Ideal Anti Fuzzy Pada Aljabar_ci

Jurnal Ilmiah Matematika

Volume 2 No.6 Tahun 2017

ISSN 2301-9115

IDEAL ANTI FUZZY PADA ALJABAR_CI

Siti Nur Laili

(S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya)

Email : sitinurlaily57@gmail.com

Raden Sulaiman

(Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya)

Email : sulaimanraden@yahoo.com

Abstrak

Struktur aljabar merupakan himpunan yang tak kosong dengan satu atau lebih operasi dan memenuhi aksioma± aksioma yang berlaku. Pulak Sabhanpandit dan Biman Ch.Chetia memperkenalkan ideal anti fuzzy dalam aljabar-CI. Aljabar-CI merupakan suatu himpunan tak kosong :, elemen khusus 1 dan operasi biner Û _{memenuhi aksioma : (i) T}Û_TLs_{, (ii)}sÛ_TL_{T, (iii) T}Û:_UÛ_V;L_UÛ:_TÛ_V;_{, untuk semua} TáUáVÐ:. Misal # himpunan fuzzy pada aljabar-CI, # disebut ideal anti fuzzy jika untuk setiap TáUáV Ð : memenuhi äº:TÛU;Qäº:U; dan läº@kTÛ:UÛV;oÛVAp Q•ƒš<äº:T;áäº:U;=. Hasil penelitian

menjelaskan konsep dan struktur yang terkait dari ideal anti fuzzy pada aljabar-CI.

Kata Kunci: Aljabar-CI, ideal anti fuzzy, homomorfisme, hasil kali kartesius

Abstract

The structure of algebra is a non empty set with one or more operations and satisfy axioms. Pulak Sabhanpandit and Biman Ch.Chetia introduced anti fuzzy ideals in CI-algebras. CI-algebra is a non empty set of :, a fixed element 1 and a binary operation Û _{satisfies axioms : (i)} TÛTLs_{, (ii)} sÛTLT, (iii) TÛ:UÛV;LUÛ:TÛV;, for all TáUáVÐ:. Let # fuzzy set of kcI-algebra :, # is called an anti fuzzy ideasl of : if äº:TÛU;Qäº:U;

and läº@kTÛ:UÛV;oÛVAp Q•ƒš<äº:T;áäº:U;= for every TáUáVÐ:. The research results explain the

concept and associated structure of anti fuzzy ideal in CI-algebra.

Keywords: CI-algebra, anti fuzzy ideal, homomorphism, cartesian product

PENDAHULUAN

Struktur aljabar merupakan himpunan yang tak kosong dengan satu atau lebih operasi dan memenuhi aksioma± aksioma yang berlaku. Materi dari struktur aljabar yaitu grup dan ring. Namun, terdapat contoh lain dari struktur aljabar yang umumnya belum diketahui, yaitu aljabar-CI.

Aljabar-CI adalah himpunan tak kosong dengan sebuah operasi biner dan memenuhi aksioma pada aljabar-CI. Beberapa bagian yang terkain dengan dari aljabar-CI salah satunya yaitu, ideal. Seiring dengan perkembangan zaman, penelitian tentang ideal dari aljabar-CI mulai dipadukan dengan konsep lain, salah satunya adalah konsep himpunan fuzzy.

Pada tahun 1965, Prof. Lotfi A. Zadeh memperkenalkan konsep himpunan fuzzy, yaitu perluasan dari himpunan klasik. Jika himpunan klasik mempunyai derajat keanggotaan 0 dan 1, lain halnya dengan himpunan fuzzy. Himpunan fuzzy mempunyai derajat keanggotaan yang terletak pada interval >rás?_.

