´Indice
1 Metodolog´ıa de la Asignatura
2 Relaciones
3 Funciones
4 Lenguajes de Primer Orden: Sintaxis
5 Lenguajes de Primer Orden: Sem´antica
Metodolog´ıa de la asignatura
Datos Profesor F´elix Bou.
Departament de L`ogica, Hist`oria i Filosofia de la Ci`encia. Despacho 4.040 (4a planta).
E-mail: [email protected] ([email protected]) Tel´efono: 93 4037978.
Metodolog´ıa de la asignatura
Horario
Teor´ıa Consultas Pr´acticas*
Grupo B1 (A. 403)
Martes 17:00-18:00h — —
Mi´ercoles 17:00-18:00h — 18:00-19:00h
Jueves 17:00-18:00h 18:00-19:00h —
* Las pr´acticas son dadas por Joan Bertran tambi´en en el aula 403.
Examen Final
1a Convocatoria 2a Convocatoria Grupo B1 (A. 403) 23 Junio, 16:00-18:00h 8 Sept, 19:00-21:00h
Sistema de Evaluaci´
on
Evaluaci´on Continua
Tres ex´amenes parciales durante el curso. Las fechas son
I Jueves 11 de marzo de 2010.
I Jueves 22 de abril de 2010.
I Jueves 20 de mayo de 2010.
Hace falta aprobar los tres ex´amenes con una nota m´ınima de 3, y en tal caso la nota final ser´a la media de los tres ex´amenes parciales. S´olo se obtendr´a la calificaci´on de “No Presentado” en caso de no realizar los tres ex´amenes parciales.
Evaluaci´on ´Unica
Todo el mundo puede realizar el examen final, incluso aquellas personas que antes han hecho uno o m´as de los ex´amenes parciales. La asistencia al examen final supone autom´aticamente la renuncia a la nota de la evaluaci´on continua, i.e., la nota final ser´a la obtenida en el examen final.
Motivando las Relaciones
Recordemos que . . .
Toda propiedad determina un conjunto, el conjunto de los objetos que cumplen dicha propiedad. En s´ımbolos, si Φ es un propiedad al conjunto que determina, por comprensi´on, lo denotamos {x : Φ(x )} (es decir, {x : x verifica el propiedad Φ}).
En los conjuntos no importa el orden, por ejemplo, {1, 2} = {2, 1}. As´ı pues, ¿qu´e sucede si realmente tenemos una noci´on en la que el orden importa? Pues que es evidente que la noci´on de conjunto no es un buen candidato a formalizar esa noci´on.
Ejemplos de Propiedades Binarias en las que importa el orden Ser padre de
Ser hijo de
Ser profesor de la asignatura
Par Ordenado
En primer lugar (antes de hablar de relaciones) introducimos el concepto de par ordenado.
Dados dos objetos a y b elpar ordenado de a y b es un nuevo objeto (que denotamosha, bi) que nos permitir´a distinguir suprimera componente, a, de susegunda componente, b.
Esto significa que para cualesquiera objetos a, b, c y d , se cumple que ha, bi = hc, d i sii a = c y b = d.
Lo anterior es el ´unico requisito que le exigimos a un par ordenado. Es decir, lo ´unico que asumimos es que los pares ordenados son objetos que cumplen la condici´on anterior, y no nos preocupamos de averiguar qu´e objeto es.
Lo fundamental es que la noci´on de par ordenado nos va a permitir distinguir el orden. Por ejemplo, hMarta, Anai 6= hAna, Martai mientras que {Marta, Ana} = {Ana, Marta}.
La Operaci´
on Producto Cartesiano
Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, el producto cartesiano de A por B, en s´ımbolosA × B, es el conjunto de todos los pares
ordenados cuya primera componente es un elemento de A y cuyo segunda componente es un elemento de B. Es decir,
A × B = {hx , y i : x ∈ A y y ∈ B}.
El t´ermino “cartesiano” por supuesto hace referencia a Descartes. Y el t´ermino “producto” hace referencia al hecho que si A tiene n elementos y B tiene m elementos, entonces A × B tiene n · m elementos.
Ejemplo: Si A = {1, 2} y B = {2, 3, 4}, entonces
A × B = {h1, 2i, h1, 3i, h1, 4i, h2, 2i, h2, 3i, h2, 4i}.
Algunas propiedades del Producto Cartesiano
Si A = ∅ entonces A × B = ∅. Si B = ∅ entonces A × B = ∅.
