3. Modelado de Sistemas de Conversión de Energía

3. Modelado de Sistemas de Conversión de

En-ergía Eólica (SCEE)

Este capítulo describe los principales componentes y características de un SCEE (sistema de conversión de energía eólica). Nuestro objetivo principal es obtener el modelo orientado al control del sistema entero. Debido a la com-plejidad en el modelado de los SCEE, los modelos presentados aquí incluyen sólo el primer modo del tren de potencia, el primer modo de exión de la torre, y el primer modo de exión de la pala en el plano de rotación y el plano perpendicular al de rotación. Con este objetivo, el SCEE está organizado en cuatro bloques funcionales, a saber, el subsistema aerodinámico, mecánico, eléctrico, y el subsistema pitch servo.

El subsistema aerodinámico se dedica a la conversión de la energía del viento en energía mecánica útil. El subsistema mecánico cumple dos funciones principales. La primera, llevada a cabo por el tren de transmisión, es transferir el par del rotor al generador eléctrico. Y la segunda es soportar el rotor y otros dispositivos en altura mientras soportan la fuerza de empuje del viento. El subsistema eléctrico realiza la conversión de la energía mecánica disponible en el eje del generador en electricidad. Finalmente, el subsistema pitch servo consiste en un mecanismo que gira las palas alrededor de su eje longitudinal, lo que modica el ángulo de paso.

Este capítulo se centra principalmente en el desarrollo del modelo del subsistema mecánico del SCEE.

3.1. Descripción del SCEE

Los componentes principales del SCEE son el rotor, el sistema de trans-misión y el generador de energía.

La Figura 11 presenta el esquema de la aeroturbina a eje horizontal [25]. El rotor está compuesto por las palas donde tiene lugar la conservación aerod-inámica, el buje que une las palas con el conjunto de transmisión y el con-junto pitch servo que se encuentra dentro del buje y que hace rotar las palas alrededor de su eje longitudinal. El sistema de transmisión transmite la fuerza mecánica capturada por el rotor a la máquina eléctrica. Está compuesto por los ejes de baja y alta velocidad, el multiplicador de velocidad que aumenta la velocidad de giro del rotor a valores más adecuados para la utilización del generador, típicamente desde 20-50 rmp a 1000-1500 rmp [25],[26].

Figura 11: SCEE con aeroturbina a eje horizontal

El generador eléctrico es el dispositivo que convierte la energía mecánica en electricidad. Sus terminales eléctricos están conectados a la red pública. En el caso de SCEE de velocidad variable, se utiliza un convertidor electrónico como interfaz entre la red de corriente alterna y los bobinados del estator o del rotor.

Un modelo para el SCEE entero se puede estructurar como varios mod-elos de subsistemas interconectados como se presenta en la Figura 12, [25]. El subsistema aerodinámico describe la transformación de la acción de la velocidad tridimensional del viento en fuerzas en las palas que originan el movimiento rotatorio. El subsistema mecánico se puede dividir en dos blo-ques funcionales, es decir, el tren de potencia y la estructura de soporte. El tren de potencia transere el par aerodinámico en las palas al eje del gener-ador, y abarca el rotor, la transmisión y la parte mecánica del generador. La estructura compuesta por la torre y los cimientos soporta la fuerza de empu-je. El subsistema eléctrico describe la conversión de la energía mecánica en el eje del generador en electricidad. Finalmente, el subsistema del actuador

que modela el comportamiento del conjunto del pitch servo. Dado que la dinámica dominante está en el subsistema mecánico podemos ver el SCEE como una estructura mecánica que sufre fuerzas exógenas del ujo de aire y de la máquina eléctrica.

