Física II
Ing. Alejandra Escobar
Circuitos de Corriente Eléctrica
UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICE RECTORADO ACADÉMICO
CORRIENTE ELÉCTRICA
Cuando se establece una diferencia de potencial en los extremos de ciertos materiales conductores, el campo eléctrico resultante origina el movimiento de los electrones libres que se encuentran en él, y se dice que se ha producido una corriente eléctrica.
Por lo tanto se define la corriente eléctrica como el movimiento ordenado y permanente de las cargas (electrones) de un conductor bajo la influencia de un campo eléctrico. Se designa con la letra “𝑖” y su unidad es el amperio “𝐴”.
La equivalencia de la unidad de corriente “Amper” es:
1 𝐴𝑚𝑝𝑒𝑟 (𝐴) = 1𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 (
𝐶 𝑠)
La corriente es la tasa a la cual fluye la carga por la superficie. Si ∆𝑄 es la cantidad de carga que pasa por la sección transversal de la superficie en un intervalo de tiempo ∆𝑡, la corriente promedio 𝐼𝑝𝑟𝑜𝑚, es igual a la carga que pasa por
𝐴 por unidad de tiempo.
𝐼𝑝𝑟𝑜𝑚 =
∆𝑄 ∆𝑡
Si la tasa a la cual fluye la carga varía con el tiempo, la corriente también varía con el tiempo, esto se define como la corriente instantánea. La ecuación por la cual podemos realizar el cálculo de la corriente instantánea es:
𝑖 =𝑑𝑞 𝑑𝑡
Por convención, se ha establecido que la corriente es originada por un movimiento de cargas positivas, por lo tanto fluye en dirección contraria al movimiento de los electrones.
Intensidad de Corriente
Es la cantidad de carga “𝑞” que pasa por una sección del conductor en una unidad de tiempo. Esta definición puede escribirse de forma matemática como:
𝑖 =𝑞 𝑡
Densidad de Corriente
Es la cantidad de corriente que circula por unidad de área o superficie. Si llamamos “𝐽” a la densidad de corriente e “𝐼” a la intensidad de corriente y “𝑆” a la sección transversal podemos escribir la ecuación:
𝑗 = 𝑖
𝐴⇒ 𝑖 = ∫ 𝑖. 𝑑𝐴
RESISTENCIA
La resistencia eléctrica se le llama a la oposición que ofrece un conductor a la circulación de la corriente eléctrica a través de él. También se puede decir que la resistencia es un dispositivo utilizado para controlar la cantidad de corriente que circula por un camino dado. Se designa con la letra “𝑅 “ y su unidad es el ohm "Ω".
El valor de las resistencias depende del material con que se fabriquen y de la forma del elemento final. Para su cálculo se utiliza la siguiente ecuación:
𝑅 =𝜌𝐿 𝐴 =
𝐿 𝜎𝐴
donde 𝜌 es la resistividad o resistencia específica del material, 𝜎 es la conductividad,
𝐿 la longitud que recorrerá la corriente y 𝐴 el área que será atravesada por la corriente.
La resistividad depende de la temperatura. A continuación se muestra una tabla con la resistividad de diversos materiales a una temperatura de 20°𝐶. Si deseamos la resistividad a una temperatura diferente aplicamos la formula:
Material Resistividad (Ohm.m) Temperatura Coeficiente de (°𝑪−𝟏) Cobre 1,7𝑥10−8 3,9𝑥10−3 Plata 1,6𝑥10−8 3,8𝑥10−3 Aluminio 2,8𝑥10−8 3,9𝑥10−3 Hierro 10−7 5𝑥10−3 Mercurio 9,4𝑥10−7 8,9𝑥10−3 Constantán 4,9𝑥10−7 2𝑥10−3 Tungsteno 5,6𝑥10−7 4,5𝑥10−3 Nicromio 1,5𝑥10−7 4𝑥10−4 Níquel 6,8𝑥10−8 6𝑥10−3 Oro 2,44𝑥10−8 3,4𝑥10−3 Platino 11𝑥10−8 3,9𝑥10−3 Acero 18𝑥10−8 3𝑥10−3 Manganina 44𝑥10−8 1𝑥10−5 Carbón 350𝑥10−8 −0,5𝑥10−3 LEY DE OHM
Esta ley establece que la corriente que atraviesa una resistencia es directamente proporcional a la diferencia de potencial en los extremos de la resistencia e inversamente proporciona al valor de la misma. Matemáticamente se expresa como:
𝐼 =𝑉
𝑅 ⇒ 𝑅 = 𝑉
𝐼
Un enunciado equivalente para la ley de ohm nos dice que es la diferencia de potencial en los extremos de un conductor metálico a temperatura constante el cual
es directamente proporcional a la intensidad de la corriente que circula por el conductor.