Gagasan ideal fuzzy pada aljabar-CI diperkenalkan oleh Samy AM. Mostafa, Mokthar Ac. Abdel Naby, dan Osama R.Elgedy. Misal # himpunan fuzzy pada aljabar-CI, # disebut ideal fuzzy jika untuk setiap TáUáV Ð_:

memenuhi äº:TÛU;Räº:U; dan läº@kTÛ:UÛV;oÛ

VAp R•‹•<äº:T;áTäº:U;=. Para peneliti

mengembangkan konsep fuzzy yang dipadukan dalam berbagai teori, salah satunya gagasan fuzzy subgrup dan

anti fuzzy subgrup diperkenalkan oleh R. Biswas. Berdasarkan gagasan R. Biswas dapat dimodifikasi untuk diterapkan pada konsep ideal dari aljabar-CI.

Ideal anti fuzzy pada aljabar-CI diperkenalkan oleh Pulak Sabhapandit, dan Biman Ch. Chetia. Misal #

himpunan fuzzy pada aljabar-CI, # disebut ideal anti fuzzy jika untuk setiap TáUáV Ð: memenuhi äº:TÛ

U;Qäº:U; dan läº@kTÛ:UÛV;oÛVAp Q

•ƒš<_äº:_T;áäº:U;=. Ideal anti fuzzy pada aljabar-CI

memiliki banyak sifat-sifat yang terkait, seperti homomorfisme, hasil kali kartesius dan seterusnya. Pada jurnal ini akan dibahas lebih lanjut tentang ideal anti fuzzy pada aljabar-CI, yaitu sifat-sifat dan karakteristik yang terkait dengan ideal anti fuzzy pada aljabar-CI.

LANDASAN TEORI

A. Operasi Biner

Definisi 2.1

Misalkan

(

(

M

Î

6

Û

6

₎

adalah fungsi dari

)

H

)

\

)

(Joseph A. Gallian, 2010 : 40)

B. Operasi Uner

Definisi 2.2

Fungsi dari ) \_{) disebut operasi uner.}

(Ana Sokolova, 2013 : 1)

C. Grup

Definisi 2.3

Suatu grup :)áÛ; adalah pasangan terurut dengan

)MÎ dan operasi biner Û sebagai berikut:

1. a * (b * c) = (a * b) * c, untuk semua

=á>á?Ð)

2. Ada A Ð) Ó a * e = e * a = a, untuk semua

=Ð). Elemen e ini disebut elemen identitas.

3. Ada =?5_{Ð) Óa * a}-1 _{= a}-1 _{* a = e, untuk}

semua =Ð). Elemen a-1 _{disebut elemen}

invers dari a.

(Herstein, 1995 : 40)

D. Homomorfisma Grup

Definisi 2.4

Pemetaan î dari suatu grup :)áÛ; ke grup :)ñáç;

dikatakan homomorfisme jika î:GÛH;L î:G;ç î:H; untuk semua GáHÐ).

(Joseph A. Gallian, 2010:200

)

E. Endomorfisme Grup

Definisi 2.5

Homomorfisme suatu grup ke grup yang sama dinamakan endomorfisme.

(Joseph A. Gallian, 2010:200

)

Definisi 2.6

Misalkan homomorfisme î dari ) ke )ñ dengan identitas A didefinisikan kernel î adalah <TÐ ) î:T;LA=. Kernel î dinotasikan dengan -ANî. (Joseph A. Gallian, 2010:200)

Definisi 2.8

Misal ( dan * adalah himpunan fuzzy pada semesta :. # dikatakan irisan $ jika dan hanya jika, didefinisikan sebagai berikut:

(ê*L [kTáä¿êÁ:T;o ä¿êÁL

IEJkä¿:T;á*:T;o_

(Zimmerman, 1996:16)

Definisi 2.9

Misal ( dan * adalah himpunan fuzzy pada semesta :. ( dikatakan gabungan * jika dan hanya jika, didefinisikan sebagai berikut:

(ë*L [kTáä¿ëÁ:T;o @AJC=J ä¿ëÁ:T;L

I=Tkä¿:T;áäÁ:T;o_

(Zimmerman, 1996:17)

Definisi 2.10

Misalkan # himpunan fuzzy pada semesta :. #

dikatakan komplemen jika dan hanya jika, didefinisikan sebagai berikut :

#ÖL [k_Táä

ºÎ:T;o äºÎ:T;LsFäº:T;_

Komplemen himpunan fuzzy # dinotasikan dengan

#Ö_.