Figura 12: diagrama de bloques del subsistema de nivel del SCEE de veloci-dad y ángulo de calage variable

3.2. Subsistema mecánico

Una aeroturbina de eje horizontal es un sistema mecánico complejo que consiste en dispositivos que interactúan con un cierto grado de exibilidad. Como cualquier estructura exible, una aeroturbina exhibe muchos modos de vibración. Algunos movimientos oscilatorios inherentes a estos modos son ilustrados en la Figura 13, [25]. La existencia de estos modos de vibración exige un diseño cuidadoso de la aeroturbina y del controlador. Cualquiera de las perturbaciones cíclicas inherentes al muestreo o una inadecuada estrate-gia de control puede excitar algunos de los modos de vibración, por lo que resulta en la reducción de la vida útil o incluso en avería por fatiga.

Para el modelado del SCEE, la parte más complicada es probablemente el subsistema mecánico. La complejidad se origina por la interacción de dos estructuras exibles, el tren de potencia, y la torre y los cimientos. Cada uno de estas estructuras se ja a un sistema de referencia que gira con respecto

al otro. Esto lleva a modelos no lineales de orden elevado. Además, la may-or parte de las fuerzas aplicadas a las estructuras provienen de una acción tridimensional del viento [25].

Figura 13: Formas de modos de vibración de la aeroturbina a eje horizontal Existe una amplia gama de herramientas computacionales diseñadas es-pecícamente para derivar modelos para SCEE. Los modelos obtenidos con estas técnicas son potencialmente muy útiles para validar diseños de turbina y para evaluar el rendimiento del controlador. Sin embargo son generalmente demasiado complicados para los propósitos de diseño de control. Los modelos orientados al control deben ser lo más simples posible, capturando sólo los modos dinámicos que pueden ser excitados por el controlador.

Los modelos orientados al control de SCEE son generalmente obtenidos usando el enfoque llamado Sistema Multicuerpo (MBS) [25]. Esta técnica proporciona modelos de orden reducido con una visión física profunda. Con-ceptualmente, la estructura mecánica se organiza en varios cuerpos rígidos que se unen a través de articulaciones exibles. La cantidad de estas articu-laciones o grados de libertad determina el orden del modelo. Incluso pocos grados de libertad dan lugar a modelos no lineales de orden elevado. Por lo tanto, es importante considerar en el modelo sólo los grados de libertad que están directamente acoplados al control [25]. Por un lado, el control de velocidad interactúa con los modos en el plano de rotación, es decir, modos de torsión de la transmisión, y modos de exión de las palas en el plano de rotación. Normalmente, es suciente incluir en el modelo del aeroturbina a velocidad variable y ángulo de paso jo sólo uno o dos grados de libertad en el plano de rotación, porque la mayoría de las frecuencias de resonancia caen por encima del ancho de banda del controlador [25]. Esta simplicación lleva a un modelo lineal de orden reducido. Por otra parte, el control de ángulo de paso (pitch) no sólo afecta al par aerodinámico sino también a la fuerza de empuje. Por lo tanto, la exión de la torre en la dirección del eje de rotor y la exión de las palas en el plano perpendicular al de rotación debe también considerarse en el caso de una turbina de ángulo de paso variable.

Aunque los modelos simples no pueden caracterizar perfectamente la dinámica entera del SCEE, se puede aprender mucho de ellos. Particular-mente, los modelos simples son muy útiles para el análisis comparativo de diferentes estrategias de control y para el diseño del controlador, mientras que las dinámicas no modeladas se pueden tratar como incertidumbres. Por esta razón, los modelos presentados aquí incluyen sólo el primer modo del tren de potencia, el primer modo de exión de la torre, y el primer modo de exión de la pala en el plano de rotación y el perpendicular al de rotación.

Figura 14: Diagrama esquemático del modelo mecánico

La Figura 14 presenta el diagrama esquemático del modelo mecánico. Este modelo tiene tres grados de libertad: torsión del tren de potencia, exión de la torre, y exión de la pala en el plano perpendicular al de rotación. La Figura 14a ilustra el tren de potencia que está modelado como dos cuerpos rígidos unidos a través de un eje exible. La Figura 14b presenta el modelo de la estructura mecánica inspirado en el trabajo de Bindner [28].

