Ingeniería Mecánica DE INGENIERÍA MECÁNICA
Optimización de módulos en la aplicación del Teorema del Límite
Superior en procesos de forja
F. Martín, L. Sevilla
Área de Ingeniería de los Procesos de Fabricación, ETSII-EUP. Universidad de Málaga C/. Dr. Ortiz Ramos s/n. 29071 Málaga. España Telf. 951 952 309
fdmartin@uma.es
M.A. Sebastián
Dpto.de Ingeniería de Construcción y Fabricación. ETSII. UNED. C./ Juan del Rosal, 12. 28040 Madrid. España
Resumen
La aplicación en procesos de forja del método analítico del Teorema del Límite Superior (TLS) mediante Bloques Rígidos Triangulares (BRT) plantea, bajo la consideración de deformación plana, el problema geométrico de la adaptación de los bloques considerados al perfil de la pieza en estudio . El número óptimo de BRT es aquel que determina el mínimo valor de la carga necesaria para lograr la deformación deseada. El presente trabajo analiza la optimización de bloques indicada. El enfoque planteado se denominará Modular, en el cual, los bloques (en concreto tres) constituirán lo que denominaremos Módulo, modificándose el número de éstos conforme varíe el denominado factor de forma, es decir, la relación entre el ancho y la altura de la sección de la pieza a analizar.
INTRODUCCIÓN
La aplicación de la particularización geométrico-cinemática del Teorema del Límite Superior (TLS), conocida como modelo de Bloques Rígidos Triangulares (BRT) [1-3] permite alcanzar soluciones precisas, con gran capacidad de análisis, de los principales factores que intervienen en un proceso de forja, aplicada inicialmente en supuestos de deformación plana.
El modelo de bloque rígido está basado en la consideración de que el efecto de cizalladura, que provoca la deformación del material, sucede únicamente en las superficies que delimita a cada uno de los bloques, ya que es a lo largo de dichas líneas donde existen discontinuidades de velocidad. El resto de los puntos que conforman cada bloque se mueven a la misma velocidad y con la misma dirección [4]. De una forma teórica, y bajo condiciones generales, el TLS se puede expresar como: El trabajo realizado por las fuerzas superficiales de
tracción o compresión reales sobre un cuerpo rígido-plástico perfecto siempre será menor o igual que el realizado por las fuerzas superficiales de tracción o compresión correspondientes a cualquier otro campo de velocidades admisible cinemáticamente.
En el supuesto de deformación plana [5, 6] y de que el cuerpo se represente por bloques rígidos de material que se mueven unos sobre otros a lo largo de las líneas de discontinuidad del campo de velocidad, la expresión general de este trabajo se puede expresar como en la Ec. 1.
Sv S D v i i D dS v k dS v T * * (1)Siendo
Ti : Fuerzas exteriores aplicadas sobre la pieza a deformar
vi : Campo real de velocidades
Sv : Superficies de aplicación de las cargas exteriores
k : Límite de fluencia por tensión cortante del material v*i: Campo de velocidades virtual y cinemáticamente admisible
S*D. : Superficies de discontinuidad, aplicación del campo virtual de velocidades
Tal y como se ha considerado con anterioridad, es de destacar que el TLS es especialmente apto en su aplicación, dada su mayor simplicidad, cuando se cumplen las condiciones de deformación plana, es decir, cuando sólo se considera fluencia del material en dos de las direcciones principales, manteniéndose con un valor constante la tercera dimensión de la pieza en estudio. El material opone su máxima resistencia a la deformación cuando τ=k.
Por tanto, el valor de la potencia disipada debido a la energía interna no puede exceder del valor
k
v
s
,siendo s la longitud de línea de discontinuidad de la velocidad tangencial. Se pretende por lo tanto, obtener una cota superior para la potencia requerida en un proceso de forja. Para el estudio del proceso hay que encontrar un campo de discontinuidades de velocidad que sea compatible con las condiciones de velocidad impuestas y que determine una energía de deformación lo más baja posible. Lo más usual, por su sencillez, es considerar una subdivisión en bloques rígidos triangulares. Esta subdivisión, y su ulterior desarrollo, conforman el enfoque en la aplicación de los BRT denominado Modular, formando cada uno de estos Módulos un total de 3 BRT [1].
