Teoría de Conjuntos: Producto Cartesiano y Relaciones

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COMP 2502: Estructuras Computacionales Discretas II Dra. Madeline Ortiz Rodríguez

Teoría de Conjuntos:

Producto Cartesiano y Relaciones

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Repaso sobre Conjuntos

 _{Los elementos de un conjunto pueden organizarse en}

cualquier orden.

 _{En un conjunto bien definido no existen elementos}

repetidos.

 _{Cuando un conjunto se define en términos de sus elementos,}

éstos pueden ser números, variables u otros conjuntos.

 _{Un conjunto puede definirse en términos de una proposición}

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Producto Cartesiano - Definición

 _{Dados dos conjuntos, se define el Producto Cartesiano como}

una multiplicación de conjuntos.

 Notación para Producto Cartesiano: X x Y

 Notación para un elemento del conjunto: (x,y)

 _{Esto significa que los elementos de X serán el dominio (el}

primer elemento del par ordenado) y que Y será el alcance (el segundo elemento en el par ordenado).

 _{El orden de los elementos en el par ordenado es importante.}  _{El orden de los elementos puede distinguir un par ordenado}

de otro: (x,y) no es igual a (y,x).

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Producto Cartesiano para 2 conjuntos

 _{Si tenemos dos conjuntos, los elementos del producto}

cartesiano se establecerán como pares ordenados.

 _{Cada elemento ES un par ordenado.}

 _{Veamos como se construye un producto cartesiano para dos}

conjuntos finitos:  X = {2, 4, 6}

 Y = {7, 8}

 X x Y = {(2,7), (2,8), (4,7), (4,8), (6,7), (6,8)}

Toma el primer elemento de X y combínalo con cada elemento de Y. Luego, repite el mismo procedimiento con cada elemento de X.

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Uso de diagramas para construir el

Producto Cartesiano para 2 conjuntos

 A = {1,2,3}

 B = {4,5,6}

 A x B = {(1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6)}

Imagen obtenida de: http://www.proyectosalonhogar.com/matem/01carteok.html

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Ver el siguiente vídeo

 _{Producto Cartesiano}

http://www.youtube.com/watch?v=vgledj-7XQ4  Excelente explicación sobre la construcción del producto

cartesiano de dos conjuntos y su relación con la cardinalidad de cada conjunto.

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Cardinalidad del Conjunto

 _{Recordemos – la cardinalidad de un conjunto es el número}

total de elementos en el conjunto  Por ejemplo: F = {3,4,6,8,9}

 Cardinalidad: |F| = 5

 _{Interpretación:}_{El conjunto F tiene 5 elementos.}

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Cardinalidad de:

el Conjunto “Producto Cartesiano”

 _{Dados los conjuntos X y Y, definidos como:}

 X = {1,2,3,4} |X| = 4

 Y = {p, q} |Y| = 2

 _{La cardinalidad del Producto Cartesiano:}

 |X x Y| = |X| x |Y| =4 x 2 = 8

 _{Interpretación:}_{El conjunto del Producto Cartesiano}

tendrá 6 elementos. Veamos:

 X x Y = {(1,p), (1,q), (2,p), (2,q), (3,p), (3,q), (4,p), (4,q)}

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Veamos un ejemplo conocido: el Plano Cartesiano.

Éste trabaja con conjuntos infinitos.

Imagen obtenida de:

http://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_coordinate_system

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Plano Cartesiano

(1-4)

 _{Este producto combina los elementos de dos o más conjuntos}

en pares ordenados.

 _{Has estudiado el Plano Cartesiano en Álgebra y localizado}

puntos en sus cuadrantes.

Cuadrante I Cuadrante II

Cuadrante III

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Plano Cartesiano

(2-4)

 _{Los puntos son pares ordenados de números reales.}

 _{En el Cuadrante I, se dibujan los puntos para x>0 y y>0, lo}

que nos da números positivos (+,+).

