Los objetivos del aprendizaje de esta unidad temática son los siguientes:

(1)

Probabilidad - Introducci´

on

Introducción.

Tema 1. Análisis de datos univariantes. Tema 2. Análisis de datos bivariantes. Tema 3. Correlación y regresión.

Tema 4. Series temporales y números índice. Tema 5. Probabilidad.

Tema 6. Variables aleatorias unidimensionales. Tema 7. Modelos probabilísticos discretos. Tema 8. Modelos probabilísticos continuos.

Tema 9. Variables aleatorias multidimensionales.

Descripción de variables y datos socioeconómicos

Modelización de la incertidumbre en las variables socieconómicas

Los objetivos del aprendizaje de esta unidad tem´atica son los siguientes:

Entender los conceptos b´asicos de suceso, espacio muestral, independencia, etc´etera.

Calcular probabilidades utilizando las reglas elementales y resultados te´oricos simples de la probabilidad.

Conocer los siguientes modelos probabil´ısticos discretos: Bernoulli, binomial, geom´etrico y Poisson.

Conocer los siguientes modelos probabil´ısticos continuos: Exponencial, uniforme, y normal. Introducci´on a la Estad´ıstica Andr´es M. Alonso

(2)

2

Tema 5. Probabilidad

Los contenidos a desarrollar en este tema son los siguientes: Experimentos aleatorios.

El espacio muestral, sucesos elementales y compuestos.

Interpretaciones de la probabilidad: cl´asica, frecuentista y subjetiva. Propiedades de la probabilidad.

La regla de multiplicaci´on. Independencia.

La ley de la probabilidad total. El teorema de Bayes.

Lecturas recomendadas: Cap´ıtulos 13 y 14 del libro de Pe˜na y Romo (1997) y el Cap´ıtulo 3 de Newbold (2001).

(3)

Probabilidad - Introducci´

on

I Habitualmente usamos frases como:

Es probable que el equipo de Getafe juegue la UEFA el año próximo. Se espera que la inflación no alcance el 3 %.

El recién constituido partido “Vientos del Pueblo” espera obtener tres escaños en las próximas elecciones municipales.

I Todas estas frases, contienen un sentido de incertidumbre sobre sucesos cuyos resultados finales no pueden predecirse exactamente.

I De estos sucesos conocemos todos los resultados posibles y algunos resulta-dos nos parece que son m´as probables que otros.

I En este tema estudiaremos como formalizar la idea de suceso aleatorio y de probabilidad.

(4)

4

Probabilidad - Conceptos b´

asicos

En primer lugar, definimos el concepto de un experimento aleatorio y sus posibles resultados.

Definición 1. Un experimento aleatorio es el proceso de observar un fenómeno cuyos posibles resultados son inciertos. Se supone que se saben todos los posibles resultados del experimento de antemano y que se puede repetir el experimento en condiciones idénticas.

Ejemplo 1. Lanzar una moneda y observar si sale cara o cruz. Ejemplo 2. Los resultados de los partidos de

football de la pr´oxima jornada.

Ejemplo 3. Los resultados de las pr´oximas elecciones municipales.

Ejemplo 4. Los valores, al final del año, de la inflación, la tasa de paro, etcétera.

No son experimentos puesto que no se pueden repetir en condiciones id´enticas.

Pero es una simplificaci´on que se utiliza frecuentemente.

(5)

Probabilidad - Conceptos b´

asicos

Definici´on 2. El espacio muestral, que denotamos por Ω, es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento.

Ejemplo 5. Si el experimento es lanzar la moneda una vez, el espacio muestral es Ω = {C, X} donde C denota cara y X denota cruz.

Si el experimento es lanzar la moneda dos veces, el espacio muestral es Ω = {(C, C), (C, X), (X, C), (X, X)} donde, por ejemplo, (C, X) es el suceso de que la primera tirada sea cara y la segunda cruz.

Definici´on 3. Los posibles resultados del experimento o componentes del espacio muestral, que denotaremos por ei, se llaman sucesos elementales y

Ω = {e1, . . . , ek}.

