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Que es la difusio n?

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Academic year: 2021

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(1)

Difusi´on y transporte en tumores [12/47]

¿Qu´

e es la difusi´

on?

• Es uno de los varios procesos de transporte que ocurren en la naturaleza.

• Los procesos de transporte involucran intercambio de masa, energ´ıa y momento entre sistemas, o dentro de un mismo sistema.

Figura 7: Adolf Eugen Fick (1829 - 1901) • La difusi´on fue descrita y

estudia-da como una teor´ıa fenomenol´ogica por el m´edico y fisi´ologo alem´an Adolf Fick.

• Ley de difusi´on (Fick, 1855) basa-da en las observaciones de Thomas Graham sobre gases.

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Difusi´on y transporte en tumores [13/47]

¿Qu´

e es la difusi´

on?

• La primera ley de Fick afirma que el flujo difusivo (difusi´on) es proporcional al negativo del gradiente de la concentraci´on de materia

J = D@C(x, t)

@x (1 dimensi´on espacial x).

• La segunda ley de Fick

@C @t = @J @x, Ley de conservaci´on, @C @t = D @2C @t2 , Ecuaci´on de difusi´on.

• Como el mismo Fick observ´o, su primera ley no es m´as que la ley de Fourier de conducci´on de calor (1822) y la misma que la ley de Ohm de conducci´on de corriente el´ectrica (1827).

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Difusi´on y transporte en tumores [14/47]

¿Qu´

e es la difusi´

on?

Figura 8: Lars Onsager (1903 - 1976) fue un f´ısicoqu´ımico y f´ısico te´orico de origen noruego, nacionalizado norteamericano. Premio Nobel en

• Fue hasta la primera mitad del S. XX que Lars Onsager aclar´o que las relaciones ante-riores forman parte de una teor´ıa general del transporte.

• En el contexto de la termodin´amica, Onsager estableci´o las relaciones rec´ıprocas entre flu-jos Xi y fuerzas generalizadas S en sistemas

termodin´amicos fuera del equilibrio: Xi = k

@S @xi

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Difusi´on y transporte en tumores [15/47]

La difusi´

on desde el punto de vista microsc´

opico

• Hist´oricamente, la f´ısica estad´ıstica se origin´o en el intento de describir las propiedades termodin´amicas de la materia en t´erminos de sus constituyentes.

• La termodin´amica, o mejor dicho, la termost´atica, es una descripci´on fenomenol´ogica de las propiedades macrosc´opicas de sistemas en equilibrio t´ermico.

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Difusi´on y transporte en tumores [16/47]

La difusi´

on desde el punto de vista microsc´

opico

(a) R. Brown (b) A. Einstein (c) P. Langevin

(d) L. Boltzmann (e) M. von Smolu-chowski

(6)

Difusi´on y transporte en tumores [17/47]

La difusi´

on como movimiento browniano

En 1827, Robert Brown observ´o, en una soluci´on acuosa, una suspensi´on de organelos de almid´on (6 y 8 µm de di´ametro), siendo expulsados del polen de Clarkia pulchella en un

movimiento incesante.

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Difusi´on y transporte en tumores [18/47]

La difusi´

on como movimiento browniano

Figura 11: Polen de Clarkia pulchella expulsando su contenido. P. Pearle, K. Bart, D. Bilderback, B. Collett, D. Newman, and S. Samuels. What Brown Saw and You Can Too. Am. J. Phys. 78 (12), December 2010.

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Difusi´on y transporte en tumores [19/47]

La difusi´

on como movimiento browniano

Figura 12: Contenido del polen de Clarkia pulchella despu´es de abrirse, dos fotos sobrepuestas tomadas con 1 min de diferencia, ampliado ⇥400. La escala es de 2 µm por divisi´on. P. Pearle, K. Bart, D. Bilderback, B. Collett, D. Newman, and S. Samuels. What Brown Saw and You Can Too. Am. J. Phys. 78 (12), December 2010.

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Difusi´on y transporte en tumores [20/47]

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Difusi´on y transporte en tumores [21/47]

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Difusi´on y transporte en tumores [22/47]

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Difusi´on y transporte en tumores [23/47]

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Difusi´on y transporte en tumores [24/47]

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Difusi´on y transporte en tumores [25/47]

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Difusi´on y transporte en tumores [26/47]

Einstein, difusi´

on y movimiento browniano

“Sobre el movimiento de peque˜nas part´ıculas suspendidas en un l´ıquido estacionario demandado por la teor´ıa cin´etico-molecular del calor”. Berna, mayo de 1905.

• Un proceso de difusi´on, se puede ver como el resultado del movimiento irregular de part´ıculas producido por el

movimiento t´ermico molecular.

