4. introducción a los modelos de computación CONTENIDO LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS

(1)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS

4. introducción a los modelos de computación

CONTENIDO

Funciones: propiedades, comparación del tamaño de conjuntos, cantidad de

funciones [H2.3], funciones de cifrados, funciones hash [H2.3], funciones

recursivas [H3.2]. Lógica como modelo de computación [G1.5]. Lenguajes Formales: características, descripciones,

operaciones, usos [G8.4]. Conjuntos

contables [H2.4]. Diagonalización [H2.4].

Límites de la computabilidad [H2.4.3]. 1

(2)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS bibliografía

GERSTING, JUDITH L. “Mathematical Structures for Computer Science: A Modern Approach to Discrete

Mathematics”. W H Freeman & Co, 2006.

HEIN, JAMES. Discrete Structures,

Logic and Computability. Jones and Bartlett Publishers. 1995 - 2001

(3)

propiedades de funciones (repaso)

Sea f: A→B una función. Diremos que f es inyectiva si y sólo si

x,yA x≠y → f(x) ≠ f(y). Es decir, a elementos distintos del

conjunto de partida le corresponden elementos distintos del codominio,

o lo que es lo mismo

x,yA f(x) = f(y) → x=y

(4)

Sea f: A→B una función. Diremos que f es sobreyectiva si y sólo si

yB x A : f(x) = y.

Es decir, la imagen de f es igual al codominio de la función.

(5)

Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Si f es biyectiva, entonces su inversa f-1

es también una función y además biyectiva.

(6)

Ejemplos:

La función f : R → Z definida como

f(x) = ┌x+1┐

es sobreyectiva porque para cualquier

y  Z existe un número en R, y – 1 tal que f(y – 1) = y.

Pero f no es inyectiva porque, por ejemplo, f(2.5) = f(2.6).

(7)

Ejemplos:

La función f : Z → Z definida como

f(x) = x+1

es sobreyectiva porque para cualquier

y  Z existe un número en Z, y – 1 tal que f(y – 1) = y.

Además f es inyectiva porque, x,yA x≠y → f(x) ≠ f(y).

Concluimos que f es biyectiva.

La inversa de f, f-1_{: Z}_→_{Z se define}

como f-1 _{(y) = y-1.}

(8)

Ejercicios

Cuáles de las siguientes funciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas (si es biyectiva encontrar la inversa):

1. f:N₃ →N₃ definida como f(x)=2x mod 3. 2. Sea Σ={a,b}

f:Σ* → N definida como f(w)=|w|. f:Σ* → Z definida como f(w)=|w|. f:Σ* → Σ* definida como f(w)=aw

(9)

la función modulo e inversas

Lema:

Sea n > 1 y sea f : N_n → N_n definida

como sigue, donde a y b son enteros:

f(x) = (ax + b) mod n.

Entonces f es una biyección si y sólo si el mcd(a,n)=1. Cuando esto ocurre, la función inversa f-1 _{se define como}

f-1 _(x)=(kx+c) _mod _n

donde c es un entero tal que f(c)=0 y k

es un entero tal que 1 = ak + nm para algún entero m.

(10)

principio del palomar

Si m palomas vuelan a un palomar que

contiene n celdas

donde m> n entonces una celda tendrá dos o más palomas

Si A y B son conjuntos finitos con |A| > |B|, entonces toda función de A a B mapea al menos dos elementos de A a un único elemento de B. Esto es lo mismo que

decir que no se puede definir una función inyectiva de A a B.

(11)

principio del palomar

Ejemplos:

1. El juego de la silla, cuando juegan m

personas y quedan m-1 sillas.

2. En un grupo de 8 personas dos

deben haber nacido el mismo día de la semana.

3. En un conjunto de n+1 enteros

existen (al menos) dos que tendrán el mismo resto al ser divididos por n.

(12)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS funciones de cifrado

Función de cifrado para traducir letras de un alfabeto, donde cada letra se

codifica con un número del 0 al 26: f(x)=(x+5) mod 27

La función f “corre” la letra 5 posiciones.

