Secciones Cónicas

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(1)Medios de Representación A. Secciones Cónicas Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en tres tipos: elipse, parábola e hipérbola. Un cono circular recto de dos hojas con un plano que no pasa por su vértice.. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber: . β < α : Hipérbola (naranja). . β = α : Parábola (azulado). . β > α : Elipse (verde). . β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo). Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que: . Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).. . Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).. . Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice.. . cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, hasta alcanzar el máximo (α) cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).. Expresión algebraica En coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:. En la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá: h² > ab: hipérbola.. h² = ab: parábola.. h² < ab: elipse.. a = b y h = 0: circunferencia.. 1.

(2) Medios de Representación A. Características Elipse: La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos: . Centro, O. . Eje mayor, AA´. . Eje menor, BB´. . Distancia focal, OF. La elipse con centro (0, 0) tiene la siguiente expresión algebraica:. Diámetros conjugados: Si tenemos un diámetro de la elipse A'B', el diámetro conjugado con él, es el lugar geométrico de los centros de las cuerdas paralelas a dicho diámetro (1, 2, 3, 4, etc.), estos centros determinan el diámetro conjugado D'C' del dado. Los ejes principales de la elipse, son los únicos diámetros conjugados perpendiculares entre si.. Mediante dos diámetros conjugados, podremos construir la elipse.. Hipérbola: La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos. Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras. Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola destacan los siguientes elementos:. 2.

(3) Medios de Representación A. . Centro, O. . Vértices, A y A. . Distancia entre los vértices. . Distancia entre los focos. La ecuación de una hipérbola con centro (0, 0), es:. Parábola: La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz. Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan los siguientes elementos: Eje, e Vértice, V Distancia de F a d, p. Una parábola, cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el de ordenadas, tiene la siguiente ecuación:. 3.

(4) Medios de Representación A. TRAZADO GRÁFICO DE CÓNICAS Elipses: Dados un par de diámetros principales AB y CD Método de la doble afinidad Se trazan dos circunferencias concéntricas de diámetros AB y CD respectivamente. Luego se dibuja un radio cualquiera (r), el que cortará a las dos circunferencias en los puntos 1 y 2. Trazando por los mismos puntos rectas paralelas a los diámetros, donde se corten, queda definido un punto de la elipse.. r. C 1 P. 2. A. B. La otra solución (en punteado) corresponde a una elipse girada 90 grados respecto a la anterior.. tg. T'. Trazado de una tangente en un punto cualquiera (T): Siendo la elipse afín de la circunferencia mayor con eje de homología AB y centro de afinidad impropio perpendicular al eje AB (esto se vera cuando se estudie Homología), la tangente (tg) en T será afín de la tangente en T’. Por lo tanto, se traza la tg. En T’ a la circunferencia, que cortara al eje en R. La recta RT es la tangente buscada.. T'. T tg. C. T. R. A. B. El método de las 2 circunferencias homológicas para construir una elipse provienen las ecuaciones paramétricas de la elipse que se ve en Análisis Matemático 1 y 2: x = a cos a y = b sen a Siendo alfa el ángulo que forma cualquier radio considerado con el semieje positivo x. Método de los 8 puntos Se llama así porque permite encontrar 4 puntos más de los 4 dados (A, B, C y D), y sus respectivas tangentes. Se trazas las tangentes a la elipse a trazar en los extremos de los diámetros dados. Queda así definido el rectángulo que circunscribirá a la elipse, que por supuesto, pasa por A, B, C y D. Se dibujan las diagonales del rectángulo, sobre las que se encuentran los 4 puntos a definir.. 4.

(5) Medios de Representación A. C. E. F. A. B. H. G. D. Sobre cualquiera de los dos semidiámetros AE ò EC se trazan rectas a 45º, quedando definido el punto 1 (ó 2). Haciendo centro en C (ó A) se rebate el mismo sobre el lado y luego trazando la paralela al otro lado, se corta la diagonal, quedando definido un punto más de la elipse. Los otros 3 se obtienen trazando las paralelas a los diámetros.. 45°. E. 3. C. P. 4. 2. 45°. 1. A. La tangente en el punto P, se obtiene girando el punto E hasta alcanzar de nuevo el la recta EC (ò AE) con centro en el punto 3 (ó 4), y uniendo este nuevo punto con P.. E 4. 3. 5. C. P. 6. Una vez obtenidos todos los puntos y tangentes, solo hay que unirlos cuidadosamente. Método de la tarjeta. 5.

