©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.
1
Identidades y Ecuaciones Trigonométricas
por Oliverio Ramírez Juárez
En la actividad de aprendizaje anterior, se definieron las funciones trigonométricas como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo y se mencionó, por ejemplo, que el seno y la cosecante son funciones recíprocas, esto es:
sen(x)
=
1
csc(x)
o
sen(x) csc(x)
= 1
cos(x)
=
1
sec(x)
o
cos(x) sec(x)
= 1
tan(x)
=
1
cot(x)
o
tan(x) cot(x)
= 1
Tabla 1. Identidades y ecuaciones Trigonométricas
En esta actividad de aprendizaje, se profundizará el estudio de dos tipos de ecuaciones que implican funciones trigonométricas: ecuaciones idénticas y ecuaciones condicionales.
Las ecuaciones trigonométricas son aquellas ecuaciones que involucran funciones trigonométricas de ángulos desconocidos y se denominan, de acuerdo con Ayres y Moyer (1991, p. 181):
Ecuaciones idénticas o identidades, si se satisfacen para todos los valores de los ángulos desconocidos, cuyas funciones están definidas.
Ecuaciones condicionales, o ecuaciones, si se satisfacen solamente con valores particulares de los ángulos desconocidos.
Las identidades son utilizadas generalmente para simplificar expresiones, o para hacer
comprobaciones en expresiones más complejas, y las ecuaciones nos permiten encontrar ángulos desconocidos en diferentes aplicaciones.
Existen identidades que han sido comprobadas y que son utilizadas para comprobar otras identidades más complejas.
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2
Identidades trigonométricas básicas.
Recíprocas
1
cot
tan
1
sec
cos
1
csc
=
=
=
A
A
A
A
A
senA
De razón
senA A A A senA A cos cot cos tan = =
Pitagóricas
1
cot
csc
1
tan
sec
1
cos
2 2 2 2 2 2=
−
=
−
=
+
A
A
A
A
A
A
sen
Tabla 2. Identidades trigonométricas más usadas.
Otras identidades
Ángulo doble
A A A A sen A A A senA A sen 2 2 2 tan 1 tan 2 2 tan cos 2 cos cos 2 2 − = − = =
Ángulo mitad
A A A A A A A sen cos 1 cos 1 2 tan 2 cos 1 2 cos 2 cos 1 2 + − ± = + ± = − ± =
Suma de dos ángulos
(
)
(
)
(
)
B A B A B A senAsenB B A B A AsenB B senA B A sen tan tan 1 tan tan tan cos cos cos cos cos − + = + − = + + = +Diferencia de dos
ángulos
( ) ( ) (A B) AA BB senAsenB B A B A AsenB B senA B A sen tan tan 1 tan tan tan cos cos cos cos cos + − = − + = − − = −
Productos de senos y cosenos
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
A B A B]
senAsenB B A B A B A B A sen B A sen AsenB B A sen B A sen B senA − − + − = − + + = − − + = − + + = cos cos 2 1 cos cos 2 1 cos cos 2 1 cos 2 1 cosSuma y diferencia de senos y cosenos
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
A B)
sen(
A B)
sen B A B A B A B A B A sen B A senB senA B A B A sen senB senA − + − = − − + = + − + = − − + = + 2 1 2 1 2 cos cos 2 1 cos 2 1 cos 2 cos cos 2 1 2 1 cos 2 2 1 cos 2 1 2©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.
3
Método para comprobar Identidades de un solo ángulo
Observa la siguiente expresión:
A A
Acsc cot
cos =
Es una identidad trigonométrica, debido a que es verdadera para cualquier valor de un ángulo. Para comprobar puedes sustituir el valor de un ángulo cualquiera.
