Cálculo I
3.1. Derivada
Julio C. Carrillo E.
*Índice
1. Introducción 1 2. La derivada 33. Derivadas de orden superior 18
4. Conclusiones 19
Cálculo I
1. Introducción
El término derivabilidad concierne al estudio del límite
l´ım h!0
f(a +h) f(a)
h ,
el cual surge de manera natural en las siguientes situaciones. 1. Rapidez instantánea:
v(t0) = l´ım
t!0
s(t0 + t) s(t)
t .
2. Pendiente de la recta tangente:
mtan(x0) = l´ım
x!0
f(x0 + x) f(x)
x .
3. Tasa de variación instantánea:
dy
dx(x0) = l´ımx!0
f(x0 + x) f(x)
x .
Calcular cualquiera de estas tres cantidades escalares depende de poder calcular el límite
l´ım h!0
f(a +h) f(a)
h .
Cálculo I Hacer lo anterior, conlleva dos dificultades:
1. El cálculo de límite en la practica requiere de una gran cantidad de trabajo algebraico, situación que la puede complicar aún más la forma que tenga la función f. La forma práctica de resolver este problema
es pasar del enfoque algebraico al analítico. En este caso consiste en introducir el concepto de derivada:
l´ım h!0
f(a + h) f(a)
h = f
0(a),
el cual transforma el problema del cálculo de estas cantidades escalares mediante las reglas del límite a calcular f0(a) mediante las reglas de la derivada. De acuerdo con esta definición,
v(t0) = s0(t0), mtan(x0) = f0(x0),
dy
dx(x0) = f
0(x
0),
y calcular estas cantidades escalares se limita a calcular las cantidades de lado derecho. Se llama a
f0(a) la derivada de f en a. De acuerdo con esto, la rapidez instantánea de un objeto en un tiempo t = t0 se obtiene como la derivada de la distancia recorrida por el objeto en el tiempo t0. Algo parecido
se puede hacer en los otros casos. Además esto se hará mediante el uso de las reglas de la derivada y no de las reglas del límite:
l´ım h!0
f(a +h) f(a) h
| {z }
reglas del límite
(algebraico)
= f0(a)
|{z}
reglas de la derivada
(analítico)
Cálculo I 2. Si se cambia el valor de a en el cálculo del límite anterior, se deben repetir nuevamente los cálculos.
Para muchas funciones es posible obtener una fórmula general que proporcione cualquiera de estos valores, al reemplazar a a por x en límite anterior, con lo cual
l´ım h!0
f(x +h) f(x)
h = f
0(x).
Por ejemplo, si se hace
v(t) = l´ım h!0
s(t +h) s(t)
h = s
0(t),
entonces se puede calcular la rapidez instantánea del objeto para todo tiempo t para el cual este límite
exista.
2. La derivada
Definición de derivada
Definición 1 (de derivada como una función). Se define la derivada de la función y = f(x) en x como
la función
f0(x) = l´ım h!0
f(x +h) f(x)
h ,
siempre que el límite exista. Si x = a es un número en el dominio de f donde el límite anterior existe,
entonces f0(a) es un número real.
Cálculo I
Ejemplo 1. Sea f(x) = x2 + 2.
1. Encuentre la derivada de f en x.
2. Encuentre f0( 2) y f0(1).
Solución. El dominio de f es todo R. Si x es un número en el dominio de f, entonces f0(x) = l´ım h!0 f(x + h) f(x) h = l´ım h!0 (x +h)2 + 2 x2 + 2 h = l´ım h!0 (x +h)2 x2 h , a 2 b2 = (a b)(a + b) = l´ım h!0 ((x + h) x) ((x +h) + x) h = l´ım h!0 h(2x + h) h , h 6= 0 = l´ım h!0(2x +h) = 2x
Por lo tanto, para la derivada de la función f(x) = x2 es f0(x) = 2x, y además existe para todo número
real x.