Con la torsión del tren de potencia denotamos realmente la resonancia fun-damental en el plano de la rotación, el cual puede situarse en la transmisión o en el rotor [25]. El modelo del tren de potencia presentado en la Figura 14a es válido en cualquier caso. Sin embargo, el eje exible no representa nece-sariamente los ejes de transmisión sino la parte más exible del conjunto de transmisión. Los cuerpos rígidos abarcan todos los dispositivos mecánicos y partes de ellos son localizados en cada lado del eje efectivo.

Se supone que las palas se mueven al unísono y soportan la misma fuerza. Bajo estas suposiciones, y considerando que los desplazamientos que se orig-inan al aplicar la fuerza de empuje del viento sobre la turbina son pequeños, el modelo del subsistema mecánico es lineal, como se presenta en [25] y [26]. En el presente trabajo hacemos las mismas suposiciones que en [25],[26], y lo complementamos considerando la rotación de las palas, su exión en el plano de rotación, y que los desplazamientos que se originan al aplicar la fuerza de empuje del viento sobre la turbina son grandes. El modelo del subsistema mecánico obtenido en este caso es no lineal.

A partir de la ecuación de Lagrange [27],

d dt ( ∂Ek ∂q˙i ) −∂Ek ∂qi +∂Ed ∂q˙i +∂Ep ∂qi =Gu (22)

conEk,Ed, yEp son respectivamente la energía cinética, disipativa y poten-cial, la ecuación de modelado dinámico de las vibraciones de la turbina viene dada por

Mq¨+Cq˙+∇V =Gu (23)

donde M es la matrice de inercias, C es la matrice de amortiguamiento y Coriolis del sistema, ∇V es el gradiente de la energía potencial, y u es la entrada de control.

Para el modelo de la Figura 14, las coordenadas generalizadas de posición son

q=[ θ ϕ θr θg

]T

dondeθes el desplazamiento angular de la torre,ϕel desplazamiento angular

de la pala fuera del plano de la rotación, θr y θg son respectivamente las posiciones angulares del rotor y del generador.

La entrada de control u viene dada por

u=[ FT Tr Tg

]T

,

dondeTr yTg son respectivamente el par del rotor y del generador. La fuerza de empuje distribuida a lo largo de la pala es sustituida por la fuerza FT aplicada a la distancia rb desde el eje de rotación.

La matriz G es dada de la forma siguiente:

G=     N 0 0 N rb 0 0 0 1 0 0 0 −1    

A continuación se presentan los modelos obtenidos en este trabajo, en el caso donde el aerogenerador tiene sólo una pala, dos palas, y más de dos palas.

3.2.1. Modelado de aerogenerador monopala

La razón para una turbina eólica monopala o monóptero es aumentar la velocidad de rotación del rotor y consiguientemente reducir las masas y costes de los demás elementos, como pueden el multiplicador y el generador eléctri-co. Por otro lado este tipo de hélices resultan muy atractivas económicamente por el costo mínino al poseer una sola pala. Sin embargo, estas hélices re-quieren un contrapeso que compense a la pala y el balanceo debe realizarse con mucha precisión. Además un rotor de este tipo tiene un desequilibrio aerodinámico muy acentuado, lo que causa complejos esfuerzos de fatiga y complicadas construcciones en el centro para controlar adecuadamente la turbina, lo que las hacen poco prácticas.

La desventaja principal para su uso comercial es el elevado nivel de ruido aerodinámico que producen, causado por una altísima velocidad en punta de pala. Comparado con rotores tripalas esta velocidad es dos veces mayor lo que provoca un nivel sonoro bastante mas elevado. Además se obtiene un par

Figura 15: Turbina monopala o monóptero

de arranque bastante bajo. A esto debemos sumarle la perturbación visual en el paisaje que provoca ver rodar una sola pala.