Por ejemplo:
si A= 60° y lo sustituyes en la identidad trigonométrica cosAcscA=cotA ° = ° °csc60 cot60 60 cos Como:
2
1
60
cos
°
=
, 3 2 60 csc °= y 3 1 60 cot °= Al sustituir valores: ° = ° °csc60 cot60 60 cos 3 1 3 2 2 1 = Simplificando el lado izquierdo de la ecuación, comprobamos que es la misma cantidad en ambos lados de la ecuación: 3 1 3 1 =
Simplificación de Identidades
Para poder simplificar una identidad trigonométrica, se hace uso de las identidades mencionadas en la tabla anterior, y en algunas ocasiones, de las operaciones algebraicas como son: suma, resta,
multiplicación, división y factorización.
Observa cómo se puede comprobar la identidad anterior:
A A
Acsc cot
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4
Comienza por elegir el lado izquierdo, donde se presenta una multiplicación, y demuestra que el producto de las dos funciones es igual a la cotangente.
A A
Acsc cot
cos =
De la identidad reciproca: senAcsc =A 1
Despeja la cosecante:
senA
A
1
csc =
Y la sustituyes en el lado izquierdo de la ecuación:
= senA A A Acsc cos 1 cos Efectuando la multiplicación:
senA
A
A
A
csc
cos
cos
=
Si observas la identidad de razón:
senA
A
A
cos
cot =
Puedes comprobar que:
A
senA
A
A
A
csc
cos
cot
cos
=
=
Como puedes darte cuenta, utilizando las identidades trigonométricas básicas, puedes comprobar que al multiplicar el coseno de un ángulo por la cosecante del mismo ángulo, es lo mismo calcular
solamente el ángulo de la cotangente.
Ecuaciones utilizando Identidades Trigonométricas
Ahora observa la siguiente expresión:
3 csc
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5
En este caso se trata de una ecuación trigonométrica, ya que debes encontrar un valor para el ángulo A que cumpla con la igualdad anterior.
Observa cómo encontrar este valor:
Comienza por simplificar la expresión, recuerda que acabas de comprobar en el ejercicio anterior que:
A A
Acsc cot
cos =
Por lo tanto, se puede decir que: 3
csc
cosA A= es lo mismo que cot =A 3
Como la calculadora no solamente puede calcular los valores de asen A, acos A y atan A, es necesario sustituir la función cotangente con otra identidad, para ello, utilizamos:
1 cot tanA A= Despejando:
A
A
tan
1
cot =
Sustituyendo en: cot =A 3
3
tan
1
=
A
Despejando nuevamente:A
tan
3
1
=
Reacomodando:3
1
tan
A
=
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Para calcular el valor del ángulo A , utiliza la calculadora y la función atan:
° = = 30 3 1 tan a A ,
Recuerda que el valor obtenido en la calculadora es el valor del ángulo que se encuentra en el primer cuadrante, ya que el valor de la tangente es positiva, sin embargo, también es positiva en el tercer cuadrante, por lo que el ángulo A también puede ser A=180°+30°=210°
Por lo tanto, los ángulos para los cuales la ecuación cosAcscA= 3 es verdadera, son:
°
°
=
30 y
210
A
Comprobación de Identidades Trigonométricas
Anteriormente mencionamos que para comprobar una identidad trigonométrica, además de utilizar las identidades trigonométricas, es necesario utilizar algunos procedimientos algebraicos.
