Jurnal Ilmiah Matematika
Volume 2 No.6 Tahun 2017
ISSN 2301-9115
IDEAL ANTI FUZZY PADA ALJABAR_CI
Siti Nur Laili
(S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya)
Email : sitinurlaily57@gmail.com
Raden Sulaiman
(Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya)
Email : sulaimanraden@yahoo.com
Abstrak
Struktur aljabar merupakan himpunan yang tak kosong dengan satu atau lebih operasi dan memenuhi aksioma± aksioma yang berlaku. Pulak Sabhanpandit dan Biman Ch.Chetia memperkenalkan ideal anti fuzzy dalam aljabar-CI. Aljabar-CI merupakan suatu himpunan tak kosong :, elemen khusus 1 dan operasi biner Û memenuhi aksioma : (i) TÛTLs, (ii)sÛTLT, (iii) TÛ:UÛV;LUÛ:TÛV;, untuk semua TáUáVÐ:. Misal # himpunan fuzzy pada aljabar-CI, # disebut ideal anti fuzzy jika untuk setiap TáUáV Ð : memenuhi äº:TÛU;Qäº:U; dan läº@kTÛ:UÛV;oÛVAp Q•ƒš<äº:T;áäº:U;=. Hasil penelitian
menjelaskan konsep dan struktur yang terkait dari ideal anti fuzzy pada aljabar-CI.
Kata Kunci: Aljabar-CI, ideal anti fuzzy, homomorfisme, hasil kali kartesius
Abstract
The structure of algebra is a non empty set with one or more operations and satisfy axioms. Pulak Sabhanpandit and Biman Ch.Chetia introduced anti fuzzy ideals in CI-algebras. CI-algebra is a non empty set of :, a fixed element 1 and a binary operation Û satisfies axioms : (i) TÛTLs, (ii) sÛTLT, (iii) TÛ:UÛV;LUÛ:TÛV;, for all TáUáVÐ:. Let # fuzzy set of kcI-algebra :, # is called an anti fuzzy ideasl of : if äº:TÛU;Qäº:U;
and läº@kTÛ:UÛV;oÛVAp Q•ƒš<äº:T;áäº:U;= for every TáUáVÐ:. The research results explain the
concept and associated structure of anti fuzzy ideal in CI-algebra.
Keywords: CI-algebra, anti fuzzy ideal, homomorphism, cartesian product
PENDAHULUAN
Struktur aljabar merupakan himpunan yang tak kosong dengan satu atau lebih operasi dan memenuhi aksioma± aksioma yang berlaku. Materi dari struktur aljabar yaitu grup dan ring. Namun, terdapat contoh lain dari struktur aljabar yang umumnya belum diketahui, yaitu aljabar-CI.
Aljabar-CI adalah himpunan tak kosong dengan sebuah operasi biner dan memenuhi aksioma pada aljabar-CI. Beberapa bagian yang terkain dengan dari aljabar-CI salah satunya yaitu, ideal. Seiring dengan perkembangan zaman, penelitian tentang ideal dari aljabar-CI mulai dipadukan dengan konsep lain, salah satunya adalah konsep himpunan fuzzy.
Pada tahun 1965, Prof. Lotfi A. Zadeh memperkenalkan konsep himpunan fuzzy, yaitu perluasan dari himpunan klasik. Jika himpunan klasik mempunyai derajat keanggotaan 0 dan 1, lain halnya dengan himpunan fuzzy. Himpunan fuzzy mempunyai derajat keanggotaan yang terletak pada interval >rás?.
Gagasan ideal fuzzy pada aljabar-CI diperkenalkan oleh Samy AM. Mostafa, Mokthar Ac. Abdel Naby, dan Osama R.Elgedy. Misal # himpunan fuzzy pada aljabar-CI, # disebut ideal fuzzy jika untuk setiap TáUáV Ð:
memenuhi äº:TÛU;Räº:U; dan läº@kTÛ:UÛV;oÛ
VAp R•‹•<äº:T;áTäº:U;=. Para peneliti
mengembangkan konsep fuzzy yang dipadukan dalam berbagai teori, salah satunya gagasan fuzzy subgrup dan
anti fuzzy subgrup diperkenalkan oleh R. Biswas. Berdasarkan gagasan R. Biswas dapat dimodifikasi untuk diterapkan pada konsep ideal dari aljabar-CI.