𝑉 = 𝐼𝑅
Fuerza Electromotriz
Todo circuito requiere de una fuente de energía externa que le permita mover las cargas dentro del mismo, y que a su vez mantenga una diferencia de potencial entre dos puntos. Cualquier dispositivo que realice esta función recibe el nombre de fuente de fuerza electromotriz (fem).
Así, podemos definir la fuerza electromotriz como el trabajo o energía que debe realizar un generador para trasladar la unidad de carga a través de un circuito. La fem se designa con la letra 𝜀 y su unidad es el voltio "𝑉". Matemáticamente se expresa como:
𝜀 =𝑊 𝑞
Aplicando la ley de Ohm y la definición de fuerza electromotriz a un circuito eléctrico podemos decir que, en un circuito eléctrico la fem del generador es directamente proporcional a la intensidad se la corriente del circuito multiplicado por la resistencia total. Su expresión matemática es:
𝜀 = 𝐼𝑅𝑇 ⇒ 𝜀 = 𝐼(𝑅𝑖 + 𝑅𝑒)
Potencia Eléctrica
Es el trabajo que se debe realizar a una carga por unidad de tiempo. Se simboliza por la letra 𝑃 y su unidad es el vatio "𝑊", el cual es equivalente a:
1 𝑊 = 1𝑉. 1𝐴
Matemáticamente se expresa como:
𝑃 = 𝑉. 𝐼 ⇒ 𝑃 = 𝐼2𝑅
Ejercicio
1. Si en los extremos de una batería se coloca una resistencia de 6 Ω se obtiene una corriente de 0,8 𝐴. Si la resistencia es reemplazada por otra de 31 Ω la corriente se reduce a 0,2 𝐴. Calcular la resistencia interna y la fuerza electromotriz.
Para el primer caso con la primera resistencia tenemos que:
𝜀1 = 𝐼1(𝑅𝑖 + 𝑅𝑒1)
Para el segundo caso con la segunda resistencia tenemos que:
𝜀2 = 𝐼2(𝑅𝑖+ 𝑅𝑒2)
Como se trata de la misma batería tanto la fem como la resistencia interna son iguales. Así que igualemos las ecuaciones anteriores.
𝜀1 = 𝜀2 𝐼1(𝑅𝑖+ 𝑅𝑒1) = 𝐼2(𝑅𝑖 + 𝑅𝑒2) 𝑅𝑖 = 𝐼2𝑅𝑒1− 𝐼1𝑅𝑒1 𝐼1− 𝐼2 =0,2 𝐴. 32 Ω − 0,8 A. 6 Ω 0,8 𝐴 − 0,2 𝐴 = 2,67 Ω
Calculemos la fem con cualquier ecuación
CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA Corriente Continua
Cuando se establece un campo eléctrico en un conductor, se establece en él una corriente eléctrica, cuyo sentido convencional es el mismo del campo eléctrico. Si este campo eléctrico permanece constante, también será constante el sentido de la corriente, desplazándose las cargas en un mismo sentido.
De aquí surge lo que denominamos corriente continua, que no es mas que aquella en la cual las cargas eléctricas dentro del conductor se desplazan en un solo sentido. La corriente es suministrada por pilas, como las usadas en linternas y radios, y las baterías de los automóviles.