Para la segunda parte, de la derivada de f en x se sigue que f0( 2) = 4 y f0(1) = 2.
Cálculo I
Ejercicio 1. Encuentre la derivada de las siguientes funciones utilizando la definición de derivada. 1. f(t) = t t+ 1. 2. g(z) = p5z 8. 3. V (r) = 4 3⇡r 3.
Notación de la derivada
Las más comunes son:
f0(x), dy
dx, y
0, Dy, Dxy.
Así, si se escribe f(x) = x2 se utiliza la notación f0(x) = x2. O bien, si se escribe y = x2 entonces se
utiliza la notación dy
dx = 2x.
El valor de derivada en número real a es otro número real el cual se denota por los símbolos: f0(a) = f0(x) x=a, dy dx x=a, y 0(a) = y0(x) x=a, Dxy x=a.
Por ejemplo, si f(x) = x2 y x = 3 entonces f0(3) = f0(x)
x=3 = 2x x=3 = 2· 3 = 6.
Cálculo I
Ejemplo 2. Determine f0(0) para f(x) = |x|.
Solución. Se tiene que
f(x) = |x| =
(
x, x 0, x, x < 0.
Como no se tiene una única punción definida para x cercanos a 0, se utiliza la definición de derivada. f0(0) = l´ım h!0 f(0 + h) f(0) h = l´ım h!0 f(h) f(0) h = l´ım h!0 |h| |0| h = l´ım h!0 |h| h ,
la cual es una forma indeterminada 0/0. En este caso no se pueden simplemente cancelar los h’s. Se tiene
que aplicar en este casos los límites laterales:
l´ım h!0 |h| h = l´ımh!0 h h h < 0, |h| = h hl´ım!0+ |h| h = l´ımh!0+ h h h > 0, |h| = h = l´ım h!0 ( 1) = l´ımh!0+1 = 1 = 1.
Cálculo I Como los dos límites laterales son distintos, l´ım
h!0
|h|
h no existe. Como este límite no existe entonces f
0(0)
no existe.
Ejemplo 3 (de recta tangente). Encuentre la ecuación recta tangente a la gráfica de f(x) = x3 en x = 1.
Solución. Por definición
f0(x) = l´ım h!0 f(x + h) f(x) h = l´ım h!0 (x + h)3 x3 h , a 3 b3 = (a b)(a2 +ab +a2) = l´ım h!0 ((x + h) x)) (x +h)2 + (x +h)x +x2 h = l´ım h!0 h (x +h)2 + (x +h)x +x2 h , h 6= 0 = l´ım h!0 (x + h) 2 + (x +h)x + x2 = 3x2. Entonces la derivada de f(x) = x3 es f0(x) = 3x2.
La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto (1, f(1)) = (1,1) es mtan = f0(1) = 3.
Por lo tanto,
y 1 = 3(x 1) ⌘ y = 3x 2
es la ecuación de esta recta a la gráfica de f en el punto (1,1).
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Funciones derivables
Definición 2 (Derivabilidad). Sea f una función dada.
1. Se dice que la función f es derivable en un número x de su dominio si el límite l´ım
h!0
f(x + h) f(x) h
existe.
2. El dominio de la derivada f0 de f está dado por el conjunto de todos los puntos del dominio de f en
los cuales f es derivable; es decir,
Df0 = {x 2 Df : f es derivable en x}.
De acuerdo con esta definición en general el dominio de f y de su derivada f0 son diferentes, pero de
hecho Df0 ✓ Df .
3. Se dice que f es derivable en todo su dominio si el dominio de f y de f0 son iguales: Df0 = Df . Ejemplo 4. El dominio de la función f(x) = x2 son todos los números reales. Como
f0(x) = l´ım h!0
f(x + h) f(x)
h = 2x,
entonces f es derivable para todo número real. Por lo tanto, el dominio de f, y de su derivada f0 son
iguales. Por lo tanto f es derivable en todo su dominio. También se sabe que f es continua en todos los
reales. Por lo tanto, f es continua y derivable en todo su dominio. ⇤
Cálculo I Además de las definiciones anteriores se tienen las siguientes.