Ejemplo:

Codificamos la palabra hola como mtpf 12

(13)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS funciones de cifrado Preguntas:

¿Es f una biyección?

¿Cómo decodificamos el mensaje?

f−1₍_x_{) = (}_x_{– 5) mod 27.}

Sabemos f(26)=4

f−1_{(4) = (4 – 5) mod 27 =(–1) mod 27 =26}

(14)

criptoanálisis y funciones de cifrado

Criptoanálisis (del griego

kryptós, "escondido" y

analýein, "desatar") es el estudio de los métodos

para obtener el sentido de una información cifrada,

sin acceso a la información secreta requerida para

obtener este sentido normalmente.

Fialka (M-125)

fuente: wikipedia

(15)

La función f(x)=(x+5) mod 27 es un ejemplo de función de cifrado aditiva.

Las funciones de cifrado aditivas son

monoalfabética: un carácter del alfabeto es siempre reemplazado por un mismo carácter del alfabeto.

Dado mtpf podemos deducir fácilmente que codifica la palabra hola.

Otra funciones de cifrado monoalfabéticas son las funciones de cifrado multiplicativas.

Ejemplo: g(x) = 3x mod 27 ¿Es g una biyección?

(16)

Otro ejemplo de funciones de cifrado

monoalfabéticas son las funciones de cifrado afines

Utilizan un par de claves: (M,A)

Ejemplo:

clave (4,5)

f(x) =(4x + 5) mod 27.

Pregunta:

¿Cómo desciframos los mensajes?

(17)

funciones de cifrado y puntos fijos

Lema

Sea n > 1 y sea f : N_n → N_n definida como sigue donde a y b son enteros

f(x) = (ax + b) mod n.

Entonces f no tiene puntos fijos si y sólo si mcd(a – 1, n) no divide a b.

(18)

funciones de cifrado y puntos fijos

Ejemplo

La función de cifrado

f(x)=(4x + 5) mod 27 no tiene puntos fijos porque:

mcd(4-1,27)=mcd(3,27)=3, y 3 no divide a 5

Por otra parte, la función de cifrado f(x)=(4x + 6) mod 27

tiene puntos fijos. ¿Cuáles son?

(19)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS funciones hash

Una

función hash

es una función

que mapea un conjunto S de

claves a un conjunto finito de

índices 0, 1, . . . , n – 1 de una

tabla.

Una tabla cuya información se

encuentra utilizando una función

de hash se denomina

tabla hash

.

19

(20)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS funciones hash Ejemplo:

Mapear las abreviaturas de los meses del año utilizando la función de hash f: S → {0,1,…,11} de la siguiente

manera.

f(XYZ) = (ord(X)+ord(Y)+ord(Z)) mod 12 donde ord(X) el código ASCII de X.

(21)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS funciones hash Colisiones:

¿Cómo asignar un nuevo valor?

Sondeo Lineal:

Buscar hasta encontrar un espacio libre:

(k + 1) mod n, (k + 2) mod n, …, (k + n) mod n. 21

(22)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS funciones hash Preguntas:

¿Es posible encontrar una función inyectiva de tal manera que no existan colisiones?

¿Si incrementamos el tamaño de la tabla, sería más simple encontrar una función inyectiva?

¿Si el tamaño de la tabla es incrementado, podemos dispersar los elementos de tal manera que las colisiones puedan ser resueltas en menor tiempo?

(23)

Sondeo lineal utilizando huecos (gaps)

Buscar hasta encontrar un espacio libre:

(k + g) mod n,(k + 2g) mod n,...,(k + ng) mod n.

Ejemplos: Para n = 12 y g = 4 k = 7: 11, 3, 7, 11, 3, 7, 11, 3, 7, 11, 3, 7. Para n = 12 y g = 5 k=7 0, 5, 10, 3, 8, 1, 6, 11, 4, 9, 2, 7. Si queremos encontrar una biyección necesitamos mcd(g,n)=1 (1≤g<n) 23

(24)

Aplicaciones de las funciones hash:

 Acceso rápido a archivos.

 Identificar archivos (por ejemplo, usado

en sistemas P2P).

 Corroborar que un archivo no haya

cambiado (test de integridad).