Circuito Eléctrico
Un circuito eléctrico es un conjunto de elementos indispensables para establecer y mantener una corriente eléctrica con su correspondiente utilización. Generalmente están constituidos por un generador, los receptores y los conductores.
El generador tiene como función mantener la diferencia de potencial entre dos puntos, renovando e impulsando la carga eléctrica al circuito.
Los receptores son los encargados de recibir la energía par luego ser transformada en otras formas de energía. Son receptores las lámparas, timbres, motor, etc.
Los conductores son los encargados de unir el generador con los receptores, transportando la corriente desde el primero hasta el segundo.
Existen diversos tipos de circuitos, en esta oportunidad estudiaremos los circuitos cerrados simples y de los de mayas múltiples, como los que se muestran en la figura.
Combinación o Asociación de Resistencias (serie y paralelo) Resistencias en Serie
Todas las resistencias están unidas por uno de sus extremos y no existe otro elemento conectado en dicha unión. Una conexión en serie de resistencias tiene las siguientes características:
Todas las resistencias son atravesadas por la misma corriente.
La suma de los voltajes de cada resistencia equivale al voltaje en los extremos de la rama. El positivo del voltaje debe estar por el lado donde entra la corriente.
𝑉𝑎𝑏= 𝑉1+ 𝑉2+ 𝑉3
La resistencia equivalente de la rama es:
𝑅𝑎𝑏 = 𝑅1+ 𝑅2+ 𝑅3
Resistencia en Paralelo
Todas las resistencias están unidad entre si por ambos extremos, sin importar que exista otro elemento conectado en dichas uniones. Una conexión en paralelo de resistencias tiene las siguientes características:
Todas las resistencias tienen el mismo voltaje.
La resistencia equivalente de la rama es:
1 𝑅𝑎𝑏 = 1 𝑅1+ 1 𝑅2+ 1 𝑅3
Cuando se tienen solo dos resistencias en paralelo se puede utilizar la relación en la forma:
𝑅𝑎𝑏 = 𝑅1𝑅2 𝑅1+ 𝑅2
Ejercicios:
1. En el siguiente circuito eléctrico se tiene que la pila posee una resistencia interna de 𝑅𝑖 = 0,2 Ω y la diferencial de potencial entre los puntos entre los puntos
𝐶 y 𝐸 es de 2,1 𝑉. Calcular:
a. La corriente que señala el amperímetro.
b. La corriente 𝐼2 e 𝐼3.
c. La fuerza electromotriz del generador.
Calculemos la resistencia externa del circuito, que es la resistencia comprendida entre 𝐶 y 𝐸 o la resistencia equivalente. Para las resistencia 2 y 3 estas se encuentran en paralelo por tanto:
1 𝑅23= 1 𝑅2+ 1 𝑅3 = 𝑅2+ 𝑅3 𝑅2𝑅3 = 6 Ω + 3 Ω 6 Ω. 3 Ω ⇒ 𝑅23 = 2 Ω
La resistencia equivalente entre 2 y 3 se encuentra en serie con la resistencia 1, por lo tanto: 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐼 𝐼2 𝐼3
𝑅𝑒 = 𝑅1+ 𝑅23 = 5 Ω + 2 Ω = 7 Ω
Aplicando la ley de ohm, obtenemos la corriente que marca el amperímetro, la cual es:
𝐼 =𝑉 𝑅 =
2,1 𝑉
7 Ω = 0,3 𝐴
Ahora como los voltajes de dos resistencias es serie se suman, entonces:
𝑉𝑒 = 𝑉1+ 𝑉23⇒ 2,1 𝑉 = (0,3 𝐴. 5 Ω) + 𝑉23 𝑉23= 2,1 𝑉 − (0,3 𝐴. 5 Ω) = 0,6 𝑉