• Hallamos el coeficiente de difusi´on de la sustancia suspendidad (coloide).

Suponemos equilibrio din´amico de part´ıculas

suspendidas irregularmente dispersas en un l´ıquido. Sea F una fuerza que act´ua sobre las part´ıculas en

el eje x, que depende s´olo de la posici´on y no del tiempo. Sea C el n´umero de part´ıculas suspendidas

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Difusi´on y transporte en tumores [27/47]

Einstein, difusi´

on y movimiento browniano

• Las part´ıculas suspendidas tienen forma esf´erica y radio a. • El l´ıquido tiene un coeficiente de viscosidad ⌘.

• (G. Kirchho↵) La fuerza F le imparte una velocidad v a cada part´ıcula v = F

6⇡⌘a. • Por lo que la cantidad

vC = CF 6⇡⌘a

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Difusi´on y transporte en tumores [28/47]

Einstein, difusi´

on y movimiento browniano

• Sea D el coeficiente de difusi´on de la sustancia suspendida.

• Sea m la masa de una part´ıcula suspendida.

• Como resultado de la difusi´on, una cantidad de materia cruzar´a, por unidad de ´area y por unidad de tiempo,

D@(mC)

@x , (gramos),

D@C

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Difusi´on y transporte en tumores [29/47]

Einstein, difusi´

on y movimiento browniano

• Dado que debe haber un equilibrio din´amico, se debe tener que CF

6⇡⌘a D @C

@x = 0.

• Completamos esta ecuaci´on con otra del equilibrio t´ermodin´amico CF = @p

@x,

en donde p es la presi´on osm´otica ejercida sobre la sustancia suspendida.

• La presi´on osm´otica est´a relacionada con el n´umero de part´ıculas por unidad de volumen, n, por medio de la ley del gas ideal

p = CRT N .

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Difusi´on y transporte en tumores [30/47]

Einstein, difusi´

on y movimiento browniano

• Calculamos el coeficiente de difusi´on a partir de la 1er ecuaci´on

D = RT N

1 6⇡⌘a. • Entonces,

el coeficiente de difusi´on de la sustancia suspendida depende (excepto por las constantes universales y la temperatura absoluta) solamente del coeficiente de viscosidad del l´ıquido y del tama˜no de las part´ıculas suspendidas.

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Difusi´on y transporte en tumores [31/47]

Einstein, difusi´

on y movimiento browniano

Sobre el movimiento irregular de part´ıculas suspendidas en un l´ıquido y su relaci´on con la difusi´on. Berna, mayo de 1905.

Hip´otesis:

• El movimiento de cada part´ıcula es independiente de las dem´as.

• Los movimientos de una misma part´ıcula, para diferentes intervalos de tiempo, se deben con-siderar procesos mutuamente independientes (dichos intervalos de tiempo no son demasiado peque˜nos).

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Difusi´on y transporte en tumores [32/47]

Einstein, difusi´

on y movimiento browniano

• Supongamos que simult´aneamente hay n part´ıculas suspendidas en un l´ıquido.

• En un intervalo de tiempo ⌧, la coordenadas x’s de las part´ıculas se incrementar´an por una cantidad (distinta para cada part´ıcula, + o sobre el eje x.)

• Para tiempos mayores que ⌧, los movimientos de las part´ıculas se consideran independientes.

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Difusi´on y transporte en tumores [33/47]

Einstein, difusi´

on y movimiento browniano

• Sea dn el n´umero de part´ıculas que experimentan desplazamientos entre y + d en un tiempo ⌧ ; es decir,

dn = n ( )d ,

donde Z 1

1

( )d = 1.

• La funci´on 6= 0 para valores muy peque˜nos de y satisface la condici´on ( ) = ( ).

• Investigaremos como depende el coeficiente de difusi´on depende de la funci´on , de acuerdo con la hip´otesis de que el n´umero de part´ıculas por unidad de volumen, C, s´olo depende de x y t.

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Difusi´on y transporte en tumores [34/47]

Einstein, difusi´

on y movimiento browniano

• Sea C = f(x, t) la concentraci´on o n´umero de part´ıculas por unidad de volumen. • Calcularemos la distribuci´on de part´ıculas al tiempo t + ⌧ a partir del tiempo t.

• A partir de la definici´on de la funci´on ( ), es f´acil obtener el n´umero de part´ıculas localizadas al tiempo t + ⌧ , entre dos planos perpendiculares al eje x, de coordenadas x y x +

f (x, t + ⌧ )dx = dx

Z =+1

= 1

f (x + , t) ( )d . • Ahora, dado que ⌧ es muy “peque˜no”, podemos escribir

f (x, t + ⌧ ) = f (x, t) + ⌧@f @t.