Definición 3 (Derivada en un intervalo). Sea f una función dada.
1. Se dice que f es derivable en un intervalo abierto si f es derivable en todo número x en algunos de
los intervalos (a, b), ( 1, b), (a,1).
2. Se dice que f es derivable en todas partes si f es diferenciable en todo R, o en (1,1).
3. Se dice que f es derivable en el intervalo cerrado [a, b] si f es derivable en el intervalo abierto (a, b),
y las dos siguientes derivadas laterales existen:
f+0 (a) = l´ım h!0+
f(a + h) f(a)
h (derivada por la derecha de a), f0 (b) = l´ım
h!0
f(b+ h) f(b)
h (derivada por la izquierda de b).
4. Definiciones semejantes se tiene para la derivabilidad de f en los intervalos [a,1) y (1, b].
Según el Ejemplo, 4 la función f(x) = x2 es continua en todas partes.
La relación que se puede establecer entre derivada y derivadas laterales es la siguiente.
Teorema 1 (derivada y derivadas laterales). La función f es derivable en un número c en el intervalo
abierto (a, b) si y sólo si las derivadas laterales de f en c existen y son iguales: f+0 (c) = f0 (c).
Corolario 1 (no derivabilidad). La función f no es derivable en un número c en el intervalo abierto (a, b) si y sólo si f+0 (c) 6= f0 (c), o alguna de estas derivadas laterales no existe.
Cálculo I
Ejemplo 5. Determine si la función f(x) = px es continua y derivable en todo su dominio.
Solución. El domino de la función f es el intervalo [0,1). También se sabe que f es continua en todo
su dominio. Para determinar si f es derivable en todo su dominio, primero se determina si f es derivable
en el intervalo abierto (0,1) y luego si f es derivable por la derecha de 0.
Supongamos que x esta en el intervalo (0,1). Entonces x > 0 y además,
f0(x) = l´ım h!0 f(x + h) f(x) h = l´ım h!0 p x + h px h = x +h > 0, x > 0 = l´ım h!0 p x + h px h p x + h+px p x + h+px, (a b)(a +b) = a 2 b2 = l´ım h!0 (px +h)2 (px)2 h px + h+px , ( p a)2 = a si a 0 = l´ım h!0 x +h x h px + h+px = l´ım h!0 h h px + h+px , h 6= 0 = l´ım h!0 1 p x + h+px = 1
2px. (regla del cociente de límite)
Cálculo I Así que, la función f(x) = px es derivable para todo x > 0 y ademásf0(x) = 1
2px.
Veamos si f es derivable a la derecha de x = 0: f+0 (0) = l´ım h!0+ f(0 + h) f(0) h = l´ım h!0+ f(h) f(0) h , h > 0 = l´ım h!0+ p h h = l´ım h!0+ h1/2 h = l´ım h!0+ 1 h1/2, h 6= 0 = l´ım h!0+ 1 p h
Como este último límite no existe (?) entonces f+0 (0) no existe; más aún, f+0 (0) = 1. En consecuencia, f
no es derivable en x = 0. Por lo tanto, el dominio de f0 es el intervalo (0,1). Es decir, f no es derivable
en todo su dominio. Así que la función f(x) = px está definida y es continua en [0,1) y derivable en (0,1).
En el ejemplo anterior, como f es continua en x = 0 se tiene que f+0 (0) = l´ım h!0+ 1 p h = l´ımx!0+ 1 p x = l´ımx!0+f 0(x).
Cálculo I Si f no es continua en x = a, en general, este resultado no se puede aplicar. Veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo 6. Determine si la siguiente función es derivable en todo su dominio. Encuentre la derivada de
f.
f(x) =
(
x2, x 2, x3, x > 2.