(25)

funciones recursivas sobre naturales (tema a verse en clase práctica)

Sea suc la función sucesor

suc es tal que suc(x) = x+1.

Definición recursiva de suma

Podemos definir la función suma recursivamente como sigue:

suma(m,0) = m

suma (m, n+1) = suc (suma (m, n)) 25

(26)

Definición recursiva de producto:

prod(n,0) = 0

prod(m, n+1) = suma (m,prod(m, n))

Definición recursiva de exponenciación:

exp(m,0) = 1

exp(m, n+1) = prod(m,exp(m, n))

Nota: usaremos +,* y ↑ para denotar suma, producto y exponenciación,

respectivamente. 26

(27)

Suma de números impares

f(n)=1 + 3 + ··· + (2n + 1) =(1 + 3 + ··· + (2n − 1)) + (2n + 1) =(1 + 3 + ··· + 2(n − 1) + 1) + (2n +1) = f (n − 1) + 2n + 1. Definición recursiva de f f (0) = 1, f (n + 1) = f (n) + 2n + 3. 27

(28)

Definición recursiva de fibonacci

fib(0) = 0,

fib(1) = 1,

fib(n+2) = fib(n+1) + fib(n)

(29)

funciones recursivas sobre cadenas (tema a verse en clase práctica)

Al trabajar con cadenas, asumiremos que nuestro alfabeto está compuesto sólo por los símbolos a y b.

Sea complemento una función definida sobre cadenas tal que transforma las a’s en b’s y viceversa.

Definición recursiva de complemento

comp(λ) = λ

comp(a.w) = b.comp(w)

comp(b.w) = a.comp(w) 29

(30)

funciones recursivas sobre listas (tema a verse en clase práctica)

Notación

 L = [] representa la lista vacía

 L = x :: T representa la lista L con

cabeza (primer elemento) x y cola T.

Definición recursiva de longitud

longitud ([] ) = 0

longitud (a::T) = 1 + longitud (T) .

(31)

funciones recursivas sobre listas (tema a verse en clase práctica)

pares([a, b, c], [1, 2, 3]) = [(a, 1), (b, 2), (c, 3)]

Definición recursiva de pares

pares ([ ] ,[ ] ) =[ ] ,

pares (a :: T, b :: T’) = (a, b) :: pares(T,T’) . 31

(32)

lenguajes formales: definiciones básicas

Un alfabeto (o vocabulario) Σ es un

conjunto finito no vacío de símbolos. Una cadena sobre Σ es una secuencia

finita de símbolos de Σ.

Σ* es el conjunto de todas las cadenas sobre Σ.

Un lenguajes sobre Σ es un subconjunto de Σ*.

Una gramática para un lenguaje puede ser descripta definiendo su proceso generativo.

(33)

gramáticas para lenguajes formales

Una gramática estructura de frase

(tipo 0) es una 4-tupla

G= (V_N, V_T, S, P), donde

 V_N = conjunto de símbolos no terminales.  V_T = conjunto de símbolos terminales.

 S = símbolo inicial de la gramática.

 P = conjunto finito de producciones de la

forma    donde  es una cadena

sobre V_NUV_T con al menos un símbolo de

V_N y  es una cadena sobre V_NUV_T.

(usamos    cuando  es la cadena

nula)

(34)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS derivaciones Sea G=(V_N,V_T, S, P) y sean w₁y w₂ cadenas sobre V_N U V_T.

Decimos que w₁ deriva directamente

w₂, y lo notamos w₁  w₂si









es una producción en P,  w₁ contiene una instancia de



,  w₂ es obtenida a partir de w₁

reemplazando esa instancia de



con



.

(35)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS derivaciones

Si w₁,w₂,...,w_n son cadenas sobre V_N UV_T

y w₁  w₂, w₂  w₃,... w_n_₁ w_n, entonces w₁ genera (deriva) w_n,

Se escribe w₁  w_n

(por convención, w₁  w₁)

+

*

(36)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS lenguaje formal

Dada una gramática G, el lenguaje L

generado por G, denotado L(G), es el conjunto L = {w  V_T*_|_S  _w_}.

