Ecuaciones 3

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(1)3. Ecuaciones ACTIVIDADES. Respuesta abierta. Por ejemplo: P(2) = 2 ⋅ 23 + 3 ⋅ 2 − 1 = 21 P( x ) = 2 x 3 + 3 x − 1 →  P(−2) = 2 ⋅ (−2)3 + 3 ⋅ (−2) − 1 = −23 . (–2 x 3 + x 2 + x – 1)( x – 2) + (3 x + 1)( x + 3) = −2 x 4 + 5 x 3 + 2 x 2 + 7 x + 5. a) P (1) + P ( –1) = −1− 3 = −4. d) P ( –2) ⋅ Q( –2) = (−19)⋅ 14 = −266. b) P (0) – 2Q(0) = 1+ 4 = 5. e) P ( –1) – 3Q( –1) = −3 − 9 = −12. c) P (3) + Q(2) = 1 + 6 = 7. f) Q(−4) + 4Q(1) = 54 − 4 = 50. a) (10 x 4 – 3 x 2 + 1) : ( x 2 – 1) = 10 x 2 + 7 y el resto es 8. b) (6 x 3 + 5 x ) : (2 x 2 ) = 3 x y el resto es 5x .. a) ( x 3 + 3) : ( x + 1) = x 2 − x + 1 y el resto es 2. 1 −1 1. 0 −1 −1. 0 1 1. 3 −1 2. b) (4 x 5 – 12 x 3 – 20 x + 2) : ( x + 2) = 4 x 4 − 8 x 3 + 4 x 2 − 8 x − 4 y el resto es 10. 4 −2 4. 0 −8 −8. −12 16 4. 0 −8 −8. −20 16 −4. 2 8 10. 87.

(2) 3. Ecuaciones.  x = 0  x 3 + 4 x 2 + x – 6 = 0. a) x 5 + 4 x 4 + x 3 – 6 x 2 = x 2 ( x 3 + 4 x 2 + x – 6) →  1 1 1 −2 1 −3 1. 4 1 5 −2 3 −3 0. −6 6 0. 1 5 6 −6 0. Las raíces enteras son {−3, −2, 0, 1}.. b) Se aplica Ruffini directamente: 1 7 1 −5 1 3 1. −5 7 2 −5 −3 3 0. −29 14 −15 15 0. 105 −105 0. Las raíces enteras son {−5, 3, 7}.. a) 2 x 4 – 2 x 2 = 2 x 2 ( x – 1)( x + 1) 2. b) x 5 − 4 x 4 + 5 x 3 – 4 x 2 + 4 x = x ( x − 2) ( x 2 + 1). 88.

(3) 3. Ecuaciones.  x = 0 2 x 3 – 13 x 2 + 27 x – 18 = 0. a) 2 x 4 – 13 x 3 + 27 x 2 – 18 x = x (2 x 3 – 13 x 2 + 27 x – 18) →  2 2 2 3 2. −13 4 −9 6 −3. 27 −18 9 −9 0. −18 18 0. 3 2. La última raíz no es entera: 2 x − 3 = 0 → x = . Entonces, las raíces enteras son {0, 2, 3}. b) Se aplica Ruffini directamente: 3 −1 3 3 3. −7 −3 −10 9 −1. −7 10 3 −3 0. 3 −3 0. 1 3. La última raíz no es entera: 3 x − 1 = 0 → x = . Entonces, las raíces enteras son {−1, 3}.. x ( x + 1) x2 + x x = = x + 2 x + 1 ( x + 1)( x + 1) x + 1. a). 2. b). 2 x 2 + 2 x − 12 2 ( x − 2)( x + 3) x − 2 = = 4 x + 12 4 ( x + 3) 2. 2. m.c.m. ( x 2 + 2 x − 3, x 2 − 1, x 2 + 2 x + 1) = ( x + 1) ( x + 3)( x − 1) 2. 5 ( x + 1) 5 = 2 x + 2 x − 3 ( x + 1)2 ( x + 3)( x − 1) 3 x ( x + 1)( x + 3) 3x = x 2 − 1 ( x + 1)2 ( x + 3)( x − 1) 2. ( x − 1) ( x + 3) x −1 = x + 2 x + 1 ( x + 1)2 ( x + 3)( x − 1) 2. 89.

(4) Ecuaciones. 90. a). 5 ( x − 1)( x + 1) 5 x 2 −1 5x + 5 ⋅ = = 2 x + 2x − 3 3x x + 3 x − 1 ⋅ 3 x 3 x + 9x ( )( ). b). ( x − 1)( x + 1) x −1 x2 −3x + 2 1 : = = 2 x + 2x +1 x +1 ( x + 1) ( x − 1)( x − 2) ( x + 1)( x − 2). 2. 2. 3.

(5) 3. Ecuaciones. a) x 2 + 2 x = 15 → x 2 + 2 x − 15 = 0 x=. −2 ± 22 − 4 ⋅ 1⋅ (−15) 2⋅1. →x=. −2 ± 8  x1 = −5 → 2  x 2 = 3. b) 2 x 2 = 7 x + 2 → 2 x 2 − 7 x − 2 = 0 2. x=. 7 ± (−7) − 4 ⋅ 2 ⋅ (−2) 2⋅ 2.   x = 7 − 65 = −0,27  1 7 ± 65 4 →x= →   4 7 + 65  x 2 = = 3,77  4. c) 3 x 2 – 3 = 20 – 2 ( x – 5) → 3 x 2 + 2 x − 33 = 0 x=. −2 ± 22 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−33) 2⋅ 3. →x=.  11 −2 ± 20  x1 = − → 3 6  x = 3  2. d) 8 x 2 + (2 – x )(5 x + 1) = 15 x + (3 + x )( x – 1) – 3 → 2 x 2 − 8 x + 8 = 0 2. x=. 8 ± (−8) − 4 ⋅ 2 ⋅ 8 2⋅ 2. →x=. 8±0 → x=2 4. 91.

(6) 3. Ecuaciones. a) x 4 + 5 x 2 – 36 = 0 → z 2 + 5 z – 36 = 0 z=. −5 ± 52 − 4 ⋅ 1⋅ (−36). →z=. 2⋅1. z1 = − 9 → x 2 = − 9 →. z2 = 4 → x1 = −2. −5 ± 13  z1 = −9 →  z 2 = 4 2. No tiene solución real.. x2 = 2. b) x 4 – x 2 + 2 = 16 x 2 – 14 → x 4 – 17 x 2 + 16 = 0 → z 2 – 17 z + 16 = 0 2. z=. 17 ± (−17) − 4 ⋅ 1⋅ 16 2⋅1. z1 = 1 → x1 = −1. →z=. 17 ± 15  z1 = 1 → 2  z2 = 16. x2 = 1. z2 = 16 → x 3 = −4. x4 = 4. c) 11( x 4 + 1) – 7 = 25 x 2 (1– x 2 ) → 36 x 4 – 25 x 2 + 4 = 0 → 36 z 2 – 25 z + 4 = 0 2. z=. 25 ± (−25) − 4 ⋅ 4 ⋅ 36 2 ⋅ 36. z1 =. 1 1 → x1 = − 4 2. x2 =. 1 2. z2 =. 4 2 → x3 = − 9 3. x4 =. 2 3.  z = 1 25 ± 7  1 4 →z= →  4 72  z2 = 9 . a). x ( x + 1) x ( x − 1) x +1 1 x −1 −1= → − = → x = −1 x −1 x x ( x − 1) x ( x − 1) x ( x − 1). b). 2 2 2x4 + 4 x2 − 3 2 x 4 + 4 x ( x − 3) 2 x 4 = + 2 → = + 4 → x4 − 3x2 − 4 = 0 x4 x2 x4 x4 x. x 4 − 3 x 2 − 4 = 0 → z2 − 3z − 4 = 0 2. z=. 3 ± (−3) − 4 ⋅ 1⋅ (−4) 2⋅1. z1 = − 1 → x 2 = − 1 →. z2 = 4 → x1 = −2. 92. →z=. 3 ± 5  z1 = −1 →  z2 = 4 2. No tiene solución real.. x2 = 2.

(7) 3. Ecuaciones. a) x − 41= 2 x + 1 → x 2 − 82 x + 1681= 4( x + 1) → x 2 − 86 x + 1677 = 0 2. x=. 86 ± (−86) − 4 ⋅ 1⋅ 1677 2⋅1. →x=.  x = 43 − 2 43 86 ± 688 →  1  x = 43 + 2 43 2  2. Tras la comprobación, se obtiene que x1 = 43 + 2 43 es la única solución válida. b) 1+ 2 x + 1 = 3 4 x − 3 − 4 → 4( x + 1) = 36 x − 30 4 x − 3 − 2 → → 900 (4 x − 3 ) = 1 024 x 2 − 384 x + 36 → 64 x 2 − 249 x + 171 = 0. x=.  2 57 249 ± (−249) − 4 ⋅ 64 ⋅ 171 249 ± 135  x1 = →x= → 64 2 ⋅ 64 128  x = 3  2. Tras la comprobación, se obtiene que x2 = 3 es la única solución válida.. a) x1 = −5. x2 = 1. x3 = 3. b) x1 = −4 x2 = 0. x3 = 0. c) x1 = −2 x2 = −. 3 2. x3 =. x4 = 4. x5 = 9. 1 3. d) x1 = −5 x2 = −5. x 3 = −5. x4 = 0. e) x1 = −3 x2 = −2. x3 = 1. x4 = 3. x5 =. 1 3. 93.

(8) 3. Ecuaciones. Respuesta abierta, por ejemplo: ( x − 2)( x − 3 )( x − 7) = 0 → El mínimo grado que puede tener es 3..  x1 = 1  x 2 = 3. a) log( x − 2) + log(2 x − 1) = log(3 x − 4) → ( x − 2)(2 x − 1) = 3 x − 4 → 2 x 2 − 8 x + 6 = 0 → .  x1 = 5  x 2 = 3. b) log( x + 3) = log(7 x − 27) − log( x − 4) → ( x + 3)( x − 4) = 7 x − 27 → x 2 − 8 x + 15 = 0 → . a) log 3 (2 x − 1) = 1→ 3 = 2 x − 1→ x = 2 b) log 2 (3 x − 2) = 2 → 4 = 3 x − 2 → x = 2 c) log x 2 + log x 5 = 1→ log x 10 = 1→ x = 10 d) log x 12 + log x 18 = 3 → log x 216 = 3 → x 3 = 216 → x = 6. a) 53 x +1 = 625 → 3 x + 1 = 4 → x = 1 b) 2. 3 x +1 4. =. 1 3x +1 → = − 5 → x = −7 32 4.  x1 = −6  x 2 = −1. c) 3 x −7 x +12 = 729 → x 2 − 7 x + 12 = 6 → x 2 − 7 x + 6 = 0 →  2. x −1. d) 5 x +2 = 25 → e) 4. x 3 −7 x 2 +12 x +3. x −1 = 2 → x = −5 x +2.  x1 = 0  = 64 → x − 7 x + 12 x + 3 = 3 → x ( x − 7 x + 12) = 0 →  x 2 = 3   x 3 = 4 3. 2. f) 4 x −6 = 32 → 2( x − 6) = 5 → x =. 94. 2. 17 2.