Adem´as, podemos expandir en potencias de a f (x + , t); es decir

f (x + , t) = f (x, t) + @f (x, t) +

2@2f (x, t)

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Difusi´on y transporte en tumores [35/47]

Einstein, difusi´

on y movimiento browniano

• Colocamos la ´ultima expansi´on bajo el signo de la integral, tomando en cuenta que s´olo valores muy peque˜nos de contribuyen en la misma integral.

• Obtenemos que f + @f @t⌧ = f Z 1 1 ( )d + @f @x Z 1 1 ( )d + @ 2f @x2 Z 1 1 2 2 ( )d + · · · • Del lado derecho de la expresi´on se anulan los t´erminos impares, ya que (x) = ( x);

mientras que los t´erminos pares van siendo menores respecto a sus precedentes.

• Adem´as, consideremos que la densidad de probabilidad queremos que est´a normalizada;

es decir, Z 1 1 ( )d = 1, y, definiendo 1 ⌧ Z 1 1 2 2 ( )d =: D.

(25)

Difusi´on y transporte en tumores [36/47]

Einstein, difusi´

on y movimiento browniano

• Finalmente, tomando s´olo en cuenta los primeros dos t´erminos pares del lado derecho, obtenemos la ecuaci´on

@f

@t = D @2f @x2.

• Que se trata de la bien conocida ecuaci´on diferencial de difusi´on, y reconocemos que D es el coeficiente de difusi´on.

(26)

Difusi´on y transporte en tumores [37/47]

Einstein, difusi´

on y movimiento browniano

“Una nueva determinaci´on de las dimensiones moleculares”. Berna, 30 de abril de 1905.

• Peque˜nas part´ıculas de radio a y masa m (az´ucar como soluto) de mucho mayor tama˜no que las mol´eculas del agua (solvente) de una viscosidad din´amica ⌘.

• Resultado de G. Kirchho↵ y G. Stokes de la mec´anica de fluidos: F = 6⇡⌘av.

• El coeficiente de difusi´on del az´ucar en agua est´a dado por la relaci´on D = RT 6⇡⌘ 1 aNA , con unidades [D] = l2t 1.

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Difusi´on y transporte en tumores [38/47]

Einstein, difusi´

on y movimiento browniano

• En una soluci´on acuosa con az´ucar: a3NA = 80, a 20 C.

• Viscosidad: ⌘ = 0.0135, a 9.5 C.

• Coeficiente de difusi´on D = 0.38 cm2d´ıa 1.

• Por lo anterior, se puede estimar que aNA = 2.08⇥1016 y entonces

aNA =

RT 6⇡⌘

1 D, que NA= 3.3⇥1023, lo que implica que

(28)

Difusi´on y transporte en tumores [39/47]

¿Qu´

e es la difusi´

on?

Difusi´on sim´etrica en una l´ınea

Prob[part´ıcula 2 (x, x + dx)] ⌘ P (x, t)dt, Densidad de probabilidad

Satisface la ecuaci´on

@P

@t = D

@2P @x2,

donde D se llama coeficiente de difusi´on.

Sin conocer expl´ıcitamente a P (x, t), ¿cu´al es el desplazamiento medio de la part´ıcula? hxi =

Z

R xP (x, t)dx = 0.

¿Cu´al ser´ıa el desplazamiento cuadr´atico medio (segundo momento)? hx2i =

Z

R x

2

(29)

Difusi´on y transporte en tumores [40/47]

¿Qu´

e es la difusi´

on?

Desplazamiento cuadr´atico medio depende del coeficiente de difusi´on y del tiempo t. [hx2i] = L2, [D] = L2/T, [t] = T,

por lo que

hx2i / Dt,

donde el factor de proporci´on depende de la dimensi´on en que describimos el movimiento de las part´ıculas. −20 −10 0 10 20 30 40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 Y Position X Position 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 1 2 3 4 5 6x 10 −10 Time Displacement Squared

(30)

Difusi´on y transporte en tumores [41/47]

Difusi´

on y escalamiento

Aplicamos an´alisis dimensional a la densidad de probabilidad P (x, t; D). [P ] = L 1 implica que pDtP (x, t; D) es adimensional. Formamos una cantidad adimensional: x/pDt, para transformar a P :

P (x, t; D) = p1

DtP(⇠), ⇠ := x p

Dt,

en donde la densidad ahora depende de una sola variable de escalamiento y no de x y t. Substituyendo esta nueva variable ⇠ en la ecuaci´on de difusi´on, obtenemos

2P00 + ⇠P0 + P = 0,

que integrada con la condici´on P0(0) = 0 y normalizando, obtenemos P = (4⇡) 1/2e ⇠2/4, o bien, P (x, t; D) = p 1 4⇡Dt exp x2 4Dt ! .

Referencias

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