INTRODUCCIÓN A FUNCIONES ANALÍTICAS Y TRANSFORMACIONES CONFORMES

ANALÍTICAS Y TRANSFORMACIONES

CONFORMES

Gabriel D. Villa Salvador

Centro de Investigación y

Estudios Avanzados del

Instituto Politécnico Nacional

En estas notas se da una introducción a transformaciones conformes y algunas de sus aplicaciones a la teoría del potencial.

En los primeros Capítulos se estudian algunos de los temas básicos de la variable compleja con el fin de hacer estas notas casi autocontenidas y a su vez presentar una introducción a la teoría de una variable compleja. Sin embargo se han dejado de lados temas de suma importancia como son prolongación analítica, aplicación de la teoría de los residuos al cálculo de integrales, superficies de Riemann, etc.

El lector interesado en transformación conforme puede leer directamente el Capítulo 3, § 3 y los Capítulos 6 y 7, haciendo caso omiso del resto de las notas.

R Números Reales. Q Números Racionales. N Números Naturales. Z Números Enteros. C Números Complejos. Rn

{

₍

x₁‚ … ‚ x_n

₎

x

_|

_i ∈ R‚ 1 ≤ i ≤ n .

}

[a,b)

{

x ∈ R a ≤

|

x < b .

}

[a,b]

{

x ∈ R a ≤

|

x ≤ b .

}

(a,b)

{

x ∈ R a < x < b .

|

}

(a,b]

{

x ∈ R a < x

|

≤ b .

}

♦♦♦

♦ Final de una demostración.

Ø Conjunto vacío.

Fc Complemento del conjunto F.

U

{

z ∈ C | |

|

z < 1 .

}

∀ Para todo.

z Conjugado de z.

|z| Norma de z.

sup A supremo del conjunto A.

inf ínfimo del conjunto A.

∈ pertenece.

[•] referencia a la bibliografía. ⊂, ⊆ Contención entre conjuntos. −−−→_n→∞ Límite cuando n se va a ∞.

∑

n=0 ∞ a_n Serie.

{ }

z n n=1 ∞ _Sucesión. lim n→∞ Límite inferior. lim n→∞ Límite superior.

{ }

s_n k k=1 ∞ _{Subsucesión.} ⇒ Implica. B

(

z₀‚ ε

)

bola abierta. B

( )

z₀‚ε bola cerrada.

∫

γ f(ξ) dξ integral de línea. H+ semiplano superior. H– semiplano inferior.

PREFACIO . . . . ii

NOTACIONES . . . . iii

CONTENIDO . . . . v

CAPITULO 1: LOS NUMEROS COMPLEJOS. . . . 1

§ 1 Propiedades Básicas . . . . 1

§ 2 Sucesiones y Series en C. . . . 6

CAPITULO 2: TOPOLOGIA DE C Y FUNCIONES CONTINUAS... 42

§ 1 Topología de C. . . . 42

§ 2 C o n e x i d a d. . . . 48

§ 3 Conjuntos Compactos. . . 51

§ 4 Funciones Continuas. . . . 53

§ 5 La Esfera de Riemann. . . . 61

CAPITULO 3: DIFERENCIACION COMPLEJA. . . . 64

§ 1 D e r i v a c i ó n. . . . 64

§ 2 Series de Potencias . . . . 78

§ 3 Funciones Elementales. . . . 93

CAPITULO 4: INTEGRACION . . . . 107

§ 1 Integración Compleja . . . . 107

CAPITULO 5: INTEGRAL DE CAUCHY... 156

§ 1 Teoremas del Mapeo Abierto, del Módulo Máximo y de Cauchy.. 156

§ 2 Singularidades y Residuos . . . . 165

CAPITULO 6: TRANSFORMACION CONFORME. . . . 178

§ 1 Definición y Propiedades. . . . 178

§ 2 Transformada de Möbius. . . . 182

§ 3 Funciones Elementales como Transformaciones Conformes . . . . . 197

§ 3.1 Función Exponencial . . . . 197 § 3.2 Función Potencia. . . . 198 § 3.3 Mapeo de Joukowski . . . . 200 § 3.4 Funciones Trigonométricas. . . . 205 § 4 Ejemplos. . . . 209 § 5 Resultados Generales . . . . 217 CAPITULO 7: A P L I C A C I O N E S... 238 § 1 Problema de Dirichlet . . . . 238 § 2 Aplicaciones a la Física. . . . 242 R E F E R E N C I A S. . . . 260 INDICE . . . . 261

LOS NUMEROS COMPLEJOS § 1. Propiedades Básicas.

En esta primer sección se definirá el campo de los Números Complejos y se estudiarán sus propiedades elementales.

DEFINICION 1.1.1:

El Campo de los Números Complejos ó Plano Complejo C se define como el conjunto R2 =

{

(x‚ y x‚ y ∈) | R

}

junto con dos operaciones + y • llamadas suma y producto respectivamente y definidas del siguiente modo

+ : C×C −−−→ C, + ((a‚b)‚ (c‚d) = (a + c,b + d) = (a,b) + (c,d)) • : C×C −−−→ C, • ((a‚b)‚ (c‚d) = (ac – bd,ad + bc) = (a,b) • (c,d).)

La suma y el producto tienen las propiedades que se enuncian en la siguiente Proposición; su verificación es inmediata de las propiedades conocidas para los reales y se deja como ejercicio al lector.

PROPOSICION 1.1.2: (S1) Asociatividad de +

z

1 +

(

z2 + z3

)

=

(

z1 + z2

)

+ z3 ∀ z1, z2, z3 ∈ C (S2) Idéntico Aditivo

Existe un elemento 0 = (0,0) ∈ C tal que z + 0 = 0 + z = z ∀ z ∈ C (S3) Inverso Aditivo

Dado z = (a,b) ∈ C, existe un elemento – z = (–a,–b) ∈ C tal que z + (–z) = (–z) + z = 0 (S4) Conmutatividad de + z 1 + z2 = z2 + z1 ∀ z1, z2, ∈ C (M1) Asociatividad de • z 1 •

(

z2 • z3

)

=

(

z1 • z2

)

• z3 ∀ z1, z2, z3 ∈ C (M2) Idéntico Multiplicativo

Existe un elemento 1 = (1,0) ∈ C tal que z • 1 = 1 • z = z ∀ z ∈ C (M3) Inverso Multiplicativo

Dado z = (a,b) ∈ C, z ≠ 0, existe un elemento z–1 = ⎝ ⎛ ⎠ ⎞ a a2+b2 ‚ b a2+b2 ∈ C tal que z • z–1 = z–1 • z = 1 (M4) Conmutatividad de • z₁ • z₂ = z₂ • z₁ ∀ z₁, z₂, ∈ C (P) Distributividad z₁ •

₍

z₂ + z₃

₎

=

₍

z₁ • z₂

₎

+

₍

z₁ • z₃

₎

∀ z₁, z₂, z₃ ∈ C OBSERVACION 1.1.3:

Las propiedades (S1), (S2), (S3) y (S4) nos dicen que

(

R2 ‚+ es un grupo

)

abeliano. Las propiedades (M1), (M2), (M3) y (M4) demuestran que

(

R2 – {(0‚0) ‚• es}

)

un grupo abeliano, por lo tanto la Proposición 1.1.2 afirma que C =

(

R2‚+‚• es un

)

campo.

Consideremos la siguiente función:

ϕ : R −−−→ C, dada por ϕ(a) = (a,0). entonces se tiene que

ϕ(a+b) = (a+b,0) = (a,0) + (b,0) = ϕ(a) + ϕ(b) ϕ(a•b) = (a•b,0) = (a,0) • (b,0) = ϕ(a) • ϕ(b)

además claramente ϕ es 1 - 1, por lo tanto ϕ es un isomorfismo de anillos entre R y ϕ(R) =

{

(a,0) ∈ C a

|

∈ R

}

.

Identificando R con ϕ(R) se puede considerar que R ⊂ C y que R es un subcampo de C.

Ahora denotemos (0,1) por i y observemos que ∀ (b,0) ∈ ϕ(R), (b,0) • i = (b,0) • (0,1) = (b•0 – 0•1, b•1 + 0•0) = (0,b), por lo tanto dado z = (a,b) ∈ C, se tiene que:

(a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0)•(1,0) + (0,1)•(b,0) = a•1 + b•i = a + bi. por lo tanto en adelante, dado z = (a,b) ∈ C, z se denotará por a + bi.

DEFINICION 1.1.4:

Sea z = a + bi. El conjugado de z se define por z = a – bi ∈ C. La Norma ó Módulo de z se define por | |z =

√

⎯⎯⎯⎯⎯

a2 + b2 ∈ R. La Parte Real de z se define por Re z = a y la Parte Imaginaria de z por Im z = b.

A continuación se enuncian las propiedades generales de | |z y de z .

PROPOSICION 1.1.5: Sean z, w ∈ C. Entonces:

(i) z + w = z + w . (ii) z • w = z • w . (iii) z – w = z – w .

