T

35

-T cos 35

T sen 35

E

0

E

0

W

0

0

-500 N

Σ

_{Fx = -T cos 35 + E = 0}

Σ

_{Fy =T sen 35 - 500 N = 0}

De la

Σ

Fx, pasamos -T cos 35 , del otro lado de la igualdad

con signo positivo:

Σ

_{Fx = E = T cos 35 .}

Ahora sacamos el coseno de 35 . E = T (0.8191).

Como desconocemos E y T, esta última expresión queda

provisionalmente como la ecuación 1.

Ahora de la

Σ

Fy, pasamos el peso del otro lado de la

igualdad con signo positivo:

ΣFy = T sen 35 = 500 N.

Ahora sacamos el seno de 35 .

T (0.5735) = 500 N.

Despejando T, tenemos:

T = 500 N = 871. 68 Newton

0.5735

Ahora regresamos a la ecuación 1 para hallar el

valor del Empuje E, y sustituyendo el valor de T,

tenemos:

E = 871.68 N x 0.8191 = 714.08 Newton .

Entonces los resultados son:

Como el cuerpo está en equilibrio: Σ_{Fx = 0 = E + (-Tx)} Σ_{Fy = 0 = Ty + (-P)} Sustitución Σ_{Fx = E –T cos 35°= 0} E = T cos 35°. Σ_{Fy = T sen 35°- P = 0} T sen 35° = P T = P___ = 500 N = 871.68 N sen 35° 0.5736

Sustituyendo el valor de la tensión para encontrar el del empuje tenemos:

Encontrar las tensiones de las cuerdas T1 y T2 de la figura siguiente que soportan un peso de 300 N.

F θ comp. X comp. Y T1 56 T1cos 56 T1 sen56 T2 34 -T2 cos 34 T2 sen34 W 0 0 -300 N ΣFx = T1cos 56 -T2 cos 34 = 0. Σ_{Fy =T1sen 56 + T2 sen 34 -300 N = 0.}

De la ΣFx, pasamos T2 cos 34 , del otro lado de la igualdad con signo positivo:

Σ_{Fx = T1cos 56 = T2 cos 34 . Ahora sacamos los cosenos de los}

ángulos:

Σ_{Fx = T1 x 0.5591 = T2 x 0.8290. Ahora despejamos T1, para}

expresarlo en relación a T2 en una sola cantidad: T1 = 0.8290T2

T1 = 1.4827 T2.

Ecuación 1. Como desconocemos T1 y T2, esta última expresión queda provisionalmente como la ecuación 1.

Seguimos con la sumatoria de fuerzas Y. Primero pasamos el peso del otro lado de la igualdad con signo positivo: ΣFy =T1 sen 56 + T2 sen 34 = 300 N.

Ahora sacamos los senos de los ángulos: ΣFy = T1 (0.8290) + T2 (0.5591) = 300 N.

Ahora, sustituimos el valor de T1, obtenida en la ecuación 1: ΣFy = 1.4827 T2 (0.8290) + T2 (0.5591) = 300 N.

Se realizan las multiplicaciones:

Dado que las dos cantidades tienen como factor común a T2, entonces se pueden sumar:

ΣFy = T2 (1.7882) = 300 N. Ahora despejamos a T2: T2 = 300 N = 167.76 newtons.

1.7882 Ahora regresamos a la ecuación 1, para hallar el valor de T1: T1 = 1.4827 x 167.76 N = 248.73 newtons.



Un tanque de acero debe colocarse en la fosa mostrada

en la figura de abajo. Sabiendo que

α

= 20 ,

determínese la magnitud de la fuerza P requerida si la

resultante R de las dos fuerzas aplicadas en A debe de

ser vertical.

Diagrama de cuerpo libre.