Ejemplo 6. En el caso de lanzar la moneda dos veces, los sucesos elementales son e1 = (C, C), e2 = (C, X), e3 = (X, C) y e4 = (X, X).

(6)

6

Probabilidad - Conceptos b´

asicos

Definici´on 4. Un suceso es un conjunto de sucesos elementales.

Ejemplo 7. En el caso de lanzar la moneda dos veces, el suceso A =“sale exactamente una cara” es A = {(C, X), (X, C)}.

El suceso B = “la primera tirada es cara” es B = {(C, C), (C, X)}. Dos sucesos importantes son:

El suceso seguro = Ω, es decir, todo el espacio muestral. El suceso imposible = ∅, es decir, el conjunto vac´ıo.

Definici´on 5. Para cada suceso A, se define el suceso complementario o contrario a A como ¯A = Ω \ A = {ei : ei ∈ A}./

I Ω = A ∪ ¯A y A ∩ ¯A = ∅.

(7)

Probabilidad - Conceptos b´

asicos

Ejemplo 7. En el caso de lanzar la moneda dos veces: A = {(C, X), (X, C)} B = {(C, C), (C, X)} ¯ A = {(C, C), (X, X)} ¯ B = {(X, C), (X, X)}

Definici´on 6. Para dos sucesos, A y B, se define el suceso “AAA y BBB” como el conjunto de sucesos elementales contenidos en A y en B, es decir, A y B = A ∩ B.

I Si ocurre el suceso AAA y BBB, sabemos que se han ocurrido ambos sucesos.

I Dos sucesos A y B que no pueden ocurrir a la vez (A ∩ B = ∅) se llaman sucesos incompatibles.

I Dos sucesos incompatibles no comparten sucesos elementales.

(8)

8

Probabilidad - Conceptos b´

asicos

Definici´on 7. Para dos sucesos, A y B, se define el suceso “AAA o BBB” como el conjunto de sucesos elementales contenidos en A o en B, es decir, A o B = A ∪ B.

I Si ocurre el suceso AAA o BBB, sabemos que ha ocurrido al menos uno de dos sucesos.

Ejemplo 7. En el caso de lanzar la moneda dos veces: A y B = {(C, X)}

A o B = {(C, C), (C, X), (X, C)} ¿A y B son sucesos incompatibles?

Con este experimento, defina un suceso (no trivial) que sea incompatible con

el suceso A y B. M´ultiples soluciones

(9)

9

Diagramas de Venn

Una manera visual de ver los dist´ıntos sucesos

es a trav´

es del diagrama de Venn.

Ω

R

A

B

229

Podemos representar a “A y B”, “A o B” y al suceso complementario.

(10)

10

Diagramas de Venn

Ω

R

A

¯

A

Ω

_R A y B 230

Ω

R

A

¯

A

Ω

_R A y B 230

¿C´omo podemos representar dos sucesos incompatibles?

(11)

Tema 5. Probabilidad

Experimentos aleatorios.

X

Interpretaciones de la probabilidad: cl´asica, frecuentista y subjetiva. Propiedades de la probabilidad.

(12)

12

Interpretaciones de la probabilidad

Interpretación clásica de la probabilidad: En algunas situaciones, la definición del experimento asegura que todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir. En este caso, se dice que el espacio muestral es

equiprobable.

Si el espacio muestral es equiprobable y contiene k sucesos elementales, Ω = {e₁, . . . , e_k}

luego se tiene

Pr(ei) =

1

k para i = 1, 2, . . . , k. Para cualquier suceso A entonces, la probabilidad de A es

Pr(A) = 1

k × n´umero de sucesos elementales en A.

(13)

Ejemplo 7. Supongamos que se lanza una moneda equilibrada dos veces. Luego hay cuatro sucesos elementales,

(C, C), (C, X), (X, C), (X, X) y cada uno tiene probabilidad igual a 1

4.