(iv) Si w ≠ 0, ⎝ ⎛ ⎠ ⎞ z w = z w . (v) | |z2 = z • z . (vi) | |z ≥ 0. (vii) | |z = 0 ⇔ z = 0. (viii) |z • w = | || z • | |w . (ix) Si w ≠ 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ z w = | |z | |w. (x) Si z = a + bi, a = Re z = 1₂

(

z + z y b = Im z =

)

_2i1

(

z – z .

)

(xi) |Re z ≤ | || z y |Im z ≤ | || z . (xii) | |z =

| |

z . (xiii) =z = z. DEMOSTRACION:

Todas las propiedades son consecuencia inmediata de las definiciones y su

verificación se deja al cuidado del lector. ♦♦♦♦

A continuación damos una propiedad que es de vital importancia para todo el desarrollo subsiguiente.

TEOREMA 1.1.6 (DESIGUALDAD DEL TRIANGULO): Sean z, w ∈ C, entonces |z + w ≤ | || z + | |w .

DEMOSTRACION:

|z + w|2 = (z + w • )

(

z + w = z • z + z • w + w • z + w • w =

)

| |z2 +

|

2 Re

(

z • w

)

|

+ | |w2 ≤ | |z2 + 2

|

z • w + | |

|

w2 = | |z2 + 2 | |z • | |w + | |w2 = (| |z + | |w)2 ⇒ |z + w ≤ | || z + | |w . ♦♦♦♦

OBSERVACION 1.1.7:

La desigualdad del triángulo y las propiedades (vi), (vii) y (viii) de la Proposición 1.1.5, afirman que el módulo es de hecho una norma sobre C.

DEFINICION 1.1.8:

Se define ρ : C×C −−−→ C, por ρ(z,w) = | z – w = distancia de z a w.| PROPOSICION 1.1.9:

ρ es una métrica sobre C, es decir cumple con las siguientes propiedades:

(1) ρ(z,w) ≥ 0 ∀ z, w ∈ C. (2) ρ(z,w) = 0 ⇔ z = w. (3) ρ(z,w) = ρ(w,z) ∀ z, w ∈ C. (4) ρ(z,w) ≤ ρ(z,u) + ρ(u,w) ∀ z, w ,u ∈ C. DEMOSTRACION: (1) ρ(z,w) = |z – w ≥ 0, ∀ z, w ∈ | C. (2) ρ(z,w) = 0 ⇔ |z – w = 0 ⇔ z – w = 0 ⇔ z = w.| (3) ρ(z,w) = |z – w = || (– 1) • (w – z) = || w – z = ρ(w,z) ∀ z, w ∈ | C. (4) ρ(z,w) = |z – w = || z – u + u – w | ≤ |z – u + || u – w =| ρ(z,u) + ρ(u,w) ∀ z, w ,u ∈ C. ♦♦♦♦ EJERCICIO 1.1.10:

Probar que si z, w ∈ C, entonces

|

| |z – | |w

|

≤ |z – w .|

§ 2. Sucesiones y Series en CCCC.

En esta sección se dan los resultados generales de sucesiones y series tanto en R como en C. Se dan la mayoría de las demostraciones para series reales, no así con las sucesiones reales las cuales se suponen conocidas por el lector.

DEFINICION 1.2.1:

Una sucesión en C es una función f : N −−→ C. Denotamos f(n) por z_n y f(N) =

{ }

z

n n=1 ∞ _.

Ahora dada una sucesión en C,

_{{ }}

z n n=1

∞ _{, como para cada n ∈ N, z}

n = xn + i yn, se tiene que

_{{ }}

z

n n=1

∞ _{define 2 sucesiones reales:}

{ }

x n n=1 ∞ _y

{ }

y n n=1 ∞ _.

A continuación se define la noción de convergencia de una sucesión en C, la cual es exactamente igual a la convergencia de una sucesión real.

DEFINICION 1.2.2: Sea

_{{ }}

z

n n=1

∞ _{una sucesión en C. Decimos que}

{ }

z

n n=1

∞ _{converge a z}

0 ∈ C y lo denotamos por z_n −−−→_n→∞ z₀ o lim

n→ ∞ zn = z0, si para cada ε > 0 existe n0 ∈ N tal que

∀ n ≥ n₀ se tiene

_|

z_n – z₀

_|

< ε. A z₀ se le llama el límite de

_{{ }}

z n n=1

∞ _. EJEMPLO 1.2.3:

Sea z_n = ⎝ ⎛ ⎠ ⎞ 1 + 1_n n + i ⎝ ⎛ ⎠ ⎞ 1

n2 . Afirmamos que limn→ ∞ zn = e. En efecto, sea ε > 0,

entonces existe n₀ ∈ N tal que ∀ n ≥ n₀ se tiene ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎛ ⎠ ⎞ 1 + 1_n n – e < ε₂ y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 n2 – 0 < ε

2 por lo tanto ∀ n ≥ n0 se tiene

|

zn – e

|

≤ _⎪⎪_⎝⎛1 + _⎠⎞ _⎪⎪ 1 n n – e + ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 n2 – 0 < ε 2 + ε 2 = ε. PROPOSICION 1.2.4: Sea

_{{ }}

z n n=1 ∞ _{una sucesión en C. Si}

{ }

z n n=1

∞ _{tiene límite, éste es único.}

DEMOSTRACION:

Si z₀ y w₀ son dos límites de

_{{ }}

z n n=1

∞ _{, entonces dado ε > 0, existe n}

0 ∈ N tal que ∀ n ≥ n₀,

_|

z_n – w₀

_|

< ε₂ y

_|

z_n – z₀

_|

< ε₂, por lo que

_|

z₀ – w₀

_|

=

_|

z₀ – z_n + z_n – w₀

_|

≤

_|

z₀ – z_n

_|

+

_|

z_n – w₀

_|

< ₂ε + ε₂ = ε. Es decir

_|

z₀ – w₀

_|

< ε ∀ ε > 0, por lo que z₀ = w₀.

♦ ♦ ♦ ♦

El siguiente resultado demuestra que para analizar la convergencia de una sucesión en C, basta analizar la convergencia de 2 sucesiones reales.

PROPOSICION 1.2.5: Sea

_{{ }}

z n n=1 ∞ _{una sucesión en C, z} n = xn + i yn, z0 = x0 + i y0. Entonces lim n→∞ zn = z0 ⇔ limn→∞ xn = x0 y nlim→∞ yn = y0. DEMOSTRACION:

⇒) Sea ε > 0, existe n₀ ∈ N tal que ∀ n ≥ n₀,

_|

z_n – z₀

_|

< ε, por lo tanto:

|

x_n – x₀

|

=

_|

Re

₍

z_n – z₀

₎

_|

≤

_|

z_n – z₀

_|

< ε,

_|

y_n – y₀

_|

=

_|

Im

₍

z_n – z₀

₎

_|

≤

|

z_n – z₀

|

< ε, por lo tanto lim

n→∞ xn = x0 y nlim→∞ yn = y0. ⇐) Sea ε > 0, existe n 0 ∈ N tal que ∀ n ≥ n0,

|

xn – x0

|

< ε 2 y

|

yn – y0

|

< ε 2. Entonces

_|

z_n – z₀

_|

=

_|

₍

x_n – x₀

₎

+ i

₍

y_n – y₀

₎

_|

≤

_|

x_n – x₀

_|

+

_|

y_n – y₀

_|

< ε 2 + ε 2 = ε ⇒_nlim_→∞zn = z0. ♦♦♦♦ PROPOSICION 1.2.6: Sea

_{{ }}

z n n=1 ∞ _{⊆ C convergente. Entonces}

{ }

z n n=1 ∞ _{está acotada.} DEMOSTRACION: Sea lim

n→ ∞zn = z0. Sea ε = 1, existe n0 ∈ N tal que ∀ n ≥ n0,

|

zn – z0

|

< 1 y

como

_{| |}

z_n –

_{| |}

z₀ ≤

_|

z_n – z₀

_|

< 1,

_{| |}

z_n ≤ 1 +

_{| |}

z₀ ∀ n ≥ n₀. Sea M = max

{

_{| |}

z₁‚

_{| |}

z₂‚ … ‚

|

z_n

|

}

0–1 ‚ 1 +

| |

z0 . Entonces

| |

zn ≤ M ∀ n ∈ N, lo cual prueba

que

_{{ }}

z n n=1

∞ _{está acotada. ♦♦♦♦}

OBSERVACION 1.2.7:

El recíproco de esta Proposición es falso. Por ejemplo si z_n = (– 1)n, entonces

| |

z_n ≤ 1 ∀ n ∈ N y

_{{ }}

z

n n=1

∞ _{no es convergente. Sin embargo se tiene:}

Toda sucesión acotada en C tiene una subsucesión convergente. DEMOSTRACION:

