LENGUAJE ALGEBRAICO. Evaluación A. ( ): (2a) = Ten en cuenta. Recuerda. Recuerda. Recuerda. En un monomio:

LENGUAJE ALGEBRAICO

Evaluación A

1. Relaciona cada enunciado con la expresión algebraica correspondiente.

El doble de la suma de dos números. (x + y)2

El cuadrado de un número. x2

La suma del doble de un número más otro. 2x

El doble de un número. 2 ⋅ (x + y)

El cuadrado de la suma de dos números. 2x + y

2. Completa la siguiente tabla indicando el coeficiente, la parte literal y el grado de cada monomio.

3. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para a = 2 y b = −1. a) 2a − b

b) a2 _{+ 2ab + 3b}

4. Simplifica todo lo que sea posible las siguientes expresiones algebraicas.

a) 2x + x + 3x = c) x2 _{+ 5x}2 _{− 3x}2 ₌ b) 3xy − 5xy = d) 2a − 7a + a =

5. Multiplica o divide.

Monomio Parte literal Coeficiente Grado 3x2_y3 −2x3 a 2 2 5y4

En un monomio:

❚

El

coeficiente es el número que multiplica a la variable

o variables.

❚

La

parte literal la forman las variables con sus

exponentes.

❚

El

grado es la suma de los exponentes de las variables.

Recuerda

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir sus variables (letras) por su valor y realizar las operaciones.

Ten en cuenta

Se pueden

sumar o restar monomios con la misma

parte literal, sumando o restando sus coeficientes y

dejando la misma parte literal.

Recuerda

2 − (−1) = 4 + 1 = 5 22 _{+ 2 ⋅ 2 ⋅ (−1) + 3 ⋅ (−1) =} = 4 − 4 − 3 = −3 x2_y3 _{3 5} x3 _{–2 3} a2 1 2 2 y4 _{5 4} 6x −2xy 3x2 −4a

Lenguaje algebraico

6. Contesta a las preguntas planteadas sobre el polinomio P(x) = 5x3 _{− 3x}2 _{+ 2x − 1.} a) ¿Cuántos términos tiene?

b) ¿Cuál es su grado?

c) ¿Cuál es el coeficiente del término de grado 2? d) ¿Cuál es el término de grado 1?

e) ¿Cuál es su término independiente?

7. Calcula el valor numérico del polinomio P(x) = x3 _{− 3x}2 + 2x − 1 para el valor indicado en cada caso. a) x = 1

b) x = −1 c) x = 0

8. Realiza la suma y la resta de estos dos polinomios:

P(x) = −2x3 + 3x2 ₋ 1 Q(x) = x3 _{− 2x}2 + 3x + 4 a) P(x) + Q(x) =

b) P(x) − Q(x) =

9. Realiza estas operaciones.

a) 3 ⋅ (2x − 1) = b) 2x x⋅

(

2−3x+ =2

)

c) 3x2⋅

(

2x2−3x+ =1

)

d) 6a ⋅ (2b − a) =

10. Opera:

(

2_x2+2_x− ⋅3 (3

)

_x+1)

Un

polinomio es la suma de dos o

más monomios no semejantes. Dichos

monomios son sus

términos.

El

grado de un polinomio es el del término

de mayor grado.

El

término independiente es el que no

tiene variables.

Recuerda

Para sumar dos o más polinomios, escribimos uno a continuación del otro y sumamos los términos semejantes.

Para restar dos polinomios, escribimos el segundo polinomio a continuación del primero cambiando todos los signos de sus términos y sumamos después los términos semejantes.

Ten en cuenta

Después de multiplicar cada uno de los términos de uno de los factores por todos los términos del otro factor, se suman los términos semejantes.

Ten en cuenta

Para

multiplicar expresiones algebraicas se

aplica la propiedad distributiva.

Recuerda

P(1) = 13 _{− 3 ⋅ 1}2 _{+ 2 ⋅ 1 − 1 = 1 − 3 + 2 − 1 = −1} P(−1) = (−1)3 _{− 3 ⋅ (−1)}2 _{+ 2 ⋅ (−1) − 1 = −1 − 3 − 2 − 1 = −7} P(0) = 03 _{− 3 ⋅ 0}2 _{+ 2 ⋅ 0 − 1 = −1} = −2x3 _{+ 3x}2 _{− 1 + x}3 _{− 2x}2 _{+ 3x + 4 =} = −x3 _{+ x}2 _{+ 3x + 3} = −2x3 _{+ 3x}2 _{− 1 − x}