(9) 3. Ecuaciones. g) 3 h) 6. x −2 3. 2 x2 +. = 3 5. 1 x −2 → = − 1 → x = −1 3 3 23. = 6 10 → 2 x 2 +. x −3. i) 17 3 x −2 = 289 → 4. 2. 3 23 17 = → 20 x 2 + 6 = 23 → 20 x 2 = 17 → x = ± 5 10 20. x −3 1 = 2 → 5 x = 1→ x = 3x −2 5. 3. j) 3 x +13 x +4 = 36 x −12 x → x 4 − 6 x 3 + 13 x 2 + 12 x + 4 = 0 → No tiene solución.. a) 4 x = 2 x −6 → 2 x = x − 6 → x = −6 b) 3. 7 x −3 4. = 9 x −2 →. 7x − 3 = 2( x − 2) → x = 13 4.  x1 = −3  x 2 = 1. c) 49 x = 73−x → 2 x = 3 − x 2 → x 2 + 2 x − 3 = 0 →  2. 4. d) 5 x +4 = 25. 5 x2 2.  x1 = 2 y x 2 = −2 → x 4 + 4 = 5 x 2 →   x 3 = 1 y x 4 = −1. a) 32 x−1 = 2 x → (2 x − 1)log 3 = x log 2 → x (2 log 3 − log 2) = log 3 → x = 3− x.  1 b)    2. log 3 ≈ 0,7304 2 log 3 − log 2.  1 + 32− x = 0 → (3 − x )log   = (2 − x )log(−3)  2. No existen logaritmos de números mayores o iguales que 0. La ecuación no tiene solución real. c) 53 x +2 = 35 x +2 → (3 x + 2)log 5 = (5 x + 2)log 3 → x (3 log 5 − 5 log 3) = 2 log 3 − 2 log 5 → x =. d). 3. 2 log 3 − 2 log 5 ≈ 1,5369 3 log 5 − 5 log 3. x2  x = 3 + 3 2 1 3 x = 9 x −1 → 3 3 = 3 2( x −1) → x 2 − 6 x + 6 = 0 →   x = 3 − 3  2. 95.

(10) 3. Ecuaciones. SABER HACER. 2. a) (−6) − 4 ⋅ 3 ⋅ k > 0 → 36 − 12k > 0 → k < 3 2. b) (−6) − 4 ⋅ 3 ⋅ k = 0 → 36 − 12k = 0 → k = 3 2. c) (−6) − 4 ⋅ 3 ⋅ k < 0 → 36 − 12k < 0 → k > 3 d) k 2 − 4 ⋅ 25 ⋅ 1> 0 → k 2 − 100 > 0 k debe pertenecer al intervalo (−∞, − 10 ) ∪ (10, + ∞ ). e) k 2 − 4 ⋅ 25 ⋅ 1 = 0 → k 2 − 100 = 0 → k1 = − 10. k 2 = 10. f) k 2 − 4 ⋅ 25 ⋅ 1< 0 → k 2 − 100 < 0 k debe pertenecer al intervalo (− 10, 10 ) .. a) x 6 − 9 x 3 + 8 = 0 → z 2 − 9 z + 8 = 0 2. z=. 9 ± (−9) − 4 ⋅ 1⋅ 8 9 ± 7  z1 = 1 →z= → 2⋅1 2  z2 = 8. z1 = 1 → x 3 = 1 → x 1 = 1. z2 = 8 → x 3 = 8 → x 2 = 2. b) x 6 + 7 x 3 − 8 = 0 → z 2 + 7 z − 8 = 0 z=. −7 ± 72 − 4 ⋅ 1⋅ (−8) 2 ⋅1. →z=. −7 ± 9  z1 = −8 → 2  z2 = 1. z1 = − 8 → x 3 = − 8 → x 1 = − 2. z2 = 1 → x 3 = 1 → x 2 = 1. c) x 6 − 7 x 3 − 8 = 0 → z 2 − 7 z − 8 = 0 2. z=. 7 ± (−7) − 4 ⋅ 1⋅ (−8) 7 ± 9  z1 = −1 →z= →  z2 = 8 2⋅1 2. z1 = − 1 → x 3 = − 1 → x 1 = − 1. z2 = 8 → x 3 = 8 → x 2 = 2. d) x 6 + 9 x 3 + 8 = 0 → z 2 + 9 z + 8 = 0 z=. −9 ± 9 2 − 4 ⋅ 1⋅ 8 −9 ± 7  z1 = −8 →z= →  z 2 = −1 2⋅1 2. z1 = − 8 → x 3 = − 8 → x 1 = − 2. 96. z 2 = −1 → x 3 = − 1 → x 2 = − 1.

(11) 3. Ecuaciones. e) x 8 − 15 x 4 − 16 = 0 → z 2 − 15 z − 16 = 0 2. z=. 15 ± (−15) − 4 ⋅ 1⋅ (−16) 15 ± 17  z1 = −1 →z= →  z 2 = 16 2⋅1 2. z1 = − 1 → x 4 = − 1 → No tiene solución real. z 2 = 16 → x 4 = 16 → x 1 = − 2. x2 = 2. f) x 8 − 17 x 4 + 16 = 0 → z 2 − 17 z + 16 = 0 2. z=. 17 ± (−17) − 4 ⋅ 1⋅ 16 17 ± 15  z1 = 1 →z= →  z2 = 16 2⋅1 2. z1 = 1 → x 4 = 1 → x 1 = − 1. x2 = 1. z 2 = 16 → x 4 = 16 → x 3 = − 2. a). 2 x 3 − x 2 − 2 x + 25 = 2 x → x 2 − 25 = 0 → x1 = −5 x2 −1. b). x3 + x2 + 7x + 2 = x − 2 → x 2 + 7 x + 10 = 0 → x1 = −2 x2 + 2x + 4. x 2 = −5. c). x 3 + 5 x 2 − 5 x − 21 = x + 3 → x 2 − 2 x − 3 = 0 → x 1 = −1 x2 + x −6. x2 = 3. a). x2 − x −x = → 2x3 + 2x = 0 → x = 0 3 x + 1 2x −1. b). x x −5 15 = → 4 x − 30 = 0 → x = x + 6 x −3 2. c). x −1 x − 2 = → 2 = 0 → No tiene solución. x −3 x −4. d). x −3 x −4 = → 2 = 0 → No tiene solución. x −1 x − 2. x4 = 2. x2 = 5. 97.

(12) 3. Ecuaciones. a). x 2 − 3 = 1 → x 2 − 4 = 0 → x1 = −2. x2 = 2. b) x = x + 6 → x 2 − x − 6 = 0 → x1 = −2 c) d). x = 2. x2 = 3. x + 6 → x 2 − 2 x − 24 = 0 → x1 = −4 2. x2 = 6. 3 x + 19 = x + 3 → x 2 + 3 x − 10 = 0 → x1 = 2. x 2 = −5. Tras sustituir el par de soluciones obtenidas en su correspondiente ecuación, se puede afirmar que todas son soluciones válidas.. a). 2 x + 8 − x = 2 → x 2 − 8 x + 16 = 0 → x = 4. b). x2 −5 +. c). 2 x + 4 x − 7 = x + 1 → x 4 − 8 x 3 − 8 x + 64 = 0 → x = 2. d). 3 x+ 1 + x 2+3 x + 9 = 2 x + 1 → 9 x 4 − 24 x 3 − 90 x 2 − 84 x + 45 = 0 → x = 5. x − 2 = 3 → x 4 − 2 x 3 − 23 x 2 − 12 x + 216 = 0 → x = 3. a) x 3 – 3x 2 + 2 x = 0 → x ( x − 1)( x − 2) = 0 → x 1 = 0. x2 = 1. x =8. x3 = 2. b) 3 x 5 – 13 x 4 + 16 x 3 – 4 x 2 = 0 → x 2 (3 x − 1)( x − 2)2 = 0 → x1 = 0 c) 4 x 5 – 12 x 4 + 9 x 3 – 2 x 2 = 0 → x 2 (2 x − 1)2 ( x − 2) = 0 → x1 = 0 d) x 4 – 1= 0 → ( x − 1)( x + 1)( x 2 + 1) = 0 → x1 = −1 x2 = 1. a) log 5 x = 4 → x = 5 4 = 625 b) log ( x − 1) = 2 → x − 1= 100 → x = 101 c) log 3 (7 x − 1) = 3 → 7 x − 1= 27 → x = 4  x1 = 8  x 2 = −8. d) log ( x 2 + 36) = 2 → x 2 + 36 = 100 → x 2 = 64 → . 98. x2 = x2 =. 1 3. 1 2. x3 = 2 x3 = 2.

(13) 3. Ecuaciones. a) log x 32 = 5 → x 5 = 25 → x = 2 b) log x 0,1 = − 1 → x −1 = 10−1 → x = 10 c) log x 64 = 3 → x 6 = 26 → x = 2 2. d) log ( x −2) 27 = 3 → ( x − 2)3 = 3 3 → x − 2 = 3 → x = 5. Kilogramos. Precio total. Producto A. x. 40x. Producto B. 50 − x. 20(50 − x). 50. 1 650. Total. Tenemos que resolver la ecuación: 40x + 20(50 − x) = 1 650 40x + 20(50 − x) = 1 650 → 40x + 1 000 − 20x = 1 650 → 20x = 650 → x = 32,50 De modo que la mezcla lleva 32,5 kilos de producto A y 17,5 kilos de producto B. El kilo sale a. 1650 = 3 € , de modo que para obtener un 20 % de beneficio, hay que vender el kilo de mezcla a 50. 33 · 1,20 = 39,60 €.. ACTIVIDADES FINALES. Respuesta abierta, por ejemplo: P(3) = 34 + 3 = 84 P(−1) = (−1)4 − 1 = 0 . a) P( x ) = x 4 + x → . P(3) = 4 ⋅ 3 3 + 2 = 110 P(−1) = 4 ⋅ ( − 1)3 + 2 = −2 . b) P( x ) = 4 x 3 + 2 → . P(3) = 2 ⋅ 3 2 + 5 ⋅ 3 + 3 = 36 P(−1) = 2 ⋅ ( − 1)2 + 5 ⋅ ( − 1) + 3 = 0 . c) P( x ) = 2 x 2 + 5 x + 3 → . P(3) = 33 − 1 = 26 P(−1) = (−1)3 − 1 = −2 . d) P( x ) = x 3 − 1 → . 99.