(6) Medios de Representación A. Se prolongan los diámetros mayor y menor. Sobre el borde de un trozo de papel se llevan en forma acumulada ½ AB y ½ CD. Quedan así determinados en el borde de l papel 2 puntos extremos, y uno intermedio. Haciendo deslizar los extremos por los diámetros, el punto intermedio describe la elipse. Deberá ubicarse el papel de tal manera que en las posiciones limites (sobre los diámetros) queden determinados los puntos B y C respectivamente.. 1/2. AB. C 1/2. CD. P. A. Dados un par de diámetros conjugados AB y CD Método de los 8 puntos Similar al método de los 8 puntos para diámetros principales. Método de los rayos proyectantes Basado en la propiedad proyectiva de las cónicas. Por los extremos de los diámetros AB y CD se trazan las tangentes a la curva, que son respectivamente paralelas al otro diámetro, quedando así determinado el paralelogramo RSTU que inscribe a la elipse. C. R. O. A. T. S. B. U. D. Se divide el semi-diámetro OC en un número de partes iguales y el lado CS en el mismo numero de partes iguales. Proyectando la primera escala desde A y la segunda desde B, se obtienen un par de haces proyectivos. Los puntos de la curva quedan determinados por la intersección de rayos de igual numeración.. C. R. 1. 2. 3. 4. S. 5. 1 2 3 4 5. A. B O. 6.

(7) Medios de Representación A. Parábola: Por puntos Datos: Eje, vértice A y su tangente, punto M Basado también en la propiedad proyectiva de las cónicas.. Tg. A. M. A. Eje de la parábola. Se traza por M una paralela al eje de la parábola hasta cortar a la tangente en A, en el punto R. Se divide el segmento MR en un número de partes iguales, y el segmento AR en el mismo numero de partes iguales. Proyectando la primera escala desde A, y la segunda desde el punto impropio de la parábola (trazando paralelas al eje), quedan determinados un par de haces proyectivos. Los puntos de la curva quedan determinados por la intersección de rectas de igual nombre.. Tg. A 7. M=6. 5. 4. 3. 2. 1. 7. R=6 5 4 3 2 1. A. Trazado de la tangente en un punto cualquiera: Se proyecta el punto P normalmente al eje, definiéndose el punto S. La distancia SA se lleva a continuación de A, definiendo el punto X. La tangente será la recta XP. Tg. A P. Tg. P S. X A. 7.

(8) Medios de Representación A. Por tangentes: Datos: Puntos A y B de la curva y sus tangentes. Se dividen los segmentos AR y BR en el mismo numero de partes iguales, quedando definidas dos escalas. Uniendo puntos de igual nombre, se obtienen rectas que serán tangentes a la curva. La curva será la envolvente de las rectas trazadas. No quedando definidos los puntos de contacto, salvo A y B. B 7. P 6 5. 1 2. 4. 3. 3. 4 5. 2. 6. 1. 7. R. Hipérbola: Por puntos: Datos: Asuntotas a y b (son las tangentes de los puntos impropios), Punto M. Por el punto M se traza una recta pivotante, que resultara ser una cuerda de la curva, sobre la cual, las distancias a las asíntotas desde el punto donde la cuerda corta a la hipérbola en cada caso, serán iguales. b. a R. M O. P. Trazado de la tangente en un punto cualquiera: Se proyecta un punto sobre cualquiera de las asuntotas, con la dirección de la otra. Se obtiene un punto X. Se duplica el segmento OX, obteniéndose T. Uniendo S con T se obtiene la tangente a S.. b. a. S O. . Tg. X. S. T. 8.

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