La probabilidad de observar exactamente una cara (suceso A) es Pr(A) = Pr({(C, X), (X, C)})

= 2 × 1 4 =

1 2

La probabilidad de que la primera tirada sea cara (suceso B) es Pr(B) = 2

4 = 1 2.

(14)

14

Interpretaciones de la probabilidad

Interpretaci´on frecuentista de la probabilidad:

Ejemplo 8. Definimos el experimento de tirar una moneda una vez. Repeti-mos el experimento un n´umero n de veces y calculamos las frecuencias relativos

de cada suceso elemental. Excel

6 6 6 6 C X n = 1 n = 10 n = 100 n = 1000 C X 0 ,5 1 f 0 ,5 1 f C X C X 0 ,5 1 f 0 ,5 1 f

(15)

Interpretaciones de la probabilidad

Interpretaci´on frecuentista de la probabilidad:

I En el ejemplo, se ve que las frecuencias relativas se acercan a un l´ımite cuando se repite el experimento muchas de veces. El valor l´ımite de la frecuencia es la probabilidad del suceso.

I Para un suceso A se escribe Pr(A) para representar su probabilidad.

I Utilizando las propiedades de frecuencias se puede deducir las siguientes propiedades b´asicas de las probabilidades:

Para cualquier suceso A, 0 ≤ Pr(A) ≤ 1. Pr(A) = P_i:e

i∈A Pr(ei) Pr(Ω) = 1

Si A y B son sucesos incompatibles (es decir que A y B = φ) entonces Pr(A o B) = Pr(A) + Pr(B).

(16)

16 I De estas tres propiedades, se deduce que si ¯A es el suceso complementario a A,

Pr( ¯A) = 1 − Pr(A)

I Como consecuencia y dado que ∅ = ¯Ω, tenemos que Pr(∅) = 0, es decir que el suceso imposible es improbable.

Ejemplo 9. Supongamos que un experimento tiene 4 sucesos elementales, e1, e2, e3, e4 y que

Pr(e1) = 0,2 Pr(e2) = 0,3 Pr(e3) = 0,4

1. ¿Cu´al es Pr(e4)?

2. Si A = e1 o e2, hallar Pr(A) y Pr( ¯A).

3. Si B = e3, hallar Pr( ¯B)

4. Calcular Pr(A o B).

(17)

Interpretaciones de la probabilidad

Interpretaci´on subjetiva de la probabilidad: Se han visto anteriormente dos ideas para definir probabilidades: frecuencias relativas y espacios equiprob-ables.

Existe otro enfoque completamente distinto que define la probabilidad como una medida subjetiva de incertidumbre sobre la aparici´on de un suceso.

I As´ı nuestras probabilidades para alg´un suceso pueden ser distintas, ya que tenemos diferentes cantidades de informaci´on.

¿Cu´al es la probabilidad de las interpretaciones de la probabilidad salgan en el examen de junio?

I En este caso, se pueden definir probabilidades para experimentos irrepetibles.

(18)

18

Tema 5. Probabilidad

X

Interpretaciones de la probabilidad: cl´asica, frecuentista y subjetiva.

X

Propiedades de la probabilidad.

(19)

Propiedades de la probabilidad

La probabilidad de A o B:

Si A y B son sucesos incompatibles, tenemos el siguiente diagrama de Venn:

Si A y B son sucesos incompatibles, tenemos el siguiente diagrama de Venn.

Ω _R

A B

La ´area en A o B es igual a la suma de las dos ´areas. Entonces, interpretando probabili-dad como ´area, concluimos que

P (A o B) = P (A) + P (B).

239

El área de A o B es igual a la suma de las dos áreas. Entonces, interpretando probabilidad como área, concluimos que

Pr(A o B) = Pr(A) + Pr(B).

(20)

20

Propiedades de la probabilidad

En el caso m´as general, tenemos el siguiente diagrama Venn:

Diagramas de Venn

Una manera visual de ver los dist´ıntos sucesos es a trav´es del diagrama de Venn.