(14) 3. Ecuaciones. a) (3 x 2 − 2 x + 5) + ( x 3 − 5 x 2 + 2 x − 1) − ( x 4 + 1) = − x 4 + x 3 − 2 x 2 + 3   5 2 4 5 2 2 b) −2 x 3 + x − 1 ⋅  x +  = −2 x 4 − x 3 + x 2 + x − . . 2. . 3. . 3. 3. 3. 2. 3. 3. . .   x 1 28 5 c) (5 + 3 x 2 ) 9 −  −  x 4 + x 2 + 5 = −3 x 6 − x 5 − x 4 − x 3 + 11x 2 + 20    5. 5. . 3.  x 2 x 3 x 4  x 2  x 3 x 4 x 4 x5 x5 x 6 + −  x −  = 6 x 2 − 9 x − 4 x + 6 − + − + + − =   3 4  2  2 4 3 6 4 8  2. d) (3 x − 2) ⋅ (2 x − 3) −  =−. x6 5 5 1 1 + x − x 4 − x 3 + 6 x 2 − 13 x + 6 8 12 12 2. a) P (− 5) = 6 ⋅ ( − 5)4 − 61⋅ ( − 5)3 + 185 ⋅ ( − 5)2 − 158 ⋅ ( − 5) + 40 = 16 830 b) P(5) = 6 ⋅ 54 − 61⋅ 53 + 185 ⋅ 52 − 158 ⋅ 5 + 40 = 0 c) P(4) = 6 ⋅ 44 − 61⋅ 43 + 185 ⋅ 42 − 158 ⋅ 4 + 40 = 0 d) P (− 4) = 6 ⋅ ( − 4)4 − 61⋅ ( − 4)3 + 185 ⋅ ( − 4)2 − 158 ⋅ ( − 4) + 40 = 9 072  1.  14.  13.  1 2.  1. 693. e) P −  = 6 ⋅ −  − 61⋅ −  + 185 ⋅ −  − 158 ⋅ −  + 40 =  2  2  2  2  2 4  1.  1 4.  13.  1 2.  1. f) P   = 6 ⋅   − 61⋅   + 185 ⋅   − 158 ⋅   + 40 = 0  2  2  2  2  2  2.  2 4.  2 3.  2 2.  2. 6 664. g) P −  = 6 ⋅ −  − 61⋅ −  + 185 ⋅ −  − 158 ⋅ −  + 40 =  3  3  3  3  3 27  2.  2 4.  2 3.  2 2. 2. h) P   = 6 ⋅   − 61⋅   + 185 ⋅   − 158 ⋅   + 40 = 0 3 3 3 3 3. 100.

(15) 3. Ecuaciones. a) ( x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + 1) : ( x 2 − 3) = x 3 + x 2 + 4 x + 4 con resto 12 x + 13 5 2. b) (5 x 2 − 3 x + 2) : (2 x − 3) = x +. 9 35 con resto . 4 4. c) (3 x 6 + 5 x 3 − x + 3) : ( x 3 − 2 x + 1) = 3 x 3 + 6 x + 2 con resto 12 x 2 − 3 x + 1 . d) ( x 8 − x 6 + x 4 − x 2 + 1) : ( x 3 − x + 1) = x 5 − x 2 + x − 1 con resto x 2 − 2 x + 2 .. a). 2 1 2. 3 2 5. 7 5 12. −11 12 1. 0 1 1. −1 1 0. Cociente: 2 x 4 + 5 x 3 + 12 x 2 + x + 1 b). 4 −1 4. −1 −4 −5. 1 5 6. Cociente: 4 x − 5 c). 3 −3 3. Resto: 0. Resto: 6 0 −9 −9. 0 27 27. 5 −81 −76. 0 228 228. 3 −1 2 055 −684 −685 2 058. Cociente: 3 x 5 − 9 x 4 + 27 x 3 − 76 x 2 + 228 x − 685 d). 1 2 1. 0 2 2. −1 4 3. 0 6 6. 1 12 13. 0 26 26. Resto: 2 058 −1 52 51. Cociente: x 7 + 2 x 6 + 3 x 5 + 6 x 4 + 13 x 3 + 26 x 2 + 51x + 102. 0 102 102. 1 204 205 Resto: 205. 101.

(16) 3. Ecuaciones. P(x) 5. a) b). 4. 2. x − x − 3x + x + 2x 5. 4. 3. 2. x + 4 x − 6 x − 6 x − 7 x − 10 5. c) d). 3. x −1 x5 − x4 −. 13 3 13 2 x + x −3x + 3 4 4. P(x) a). d). 102. 2. 4. 3. 4x + 3x −9x + 2 5. b) c). 3. 2. x − 3 x − 7 x + 27 x − 18 x 5. 4. 3. 2. x − 2 x − 22 x + 8 x − 117 x + 90 5. 4. 3. 2. x − 6 x − 6 x + 64 x − 27 x − 90. Raíces. P(−1). P(0). P(1). 0. 0. 0. 0. −10. −24. x = −1. −2. −1. 0. x=1. 21 2. 3. 0. x=1. P(−2). P(1). 0. 0. 120. 0. x=1. 468. −43. Ninguna es raíz. 140. −64. Ninguna es raíz. x1 = −1. x2 = 1. Raíces x = −2. x=1. x3 = 0.

(17) 3. Ecuaciones. a) x1 = −2. x2 = 1. x3 = 5. b) x1 = −2. x2 = 0. x3 =. 1 3. c) x1 = −3. x 2 = −2. d) x1 = −3. x2 = −. 2 3. x3 = 2 x3 =. 1 2. x4 = 3 x4 = 1. 103.

(18) 3. Ecuaciones. Q ( x ) = c ⋅ ( x − 1)( x − 3 ) = cx 2 − 4cx + 3 c Q (0 ) = 3 c = 6 → c = 2 → Q ( x ) = 2 x 2 − 8 x + 6. P (2) = 8 m − 24 − 8 + 8 = 0 → 8 m − 24 = 0 → m = 3. 1 −1 1. −2 −1 −3. q 3 3+q. 5 −3 − q 2−q. → 2−q = 0 → q = 2. Respuesta abierta, por ejemplo: P(x) = x 2 + x − 6. 104. Q ( x ) = 2 x 2 + 2 x − 12.

(19) Ecuaciones. 3. Respuesta abierta. Por ejemplo: P(x)= x3 + x2 + x + 1. P ( x ) = c ⋅ ( x − 1)( x + 2) = cx 2 + cx − 2c P (3 ) = 9c + 3 c − 2c = 30 → c = 3 → P ( x ) = 3 x 2 + 3 x − 6. Q ( x ) = c ⋅ ( x − 1)( x + 1)( x + 2) = cx 3 + 2cx 2 − cx − 2c Q (0 ) = − 2 c = − 6 → c = 3 → Q ( x ) = 3 x 3 + 6 x 2 − 3 x − 6. a). y2 x3 3 xy 4 x5 3y 2 x 5 + xy 4 − 3 y 2 + 2− 2= 2 2+ 2 2− 2 2= x y x x y x y x y x2y 2. b). 5 3x −2 5x + 5 3 x2 − 2x 3x2 + 3x + 5 + = + = x x +1 x ( x + 1) x ( x + 1) x2 + x. c). 3x2 2 5x 3x2 2 x + 4 5 x 2 − 10 x 8 x 2 − 8 x + 4 + + = 2 + 2 + = 2 x −4 x −2 x + 2 x −4 x −4 x2 − 4 x2 − 4. d). 1− x x + 1 2 −x 2 + 2 x − 1 x 2 + 2 x + 1 2 4x −2 + − 2 = + − 2 = x + 1 x −1 x −1 x2 −1 x2 −1 x −1 x2 −1. 105.

(20) 3. Ecuaciones. a) 3(2 − 2) = 3 · 0 ≠ 1 − 3 (2 · 2 − 3) = 1 − 3 · 1 = −2 → No es solución. b) 5(4 − 3 · 2) + 3 = 5 · (−2) + 3 = −7 ≠ 1 + 3 · 2 = 7 → No es solución. c) 2(2 − 3) − 4(3 − 2 · 2) = 2 · (−1) − 4 (−1) = 2 ≠ 0 → No es solución.. a) 2x − 5x = 3 + 30 → x = −11. d) 3x −x = 10 − 2 → x = 4. b) 2x − 5x = 18 + 6 → x = −8. e) 6 − 3 = 2x + 5x → x =. c) x = −4. f) x =. 3 7. 1 3. a) 3x − 15 + 4x − 8 = 5 → 7x = 28 → x = 4 b) x − 2x − 4 − 6 + 12x = 9 → 11x = 19 → x =. 19 11. c) 40 − 8x − 6x + 3 = −3x − 3 − 2 + 3x → −14x = −48 → x =. a) 4x + 12 = 9x + 36 → 5x = −24 → x = −. 24 7. 24 5. b) 9(x − 1) + 6x = 2x + 48 → 13x = 57 → x =. 57 13. c) 12(x − 1) = 3(x + 2) + 4(x − 2) → 12x − 1 = 3x + 6 + 4x − 8 → 5x = −1 → x = −. 106. 1 5.

(21) 3. Ecuaciones. 1 2. a) x1 = −2, x2 = 3. c) No hay raíces.. e) x1 = −3, x2 =. b) x1 = 2, x2 = −4. d) No hay raíces.. f) x1 = − , x2 = −. 9 2. 2 3. a) Sea t = x2, tenemos entonces la ecuación t2 − 5t + 4 = 0. Resolvemos la ecuación de segundo grado: t1 = 1, t2 = 4. De modo que son solución de la ecuación x1 = 1, x2 = −1, x3 = 2 y x4 = −2. b) Sea t = x2, tenemos entonces la ecuación t2 + 8t − 20 = 0. Resolvemos la ecuación de segundo grado: t1 = −10, t2 = 2. Para t1 no tenemos soluciones para x.Así, las soluciones de la ecuación son x1 = 2 y x2 = − 2 .. a) 2x2 − 3x − 5 = 0 → x1 = −1 b) x2 + 35x = 0 → x1 = 0. x2 = 2,5. x2 = −35. c) −x2 + x − 6 = 0 → No hay raíces. d) x2 − 2x + 1 = 4x2 + 4x + 1 − 10 → 3x2 + 6x − 10 = 0 → x1 = −3,08. x2 = 1,08. a) 5(x + 2) + 3x(x − 1) = 0 → 3x2 + 2x + 10 = 0 → No hay raíces. b) 3(3x − 1) − 2(x − x2) + 6 = 0 → 2x2 + 7x + 3 = 0 → x1 = −3. x2 = −. 1 2. c) 12x − 4(1 − 2x) − 3(2x2 + 1) = 60 → −6x2 + 20x − 67 = 0 → No hay raíces. d) 18 − 3(2x − 3) − 2(16x + x2) = 0 → −2x2 − 38x + 27 = 0 → x1 = 0,69. x2 = −19,69. e) 3(x − 1) − 4(12x −x2) = 4(2x2 + 1) − 12x → −4x2 − 33x − 7 = 0 → x1 = −0,22. x2 = −8,03. 107.

(22) 3. Ecuaciones. a) 3 x 2 – 48 = 0 → x 2 = 16 → x 1 = − 4. x2 = 4. b) 3 x 2 – 48 x = 0 → x (3 x − 48 ) = 0 → x 1 = 0. x 2 = 16. c) 3 x 2 + 48 = 0 → x 2 = −16 → No tiene solución real. d) x 2 + 3 x + 9 = 0 → x =. −3 ± 32 − 4 ⋅ 1⋅ 9 −3 ± −27 →x= → No tiene solución real. 2⋅1 2 2. e) x 2 − 3 x + 9 = 0 → x =. 3 ± (−3) − 4 ⋅ 1⋅ 9 2⋅1. f) –3 x 2 + 18 x – 3 = 0 → x =. →x=. −3 ± −27 → No tiene solución real. 2. −18 ± 182 − 4 ⋅ (−3)⋅ (−3) 2 ⋅ (−3). →x=. −18 ± 288 → x1 = 3 − 2 2 −6. x2 = 3 + 2 2. 2. g) –3 x 2 − 18 x + 3 = 0 → x =. h) x 2 + x – 18 = 0 → x =. 108. 18 ± (−18) − 4 ⋅ (−3) ⋅ 3 18 ± 360 →x= → x1 = −3 − 10 2 ⋅ (−3) −6. −1± 12 − 4 ⋅ 1⋅ (−18) 2⋅1. →x=. −1± 73 −1− 73 → x1 = 2 2. x2 =. x2 = −3 + 10. −1+ 73 2.