Sea

_{{ }}

z n n=1

∞ _{una sucesión acotada, z}

n = xn + i yn. Entonces por hipótesis existe M ∈ R tal que

_{| |}

z_n ≤ M y como

_{| |}

x_n ≤

_{| |}

z_n ≤ M,

_{{ }}

x

n n=1

∞ _{está acotada, por lo tanto tiene} una subsucesión convergente

{ }

x_n

k k=1

∞ _{. Sea lim}

k→∞xnk = x0. Por otro lado,

| |

ynk ≤

| |

znk ≤

M, por lo que

{ }

y_n

k k=1

∞ _{está acotada, por lo tanto tiene una subsucesión}

{ }

y_n kj j=1 ∞ convergente. Si y_n kj −−−→j→∞ y0, entonces znkj = xnkj + i ynkj −−−→j→∞ x0 + i y0 = z0. ♦♦♦ ♦ DEFINICION 1.2.9: Una sucesión

_{{ }}

z n n=1

∞ _{se llama de Cauchy si ∀ ε > 0 existe n}

0 ∈ N tal que ∀ n, m ≥ n₀ se tiene que

_|

z_n – z_m

_|

< ε. TEOREMA 1.2.10: Una sucesión

_{{ }}

z n n=1 ∞ _{en C es convergente ⇔}

{ }

z n n=1 ∞ _{es de Cauchy.} DEMOSTRACION: ⇒) Sea lim

n→∞zn = z0 y ε > 0, entonces existe n0 ∈ N tal que ∀ n ≥ n0,

|

zn – z0

|

<

ε 2. Sean n, m ≥ n₀,

_|

z_n – z_m

_|

=

_|

z_n – z₀ + z₀ – z_m

_|

≤

_|

z_n – z₀

_|

+

_|

z₀ – z_m

_|

< ε₂ + ε₂ = ε, es decir

_{{ }}

z n n=1 ∞ _{es de Cauchy.}

⇐) Sea ε > 0, entonces existe n₀ ∈ N tal que ∀ m, n ≥ n₀ se tiene

|

x_n – x_m

|

≤

_|

z_n – z_m

_|

< ε y

_|

y_n – y_m

_|

≤

_|

z_n – z_m

_|

< ε ⇒

_{{ }}

x n n=1 ∞ _y

{ }

y n n=1

∞ _{son de Cauchy y por lo tanto convergentes, lo que implica que}

{ }

z n n=1 ∞ _es convergente. ♦♦♦♦ EJEMPLOS 1.2.11: 1) z n = 1 n + i n −−−→n→∞ 0 + i • 0 = 0. 2) z_n = n + ⎯√2 n i diverge pues { }n n=1 ∞ _y

_{

_}

√ ⎯ 2 n n=1 ∞ _divergen. 3) z_n = √⎯nn + i ⎝ ⎛ ⎠ ⎞ 1 + 1_n n −−−→_n →∞ 1 + i e.

4) z_n = √⎯n3 + i (–1)n diverge pues aunque

{ }

√⎯n3 _n=1∞ converge, la sucesión

{

(–1)n

}

n=1 ∞ _diverge. PROPOSICION 1.2.12: Sean

_{{ }}

z n n=1 ∞ _,

{ }

w n n=1

∞ _{dos sucesiones tales que lim}

n→∞zn = z0 y nlim→∞wn = w0. Entonces: (i) lim n→∞

(

zn + wn

)

= z0 + w0. (ii) lim n→∞

(

zn wn

)

= z0 w0. (iii) lim n→∞

| |

zn =

| |

z0. (iv) Si w_n ≠ 0 ∀ n ∈ N y w₀ ≠ 0, lim n→∞ z_n w_n = z₀ w₀.

Sea ε > 0.

(i) Existe n₀ ∈ N tal que ∀ n ≥ n₀,

_|

z_n – z₀

_|

< ε₂ y

_|

w_n – w₀

_|

< ε₂ por lo tanto ∀ n ≥ n_{0, |}

₍

z_n + w_n

₎

–

₍

z₀ + w₀

₎

_|

≤

_|

z_n – z₀

_|

+

_|

w_n – w₀

_|

< ε₂ + ε₂ = ε, y de aquí se sigue que lim

n→∞

(

zn + wn

)

= z0 + w0.

(ii)

_|

z_n w_n – w₀ z₀

_|

=

_|

z_n w_n – z_n w₀ + z_n w₀ – w₀ z₀

_|

≤

| |

z_n

_|

w_n – w₀

_|

+

_{| |}

w₀

_|

z_n – z₀

_|

.

Existe M ∈ R, M > 0 tal que

_{| |}

z_n < M,

_{| |}

w_n < M ∀ n ∈ N y por lo tanto

_{| |}

w₀ ≤ M. Por otro lado existe n₀ ∈ N tal que ∀ n ≥ n₀,

_|

w_n – w₀

_|

< _2Mε y

_|

z_n – z₀

_|

< _2Mε . Por lo tanto, ∀ n ≥ n₀,

_|

z_n w_n – w₀ z₀

_|

< M • _2Mε + M _2Mε = ε₂ + ε₂ = ε, y de aquí se sigue que lim

n→∞

(

zn wn

)

= z0 w0.

(iii) Sea n₀ ∈ N tal que ∀ n ≥ n₀,

_|

z_n – z₀

_|

< ε ⇒

_|

_{| |}

z_n –

_{| |}

z₀

_|

≤

_|

z_n – z₀

_|

< ε ∀ n ≥ n₀, por lo tanto lim

n→∞

| |

zn =

| |

z0.

(iv) Sea ε₁ =

| |

w₂0 > 0, existe n₀ ∈ N tal que ∀ n ≥ n₀,

_|

w_n – w₀

_|

<

| |

w₂0. Ahora:

| |

w₀ –

_{| |}

w_n ≤

_|

w_n – w₀

_|

<

| |

w₂0 ⇒

_{| |}

w_n >

_{| |}

w₀ –

| |

w₂0 =

| |

w₂0. Entonces: ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 w_n – 1 w₀ =

|

w₀ – w_n

|

| |

w_n

_{| |}

w₀ ≤ 2

_|

w₀ – w_n

_|

| |

w₀2 .

Existe m₀ ∈ N tal que ∀ n ≥ m₀,

_|

w_n – w₀

_|

< ε

| |

w0 2

2 .

Sea k₀ = max

_{

n₀‚ m₀

_}

, entonces ∀ n ≥ k₀, se tiene ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 w_n – 1 w₀ ≤

2

_|

w₀ – w_n

_|

| |

w₀2 < ε ⇒ limn→∞ 1 w n = _w1 0

. Por último, lim n→∞ z_n w_n = lim_n→∞zn 1 w_n =

(

_nlim_→∞zn

)

_⎝⎛_nlim_{→∞ ⎠}⎞ 1 w n = z_0w1 0 = _wz0 0 . ♦♦♦♦

Ahora recordemos una Proposición para sucesiones reales, la cual nos será útil para el estudio de los puntos límite de una sucesión.

PROPOSICION 1.2.13: Sea

_{{ }}

a

n n=1

∞ _{⊆ R una sucesión real monótona y acotada. Entonces}

{ }

a

n n=1 ∞ _es convergente. Además, si

_{{ }}

a

n n=1

∞ _{es creciente, entonces lim}

n→∞an = sup

{

an n

|

∈ N

}

y

si

_{{ }}

a n n=1

∞ _{es decreciente, entonces lim}

n→∞an = inf

{

an n

|

∈ N

}

.

DEMOSTRACION:

Ejercicio. ♦♦♦♦

DEFINICION 1.2.14: Se dice que lim

n→∞zn = ∞ si limn→∞

| |

zn = ∞, es decir, si ∀ M > 0 existe n0 ∈ N tal que

∀ n ≥ n₀,

_{| |}

z_n > M.

Sea

_{{ }}

z n n=1

∞ _{⊆ C. Sea ξ}

0 ∈ C. ξ0 se llama punto límite de

{ }

z_{n n=1}

∞ _{si existe una} subsucesión

{ }

z_n k k=1 ∞ _de

{ }

z n n=1

∞ _{tal que lim}

k→∞znk = ξ0.

EJEMPLOS 1.2.16: 1) Sea

_{{ }}

r

n n=1

∞ _{⊆ C convergente. Entonces toda subsucesión}

{ }

r_n

k k=1 ∞ _de

{ }

r

n n=1

∞ _{converge al mismo límite de}

{ }

r

n n=1

∞ _{, i. e., lim}

k→∞rnk = limn→∞rn = r0, por lo tanto r0

es el único punto límite de

_{{ }}

r n n=1 ∞ _. 2) Sea r₀ = (– 1)n, es decir,

_{{ }}

r n n=1 ∞ _{= {– 1 ‚ 1 ‚ – 1 ‚ … ‚ – 1 ‚ 1 ‚ … .}} Entonces lim

n→∞r2n = 1 y limn→ ∞r2n–1 = – 1, por lo tanto 1 y – 1 son puntos límite de

{ }

r n n=1

∞ _{. El lector puede fácilmente verificar que éstos son los únicos.}

Nuestro siguiente objetivo es dar la definiciones de límite superior e inferior y establecer los resultados necesarios para la demostración del Teorema de Cauchy para la convergencia de series con términos positivos.