Ω _R

A B

229

El área de A o B es igual a el área de A más el área de B menos el área de A y B. Entonces, tenemos la ley de adición:

Pr(A o B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A y B)

(21)

Ejemplo 10. En una ciudad hay 15 empresas constructoras. De ellas, 6 no cumplen las reglas de contrataci´on y 8 no cumplen los requisitos de seguridad en el trabajo. 5 empresas no cumplen ni los requisitos de seguridad ni las reglas de contrataci´on.

Si se elige al azar una empresa para inspeccionar, ¿cu´al es la probabilidad de que cumpla ambos reglamentos?

Sea A el suceso “la empresa cumple las reglas sanitarias” y B “la empresa

cumple los requisitos de seguridad”. Pr(A y B)

Si elegimos una empresa al azar, tenemos:

Pr( ¯A) = 6 15 Pr( ¯B) = 8 15 Pr( ¯A y ¯B) = 5 15

(22)

22

Deducimos que Pr(A) = 1 − Pr( ¯A) = ₁₅9 y tambi´en que Pr(B) = 1 − Pr( ¯B) =

7 15. Ω _R A o B ¯ A y ¯B

Observamos que (A o B) ∪ ( ¯A y ¯B) = Ω y tam-bi´en los dos sucesos son incompatibles. Luego

P (A o B) = 1 − P ( ¯A y ¯B) = 10

15

Ahora necesitamos calcular P (A y B). Recordamos que

P (A o B) = P (A) + P (B) − P (A y B)

que implica que P (A y B) = ₁₅9 + ₁₅7 − 10₁₅ =

6

15 = 25.

244

Del diagrama deducimos que (A o B) ∪ ( ¯A y ¯B) = Ω y que son incompatibles, por tanto:

Pr(A o B) = 1 − Pr( ¯A y ¯B) = 10 15 Y si utilizamos la ley de la adici´on obtenemos:

Pr(A y B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A o B) = 9 15 + 7 15 − 10 15 = 6 15 = 2 5

(23)

Ejemplo 11. Una empresa de venta por correo ofrece un regalo sorpresa a todos los clientes que hacen compras 20 euros o m´as. Hay cinco tipos de regalo sorpresa que se eligen al azar:

1. llavero y navajita 2. bol´ıgrafo y linterna 3. abrecartas y linterna 4. navajita y abrecartas

5. bloc de notas y abrecartas

Si un cliente hace dos compras de m´as de 20 euros y recibe dos regalos, ¿cu´ales son el espacio muestral y los sucesos elementales?

Si se denota por i cuando el cliente recibe el regalo sorpresa n´umero i con i = 1, 2, 3, 4, y, 5.

El espacio muestral es Ω = {(1, 1), (1, 2), . . . , (4, 5), (5, 5)}, donde el par (i, j) significa que con el primer pedido recibe el regalo i y con el segundo pedido recibe el regalo j.

(24)

24

Ejemplo 11. Hallar las probabilidades de los siguientes sucesos: A: el cliente recibe (por lo menos) una linterna.

B: el cliente recibe (por lo menos) una abrecartas.

A y B: el cliente recibe (por lo menos) una abrecartas y una linterna.

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 A A 1 B B B 2 A A A A A 2 B B B 3 A A A A A 3 B B B B B 4 A A 4 B B B B B 5 A A 5 B B B B B

¿Qué es más fácil de calcular Pr(A) o Pr( ¯A)? ¿Pr(B) o Pr( ¯B)?

Una vez se tienen Pr(A) y Pr(B), ¿qué es más fácil de calcular Pr(A o B) o

Pr(A y B)? Ley de adici´on

(25)

Propiedades de la probabilidad

Extensi´on de la ley de la adici´Una extensi´on P (A o B o C)on:

Ω _R

A B

C

)

Pensamos en probabilidad como si fuera area.

P (A o B o C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A y B) − P (B y C) − P (A y C) +P (A y B y C) 249 Pr(A o B o C) = Pr(A) + Pr(B) + Pr(C) − Pr(A y B) − Pr(B y C) − Pr(A y C) + Pr(A y B y C)

(26)

26

Tema 5. Probabilidad

X

La regla de multiplicaci´on. Concepto clave: Probabilidad condicional

Independencia.