Ideal anti fuzzy pada aljabar-CI diperkenalkan oleh Pulak Sabhapandit, dan Biman Ch. Chetia. Misal #
himpunan fuzzy pada aljabar-CI, # disebut ideal anti fuzzy jika untuk setiap TáUáV Ð: memenuhi äº:TÛ
U;Qäº:U; dan läº@kTÛ:UÛV;oÛVAp Q
•ƒš<äº:T;áäº:U;=. Ideal anti fuzzy pada aljabar-CI
memiliki banyak sifat-sifat yang terkait, seperti homomorfisme, hasil kali kartesius dan seterusnya. Pada jurnal ini akan dibahas lebih lanjut tentang ideal anti fuzzy pada aljabar-CI, yaitu sifat-sifat dan karakteristik yang terkait dengan ideal anti fuzzy pada aljabar-CI.
LANDASAN TEORI
A. Operasi Biner
Definisi 2.1
Misalkan
(
adalah(
M
Î
. Operasi biner6
Û
6
di)
adalah fungsi dari
)
H
)
\
)
.(Joseph A. Gallian, 2010 : 40)
B. Operasi Uner
Definisi 2.2
Fungsi dari ) \) disebut operasi uner.
(Ana Sokolova, 2013 : 1)
C. Grup
Definisi 2.3
Suatu grup :)áÛ; adalah pasangan terurut dengan
)MÎ dan operasi biner Û sebagai berikut:
1. a * (b * c) = (a * b) * c, untuk semua
=á>á?Ð)
2. Ada A Ð) Ó a * e = e * a = a, untuk semua
=Ð). Elemen e ini disebut elemen identitas.
3. Ada =?5Ð) Óa * a-1 = a-1 * a = e, untuk
semua =Ð). Elemen a-1 disebut elemen
invers dari a.
(Herstein, 1995 : 40)
D. Homomorfisma Grup
Definisi 2.4
Pemetaan î dari suatu grup :)áÛ; ke grup :)ñáç;
dikatakan homomorfisme jika î:GÛH;L î:G;ç î:H; untuk semua GáHÐ).
(Joseph A. Gallian, 2010:200
)
E. Endomorfisme Grup
Definisi 2.5
Homomorfisme suatu grup ke grup yang sama dinamakan endomorfisme.
(Joseph A. Gallian, 2010:200
)
F. Kernel HomomorfismeDefinisi 2.6
Misalkan homomorfisme î dari ) ke )ñ dengan identitas A didefinisikan kernel î adalah <TÐ ) î:T;LA=. Kernel î dinotasikan dengan -ANî. (Joseph A. Gallian, 2010:200)
Definisi 2.8
Misal ( dan * adalah himpunan fuzzy pada semesta :. # dikatakan irisan $ jika dan hanya jika, didefinisikan sebagai berikut:
(ê*L [kTáä¿êÁ:T;o ä¿êÁL
IEJkä¿:T;á*:T;o_
(Zimmerman, 1996:16)
Definisi 2.9
Misal ( dan * adalah himpunan fuzzy pada semesta :. ( dikatakan gabungan * jika dan hanya jika, didefinisikan sebagai berikut:
(ë*L [kTáä¿ëÁ:T;o @AJC=J ä¿ëÁ:T;L
I=Tkä¿:T;áäÁ:T;o_
(Zimmerman, 1996:17)
Definisi 2.10
Misalkan # himpunan fuzzy pada semesta :. #
dikatakan komplemen jika dan hanya jika, didefinisikan sebagai berikut :
#ÖL [kTáä
ºÎ:T;o äºÎ:T;LsFäº:T;_
Komplemen himpunan fuzzy # dinotasikan dengan
#Ö.
(Zimmerman, 1996:17)
Definisi 2.11
Hasil kali kartesius himpunan fuzzy didefinisikan sebagai berikut :
Misalkan #5á#6á å á#á merupakan himpunan fuzzy
yang berturut-turut pada :5á:6á å á:á. Hasil kali
kartesius himpunan fuzzy #5H#6HåH#á
didefinisikan sebagai berikut:
#5H#6HåH#á LDkTáä:º-Hº.HåHºÙ;o ä:º-Hº.HåHºÙ;:T; LIEJ[äºÔ:TÜ; TL:T5áT6á å áTá;áTÜÐ:Ü_E (Zimmerman, 1996:28) PEMBAHASAN A. Aljabar-CI Definisi 3.1
Aljabar-CI ::áÛás; adalah suatu himpunan tak
kosong :á dengan operasi biner 6Û6 dan elemen
khusus 1 yang memenuhi aksioma sebagai berikut: (i) LÛLLs, untuk semua LÐ:
(ii) sÛLLL, untuk semua LÐ:
(iii) LÛ:MÛN;LMÛ:LÛN;, untuk semua
LäMäNÐ:
Selanjutnya, jika LäMÐ::áÛás; maka kita tulis LQ M jika LÛMLs
(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 1)
Contoh 3.1
Misalkan :L<sá=á>á?á@ár= dengan operasi Û
didefinisikan sebagai berikut:
Û Ú ‡ ˆ ‰ Š Ù Ú s = > ? @ r ‡ s s = ? ? @ ˆ s s s ? ? ? ‰ s = > s = > Š s s = s s = Ù s s s s s s
: adalah aljabar-CI. Karena : memenuhi semua aksioma pada aljabar-CI.