(

3_−2x2_+3x+4

)

₌ = −2x3 _{+ 3x}2 _{− 1 − x}3 _{+ 2x}2 _{− 3x − 4 =} = −3x3 _{+ 5x}2 _{− 3x − 5} 4 3 2x −1 −3 6x − 3 2x3 _{− 6x}2 _{+ 4x} 6x4 _{− 9x}3 _{+ 3x}2 12ab − 6a2 x + x x+ =

(

2 2 2 − ⋅3 (3

)

1) ₃ = 6x3 _{+ 2x}2 _{+ 6x}2 _{+ 2x − 9x − 3 =} = 6x3 _{+ 8x}2 _{− 7x − 3}

Evaluación B

1. Escribe en lenguaje algebraico.

a) La edad de Juan dentro de tres años si hoy tiene t años. b) El número siguiente al número n.

c) El perímetro de un cuadrado cuyo lado mide x cm.

d) El precio rebajado de un artículo que cuesta p euros y se le aplica un descuento del 30 %.

e) El número total de patas de animales en un corral en el que hay g gallinas y c conejos.

2. Calcula el valor numérico de la expresión 2x 1 x

3 (3 )

− _{− − en cada caso.} a) Para x = 2

b) Para x = −4

3. Indica cuáles de las siguientes expresiones son monomios y en estos casos escribe su coeficiente, su parte literal y su grado.

a) 2x + 1 b) 3 4 x c) −2xy2 d) 3₂ a e) 2 (x x y⋅ + )

4. Escribe el término que falta.

a) 3x2 _{+ = −2x}2 _{c) 3ab − = ab e) 2x}2 _{⋅ = 2x}5

b) 3n + = 8n d) 6xy2 _{− = 8xy}2 _{f) 3y ⋅ = −6y}3

5. Escribe el polinomio que cumple las siguientes condiciones.

❚ Tiene una sola variable, x.

❚ Es de grado 4.

Al sustituir una variable por un valor negativo escribe éste entre paréntesis.

Ten en cuenta

t + 3 n + 1 4x 0,7p 2g + 4c 2 2 1 3 (3 2) 4 1 3 1 3 3 1 0 = = = ⋅ − _{− −} − _{− −} 8 1 3 7 9 3 7 3 7 10 =− − − =− − =− − =− 2 ( 4) 1 3 (3 ( 4))= ⋅ − − _{− − −} No es un monomio. Es un monomio. Coeficiente: 3

4 Parte literal: x Grado: 1 Es un monomio. Coeficiente: −2 Parte literal: xy2 _{Grado: 3}

No es un monomio. No es un monomio. x3 5n 2ab 3x4 _{− x}2 _{− 2x + 1} x

(

−5 2

)

xy

(

−2 2

)

(

_−2y2

)

Lenguaje algebraico

6. Opera y reduce estas expresiones. a) 2x2 _{+ 3x − x}2 _{+ 2 − 5x =}

b) −x + 3x3 _{+ 6x − 2 =}

c) 2x − 3x2 _{+ x − x}3 _{+ 2x + 3x}2 _{+ 2 =} d) −3x + 6x2 + x − 8x2 + 3 − x + 2 =

7. Realiza las siguientes operaciones.

a)

(

3x2+2x− −1

) (

2x2−x+ =3

)

b)

(

2x3+5x2−2x

) (

+ 3x2−2

)

=

c) (6x− − −1)

(

2x2+3x−1

)

=

8. Calcula el resultado de estas multiplicaciones. a) (x + 3) ⋅ (x − 5) =

b) (2x + 1) ⋅ (3 − 2x) = c) (x− ⋅1) 3

(

x2+2x−1

)

= d)

(

x2− ⋅3

) (

x2−3x+ =2

)

9. Utiliza las identidades notables para calcular las siguientes potencias de polinomios. a) (x + 2)2 ₌

b) (2x − 1)2 ₌ c)

(

x2−3

)

2= d) (2x + 3)2 ₌

10. En una ciudad la tarifa que ofrece un medio de transporte privado es de 2,10 € por inicio del servicio, 1,10 € por kilómetro recorrido y 0,35 € por cada minuto que dura el recorrido. Escribe la expresión algebraica que permite calcular el precio de un servicio de d kilómetros y t minutos de duración.

Solo se pueden sumar y restar monomios con la misma parte literal.

Ten en cuenta

❚ Cuando un paréntesis va precedido del signo “+”, se suprime sin modificar los signos de sus términos.