(27)

Probabilidad condicional

Ejemplo 12. Se clasifica un grupo de 100 ejecutivos en acuerdo con su peso y si tienen hipertensi´on. La tabla de doble entrada muestra el n´umero de ejecutivos en cada categor´ıa.

Insuficiente Normal Sobrepeso Total Hipertenso 2 8 10 20 Normal 20 45 15 80 Total 22 53 25 100

Si se elige un ejecutivo al azar, ¿cu´al es la probabilidad de que tenga hiperten-si´on?

Hay 20 ejecutivos con hipertensi´on, por tanto, Pr(H) = 20

100= 0,2.

Se elige una persona al azar del grupo y se descubre que tiene sobrepeso. ¿Cu´al es la probabilidad de que tenga hipertensi´on? ¿Es la misma que antes? ¿Miramos en la misma columna?

(28)

28

Escribimos Pr(H|S) para representar la probabilidad de que sea hipertenso sabiendo que tiene sobrepeso.

Para calcular Pr(H|S), las primeras dos columnas de la tabla no son relevantes.

Hay 25 ejecutivos con sobrepeso y de ellos, 10 son hipertensos, por tanto, Pr(H|S) = 10

25 = 0,4.

Otra manera de obtener Pr(H|S) es:

Calculamos Pr(H y S), la probabilidad de que una persona elegida al azar sea hipertenso y tenga sobrepeso: Pr(H y S) = 10

100= 0,1.

Calculamos Pr(S), la probabilidad de que tenga sobrepeso: Pr(S) = 25 100 = 0,25.

I Observamos que

Pr(H|S) = Pr(H y S) Pr(S) .

(29)

Probabilidad condicional y Ley de multiplicaci´

on

Definici´on 8. Para dos sucesos A y B, se define la probabilidad condicionada de A dado B como

Pr(A|B) = Pr(A y B) Pr(B) .

I Se entiende la expresi´on como la probabilidad de A suponiendo que B haya ocurrido.

I A menudo se escribe esta f´ormula de otra manera Pr(A y B) = Pr(A|B) Pr(B). En este caso, se le llama la ley de multiplicaci´on.

(30)

30

Ejemplo 13. Se dan dos cartas de una baraja espa˜nola. ¿Cu´al es la probabil-idad de que ambas cartas sean copas?

Sea A (B) el suceso de que la primera (segunda) carta sea copa. Queremos calcular Pr(A y B).

Usamos la ley de multiplicaci´on.

Pr(A y B) = Pr(B|A) Pr(A)

Tenemos que Pr(A) = 10₄₀ y Pr(B|A) = ₃₉9 porque si la primera carta es copa, quedan 39 cartas y nueve de ellas son copas.

Por tanto, Pr(A y B) = 10 40 × 9 39 = 3 52.

(31)

Tema 5. Probabilidad

X

La regla de multiplicaci´on.

X

Independencia.

(32)

32

Independencia

Definici´on 9. Se dicen que dos sucesos A y B son independientes si Pr(A y B) = Pr(A) Pr(B).

I Utilizando la ley de multiplicaci´on, tenemos que A y B son independientes si Pr(A|B) = Pr(A) o si Pr(B|A) = Pr(B).

Ejemplo 13. Los sucesos, H: “tiene hipertensi´on” y S: “tiene sobrepeso” no son independientes pues

Pr(H y S) = 0,1 6= Pr(H) Pr(S) = 0,2 × 0,25 = 0, 05.

Tambi´en lo sabemos por Pr(H|S) = 0,4 6= Pr(H) = 0,2.

(33)

Ley de la probabilidad total

Teorema 1. Para dos sucesos A y B, se tiene

Pr(A) = Pr(A|B) Pr(B) + Pr(A| ¯B) Pr( ¯B).

´

util de la probabilidad.

Teorema 8 Para dos sucesos A y B, se tiene

P (A) = P (A|B)P (B) + P (A| ¯B)P ( ¯B).