A partir de la ecuación de Lagrange (22), las matrices M, C,y el vector

∇V del modelo del aerogenerador que tiene una pala en rotación son

M =     m1 m2 m3 0 m2 m4 m5 0 m3 m5 m6 0 0 0 0 m7    , donde m1 = It+mpN(a2+H2)+mp₂N (

2R(Hcosϕsinθr+asinϕ) + 2R

2 3 cos 2_ϕsin2_θ r+ 2R 2 3 sin 2_ϕ)_, m2 = mpN 2 (

RHcosϕ+Rasinϕsinθr+2R

2 3 sinθr ) , m3 = mp₂N ( Racosϕcosθr+2R 2

3 cosϕsinϕcosθr

) ,

m4 = mpN 2 2R2 3 , m5 = mp₂NR 2 3 (₁

2sin 2ϕsin 2θr+ 2 cosϕsinϕcosθrsinθr

) , m6 = Jr+mp₂N2R 2 3 cos 2_{ϕ ,} m7 = Jg , C =     Bt+C11 C12 C13 0 C21 N Bp +C22 C23 0 C31 C32 Bs+C33 0 0 0 0 Bs    , donde C11 = mpN 2 (

(−RHsinϕsinθr+Racosϕ− 2R

2

3 cosϕsinϕ(sin 2_θ

r−1)) ˙ϕ+ (RHcosϕcosθr+2R

2

3 cosθrsinθrcos 2_{ϕ) ˙θ} r ) , C12 = mpN 2 (

(−RHsinϕsinθr+Racosϕ− 2R

2

3 cosϕsinϕ(sin 2_θ

r−1)) ˙θ+ (−RHsinϕ+Racosϕsinθr) ˙ϕ+ R

2 3 cosθr(1 + cos 2_ϕ−sin2_{ϕ) ˙θ} r ) , C13 = mp₂N ( (RHcosϕcosθr+2R 2 3 cos 2_ϕsinθ rcosθr) ˙θ+ (R₃2 cosθr(1 + cos2ϕ−sin2ϕ)) ˙ϕ+ (−Ra− 2R

2 3 ) cosϕsinθrθ˙r ) , C21 = mp₂N (

(−Racosϕ+RHsinϕsinθr+ 2R

2

3 sinϕcosϕ(sin 2_θ r−1)) ˙θ+ (Rasinϕcosθr+R 2 3 cosθr(1−cos 2_{ϕ+ sin}2_{ϕ) ˙θ} r ) , C22 = 0 , C23 = mp₂N ( (Rasinϕcosθr+ R 2 3 cosθr(1−cos 2_{ϕ+ sin}2_{ϕ)) ˙θ+}

(R₃2 sin 2ϕcos 2θr+ 2R

2

3 cosϕsinϕ(1 + cosθ 2 r −sin2θr)) ˙θr ) , C31 = mp₂N ( −(RHcosϕcosθr+2R 2 3 cos 2_ϕsinθ rcosθr) ˙θ+ (−Rasinϕcosθr+R 2 3 cosθr(−1 + cos 2_ϕ−_sin2_{ϕ)) ˙ϕ})_, C32 = mp₂N ( (−Rasinϕcosθr− R 2 3 cosθr(1−cos 2_{ϕ+ sin}2_{ϕ)) ˙θ+} (R₃2 cos 2ϕsin 2θr+ 2R 2

3 cosθrsinθr(cos

2_ϕ−sin2_{ϕ)) ˙ϕ−} 2R2 3 cosϕsinϕθ˙r ) , C33 = −mp₂N2R 2 3 sinϕcosϕϕ˙ , y nalmente ∇V =    

ktθ−mtgHgsinθ−N mpg(Hsinθ+Rgsin(θ+ϕ)−acosθ)

N kpϕ−N mpgRgsin(θ+ϕ) ks(θr−θg) −ks(θr−θg)    .