(23) 3. Ecuaciones. a). 3x2 −1 x2 − x 3 + − x 2 = 0 → 5 x 2 − 2 x − 3 = 0 → x1 = − 2 3 5. b). x −2 3 x 2 − 2 x + 3 19 x + 1= + → x 2 + 2 x + 1 = 0 → x = −1 2 3 6. c). x ( x + 1) − 10 x 2 + 2 x = − 2 → 3 x 2 + 8 x = 0 → x1 = 0 5 2. d) x 2 +. x2 = 1. x2 = −. 8 3.  x = −3 11x − 5 2 x 2 − 1 = + x → 2 x 2 + 5 x − 3 = 0 →   x = 1 6 3  2. 2. a) ∆ = b2 − 4ac = (−4) − 4 ⋅ 3 ⋅ 5 = −44 < 0 → No tiene soluciones reales. b) ∆ = b 2 − 4 ac = 3 2 − 4 ⋅ (− 2)⋅ 12 = 105 > 0 → Tiene dos soluciones. 2. c) ∆ = b2 − 4ac = (−1) − 4 ⋅ 1⋅ (−3) = 13 > 0 → Tiene dos soluciones. d) ∆ = b 2 − 4 ac = 6 2 − 4 ⋅ (− 1) ⋅ 9 = 72 > 0 → Tiene dos soluciones.. 109.

(24) 3. Ecuaciones. 72 − 13 ⋅ 7 + k = 0 → k = 42 2. x 2 − 13 x + 42 = 0 → x =. 13 ± (−13) − 4 ⋅ 1⋅ 42 2⋅1. c) El producto de las raíces es − Las raíces son x1 = −. 110. =. 13 ± 1 → x1 = 6 2. 5 13 y la suma es − . 6 6. 5 1 y x2 = . 2 3. x2 = 7.

(25) 3. Ecuaciones. f) El producto de las raíces es − Las raíces son x1 = −. 1 3 y la suma es − . 10 10. 1 1 y x2 = . 2 5. a) ( x − 2)( x + 5) = x 2 + 3 x − 10. c) x ( x + 2) = x 2 + 2 x. b) ( x − 4 )( x + 4 ) = x 2 − 16.  1  2 d) 9  x +  x +  = 9 x 2 + 9 x + 2 . a) 25 x 4 – 101x 2 + 4 = 0 → 25 z 2 – 101z + 4 = 0 → z =. z1 =. 1 1 → x1 = − 25 5. x2 =. 1 5. 3 . 3.  2 1 101± (−101) − 4 ⋅ 25 ⋅ 4 101± 99  z1 = →z= → 25 2 ⋅ 25 50  z = 4  2. z2 = 4 → x 3 = −2. x4 = 2. 2. b) x 4 – 25 x 2 + 144 = 0 → z 2 – 25 z + 144 = 0 → z = z1 = 9 → x1 = −3. x2 = 3. 25 ± (−25) − 4 ⋅ 1⋅ 144 25 ± 7  z1 = 9 →z= → 2⋅1 2  z2 = 16. z2 = 16 → x 3 = −4. x4 = 4. 2. c) 3 x 4 – 30 x 2 + 27 = 0 → 3 z 2 – 30 z + 27 = 0 → z = z1 = 1 → x1 = −1 x2 = 1. 30 ± (−30 ) − 4 ⋅ 3 ⋅ 27 30 ± 24  z1 = 1 →z= → 2⋅ 3 6  z2 = 9. z2 = 9 → x 3 = −3. x4 = 3. 111.

(26) 3. Ecuaciones. a). x3 − x 1 − = 0 → 4 x ( x 3 − x ) − ( x 2 − 1) = 0 → 4 x 4 − 5 x 2 + 1 = 0 → Es una ecuación bicuadrada: x2 −1 4x.  z1 = 1 z = x → 4 z − 5 z + 1 →   z2 = 1 4  2.  x1 = 1 z1 = 1 →   x 2 = −1. 2.  x = 1 1  3 2 z2 = →  1 4   x 4 = − 2 . b) 9(1− x 2 )(1+ x 2 ) + 80 x 2 = 0 → −9 x 4 + 80 x 2 + 9 = 0 → Es una ecuación bicuadrada:  z1 = 9  z = x 2 → −9 z 2 + 80 z + 9 →   z2 = − 1  9. c) 1−.  x1 = 3 z1 = 9 →   x 2 = −3. 1 z2 = − → No tiene solución. 9. 18 18 + = 0 → x 4 − 18 x 2 + 81 = 0 → Es una ecuación bicuadrada: x2 x4.  x1 = 3 z = x 2 → z 2 − 18 z + 81 → z = 9 →   x 2 = −3. a) x 8 + 3 x 4 – 4 = 0 → z 2 + 3 z – 4 = 0 → z =. −3 ± 32 − 4 ⋅ 1⋅ (−4). z1 = − 4 → x 4 = − 4 → No tiene solución real.. 2⋅1. →z=. −3 ± 5  z1 = −4 → 2  z2 = 1. z2 = 1 → x 4 = 1 → x1 = −1. x2 = 1. b) x 6 – 19x 3 – 216 = 0 → z 2 − 19 z – 216 = 0. z=. 19 ± 192 − 4 ⋅ 1⋅ (−216) 2⋅1.   z = 19 − 35 = −8 19 ± 1225  1 2 →z= →  19 + 35 2 = 27  z2 = 2 . z1 = − 8 → x 3 = − 8 → x = − 2. z 2 = 27 → x 3 = 27 → x = 3. c) x 12 + 7 x 6 + 12 = 0 → z 2 + 7 z + 12 = 0 z=. −7 ± 72 − 4 ⋅ 1⋅ 12 −7 ± 1  z1 = −4 →z= →  z 2 = −3 2⋅1 2. z1 = − 4 → x 6 = − 4 → No tiene solución real.. z 2 = − 3 → x 6 = − 3 → No tiene solución real.. d) 36 x 10 + x 5 – 6 = 0 → 36 z 2 + z – 6 = 0. z=. 112. −1 ± 12 − 4 ⋅ 36 ⋅ (−6) 2 ⋅ 36.   z = −1− 865 ≈ −0,42  1 −1± 865 72 →z= →   72 − 1 + 865  z2 = ≈ 0,39 72 . z1 =. −1− 865 −1− 865 −1− 865 → x5 = → x1 = 5 ≈ −0,84 72 72 72. z2 =. −1 + 865 −1 + 865 −1+ 865 → x5 = → x2 = 5 ≈ 0,83 72 72 72.

(27) 3. Ecuaciones. a). x2 +1 7x2 −7 − 6x 6x4 −6 6x4 − 6x2 7x3 − 6x2 − 7x −x= → − = → 7 x 3 − 12 x 2 − 7 x + 6 = 0 2 2 2 x 6x −6 6 x ( x − 1) 6 x ( x − 1) 6 x ( x 2 − 1) x1 = 2. b). x2 =. −1− 22 7. x3 =. −1+ 22 7.  x1 = 3 x +4 x −3 = 2 → ( x + 4)( x 2 − x − 6) = (4 x + 7)( x − 3) → x 3 − x 2 − 5 x − 3 = 0 →   x 2 = −1 4x + 7 x − x −6. La única solución válida es x = −1 , pues x = 3 se descarta por hacer 0 el segundo denominador.. 113.

(28) 3. Ecuaciones. c). x +1 7 x 2x2 + 3x +1 7 2x2 − x − 2 = → − 2 = → 2 2x −1 4 x −1 2x + 1 4x −1 4 x −1 4x2 −1. → 4x −6 = 0 → x =. 114. 3 2. d). 4 x 4 x2 −1 x2 − x + 1= → 2 + 2 = → 3 + x = 0 → x = −3 x −1 x +1 x −1 x −1 x2 −1. e). 1 1 1 x −3 x +3 1 − = → 2 − = → −7 = 0 → No tiene solución real. x + 3 x −3 x2 − 9 x − 9 x2 − 9 x2 − 9. 2.

(29) 3. Ecuaciones. a). 4 1 1 = → 8 x + 4 = x + 3 → 7 x = −1 → x = − x + 3 2x + 1 7.   x = 9 + 73  1 x +2 3x x +2 3x 2 2 b) + =0→ = → x − 9 x + 2 = 0 →   2− x 2x −1 2 − x 1− 2 x 9 − 73  x 2 = 2 . c). 3 2 3 2 − =0→ = → 9 x + 15 = 2 x − 6 → x = −3 x −3 3x + 5 x −3 3x + 5. d). x x −3 3 = → x 2 − 2 x = x 2 − 4 x + 3 → −2 x = −4 x + 3 → x = x −1 x − 2 2. a). 1 x −1 2 1 2( x + 1)( x − 1) 4 x + x + 1 = + → = → 2 x 2 − 5 x − 3 = 0 → x1 = 3, x 2 = − x x +1 2x 2 x ( x + 1) 2 x ( x + 1) 2. b) x 2 − 3 x − 4 +.  x1 = 2 12  = 0 → x 3 − 3 x 2 − 4 x + 12 = 0 →  x 2 = −2  x  x 3 = 3. c).  x = −2 + 10 x2 + x − 6 1 + 3 = 0 → x 2 + x − 6 + 3 x = 0 → x 2 + 4 x − 6 = 0 →   x = −2 − 10 x  2. d).  x1 = 0 2x x − = 0 → 2 x ( x − 1) = (3 x − 4) x → x 2 − 2 x = 0 → x ( x − 2) = 0 →   x 2 = 2 3 x − 4 x −1. 115.