Para las resistencias en paralelo se conoce que los voltajes son iguales al voltaje total, por lo tanto:
𝑉23= 𝑉2 = 𝑉3 = 0,6 𝑉
Calculemos las corrientes 2 y 3 con ayuda de la ley de ohm
𝐼2 = 𝑉2 𝑅2 = 0,6 𝑉 6 Ω = 0,1 𝐴 𝐼3 = 𝑉3 𝑅3 = 0,6 𝑉 3 Ω = 0,2 𝐴 Calculemos la fem 𝜀 = 𝐼(𝑅𝑖+ 𝑅𝑒) = 0,3 𝐴(0,2 Ω + 7 Ω) = 2,16 𝑉
2. Calcular la resistencia equivalente en el circuito mostrado en la figura, donde los valores de las resistencias dados son: 𝑅1 = 15 Ω, 𝑅2 = 15 Ω, 𝑅3 = 5 Ω, 𝑅4 = 9 Ω,
Las resistencias 1, 2 y 3 están en paralelo, por lo tanto: 1 𝑅123 = 1 𝑅1 + 1 𝑅2 + 1 𝑅3 = 1 15 Ω+ 1 15 Ω+ 1 5 Ω⇒ 𝑅123 = 3 Ω
La resistencia 6, 7 y 8 están en paralelo, por lo tanto:
1 𝑅678 = 1 𝑅6+ 1 𝑅7+ 1 𝑅8 = 1 6 Ω+ 1 9 Ω+ 1 18 Ω⇒ 𝑅789= 3 Ω
La resistencia equivalente entre 1, 2 y 3, y la resistencia 4 están en serie, por lo tanto:
𝑅1234= 𝑅123+ 𝑅4 = 3 Ω + 9 Ω = 12 Ω
La resistencia equivalente entre 6, 7 y 8, y las resistencias 5 y 9 están en serie, por lo tanto:
𝑅56789= 𝑅5+ 𝑅678+ 𝑅9 = 2 Ω + 3 Ω + 1 Ω = 6 Ω
La resistencia equivalente entre 1, 2, 3 y 4, y las resistencias 5, 6, 7, 8 y 9 están en paralelo, por lo tanto:
1 𝑅𝑒 = 1 𝑅1234 + 1 𝑅56789 = 1 12 Ω+ 1 6 Ω⇒ 𝑅𝑒 = 4 Ω Reglas de Kirchhoff
Para analizar circuitos más complejos que los serie, paralelo o mixtos, es decir, los circuitos de mallas, la forma de simplificar el trabajo es mediante el uso de dos reglas sencillas conocidas como reglas de Kirchhoff.
Con respecto a los circuitos de mallas múltiples es útil considerar las siguientes definiciones:
Nodo: es un punto en el cual se unen tres o más elementos.
Rama: es un camino por el cual circula una misma corriente y todos los elementos
sobre ellas se encuentran conectados den serie, comienza en un nodo y termina en el siguiente nodo.
Malla: es un camino cerrado formado por varias ramas.
Para el análisis y estudios de los circuitos de mallas múltiples es necesario conocer las leyes de Kirchhoff, las cuales nos enuncian que:
Regla de las corrientes de Kirchhoff
Esta regla establece que la suma de las corrientes que llegan a un nodo debe ser igual a la suma de las corrientes que salen del mismo.
∑ 𝐼𝑒 = ∑ 𝐼𝑠
Regla de los voltejes de Kirchhoff
Esta regla establece que la suma de las diferencias de potenciales producidas por las resistencias es igual a la suma de las fuerzas electromotrices se están presentes.
∑ 𝜀𝑖 = ∑ 𝑉𝑖
La regla de los voltajes de Kirchhoff se pues aplicar desde un punto de vista diferente: si se desea calcular el voltaje entre dos puntos "𝑎" y "𝑏" se puede hacer un recorrido por cualquier camino cerrado, partiendo desde el terminal positivo, y sumar algebraicamente los voltajes que vamos encontrando en el camino hasta llegar al extremo negativo del voltaje que queremos calcular.
Estrategias y sugerencias para resolver problemas:
Dibujar el diagrama del circuito, marcando todas las cantidades conocidas y desconocidas.
Asignar una dirección a las corrientes en cada malla del circuito.
Aplicar la regla de los voltajes de Kirchhoff en cada malla que existe.