 _{En el Cuadrante II, tenemos los puntos para x<0 y y>0, lo}

que nos da dos tipos de números (+,--) Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV 11

Plano Cartesiano

(3-4)

 _{Completa la información para los Cuadrantes III y IV:}  _{En el Cuadrante III, se dibujan los puntos para x___ y y ___}

lo que nos da números positivos (____).

 _{En el Cuadrante II, tenemos los puntos para x___ y y y ___}

lo que nos da dos tipos de números (____) Cuadrante I

Cuadrante II

Cuadrante III

Cuadrante IV

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Plano Cartesiano

(4-4)

 _{Para concluir, el Plano Cartesiano presenta un caso de pares}

ordenados infinitos.

 _{Tanto los valores de X como los valores de Y pertenecen al}

conjunto de los Números Reales.

 _{Sin embargo,}_{en este curso}_{se trabaja con conjuntos finitos.}

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Producto Cartesiano para 3 conjuntos

 _{Si tenemos tres conjuntos, entonces hablaremos de “tuplos”}

ordenados, los que se componen de tres elementos cada uno.

 _{La cardinalidad se calculará de la misma manera que se hizo}

anteriormente, para dos conjuntos.

 _{Un ejemplo de este caso sería:}

 X = {2, 4, 6}

 Y = {7, 8}

 Z = {a}

 |X x Y x Z| = |X| x |Y| x |Z| = 3 x 2 x 1 = 6

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Relaciones en

Productos Cartesianos

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Relaciones: Definición

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 _{Dada una regla específica, una relación se establece entre dos}

o más conjuntos,

 calculando el producto cartesiano y

 _{seleccionando aquellos pares ordenados que cumplen con la}

regla dada.

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Relaciones: Procedimiento

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 _{En la mayoría de los casos se trabaja con conjuntos definidos}

en términos de proposiciones, los que hay que convertir a una lista de elementos.

 _{Luego se calcula el Producto Cartesiano.}

 Si fuera un solo conjunto: Y x Y= Y2  Dos conjuntos: X x Y

 _{Finalmente, se aplica la regla que estable la relación.}

Relaciones: Representación

 _{El conjunto de la Relación (R) puede presentarse en forma}

de una tabla o un conjunto de pares ordenados:

 _{Por ejemplo, en forma de tabla sería:}

 _{En forma de conjunto sería:}

 _{R = {(3,4), (5,6), (7,8)}} Dominio Imagen o Rango 3 4 5 6 7 8

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Tipos de Relaciones

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 _{Una relación (R) incluye aquellos elementos que cumplen}

con la regla dada. Por ejemplo:

 Regla: El elemento x divide al elemento y.

 _{Esto es: x divide a y,}

 _{quiere decir que cuando se divide y/x, el residuo es 0}

 Por ejemplo, 2 divide a 10,

 _{por que 10 dividido por 2 = 5 y el residuo es 0.}

Tipos de relaciones

 _{Por otra parte, la relación inversa incluye aquellos elementos}

del Producto Cartesiano que no pertenecen a la Relación.  Esta idea se relaciona con el Conjunto Universal, que en este

caso viene a ser el Producto Cartesiano.

 _Ejemplo:

 Si A x B = {(1,p), (1,q), (2,p), (2,q), (3,p), (3,q), (4,p), (4,q)}

 Si se define R = {(1,q), (2,p), (2,q), (3,p), (3,q), (4,p)}

 Entonces R-1 _{= lo que le falta a R para completar A x B, esto es:}  R-1 _{= {(1,p), (4,q)}}

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Tarea:

 _{Estudia la sección 3.1 del texto, págs. 116-123.}  _{Ejercicios 1-8}  _Define:  Relación reflexiva  Relación simétirica  Relación antisimétrica  Relación transitiva 21

Tarea opcional: Ver el Vídeo

 _{Relaciones y grafos:}

http://www.youtube.com/watch?v=Xmu11trcUL0  Dados dos conjuntos, encuentra los elementos de una relación tomando en cuenta la regla que los define. Incluye dos tipos de diagramas: sagital y cartesiano.

 Duración: 6:30 minutos.

 Presentado por el Lic. Henry Chero Valdivieso de la Universidad Los Ángeles Chimbote en Perú (ULADECH),