Lemma 3.1
Jika ::áÛás; aljabar-CI, maka LÛk:LÛM;ÛMo L s untuk semua TáUÐ:.
(Sabhapandit da n Ch. Chetia, 2016 : 135)
Lemma 3.2
Jika ::áÛás; aljabar-CI, maka :TÛU;Û=sL :TÛ=s;Û:UÛ=s; untuk semua TáUÐ:.
(Sabhapandit dan Ch. Chetia, 2016 : 135)
Definisi 3.2
Suatu aljabar-CI ::áÛás; bersifat transitif, jika :MÛN;Ûk:LÛM;Û:LÛN;o Ls untuk semua LáMáN ó :
(Mostafa, Naby, dan Elgendy, 2011 : 485)
Definisi 3.3
Suatu aljabar-CI ::áÛás; bersifat komutatif, jika :LÛM;ÛML:MÛL;ÛL untuk semua LäMó :
(Borumand dan Rezaei, 2012 : 16)
Definisi 3.4
Suatu aljabar-CI ::áÛás; bersifat distributif diri jika LÛ:MÛN;L:LÛM;Û:LÛN; untuk semua
LáMáN ó :.
(Mostafa, Naby, dan Elgendy, 2011 : 485)
B. Ideal Pada Aljabar-CI Definisi 3.5
Suatu subhimpunan tak kosong + pada aljabar-CI
::áÛás; disebut ideal pada :, ÊLÐ:dan GáHÐ+
memenuhi : (i) LÛGÐ+.
(ii)kGÛ:HÛL;oÛLÐ+
(Sabhapandit dan Ch. Chetia, 2016 : 135)
Contoh 3.5
Misalkan :L<sá=á>á?á@ár= dengan operasi Û
didefinisikan sebagai berikut:
Û Ú ‡ ˆ ‰ Š Ù Ú s = > ? @ r ‡ s s = ? ? @ ˆ s s s ? ? ? ‰ s = > s = > Š s s = s s = Ù s s s s s s
: adalah aljabar-CI. Karena : memenuhi semua aksioma pada aljabar-CI.
Lemma 3.3
Jika ::áÛás; aljabar-CI. Maka berlaku:
(i) Setiap ideal dari ::áÛás; aljabar-CI memuat 1 I
II
I
(ii)Jika + adalah ideal dari ::áÛás;, maka :GÛL;Û LÐ+, untuk semua =Ð+ dan LÐ:.
C. Ideal Fuzzy Dan Ideal Anti Fuzzy pada Aljabar-CI Definisi 3.6
Misalkan # merupakan himpunan fuzzy pada aljabar-CI ::áÛás;. Maka # disebut ideal fuzzy jika
Ê LäMäN Ð: berlaku kondisi : (i) äº:LÛM;Räº:M;
(ii)läº@kLÛ:MÛN;oÛNAp R•‹•<äº:L;áäº:M;=
(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2)
Definisi 3.7
Misalkan # merupakan himpunan fuzzy pada aljabar-CI ::áÛás;. Maka # disebut ideal anti fuzzy
jika untuk setiap LáM Ð: memenuhi kondisi : (i) äº:LÛM;Qäº:M;
(ii)äº@kLÛ:MÛN;oÛNAQ•ƒš<äº:L;áäº:M;=
(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2)
Teorema 3.1
Jika # ideal anti fuzzy pada aljabar-CI ::áÛás;,
maka äº:s;Qäº:T;, untuk setiap TÐ:.
(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2)
Teorema 3.2
Jika # ideal anti fuzzy pada aljabar-CI ::áÛás;,
maka äºk:LÛM;ÛMo Qäº:L;, untuk setiap LäMÐ
:.
