Existencia de un triángulo -
Regla de correspondencia
cuerda tensa A B (estaca) Posición final (estaca)La distancia entre los árboles "A" y "B" es de 24 m. Atado al árbol "B" se encuentra una cuerda de 13 m de longitud que en su otro extremo se encuentra una estaca. Colocar la estaca de tal manera que la cuerda atada al árbol "A" y a la estaca tenga la mínima longitud entera. ¿Cuál es esta longitud?
Obs: Las cuerdas deben estar tensas.
He aquí la matemática, la creación más original del ingenio humano.WHITEHEAD.
Introducción
Si Juan quiere ir a donde se encuentra María tiene tres posibilidades: Usar la ruta "A", la "B" o la "C". ¿Cuál de los tres caminos le permitirá llegar más rápido suponiendo que emplea en los tres casos la misma velocidad?
Caso II B 10 7 A C 15 A C JUAN MARÍA
Estoy seguro que tu respuesta es inmediata, pues por el postulado de la distancia sabemos que "la menor distancia entre dos puntos es el segmento de recta que los une", entonces no dudamos que tu respuesta es el camino "B". Esto que parece tan evidente muchas veces, no lo aplicamos en los triángulos y cometemos el error de darle valor a sus lados sin tener en cuenta el postulado, por ejemplo: ¿existirán estos triángulos?
Caso I
Si aplicamos el ejemplo de Juan y María ubicando a Juan en "A" y a María en "C" nos damos cuenta que el caso I es imposible pues el menor recorrido debe ser 14, sin embargo haciendo el recorrido "A B C" nos da 13 por lo tanto concluimos que dicho triángulo no existe. Análogamente si hacemos el análisis en el caso II concluimos que el triángulo sí existe.
En este capítulo nos dedicaremos por consiguiente a an al iz ar l a existencia de los triángulos y l a correspondencia que existe entre sus lados y ángulos.
Objetivos: Al finalizar el estudio de este capítulo el
alumno será capaz de:
- Reconocer si un triángulo existe o no cuando tenga los valores de sus lados.
B - Analizar dado sus ángulos quien es su mayor o menor
lado y viceversa.
5 8
A C
Propiedad de la existencia de un triángulo
(Desigualdad triangular)
En todo triángulo la medida de un lado, debe ser menor que la suma de los otros dos lados y a su vez mayor que la diferencia de los mismos lados.
2. Determinar el menor valor entero de "K".
9 + K K 12 B b - c < a < b + c c a a - c < b < a + c b - a < c < b + a
Solución: Por " existencia "
(9 + K) - K < 12 < ( 9 + K ) + K A b C 9 < 12 9 2K donde: a b c 3 < 2K 3 1, 5 < K
Regla de correspondencia
* En todo triángulo escaleno, se cumple que a menor lado se opone menor ángulo y a mayor lado se opone mayor ángulo. K 2 K mínimo 2 entero B c a Si: < > c < a b > c
3. Los lados de un triángulo isósceles miden 4 y 18. Hallar su perímetro.
Solución: No nos dice cuales son los lados iguales, entonces analizamos los dos casos:
A b C Si: c < b b > a < > Caso I Problemas resueltos
1. Hallar el máximo valor entero de "x".
* Existencia: 4 - 4 < 18 < 4 + 4 4 4 0 < 18 < 8 Absurdo 5 10 18 No existe 3x
Solución: Por " existencia de un triángulo " 10 - 5 < 3x < 10 + 5 5 < 3x < 15 Caso II 18 18 4 * Existencia: 0 < 4 < 36 (correcto) sí existe Perímetro: 18 + 18 + 4 Rpta: 40 ( 3 ) 5 3x 3 3 15 3 1,66 < x < 5 x máximo 4 entero
4. En la figura, ¿cuál es el segmento más pequeño? C 1 2 ... 3 A 48° B 88°83° 54° D 7 10 16 ... Solución: (1°) BCD C = 43° BD: menor lado BCD 4 7 ... 11 (2°) ABD ADB = 44°
AB: menor lado BCD
de (1) y (2) AB: menor
Problemas para la clase
12 3
...