Demostraci´on Ω _R A y B A y ¯B A µ B 6

Mirando el diagrama Venn, vemos que A = (A y B) ∪ (A y ¯B)

258

Vemos que

A = (A y B) ∪ (A y ¯B) Por tanto,

Pr(A) = Pr(A y B) + Pr(A y ¯B)

= Pr(A|B) Pr(B) + Pr(A| ¯B) Pr( ¯B)

(34)

34

Ejemplo 14. El 42 % de la población activa de cierto pais está formada por mujeres. Se sabe que un 24 % de las mujeres y un 16 % de los hombres están en el paro.

¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar de la población activa en esta pais esté en el paro?

¿Cu´al es la probabilidad de que tenga trabajo?

Sea P el suceso de que la persona est´e en el paro. Sea M el suceso de que sea mujer y H el suceso de que sea hombre.

Entonces,

Pr(P ) = Pr(P |M ) Pr(M ) + Pr(P |H) Pr(H) = 0,24 × 0,42 + 0,16 × 0,58

= 0,1936

Ahora Pr( ¯P ) = 1 − Pr(P ) = 0,8064 es la probabilidad de que tenga trabajo.

(35)

Ley de la probabilidad total

Consideramos el siguiente diagrama de Venn:Consideramos el siguiente diagrama de Venn.

Ω

B1

B2

B3

B4

Los sucesos B₁, . . . , B₄ dividen el espacio mues-tral en 4 partes dist´ıntas.

Definici´on 28 Un conjunto de sucesos B₁, . . . , B_k donde B_i ∩ B_j = φ para todo i 6= j y

Ω = B₁ ∪ B₂ ∪ . . . B_k

se llama una partici´on del espacio muestral.

263

Los sucesos B1, . . . , B4 dividen el espacio muestral en 4 partes distintas.

Definici´on 10. Un conjunto de sucesos B1, . . . , Bk tales que Bi ∩ Bj = ∅

para todo i 6= j y

Ω = B1 ∪ B2 ∪ . . . Bk

se llama una partici´on del espacio muestral.

(36)

36

Ley de la probabilidad total

Supongamos que introducimos otro suceso A

Ahora supongamos que introducimos otro suce-so A Ω B1 B2 B3 B4 A Tenemos A = (A ∩ B1) ∪ (A ∩ B2) ∪ (A ∩ B3) ∪ (A ∩ B4)

Luego como los B_i son incompatibles,

P (A) = P (A ∩ B1) + P (A ∩ B2) + P (A ∩ B3) + P (A ∩ B4)

y usando la ley de multiplicaci´on,

P (A ∩ Bi) = P (A|Bi)P (Bi) para i = 1, . . . , 4 P (A) = 4 X i=1 P (A|B_i)P (B_i) 264 Tenemos: A = (A ∩ B1) ∪ (A ∩ B2) ∪

(A ∩ B3) ∪ (A ∩ B4) y los Bi son

incom-patibles,

Pr(A) = Pr(A ∩ B1) + Pr(A ∩ B2) + Pr(A ∩ B3) + Pr(A ∩ B4)

y usando la ley de multiplicaci´on, Pr(A) =

4

X

i=1

Pr(A|B_i) Pr(B_i)

(37)

Ley de la probabilidad total

Teorema 2. Para un suceso A y sucesos B1, . . . , Bk, donde B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪

Bk = Ω y Bi ∩ Bj = φ para todo i 6= j, entonces

Pr(A) = Xk

i=1 Pr(A|Bi) Pr(Bi)

Ejemplo 15. En una f´abrica se embalan galletas en 4 cadenas de montaje: A1, A2, A3 y A4. El 35 % de la producci´on total se embala en la cadena A1,

el 20 %, 24 % y 21 % en A₂, A₃ y A₄, respectivamente. Los datos indican que no se embalan correctamente un porcentaje peque˜no de las cajas: el 1 % en A1, el 3 % en A2, el 2.5 % en A3 y el 2 % en A4.