En otras palabras, L es el conjunto de todas las cadenas de terminales

generadas a partir de S.

Observación: Una vez que una cadena

w de terminales ha sido obtenida,

ninguna producción puede ser aplicada a w, y w no puede generar otras

palabras.

+

(37)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS ejemplo de derivación Sea L = {0n₁n  _n _1}.

Una gramática para L es G=(V_N,V_T, S, P) donde V_N = {S}, V_T= {0, 1}, y P

consiste de las siguientes producciones:

1. S  0S1

2. S  01

Podemos generar 03₁3 _{como sigue:}

S  0S1

 00S11

 000111

(38)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS ejemplo de derivación Sea L = {an_bn_cn  _n _1}.

Una gramática para L es G=(V_N,V_T, S, P) donde V_N = {S, B, C}, V_T= {a, b, c}, y P consiste de las siguientes

producciones: 1. S  aSBC 2. S  aBC 3. CB  BC 4. aB  ab 5. bB  bb 6. bC  bc 7. cC  cc 38

(39)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS ejemplo de derivación

Podemos generar la cadena a2_b2_c2

como sigue S  aSBC  aaBCBC  aaBBCC  aabBCC  aabbCC  aabbcC  aabbcc 39

(40)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS clases de gramáticas

 Estructura de frase (tipo 0): sin

restricciones.

 Sensible al contexto (tipo 1): para

cada producción



(excepto S ),

|



| ≤ |



|.

 Libre de contexto (tipo 2): para cada

producción



(excepto S),



V_N.

 Regular (tipo 3) para cada producción



(excepto S),



 V_N y



es de la forma t o tW, donde t  V_T y W  V_N.

(41)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS clases de gramáticas Ejercicios

Determinar qué lenguaje genera cada una de las siguientes gramáticas

G=(V_N,V_T, S, P) . Determinar su tipo. 1) V_{N =}{S}, V_T =  P: S  41

(42)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS clases de gramáticas 2) V_{N =}{S} V_T =  P =  3) V_{N =}{S} V_T = {a} P : S  a | aS 42

(43)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS clases de gramáticas 4) V_{N =}{S,A}, V_T = {a} P : S   | aA A  aS 5) V_{N =}{S}, V_T = {a,b} P : S   | SS | aSb | bSa 43

(44)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS clases de gramáticas 6) V_{N =}{S}, V_T = {a,b} P : S  aS aS  bbb 7) V_{N =}{S}, V_T = {a,b} P : S  aS aS  b 44

(45)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS gramáticas y lenguajes Un lenguaje se dice de tipo N si puede ser

generado por una gramática de tipo N

tipo 3 tipo 2 tipo1 tipo 0 Jerarquía de Chomsky Noam Chomsky (1928-) 45

(46)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS dispositivos computacionales

El dispositivo computacional más general se llama máquina de Turing (se verá en

Teoría de Computabilidad) y se corresponde con los lenguajes de tipo 0.

Los lenguajes reconocidos por máquinas de Turing son los lenguajes de tipo 0.

El dispositivo computacional más básico se

llama autómata finito y se corresponde con los lenguajes de tipo 3.

(47)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS dispositivos computacionales

Existen dispositivos computacionales con capacidad intermedia entre

aquellos reconocidos por autómatas finitos y máquinas de Turing (se verán en Teoría de Computabilidad):

 Autómatas a Pila para lenguajes de

tipo 2

 Máquinas de Turing acotadas

linealmente para lenguajes de tipo 1.

(48)

operaciones sobre lenguajes

Los lenguajes son conjuntos (finitos o infinitos) de cadenas y por tal motivo podemos operar sobre ellos:

Operaciones:  unión  intersección  complemento  concatenación  estrella de Kleene 48

(49)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS operaciones

Sean L1 y L2 dos lenguajes sobre un alfabeto Σ : L1  L2 = {w | w  L1 ó w  L2} L1  L2 = {w | w  L1 y w  L2} L1’ = {w | w  Σ* y w  L1} L1  L2 = {w₁w₂ | w₁ L1 y w₂ L2} L1* = {w₁w₂ … w_n | w_i L1, n ≥ 0} 49

(50)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS operaciones Ejercicios

Sea Σ = {a,b} y los siguientes lenguajes definidos sobre Σ Sea L1 = {an_bn _{| n > 0} y sea L2 = {b}n _{| n > 0}} Identificar:  L1  L2  L1  L2  L1’ y L2’  L1  L2  L1* y L2* 50

(51)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS gramáticas regulares

Las gramáticas regulares sirven para generar:

 Cualquier lenguaje finito (aunque

puede volverse una tarea tediosa).