(Zimmerman, 1996:17)

Definisi 2.11

Hasil kali kartesius himpunan fuzzy didefinisikan sebagai berikut :

Misalkan #5á#6á å á#á merupakan himpunan fuzzy

yang berturut-turut pada :5á:6á å á:á. Hasil kali

kartesius himpunan fuzzy #5H#6HåH#á

didefinisikan sebagai berikut:

#5H#6HåH#á LDkTáä_:º-Hº.HåHºÙ;o ä:º-Hº.HåHºÙ;:T; LIEJ[äºÔ:TÜ; TL:T5áT6á å áTá;áTÜÐ:Ü_E (Zimmerman, 1996:28) PEMBAHASAN A. Aljabar-CI Definisi 3.1

Aljabar-CI ::áÛás; _{adalah suatu himpunan tak}

kosong :á dengan operasi biner 6Û6 _{dan elemen}

khusus 1 yang memenuhi aksioma sebagai berikut: (i) LÛLLs_{, untuk semua L}Ð:

(ii) sÛLLL, untuk semua LÐ:

(iii) LÛ:MÛN;LMÛ:LÛN;, untuk semua

LäMäNÐ:

Selanjutnya, jika LäMÐ::áÛás; _{maka kita tulis L}Q M jika LÛMLs

(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 1)

Contoh 3.1

Misalkan :L<sá=á>á?á@ár= _{dengan operasi} Û

didefinisikan sebagai berikut:

Û Ú ‡ ˆ ‰ Š Ù Ú s _{= > ? @} r ‡ s s _{= ? ? @} ˆ s s s _{? ? ?} ‰ s _{= >} s _{= >} Š s s ₌ s s ₌ Ù s s s s s s

: adalah aljabar-CI. Karena : memenuhi semua aksioma pada aljabar-CI.

Lemma 3.1

Jika ::áÛás; _{aljabar-CI, maka L}Ûk:LÛM;ÛMo L s _{untuk semua T}áUÐ:.

(Sabhapandit da n Ch. Chetia, 2016 : 135)

Lemma 3.2

Jika ::áÛás; _{aljabar-CI, maka} :_TÛU;Û=sL :TÛ=s;Û:UÛ=s; _{untuk semua T}áUÐ:.

(Sabhapandit dan Ch. Chetia, 2016 : 135)

Definisi 3.2

Suatu aljabar-CI ::áÛás; _{bersifat transitif, jika} :MÛN;Ûk:LÛM;Û:LÛN;o Ls _{untuk semua} LáMáN ó :

(Mostafa, Naby, dan Elgendy, 2011 : 485)

Definisi 3.3

Suatu aljabar-CI ::áÛás; _{bersifat komutatif, jika} :LÛM;ÛML:MÛL;ÛL untuk semua LäMó :

(Borumand dan Rezaei, 2012 : 16)

Definisi 3.4

Suatu aljabar-CI ::áÛás; _{bersifat distributif diri jika} LÛ:MÛN;L:LÛM;Û:LÛN; untuk semua

LáMáN ó :.

(Mostafa, Naby, dan Elgendy, 2011 : 485)

B. Ideal Pada Aljabar-CI Definisi 3.5

Suatu subhimpunan tak kosong + pada aljabar-CI

::áÛás; _{disebut ideal pada :,} ÊLÐ:dan GáHÐ+

memenuhi : (i) LÛGÐ+.

(ii)kGÛ:HÛL;oÛLÐ+

(Sabhapandit dan Ch. Chetia, 2016 : 135)

Contoh 3.5

Misalkan :L<sá=á>á?á@ár= _{dengan operasi} Û

didefinisikan sebagai berikut:

Û Ú ‡ ˆ ‰ Š Ù Ú s _{= > ? @} r ‡ s s _{= ? ? @} ˆ s s s _{? ? ?} ‰ s _{= >} s _{= >} Š s s ₌ s s ₌ Ù s s s s s s

: adalah aljabar-CI. Karena : memenuhi semua aksioma pada aljabar-CI.