(Priya, dan Ramachandran, 2012 : 3) Bukti: äºk:LÛM;ÛMo Läº@kLÛ:sÛM;oÛMA QI=T<äº:L;áäº:s;= Qäº:L; Definisi 3.8
Suatu subhimpunan tak kosong +?: pada aljabar-CI ::áÛás; disebut subaljabar dari :, jika TÛUÐ+,
untuk setiap TáUÐ+.
(Mostafa, Naby, dan Elgendy, 2011 : 485)
D. Subaljabar fuzzy dan Subaljabar Anti Fuzzy pada Aljabar-CI
Definisi 3.9
Misalkan # merupakan himpunan fuzzy pada aljabar-CI ::áÛás;. Maka # disebut subaljabar
fuzzy :, jika äº:LÛM;RIEJ<äº:L;á=äº:M;=.
Untuk semua LáM Ð:.
(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2)
Definisi 3.10
Misalkan # merupakan himpunan fuzzy pada aljabar-CI ::áÛás;. Maka # disebut subaljabar anti
fuzzy :, jika äº:TÛU;QI=T<äº:T;áäº:U;=
untuk semua TáU Ð:.
(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2)
Teorema 3.3
Misalkan # merupakan himpunan fuzzy pada aljabar-CI ::áÛás;. Maka setiap subaljabar anti
fuzzy : selalu memenuhi ideal anti fuzzy pada :. (Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2)
Definisi 3.12
Misalkan # merupakan himpunan fuzzy pada aljabar-CI ::áÛás;. Subhimpunan level pada
himpunan fuzzy # adalah himpunan
äºçL<TÐ: äº:T;QP=
(R.Biswas, 1990 : 121)
Teorema 3.4
Misal #L [kTáäº:T;oâTÐ:_ merupakan
himpunan fuzzy pada aljabar-CI ::áÛás;. Jika äºç
merupakan subaljabar anti fuzzy untuk setiap PÐ >rás?, maka äºç memenuhi salah satu dari ä
ºçLÎ
atau äºç subaljabar ::áÛás;.
(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2) Bukti:
Misalkan äº merupakan subaljabar anti fuzzy pada
: dan äºMÎ.
Misal LáMÐäºç berdasarkan definisi 3.11 berlaku :
äº:L;QP
Maka,
äº:M;QP
Untuk LÛMÐäºç berlaku:
Karena äº merupakan subaljabar anti fuzzy, maka
untuk setiap TáUÐäº berlaku :
äº:LÛM;QI=T<äº:L;áäº:M;=
Diperoleh äº:LÛM;QI=T<äº:L;áäº:M;=QP
dengan LÛMÐäºç, dan äºç subaljabar
Jadi äºç subaljabar anti fuzzy pada aljabar-CI
E. Homomorfisme dan Anti Homomorfisme Pada Aljabar-CI
Definisi 3.13
Misalkan ::áÛás; dan :;á¿ásñ; merupakan
aljabar-CI. Suatu pemetaan Bã:\; disebut homomorfisme, jika B:LÛM;LB:L;¿B:M; untuk
semua LáMÐ:.
(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 3)
Definisi 3.14
Misalkan ::áÛás; dan :;á¿ásñ; merupakan
aljabar-CI. Suatu pemetaan Bã:\; disebut anti homomorfisme, B:LÛM;LB:L;¿B:M; untuk
semua LáMÐ:.
(selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 3)
Definisi 3.15
Misalkan : aljabar-CI Bã:\: merupakan homomorfisme dan # merupakan himpunan fuzzy pada :. Didefinisikan suatu himpunan fuzzy baru pada : yaitu äÙ dengan äÙ:T;LäºkB:T;o untuk
semua T pada :ä
(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 3)
Teorema 3.5
Misalkan :ã aljabar-CI Bã:\: merupakan endomorfisme. Jika # ideal anti fuzzy pada :, maka äÙ ideal anti fuzzy pada :.
(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2) Bukti:
Misalkan LáMáNÐ:, B homomorfisme, dan # ideal anti fuzzy pada : maka berlaku :
(i) äº:LÛM;Qäº:M; äÙ:LÛM;LäkB:LÛM;o äÙ:TÛU;LäkB:L;ÛB:M;o äÙ:TÛU; QäkB:M;o LäÙ:M; Jadi äÙ:LÛM;QäkB:M;o (ii) äÙ@kLÛ:MÛN;oÛNA LälB@kLÛ:MÛN;oÛNAp Lä@BkLÛ:MÛM;o¹B:M;A Lä@kB:L;¹B:MÛN;o¹B:N;A Läl@B:L;¹kB:M;¹B:N;oA¹B:N;p Karena # ideal anti fuzzy pada :,
älB@kLÛ:MÛN;oÛNAp
Q•ƒšDäl@B:L;¹kB:M;¹B:N;oA¹B:N;pE
Q•ƒš[äkB:L;oáäkB:M;o_
Sehingga, äÙ@kLÛ:MÛN;oÛNAQ
•ƒš[äkB:L;oáäkB:M;o_
Jadi, äÙ ideal anti fuzzy pada :.