METODOLOGÍA
El modelo geométrico establecido se basa en el estudio de una cuarta parte de la pieza a deformar, condicionado por la imposición de una doble simetría geométrica en el plano. La pieza se dispondrá entre matrices o mordazas formadas por placas planas paralelas (PPP) o inclinadas (PPI) según sea el caso (Fig. 2).
Fig. 2. Disposición de pieza entre placas planas paralelas
Como se indicó en la introducción del presente trabajo, los estudios precedentes en esta disciplina se habían desarrollado en deformación plana, creando un campo de deformación virtual del material formado por bloques rígidos no estrictamente triangulares, pero manteniendo en lo posible una regularidad en cuanto a la forma geométrica de cada uno de ellos, por lo que se restringía la posibilidad de adecuar la configuración del bloque rígido al conjunto sometido a deformación. Estudios posteriores [7] postulan dos diferentes alternativas imponiendo un número variable de BRT dependiente de la relación geométrica existente entre el ancho b y la altura h del cuarto de pieza sometido a análisis, e incluso de formas triangulares diferentes entre ellas, optimizando el valor del límite buscado.
Tradicionalmente, en los métodos analíticos, la deformación en forja es considerada para el caso de placas planas paralelas [8, 9]. En el presente trabajo se recogen planteamientos de anteriores estudios ya citados [1, 7] donde se contemplan perfiles de herramienta formados por la combinación de placas planas paralelas e inclinadas.
Se ha supuesto que la zona sobre la que se aplica el análisis es de anchura b, altura h y profundidad w y está dividida, en una primera aproximación, por tres bloques triangulares formados a partir de dos superficies de
discontinuidad que convergen en un vértice situado sobre el plano horizontal a una distancia x1 del punto A,
situado este último en la confluencia de los dos planos (ejes, al ser deformación plana) de simetría 1-2 y 2-4 de la figura 3. Se considerará como factor de forma a la relación geométrica b/h. Se ha elegido h como la altura más reducida entre la placa de la herramienta y el plano de simetría, puesto que en cualquier otro caso la herramienta
Mordaza inferior Pieza Mordaza superior Plano de simetría horizontal Plano de simetría vertical
superior podría contactar con la inferior para determinados valores de los factores de forma (dependiendo del ángulo α y del ancho de la pieza).
El efecto del rozamiento, ya sea por deslizamiento o por adherencia, se introduce en el análisis mediante la incorporación del correspondiente coeficiente en las ecuaciones. Cabría la posibilidad de considerar el rozamiento en todas las superficies susceptibles de estudio, pero en aquellas que conforman las superficies de contorno derivadas de la hipótesis de doble simetría se ha establecido un coeficiente de valor nulo, puesto que no existe desplazamiento relativo del material entre el cuarto de pieza en estudio y los adyacentes. Por otra parte, en las superficies de discontinuidad de velocidades (las superficies que conforman la separación entre bloques) no es considerado rozamiento alguno (como rozamiento externo), puesto que el rozamiento presente es interno, que se refleja en la distorsión que produce el flujo de material en el interior de la pieza, siendo delimitado éste por la orientación de las superficies de discontinuidad indicadas [10 - 15].
El método propuesto implica que la herramienta mantiene un contacto permanente y continuo con la pieza a deformar, no estableciéndose en el estudio los transitorios de llenado incompleto de la matriz. La metodología a aplicar ha sufrido una evolución, desde planteamientos iniciales similares a los expuestos en la bibliografía tradicional, hasta llegar a una solución final que recoge, siguiendo un nuevo enfoque modular, la posibilidad de un tratamiento analítico en el que se puede incorporar todos los parámetros indicados al inicio de la exposición, parámetros estos que intervienen de forma decisiva en el proceso de deformación plástica.