F

θ

comp X

comp. Y

P

20

P cos 20

P sen 20

425 lb 30 - 425 cos 30

425 sen 30

Σ

_{Fx = P cos 20 - 425 cos 30 = 0.}

Σ

_{Fy = P sen 20 + 425 sen 30 = 0.}

Σ

_{Fx = P cos 20 = 425 cos 30 .}

Σ

_{Fx = P (0.9396) = 425 (0.8660).}

Σ

_{Fx = P (0.9396) = 368 lb.}

Despejando P tenemos: P = 368 lb =

391.7 lb

.

0.9396

Dos cables se amarran juntos en C y se cargan como se muestra en la figura. Determínese la tensión en el cable AC.

F

θ

comp. X

comp. Y

T

50

T

cos 50

T

sen 50

T

30

°

-T

cos 30

T

sen 30

W

0

0

- 500 N

Σ

_{Fx = T}

_{cos 50 -T}

_{cos 30 = 0.}

Σ

_{Fx = T}

_{cos 50 = T}

_{cos 30 .}

Σ

_{Fx = T}

_{(0.6427) = T}

_(0.8660).

Despejando T

tenemos:

T

= T

0.8660. = T

= T

1.3474 ec. 1.

0.6427

ΣFy = T_AC sen 50 + T_BC sen 30 - 500 N = 0.

Pasando el peso del otro lado de la igualdad con signo positivo:

Σ_{Fy = TAC sen 50 + TBC sen 30 = 500 N.}

Sacando los senos de los ángulos:

Σ_{Fy = TAC (0.7660) + TBC (0.5) = 500 N}

Sustituyendo el valor de T_AC de la ecuación 1, tenemos:

Σ_{Fy = TAC (0.7660) + TBC (0.5) = 500 N}

Efectuando la multiplicación:

ΣFy = T_BC (1.0321) + T_BC (0.5) = 500 N.

Como T_BC es un factor común a ambas cantidades, estas se pueden sumar:

ΣFy = T_BC ( 1.5321) = 500 N.

Despejando el valor de T_BC tenemos: T_BC = 500 N = 326.34 Newtons.

1.5321

Para encontrar el valor de T_AC regresamos a la cuación 1: T_AC = T_BC 1.3474

T₁ T₂

P

Se desea colgar del techo un cuerpo de 2

kg de masa mediante dos cuerdas igual

de largas y que forman entre sí un ángulo

de 60 º. Calcula la tensión que soporta

cada cuerda.

Si el cuerpo está en equilibrio:

F = T₁ + T₂ + P = 0

Descomponiendo en componentes cartesianas:

P = – m ·g · j (Va hacia abajo) T₁ = T_1x · i +T_1y · j T₂ = T_2x · i +T_2y · j Si F = 0 F_x= 0 ; F_y= 0 P T_{1x T2x} T_1y T_2y 60º 60º

T₁ T₂

P

Las componentes cartesianas se

obtienen a partir de T y del ángulo : T_1x = T₁ · cos 120º = –T₁/2 – T_1y = T₁ · sen 120º = 3/2 T₁ T_2x = T₂ · cos 60º = T₂/2 – T_2y = T₂ · sen 60º = 3/2 T₂ F_x = T_1x + T_2x = –T₁/2 + T₂/2 = 0 T₁ = T₂ – F_y= T_1y+ T_2y + P = 3 T₁ – 19,6 N = 0 T ₁ = T ₂ = 11,3 N P T_{1x T2x} T_1y T_2y 60º 60º

Los cables AB y AC ayudan a soportar el techo en voladizo. Las magnitudes de las fuerzas ejercidas por los cables son |F_AB| = 100 kN y |F_AC| = 60 kN. Determine la magnitud de la fuerza resultante.

R = Rx + Ry Rx = F_ABx+ F_AC Ry = F_ABy

F_ABx= 100lb * Cos30° F_ABy= 100lb * Sen30°

F_ABx= 86,602 lb F_ABy= 50 lb Rx = 86,602 lb + 60lb Ry = 50 lb Rx = 146, 602 lb R2 _{= Rx}2 _{+ Ry}2 R2 _{= (146, 602 lb)}2 _{+ (50lb)}2 R = 154,893 lb