Lemma 3.3

Jika ::áÛás; _{aljabar-CI. Maka berlaku:}

(i) Setiap ideal dari ::áÛás; _{aljabar-CI memuat 1} I

II

I

(ii)Jika + adalah ideal dari ::áÛás;_{, maka} :_GÛL;Û LÐ+, untuk semua =Ð+ dan LÐ:.

C. Ideal Fuzzy Dan Ideal Anti Fuzzy pada Aljabar-CI Definisi 3.6

Misalkan # merupakan himpunan fuzzy pada aljabar-CI ::áÛás;_{. Maka} # disebut ideal fuzzy jika

Ê LäMäN Ð: berlaku kondisi : (i) äº:LÛM;Räº:M;

(ii)läº@kLÛ:MÛN;oÛNAp R•‹•<äº:L;áäº:M;=

(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2)

Definisi 3.7

Misalkan # merupakan himpunan fuzzy pada aljabar-CI ::áÛás;_{. Maka # disebut ideal anti fuzzy}

jika untuk setiap LáM Ð: memenuhi kondisi : (i) äº:LÛM;Qäº:M;

(ii)äº@kLÛ:MÛN;oÛNAQ•ƒš<äº:L;áäº:M;=

(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2)

Teorema 3.1

Jika # ideal anti fuzzy pada aljabar-CI ::áÛás;_,

maka äº:s;Qäº:T;, untuk setiap TÐ:.

(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2)

Teorema 3.2

Jika # ideal anti fuzzy pada aljabar-CI ::áÛás;_,

maka äºk:LÛM;ÛMo Qäº:L;, untuk setiap LäMÐ

:.

(Priya, dan Ramachandran, 2012 : 3) Bukti: äºk:LÛM;ÛMo Läº@kLÛ:sÛM;oÛMA QI=T<äº:L;áäº:s;= Qäº:L; Definisi 3.8

Suatu subhimpunan tak kosong +?: pada aljabar-CI ::áÛás; _{disebut subaljabar dari :, jika T}Û_UÐ_+,

untuk setiap TáUÐ+.

(Mostafa, Naby, dan Elgendy, 2011 : 485)

D. Subaljabar fuzzy dan Subaljabar Anti Fuzzy pada Aljabar-CI

Definisi 3.9

Misalkan # merupakan himpunan fuzzy pada aljabar-CI ::áÛás;_{. Maka # disebut subaljabar}

fuzzy :, jika äº:LÛM;RIEJ<äº:L;á=äº:M;=.

Untuk semua LáM Ð:.

(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2)

Definisi 3.10

Misalkan # merupakan himpunan fuzzy pada aljabar-CI ::áÛás;_{. Maka # disebut subaljabar anti}

fuzzy :, jika äº:TÛU;QI=T<äº:T;áäº:U;=

untuk semua TáU Ð:.

(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2)

Teorema 3.3

Misalkan # merupakan himpunan fuzzy pada aljabar-CI ::áÛás;_{. Maka setiap subaljabar anti}

fuzzy : selalu memenuhi ideal anti fuzzy pada :. (Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2)

Definisi 3.12

Misalkan # merupakan himpunan fuzzy pada aljabar-CI ::áÛás;_{. Subhimpunan level pada}

himpunan fuzzy # adalah himpunan

äºçL<TÐ: äº:T;QP=

(R.Biswas, 1990 : 121)

Teorema 3.4

Misal #L [kTáäº:T;oâTÐ:_ merupakan

himpunan fuzzy pada aljabar-CI ::áÛás;_{. Jika äº}ç

merupakan subaljabar anti fuzzy untuk setiap PÐ >rás?_{, maka äº}ç _{memenuhi salah satu dari ä}

ºçLÎ

atau äºç subaljabar ::áÛás;.