Los parámetros del modelo del subsistema mecánico se describen en la Tabla 1. 3.2.2. Modelado de aerogenerador bipalas

Comparándola con un rotor de tres palas, se logra disminuir en un cierto porcentaje el costo de la hélice; sin embargo debido los uctuantes esfuerzos dinámicos que se originan con esta conguración se requieren dispositivos especiales para paliar este estado de carga, lo que eleva nalmente el costo global de la máquina no teniendo ventaja económica respecto a las de tres palas.

De manera diferente a lo que sucede en el rotor tripala, ésta posee una re-sistencia inercial al movimiento de la góndola alrededor del eje longitudinal de la torre (orientación) lo que incrementa los esfuerzos sobre la estructura. Por otro lado y compartiendo esta propiedad con las hélices monopala en alguna medida, poseen la posibilidad de jarse al cubo del rotor mediante un dispositivo de oscilación denominado teetering, una especie de bisagra

Cuadro 1: Los parámetros para el modelo del subsistema mecánico Variables Descripcíon

mt La masa de la torre

mp La masa de la pala

It El momento de inercia de la torre

Jr El momento de inercia de las masas de la parte del rotor

Jg Inercia de las masas de la parte del generador vista desde el eje lento

kt La rigidez de la torre kp La rigidez de la pala ks La rigidez de acoplamiento N El numero de palas R Longitud de la pala H Haltura de la torre a Longitud de la nacelle Bt Amortiguamiento de la torre Bp Amortiguamiento de la pala Bs Amortiguamiento de transmision

Figura 16: Turbina bipalas

que permite compensar los esfuerzos que provoca la variación del perl de velocidad del viento con la altura, lográndose una distribución casi plana de los esfuerzos externos en el área barrida por la pala. Asimismo se cuen-ta con la vencuen-taja técnica adicional para la fabricación de las palas en un único bloque, si la turbina es de poca potencia y su sistema de control es stall (palas de paso jo y regulación por entrada en pérdida). Además los dispositivos encargados del control de la potencia captada, si se trata de un sistema pitch (palas de paso variable), se tornan mucho más sencillos que en el caso de una hélice tripala. En cuanto a las vibraciones, son mucho más sensibles a este fenómeno que las tripala y debido a las mayores velocidades en punta de pala con las que operan se eleva el nivel de ruido respecto a estas. En el caso donde el aerogenerador tiene dos palas en movimiento, las ma-trices M, C,y el vector ∇V son dadas de la forma siguiente:

M =       m1 m2 0 0 m2 m3 0 0 0 0 m4 0 0 0 0 m5      , donde m1 = 2 ( It 2 +mp ( a2 +H2)+ampRsinϕ+ mpR2 3 (

cos2ϕsin2θr+ sin2ϕ

)) , m2 = mpRHcosϕ , m3 = 2mpR2 3 , m4 = Jr+ 2mp R2 3 cos 2 ϕ , m5 = Jg , y C =       Bt+C11 C12 C13 0 C21 N Bp +C22 C23 0 C31 C32 Bs+C33 0 0 0 0 Bs      , donde

C11 =

(

mpRacosϕ+ 2mp

R2

3 sinϕcosϕ(1−sin

2_θ r) ) ˙ ϕ+ 2mp R2 3 cos 2_ϕsinθ rcosθrθ˙r , C12 = ( mpRacosϕ+ 2mp R2

3 sinϕcosϕ(1−sin

2_θ r) ) ˙ θ−mpRHsinϕϕ ,˙ C13 = 2mp R2

3 sinθrcosθrcos

2 ϕθ ,˙ C21 = − ( mpRacosϕ+ 2mp R2

3 sinϕcosϕ(1−sin

2_θ r) ) ˙ θ , C22 = 0 , C23 = 2mp R2 3 sinϕcosϕ ˙ θr , C31 = −2mp R2

3 sinθrcosθrcos

2_{ϕθ ,˙} C32 = −2mp R2 3 sinϕcosϕ ˙ θr , C33 = −2mp R2 3 sinϕcosϕ ˙ ϕ , y nalmente ∇V =      

ktθ−mtgHgsinθ−2mpg(Hsinθ−acosθ+Rgsinθrsinϕcosθ) 2kpϕ−2mpgRgsinθrsinθcosϕ

ks(θr−θg)−2mpgRgsinϕsinθcosθr

−ks(θr−θg)      .