(30) 3. Ecuaciones. a) 1 + b). 5 x 3 + = 0 → 1− x 2 + 5(1− x ) + x (1+ x ) = 0 → 6 = 4 x → x = 1+ x 1− x 2. 10 x + 1 4 x 2 + 3 x − 4 − = 3 → (10 x + 1)( x + 1) − (4 x 2 + 3 x − 4) = 6( x + 1)2 → 2( x + 1) 2( x + 1)2. → 10 x 2 + x + 10 x + 1− 4 x 2 − 3 x + 4 = 6 x 2 + 12 x + 6 → −4 x − 1 = 0 → x = −. c). 1 4. 2x −1 x 2x + 3 + − = 1 → (2 x − 1)( x − 1) x + x 2 ( x − 4) − (2 x + 3)( x − 4)( x − 1) = x ( x − 4)( x − 1) → x −4 x −1 x → 5 x 2 + 4 x − 12 = 0 → x1 = −2. x2 =. 6 5. d). 1 x2 1 x2 + 1= 2 → + 1= → ( x + 4) + ( x 2 + 3 x − 4) = x 2 → 4 x = 0 → x = 0 x −1 x + 3x −4 x −1 ( x + 4)( x − 1). e). x2 − 5x + 2 x − 2 2x − 5 −3 x + + = −1 + → 2x − 5 x +1 x −1 4. → 4( x 2 − 5 x + 2)( x 2 − 1) + 4( x − 2)(2 x − 5)( x − 1) + 4(2 x − 5)2 ( x + 1) = −4(2 x − 5)( x 2 − 1) − 3 x (2 x − 5)( x 2 − 1) →  x1 = 3   x 2 = −3,8186 → 10 x 4 − 3 x 3 − 130 x 2 + 123 x + 72 = 0 →   x 3 = −0,41092   x 4 = 1,5295. La única solución que se puede obtener con los métodos vistos en el curso, es x = 3 . f). x2 − 4 x +1 1 − + 2x + = 0 → x + x +1 x −2 7 2. → 7( x 2 − 4)( x − 2) − 7( x + 1)( x 2 + x + 1) + 14 x ( x 2 + x + 1)( x − 2) + ( x 2 + x + 1)( x − 2) = 0 →. g). 1 14 x 4 − 13 x 3 − 43 x 2 − 71x + 47 = 0 → x1 = , x 2 = 2,684 (x2 se calcula por tanteo) 2 x x 2x x x 2x + + =0→ + + =0→ x2 −1 x3 −1 x2 + x + 1 ( x + 1)( x − 1) ( x − 1)( x 2 + x + 1) x 2 + x + 1. x ( x 2 + x + 1) + x ( x + 1) + 2 x ( x + 1)( x − 1) = 0 → 3 x 3 + 2 x 2 = 0 → x 2 (3 x + 2) = 0 → x1 = 0. 116. x2 = −. 2 3.

(31) 3. Ecuaciones. a). 6 x − 2 = 4 → 6 x − 2 = 16 → 6 x − 18 = 0 → x = 3. b). 6 x − 8 = x → 6 x − 8 = x 2 → x 2 − 6 x + 8 = 0 → x1 = 2. c). x 2 + 9 − 1= x → x 2 + 9 = x 2 + 2 x + 1→ 2 x − 8 = 0 → x = 4. d). 2 x 2 + 7 x − 1 = x + 1 → 2 x 2 + 7 x − 1 = x 2 + 2 x + 1 → x 2 + 5 x − 2 = 0 → x1 =. x2 = 4. a). 3. x + 9 = 4 → x + 9 = 64 → x − 55 = 0 → x = 55. b). 3. x 2 − 7 x = 2 → x 2 − 7 x = 8 → x 2 − 7 x − 8 = 0 → x1 = −1. − 5 − 33 2. x2 =. −5 + 33 2. x2 = 8. a). 2 x − 10 = 5 x − 10 → 2 x − 10 = 25 ( x − 10 ) → 23 x − 240 = 0 → x =. b). x + 2 − x + 3 = 5 → x + 2 = x + 10 x + 3 + 28 → x −. 240 23. 94 94 =0→ x= 25 25. Al comprobar el resultado se observa que no es solución. c). 4 x − 11 = 7 2 x − 29 → 4 x − 11 = 49 (2 x − 29) → 94 x − 1410 = 0 → x = 15. d). x + 3 − x + 1 = 3 → x + 3 = x + 6 x + 1 + 10 → x −. 13 13 =0→ x= 36 36. Al comprobar el resultado se observa que no es solución.. 117.

(32) 3. Ecuaciones. a). 3x2 − 4x + 5 + 3x + 5 =. x2 → 5. (. 3x2 −4x + 5. 2. ). 2.  x2  =  − 3 x − 5 →   5.  x1 = −3,3205  4 3 4 3 x 6 x x 6 x  x 2 = 24,456 2 2 2 → 3x −4x + 5 = − + 7 x + 30 x + 25 → − + − 4 x − 34 x − 20 = 0 →   x 3 = −0,64731 25 5 25 5   x 4 = 9,5122. Tras la comprobación, las únicas soluciones válidas son x1 y x2. Ninguna de estas dos soluciones se puede obtener con los métodos vistos en el curso. b). x2 + 4x + 4 + x + 3 = 5 →. (. x2 + 4x + 4. 2. 2. ) = (5 −. x + 3) → 2. 2. → x 2 + 4 x + 4 = x + 28 − 10 x + 3 → ( x 2 + 3 x − 24) = (−10 x + 3 ) →.  x1 = 1 → x 4 + 6 x 3 − 39 x 2 − 244 x + 276 = 0 →   x 2 = 6. Tras la comprobación, se observa que la única solución válida es x1 = 1 . 2. c). x2 + x +.  2 5 5 = 4 − 3 x + 8 →  x 2 + x +  = (4 − 3 x + 8 ) →  9 9 . → x2 + x +. 2 2  5 211 = 16 + 3 x + 8 − 8 3 x + 8 →  x 2 − 2 x −  = (−8 3 x + 8 ) →  9 9 . → x4 −4x3 −.  x = 1 386 2 884 3 049 x − x =+ = 0 →  1 3  9 9 81  x 2 = 9,535 1 3. Tras la comprobación, la única solución válida es x1 = . 2. d). 5−8x + x2 −6x +.  2 3 3 = −10 x → ( 5 − 8 x ) = −10 x − x 2 − 6 x +  →  4 4 . 2  3 17  5 − 8 x = 101x 2 − 6 x + + 10 x 4 x 2 − 24 x + 3 → 101x 2 − 2 x +  = 100 x 2 (4 x 2 − 24 x + 3) →  4 4. → 9801x 4 + 2804 x 3 −.  x = − 1 2309 x 2 289 − 17 x + = 0 →  1 2  2 16  x 2 = −0,1221 1 2. La única solución que se puede obtener con los métodos vistos en el curso es x = − .. 118.

(33) 3. Ecuaciones. a). x +7+ →. b). x −1− 2 x + 2 = 0 → 2x + 2 x + 7 x −1+ 6 = 4x + 8 →. x + 7 x − 1 = x + 1→ x 2 + 6 x − 7 = x 2 + 2 x + 1→ 4 x − 8 = 0 → x = 2. x − 1− x + x = 1 → x − 1− x = x − 2 x + 1 → → 2 x = 1+ 1− x → 4 x = −x + 2 1− x + 2 → 5 x − 2 = 2 1− x →  x1 = 0  → 25 x 2 − 20 x + 4 = 4 − 4 x → 25 x 2 − 16 x = 0 →   x 2 = 16  25. Al comprobar el resultado vemos que la única solución válida es x 2 =. 2. a) ( x 2 – 4)( x 2 – 3 x + 2) = 0 → ( x − 1)( x + 2)( x − 2) = 0 → x1 = −2. 16 . 25. x2 = 1. x3 = 2. c) ( x – 1)( x 2 + 4)( x 2 – 9) = 0 → ( x − 1)( x − 3)( x + 3)( x 2 + 4) = 0 → x1 = −3. x2 = 1. b) ( x 2 – x )( x 2 + 16) = 0 → x ( x − 1)( x 2 + 16) = 0 → x1 = 0. x2 = 1. d) ( x 2 – 4 x – 5)( x 2 – 2 x – 8) = 0 → ( x + 1)( x + 2)( x − 5)( x − 4) = 0 → x1 = −2. x3 = 3. x 2 = −1. x3 = 4. x4 = 5. 119.

(34) Ecuaciones. 120. 3.

(35) 3. Ecuaciones. d) x 2 ( x 2 − x − 6) = 3( x 2 − 3 x ) → x 2 ( x − 3)( x + 2) − 3 x ( x − 3) = 0 → x ( x − 3)[ x ( x + 2) − 3 ] → → x ( x − 3)( x 2 + 2 x − 3) = 0 → x ( x − 3)( x + 3)( x − 1) = 0 → x 1 = 0. x2 = 3. x 3 = −3. x4 = 1. a) x 3 – 6 x 2 + 11x – 6 = 0 1 1 1 2 1 3 1. −6 1 −5 2 −3 3 0. 11 −5 6 −6 0. −6 6 0. Las raíces enteras son {1, 2, 3}. b) x 3 – 3 x 2 – 13 x + 15 = 0 1 1 1 5 1 −3 1. −3 1 −2 5 3 −3 0. −13 −2 −15 15 0. 15 −15 0. Las raíces enteras son {−3, 1, 5}. c) x 5 + x 4 – 5 x 3 – 5 x 2 + 4 x + 4 = 0 1 1 1 −1 1 2 1 −2 1 −1 1. 1 1 2 −1 1 2 3 −2 1 −1 0. −5 2 −3 −1 −4 6 2 −2 0. −5 −3 −8 4 −4 4 0. 4 −8 −4 4 0. 4 −4 0. Las raíces enteras son {−2, −1, 1, 2}.. 121.

(36) 3. Ecuaciones. d) x 3 − 7 x 2 + 4 x − 28 = 0 1 7 1. −7 7 0. 4 0 4. −28 28 0. x2 + 4 = 0 no tiene soluciones reales, por tanto, la única raíz entera es x = 7.. 122.

(37) 3. Ecuaciones. Respuesta abierta, por ejemplo: a) 7( x − 1)( x − 2)( x − 3) = 0 → 7 x 3 − 42 x 2 + 77 x − 42 = 0 3.  1 3 3 1 b)  x −  = 0 → x 3 − x 2 + x − = 0 → 8 x 3 − 12 x 2 + 6 x − 1 = 0 . 2. 2. 4. 8. 123.

(38) 3. Ecuaciones. c) Si dos de las soluciones son reales, entonces la tercera solución también será real. ( x − 1)( x + 1) x = 0 → x 3 − x = 0  1  2 x 2 d)  x +  x −  = 0 → x 2 − − = 0 → 15 x 2 − x − 2 = 0 . 3 . 5. 15. 15. e) Tomando como tercera solución x 3 = −. 2 : 2.  2  2  3 2  x −  x + ( x + 3) = 0 → 2 x + 6 x − x − 3 = 0   2  2 . a) log x 3 = −1 → x −1 = 3 → x =. 1 3.  x = 5 1 → La única solución válida es x1 = 5 .  x = − 5  2. b) log x 5 = 2 → x 2 = 5 → .   x = 3 1  1 3 3 −2 2 → La única solución válida es x1 = c) log x 3 = −2 → x = 3 → x = →  . 3  3 3  x 2 = −  3. d) log x 2 = 5 → x 5 = 2 → x = 5 2. a) log x 8 = 4 → x 4 = 8 → x = 4 8 1 4. 1 4. b) log x = −4 → x −4 = → x = 4 4 = 2 c) log x 3 = 5 → x 5 = 3 → x = 5 3  x = 3 4 4 9  1 2 2 −2 d) log x = −2 → x = → x = →  3 9 9 4   x 2 = − 2  3 2. La única solución válida es x1 = . e) log x 343 = 3 → x 3 = 343 → x = 7 f) log x 2 = 4 → x 4 = 2 → x = 4 2. 124.