Resolver el sistema de ecuaciones obtenido.
Ejercicios
1. En la figura se muestra u circuito eléctrico. Calcular la intensidad de corriente
𝐼1, 𝐼2 e 𝐼3.
Aplicando la ley de los nodos de Kirchhoff en el punto 𝐴, tenemos que:
𝐼1+ 𝐼3 = 𝐼2 ⇒ 𝐼1− 𝐼2+ 𝐼3 = 0 (𝐸𝑐. 1)
Apliquemos la ley de las mallas de Kirchhoff para ambas mallas. Tenemos que:
20𝐼1+ 4𝐼2+ 6𝐼1 = 4 + 5 + 2 ⇒ 26𝐼1+ 4𝐼2 = 11 (𝐸𝑐. 2) 4𝐼2+ 8𝐼3 = 5 + 2 ⇒ 4𝐼2 + 8𝐼3 = 7 (𝐸𝑐. 3)
Con las ecuaciones 1, 2 y 3, planteamos un sistema de ecuaciones y resolvemos para encontrar las corrientes de la siguiente manera:
{ 𝐼1 − 𝐼2+ 𝐼3 = 0 26𝐼1+ 4𝐼2+ 0𝐼3 = 11 0𝐼1+ 4𝐼2+ 8𝐼3 = 7 𝐼1 = 0,3 𝐴, 𝐼2 = 0,8 𝐴, 𝐼3 = 0,5 𝐴 𝐼1 𝐼2 𝐼3 𝐴 𝐵
CIRCUITOS RC
Los circuitos RC son circuitos que están compuestos por una resistencia, fuentes y condensadores. Se caracteriza por que la corriente puede variar con el tiempo. Cuando el tiempo es igual a cero, el condensador está descargado, en el momento que empieza a correr el tiempo, el condensador comienza a cargarse ya que hay una corriente en el circuito, esto es debido a que los condensadores son elementos que almacena energía en forma de voltaje, pero requiere de cierto tiempo para que su voltaje pueda cambiar de un valor a otro. Cuando el condensador se carga completamente, la corriente en el circuito es igual a cero.
Según este circuito y la ley de los voltajes de Kirchhoff, se puede decir que:
𝑉 = (𝐼𝑅) – (𝑞 𝐶)
donde (𝑞
𝐶) es la diferencia de potencial en el condensador. En un tiempo igual a
cero, la corriente será: (cuando el condensador no se ha cargado).
𝐼 =𝑉 𝑅
Cuando el condensador se ha cargado completamente, la corriente es cero y la carga será igual a:
Ya se conoce que las variables dependientes del tiempo serán 𝐼 y 𝑞, y la corriente 𝐼 se sustituye por 𝑑𝑞/𝑑𝑡 (variación de la carga dependiendo de la variación del tiempo): 𝑑𝑞 𝑑𝑡𝑅 = 𝑉 − ( 𝑞 𝐶) ⇒ 𝑑𝑞 𝑑𝑡 = 𝑉 𝑅− ( 𝑞 𝑅𝐶)
Esta es una ecuación diferencial. Se pueden:
𝑑𝑞 𝑑𝑡 = 𝑉𝐶 − 𝑞 𝑅𝐶 Separar variable 𝑑𝑞 𝑉𝐶 − 𝑞= 𝑑𝑡 𝑅𝐶 Al integrar se tiene ln [− (𝑞 − 𝑉𝐶 𝑉𝐶 )] = − 𝑡 𝑅𝐶 Despejando q 𝑞 = 𝐶𝑉 (1 − 𝑒−𝑡 𝑅𝐶⁄ )
Debido a que la diferencia de potencial en el condensador es 𝐼𝑅 = 𝑞/𝐶, la razón de cambio de carga en el condensador determinará la corriente en el circuito, por lo tanto, la ecuación que resulte de la relación entre el cambio de la cantidad de carga dependiendo del cambio en el tiempo y la corriente en el circuito, estará dada remplazando 𝐼 = 𝑑𝑞/𝑑𝑡 en la ecuación de diferencia de potencial en el condensador:
𝑞 = 𝑄𝑒−𝑡 𝑅𝐶⁄
donde 𝑄 es la carga máxima. La corriente en función del tiempo entonces, resultará al derivar esta ecuación respecto al tiempo:
𝐼 = 𝐼0𝑒−𝑡 𝑅𝐶⁄
Cuando un condensador se encuentra en un circuito donde hay resistencias pero no existe fuentes independientes, este se encuentra descargado y el voltaje en
sus terminales es de "0 𝑉". En esta situación el condensador se comporta como un cortocircuito. Cuando un condensador se encuentra en un circuito que contiene fuentes independientes, el condensado se carga y se comporta como un circuito abierto, es decir por su rama no circula corriente.