(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2) Bukti:

Misalkan äº merupakan subaljabar anti fuzzy pada

: dan äºMÎ.

Misal LáMÐäºç berdasarkan definisi 3.11 berlaku :

äº:L;QP

Maka,

äº:M;QP

Untuk LÛMÐäºç berlaku:

Karena äº merupakan subaljabar anti fuzzy, maka

untuk setiap TáUÐäº berlaku :

äº:LÛM;QI=T<äº:L;áäº:M;=

Diperoleh äº:LÛM;QI=T<äº:L;áäº:M;=QP

dengan LÛMÐäºç, dan äºç subaljabar

Jadi äºç subaljabar anti fuzzy pada aljabar-CI

E. Homomorfisme dan Anti Homomorfisme Pada Aljabar-CI

Definisi 3.13

Misalkan ::áÛás; _dan :_;á¿ásñ; _merupakan

aljabar-CI. Suatu pemetaan Bã:\; disebut homomorfisme, jika B:LÛM;LB:L;¿_B:_M; _untuk

semua LáMÐ_:.

(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 3)

Definisi 3.14

Misalkan ::áÛás; _dan :_;á¿ásñ; _merupakan

aljabar-CI. Suatu pemetaan Bã:\; disebut anti homomorfisme, B:LÛ_M;L_B:_L;¿_B:_M; _untuk

semua LáMÐ:.

(selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 3)

Definisi 3.15

Misalkan : aljabar-CI Bã:\: merupakan homomorfisme dan # merupakan himpunan fuzzy pada :. Didefinisikan suatu himpunan fuzzy baru pada : yaitu äÙ dengan äÙ:T;LäºkB:T;o untuk

semua T pada :ä

(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 3)

Teorema 3.5

Misalkan :ã aljabar-CI Bã:\: merupakan endomorfisme. Jika # ideal anti fuzzy pada :, maka äÙ ideal anti fuzzy pada :.

(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2) Bukti:

Misalkan LáMáNÐ:, B homomorfisme, dan # ideal anti fuzzy pada : maka berlaku :

(i) äº:LÛM;Qäº:M; äÙ:LÛM;LäkB:LÛM;o äÙ:TÛU;LäkB:L;ÛB:M;o äÙ:TÛU; QäkB:M;o LäÙ:M; Jadi äÙ:LÛM;QäkB:M;o (ii) ä_Ù@kLÛ:MÛN;oÛNA LälB@kLÛ:MÛN;oÛNAp Lä@BkLÛ:MÛM;o¹B:M;A Lä@kB:L;¹B:MÛN;o¹B:N;A Läl@B:L;¹kB:M;¹B:N;oA¹B:N;p Karena # ideal anti fuzzy pada :,

älB@kLÛ:MÛN;oÛNAp

Q•ƒšD_äl@B:L;¹kB:M;¹B:N;oA¹B:N;pE

Q•ƒš[_äk_B:_L;oáäkB:M;o_

Sehingga, äÙ@kLÛ:MÛN;oÛNAQ

•ƒš[_äk_B:_L;oáäkB:M;o_

Jadi, äÙ ideal anti fuzzy pada :.

Teorema 3.6

Misalkan Bã:\; epimorfisme pada aljabar-CI :. Jika äÙ ideal anti fuzzy pada :, maka # ideal anti

fuzzy pada ;.