3x + (2x − 1) = 3x + 2x − 1

❚ Cuando un paréntesis va precedido del signo “−”, se suprime cambiando todos los signos de sus términos.

3x − (2x − 1) = 3x − 2x + 1

Ten en cuenta

No te olvides de reducir términos con la misma parte literal después de aplicar la propiedad distributiva.

Ten en cuenta

Identidades notables

(a + b)

2

_{= a}

2

_{+ 2ab + b}

2

(a − b)

2

_{= a}

2

_{− 2ab + b}

2

Recuerda

x2 _{− 2x + 2} 3x3 + 5x − 2 −x3 _{+ 5x + 2} −2x2 _{− 3x + 5} = 3x2 + 2x − 1 − 2x2 + x − 3 = x2 + 3x − 4 = 2x3 _{+ 5x}2 _{− 2x + 3x}2 _{− 2 = 2x}3 _{+ 8x}2 _{− 2x − 2} = 6x + 1 + 2x2 _{− 3x + 1 = 2x}2 _{+ 3x + 2} x2 _{− 5x + 3x − 15 = x}2 _{− 2x − 15} 6x − 4x2 _{+ 3 − 2x = −4x}2 _{+ 4x + 3} 3x3 _{+ 2x}2 _{− x + 3x}2 _{+ 2x − 1 = 3x}3 _{+ 5x}2 _{+ x − 1} x4 _{− 3x}3 + 2x2 _{− 3x}2 + 9x − 6 = x4 _{− 3x}3 _{− x}2 + 9x − 6 x2 _{+ 4x + 4} 4x2 _{− 4x + 1} x4 _{− 6x}2 + 9 4x2 _{+ 12x + 9}

1. Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados. a) El doble de la diferencia de dos números distintos.

b) La mitad de la suma de dos números. c) La suma de los cuadrados de dos números.

d) La suma de la mitad de un número más el doble de otro.

e) La diferencia del cuadrado de un número menos el mismo número.

2. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones según el valor dado a sus variables. a) 2

3 +

a b− _{b para a = −1 y b = 2}

b) 2p2 − 3pq + q2 para p = 2 y q = −2

3. Escribe las expresiones algebraicas que permiten calcular el perímetro y el área de esta figura.

4. Simplifica estas expresiones. a) 3xy + 2x2 _{− xy + 3x − x}2 ₌ b) 2 3 2 2 2 2 + + = ab _{ab ab− ab}

5. Realiza las operaciones indicadas con estos polinomios:

P(x) = 2x2 _{+ 3x − 1 Q(x) = −x}2 _{+ 2x + 1 R(x) = x}3 _{− x}2 _{+ 2x − 3} a) P(x) − [Q(x) − R(x)] =

Evaluación C

No es lo mismo el doble de la suma de dos números:

2 ⋅ (x + y)

Que la suma del doble de un número más otro: 2x + y

Ten en cuenta

x 2 cm x y ❚ El perímetro es la suma de las longitudes de todos sus lados.

❚ El área de un rectángulo se calcula multiplicando la longitud de su base por la de su altura.

Ten en cuenta

2 + x y 2 ⋅ (x − y) x2 +_y2 x2 _{− x} 2+2 x _y 2 ( 1) 2 3 2 4 3 2 2 3 + = + = ⋅ − − ₋ 2 2_{⋅ − ⋅ ⋅ −}2 3 2 ( 2) ( 2)_{+ −} 2_{= +}8 12 4 24_{+ =} Perímetro = 2 ⋅ (2 + y) + 2 ⋅ (x + x) = = 4 + 2y + 4x Área = 2 ⋅ 2x + xy = 4x + xy x2 _{+ 2xy + 3x} 8 3 2 ab ab− = 2x2 _{+ 3x − 1 −} _−x2_+2x+1−

(

_x3_−x2_+2x−3

)

₌   2x 2 + 3x − 1 −

(

−x2+2x+1−x3+x2−2x+ =3

)

= 2x2 _{+ 3x − 1 + x}2 _{− 2x − 1 + x}3 _{− x}2 _{+ 2x − 3 = x}3 _{+ 2x}2 _{+ 3x − 5}

Lenguaje algebraico

El cuadrado de un polinomio es el producto del polinomio por sí mismo.