Una primera alternativa en la disposición y número de BRT proviene de la consideración de forma independiente de cada bloque, por lo que se adaptará el número de los mismos al perfil de la herramienta o matriz [7], la optimización del número de los mismos vendrá determinada por aquella disposición que provee de un mínimo valor para la relación adimensional P/2k, siendo P la carga necesaria para lograr la deformación, y k la tensión a cortadura pura del material que forma la pieza. Este camino en la aplicación del TLS mediante BRT si bien aporta soluciones generales a las diferentes geometrías simples planteadas (sólo con PPP o PPI y diferente factor de forma) presenta dificultades en los casos en los que el perfil de la herramienta está formado por superficies planas pero combinadas entre placas paralelas e inclinadas, es la alternativa denominada como no modular [7].
La segunda alternativa de estudio, y que da cuerpo al presente trabajo pretende calcular la energía necesaria a aplicar para garantizar la realización de un proceso de forja establecido a través de módulos geométricos sometidos a entrada y salida de material por superficies opuestas y con desplazamiento vertical descendente por parte de la matriz de estampación. Es de destacar que el módulo de placas planas inclinadas (que en adelante será contemplado como módulo PPI) tiene la superficie vertical derecha (la superficie libre de los anteriores estudios) con una altura menor que la superficie izquierda, de tal forma que la geometría inversa será establecida para ángulos de inclinación negativos. A su vez, es importante indicar que el módulo limitado por placas planas paralelas (módulo PPP) es considerado como un caso particular del módulo PPI en el que el ángulo de inclinación es igual a cero (α=0).
Por lo tanto, se busca eliminar las limitaciones de estudios anteriores, en los que la geometría condicionaba las ecuaciones a aplicar. Con el planteamiento presente se calculará el parámetro elegido para un perfil complejo de estampación configurado por una serie de módulos genéricos, sea cual fuere la disposición geométrica de cada uno de ellos. A partir de este nuevo enfoque, el tratamiento en la aplicación del TLS mediante BRT consiste en la disposición de módulos de 3 BRT que irán acoplándose unos con otros, ajustándose a la relación de forma de la pieza a deformar y, por lo tanto, diferenciando aquellos módulos iniciales (sin módulo previo) sin fluencia de entrada de material, de aquellos otros (a partir del segundo módulo) en los que el material ya proviene de la fluencia de un módulo anterior.
Las condiciones de contorno y la disposición de los BRT en estudio se recogen en la Fig. 2 donde se determina que la superficie delimitada por la línea ABC y de profundidad w tiene un desplazamiento vertical producido por la fuerza aplicada para lograr la deformación, la indicada por CD queda como superficie libre, y las DEF y FA imposibilitan el desplazamiento en dirección perpendicular a ellas.
Fig. 2. Condiciones de contorno de los BRT
La geometría combinada se analiza de forma modular, estableciéndose que la cota superior de la potencia buscada resulta de la combinación de módulos de geometría diferente, relacionando ambos mediante la velocidad de salida del material desde el primer módulo, que deberá ser igual a la de entrada del segundo, confirmándose la ley de continuidad de flujo del material para un volumen constante del mismo (Fig.3).
Fig. 3 Composición Modular
Para el estudio del proceso hay que encontrar un campo de discontinuidades de velocidad que sea compatible con las condiciones de velocidad impuestas y que determine una energía de deformación lo más baja posible, obteniéndose por la construcción de los respectivos hodógrafos ó gráficos de velocidad para cada uno de los módulos Fig. 5.
Se analizará, para cada configuración de bloques en estudio, su gráfico de velocidades correspondiente, es decir, el hodógrafo adecuado [9, 10].
a) b)
Fig. 5 Hodógrafos: a) Placas Planas Paralelas b) Placas Planas Inclinadas
Aplicando el TLS se obtendrá una ecuación que determina p/2k, es decir, una relación adimensional que establece a efectos de intercomparación, el incremento de energía necesaria a aplicar sobre la deformación homogénea. Para el módulo inicial, de placas paralelas (módulo A), y a partir de la Ec.1 como se expone en [1], se obtiene la Ec.2.