(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2) Bukti :

Misalkan UÐ;, makaTÐ:B sehingga B:T;LU Misalkan U5áU6áU7Ð;

(i) Karena #ideal anti fuzzy pada :, sehingga

äº:U5ÛU6;Qäº:U6; äÙ:U5¿U6;LäkB:T5¿T6;o äÙ:TÛU; LäkB:T5;ÛB:T6;o äÙ:TÛU; QäkB:T6;o LäkB:U6;o LäÙ:U6; Jadi äÙ:U5¹U6;QäkB:U6;o (ii) äÙ@kU5¹:U6¹U7;o¹U7A LälB@kT5¹:=T6¹T7;o¹T7Ap Lä@BkT5¹:=T6¹T7;oÛB:T7;A Lä@kB:T5;ÛB:=T6¹T7;oÛB:T7;A Läl@B:T5;ÛkB:=T6;ÛB:T7;oAÛB:T7;p

Karena # ideal anti fuzzy pada ;,

älB@kT5¹:T6¹V;o¹T7Ap

Q•ƒšD_äl@_B:_T5;ÛkB:T6;ÛB:T7;oAÛ

B:T7;pE

L•ƒš[_äk_B:_T5;oáäkB:T6;o_

L•ƒš[_äk_B:_U5;oáäkB:U6;o_

Sehingga, äÙ@kU5¿:U6¿U7;o¿U7AQ

•ƒš[_äk_B:_U5;oáäkB:U6;o_

Jadi, # ideal anti fuzzy pada ;

Teorema 3.7

Misalkan Bã:\_{; homomorfisme pada aljabar-CI} :. Jika # ideal anti fuzzy pada ;, maka äÙ ideal

anti fuzzy pada :.

(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 3) Bukti :

Misalkan LáMáNÐ:, B homomorfisme, karena #

ideal anti fuzzy pada ; maka berlaku : (i) äº:LÛM;Qäº:M; berdasarkan definisi 3.14 äÙ:L;LäkB:L;o äÙ:LÛM;LäkB:LÛM;o äÙ:TÛU;LäkB:L;¹B:M;o äÙ:TÛU;QäkB:M;o LäÙ:M; Jadi äÙ:LÛM;QäkB:M;o (ii) äÙ@kLÛ:MÛN;oÛNA LälB@kLÛ:MÛN;oÛNAp LäkBkLÛ:MÛN;o¹_B:_N;o Lä@kB:L;¹_B:_MÛN;o¹_B:_N;A L äl@B:L;¹k_B:_M;¹_B:_N;oA¹_B:_N;p

Karena # ideal anti fuzzy pada ;,

älB@kLÛ:MÛN;oÛNAp Q •ƒšDäl@B:L;¹kB:M;¹B:N;oA¹B:N;pE L•ƒš[_äk_B:_L;oáäkB:M;o_ Q•ƒš[_äk_B:_L;oáäkB:M;o_ Jadi äÙ@kLÛ:MÛN;oÛNAQ •ƒš[_äk_B:_L;oáäkB:M;o_

Maka äÙ ideal anti fuzzy pada :

Lemma 3.4

Suatu subhimpunan tak kosong +?_{: pada} aljabar-CI ::áÛás;_{. Jika + ideal maka memenuhi} sÐ+ dan

:TÛ:UÛV;Ð+:TÛVÐ+; untuk semua TáVÐ : dan UÐ+

Teorema 3.8

Misalkan ::áÛás; _dan :_;á¿ásñ; _{aljabar-CI dan} Bã:\; homomorfisme pada aljabar-CI. Maka

-AN:B; merupakan ideal

(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2) Bukti :

Misalkan LÛ:MÛN;Ð-AN:B; dan UÐ-AN:B;

Maka BkLÛ:MÛN;o Lsñ _{dan B}:_U;Lsñ sñL_Bk_LÛ:MÛN;o sñL_B:_L;¿_B:_MÛN; sñL_B:_L;¿ks¿_B:_N;o sñL_B:_L;¿_B:_N; sñL_B:_LÛN; Sehingga TÛVЕ‡”:_B;

Maka •‡”:_B; _{merupakan ideal}

F. Hasil Kali Kartesius pada Ideal Anti Fuzzy dari Aljabar-CI

Definisi 3.16

Misalkan # dan $ merupakan ideal fuzzy pada :. Hasil kali kartesius #ê_$ã:ê_:\>rás?

didefinisikan dengan :#ê_$;:_LáM;Lmin

<äº:L;áä»:M;=, untuk semua LáMÐ:.