5
2. Calcule el máximo valor entero que puede asumir “x”. 1. Analice la existencia de los siguientes triángulos:
7 3 9 5 ... 15 4 2 ... 3 x a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
3. Calcule el mínimo valor entero de “x”.
9 5 x 9 9 ... 1 a) 6 b) 4 c) 7 d) 5 e) 8
4. Calcule el mínimo y máximo valor entero de “x”.
15 8 10 ... 8 17 2x 3 3 ... 8 a) 3 y 17 b) 1 y 9 c) 2 y 17 d) 2 y 18 e) 2 y 8 5 5 ... 5
a) 4 y 5 b) 3 y 6 c) 4 y 6 d) 3 y 7 e) 4 y 7 a) AB b) BC c) AC d) CD e) BD a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6
5. ¿Cuál es el lado más pequeño?
B
10.En un triángulo rectángulo un cateto mide 2 el menor valor entero de la hipotenusa.
3 . Calcular 60º 80º 40º C A a) AB b) BC c) AC d) AB y AC e) BC y AC
6. En la figura, ¿cuál es el segmento más pequeño?
a) 3 b) 2 c) 5
d) 6 e) 4
11.Se tiene el triángulo escaleno ABC; tal que: AB=2 u y BC=7 u, ¿cuántos valores enteros puede tomar el tercer lado?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
12. Los lados de un triángulo miden x; 3x y 12 cm. Calcular el menor y mayor valor entero de "x".
B 80º 70º D 60º 40º
13.Dos lados de un triángulo isósceles miden 9 y 19. Calcular su perímetro.
a) 37 b) 47 c) 28
d) 36 e) a y b
A C
14.En la figura: AB + BC = 28. Calcular el máximo valor entero de " BH ".
B
7. Hallar el máximo valor entero de “x”.
2x - 3 9
2
a) 4 b) 5 c) 6
d) 3 e) 7
8. Dado el triángulo PQR, tal que: PQ = 1 u y QR = 4 u. Calcular "PR", sabiendo que es un valor entero.
A H C
a) 16 b) 9 c) 15
d) 14 e) 13
15.En la figura calcule el máximo valor entero de " BD ". Si: AD = 3; CD = 12 y AB + BC = 19.
B
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
9. Dos lados de un triángulo miden 7 cm y 13 cm. ¿Cuántos A C
valores múltiplos de tres puede tomar el tercer lado?
D
a) 15 b) 16 c) 17
16.Dos lados de un triángulo miden 5 y 6. Calcular el perímetro de dicho triángulo sabiendo que el tercer lado es el doble de uno de los dos primeros.
a) 20 b) 21 c) 22
d) 23 e) b y d
17. En la figura mostrada, ¿cuál de los segmentos es el de menor medida?
D C
18.S i " " es obtuso, ¿cuál es el menor valor entero de “x”?
5 12
x
a) 8 b) 10 c) 12
d) 13 e) 14
19.Si "" es agudo, ¿cuál es el mayor valor entero de “x”?
B 63º A 59º 60º 61º 60º F 61º 61º 60º 6 8 E a) AC b) CF c) DF d) EF e) AB x a) 4 b) 3 c) 9 d) 11 e) 13
20.Los lados de un triángulo escaleno miden 4; 6 y 2x. Si "x" es un número entero, calcular "x".
a) 1 b) 2 c) 3
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
Autoevaluación 1. Los lados de un triángulo miden:
12, (x + 4) y (x + 5)
Calcular el menor valor entero de "x" para que el triángulo exista.
4. En la figura, el segmento más pequeño es:
D B 34°
22°
2. Los lados de un triángulo "ABC" miden:
42° A 50° 30° C 40° E AB = x - 1; BC = 2x + 1 y AC = 6
Calcular el valor de "x" si es un número entero.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 6 e) 8
3. En un triángulo "ABC", AB = 2 y BC = 5. Hallar la suma de los valores pares que puede tomar " AC ".
a) AB b) BD c) CD
d) BC e) DE
5. En la figura, calcular el máximo valor entero que puede tomar "x" cuando "y" toma su mínimo valor entero
4 7 a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 15 y 6 x a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