W k w AG V 12 m AB V 2 GB V 23
(2)
que, tras desarrollar, permite determinar la presión media, pA , aplicada sobre el módulo A (Ec. 3).
H BRT BRT BRT BRT BRT BRT A B G E F C D
=
+
V
3V
23V
12V
1V
2V
6α
V
3V
56V
1V
34V
45V
4V
5
p k h b h b m A 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 (3)
Suponiendo el vértice del BRT2 en b1/2 (Fig. 6). El valor de la velocidad de salida (V3) viene determinado por:
V
V
b
h
3 1 1 1
Fig. 6 Parámetros Geométricos del Módulo A
De forma análoga, aplicando el TLS en el módulo situado a continuación del Módulo anterior, de placas planas
inclinadas (módulo B) se obtiene la Ec. 4, y con posterior desarrollo, la presión media sobre el módulo B, pB.
(Ec. 5).
W k w BH V 45 m BC V 5 HC V 56(4)
p k b h b sen h b sen h b h h b h mb b b B 2 1 2 2 4 4 2 2 2 2 2 1 22 22 2 32 22 3 2 2 1 cos cos cos (5)
Teniendo presente que se ha incorporado la velocidad de entrada V4 igual a la de la salida V3 del anterior módulo B, y que el vértice del BRT5 se supone situado en b2/2 (Fig.7).
Fig. 7 Parámetros geométricos del Módulo B.
La incorporación de h1 y b1 en la Ec. 3 proporciona la influencia del módulo A sobre el siguiente módulo B.
b1/2 V3 b1 h1 BRT1 BRT2 BRT3 V1 b2 BRT4 BRT h α b2/ h2 V6 V4 BRT6 V1
El cálculo de la relación p/2k de la combinación de los módulos (pA+B/2k) vendrá determinado por la Ec. 6, donde interviene de forma determinante el “peso” geométrico de cada uno de los módulos, función del ancho de los mismos.
p k p k b p k b b b A B A B 2 2 1 2 2 1 2(6)
Las ecuaciones de cada uno de los diferentes tipos de Módulo se generalizan en un módulo genérico con Placas Planas Inclinadas y con velocidad de entrada de fluencia del material deformado proveniente del módulo inmediatamente anterior, diferenciando el tipo de rozamiento (adherencia o deslizamiento), por lo que respectivamente, las ecuaciones generalizadas para cada tipo de rozamiento serán las que a continuación se exponen (Ec. 7 y 8).
2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 12 cos cos cos
2 1 2 tg sen tg V Ve b m sen tg sen tg V Ve V h h x b h h x V b k P (7)
2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos 2 1 2 p tg sen tg V Ve V sen tg sen tg V Ve V h h x b h h x b k p (8)La vinculación entre Módulos según lo indicado vendrá definida por la velocidad de salida del material de un módulo, que constituirá la velocidad de entrada en el siguiente, velocidad cuya magnitud vendrá determinada por la Ec. 9.
2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 6 1 1 1 1 tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg V V(9) RESULTADOS
La metodología expuesta ofrece resultados satisfactorios que serán óptimos al diseñar un adecuado campo de velocidades, es decir, la distribución de bloques rígidos que mejor se adapte al tipo de deformación sufrido por la pieza en estudio. Así pues, para lograr el mínimo de p/2k, se opta por modificar el número de Módulos en función del factor de forma, teniendo presente que este se modifica conforme progresa el proceso de deformación. Se establecerá por tanto la evolución de la relación p/2k para una configuración geométrica soportada por 1, 2 y 3 Módulos (Fig.8) (un número mayor resulta excesivo puesto que se ha considerado un factor de forma máximo de 6, valor que responde a deformaciones tecnológicamente usuales) en cualquiera de las secciones en las que se distribuyen los tres BRT que constituyen un módulo.