A continuación se muestran algunos ejemplos:
1. Verifica la siguiente identidad trigonométrica:
A
A
A
sen
senA
A
csc
cos
2
2
cos
=
+
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7
Solución
Sustituyendo el seno y el coseno, del ángulo doble, en el lado izquierdo de la identidad:
A sen A A A senA A sen 2 2 cos 2 cos cos 2 2 − = = A A A senA senA A sen A csc cos cos 2 cos2 2 = + −
Sustituyendo cos2 A por la identidad pitagórica despejada cos2 A=1−sen2A
A A senA senA A sen A sen A A senA senA A sen A cos cos 2 1 cos cos 2 cos2 2 2 2 + − − = + − Simplificando: A A senA senA A sen A A senA senA A sen A cos cos 2 2 1 cos cos 2 cos2 2 2 + − = + − Separando términos: A A senA senA A sen senA A A senA senA A sen A cos cos 2 2 1 cos cos 2 cos2 2 2 + − = + − Simplificando:
A senA senA SenA
A senA senA A sen A 2 2 1 cos cos 2 cos2 2 + − = + −
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8 A senA A senA senA A sen A 1 cos cos 2 cos2 2 = + −
Sustituyendo la identidad recíproca
senA
A
1
csc =
queda comprobada la identidad:
A A A senA senA A sen A csc cos cos 2 cos2 2 = + −
2. Verifica la siguiente identidad trigonométrica:
B
sen
A
B
A
B
A
)
cos(
)
cos
2 2cos(
+
−
=
−
Solución:Sustituyendo las identidades cos
(
A+B)
=cosAcosB−senAsenB cos(
A−B)
=cosAcosB+senAsenB(
cos
A
cos
B
senAsenB
)(
cos
A
cos
B
senAsenB
)
cos
2A
sen
2B
−
=
+
−
Resolviendo por binomios conjugados:
(
cos
A
cos
B
senAsenB
)(
cos
A
cos
B
senAsenB
)
cos
2A
cos
2B
sen
2Asen
2B
−
=
+
−
Sustituyendo de la identidad pitagórica:
B sen B 2 2 1 cos = − A A sen2 2 cos 1 − =
(
sen
B
)
sen
B
(
A
)
A
B
Asen
sen
B
A
2 2 2 2 2 2 22
cos
cos
1
1
cos
cos
−
=
−
−
−
Multiplicando:
(
sen
B
)
sen
B
(
A
)
A
sen
B
A
sen
B
sen
B
A
A
2 2 2 2 2 2 2 2 22
1
1
cos
cos
cos
cos
cos
−
−
−
=
−
−
+
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9
(
sen
B
)
sen
B
(
A
)
A
sen
B
A
2 2 2 2 22
1
1
cos
cos
cos
−
−
−
=
−
Queda comprobado que:
(
cos
A
cos
B
senAsenB
)(
cos
A
cos
B
senAsenB
)
cos
2A
sen
2B
−
=
+
−
Aplicaciones de las Identidades Trigonométricas
Las identidades trigonométricas pueden ayudar a hacer transformaciones de fórmulas ya establecidas, a partir de otras. Por ejemplo: La fórmula para encontrar el área de cualquier triángulo establecida por Harón de Alejandría, se puede obtener con la fórmula de área establecida, a partir de la ley de cosenos.
¿Quieres ver cómo?
La fórmula para obtener el área de cualquier triángulo, a partir de la ley de cosenos, es la siguiente:
α
bcsen
A
2
1
=
Si esta ecuación la elevas en ambos lados al cuadrado, quedaría de la siguiente forma:
α
2 2 2 24
1
sen
c
b
A =
Si sustituyes la identidad pitagórica sen2A=1−cos2 A(
2α
)
2 2 21
cos
4
1
−
=
b
c
A
Observa que la identidad es una diferencia de cuadrados que se puede separar:
(
α
)
(
α
)
(
1
cos
α
)
2
1
cos
1
2
1
cos
1
4
1
2 2 2 2−
⋅
+
=
−
=
b
c
bc
bc
A
Si de la ley de cosenos:α
cos 2 2 2 2 b c bc a = + −©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.
10 Sustituyes: bc a c b 2 cos 2 2 2 − + =
α
(
)
(
)
+
−
−
⋅
+
−
+
=
−
⋅
+
bc
a
c
b
bc
bc
a
c
b
bc
bc
bc
2
1
2
1
2
1
2
1
cos
1
2
1
cos
1
2
1
2 2 2 2 2 2α
α
Realizando operaciones:
−
−
+
⋅
+
+
−
=
+
−
−
⋅
+
−
+
bc
a
c
b
bc
bc
bc
a
c
b
bc
bc
bc
a
c
b
bc
bc
a
c
b
bc
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Simplificando: Reacomodando:
−
−
+
⋅
+
+
−
4
2
4
2
bc
b
2c
2a
2bc
b
2c
2a
2
−
+
−
⋅
+
+
−
=
4
2
4
2
2 2 2 2 2 2bc
c
a
a
b
bc
c
b
Factorizando:(
)
(
)
−
−
⋅
+
−
=
−
+
−
⋅
+
+
−
4
4
4
2
4
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2bc
c
a
a
b
bc
c
b
c
a
a
b
c
b
Separando por diferencia de cuadrados:
(
)
(
)
+
−
−
+
+
−
+
+
=
−
+
⋅
+
−
2
2
2
2
4
4
2 2 2 2c
b
a
c
b
a
a
c
b
a
c
b
c
b
a
a
c
b
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.