Sea

_{{ }}

r n n=1

∞ _{⊆ R una sucesión acotada. Definimos:}

l₁ = sup

_{

r_n n ≥

_|

1 = sup

_}

_{

r₁‚ r₂‚ … ‚ r_n‚ … ;

_}

l₂ = sup

_{

r_n n ≥

_|

2 = sup

_}

_{

r₂‚ r₃‚ … ‚ r_n‚ … ;

_}

………

l_k = sup

_{

r_n n ≥

_|

k = sup

_}

_{

r_k‚ r_{k + 1}‚ … ‚ r_n‚ … ;

_}

etc.

Ahora se tiene que

_{

r_n n ≥

_|

k + 1 ⊆

_}

_{

r_n n ≥

_|

k

_}

∀ k ∈ N, por lo tanto

l _{k + 1} = sup

_{

r_n n ≥

_|

k + 1

_}

≤ sup

_{

r_n n ≥

_|

k =

_}

l _k, es decir

_{{ }}

l _k

k=1 ∞ _es decreciente. Además si

_{| |}

r_n ≤ M ∀ n ∈ N, esto es – M ≤ r_n ≤ M ∀ n ∈ N ⇒ – M ≤ l_k ≤ M, por lo tanto

_{{ }}

l _k

k=1

∞ _{está acotada y de aquí se sigue que}

{ }

l _k

k=1

OBSERVACIONES 1.2.17: 1) Si

_{{ }}

r

n n=1

∞ _{no está acotada superiormente, se tiene que l}

k = ∞ ∀ k ∈ N. En estecaso definimos lim

n→∞lk = ∞.

2) Si

_{{ }}

r n n=1

∞ _{está acotada superiormente y tiene una subsucesión}

{ }

r_n

k k=1 ∞ acotada inferiormente, digamos por m, entonces m ≤ r_n

k ⇒

l_k = sup

_{

r_n n ≥

_|

k

_}

≥ r_n

k ≥ m ⇒

{ }

l k k=1

∞ _{es decreciente y acotada,} por lo tanto convergente.

3) Si

_{{ }}

r n n=1

∞ _{está acotada superiormente pero no tiene ninguna subsucesión} acotada inferiormente, entonces lim

n→∞rn = – ∞ y por lo tanto, dado M < 0,

existe n₀ ∈ N, tal que ∀ n ≥ n₀, r_n < M ⇒ ∀ k ≥ n₀, l_k = sup

_{

r_n n ≥

_|

k

_}

≤ M ⇒ lim

n→∞lk = – ∞.

Análogamente, definimos primero para una sucesión

_{{ }}

r n n=1

∞ _{⊆ R acotada, la} siguiente sucesión:

t_k = inf

_{

r_n n ≥

_|

k , k

_}

∈ N.

Claramente se tiene t_k ≤ t_k+1 ∀ k ∈ N y que

_{{ }}

t k k=1

∞ _{está acotada y por lo tanto}

{ }

t

k k=1

∞ _{es convergente.} Si

_{{ }}

r

n n=1

∞ _{no está acotada se tienen los siguientes casos:} (1) Si

_{{ }}

r

n n=1

∞ _{no está acotada inferiormente, lim}

k→∞tk = – ∞.

(2) Si

_{{ }}

r n n=1

∞ _{está acotada inferiormente, y tiene una subsucesión acotada} superiormente, entonces

_{{ }}

t

k k=1

(3) Si

_{{ }}

r n n=1

∞ _{está acotada inferiormente, y no tiene ninguna subsucesión} acotada superiormente, lim

k→∞tk = ∞. OBSERVACION 1.2.18: Sean

_{{ }}

r n n=1 ∞ _,

{ }

l _k k=1 ∞ _,

{ }

t k k=1 ∞ _{como antes,}

{ }

r n n=1 ∞ _{arbitraria. Entonces} lim

k→∞lk = ninf ∈N

(

sup

{

rn n ≥

|

k

}

)

y klim→∞tk = nsup ∈N

(

inf

{

rn n ≥

|

k

}

)

.

DEFINICION 1.2.19: lim k→∞tk = lim n→∞ r_n = límite inferior de

_{{ }}

r n n=1 ∞ _. lim

k→∞lk = limn→∞rn = límite superior de

{ }

rn n=1

∞ _. EJEMPLOS 1.2.20: 1) Sea r_n = (– 1) n + n n .

Entonces l_k = sup

_{

r_n n ≥

_|

k = sup

_}

⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ (– 1)n + n n n ≥ k . Se tiene q u e r _n =

⎩

⎪

⎨

⎪⎧

1 – 1_n < 1 ‚ ∀ n ∈ N ‚ n impar 1 + 1_n > 1 ‚ ∀ n ∈ N ‚ n par ⇒ l_k =

⎩

⎪

⎨

⎪⎧

1 + 1_k ‚ k par 1 + _k+11 ‚ k impar ⇒ lim k→ ∞l k = limn→∞rn = 1 .

Análogamente, si t_k = inf

_{

r_n n ≥

_|

k , t

_}

_k =

⎩

⎪

⎨

⎪⎧

1 – 1_k ‚ k impar 1 – _k+11 ‚ k par ⇒ lim k→ ∞tk = lim n→∞ r_n = 1 . Se tiene lim n→∞ r_n = lim n→∞rn = limn→ ∞rn = 1 . 2) Sea r_n = (– 1)n,

_{{ }}

r n n=1 ∞ _{= { – 1 ‚ 1 ‚ – 1 ‚ 1 ‚ … ‚ – 1 ‚ 1 ‚ … .}} l_k = sup

_{

r_n n ≥

_|

k = 1 ∀ k ∈

_}

N ⇒ lim n→∞rn = limn→∞ln = 1. t_k = inf

_{

r_n n ≥

_|

k = – 1 ∀ k ∈

_}

N ⇒ lim n→∞ r_n = lim n→∞tn = – 1. En particular, 1 = lim n→∞rn ≠ lim_n →∞ r_n = – 1. 3) Sea r n = _⎝⎛1 + _⎠⎞ 1 n n . Se tiene que

_{{ }}

r n n=1 ∞ _{es creciente, r} n ≤ e ∀ n ∈ N, lk = sup

{

rn n ≥

|

k

}

= sup ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎝ ⎛ ⎠ ⎞ 1 + 1_n n n ≥ k = e ⇒ lim k→∞lk = e. t_k = inf

_{

r_n n ≥

_|

k =

_}

⎝ ⎛ ⎠ ⎞ 1 + 1_k k ⇒ lim k→∞tk = limk→∞⎝ ⎛ ⎠ ⎞ 1 + 1_k k = e.

Por lo tanto lim n→∞

r_n = lim

n→∞rn = limn→∞rn = e .

La siguiente Proposición nos da una caracterización de los límites superior e inferior, así como un procedimiento para calcular estos límites.

PROPOSICION 1.2.21: Sea

_{{ }}

r

n n=1

∞ _{una sucesión acotada,}

{ }

r n n=1 ∞ _{⊆ R . Sea A =} ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫

|

l ∈ R Existe una subsucesión

{ }

r_n

k k=1 ∞ _de

{ }

r n n=1

∞ _{tal que lim}

k→ ∞ = l =

{

Conjunto de puntos límites de

_{{ }}

r

}

n n=1 ∞ _{. Entonces} lim n→∞rn = sup A y _nlim →∞ r_n = inf A. DEMOSTRACION:

Sean x₀ = sup A ∈ R, y₀ = inf A ∈ R, l _k = sup

_{

r_n n ≥

_|

k , t

_}

_k = inf

_{

r_n n ≥

_|

k ,

_}

l₀ = lim

n→∞rn, t0 = lim

n→∞

r_n.

Se tiene que l_k ≥ r_k ≥ t_k ∀ k ∈ N. Sea x ∈ A, entonces existe una subsucesión

{ }

r_n

k k=1 ∞ _de

{ }

r n n=1

∞ _{tal que lim}

k→∞rnk = x. Se tiene limk→∞tnk ≤ limk→∞rnk ≤ limk→∞lnk ⇒ t0 ≤ x

≤ l₀ ∀ x ∈ A ⇒ t₀ ≤ y₀ y x₀ ≤ l ₀ .

A continuación se va a probar que l₀ ∈ A. Sea ε_m = _m1, existe n_m ∈ N tal que ∀ k ≥ n_m, l_k ∈ ⎝ ⎛ ⎠ ⎞ l ₀ – _m1‚ l ₀ + _m1 . En particular l_n m ∈ ⎝ ⎛ ⎠ ⎞ l ₀ – _m1‚ l ₀ + _m1 y puesto que

_{{ }}

l _k k=1 ∞ _{es decreciente, l} n_m ≥ l0. l – _m1 0 ( )( ) l + _m1 0 l 0 r _n ln_m m k S_m S_m Sea S_m = l₀ + _m1 – l_n

m > 0. Ahora lnm = sup

{

rk k

|

≥ nm

}

⇒ existe knm ≥ nm

tal que l_n

m – Sm < rk_nm ≤ lnm < l0 +

1 m.