 Lenguajes infinitos que presentan

ciertas regularidades que pueden ser expresada de manera sencilla

utilizando las llamadas expresiones regulares (como veremos más

adelante)

(52)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS gramáticas regulares

Ejemplos de lenguajes que pueden ser generados por gramáticas regulares:

 L=. El lenguaje vacío.

 L=Σ*. para cualquier Σ. El lenguaje

universal.

 L={w| w  {a,b}* donde w tiene m a’s

seguidas de n b’s para m,n >0}.

 L={w| w  {0,1}* donde w tiene

exactamente tres 0’s y tres 1’s}.

(53)

gramáticas libres de contexto

Las gramáticas libres de contexto tienen ciertas características destacadas:

Son sencillas, reemplazan un símbolo por vez.

Pueden ser utilizadas para describir la sintaxis de los lenguajes de

programación.

La derivación de una gramática libre de contexto puede ser vista como un árbol de derivación.

(54)

gramáticas libres de contexto

Ejemplo de lenguajes que pueden ser generados por gramáticas libres de contexto:

 Todos los que pueden ser generados

por gramáticas regulares

 L ={anbn| n > 0}

 L={w|w{(,)}* donde los paréntesis

están balanceados}  L={w| w {a,b}* y w=wr }. Observación: Si w = w₁w₂…w_n, w_i {a,b}, entonces wr = _w nwn-1…w1 54

(55)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS conjuntos contables (se verá al final del curso)

Sean A y B conjuntos. Si existe una biyección entre A y B denotaremos este hecho escribiendo

|A| = |B|.

En este caso diremos que A y B tienen el mismo tamaño o la misma cardinalidad o que son equipotentes.

(56)

Cardinalidad de un conjunto finito

¿Cuál es la cardinalidad del conjunto A definido como sigue?

A = {(x + 1)3 _|₁_≤ ₍_x_{+ 1)}3 _≤ _{3000, x} _N}

Existe una biyección f:{0, 1, . . . , 13} →A

donde f(x) = (x + 1)3_.

Por lo tanto

|A| = |{0, 1, . . ., 13}|= 14.

(57)

Cardinalidad de un conjunto infinito

Sea Impar el conjunto de números naturales impares.

Sea f la función f : N → Impar definida como f(x) = 2x + 1. Dado que f es una biyección, podemos concluir que el

conjunto Impar y N tienen el mismo tamaño. Es decir, |Impar| = |N|.

(58)

Un conjunto se dice contable si es finito o si existe una biyección entre el

mismo y N. En el último caso se dice que el conjunto es infinitamente

contable.

En términos de tamaño decimos que un conjunto S es contable si

|S| = |{0, 1, . . . , n – 1}|

para algún número natural n o |S| = |N|. Si un conjunto no es contable, decimos

que es incontable.

(59)

Propiedades de conjuntos contables a. Todo subconjunto de N es contable.

b. S es contable si y sólo si |S| ≤ |N|.

c. Cualquier subconjunto de un conjunto contable es contable.

d. Cualquier imagen de un conjunto contable es contable.

(60)

Teorema (Hein página 117-118) N  N es un conjunto contable.

Prueba:

Se describe una biyección como sigue (0, 0), ↔ 0, (0, 1), (1, 0), ↔ 1, 2 (0, 2), (1, 1), (2, 0), ↔ 3, 4, 5, (0, n), · · ·



↔ (n2 ₊_n₎_/₂_{,· · ·}



clave: f(x,y) = ((x + y)2 _{+ 3}_x₊_y)/₂ 60

(61)

Teorema (Hein, página 118)

Si S₀, S₁, …, S_n, … es una secuencia de conjuntos contables. Entonces la unión

S₀  S₁  …  S_n  …

es un conjunto contable.