Fig. 9 Curvas para 1, 2 y 3 Módulos (Roz. Adherencia)
Tabla 1. Valores de P/2k para 1, 2 , 3 Módulos y valor Mínimo (Roz. Adherencia).
Se efectúan las gráficas correspondientes a toda una familia de curvas en las que se mantiene constante el coeficiente de rozamiento (de adherencia o de deslizamiento), y se modifica el valor del ángulo de inclinación del Módulo que puede tomar desde valor nulo (Caso de Módulo PPP), hasta valores positivos y negativos, dependiendo de la inclinación que presente la sección de la pieza (Figs 9 a 14) (Tablas 1 y 2).
Fig. 10 Curvas óptimas para m=0 e inclinación variable. b/h1 1 Módulo 2 Módulos 3 Módulos Mínimo
0,2 5,102 10,076 15,068 5,102 0,6 1,980 3,569 5,209 1,980 1 1,537 2,404 3,358 1,537 1,2 1,488 2,158 2,936 1,488 1,6 1,524 1,925 2,474 1,524 2 1,658 1,870 2,271 1,658 2,2 1,749 1,881 2,225 1,749 2,6 1,965 1,956 2,205 1,956 3 2,220 2,083 2,254 2,083 3,2 2,361 2,163 2,298 2,163 3,6 2,668 2,349 2,420 2,349 4 3,010 2,570 2,579 2,570 4,2 3,194 2,693 2,672 2,672 4,6 3,593 2,964 2,884 2,884 5 4,034 3,270 3,130 3,130 5,2 4,273 3,438 3,267 3,267 5,6 4,792 3,804 3,569 3,569 6 5,373 4,217 3,912 3,912 Optimización de Módulos 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 Factor de forma p/ 2 k 1 Módulo 2 Módulos 3 Módulos Mínimo 1 Mód. 2 Mód. 3 Mód. m=0; alpha variable 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 factor de forma b/h1 p/ 2 k alpha=10º alpha=5º alpha=0º alpha=-5º alpha=-10º
Fig. 11 Curvas óptimas para m=1 e inclinación variable.
Fig. 12 Curvas para 1, 2 y 3 Módulos (Roz. Deslizamiento)
Tabla 2. Valores de P/2k para 1, 2 , 3 Módulos y valor Mínimo (Roz. Deslizamiento).
b/h1 1 Módulo 2 Módulos 3 Módulos Mínimo
0,2 5,05 10,03 15,02 5,05 0,6 1,82 3,41 5,05 1,82 1,0 1,25 2,13 3,08 1,25 1,2 1,13 1,82 2,60 1,13 1,6 1,03 1,45 2,01 1,03 2,0 1,00 1,25 1,67 1,00 2,2 1,00 1,18 1,55 1,00 2,6 1,03 1,09 1,37 1,03 3,0 1,08 1,04 1,25 1,04 3,2 1,11 1,03 1,20 1,03 3,6 1,18 1,01 1,13 1,01 4,0 1,25 1,00 1,08 1,00 4,2 1,29 1,00 1,06 1,00 4,6 1,37 1,01 1,04 1,01 5,0 1,45 1,03 1,02 1,02 5,2 1,49 1,03 1,01 1,01 5,6 1,58 1,06 1,00 1,00 6,0 1,67 1,08 1,00 1,00 m=1; alpha variable 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 factor de forma b/h1 p/ 2 k alpha=10º alpha=5º alpha=0º alpha=-5º alpha=-10º Optimización de Módulos 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 Factor de forma p/ 2 k 1 Módulo 2 Módulos 3 Módulos Mínimo
Fig. 13 Curvas óptimas para m=0 e inclinación variable.
Fig. 14 Curvas óptimas para m=1 e inclinación variable.