Además l n_m – Sm = ln_m – l0 – 1 m + ln_m ≥ l0 – l0 – 1 m + l0 = – 1 m + l0, es decir l₀ – _m1 < r_k nm < l0 + 1 m ⇒

|

rk_{n m} – l 0

|

< 1 m. Se construirá r_k nm+1 tal que knm+1 > knm y

|

rk_nm+1 – l 0

|

< 1 m+1. Sea ε_m+1 = _m+11 ⇒ existe n_m+1 > k_n m tal que lnm+1 ∈ ⎝ ⎛ ⎠ ⎞ l ₀ – _m+11 ‚ l ₀ + _m+11 . Sea S m+1 = l0 + 1 m – ln_m+1 > 0. Existe k_n m + 1 ≥ nm + 1 > knm tal que l nm + 1 – Sm + 1 < rk_{n m+1} ≤ l nm + 1 ⇒ r k_nm+1 ∈ _⎝⎛l 0 – _⎠⎞ 1 m+1‚ l 0 + 1 m+1 . Se ha construído

_{{ }}

r_k nm m=1 ∞ _{subsucesión de}

{ }

r n n=1

∞ _{tal que lim}

m→∞rk_nm = l0, por lo

tanto l₀ ∈ A ⇒ l ₀ ≤ x₀ . Análogamente se prueba que t₀ ≥ y₀ ⇒ lim

n→∞rn = l0 = x0 = sup A y lim n→∞ r_n = t₀ = y₀ = inf A. ♦♦♦♦ COROLARIO 1.2.22: Si

_{{ }}

r n n=1

∞ _{⊆ R es cualquier sucesión (no necesariamente acotada). Entonces la} conclusión de la Proposición 1.2.21 es cierta para

_{{ }}

r

n n=1 ∞ _.

DEMOSTRACION:

Es inmediato de analizar los casos faltantes. ♦♦♦♦ COROLARIO 1.2.23:

Sea

_{{ }}

s n n=1

∞ _{⊆ R. Si}

{ }

s

n n=1

∞ _{es convergente, entonces lim}

n→∞sn = lim_n →∞ s_n = lim n→∞sn = s0. DEMOSTRACION:

A =

{

Conjunto de puntos límite de

_{{ }}

s

}

n n=1

∞ ₌

{ }

s₀ ⇒ Sup A = Inf A = s₀. Por lo tanto lim

n→∞

s_n = Inf A = Sup A= lim

n→∞sn = limn→∞sn = s0. ♦♦♦♦ COROLARIO 1.2.24: Sea

_{{ }}

s n n=1 ∞ _{⊆ R. Si lim} n→∞sn = lim_n →∞ s_n = s₀ ∈ R ⇒

_{{ }}

s n n=1 ∞ _{es convergente y} lim n→∞sn = s0. DEMOSTRACION: Si

_{{ }}

s n n=1

∞ _{no estuviese acotada inferior ó superiormente, se tendría que} lim

n→∞

s_n = – ∞ ó lim

n→∞sn = ∞ lo que contradice las hipótesis. Así pues

{ }

sn n=1

∞ _{está acotada.} Supongamos que

_{{ }}

s

n n=1

∞ _{no converge a s}

0 ⇒ existe ε0 > 0 y una subsucesión

{ }

s_n

k k=1

∞ _{tal que}

|

s_n

|

k – s0 ≥ ε0 ∀ k ∈ N. Puesto que

{ }

snk _k=1

∞ _{está acotada tiene una} subsucesión

_{{ }}

s_n

kl l=1

∞ _{convergente a un punto r}

0 y puesto que

|

sn_{k l} – s0

|

≥ ε0 ∀ l ∈ N ⇒ r₀ ≠ s₀, es decir A =

{

puntos límite de

_{{ }}

s

}

n n=1

∞ _{consta de al menos dos} puntos por lo que Sup A ≠ Inf A y por lo tanto lim

n→∞

s_n ≠ lim

n→∞sn lo cual es una

Por los tanto lim n→∞sn = s0. ♦♦♦♦ PROPOSICION 1.2.25: Sea

_{{ }}

s n n=1 ∞ _{⊆ R. Entonces:} i) lim n→∞sn = s0 ⇔ existe

{ }

snk k=1 ∞ _{subsucesión de}

{ }

s n n=1 ∞ _{tal que} lim

k→∞snk = s0 y ∀ ε > 0, existe n0 tal que ∀ n ≥ n0, sn ≤ s0 + ε.

ii) lim n→∞ s_n = r₀ ⇔ existe

{ }

s_n k k=1 ∞ _{subsucesión de}

{ }

s n n=1 ∞ _{tal que} lim

k→∞snk = s0 y ∀ ε > 0, existe n0 tal que ∀ n ≥ n0, sn ≥ r0 – ε.

DEMOSTRACION i) ⇒) Si lim

n→∞sn = ∞ se sigue inmediatamente, por lo que suponemos limn→∞sn = s0 < ∞,

s₀ ∈ [– ∞, ∞). Claramente existe

{ }

s_n k k=1 ∞ _{subsucesión de}

{ }

s n n=1 ∞ _{tal que} lim

k→∞snk = s0 Supongamos falso el resultado, entonces existe ε0 > 0 tal que dada

n ∈ N, existe m_n ∈ N, m_n ≥ n tal que s_m

n > s0 + ε0, por lo tanto existe una

subsucesión

{ }

s_n

l l=1 ∞ _de

{ }

s n n=1

∞ _{tal que lim}

l→ ∞snl = r0 ≥ s0 + ε0 > s0 lo que

contradice la definición de s₀.

⇐) Se tiene s₀ ∈ A =

{

conjunto de puntos límite de

_{{ }}

s

}

n n=1

∞ _{. Si s}

0 ≠ lim_n→∞sn = sup A ⇒ existe r₀ ∈ A tal que s₀ < r₀. Sea ρ ∈ R tal que s₀ < ρ < r₀. Puesto que r₀ ∈ A existe

{ }

s_n

l l=1

∞ _{subsucesión de}

{ }

s

n n=1

∞ _{tal que lim}

l→∞snl = r0, por lo

que existe l₀ ∈ N tal que ∀ l ≥ l₀, s_n

l > ρ = s0 + ε0 con ε0 = ρ – s0 > 0 lo cual

contradice nuestra hipótesis, así que s₀ = lim n→∞sn.

El siguiente Teorema nos dirá más adelante que el criterio de Cauchy para convergencia de series con términos positivos, implica el criterio de D'Alambert.

TEOREMA 1.2.26: Sea

_{{ }}

a n n=1 ∞ _{⊆ R tal que a} n > 0 ∀ n ∈ N. Entonces: lim n→∞ a_n+1 a_n ≤ lim n→∞

√

⎯

n a_n ≤ lim n→∞

√

⎯

n a_n ≤ lim n→∞ a_n+1 a_n . DEMOSTRACION: Sea r = lim n→∞ a_n+1

a_n . Sea ε > 0, existe n0 ∈ N tal que ∀ n ≥ n0, a

n + 1

a_n ≤ r + ε ∀ n ≥ n₀, a_n+1 ≤ (r + ε)a_n. Así pues se tiene:

a_n 0+1 ≤ (r + ε) an0; a_n 0+2 ≤ (r + ε) an0+1 ≤ (r + ε) 2 a_n 0; etc.

Por inducción se sigue que ∀ n ≥ n₀, a_n = a_n

0+n–n0 ≤ (r + ε) n–n₀ a_n 0 ⇒ lim n→∞

√

⎯

n a_n ≤ lim n→∞(r + ε) 1–n0 n

√⎯⎯

n an₀ = r + ε. Es decir ∀ ε > 0, lim_n→∞

√

⎯

n a_n ≤ r + ε ⇒ lim n→∞

√

⎯

n a_n ≤ r = lim n→∞ a_n+1 a_n .

Análogamente se prueba que lim n→∞

a_n+1

a_n ≤ lim n→∞

√

⎯

n

a_n y puesto que evidentemente se tiene que lim n→∞

√

⎯

n a_n ≤ lim n→∞

√

⎯

n a_n, se sigue el Teorema. ♦♦♦♦

COROLARIO 1.2.27: Sea

_{{ }}

a n n=1 ∞ _{⊆ R tal que a} n > 0 ∀ n ∈ N. Si _⎩⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ a_n+1 a_{n n=1} ∞ converge, entonces ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫

√

⎯

n a n n=1 ∞ converge y lim n→∞

√

⎯

n a_n = lim n→∞ a_n+1 a_n . DEMOSTRACION: Si ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ a_n+1 a_{n n=1} ∞

converge entonces lim n→∞ a_n+1 a_n = lim_n→∞ a_n+1 a_n = lim_n→∞ a_n+1 a_n ⇒ lim n→∞

√

⎯

n a_n = lim n→∞

√

⎯

n a_n ⇒ _⎩⎨⎧ ⎭ ⎬ ⎫

√

⎯

n a n n=1 ∞ _{converge y lim} n→∞

√

⎯

n a_n = lim n→∞ a_n+1 a_n . ♦♦♦♦ OBSERVACION 1.2.28:

Puede suceder que _⎩⎨⎧ ⎭ ⎬ ⎫

√

⎯

n a n n=1 ∞ converge, pero ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ a_n+1 a_{n n=1} ∞

diverge como lo prueba el siguiente ejemplo. EJEMPLO 1.2.29: Sea

_{{ }}

a n n=1 ∞ _{dada por a} 2n = a2n–1 = 1 2n, n ∈ N, es decir:

{ }

a n n=1 ∞ ₌ ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ 1 2‚ 1 2‚ 1 4‚ 1 4‚ 1 8‚ 1 8‚ … ‚ 1 2n‚ 1 2n‚ … . Se tiene que 2n

_√

_⎯⎯

a_2n = 1 √ ⎯ 2 −−−→n→∞ 1 √ ⎯ 2 y

√

⎯⎯⎯

2n–1 a_2n–1 = 1 2

( )

n 2n–1 −−−→_n →∞ 1 √ ⎯ 2. Por lo tanto ⎨⎧ ⎬⎫

√

⎯

n a ∞ converge.