Solución. El domino de f es todo R. Se debe analizar la derivada de f en los intervalos ( 1,2) y (2,1) y en x = 2.
1. Si x está en intervalo abierto ( 1,2), o bien x < 2, entonces f(x) = x2 y entonces f0(x) = 2x. Por
lo tanto, f es derivable en el intervalo ( 1,2).
2. Si x está en intervalo (2,1) entonces f(x) = x3 y su derivada es f0(x) = 3x2. Por lo tanto, f es
derivable en el intervalo (2,1).
3. Sólo falta analizar la derivada en x = 2. Como f es una función a trozos, se determina si f es derivable
o no en x = 2 mediante la definición de derivadas laterales. En este caso, f0 (2) = l´ım h!0 f(2 + h) f(2) h , h < 0, 2 + h < 2 = l´ım h!0 (2 + h)2 22 h = 4
Cálculo I Además, f+0 (2) = l´ım h!0+ f(2 + h) f(2) h , h > 0, 2 + h > 2 = l´ım h!0+ (2 + h)3 22 h . Dado que l´ım h!0+ (2 + h) 3 22 = 4 6 = 0 y l´ım h!0+h = 0 entonces l´ım h!0+ (2 + h)3 4 h no existe.
Por lo tanto f+0 (2) no existe. En consecuencia, f0(2) no existe.
Por lo tanto, f es derivable para todo número real x en su dominio excepto en x = 2. Es decir, f es
derivable en todo número real x excepto en x = 2. Por lo tanto, f no es derivable en todo su dominio.
La derivada de f es la función
f0(x) =
(
2x, x < 2. 3x2, x > 2.
Cálculo I
Observación 1 (¡cuidado!). En el ejemplo anterior, como f es continua por la izquierda de x = 2: f(2) = l´ım
x!2 f(x) = 4,
entonces se puede calcular la derivada de f por la izquierda de x = 2, sin utilizar la definición, como f0 (2) = l´ım
x!2 f
0(x) = l´ım
x!2 2x = 4.
Como la función f no es continua por la derecha de x = 2: f(2) 6= l´ım x!2+f(x), f(2) = 4, xl´ım!2+f(x) = 8, no se cumple que f+0 (2) = l´ım x!2+f(x). En efecto, f+0 (2) no existe, l´ım x!2+f 0(x) = l´ım x!2+3x 2 = 12.
Ejercicio 2. Determine si la siguiente función es derivable en x = 2.
f(x) =
(
x2, x < 2, x3, x > 2.
¿Es f continua en todo su dominio? ¿Es derivable en todo su dominio?
Cálculo I
Continuidad y derivada
En algunos casos es posible establecer si una función es no derivable en número real de su dominio, como una consecuencia del siguiente resultado.
Teorema 2 (Diferenciabilidad implica continuidad). Si f es derivable en un número a entonces f es
continua en a.
Este resultado permite concluir que si x está en el dominio de f0 entonces x está en el conjunto en donde
la función f es continua; es decir,
Df0 ✓ Df cont ✓ Df.
Ejemplo 7. Se demostró que la función f(x) = px es continua en su dominio, Df = [0,1), y que es
derivable en (0,1). Es decir,
Df0 ⇢ Df cont = Df.
Es decir, f(x) = px es continua pero no derivable en todo su dominio. ⇤
Mediante el siguiente resultado se puede determinar de una manera más fácil si una función no es derivable en un número.
Corolario 2 (Discontinuidad implica no derivabilidad). Si f es discontinua en a entonces f no es
derivable en a.
Ejemplo 8. Determine si la siguiente función es derivable en x = 2.
f(x) =
(
x2, x 2, x3, x > 2.