3.2.3. Modelado de aerogenerador multipalas

Para la generación de electricidad es aconsejable que el rotor gire al may-or número de revoluciones posible debido a la reducción en el tamaño y peso del generador eléctrico y del sistema multiplicador con el consiguiente abaratamiento de la máquina. Por esto, en las turbinas multipalas el número de palas es bajo, encontrándose modelos de tres y cuatro palas,

denominán-Figura 17: Turbina multipalas dose turbinas rápidas.

La razón principal para la utilización de tres palas en la hélice es el mo-mento de inercia constante del rótor para todo el ángulo circunferencial del acimut respecto a los movimientos alrededor del eje longitudinal de la torre (orientación). Todos los rotores con tres o más palas tienen esta favorable propiedad. Una turbina eólica tripala tiene un momento de inercia nulo en su giro, por consiguiente no induce ninguna carga sobre la estructura lo que deviene en una simplicación estructural y reducción de costos de fabricación, proporcionando además una mayor suavidad de funcionamiento. Por otro la-do, al ser sus velocidades de rotación relativamente bajas, los son también las de punta de pala, lo que constituye una gran ventaja respecto a las monopalas y bipalas debido a la reducción de nivel de potencia sonora que esto conlleva. Esta propiedad se ve potenciada en el caso de que la turbina se utilice para abastecimiento eléctrico de puntos aislados, donde generalmente la máquina se debe emplazar en las cercanías de la población y donde se debe minimizar la perturbación introducida en el hábitat natural.

Asimismo, de manera diferente a las hélices mono y bipalas las de tres palas gozan de una gran aceptación pública en cuanto al impacto visual que

oca-sionan.

En el caso general, donde el aerogenerador tiene más de dos palas, las matrices M, C, y el vector ∇V vienen dadas por

M =       m1 m2 0 0 m2 m3 0 0 0 0 m4 0 0 0 0 m5      , donde m1 = It+mpN(H2+a2) +mpN Rasinϕ+ mpN R2 6 (1 + sin 2 ϕ) , m2 = mpN R 2 Hcosϕ , m3 = mpN R2 3 , m4 = Jr+ mpN R2 3 cos 2 ϕ , m5 = Jg , y C =       Bt+C11 C12 0 0 C21 N Bp C23 0 0 C32 Bs+C33 0 0 0 0 Bs      , donde

C11 = ( mpN R 2 cosϕ+ mpN R2 6 sinϕcosϕ ) ˙ ϕ , C12 = ( mpN R 2 acosϕ+ mpN R2 6 cosϕsinϕ ) ˙ θ− mpN R 2 Hsinϕ ˙ ϕ , C21 = − ( mpN R 2 acosϕ+ mpN R2 6 cosϕsinϕ ) ˙ θ , C23 = mpN R2 3 sinϕcosϕ ˙ θr , C32 = − mpN R2 3 sinϕcosϕ ˙ θr , C33 = − mpN R2 3 sinϕcosϕ ˙ ϕ , y nalmente ∇V =      

ktθ−mtgHgsinθ−N mpg(Hsinθ−acosθ)

N kpϕ ks(θr−θg) −ks(θr−θg)      .

3.3. Conclusión

Comparando los tres modelos del aerogenerador, está claro que el modelo del aerogenerador monopala es el más complejo mientras que el del aerogen-erador multipalas es el más simple, y esto debido a que los esfuerzos aplicados sobre la estructura se compensan cuando el número de palas es grande mien-tras que cuando el aerogenerador tiene sólo una pala esto no ocurre.

Debido a la complejidad del modelo del aerogenerador monopala y a sus desventajas descritas en (la sección 3.2.1), nos centramos en este trabajo en los modelos de aerogeneradores bipalas y multipalas.