Por otro lado, a2n a_2n–1 = 1 2n 1 2n = 1 −−−→_n→∞ 1 y a2n+1_a 2n = 1 2n+1 1 2n = 1₂ −−−→_n→∞ 1_2. Por lo tanto ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ a_n+1 a_{n n=1} ∞ no converge.

Ahora pasamos a definir el concepto de serie. Para esto primero definiremos lo que se conoce como series formales.

DEFINICION 1.2.30: Sea

_{{ }}

a

n n=0

∞ _{⊆ C una sucesión. Se define la serie de las a}

n como el símbolo formal

∑

n=0 ∞

a_n = a₀ + a₁ + a₂ + …. Definimos la suma de series como:

∑

n=0 ∞ a_n +

∑

n=0 ∞ b_n =

∑

n=0 ∞

(

a_n + b_n

)

.

Si λ ∈ C, se define la multiplicación de una serie por un escalar por: λ •

∑

n=0 ∞ a_n =

∑

n=0 ∞ λ a n. La multiplicación de series se define por:

∑

n=0 ∞ a_n •

∑

n=0 ∞ b_n =

∑

n=0 ∞ c_n, donde ∀ n ∈ N ∪ {0}, c

n es el número complejo definido por c

n = _k=0

∑

n

a_n–k b_k, es decir obtenemos

∑

n=0 ∞ a_n •

∑

n=0 ∞ b_n =

∑

n=0 ∞ ⎝ ⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎞

∑

k=0 n a_n–k b_k . DEFINICION 1.2.31:

Asociada con una serie

∑

n=0

∞

a_n está una sucesión, la sucesión de sus sumas parciales definida como: s_n =

∑

k=0 n a_k. Si la sucesión

_{{ }}

s n n=0

∞ _{es convergente, entonces la serie se llama convergente y al} límite de la sucesión se le llama la suma de la serie:

lim n→∞sn = s = suma de la serie n=0

∑

∞ a_n. Si la sucesión

_{{ }}

s n n=0

∞ _{es divergente, entonces se dice que la serie es divergente.} En caso de que la serie

∑

n=0 ∞

a_n sea convergente, frecuentemente se utiliza el mismo

símbolo para la serie

∑

n=0 ∞

EJEMPLOS 1.2.32: 1) Sea a_n = n, n ∈ N, s_n = ∑ k=0 n k = n ( n + 1 )₂ , de donde lim n→∞sn = ∞, por consiguiente la serie ∑ n=0 ∞ n diverge. 2) Sea q ∈ C, | |q < 1, a ∈ C. Sea a n = a q n , n ∈ N ∪ {0}. Entonces s_n =

∑

k=0 n a_k =

∑

k=0 n a qk = a 1 – q n + 1 1 – q , por lo que

∑

n=0 ∞ a_n =

∑

n=0 ∞ a qn = lim n→∞sn = limn→∞⎣ ⎡ ⎦ ⎤ a 1 – q n + 1 1 – q = a 1 – q. 3) Sea a_n = ⎝ ⎛ ⎠ ⎞ 1 2n + i 1 3n , n ∈ N ∪ {0}. s_n =

∑

k=0 n a_k =

∑

k=0 n ⎝ ⎛ ⎠ ⎞ 1 2k + i 1 3k = 1 – ⎝ ⎛ ⎠ ⎞ 1 2 n+1 1 – 1₂ + i 1 – ⎝ ⎛ ⎠ ⎞ 1 3 n+1 1 – 1₃ , por lo que

∑

n=0 ∞ a_n =

∑

n=0 ∞ ⎝ ⎛ ⎠ ⎞ 1 2n + i 1 3n = limn→∞sn = 1 1 – 1₂ + i 1 1 – 1₃ = 2 + 3 i₂ .

4) Consideremos las series

∑

n=0 ∞ xn n!,

∑

_n=0 ∞ yn n!, donde x, y ∈ C. Entonces

⎝

⎜

⎜

⎛

⎠

⎟

⎟

⎞

∑

_n=0∞ xn n! •

⎝

⎜

⎜

⎛

⎠

⎟

⎟

⎞

∑

_n=0∞ yn n! =

∑

n=0 ∞

⎝

⎜

⎜

⎛

⎠

⎟

⎟

⎞

∑

_k=0n xn–k (n – k)! • yk k! =

∑

n=0 ∞ 1 n! ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎟ ⎞

∑

_k=0n n! k! (n – k)! x n–k yk =

∑

n=0 ∞ 1 n! ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎟ ⎞

∑

k=0 n

( )

n k x n–k yk =

∑

n=0 ∞ 1 n! (x + y) n .

La siguiente Proposición nos muestra que si dos series convergen, entonces su suma y el producto por escalar convergen.

PROPOSICION 1.2.33: Sean

∑

n=0 ∞ a_n = r,

∑

n=0 ∞

b_n = s, dos series convergentes, y sea c ∈ C. Entonces las

series

∑

n=0 ∞

(

a_n + b_n

)

y

∑

n=0 ∞ c a_n convergen y además: i)

∑

n=0 ∞

(

a_n + b_n

)

= r + s =

∑

n=0 ∞ a_n +

∑

n=0 ∞ b_n. ii)

∑

n=0 ∞ c a_n = c r = c

∑

n=0 ∞ a_n. DEMOSTRACION: Sea r_n =

∑

k=0 n a_k, s_n =

∑

k=0 n b_k, t_n =

∑

k=0 n

(

a_k + b_k

)

, u_n =

∑

k=0 n c a_k. Entonces tendremos t n = rn + sn, un = c rn, lim_n→∞rn = r y _nlim_→∞sn = s.

i)

∑

n=0 ∞

(

a_n + b_n

)

= lim n→∞tn = r + s = n=0

∑

∞ a_n +

∑

n=0 ∞ b_n. ii)

∑

n=0 ∞ c a_n = lim n→∞un = c r = c n=0

∑

∞ a_n. ♦♦♦♦ TEOREMA 1.2.34: La serie

∑

n=0 ∞

a_n converge ⇔ ∀ ε > 0 existe n₀ ∈ N tal que ∀ m > n ≥ n₀,

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

∑

k=n+1 m a_k < ε. DEMOSTRACION: Sea s_n =

∑

k=0 n a_k. Se tiene que:

∑

n=0 ∞ a_n converge ⇔

_{{ }}

s n n=0 ∞ _{converge ⇔}

{ }

s n n=0 ∞ es de Cauchy ⇔ ∀ ε > 0, existe n₀ ∈ N tal que ∀ m > n ≥ n₀,

_|

s_m – s_n

_|

=

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

∑

k=0 m a_k –

∑

k=0 n a_k = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

∑

k=n+1 m a_k < ε. ♦♦♦♦ EJEMPLO 1.2.35:

Vamos a probar que la serie

∑

n=1

∞ 1

n diverge. Supongamos que

∑

n=1 ∞

1

n converge,

entonces dado ε = 1₃, existe n₀ ∈ N tal que ∀ m > n ≥ n₀,

∑

k=n+1

m 1

entonces se tiene 1₃ >

∑

k=n+1 2n 1 k = 1 n + 1 + 1 n + 2 + … + 1 2 n ≥ 1 2 n + 1 2 n + … + 1 2 n = n 2 n = 1 2, es decir 1 3 > 1

2, lo cual es absurdo y por lo tanto hemos probado que la serie

∑

n=1 ∞

1

n (llamada la serie armónica) diverge.

El siguiente resultado nos dice como deber ser los términos de las series convergentes. PROPOSICION 1.2.36:

Si la serie

∑

n=0

∞

a_n converge, entonces lim

n→∞an = 0. DEMOSTRACION: Sea s_n =

∑

k=0 n a_k y sea lim n→ ∞sn = s. Se tiene que an = sn – sn – 1, n ≥ 1 ⇒ lim n→∞an = limn→∞sn – limn→∞sn–1 = s – s = 0. ♦♦♦♦ COROLARIO 1.2.37: Sea

∑

n=0 ∞

a_n una serie tal que la sucesión

_{{ }}

a n n=0

∞ _{no converge a 0. Entonces la serie} diverge.