CONCLUSIONES
Por lo tanto, la optimización del número de Módulos, y con ello la consecución del valor mínimo de p/2k se logra mediante el cálculo de las tres alternativas a lo largo de todo el proceso de deformación, lo que queda reflejado a través de la variación del factor de forma, estableciéndose, a partir de las curvas creadas, los diferentes caminos a seguir para la obtención de la mínima carga necesaria que garantice el proceso de deformación.
Como puede apreciarse (Fig. 9), el valor obtenido en la aplicación del TLS puede ajustarse de forma notable mediante este procedimiento de optimización, en el que se adapta el número y la configuración de los BRT, creando un campo cinemático de velocidades más ajustado a la deformación real del material, y por lo tanto, ofreciendo un valor más reducido del límite superior. Valores, que dentro de un rango tecnológico aceptable, p.ej., para una relación b/h=4, se reduce desde un valor de p/2k de 3.01 con un Módulo, a 2.57 cuando la configuración está formada por un número de Módulos igual a 2 (Roz. Adherencia).
REFERENCIAS
[1] Martín, F.; Sevilla, L.; Rubio, E.; Sebastián, M.A.; Bases para la aplicación del Teorema del Límite
Superior en procesos de forja sobre configuraciones geométricas modulares. Proceedings of the 2nd
CISIF-MESIC, Madrid, 2007.
[2] Rubio, E.M.; Domingo, R.; González, C.; Sanz, A. Análisis comparativo de modelos de bloques rígidos
triangulares en el estudio mecánico de procesos de estirado por límite superior. Revista de Metalurgia.
Madrid, 40 (2004) 1-10.
[3] Rubio, E.M.; Sebastián, M.A.; Sanz, A. Mechanical Solutions for drawing processes under plane strain
conditions by the upper bound method. J. Mat. Proc. Tech. 143-144 (2003) 539-545.
mu=0,5; alpha variable
0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 factor de forma b/h1 p/ 2 k alpha=10º alpha=5º alpha=0º alpha=-5º alpha=-10º
mu=0; alpha variable
0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 factor de forma b/h1 p/ 2 k alpha=10º alpha=5º alpha=0º alpha=-5º alpha=-10º
[4] Martín, F.; Camacho, A.M.; Marín, M.; Sevilla, L. Parametrización de la aplicación de métodos analíticos y
numéricos en forja en deformación plana. Proceedings of the 1st CISIF-MESIC, Calatayud, 2005.
[5] Rubio, E.M.; Domingo, R.; Arenas, J.M.; González, C. Energetic Analisis of the Drawing Process by
Upper-Bound Techniques Journal of Mat. Proc.Tech. 155-156 (2004) 220-1226.
[6] Avitzur, B. Metal Forming. The Application of Limit Analysis Marcel Dekker, Inc., (1980).
[7] F. Martín, Desarrollo, integración y optimización en el estudio de procesos de forja mediante el teorema del
límite superior a través del modelo de bloques rígidos triangulares, Tesis Doctoral, Univ. de Málaga,
Málaga, (2009).
[8] Calladine, C.R. Plasticity for Engineer Theory and Applications Horwood Publishing, (2000). [9] Chakrabarty, J. Theory of Plasticity Butterworth-Heinemann, (2006).
[10] Ebrahini, R.; Najafizadeh, A. A new method for evaluation of friction in bulk metal forming. J. Mat. Proc. Tech. 152 (2004) 136-143.
[11] Wagoner, R.H.; Chenot, J.L. Metal Forming Analyisis, Cambridge University Press, (2005).
[12] Bramley, A.N. UBET and TEUBA: Fast methods for forging simulation and perform design J. Mat. Proc. Tech. 116 (2001) 62-66.
[13] Ranatunga, V. et al. Use of UBET for design of flash gap in closed-die forging. J. Mat. Proc. Tech. 111 (2001) 107-112.
[14] Hwang, B.C. et al. An UBET analysis of the non-axisymmetric extrusion/forging process. J. Mat. Proc. Tech. 111 (2001) 135-141.
[15] Alfozan, A. An upper bound elemental technique approach to the process design of axysimmetric forging by