(39) 3. Ecuaciones.  125  g) log x −  = −3 → No existen logaritmos de números negativos.  8 . h) log x 49 = 6 → x 6 = 49 → x = 6 49 = 3 7. a) log 3 9 x = 2 → 3 2 = 9 x → x = 1 3 2. 3 2. b) log 2 x = → x log 2 = → x =. 3 ≈ 4,983 2log 2. c) ln3 x = −1 → x ln3 = −1 → x = −. 1 ≈ −0,91 ln3. d) log 2 4 x + 4 = − 2 → 2−2 = 4 x + 4 → 4−1 = 4 x + 4 → − 1 = x + 4 → x = − 5 e) log 3 9 x +3 = 3 → 33 = 9 x +3 → 33 = 32 x +6 → 3 = 2 x + 6 → x = − x. 3 2. x 2. 3 2. f) log 2 2 = → log 2 = → x =. 3 2. 3 ≈ 9,966 log 2. g) ln3 x +6 = 3 → ( x + 6)ln3 = 3 → x =. 3 − 6 ≈ −3,269 ln3. h) log 3 273 x +4 = −2 → (3 x + 4)log 3 27 = −2 → 3 ⋅ (3x + 4) = −2 → x = −. x 5. a) log x = −1+ log 5 → log = −1 →. 14 9. x 1 1 = →x= 5 10 2. b) log 5 x = 2 + log 5 7 → log 5. x x = 2 → = 25 → x = 175 7 7. c) log 2 x = 3 + log 2 9 → log 2. x x = 3 → = 8 → x = 72 9 9. 125.

(40) 3. Ecuaciones. 1 2. a) log 4 x = 2 + log 4 → log 4 2 x = 2 → 2 x = 16 → x = 8 b) log (3 x − 1) = −2 + log 50 → log c) log 2. 3x −1 3 x −1 1 1 = −2 → = →x= 50 50 100 2. 3 x −1 1 16(3 x − 1) 2 = 2 + log 2 → log 2 = 2 → 12 x − 4 = 4 → x = 4 16 4 3.  x1 = 6  x 2 = −6. 1 2. a) log x 9 + log x 16 = 2 → log x (9 ⋅ 16 ) = 2 → x 2 = 36 →  La única solución válida es x1 = 6 ..  x1 = 0  x 2 = 4. b) log x +1(6 x + 1) = 2 → ( x + 1)2 = 6 x + 1→ x 2 − 4 x = 0 → . → La única solución válida es x2 = 4 ..  x1 = 1  x 2 = 2. c) log 1 ( x 2 − 3 x + 3) = 0 → 1 = x 2 − 3 x + 3 → x 2 − 3 x + 2 = 0 →  2. d) log 2 x 3 − log 2 x 2 = 4 → log 2 x = 4 → x = 16  x1 = 1  x 2 = −5. e) log 2 ( x 2 + 4 x − 1) = 2 → 4 = x 2 + 4 x − 1 → x 2 + 4 x − 5 = 0 → . a) log( x − 3) + log( x + 1) = 1− log( x − 5) → log [( x − 3)( x + 1)( x − 5)] = 1 →  x1 = −0,47419  → ( x − 3)( x + 1)( x − 5) = 10 → x − 7 x + 7 x + 5 = 0 →  x 2 = 1,8873   x 3 = 5,5869 3. 2. La única solución válida es x 3 = 5,5869 .  x1 = −2,7614 ⋅ 10 6  x 2 = 2,7614 ⋅ 10 6 . b) log 3 ( x 2 + x + 1) = 27 → x 2 + x + 1 = 327 →  . 1. . 3. . 1. . 1. 3 . 1. 19. 19. 39. c) log 5  x +  + log 5  x +  = 1− log 5  x +  →  x +  x +  x +  = 5 → x 3 + x 2 + x − = 0 → x = 1,1906    2 4 3  2  4  3 12 24 8  x − 2   x − 3   2 x − 1  x − 2  x − 3  2 x − 1 1 3 11 2 17 21 d) log  x − = 0 → x = 5,8775  + log   + log   = 1 →     = 10 → x − x +  2   2   3   2  2  3  6 12 12 2. 126.

(41) 3. Ecuaciones.  x1 = 6   x 2 = 1  2. 1 2. a) log 3 x − 5 + log 3 2 x − 3 = 1 → log 3 [( x − 5)(2 x − 3)] = 1 → ( x − 5)(2 x − 3) = 9 → 2 x 2 − 13 x + 6 = 0 →  La única solución válida es x1 = 6 . 2 3. b) log 2 x − log 2 3 x = →. 3. 6. ( ). 2 1 2 2 x = 23 → x 6 = 23 → x = 23 x. = 16.  3 + 13 ≈ 3,303  x1 = 2 2 2  a) log 5 ( x − 1) + log 5 ( x + 1) = log 5 3 x → x − 1 = 3 x → x − 3 x − 1 = 0 →    x 2 = 3 − 13 ≈ −0,303  2. La única solución válida es x1 =. 3 + 13 ≈ 3,303 . 2. b) log 2 ( x − 3) − log 2 (2 x + 21) = 1− log 2 ( x − 2) →.  x1 = −3 ( x − 3)( x − 2) = 2 → x 2 − 9 x − 36 = 0 →  2 x + 21  x 2 = 12. La única solución válida es x2 = 12 .. a) 4 x =. 1 → 4 x = 4−3 → x = −3 64. e) 162 x−4 = 1 → 24(2 x −4) = 20 → 8 x = 16 → x = 2. b) 2 x−5 = 32 → x − 5 = 5 → x = 10. f) 2 x +1 = 8 → x + 1 = 3 → x = 2. c) 36−x = 27 x−2 → 6 − x = 3 x − 6 → x = 3. g) 2 x +1 = 16 → x + 1 = 4 → x = 3. d) 32 x −2 = 2 → 5 x − 10 = 1 → x =. 11 5. h) 2 x +1 = 128 → x + 1 = 7 → x = 6. 127.

(42) 3. Ecuaciones. a) 642 x −5 = 16 x −2 → 3(2 x − 5) = 2( x − 2) → 6 x − 15 = 2 x − 4 → x =. 11 4. b) 125 x−3 = 25 x−3 → No existe solución real. c) 5 x −3 = 1 → x − 3 = 0 → x = 3 1 8. d) 2 x +1 = → x + 1 = −3 → x = −4 e) 2 x +1 =. 1 → x + 1 = − 4 → x = −5 16. f) 2 x +1 =. 1 → x + 1 = −7 → x = − 8 128. a) 3·27 x−2 = 9 x → 33 x −6+1 = 32 x → 3 x − 5 = 2 x → x = 5 b) 5 x +4 = 125 x −4 → x + 4 = 3 x − 12 → x = 8 c). 1 28 = 34− x → 3 4( x −6) = 34− x → 4 x − 24 = 4 − x → x = 816− x 5. d) 322 x−3 = 2 x +3 → 10 x − 15 = x + 3 → x = 2 e) 125 x +2 = 52 x → 3 x + 6 = 2 x → x = −6 f) 256 x = 4 ⋅ 42 x −3 → 44 x = 42 x−2 → 2 x = −2 → x = −1. a) 3 b). 128. x3−. 2x. 3. x2 4 x 3 − + 10 5 10. = 1 → 10 x 3 − x 2 − 8 x + 3 = 0 → x1 = − 1. − x 2 −5 x. 8. = 1→ 2x. 3. − x 2 −5 x −3. x2 =. 1 2. x3 =.  x = −1 = 20 → x 3 − x 2 − 5 x − 3 = 0 →  1  x 2 = 3. 3 5.

(43) 3. Ecuaciones. 3 a)   2. x3−. 34 x 2 48 x − 5 5. x3. 3 = 1 →   2. 1 − (2 x 2 +16 x ) 3. 3  7 b)   =   7 3. 5 x 3 −34 x 2 −48 x 5. 1 2 16 → x 3 = (2 x 2 + 16 x ) → x 3 − x 2 − x = 0 → x1 = 0 3 3 3. 5− x 3.  1 c)    7. ⋅ 713 x. 2. +13 x. 0. 3 =   → 5 x 3 − 34 x 2 − 48 x = 0 → x1 = 0  2. = 1→ 7x. 3. −5. ⋅7. a) a2 x −1 = a2 → 2 x − 1 = 2 → x =. 13 x 2 +13 x 2. x2 = −. x2 =. 6 5. 8 3. = 70 → 2 x 3 + 13 x 2 + 13 x − 10 = 0 → x1 = −5. x3 = 8. x 3 = −2. x2 =. 1 2. x 3 = −2. 3 2. b) mx−3 = ( m2 )2 x → x − 3 = 4 x → x = −1 c) (3 a)2 x−5 = 9a2 → (3a)2 x −5 = (3a)2 → 2 x − 5 = 2 → x =. 7 2. d) ( p − 3)5 x = p2 − 6 p + 9 → ( p − 3)5 x = ( p − 3)2 → 5 x = 2 → x =. 2 5. e) (a2 + 2ab + b2 )2 = ( a + b)2 x → ( a + b)4 = ( a + b)2 x → 4 = 2 x → x = 2  x − 3 = 0 → x1 = 3   x = −4 9 − 2 x − x 2 = 1 →  2  x 3 = 2 . f) (9 − 2 x − x 2 ) x −3 = 1 → .  x − 1 = 0 → x1 = 1  x + 1 = 1 → x 2 = 0. g) ( x + 1) x−1 = 1 → . 129.

(44) 3. Ecuaciones. t1 = 1 → 9 x = 1 → x = 0  2x x 9 x =t 2  − ⋅ + =  → − + = → 9 3 9 2 0 t 3 t 2 0 a) log 2 t2 = 2 → 9 x = 2 → x = ≈ 0,3155 log 9 . 2x. 2 2 b)   − 2  3 3. x. x  t = −5 →  2  = −5 → Imposible  1  3   2 x    = t 3 x = 35  → t 2 − 2t − 35 = 0 →  t = 7 →  2  = 7 → x = log 7 ≈ −4,8    2 2 3  log  3. La solución obtenida se descarta, pues no es válida al sustituirla en la ecuación. Por lo tanto, esta ecuación no tiene solución. c) t1 = −2 → 7 x = −2 → Imposible   log 3 x ≈ 0,5646 t2 = 3 → 7 = 3 → x = 4x 3x 2x x 7 x =t 4 3 2 log 7 7 − 3 ⋅ 7 − 5 ⋅ 7 + 13 ⋅ 7 + 6 = 0  → t − 3t − 5t + 13t + 6 = 0 →   t3 = 1− 2 → 7 x = 1− 2 → Imposible  t4 = 1 + 2 → 7 x = 1 + 2 → x = log 7 (1+ 2) ≈ 0,453. 4x. 5 5 d)   − 2   6 6. a) 33 x. x. x  5 t1 = 1 →   = 1 → x = 0  6  x   5  = t  6  x + 1 = 0  → t 4 − 2t + 1 = 0 →  5 log 0,54369 ≈ 3,3423 t2 = 0,54369 →   = 0,54369 → x = 5 6  log    6 .   x t1 = 1 → 3 = 1 → x1 = 0 5 2 11  x −1 2 x −1 3 x =t 3 + 5⋅ 3 − 11⋅ 3 + 1 = 0  → t + t − t + 1 = 0 → t2 = −3 → 3 x = −3 → Imposible  3 3  1 1 x t3 = → 3 = → x 2 = −1 3 3  3x.  1 4 9 2 2 =t b) 4   = 9 ⋅ 2−2 x − 2− x +1 → 4 ⋅ (2 x )−3 − 9 ⋅ (2 x )−2 + 2 ⋅ (2 x )−1 = 0  → 3 − 2 + =0 x. 2. t. t. t. t1 = 4 → 2 x = 4 → x1 = 2  2t 2 − 9t + 4 = 0 → 2 x =  1 1 x t2 = → 2 = → x 2 = −1 2 2  x  t = 1 →  3  = 1 → x = 0 1  1  2    3 x 3 x +1 2x x +1 x    =t 3 3 3 3 3 3  2 → t 3 − t 2 − t + 1 = 0 → t2 = −1 →   = −1 → Imposible c)   + 1 =   +     2   2 2 2 2 2   x t = 2 →  3  = 2 → x = −1 2  3 3  2  3 . 130.