Se sigue inmediatamente de la Proposición 1.2.36. ♦♦♦♦ OBSERVACION 1.2.38:

El recíproco de la Proposición 1.2.36 es falso, pues por ejemplo la serie

∑

n=1

∞ 1

n diverge pero lim

n→∞

1 n = 0.

TEOREMA 1.2.39 (CRITERIO DE DIRICHLET): Sean

_{{ }}

a

n n=1

∞ _{⊆ R, tal que}

{ }

a

n n=1

∞ _{es decreciente (es decir a}

n+1 ≤ an ∀ n ∈ N) con lim n→∞an = 0, y

{ }

bn n=1 ∞ _{⊆ C tal que}

{ }

r n n=1 ∞ _{es acotada, donde r} n = _k=1

∑

n b_k. Entonces la serie

∑

n=1 ∞ a_n b_n converge. DEMOSTRACION:

Por inducción se puede fácilmente probar que si s_n =

∑

k=1 n a_k b_k, entonces ∀ n > m:

∑

k=m n a_k b_k = s_n – s_m–1 =

∑

k=m n–1 r_k

₍

a_k – a_{k + 1}

₎

– r_m–1 a_m + r_n a_n. Entonces:

|

s_n – s_{m – 1}

|

≤

∑

k=m n–1

| |

r_k

_|

₍

a_k – a_{k + 1}

₎

_|

+

_|

r_m–1

_|

_{| |}

a_m +

_{| |}

r_n

_{| |}

a_n ≤ M

∑

k=m n–1

(

a_k – a_{k + 1}

)

+ M a_m + M a_n = M

_[

a_m – a_n + a_m + a_n

_]

= 2 M a_m,

donde

_{| |}

r_k ≤ M ∀ k ∈ N (observemos que a_n ≥ 0 ∀ n ∈ N). Dada ε > 0, existe n₀ ∈ N tal que ∀ n ≥ n₀,

_{| |}

a_n < _2Mε .

Sea n > m ≥ n₀ ⇒

_|

s_n – s_m

_|

≤ 2 M a_m < 2M _2Mε = ε ⇒

_{{ }}

s n n=1 ∞ _{es de Cauchy ⇒}

{ }

s n n=1 ∞ _{converge. ♦♦♦♦}

COROLARIO 1.2.40 (SERIES ALTERNANTES): Sea

_{{ }}

a n n=1 ∞ _{⊆ R tal que}

{

a

}

n n=1 ∞ _{es decreciente y} lim n→∞an = 0. Entonces

∑

_n=1 ∞ (– 1)n a_n es convergente. DEMOSTRACION: Sea b_n = (– 1)n, r_n =

∑

k=1 n b_k =

∑

k=1 n ( – 1 )k = ⎩ ⎨ ⎧– 1 si n es impar 0 si n es par ⇒

| |

rn ≤ 1 ∀ n ∈ N ⇒

∑

n=1 ∞ a_n b_n =

∑

n=1 ∞ (– 1)n a_n converge. ♦♦♦♦ DEFINICION 1.2.41: Sea

∑

n=0 ∞

a_n una serie de números complejos.

∑

n=0 ∞

a_n se llama absolutamente

convergente si la serie de números reales no negativos

∑

n=0 ∞

Si la serie

∑

n=0 ∞

a_n es absolutamente convergente, entonces es convergente y se tiene

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

∑

n=0 ∞ a_n ≤

∑

n=0 ∞

| |

a_n. DEMOSTRACION:

Sea ε > 0, existe n₀ ∈ N tal que ∀ m, n ≥ n₀, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

∑

k=n+1 m a_k ≤

∑

k=n+1 m

| |

a_k < ε, entonces

∑

n=0 ∞

a_n es de Cauchy y por lo tanto converge. Además se tiene que ∀ n ∈ N, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

∑

k=0 n a_k ≤

∑

k=0 n

| |

a_k ⇒ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

∑

n=0 ∞ a_n = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ lim n→∞_k=0

∑

n a_k = lim n→∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

∑

k=0 n a_k ≤ lim n→∞_k=0

∑

n

| |

a_k =

∑

n=0 ∞

| |

a_n. ♦♦♦♦ OBSERVACION 1.2.43:

El recíproco del Teorema 1.2.42 es falso, por ejemplo consideremos la serie anarmónica

∑

n=0 ∞ (– 1)n n : si an = 1 n, entonces an+1 = 1 n+1 < 1 n = an, entonces por 1.2.40

∑

_n=0∞ (– 1)n

n converge pero no es absolutamente convergente pues la serie

∑

_n=0 ∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (– 1)n n =

∑

_n=0∞ 1 n diverge. DEFINICION 1.2.44:

Una serie convergente pero que no es absolutamente convergente se llama condicionalmente convergente. PROPOSICION 1.2.45: Sea

∑

n=0 ∞

z_n una serie de números complejos, z_n = x_n + i y_n. Entonces

∑

n=0 ∞ z_n converge ⇔

∑

n=0 ∞ x_n y

∑

n=0 ∞ y_n convergen. DEMOSTRACION:

Es una aplicación inmediata de la Proposición 1.2.5 para sucesiones. ♦♦♦♦

Debido a que una serie absolutamente convergente es convergente, es importante saber cuáles series son absolutamente convergentes; éstas tienen términos no negativos, por lo que a continuación estudiaremos este tipo de series y algunos criterios para su convergencia. PROPOSICION 1.2.46: Sea

_{{ }}

a n n=1 ∞ _{⊆ R tal que a} n ≥ 0 ∀ n ∈ N. Entonces _n=1

∑

∞ a_n converge ⇔

_{{ }}

s n n=1 ∞

está acotada, donde s_n =

∑

k=1 n a_k. DEMOSTRACION: Se tiene que s_n+1 – s_n = a_n+1 ≥ 0 ⇒

_{{ }}

s n n=1

∞ _{es creciente y por lo tanto}

{ }

s

n n=1 ∞ ∞

TEOREMA 1.2.47 (TEOREMA DE COMPARACION): Sean

_{{ }}

a n n=1 ∞ _,

{ }

b n n=1 ∞ _{⊆ R tales que 0 ≤ a} n ≤ bn ∀ n ∈ N. Entonces se tiene: i) Si

∑

n=1 ∞ a_n diverge, entonces

∑

n=1 ∞ b_n diverge. ii) Si

∑

n=1 ∞ b_n converge, entonces

∑

n=1 ∞ a_n converge. DEMOSTRACION: Sea s_n =

∑

k=1 n a_k, r_n =

∑

k=1 n b_k, s_n ≤ r_n ∀ n ∈ N.

i) Se tiene que lim

n→∞sn = ∞ ⇒ limn→∞rn = ∞ ⇒ _n=1

∑

∞

b_n diverge.

ii) Existe M > 0 tal que r_n ≤ M ∀ n ∈ N ⇒ s_n ≤ M ∀ n ∈ N ⇒

∑

n=1 ∞ a_n converge. ♦♦♦♦ EJEMPLO 1.2.48: 1) Consideremos la serie

∑

n=1 ∞ 1 n (n + 1). Sea s_n =

∑

k=1 n 1 k (k + 1) =

∑

k=1 n ⎝ ⎛ ⎠ ⎞ 1 k – 1 k + 1 = 1 – 1 n + 1 ⇒ lim_n→∞sn = 1, por lo tanto

∑

n=1 ∞ 1 n (n + 1) = 1.

Ahora ∀ n ∈ N, (n + 1)2 > n (n + 1) ⇒ 1 (n + 1)2 < 1 n (n + 1) entonces

∑

_n=1∞ 1 n2 = 1 +

∑

_n=1 ∞ 1 (n + 1)2 < 1 +

∑

_n=1 ∞ 1 n (n + 1) = 1 + 1 = 2, por lo tanto

∑

_n=1∞ 1 n2 converge.

2) Sea α ∈ R tal que α ≤ 1, entonces nα ≤ n ∀ n ∈ N ⇒ 1_n ≤ 1

nα y puesto que

∑

_n=0∞ 1 n diverge,

∑

n=0 ∞ 1 nα diverge ∀ α ∈ R, α ≤ 1.

El siguiente es el criterio más importante (aún cuando es una consecuencia del Teorema de comparación) para las series con términos no negativos.