La corriente que pasa por un condensador si puede variar en forma instantánea. En el momento en que se alteran las condiciones de un circuito RC
(𝑡 = 0+) el condensador mantiene el mismo voltaje de su condición previa (𝑡 = 0+),
aunque ahora si puede circular una corriente a través de él.
La cantidad 𝑅𝐶 que aparece en los exponentes de las ecuaciones, es a lo que se le denomina constante de tiempo 𝜏 del circuito. Esta constante representa el tiempo que tarda en disminuir la corriente hasta 1/ℯ de su valor inicial; esto es, en un tiempo 𝜏𝐼 = ℯ−1𝐼0 = 0,368𝐼0
Análisis de Circuitos RC
1. Hacemos un estudio para el estado (𝑡 = 0−): si en ésta condición el
condensador se encuentra conectado a un circuito que contiene fuentes independientes, el condensador se considera como un circuito abierto.
2. Hacemos un estudio para el estado (𝑡 = 0+): en esta condición el
condensador mantiene en sus extremos el mismo valor del voltaje calculado en la etapa anterior, pero ya no se considera como un circuito abierto ya que puede circular corriente por su rama.
3. Hacemos un estudio para el estado (𝑡 ≫ 0+): aquí consideramos que ya ha
transcurrido el tiempo necesario para el condensador se haya adaptado a su nueva situación. Si el circuito 𝑡 = 0+ contiene fuentes independientes, el condensador se cargará nuevamente y se comportará como un circuito abierto. Al valor del voltaje en esta etapa de le denomina respuesta forzada.
El condensador solo se puede considerar como circuito abierto en las etapas 1 y 3. Si un condensador no se encuentra conectado al circuito (uno de sus extremos sin conexión) el condensador mantendrá el voltaje. Cuando una resistencia se encuentra en paralelo con un cortocircuito, dicha resistencia puede ser eliminada al momento de realizar el estudio ya que no afecta el análisis.
Ejercicios:
1. Un capacitor descargado y una resistencia se conectan en serie a una batería, como se muestra la figura. Si 𝑉 = 12 𝑉, 𝐶 = 5 𝜇𝐹 y 𝑅 = 8𝑥105 Ω, encuentre:
a. La constante de tiempo del circuito.
b. La carga máxima en el capacitor.
c. La corriente máxima en el circuito.
d. La carga y la corriente como función del tiempo. La constante de tiempo es:
𝜏 = 𝑅𝐶 = 8𝑥105 Ω ∗ 5𝑥10−6 𝐹 = 4 𝑠
La carga máxima en el capacitor se da cuando la corriente es cero, por ende:
𝑄 = 𝐶𝑉 = 5𝑥10−6 𝐹 ∗ 12 𝑉 = 60𝑥10−6 𝐶
La corriente máxima del circuito se da para un tiempo de cero:
𝐼 =𝑉 𝑅 =
12 𝑉
8𝑥105 Ω= 15𝑥10−5 𝐴
La carga y la corriente en función del tiempo es:
𝑞 = 𝑄𝑒−𝑡 𝑅𝐶⁄ 𝑞 = 60𝑥10−6𝑒−𝑡 4⁄ 𝐶
𝐼 = 𝐼0𝑒−𝑡 𝑅𝐶⁄ 𝐼 = 15𝑥10−5𝑒−𝑡 4⁄ 𝐴