11
2
c
b
a
s
=
+
+
Entonces puedes establecer las siguientes expresiones:
2
2
2
c
b
a
c
s
y
c
b
a
b
s
a
c
b
a
s
−
=
+
−
−
=
−
+
−
=
+
−
Si regresas a la expresión inicial y sustituyes las expresiones anteriores, tienes:
(
s
a
)(
s
b
)(
s
c
)
s
sen
c
b
A
2=
2 2 2α
=
−
−
−
4
1
Es decir, el área de cualquier triángulo puede ser expresada como sigue:
(
s
a
)(
s
b
)(
s
c
)
s
A
=
−
−
−
Donde el semiperímetro está representado por:
2
c
b
a
s
=
+
+
A la expresión anterior se le denomina Fórmula de Harón y permite conocer el área de cualquier triángulo, si conoces la longitud de sus lados.
Como puedes darte cuenta, las identidades trigonométricas, así como las operaciones algebraicas, son herramientas que nos permiten hacer expresiones equivalentes, las cuales pueden ser de gran ayuda cuando sólo tenemos ciertos datos.
Las ecuaciones trigonométricas permiten encontrar los valores de los ángulos, que hacen verdadera una expresión. Observa algunos ejemplos, donde además se hace el uso de las identidades
trigonométricas.
3. Resuelve la siguiente ecuación encontrando todos los ángulos positivos menores de 360°, que la satisfacen:
1 2 cos 3senA− A=
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12
Solución:
En esta ecuación se tiene un ángulo doble, por lo que es conveniente comenzar por sustituir la identidad de ángulo doble:
A sen A A cos2 2 2 cos = −
(
cos
)
1
3
2 2=
−
−
A
sen
A
senA
Quitando paréntesis: 1 cos 3 2 2 = + − A sen A senAAhora tienes una expresión con senos y cosenos, por lo que es conveniente dejarla en función de una, sólo una de ellas, en este caso la dejaremos en función del seno sustituyendo la identidad pitagórica:
A sen A 2 2 1 cos = − Sustituyendo:
(
1
)
1
3
2 2=
+
−
−
sen
A
sen
A
senA
1 1 3 2 2 = + + − sen A sen A senA Reacomodando: 0 2 3 2 2 = − + senA A senObserva que en este caso se forma una ecuación cuadrática, la cual se puede resolver utilizando la ecuación para resolver ecuaciones cuadráticas:
a
ac
b
b
senA
2
4
2−
±
−
=
donde:a
=
2
,
b
=
3
y
c
=
−
2
Sustituyendo:4
5
3
4
16
9
3
)
2
(
2
)
2
)(
2
(
4
9
3
−
±
=
+
±
−
=
−
−
±
−
=
senA
2
1
4
5
3
=
+
−
=
senA
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13
2
4
8
4
5
3
−
=
−
=
−
−
=
senA
*El seno de un ángulo no puede ser mayor a 1, por lo tanto, este valor no está permitido.