¿Cu´al es la probabilidad de que una caja elegida al azar de la producci´on total sea defectuosa (suceso D)?

Pr(D) = X4

i=1 Pr(D|Ai) Pr(Ai)

= ,01 × ,35 + ,03 × ,20 + ,025 × ,24 + ,02 × ,21 = ,0197

(38)

38

El teorema de Bayes

Teorema 3. Para dos sucesos A y B, se tiene

Pr(A|B) = Pr(B|A) Pr(A) Pr(B)

Demostraci´on

Por la regla de multiplicaci´on, se tiene

Pr(A y B) = Pr(A|B) Pr(B) e igualmente Pr(A y B) = Pr(B|A) Pr(A)

Pr(A|B) Pr(B) = Pr(B|A) Pr(A) y despejando obtenemos Pr(A|B) = Pr(B|A) Pr(A)

Pr(B)

(39)

Ejemplo 16. Volvemos al Ejemplo 14. Supongamos que se elige un adulto al azar para rellenar un formulario y se observa que no tiene trabajo. ¿Cu´al es la probabilidad de que la persona elegida sea mujer?

Necesitamos calcular Pr(M |P ). Mediante el teorema de Bayes, tenemos Pr(M |P ) = Pr(P |M ) Pr(M )

Pr(P ) = 0,24 × 0,42

0,1936 ≈ 0,5207

Ejemplo 17. Volviendo al Ejemplo 15, supongamos que descubrimos que una caja es defectuosa. Calcule la probabilidad de que la caja provenga de la cadena A1. Pr(A1|D) = Pr(D|A1) Pr(A1) Pr(D) = ,01 × ,35 ,0197 ≈ ,1777

(40)

40

Ejemplo 18. Tres prisioneros, Alfredo, Bruno y Carlos han solicitado la libertad condicional. Se sabe que el gobernador va a poner en libertad a uno de los tres pero ´el no va a decir quien hasta finales del mes. El gobernador dice a Alfredo que puede informarle del nombre de un solicitante sin ´exito dadas las siguientes condiciones.

1. Si se va a liberar a Alfredo, el gobernador dir´a Bruno o Carlos con la misma probabilidad (1/2).

2. Si se libera a Bruno, dir´a el nombre de Carlos. 3. Si Carlos es el que se va a liberar, dir´a Bruno.

Alfredo pide al gobernador que le diga el nombre y el gobernador creyendo que su información es inútil le dice que Bruno se va a quedar en la cárcel.

Alfredo piensa “mi probabilidad de que me pongan en libertad ha cambiado de 1/3 a 1/2. Estoy muy contento.” ¿Tiene raz´on?

(41)

Sean A, B,C los sucesos de que Alfredo, Bruno y Carlos respectivamente est´en puestos en libertad. Sea b el suceso de que el gobernador diga el nombre de Bruno.

Se tiene:

Pr(A) = Pr(B) = Pr(C) = 1/3.

Adem´as, sabiendo que el gobernador ha dicho el nombre de Bruno, se tiene Pr(b|A) = 1/2, Pr(b|B) = 0, Pr(b|C) = 1.

Entonces, mediante el teorema de Bayes, Pr(A|b) = Pr(b|A) Pr(A)

Pr(b)

= Pr(b|A) Pr(A)

Pr(b|A) Pr(A) + Pr(b|B) Pr(B) + Pr(b|C) Pr(C)

= 1/2 × 1/3

1/2 × 1/3 + 0 × 1/3 + 1 × 1/3 = 1/3.

(42)

42

Recapitulaci´

on

Tema 5. Probabilidad

W Conceptos b´asicos

W Interpretaci´on y propiedades b´asicas

W Probabilidad condicional y reglas de c´alculo

(43)

Tema 5. Probabilidad

Conceptos b´asicos.

Interpretaci´on y propiedades b´asicas

Probabilidad condicional y reglas de c´alculo.

Generalizaci´

on

Tema 6. Variables aleatorias unidimensionales

Distribuci´on.

Caracter´ısticas: media, varianza, etc. Transformaciones.