(45) 3. Ecuaciones. a) x = −3. b) x =. 3 2. c) x = 1. d) x = −1. a) x1 = 1 (no es solución x = −1 porque anula el denominador) b) x1 = 3 , x2 = − 3 c) x1 = 0, x2 = 3 d) No tiene solución, ya que x = 3 anula el denominador.. a). 5 − 3x = x → 5 − 3x = x 2 → x 2 + 3 x − 5 = 0   x = −3 + 29  1 −3 ± 9 + 20 −3 ± 29 2 → x= →  =  2 2 −3 − 29  x 2 =  2. La única solución válida es x1 = x2 =. b). 5 − 3x en ambos casos, en el caso de. −3 − 29 que es un número negativo se iguala a una raíz y solo se considera su valor numérico positivo. 2. x − 3 = x → x − 3 = x2 → x2 − x + 3 = 0. → x= c). −3 + 29 , porque aunque sí existe 2. 1 ± 1− 12 → No tiene solución. 2. 4 − 3x − x 2 = x → 4 − 3x − x 2 = x 2 → 2 x 2 + 3 x − 4 = 0   x = −3 + 41  1 −3 ± 9 + 32 − 3 ± 41 4 → x= →  =  4 4 −3 − 41  x 2 =  4. 131.

(46) 3. Ecuaciones. La única solución válida es x1 = x2 =. −3 + 41 , porque aunque sí existe 4. −3 − 41 que es un número negativo se iguala a una raíz y solo se considera su valor numérico positivo. 4. d) log (2 − 5 x ) = 1 → 2 − 5 x = 10 → x =−. 8 5. e) log (6 − x − x 2 ) = 2 → 6 − x − x 2 = 100 → x 2 + x + 94 = 0 → x=. − 1 ± −375 → No tiene solución. 2. f) log ( x 2 + 1) = 2 → x 2 + 1 = 100  x = 3 11 1. → x 2 = 99 →  .  x 2 = −3 11. Ambas soluciones son válidas.. 132. 4 − 3x − x 2 en ambos casos, en el caso de.

(47) 3. Ecuaciones. a) C(2) = b) 32 =. 40·2 = 16 → Un dependiente que lleve trabajando 2 días atenderá en una hora a 16 clientes. 2+3. 40 d → 32d + 96 = 40 d → 8d = 96 → d = 12 → Un dependiente empieza a ser rentable a partir de 12 días d+3. trabajados. c) Calculando el número de clientes atendidos por dependientes con mucha experiencia, se observa que, como máximo, cada uno podrá atender a 40 clientes por hora: C(100) =. 40 ⋅ 100 40 ⋅ 500 40 ⋅ 10 000 = 38,835 , C(500) = = 39,761 , C(10 000) = = 39,988 100 + 3 500 + 3 10 000 + 3. 133.

(48) Ecuaciones. Llamamos x a la edad actual del individuo y planteamos la ecuación: x −4 =. x x + → 6 x − 24 = 3 x + 2 x → x = 24 2 3. Actualmente tiene 24 años.. Llamamos x a la distancia que podemos recorrer en 3 horas, es decir, en 180 minutos. Para recorrer 50 metros hacia arriba y hacia abajo se necesitan 3 minutos y medio (uno para bajar y dos y medio para subir), por lo que: 50 m  → 3,5 min 7 18 000 = 2571,43 m  → 9 000 = x → x = 2 7 x m  → 180 min . Se pueden bajar hasta 2 571,43 metros del río.. Si x es uno de los sumandos, el otro será 60 − x. Entonces, utilizando el algoritmo de la prueba de la división, se tiene la siguiente ecuación: x = 3(60 − x ) + 8 → x = 180 − 3 x + 8 → 4 x = 188 → x = 47 , y por lo tanto el segundo sumando será 13.. Llamando x al número menor, x + 1 es el número mayor consecutivo. Entonces: x x x +1 x +1 + + 1= + → 105 x + 84 x + 420 = 140 x + 140 + 60 x + 60 → 220 = 11x → x = 20 4 5 3 7. Los números buscados son x = 20, x + 1= 21 .. 134. 3.

(49) 3. Ecuaciones. Si en el cubo A hay x litros de agua, entonces el cubo B contendrá 10 − x litros. 2 3. La capacidad total del cubo A viene dada por x + (10 − x ) y la capacidad del cubo B por (10 − x ) +. x . 2. Como el volumen de ambos cubos es igual: 2 x x + (10 − x ) = (10 − x ) + → 6 x + 40 − 4 x = 60 − 6 x + 3 x → 5 x = 20 → x = 4 3 2. El cubo A contiene 4 litros de agua; y el cubo B, 6 litros. 4 2. La capacidad total de ambos cubos es de 10 − 4 + = 8 litros.. Sean x el número de ejercicios que ha realizado mal. Entonces, 20 − x será el número de ejercicios bien resueltos. Como lleva ganados 15,50 €, se plantea y se resuelve la siguiente ecuación: (20 − x ) − 0,5 x = 15,50 → 20 − 1,5 x = 15,5 → x = 1,5 x = 4,5 → x = 3. Es decir, ha realizado 3 ejercicios mal, y 17 bien.. Sea x la longitud en cm de la arista del cubo pequeño. Entonces la arista del cubo grande medirá x + 4 cm. Como el volumen del cubo grande es 8 veces el del cubo pequeño, se tiene la siguiente ecuación: 8 x 3 = ( x + 4)3 → 8 x 3 = x 3 + 12 x 2 + 48 + 64 → 7 x 3 − 12 x 2 − 48 − 64 = 0 → x = 4. Luego las aristas miden 4 cm y 8 cm, respectivamente.. Por ser r y s las raíces de ax 2 + bx + c = 0 , se tiene que ax 2 + bx + c = k ( x − r )( x − s ) = kx 2 + (−kr − ks ) x + (krs ) , de donde se obtienen los valores de a, b, y c en función de k, r y s: a= k. b = −k ( r + s ). c = krs. Ahora se sustituyen los valores en la nueva ecuación y se resuelve:. 135.

(50) 3. Ecuaciones. cx 2 – bx + a = 0 → krsx 2 + k ( r + s ) x + k = 0. x=. −k ( r + s ) ±. 2. (k (r + s)). − 4 ⋅ krs ⋅ k. 2 ⋅ krs. →x=. −k ( r + s ) ± k 2 s 2 + 2k 2 rs + k 2 r 2 − 4rsk 2 → 2krs 2. →x=. −k (r + s) ± k 2 ( r − s ) −k ( r + s ) ± k 2 r 2 − 2rsk 2 + k 2 s 2 →x= → 2krs 2krs. −( r + s) − (r − s)  1 x = =− −k (r + s) ± k (r − s) −(r + s) ± (r − s)  1 2rs s →x= →x= →  2krs 2rs −( r + s) + ( r − s) 1 =−  x 2 = 2 rs r . Hay que contemplar el caso en el que r y s son cero. Para ello, se estudian varios casos y se despeja x de la ecuación krsx 2 + k (r + s) x + k = k ( rsx 2 + (r + s) x + 1) = 0. Se supone que k ≠ 0 , pues así se evita llegar a 0 = 0. 1 r. Caso 1: r ≠ 0 y s ≠ 0 → Las raíces son x1 = − y x 2 = − Caso 2: r = 0 y s ≠ 0 → sx + 1 = 0 → x = − Caso3: r ≠ 0 y s = 0 → rx + 1 = 0 → x = −. 1 s. 1 s. 1 r. Caso4: r = 0 y s = 0 → k = 0 → 1= 0 → No existe solución.. Sea x el número máximo de vasos que se podrá fabricar. Entonces, como el gasto máximo permitido es de 7 000 €: 3000 + 1,5 x ≤ 7000 → 1,5 x ≤ 4000 → x ≤ 2666,667. Por lo tanto, como máximo se podrán fabricar 2666 vasos.. Como el alambre tiene una longitud de 14 cm, el semiperímetro del rectángulo será de 7 m. Si x es la base del rectángulo, entonces 7 − x será su altura. Se cumple el teorema de Pitágoras, de modo que x2 + (7 −x)2 = 52 → −14x + 49 = 25 → x = La base del rectángulo mide. 136. 12 37 y la altura . 7 7. 24 12 = 14 7.

(51) 3. Ecuaciones. Actualidad. Dentro de x años. Madre. 24. 24 + x. Hijo. 0. x. 2 2 de la de su madre. (24 + x ) = x → x = 16 → Cuando el hijo tenga 16 años su edad será 5 5. 3x −. x 6 = 3 → 6x − x = 6 → x = 2 5. El número que cumple esta propiedad es. x2 −. 6 . 5.  x1 = 0 x = x → 2 x 2 − x − 2 x = 0 →   x 2 = 3 2  2. Que una tarifa sea mejor que otra quiere decir que un cliente gaste menos con la primera tarifa que con la segunda. Llamando x a los kilovatios hora consumidos, se tiene: a) 6,70 + 0,18 x = 9,60 + 0,13 x → 5 x = 290 → x = 58 Son iguales las tarifas cuando se consumen 58 kilovatios. Cuando se consuman más de 58 kilovatios hora la tarifa B será más rentable que la tarifa A. b) 6,70 + 0,18 x = 14 + 0,09 x → 9 x = 730 → x =. 730 → x = 81,11 9. Cuando se consuman más de 81,11 kilovatios hora la tarifa C será más rentable que la tarifa A. c). 6,70 + 0,18 x > 14 + 0,09 x  9 x > 730 x > 81,11 → →  → x > 110 9,60 + 0,13 x > 14 + 0,09 x  4 x > 440 x > 110 . Cuando se consuman más de 110 kilovatios hora la tarifa C será la más rentable de todas.. 137.

