TEOREMA DE PITÁGORAS. APLICACIONES

TEOREMA DE PITÁGORAS. APLICACIONES

TEOREMA DE PITÁGORAS.-

En un triángulo rectángulo se verifica que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Si en el triángulo rectángulo siguiente

Aplicamos el teorema de Pitágoras obtenemos que a2 b2 c2. EJEMPLO. -

Los catetos de un triángulo rectángulo son 37 centímetros y 45 centímetros. Calcular la hipotenusa.

Solución:

Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos que:    2 2 2 c b a a2 372 452  a2 13692025 a2 3394a 3394  a58,26. Por lo tanto la hipotenusa del triángulo rectángulo mide 58,26 centímetros.

EJEMPLO. -

Los catetos de un triángulo rectángulo son 16 centímetros y 30 centímetros. Calcular la hipotenusa.

Solución:

Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos que:    2 2 2 c b a a2 162 302  a2 256900 a2 1156 a 1156 a34. Por lo tanto la hipotenusa del triángulo rectángulo mide 34 centímetros.

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS ATENDIENDO A SUS ÁNGULOS.- Si a es el lado mayor del triángulo de lados a, b y c, entonces se verifica que:

El triángulo es rectángulo si se verifica que a2 b2 c2. El triángulo es acutángulo si se verifica que a2 b2 c2. El triángulo es obtusángulo si se verifica que a2 b2c2.

EJEMPLO. -

Averigua como son los triángulos de lados:

a) 7 cm, 8 cm, 11 cm; b) 11 cm, 17 cm, 15 cm; c) 34 m, 16 m, 30 m; d) 65 m, 72 m, 97 m;

e) 12 cm, 13 cm, 20 cm; f) 15 m, 36 m, 39 m.

Solución:

a) Elevamos el lado mayor al cuadrado y el resultado lo comparamos con la suma de los cuadrados de los otros dos lados y tenemos que:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 113 121 113 49 64 7 8 121 11 c b a c b a                  .

Por lo tanto el triángulo es obtusángulo.

b) Elevamos el lado mayor al cuadrado y el resultado lo comparamos con la suma de los cuadrados de los otros dos lados y tenemos que:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 346 289 346 121 225 11 15 289 17 c b a c b a                  .

Por lo tanto el triángulo es acutángulo.

c) Elevamos el lado mayor al cuadrado y el resultado lo comparamos con la suma de los cuadrados de los otros dos lados y tenemos que:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1156 1156 1156 256 900 16 30 1156 34 c b a c b a                  .

Por lo tanto el triángulo es rectángulo.

d) Elevamos el lado mayor al cuadrado y el resultado lo comparamos con la suma de los cuadrados de los otros dos lados y tenemos que:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 9409 9409 9409 4225 5184 65 72 9409 97 c b a c b a                  .

Por lo tanto el triángulo es rectángulo.

e) Elevamos el lado mayor al cuadrado y el resultado lo comparamos con la suma de los cuadrados de los otros dos lados y tenemos que:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 313 400 313 144 169 12 13 400 20 c b a c b a                  .

Por lo tanto el triángulo es obtusángulo.

f) Elevamos el lado mayor al cuadrado y el resultado lo comparamos con la suma de los cuadrados de los otros dos lados y tenemos que:

2 2 2 2 2 1521 1521 1521 39 c b a a           .

Por lo tanto el triángulo es rectángulo.

EJEMPLO. -

Una circunferencia tiene un radio de 15 centímetros. Una recta, r, corta a la circunferencia en dos puntos, A y B. La distancia entre A y B es de 18 centímetros. ¿Cuál es la distancia del centro de la circunferencia a la recta?

Solución:

Tenemos la siguiente situación:

La distancia d del centro de la circunferencia a la recta coincide con la altura del triángulo isósceles OAB y dicha altura d divide al triángulo isósceles OAB en dos triángulos rectángulos iguales.

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OAC tenemos que:

   2 2 2 CB OC OB 152 d2 92  225d2 8122581d2 144d2  12 144    d d .

Por lo tanto la distancia del centro de la circunferencia a la recta es de 12 centímetros.

EJEMPLO. -

Hallar el radio de la circunferencia sabiendo que OP 39 cm, PT 36 cm.

El triángulo OPT es un triángulo rectángulo ya que la recta tangente a una circunferencia desde un punto forma con el radio que une el centro de la circunferencia con el punto de tangencia un ángulo recto, es decir, el radio es perpendicular a la tangente a la circunferencia en el punto de tangencia.

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OPT tenemos que:

   2 2 2 PT OT OP 392 r2 362 1521r2 129615211296r2  r2 225 15 225    r r .

Por lo tanto el radio de la circunferencia mide 15 centímetros.

EJEMPLO. -

De un rombo conocemos una diagonal que mide 24 centímetros y el lado que mide 13 centímetros. Hallar la otra diagonal.

Solución:

´Las diagonales del rombo dividen al rombo en cuatro triángulos rectángulos iguales como se muestra en la figura:

Aplicando el teorema de Pitágoras a uno de los cuatro triángulos rectángulos, por ejemplo al OBC, tenemos que:

   2 2 2 OC OB BC 132 122 OC2 169144OC2 169144OC2 OC2 25   OC 25 OC 5.