Ten en cuenta

6. Realiza estas multiplicaciones de polinomios. a)

(

₋3_x2₊2_{x− ⋅}1 2

) (

_x2₋1

)

₌

b)

(

2_x2_{+x− ⋅}1 3

) (

_x3_−x2_{+ =}2

)

7. Reduce estas expresiones. a) 2_x+3 (2_{⋅ x− −}1)

(

_x2₊2_x−1

)

₌

b) (x− ⋅2) (2x+1) (− x+1) (2⋅ x−1)=

8. Aplica las identidades notables. a)

(

2_x2₊3_x

)

2₌

b) (2 − 3x)2 ₌ c) (5x + 1)2 ₌ d)

(

3_−x2

)

₌

9. Calcula y reduce a un solo polinomio. a)

(

_x2₊2_x−1

)

2₌

b)

(

2_x2_−x+2

)

2₌

10. El gasto de fabricación de x prendas en una fábrica textil se calcula mediante la expresión 100 + 1,5x y el de la recaudación por la venta de todas esas prendas con la expresión 9 ⋅ (x − 50). Escribe la expresión algebraica que permite calcular el beneficio obtenido.

Presta atención a los signos cuando tengas que restar un producto. Realiza primero el producto y luego la resta: 2 − 3x ⋅ (2x − 1) = 2 − 6

(

_x2₋3_x

)

_{= 2 − 6x}2 _{+ 3x}

Ten en cuenta

6_x4₊3_x2₊4_x3 2_x 2_x2_{+ =}1 6_x4₊4_x3_+x2 2_x+1 − − − − − 6_x5₋2_x4₊4_x2₊3_x4_−x3₊2_x−3_x3_+x2₋2₌ 6 5 4 4 3 5 2 2 2 = x +x − x + x + x− 2 6 3 2 2 1 = x+ x− −x − x+ = 6 2 2 =−x + x− 2_x2 _x 4_x 2 2_x2 _x 2_x 1 = + − − −

(

− + −

)

= 2 2 4 2 2 2 2 1 4 1 = x +x− x− − x +x− x+ =− x− 4x4 _{+ 12x}3 _{+ 9x}2 4 − 12x + 9x2 25x2 _{+ 10x + 1} 9 − 6x2 _{+ x}4 2 1 2 1 2 2 x x x x =

(

+ − ⋅

) (

+ −

)

= 2 2 4 2 2 1 4 3 2 3 2 2 =x + x −x + x + x − x x− − x+ = 4 2 4 1 4 3 2 =x + x + x − x+ 2_x2 _x 2 2_x2 _x 2 =

(

− +

) (

⋅ − + =

)

_4x4₋2_x3₊4_x2₋2_x3_+x2₋2_x+4_x2₋2_{x+ =}4 4x4−4x3+9x2−4x+4 9 ⋅ (x − 50) − (100 + 1,5x) = 9x − 450 − 100 − 1,5x = 7,5x − 550

1. Traduce al lenguaje algebraico.

a) La diferencia del doble de un número menos otro.

b) La suma de tres números consecutivos, si x es el menor de los tres. c) El cuadrado de la diferencia de dos números.

d) La suma del triple de un número más tres.

2. Escribe un enunciado que corresponda a la expresión algebraica de cada apartado siendo x e y dos números cualquiera. a) 2 ⋅ (x − y) b) 2 x y+ c) 2x2 _{− 1} d) (x + y)2

3. Calcula el valor numérico de estas expresiones para los valores indicados. a) 2ab2 _{+ a}2_{b − 2a para a = −1 y b = 2}

b) 1

2 3 (2 1)

2

x − _{− ⋅ x+ para x = 0}

4. Simplifica estas expresiones. a) 6xy2 _{− 2xy + xy − 3xy}2 _{+ 2x}2_{y =}

b) 3m2 _{+ 2mn − 4n}2 _{− 3mn + 6n}2 _{− 4m}2 ₌ c) 2ab + 4ab2 _{− 6ab + a}2_{b + ab =}

d) 4x + 2xy − 3xy + 6x − xy − x =

5. Averigua el término que falta en cada expresión.

a) 3x2 + 2x − = 3x2 + x _{d) 3x}2 _⋅ = 6x3_y b) 2x + x2 _{− 5x + = x}2 _{− 5x e) : 2}

(

_xy3

)

_{= −5x}2 c) x2 _{+ 3x − 2x}2 _{+ = 4x}2 _{+ 3x f) 8xy ⋅ = 8x}2_y3

Evaluación D

2x − x (x − y)2 x + (x + 1) + (x + 2) 3x + 3

El doble de la diferencia de dos números. La mitad de la suma de dos números.

La diferencia del doble del cuadrado de un número menos uno. El cuadrado de la suma de dos números.