(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 4)

Definisi 3.17

Misalkan # dan $ merupakan ideal anti fuzzy pada

:. Hasil kali kartesius #ê_$ã:ê_:\>rás?

didefinisikan dengan :#ê$;:LáM;Lmax

<äº:L;áä»:M;=, untuk semua LáMÐ:.

(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 4)

Teorema 3.9

Jika # dan $ ideal anti fuzzy pada aljabar-CI :, maka #ê$ ideal anti fuzzy pada :ê:.

(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 4)

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan di atas terdapat beberapa teorema yang berkaitan dan sudah dibuktikan adalah:

1. Misalkan # merupakan himpunan fuzzy pada aljabar-CI ::áÛás;_{. Maka setiap}

subaljabar anti fuzzy : selalu memenuhi ideal anti fuzzy pada :.

2. Misalkan :ã aljabar-CI Bã:\:

merupakan endomorfisme. Jika # ideal anti fuzzy pada :, maka äÙ ideal anti fuzzy pada

:.

3. Misalkan Bã:\; homomorfisme pada aljabar-CI :. Jika # ideal anti fuzzy pada ;, maka äÙ ideal anti fuzzy pada :.

4. Misalkan ::áÛás; _dan :_;á¿ásñ; _aljabar-CI

dan Bã:\_{; homomorfisme pada}

aljabar-CI. Maka -AN:B; merupakan ideal

5. Jika # dan $ ideal anti fuzzy pada aljabar-CI

:, maka #ê$ ideal anti fuzzy pada :ê:.

B. Saran

Pada jurnal ini hanya membahas tentang sifat-sifat karakteristik ideal anti fuzzy pada aljabar-CI. Penulis menyarankan bagi pembaca untuk mengkaji lebih dalam tentang ideal anti fuzzy pada aljabar-CI..

DAFTAR PUSTAKA

%LVZDV 5 ³)X]]\ 6XEJURXSV DQG $QWL )X]]\

6XEJURXSV´ Fuzzy Set and System. Vol.35 : hal.

121-124.

Gallian, Joseph A. 2010. Cotemporary Abstract Algebra. Seventh Edition. Duluth: University of Minnesota Duluth.

Herstein, I.N. 1995. Abstract Algebra. Third Edition. USA: Prentice-HAll, Inc.

Mostafa, Samy M, Mokhtar A. Abdel Naby dan Osama

5 (OJHQG\ ³)X]]\ ,GHDO 2Q &,-DOJHEUDV´

Journal of American Science. Vol.7 : hal. 485-488.

6DEKDQDSDQGLW 3XODN GDQ %LPDQ &K &KHWLD ³&,

-DOJHEUDV DQG LWV )X]]\ ,GHDO´ International

Journal of Mathematics Trends and Technology. Vol 33 (2): hal. 135-141.

6DHLG $ %RUXPDQG GDQ $ 5H]DHL ³4XRWLHQW &,

-DOJHEUDV´ Bulletin of The Transilvania

University of Brasov . Vol 54 (5): hal. 15-22. Selvam, P. M. Sithar, T. Priya, dan T. Ramachandran.

³$QWL )X]]\ VXEDOJHEUD DQG

Homomorphism of CI-DOJHEUDV´ International Journal of Engineering Research and Technology. Vol. 1 (5) : hal. 1-6.

Sokolova, Ana. 2013. Algebraic Structure, (online). (http://cs.unisalzburg.at/~anas/teaching/FormaleS

ysteme2015/Algebraicstructure.pdf. Diakses tanggal 28 Desember 2016).

7 3UL\D GDQ 7 5DPDFKDQGUDQ ³$QWL )X]]\

Ideals of CI-DOJHEUDV DQG LWV ORZHU OHYHO FXWV´ International Journal of Mathematical Archive. Vol. 3 (7) : hal. 2524-2529.

Zimmerman. 1996. )X]]\ 6HW 7KHRU\ DQG LW¶V Application. Third Edition. Bostom: Kluwer Academic.