TEOREMA 1.2.49 (CRITERIO DE CAUCHY O DE LA RAÍZ):

Sea

_{{ }}

a n n=0 ∞ _{⊆ R, a} n ≥ 0 ∀ n ∈ N ∪ {0}. Sea ρ = lim_n→∞

√

⎯

n a_n. Entonces: i) Si ρ < 1,

∑

n=0 ∞ a_n converge. ii) Si ρ > 1,

∑

n=0 ∞ a_n diverge.

iii) Si ρ = 1, no se puede afirmar nada. DEMOSTRACION:

i) ρ k 1 Sea ρ < 1. Sea k ∈ R tal que ρ < k < 1. Ahora, existe n₀ ∈ N tal que ∀ n ≥ n₀,

_√

_⎯

n a_n < k ⇒ a_n < kn ∀ n ≥ n₀. La serie

∑

n=n 0+1 ∞ kn converge pues |k| = k < 1. Entonces se tiene

∑

n=0 ∞ a_n =

∑

n=0 n 0 a_n +

∑

n=n 0+1 ∞ a_n ≤

∑

n=0 n 0 a_n +

∑

n=n 0+1 ∞ kn < ∞, por lo tanto

∑

n=0 ∞ a_n converge.

ii) Sea ρ > 1. Sea t ∈ R tal que 1 < t < ρ. 1 t ρ Existe una subsucesión

{ }

a_n

k k=0

∞ _{tal que lim} k→∞

√

⎯⎯

n

k _a

n_k = ρ. Existe k0 ∈ N tal que ∀ k ≥ k0,

√

⎯⎯

n k _a n_k > t ⇒ a_n k > t n_k ∀ k ≥ k₀ ⇒ lim k→∞ank = ∞ pues t > 1 ⇒

{ }

an n=0 ∞ _{no converge a 0, por lo} tanto

∑

n=0 ∞ a_n diverge.

iii) Se darán series

∑

n=1 ∞

a_n,

∑

n=1

∞

b_n tales que lim n→∞

√

⎯

n a_n = lim n→∞

√

⎯

n b_n = 1, a_n, b_n ≥ 0 y tales que

∑

n=1 ∞ a_n converge y

∑

n=1 ∞ b_n diverge. Sea a_n = 1 n2, bn = 1 n, lim_n→∞

√

⎯

n a_n = lim n→∞

√

⎯

n b_n = 1.

∑

n=1 ∞ a_n converge,

∑

n=1 ∞ b_n diverge. ♦♦♦♦

TEOREMA 1.2.50 (CRITERIO DE D'ALAMBERT O DEL COCIENTE):

Sea

_{{ }}

a n n=0 ∞ _{⊆ R tal que a} n > 0 ∀ n ∈ N ∪ {0} y sea lim_n→∞ a_n+1 a_n = ρ.

i) Si ρ < 1,

∑

n=0 ∞ a_n converge. ii) Si ρ > 1,

∑

n=0 ∞ a_n diverge.

iii) Si ρ = 1, no se puede afirmar nada. DEMOSTRACION:

Por 1.2.26 se tiene que lim n→∞

√

⎯

n

a_n = lim n→∞

a_n+1

a_n = ρ. Entonces i), ii) se siguen inmediatamente de 1.2.49. Para iii) se pueden dar los mismos ejemplos de 1.2.49 iii).

♦ ♦ ♦ ♦ EJEMPLOS 1.2.51:

1) Sea x ∈ C, consideremos la serie

∑

n=0 ∞ xn n!. Sea a_n = x n n!,

| |

an = |x|n

n! ≥ 0. Si x = 0, es claro que la serie converge. Sea x ≠ 0, entonces

_{| |}

a_n > 0. Se tiene lim

n→∞

|

a_n+1

|

| |

a_n = limn→∞ |x|n+1 (n + 1)! |x|n n! = lim n→∞ |x| n + 1 = 0 < 1, por lo que serie

∑

n=0 ∞ xn n! es absolutamente convergente ∀ x ∈ C.

2) Sea

∑

n=1 ∞ n ! nn, an = n ! nn, limn→∞ a_n+1 a_n = _nlim_→∞ (n + 1)! (n + 1)n + 1 n! nn = lim n→∞ nn (n + 1)n = lim n→∞ 1 ⎝ ⎛ ⎠ ⎞ n+1 n n = lim n→∞ 1 ⎝ ⎛ ⎠ ⎞ 1 + 1_n n =1_e < 1, por lo tanto

∑

n=1 ∞ n ! nn converge.

Además se tiene que lim n→∞ n! nn = 0. 3) Consideremos la serie

∑

n=1 ∞ np cn con c ∈ C, |c| > 1, p ∈ R. Sea a n = np cn,

| |

an = np |c|n > 0. Entonces limn→∞

⎯⎯

√

n

| |

a_n = lim n→∞

⎯

√

n np |c|n = 1 |c| < 1. Por lo tanto la serie es absolutamente convergente y por lo tanto convergente. Además lim

n→∞

np cn = 0.

A continuación damos el Teorema de Cauchy sobre la convergencia de un producto de series.

Sean

_{{ }}

a n n=0 ∞ _y

{ }

b n n=0 ∞ _{⊆ C tal que}

_∑

n=0 ∞ a_n = s es absolutamente convergente y

∑

n=0 ∞

b_n = r es convergente. Entonces se tiene que la serie ⎝ ⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎞

∑

n=0 ∞ a_n • ⎝ ⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎞

∑

n=0 ∞ b_n =

∑

_n=0∞ ⎝⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎞

∑

k=0 n a_n–k b_k es convergente y se tiene ⎝ ⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎞

∑

n=0 ∞ a_n • ⎝ ⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎞

∑

n=0 ∞ b_n = r s. DEMOSTRACION: Sean s_n =

∑

k=0 n a_k, t_n =

∑

k=0 n b_k, u_n =

∑

k=0 n c_k, donde c_k =

∑

i=0 n a_k–i b_i, r_n =

∑

k=0 n

| |

a_k.

Se tiene que lim

n→ ∞sn = s, limn→ ∞tn = r. Por inducción es fácil ver que un = k=0

∑

n c_k =

∑

k=0 n a_k t_{n – k}. Ahora s_n t_n – u_n = ⎝ ⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎞

∑

k=0 n a_k t_n – u_n =

∑

k=0 n a_k t_n –

∑

k=0 n a_k t_{n – k} =

∑

k=0 n a_k

₍

t_n – t_{n – k}

₎

. Ahora

_{{ }}

r n n=0 ∞ _y

{ }

t n n=0

∞ _{son convergentes, existe M > 0 tal que}

| |

r_n < M y

_{| |}

t_n < M ∀ n ∈ N ∪ {0}.

Sea ε > 0, existe n₀ ∈ N tal que ∀ m, n ≥ n₀,

_|

t_m – t_n

_|

< _{3 M}ε y

_|

r_m – r_n

_|

≤

∑

k=n+1 m

| |

a_k < _{3 M}ε . Sea n ≥ 2 n₀, entonces n – n₀ + 1 ≥ 2n₀ – n₀ + 1 = n₀ + 1 > n₀, por lo

que

_|

s_n t_n – u_n

_|

≤

∑

k=0 n

| |

a_k

_|

t_n – t_{n – k}

_|

=

∑

k=0 n 0

| |

a_k

_|

t_n – t_{n – k}

_|

+

∑

k=n 0+1 n

| |

a_k

_|

t_n – t_{n – k}

_|

.

Ahora en la primera suma, k ≤ n₀ ⇒ n – k ≥ n – n₀ > n₀ ⇒

_|

t_n – t_{n – k}

_|

< _3Mε ; además

_|

t_n – t_{n – k}

_|

≤

_{| |}

t_n +

_|

t_n–k

_|

≤ 2 M ∀ k ∈ N ∪ {0} ⇒

_|

s_n t_n – u_n

_|

≤

∑

k=0 n 0

| |

a_{k ⎝}⎛_3Mε _⎠⎞ +

∑

k=n 0+1 n

| |

a_k (2M = ) _⎝⎛_3Mε _⎠⎞ ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎟ ⎞

∑

k=0 n 0

| |

a_k + (2M ) ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎟ ⎞

∑

k=n 0+1 n

| |

a_k < ε 3M • M + 2 M • ε 3M = ε. Ahora

_{

s_n t

_}

n n=0 ∞ _{es convergente y lim} n→ ∞sn tn = s r, por lo tanto

{ }

un n=0 ∞ _es convergente con ⎝ ⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎞

∑

n=0 ∞ a_n • ⎝ ⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎞

∑

n=0 ∞ b_n =

∑

n=0 ∞ c_n = lim n→∞un = limn→∞sn tn = s r. ♦♦♦♦ OBSERVACION 1.2.53:

Si ninguna de las series es absolutamente convergente en el Teorema anterior, el producto no tiene porque ser convergente, por ejemplo si a

n = bn = 1 √ ⎯ n, entonces por 1.2.40 se tiene que

∑

n=1 ∞ (– 1)n √

⎯ n es convergente. Ahora consideremos el producto

⎝⎜

⎜

⎜

⎛

⎠⎟

⎟

⎟

⎞

∑

_n=1∞ (– 1)n √ ⎯ n •

⎝⎜

⎜

⎜

⎛

⎠⎟

⎟

⎟

⎞

∑

_n=1∞ (– 1)n √ ⎯ n = n=1

∑

∞ c_n con c_n =

∑

k=1 n a_k b_{n – k + 1} =

∑

_k=1n ⎝⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎞ (– 1)k √ ⎯ k (– 1)n–k+1 √ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ n – k + 1 = (– 1) n+1

∑

_k=1n 1 √ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ k ( n – k + 1 ). Puesto que 1 ≤ k ≤ n,