Cálculo I
Solución. En el Ejemplo 6 se demostró que f0(2) no existe mediante las derivadas laterales. Ahora se
va a demostrar este mismo resultado pero aplicando el Corolario 2.
Veamos si f es continua o no en x = 2. Se tiene que los límites laterales de f en x = 2 existen y son
distintos: l´ım x!2 f(x) = l´ımx!2 x 2 = 4, y l´ım x!2+f(x) = l´ımx!2+x 3 = 8. Es decir, l´ım
x!2f(x) no existe, por lo cual f es discontinua en x = 2. Del corolario anterior se sigue que f
no es derivable en x = 2.
Si una función no es derivable en x = a, no se puede concluir que allí la función es discontinua. Ejemplo 9. La función f(x) = p3 x que es continua pero no es derivable en x = 0:
f(0) = l´ım x!0
3 p
x = 0, f0(0) no existe.
También se puede considerar a modo de ejemplo la función f(x) = |x| en x = 0, la cual es continua pero
no derivable en x = 0:
f(0) = l´ım
x!0 |x| = l´ımx!0+|x| = 0, f
0 (0) = 1 6= f0
+(0) = 1. ⇤
Observación 2. Cuando una función f es continua pero no derivable en un x = a de su dominio,
geomé-tricamente puede suceder que:
f0(a) no existe
(
f0 (a) = ±1o f+0 (a) = ±1, Gf tiene una tangente vertical en (a, f(a)), f0 (a) 6= f+0 (a), Gf tiene un pico en (a, f(a)).
Cálculo I
f+0 (0) = 1 f0 (0) = 1, f+0 (0) = 1.
Observación 3. Según esto, la gráfica de una función continua no tiene ni huecos ni saltos; y la gráfica de una función derivable no tiene aristas ni tangentes verticales. Entonces, en puntos en donde la función no sea continua su gráfica tiene un hueco o un salto (finito o infinito), y donde no es derivable su gráfica tiene una arista o una tangente vertical.
Df = R \ {8} = ( 1,8) [ (8,1), Df cont= R \ {8,11}
Df = R \ {3,8,11} Df0 ⇢ Df cont ⇢ Df
f no es continua y no es derivable en todo su dominio.
Cálculo I
3. Derivadas de orden superior
Segunda derivada: y00 = (f0(x))0 = f00(x) o d dx ✓ df dx(x) ◆ = d 2f dx2(x). Por ejemplo, v(t) = s0(t) = ds dt(t), a(t) = v 0(t) = s00(t) = d2s dt2(t). Tercera derivada: y000 = (f00(x))0 = f000(x) o d dx ✓ d2f dx2(x) ◆ = d 3f dx3(x). En general, y(n) = (f(n 1)(x))0 = f(n)(x) o d dx ✓ dn 1f dxn 1(x) ◆ = d nf dxn(x).
Por ejemplo, si f(x) = x3 entonces
f0(x) = 3x2, f00(x) = 6x, f000(x) = 6, f0000(4) = 0.
Cálculo I
4. Conclusiones
La definición de derivada de una función f en x, l´ım h!0 f(x + h) f(x) h = f 0(x), significa que: 1. l´ım h!0 f(x +h) f(x)
h existe, es decir, f es derivable en x;
2. f0(x) es la derivada de f en x.
Respecto a la existencia de la derivada,
f0(a) existe () f0 (a) = f+0 (a)
y
f0(a) no existe () f0 (a) 6= f+0 (a), o alguna derivadaf0 (a), f+0 (a)no existe
Los resultados de derivabilidad y continuidad se resumen así:
Definición de derivada
+
Las derivadas laterales de f
en a existen y son iguales () f es derivable en a =) f es continua a
Cálculo I También,
f no es continua en a =) f no es derivable en a () Alguna de las derivadas laterales de f
en a no existe, o ellas existen y no son iguales
Finalmente,
Df0 ✓ Df cont ✓ Df,
y
f puede ser continua pero no derivable en a