(52) 3. Ecuaciones. Llamando x al lado menor de la piscina, se tiene: 2 x 4 − 3 x 2 = 135 → 2 x 4 − 3 x 2 − 135 = 0 → 2 z 2 − 3 z − 135 = 0 2. z=. 3 ± (−3) − 4 ⋅ 2 ⋅ (−135). z1 = −. 2⋅ 2. →z=.  15 3 ± 33  z1 = − → 2  4  z2 = 9  x1 = −3 z2 = 9 →   x 2 = 3. 15 15 → x 2 = − → No tiene solución real. 2 2. Se descarta x1 = −3 como solución, pues la longitud tiene que ser positiva. Por lo tanto, la piscina mide 9 metros de largo y 3 metros de ancho.. PARA PROFUNDIZAR. □ Sea x el número de ovejas e y el número de gallinas. Como cada oveja tiene 4 patas y cada gallina 2, hay en total x + y animales y 4 x + 2 y patas. 4 x + 2y x l −2 = l → 4 x + 2 y = lx + ly → (4 − l ) x = ( l − 2) y → = x+y y 4−l log b 2. □ b > 1 , x > 0 → (2 x ). log b 3. − (3 x ). =0 logb 2. Se toman logaritmos en la igualdad (2 x ) se despeja:. 138. log b 3. = (3 x ). , se aplican propiedades de los logaritmos, se simplifica y.

(53) 3. Ecuaciones. log b 2 ⋅ log b 2 x = log b 3 ⋅ log b 3 x → log b 2 ⋅ (log b 2 + log b x ) = log b 3 ⋅ (log b 3 + log b x ) → 2. 2. 2. 2. → (log b 2) + log b 2 ⋅ log b x = (log b 3) + log b 3 ⋅ log b x → (log b 2) − (log b 3) = log b 3 ⋅ log b x − log b 2 ⋅ log b x → 2. 2. → (log b 2) − (log b 3) = (log b 3 − log b 2)⋅ log b x → (log b 2 + log b 3) ⋅ (log b 2 − log b 3) = (−1)(log b 2 − log b 3) ⋅ log b x → → (−1)⋅ (log b 2 + log b 3) = log b x → −log b 2 − log b 3 = log b x → log b. □.    x − 2 x + 1 = 3 →    .   x = 2,    x = −4, →   2  x = , 3    x = − 4 ,  3. 1 1 = log b x → x = 6 6.   x + 1 = 3, x ≥ − 1 , x ≥ −1  2  1 1  x − 2 x − 1 = 3, x ≥ − − x − 1 = 3, x ≥ − , x ≤ −1 2 2  → →  1 1 1 x + 2 x + 1 = 3, x ≤ − 3 x + 1 = 3, x ≤ − , x ≥ − 2 3 2   1 −3 x − 1 = 3, x ≤ − , x ≤ − 1  2 3. 1 x ≥− , 2 1 x ≥− , 2 1 x ≤− , 2 1 x ≤− , 2. x ≥ −1 → x = 2 x ≤ −1 → No tiene solución. 1 → No tiene solución. 3 1 4 x ≤− → x =− 3 3. x ≥−. Por tanto, hay dos soluciones reales. □.  x 2 − 5 x − 24 = 0, x ≥ 0 5 x + 8 = x 2 − 16 → 5 x + 8 = x 2 − 16 →  2  x + 5 x − 24 = 0, x ≤ 0  2. x 2 − 5 x − 24 = 0 → x =. x 2 + 5 x − 24 = 0 → x =. 5 ± (−5) − 4 ⋅ 1⋅ (−24) 2⋅1 −5 ± 52 − 4 ⋅ 1⋅ (−24) 2⋅1. → x=. → x=.  x = −3 5 ± 121 →  1  x 2 = 8 2.  x = −8 −5 ± 121 →  1 2  x 2 = 3.  x 2 − 5 x − 24 = 0, x ≥ 0 → x = 8  → El producto de las soluciones es 8 ⋅ (−8) = −64 .  2  x + 5 x − 24 = 0, x ≤ 0 → x = −8. □ Llamando x, y, z a las edades de sus hijos:   → t − n = 2 (t − 3 n) → t − n = 2t − 6 n → 5 n = t → t = 5 t − n = 2 ( x − n + y − n + z − n) n. t= x+y+z. Sean x1 , x 2 y x 3 las raíces de la ecuación dada. Entonces: a( x − x 1 )( x − x 2 )( x − x 3 ) = ax 3 + bx 2 + cx + d → → ax 3 − a( x 1 + x 2 + x 3 ) x 2 + a( x 1 x 2 + x1 x 3 + x 2 x 3 ) x − ax 1 x 2 x 3 = ax 3 + bx 2 + cx + d. Comparando los términos se obtienen las relaciones pedidas: a( x1 + x 2 + x 3 ) = −b. a(x1 x 2 + x1 x 3 + x 2 x 3 ) = c. ax1 x 2 x 3 = −d. 139.

(54) 3. Ecuaciones. 3. 3. 1729 − x + 3 x = 19 → 1729 − x = (19 − 3 x ) → 1729 − x = 57 3 x 2 − x − 1083 3 x + 6 859 →. 3. x 2 − 19 3 x + 90 = 0. Hacemos z = 3 x y resolvemos la ecuación de segundo grado resultante: 2. z 2 − 19 z + 90 = 0 → z =. 140. 19 ± (−19) − 4 ⋅ 1⋅ 90 2⋅1. →z=. 3 19 ± 1  z1 = 9 → x = 9 → x1 = 729 →  z = 10 → 3 x = 10 → x = 1000 2 2  2.

(55) 3. Ecuaciones. Sea ax 3 + bx 2 + cx + d la ecuación general de tercer grado. Entonces, en este caso se tiene que a =1 b = 2 c = 3 d = 4 . Por otro lado, sean x1 , x 2 y x 3 las raíces de la ecuación dada. Usando las fórmulas obtenidas en la actividad 142: x1 + x 2 + x 3 = −b = −2. x1 x 2 + x1 x 3 + x 2 x 3 = c = 3. x1 x 2 x 3 = −d = −4. ▪ Suma de las primeras potencias de las raíces: x1 + x 2 + x 3 = −2. ▪ Suma de las segundas potencias de las raíces: x 1 + x 2 + x 3 = − 2 → ( x 1 + x 2 + x 3 )2 = (− 2)2 → x 12 + x 2 2 + x 3 2 + 2( x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) = 4 → → x 12 + x 2 2 + x 3 2 + 2·3 = 4 → x 12 + x 2 2 + x 3 2 = − 2. ▪ Suma de las terceras potencias de las raíces: x 12 + x 2 2 + x 3 2 = − 2 → ( x 12 + x 2 2 + x 3 2 )( x 1 + x 2 + x 3 ) = − 2·( − 2) → → x 13 + x 2 3 + x 3 3 + x 12 ( x 2 + x 3 ) + x 2 2 ( x 1 + x 3 ) + x 3 2 ( x 1 + x 2 ) = 4 → x1 x 2 + x1 x 3 + x 2 x 3 = 3 → x13 + x 2 3 + x 3 3 + x 1 ( x 1 x 2 + x 1 x 3 ) + x 2 ( x 1 x 2 + x 2 x 3 ) + x 3 ( x 1 x 3 + x 2 x 3 ) = 4     →. → x 13 + x 2 3 + x 3 3 + x 1(3 − x 2 x 3 ) + x 2 (3 − x 1 x 3 ) + x 3 (3 − x 1 x 2 ) = 4 → → x 13 + x 2 3 + x 3 3 + 3 x 1 + 4 + 3 x 2 + 4 + 3 x 3 + 4 = 4 → x1 + x 2 + x 3 =− 2 → x13 + x 2 3 + x 3 3 + 3( x 1 + x 2 + x 3 ) + 12 = 4    →. → x 13 + x 2 3 + x 3 3 + 3(− 2) + 12 = 4 → x 13 + x 2 3 + x 3 3 = 4 − 12 + 6 → x 13 + x 2 3 + x 3 3 = − 2. 141.

(56) Ecuaciones. x 2 − y 4 = 2 009 → ( x − y 2 )( x + y 2 ) = 2 009 .. Sea a = x − y 2 y b = x + y 2 . Entonces se tiene que ab = 2009 .  a+b a + b = 2 x → x = 2 2  Por un lado, se busca una expresión para x y para y en función de a y b →   b−a 2 2 b − a = 2 y → y = 2 . Por otro lado, se descompone 2009 en factores primos y se estudian todos los productos posibles, teniendo en cuenta que x e y son números enteros, y por tanto, los dos factores polinómicos, a = ( x − y 2 ) y b = ( x + y 2 ) también lo son: 2009 = 7 ⋅ 7 ⋅ 41 = 49 ⋅ 41 = 7 ⋅ 287 = 1⋅ 2009. Ahora se estudian los casos posibles, teniendo en cuenta que a < b y que para que y sea entero es necesario que b−a sea un cuadrado perfecto: 2. ▪. 1+ 2009  = 1500 a+ b b −a  x = x= , y2= a = 1 2   2 2 2009 = 1⋅ 2009 →  →  b = 2009  2 2009 − 1 = 1004 → No es cuadrado perfecto.  y = 2 . ▪.   x = 7 + 287 = 147 a+ b b −a x= , y2= a = 7  2 2 2 2009 = 7 ⋅ 287 →  →  b = 287  2 287 − 7 = 140 → No es cuadrado perfecto.  y = 2 . ▪. 41+ 49  x= = 45 a = 41 x = a+2 b , y 2 = b−2 a  2 2009 = 49 ⋅ 41 →  →  b = 49  2 49 − 41 = 4 → y = ±2  y = 2 . El tercer caso es el único que cumple todas las características, y como existe simetría par, los únicos pares enteros que resuelven la ecuación dada son (45, 2) , (45, − 2) , (− 45, 2) y (− 45,− 2) .. 142. 3.

(57) 3. Ecuaciones. MATEMÁTICAS EN TU VIDA La alimentación que se consume, pues de ella depende la aportación de los nutrientes necesarios.. Obtenemos la energía de los alimentos que comemos. Su oxidación produce los nutrientes calóricos.. La cantidad de nutrientes que resultan del consumo de un alimento. Normalmente se miden en kilocalorías.. En ambas expresiones intervienen P, los kilos, h, la estatura y t la edad.. Coeficientes del peso: Harris Benedict - mujeres: 9,247. Harris Benedict - hombres: 13,397. Mifflin St. Jeor - mujeres: 10. Mifflin St. Jeor - hombres: 10. Coeficientes de la estatura: Harris Benedict - mujeres: 3,098. Harris Benedict - hombres: 4,799. Mifflin St. Jeor - mujeres: 6,25. Mifflin St. Jeor - hombres: 6,25. Coeficientes de la edad: Harris Benedict - mujeres: −4,330. Harris Benedict - hombres: −5,677. Mifflin St. Jeor - mujeres: −5. Mifflin St. Jeor - hombres: −5. Respuesta abierta.. Según Harris Benedict: 447,953 + 9,247 · 59 + 3,098 · 161 − 4,330 · 35 = 1 340,754 Según Mifflin St. Jeor: −161 + 10 · 59 + 6,25 · 161 − 5 · 35 = 1 260,25. Según Harris Benedict: 88,362 + 13,397 · 67 + 4,799 · 175 −5,677 · 28 = 1 667,1 Según Mifflin St. Jeor: 5 + 10 · 67 + 6,25 · 175 − 5 · 28 = 1 628,75. 143.

(58) Ecuaciones. 144. 3.

(59)