Ejemplos de conjuntos contables:  Los números racionales

 El conjunto Σ* de cadenas sobre un

alfabeto finito Σ.

clave: asociar cada tupla (m, n) en N × N con un elemento x_mn en la unión de los conjuntos dados.

(62)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS diagonalización (se verá al final del curso)

Sea A un alfabeto con dos o más símbolos y sea

S₀, S₁, …, S_n, … un listado contable de

secuencias de la forma S_n=(a_n0, a_n1, …, a_nn, …), donde a_niA. Las secuencias son listadas como las filas de la siguiente matriz infinita

entonces existe una secuencia S=(a₀, a₁, …, a_n,

…) sobre A que no está en la lista original.

(63)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS diagonalización (se verá al final del curso)

Podemos construir S a partir de la lista de elementos diagonales (a₀₀, a₁₁, …, a_nn, …) cambiando cada elemento de tal manera que

a_n≠ a_nn para cada n. Entonces S difiere de cada

S₀en el elemento n-ésimo.

Por ejemplo, tomando dos elementos x,y A definimos       y si y y si x nn nn n a a a 63

(64)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS conjuntos incontables (se verá al final del curso)

Ejercicio

Sea (0, 1) = {x



R | 0 < x < 1} y sea R+

el conjunto de reales positivos.

Mostrar que la función f : (0, 1) → R+

definida como es una biyección.

x

1 x

f(x)





64

(65)

Lema (Hein, página 120)

Los números reales son incontables Prueba

Es suficiente probar que U = (0,1) es incontable. Asumamos por el absurdo que U es contable.

Entonces podemos listar todos los números entre 0 y 1 como una secuencia contable r₀,r₁,r ₂,… r_n, … Cada número real entre 0 y 1 puede ser

representado como un infinito decimal. Entonces para cada n existe una representación

r_n = 0.d_n0d_n1. . . d_nn. . . , donde cada d_nies un dígito decimal. Dado que r_npuede representarse por la secuencia (0.d_n0d_n1. . . d_nn. . . ), entonces, por

diagonalización podemos concluir que existe un decimal infinito que no está en la lista (ver Hein). Concluimos que U es incontable y por lo tanto R es

incontable.

(66)

Lema (Hein, página 121)

El conjunto F de funciones de N en N es incontable

Prueba

Asumamos por el absurdo que F es contable. Entonces podemos listar todas las funciones de N en N como f₀,f₁,f ₂,… f_n, …

Cada función f_n puede ser representada por la secuencia de sus valores (f_n(0)f_n(1). . .

f_n(n). . . ), entonces, por diagonalización, podemos concluir que existe una función que no está en la lista (ver construcción en Hein).

Concluimos que F es incontable. 66

(67)

introducción a los modelos de computación LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS límites de la computabilidad (se verá al final del curso)

Teorema (Hein, página 122)

El conjunto de programas que pueden ser escritos utilizando un lenguajes de

programación es infinitamente contable.

Prueba:

Cada programa es una cadena finita de

símbolos sobre un alfabeto finito fijo. Sea P_n

el conjunto de todos los programas que son cadenas de longitud n sobre A. El conjunto de todos los programas es la unión de los conjuntos P₀, P₁, … , P_n, … Dado que cada

P_nes finito y por lo tanto contable, podemos concluir que la unión es contable.

(68)

Existe “sólo” un número contable de programas de computadora. Por lo tanto existen límites sobre lo que puede ser computado.

Ejemplos

 Dado que existe un número incontable

de funciones de N → N no todas son computables. Existen programa para calcular sólo un conjunto contable de estas funciones.

(69)

Ejemplos (cont.)

 No es posible computar cualquier real hasta un número arbitrario de cifras decimales. La razón es que existe un número contable de programas y un número incontable de

reales.

 Si extraemos los reales computables de R, el conjunto restante sigue siendo incontable. ¿Por qué?

 Los números racionales pueden ser computados.

 Algunos números irracionales pueden ser computados (ejemplo: π).