Por lo tanto, los valores de los ángulos en los que:
2
1
=
senA
Por lo tanto: ° = = 30 2 1 asen AComo el seno es positivo únicamente en el primer y segundo cuadrante, los valores de los ángulos son:
°
=
°
=
30
y
A
150
A
4. Resuelve la siguiente ecuación encontrando todos los ángulos positivos menores de 360°, que la satisfacen: 0 tan 2 tan A+ A= Solución:
En esta ecuación se tiene un ángulo doble, por lo que es conveniente comenzar por sustituir la identidad de ángulo doble:
A A A 2 tan 1 tan 2 2 tan − =
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14 Queda como:
0
tan
tan
1
tan
2
2+
=
−
A
A
A
En este caso se puede factorizar: tanA
0 1 tan 1 2 tan 2 = + − A A
Igualando a cero los dos factores, tienes:
0 tanA= 0 1 tan 1 2 2 = + − A
Para el primer factor:
° = =atan(0) 0
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15
Para el segundo factor:
0
1
tan
1
2
2+
=
−
A
Se realiza la operación: 0 tan 1 tan 1 2 2 2 = − − + A A(
A
)
A
2 20
1
tan
tan
1
2
+
−
=
−
3 tan2 = A3
tan
A
=
±
Paratan =
A
3
°
=
=
a
tan
3
60
A
la tangente es positiva en el primer y tercer cuadrante por lo tanto:°
=
°
=
60
y
A
240
A
Paratan
A
=
−
3
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16
la tangente es negativa en el segundo y cuarto cuadrante, por lo tanto:
°
=
°
=
120
y
A
300
A
Por lo tanto, las soluciones a la ecuación tan2A+tanA=0 son:
°
=
=
=
°
=
°
=
°
=
0
,
A
60
,
A
120
,
A
180
,
A
240
,
y
A
300
A
Problemas de aplicaciónEn algunas ocasiones es necesario resolver una ecuación trigonométrica para resolver algún problema en específico, y a pesar de que la ecuación pueda tener varias soluciones, se debe escoger la que sea más congruente con el problema.
Analiza el siguiente problema:
Se ha demostrado que la altura de una montaña se puede calcular mediante la siguiente ecuación:
B sen A sen senB senA d h 2 2 − ⋅ ⋅ =
donde
A
y
B
son los ángulos de elevación de dos observadores separados a una distancia d©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.
17
Figura 1
Si se quiere iluminar la parte más alta de una montaña de 4.688 millas y se colocan dos reflectores, uno con un ángulo de elevación de 20° ¿Qué ángulo de elevación debe tener el otro reflector, si se encuentran separados a una distancia de 10 millas?
Solución:
De la ecuación: sen A sen B
senB senA d h 2 2 − ⋅ ⋅ = Conoces:
a. La distancia de separación
d 10
=
millas
b. La altura de la montañah
=
4
.
688
millas
c. El ángulo de elevación del reflector 2 B= 20° Sustituyendo los valores en la ecuación:= − ⋅ ⋅ = B sen A sen senB senA d h 2 2
A
h=4.688 mi d=10 mi B=20º©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.
18
)
20
(
)
20
(
)
10
(
688
.
4
2 2°
−
⋅
°
⋅
=
sen
A
sen
senA
sen
Haciendo operaciones: 1169 . 0 42 . 3 688 . 4 2 − ⋅ = A sen senA Despejando:688
.
4
42
.
3
1169
.
0
2A
senA
sen
−
=
⋅
(
)
2 2A
0
.
1169
0
.
7295
senA
sen
−
=
1169
.
0
5322
.
0
2 2=
−
sen
A
A
sen
1169
.
0
4677
.
0
2=
A
sen
sen A =
0.1169
0.4677
=0.4999
Despejando el ángulo:°
≈
°
=
=
asen
(
0
.
2499
)
29
.
99
30
A
A pesar de que el seno es positivo en el primer y segundo cuadrante, para este problema el ángulo que tiene sentido es el de 30°, ya que el de 150° no apuntaría a la cima de la montaña.
Como pudiste darte cuenta en esta lectura, el uso de las identidades trigonométricas generalmente se utiliza para hacer simplificaciones o transformaciones, y son muy utilizadas como estrategia para resolver, ya sea ecuaciones trigonométricas, o simplemente para encontrar una expresión equivalente, que nos permita hacer una operación más fácilmente. En cambio, las ecuaciones permiten encontrar los valores de los ángulos para los cuales se hace verdadera la ecuación.
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