Consiste en un juego matemático que puedes construirte tú mismo con sólo tres soportes verticales y un
conjunto de aros de diferentes diámetros (puedes hacerlo incluso utilizando monedas de diferentes tamaños
colocadas en tres posiciones diferentes).
Las reglas del juego son las siguientes:
a)
mover cada vez un solo aro
b)
cada aro nunca puede estar colocado encima de otro de menor tamaño.
Se trata de conseguir pasar los aros de un soporte vertical
a otro, sea el intermedio o el del extremo contrario.
Prueba inicialmente con dos aros y luego vas aumentando
sucesivamente el número de éstos. Comprobarás cómo
la dificultad aumenta y el número de movimientos
necesarios para lograrlo es cada vez mucho mayor que
en el caso anterior.
Es interesante que observes la manera de mover los aros de forma que el número total de movimientos sea
el mínimo posible. Puedes comprobar que este número mínimo viene dado por la expresión:
Repasa operaciones matemáticas utilizando potencias. Recuerda los conceptos de exponente y base de una potencia, productos y cocientes de potencias de la misma base.
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Repasa igualmente los conceptos de progresiones aritméticas y geométricas.
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Investiga de dónde procede el nombre de este juego. ¿En qué país se encuentra la ciudad de Hanoi?
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Infórmate de otras leyendas que existen sobre este juego y otros juegos matemáticos. Localiza el lugar de procedencia de las leyendas que acompañan a estos juegos.
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Construye un juego utilizando tres soportes verticales y 3 o 4 aros de cartulina de diferentes tamaños, y prueba a conseguir el paso de los aros de un soporte a otro, sin dejar de cumplir las normas que se te indican en la página anterior. __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________
ANTES DE LA VISITA
1
DURANTE LA VISITA
Realiza el juego y rellena la siguiente tabla donde aparece en una columna el número de movimientos que has realizado, en otra el disco que has tenido que mover (llamando disco número 1 al más pequeño) en cada movimiento y en una última el soporte en el que has colocado el disco (puedes llamarlos I el situado de la izquierda, C el del centro y D a la derecha).
Puedes hacer una tabla para tres, cuatro, cinco o los seis aros.
Nº DEMOVIMIENTOS
DISCO
SOPORTE
Fíjate y anota el soporte dónde llevaste el aro en el primer movimiento y dónde queda construida la torre. __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________
a) ¿Qué disco se mueve en los movimientos impares?_____________________________________
b) ¿Cuántas veces movemos en total este disco?_________________________________________
c) Cuando tienes inicialmente dos aros, ¿cuántas veces mueves el disco número dos? Si tienes tres aros, ¿ cuántas veces mueves el disco número tres? Haz lo mismo con cuatro y cinco aros. ¿Qué conclusión sacas?
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d) Obtén una regla que te indique el número de movimientos de un aro determinado según el número de aros totales.
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e) ¿Cuántas veces movemos el disco 1? ¿Se sigue alguna regla?__________________________
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DESPUÉS DE LA VISITA
Con las anotaciones realizadas durante la visita deduce tus propias conclusiones.
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Analizando las tablas que has construido durante la visita, responde a las siguientes cuestiones:
Si tenías la torre inicial en el soporte de la izquierda y la pasaste al soporte central, ¿dónde tuviste que colocar el aro más pequeño en el primer movimiento para cada caso (torres de 2,3,4 o 5 aros)?
¿Qué observaste cuando pasaste la torre al soporte de derecha?
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3
¿Puedes deducir alguna regla según el número de aros sea par o impar?
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Constrúyete una tabla en la que figure el numero inicial de aros y el de movimientos totales necesarios:
Nº DEDISCOS Nº DEMOVIMIENTOS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Encuentra la relación entre el número de movimientos necesarios para trasladar n aros con los que se necesitan para trasladar n-1 aros. ¿Por qué es así?
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Si tuvieses un juego de las Torres de Hanoi compuesto por 32 aros, ¿cuántos movimientos necesitarías para solucionarlo?