EJEMPLO. - Dada la gráfica:

Hallar la longitud del segmento T₁T₂ sabiendo que r₁15cm, r₂6cm,O₁O₂ 41cm. Solución:

Trazando por el punto T una recta paralela a la recta ₂ O₁O₂ tenemos la siguiente situación:

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo AT₁T₂, tenemos que:

   2 2 1 2 1 2 2 AT TT AT O₁O₂2 



r₁r₂



2 T₁T₂2  412 



156



2 T₁T₂2  412 92 T₁T₂2      2 2 1 81 1681 TT 168181T1T22    2 2 1 1600 TT T1T2  1600 T1T2 40.

Por lo tanto la longitud del segmento T₁T₂ es de 40 centímetros.

EJEMPLO. -

Averigua si el triángulo de lados 29 cm, 35 cm y 48 cm es rectángulo, acutángulo u obtusángulo. Halla la longitud de la altura sobre el lado mayor.

Elevamos el lado mayor al cuadrado y el resultado lo comparamos con la suma de los cuadrados de los otros dos lados y tenemos que:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2066 2304 2066 841 1225 29 35 2304 48 c b a c b a                  .

Por lo tanto el triángulo es obtusángulo.

Para calcular la longitud de la altura sobre el lado mayor trazamos dicha altura, con lo que tenemos que:

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo BCD, tenemos que:

   2 2 2 DB CD CB 292 h2x2 841h2 x2  h2x2 841 h2 841x2

 

1

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ACD, tenemos que:

   2 2 2 AD CD AC 352 h2



48x



2 1225h2 



x2 482 248x



      1225 h2 x2 2304 96x 1225x2 230496xh2 h2 x296x1079

 

2

Resolviendo, por el método de igualación, el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones

 

1 y

 

2 , tenemos que:            1079 96 841 2 2 2 2 x x h x h       96 1079 841 x2 x2 x 8411079x296xx2    1920 96x   96 1920 x x20.

Sustituyendo en la ecuación

 

1 calculamos el valor de la altura h.    2 2 841 x h h2 841202  h2 841400h2 441 h 441 h21. Por lo tanto la altura sobre el lado mayor mide 21 centímetros.

EJEMPLO. -

Los lados de un trapecio miden 13 m, 20 m, 19 m y 40 m. Los dos últimos son paralelos. Halla la altura del trapecio.

Al trazar la altura del trapecio se nos forman dos triángulos rectángulos ADE y BCF. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ADE, tenemos que:

   2 2 2 AE DE AD 132 h2 x2 169h2 x2  h2x2 169h2 169x2

 

1 . Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo BCF, tenemos que:

   2 2 2 BF CF BC 2 2







2  21 20 h x 400h2



x2212221x



      400 h2 x2 441 42x 400x2 44142xh2 h2 x242x41

 

2 .

Resolviendo, por el método de igualación, el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones

 

1 y

 

2 , tenemos que:            41 42 169 2 2 2 2 x x h x h       42 41 169 x2 x2 x 16941x242xx2    210 42x   42 210 x x5.

Sustituyendo en la ecuación

 

1 calculamos el valor de la altura h.    2 2 169 x h h2 16952 h2 16925h2 144 h 144  h12. Por lo tanto la altura del trapecio mide 12 centímetros.

EJEMPLO. -

Calcular el valor de x en la siguiente figura:

Solución:

La diagonal del rectángulo lo divide en dos triángulos rectángulos iguales. Aplicando el teorema de Pitágoras a uno de ellos tenemos que:

   2 2 2 8 15 x x2 22564 x2 289 x 289  x17. Por lo tanto el valor de x es 17 centímetros.

EJEMPLO. -

Calcular el valor de x en la siguiente figura:

Solución:

Las diagonales del rombo lo dividen en cuatro triángulos rectángulos iguales. Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que:

   2 2 2 5 12 x x2 14425 x2 169 x 169  x13. Por lo tanto el valor de x es 13 centímetros.

EJEMPLO. -

Calcular el valor de x en la siguiente figura:

Solución:

La diagonal del cuadrado lo divide en dos triángulos rectángulos iguales. Aplicando el teorema de Pitágoras a uno de ellos tenemos que:

   2 2 2 8 8 x x2 6464 x2 128 x 128  x11,3. Por lo tanto el valor de x es 11,3 centímetros.

EJEMPLO. -

Calcular el valor de x en la siguiente figura:

Solución:

   2 2 2 12 x x 1442x2    2 144 2 x x2 72 x 72  x8,485

Por lo tanto el valor de x es 8,485 centímetros.

EJEMPLO. -

Calcular el valor de x en la siguiente figura:

Solución:

En este triángulo rectángulo los dos ángulos agudos miden 45º, por lo tanto los dos catetos miden 6 centímetros. Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos que:

   2 2 2 6 6 x x2 3636x2 72 x 72  x8,485. Por lo tanto el valor de x es 8,485 centímetros.