2 ⋅ (−1) ⋅ 22 _{+ (−1)}2 _{⋅ 2 − 2 ⋅ (−1) = −2 ⋅ 4 + 1 ⋅ 2 + 2 =} = −8 + 2 + 2 = −4 3xy2 _{− xy + 2x}2_y −m2 _{+ 2n}2 _{− mn} 4ab2 _{+ a}2_{b − 3ab} 9x − 2xy 0 1 2 3 (2 0 1) 1 2 3 7 2 2₋ − ⋅ ⋅ + =− − =− xy2 (−2x) x 5x2 2xy 10_{x y}3 3

(

−

)

Lenguaje algebraico

6. Realiza las operaciones propuestas con estos polinomios:

A(x) = 3x3 _{− 2x}2 _{+ x − 1 B(x) = 5x}2 _{− 3x + 2 C(x) = −x}3 _{+ 3x − 3} a) A(x) − B(x) =

b) B(x) + C(x) − A(x) =

c) A(x) − [B(x) + C(x)] =

7. Calcula el resultado de estas multiplicaciones y exprésalo como un polinomio. a) 3_x⋅

(

2_x2_+x−1

)

₌

b) (2x − 1) ⋅ (3x + 2) = c) (2_{− ⋅x})

(

_x3₊3_x−2

)

₌

8. Opera y reduce a un polinomio. a) 3x − (2x − 1) + (x − 2) ⋅ 2x = b) 2x ⋅ (x + 1) − (2x − 3) =

c) (2_{x− ⋅}3) (_x+1)₋

(

_x2_{− ⋅ −}1 (3 2 )

)

_{x =}

d) x − (2x − 1) ⋅ (3 + 2x) − x ⋅ 3

(

_x2_{+x− =} 1

)

9. Resuelve utilizando las identidades notables. a) (1 2 )_{+ x} 2₌ b) (2_{a b−} )2₌ c) 2 1 2 + = x         10. Desarrolla:

(

_−x2₊₊2_x−1

)

2 = 3x3 _{− 2x}2 _{+ x − 1 − 5}

(

_x2_{−3x+ =2}

)

_3x3 _{− 2x}2 _{+ x − 1 − 5x}2 _{+ 3x − 2 =} = 3x3 _{− 7x}2 _{+ 4x − 3} = 5x2 _{− 3x + 2 +}

(

_−x3_{+3x− −3}

) (

_3x3_−2x2_+x−1

)

₌ = 5x2 _{− 3x + 2 − x}3 _{+ 3x − 3 − 3x}3 _{+ 2x}2 _{− x + 1 = −4x}3 _{+ 7x}2 _{− x} = 3x3 _{− 2x}2 _{+ x − 1 − 5}

(

_x2_{−3x+ +2}

) (

_−x3_+3x−3

)

₌   3x3 − 2x2 + x − 1 − 5

(

x2−3x+2−x3+3x−3

)

= = 3x3 _{− 2x}2 _{+ x − 1 − 5x}2 _{+ 3x − 2 + x}3 _{− 3x + 3 = 4x}3 _{− 7x}2 _{+ x} 6x3 _{+ 3x}2 _{− 3x} 6x2 _{+ 4x − 3x − 2 = 6x}2 _{+ x − 2} 2x3 + 6x − 4 − x4 _{− 3x}2 + 2x = −x4 + 2x3 _{− 3x}2 + 8x − 4 3x − 2x + 1 + 2x2 _{− 4x = 2x}2 _{− 3x + 1} 2x2 _{+ 2x − 2x + 3 = 2x}2 _{+ 3} 2_x2₊2_x−3_{x− −}3

(

3_x2₋2_x3₋3 2_{+ x}

)

₌ = 2_x2₊2_x−3_{x− −}3 3_x2₊2_x3₊3 2_{− x= 2x}3 _{− x}2 _{− 3x} 6 4 2 3 2 3 3 2 x−

(

x+ x − − x

) (

− x +x −x

)

= = x − 6x − 4x2 _{+ 3 + 2x − 3x}3 _{− x}2 _{+ x = −3x}3 _{− 5x}2 _{− 2x + 3} 1 + 4x + 4x2 4a2 _{− 4ab + b}2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 x + x = x + x x + x =

(

− −

) (

− − ⋅ −

) (

−

)

x4 _{− 2x}3 _{+ x}2 _{− 2x}3 _{+ 4x}2 _{− 2x + x}2 _{− 2x + 1 =} = x4 _{− 4x}3 _{+ 6x}2 _{− 4x + 1} 4 1 2 x _{+ +x}