Teorema 3.6
Misalkan Bã:\; epimorfisme pada aljabar-CI :. Jika äÙ ideal anti fuzzy pada :, maka # ideal anti
fuzzy pada ;.
(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2) Bukti :
Misalkan UÐ;, makaTÐ:B sehingga B:T;LU Misalkan U5áU6áU7Ð;
(i) Karena #ideal anti fuzzy pada :, sehingga
äº:U5ÛU6;Qäº:U6; äÙ:U5¿U6;LäkB:T5¿T6;o äÙ:TÛU; LäkB:T5;ÛB:T6;o äÙ:TÛU; QäkB:T6;o LäkB:U6;o LäÙ:U6; Jadi äÙ:U5¹U6;QäkB:U6;o (ii) äÙ@kU5¹:U6¹U7;o¹U7A LälB@kT5¹:=T6¹T7;o¹T7Ap Lä@BkT5¹:=T6¹T7;oÛB:T7;A Lä@kB:T5;ÛB:=T6¹T7;oÛB:T7;A Läl@B:T5;ÛkB:=T6;ÛB:T7;oAÛB:T7;p
Karena # ideal anti fuzzy pada ;,
älB@kT5¹:T6¹V;o¹T7Ap
Q•ƒšDäl@B:T5;ÛkB:T6;ÛB:T7;oAÛ
B:T7;pE
L•ƒš[äkB:T5;oáäkB:T6;o_
L•ƒš[äkB:U5;oáäkB:U6;o_
Sehingga, äÙ@kU5¿:U6¿U7;o¿U7AQ
•ƒš[äkB:U5;oáäkB:U6;o_
Jadi, # ideal anti fuzzy pada ;
Teorema 3.7
Misalkan Bã:\; homomorfisme pada aljabar-CI :. Jika # ideal anti fuzzy pada ;, maka äÙ ideal
anti fuzzy pada :.
(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 3) Bukti :
Misalkan LáMáNÐ:, B homomorfisme, karena #
ideal anti fuzzy pada ; maka berlaku : (i) äº:LÛM;Qäº:M; berdasarkan definisi 3.14 äÙ:L;LäkB:L;o äÙ:LÛM;LäkB:LÛM;o äÙ:TÛU;LäkB:L;¹B:M;o äÙ:TÛU;QäkB:M;o LäÙ:M; Jadi äÙ:LÛM;QäkB:M;o (ii) äÙ@kLÛ:MÛN;oÛNA LälB@kLÛ:MÛN;oÛNAp LäkBkLÛ:MÛN;o¹B:N;o Lä@kB:L;¹B:MÛN;o¹B:N;A L äl@B:L;¹kB:M;¹B:N;oA¹B:N;p
Karena # ideal anti fuzzy pada ;,
älB@kLÛ:MÛN;oÛNAp Q •ƒšDäl@B:L;¹kB:M;¹B:N;oA¹B:N;pE L•ƒš[äkB:L;oáäkB:M;o_ Q•ƒš[äkB:L;oáäkB:M;o_ Jadi äÙ@kLÛ:MÛN;oÛNAQ •ƒš[äkB:L;oáäkB:M;o_
Maka äÙ ideal anti fuzzy pada :
Lemma 3.4
Suatu subhimpunan tak kosong +?: pada aljabar-CI ::áÛás;. Jika + ideal maka memenuhi sÐ+ dan
:TÛ:UÛV;Ð+:TÛVÐ+; untuk semua TáVÐ : dan UÐ+
Teorema 3.8
Misalkan ::áÛás; dan :;á¿ásñ; aljabar-CI dan Bã:\; homomorfisme pada aljabar-CI. Maka
-AN:B; merupakan ideal
(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 2) Bukti :
Misalkan LÛ:MÛN;Ð-AN:B; dan UÐ-AN:B;
Maka BkLÛ:MÛN;o Lsñ dan B:U;Lsñ sñLBkLÛ:MÛN;o sñLB:L;¿B:MÛN; sñLB:L;¿ks¿B:N;o sñLB:L;¿B:N; sñLB:LÛN; Sehingga TÛVЕ‡”:B;
Maka •‡”:B; merupakan ideal
F. Hasil Kali Kartesius pada Ideal Anti Fuzzy dari Aljabar-CI
Definisi 3.16
Misalkan # dan $ merupakan ideal fuzzy pada :. Hasil kali kartesius #ê$ã:ê:\>rás?
didefinisikan dengan :#ê$;:LáM;Lmin
<äº:L;áä»:M;=, untuk semua LáMÐ:.
(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 4)
Definisi 3.17
Misalkan # dan $ merupakan ideal anti fuzzy pada
:. Hasil kali kartesius #ê$ã:ê:\>rás?
didefinisikan dengan :#ê$;:LáM;Lmax
<äº:L;áä»:M;=, untuk semua LáMÐ:.
(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 4)
Teorema 3.9
Jika # dan $ ideal anti fuzzy pada aljabar-CI :, maka #ê$ ideal anti fuzzy pada :ê:.
(Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 4)
PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan di atas terdapat beberapa teorema yang berkaitan dan sudah dibuktikan adalah:
1. Misalkan # merupakan himpunan fuzzy pada aljabar-CI ::áÛás;. Maka setiap
subaljabar anti fuzzy : selalu memenuhi ideal anti fuzzy pada :.
2. Misalkan :ã aljabar-CI Bã:\:
merupakan endomorfisme. Jika # ideal anti fuzzy pada :, maka äÙ ideal anti fuzzy pada
:.
3. Misalkan Bã:\; homomorfisme pada aljabar-CI :. Jika # ideal anti fuzzy pada ;, maka äÙ ideal anti fuzzy pada :.
4. Misalkan ::áÛás; dan :;á¿ásñ; aljabar-CI
dan Bã:\; homomorfisme pada
aljabar-CI. Maka -AN:B; merupakan ideal
5. Jika # dan $ ideal anti fuzzy pada aljabar-CI
:, maka #ê$ ideal anti fuzzy pada :ê:.
B. Saran
Pada jurnal ini hanya membahas tentang sifat-sifat karakteristik ideal anti fuzzy pada aljabar-CI. Penulis menyarankan bagi pembaca untuk mengkaji lebih dalam tentang ideal anti fuzzy pada aljabar-CI..
DAFTAR PUSTAKA
%LVZDV 5 ³)X]]\ 6XEJURXSV DQG $QWL )X]]\
6XEJURXSV´ Fuzzy Set and System. Vol.35 : hal.
121-124.
Gallian, Joseph A. 2010. Cotemporary Abstract Algebra. Seventh Edition. Duluth: University of Minnesota Duluth.
Herstein, I.N. 1995. Abstract Algebra. Third Edition. USA: Prentice-HAll, Inc.
Mostafa, Samy M, Mokhtar A. Abdel Naby dan Osama
5 (OJHQG\ ³)X]]\ ,GHDO 2Q &,-DOJHEUDV´
Journal of American Science. Vol.7 : hal. 485-488.
6DEKDQDSDQGLW 3XODN GDQ %LPDQ &K &KHWLD ³&,
-DOJHEUDV DQG LWV )X]]\ ,GHDO´ International
Journal of Mathematics Trends and Technology. Vol 33 (2): hal. 135-141.
6DHLG $ %RUXPDQG GDQ $ 5H]DHL ³4XRWLHQW &,
-DOJHEUDV´ Bulletin of The Transilvania
University of Brasov . Vol 54 (5): hal. 15-22. Selvam, P. M. Sithar, T. Priya, dan T. Ramachandran.
³$QWL )X]]\ VXEDOJHEUD DQG
Homomorphism of CI-DOJHEUDV´ International Journal of Engineering Research and Technology. Vol. 1 (5) : hal. 1-6.
Sokolova, Ana. 2013. Algebraic Structure, (online). (http://cs.unisalzburg.at/~anas/teaching/FormaleS
ysteme2015/Algebraicstructure.pdf. Diakses tanggal 28 Desember 2016).
7 3UL\D GDQ 7 5DPDFKDQGUDQ ³$QWL )X]]\
Ideals of CI-DOJHEUDV DQG LWV ORZHU OHYHO FXWV´ International Journal of Mathematical Archive. Vol. 3 (7) : hal. 2524-2529.
Zimmerman. 1996. )X]]\ 6HW 7KHRU\ DQG LW¶V Application. Third Edition. Bostom: Kluwer Academic.