Si A 6= ∅ y B 6= ∅ entonces A × B 6= ∅. Los tres puntos anteriores nos dicen que
A × B = ∅ sii A = ∅ o B = ∅. As´ı pues,
A × B 6= ∅ sii A 6= ∅ y B 6= ∅. B × A ={hx, y i : x ∈ B y y ∈ A}.
El producto cartesiano no es conmutativo porque por ejemplo
{1} × {2} 6= {2} × {1}. [De hecho, A × B = B × A sii (o bien A = ∅ o bien B = ∅ o bien A = B).]
Relaciones (Binarias)
Unarelaci´on (binaria) es un conjunto de pares ordenados.
La idea intuitiva es que todo relacional binario (i.e., propiedad binaria) determina una relaci´on, aquella que cumple que un par ordenado pertenece a la relaci´on en cuesti´on si este relacional se da entre el primer componente del par y el segundo componente del par. Por ejemplo, el relacional “ser m´as alto que” determina la relaci´on binaria
{hx, y i : x ser m´as alto que y }.
Unarelaci´on (binaria) en un conjunto Aes un conjunto de pares ordenados tales que tanto el primer componente del par como el segundo componente son elementos de A. Es decir, R es una relaci´on en A sii R es un subconjunto de A × A.
Relaciones (Binarias)
Usamos la letras R, S y T para referirnos a las relaciones (binarias). En el caso que el par ordenado ha, bi ∈ R diremos quelos objetos a, b est´an relacionados por R. Y en caso contrario (i.e., ha, bi 6∈ R) diremos que no est´an relacionados por R.
En ocasiones escribiremos aRb en lugar de escribir ha, bi ∈ R. Y an´alogamente tambi´en usaremos a6Rb como sin´onimo de ha, bi 6∈ R.
Ejemplos de Relaciones Binarias
Sea A = {x : x es un ser humano}. Entonces,
R = {hx , y i : x ∈ A y y ∈ A y x es madre de y }
es una relaci´on binaria en A. Y
S = {hx , y i : x ∈ A y y ∈ A y y es madre de x }
es otra relaci´on en el conjunto A. Sea B = {1, 2, 3, . . .}. Entonces,
T = {hx , y i : x ∈ B y y ∈ B y x ≤ y }
es una relaci´on binaria en B.
Clasifica las siguientes afirmaciones seg´un sean verdaderas o falsas. h1, 0i ∈ T es falsa. h1, 1i ∈ T es verdadera. h1, 2i ∈ T es verdadera. h2, 1i ∈ T es falsa. hF´elix, 2i ∈ T es falsa. h32, 2i ∈ T es falsa.
Algunas Observaciones M´
as
A nivel intuitivo tenemos la analog´ıa siguiente
Propiedades Conjuntos =
Relacionales (Binarios) Relaciones (Binarias)
Es decir, los conjuntos son a las propiedades lo mismo que las
relaciones (binarias) son a los relacionales (binarios). Mientras que los conjuntos corresponden a las extensiones de las propiedades, las relaciones (binarias) corresponden a las extensiones de los relacionales (binarios).
Por el principio de extensionalidad dos relaciones R y S son la misma sii a ellas pertenecen los mismos pares. En otras palabras, R = S sii
para cualesquiera objetos x , y , se cumple que hx, y i ∈ R sii hx, y i ∈ S.
As´ı pues, R 6= S sii
existen dos objetos x , y tales que el par hx , y i pertenece a una de las relaciones pero no a la otra.
Conjuntos asociados a una Relaci´
on (Binaria)
Eldominio de una relaci´on R, en s´ımbolosdom(R), es el conjunto de los primeros componentes de los pares de R. As´ı pues,
dom(R) ={x : existe y tal que hx, y i ∈ R}.
Elrecorrido de una relaci´on R, en s´ımbolosrec(R), es el conjunto de los segundos componentes de los pares de R. As´ı pues,
rec(R) ={x : existe y tal que hy , xi ∈ R}.
Elcampo de una relaci´on R, en s´ımboloscampo(R), es el conjunto de todos los componentes (indistintamente de si son primer o segundo componente) de los pares de R. As´ı pues,
campo(R) = {x : existe y tal que hx , y i ∈ R o hy , x i ∈ R}. De hecho, se cumple que
campo(R) = dom(R) ∪ rec(R).
Algunos Ejemplos Concretos de Relaciones
Sea R el conjunto {h1, 6i, h4, 7i, h6, 6i, h2, 5i, h3, 2i, h6, 1i}. Clasificar las siguientes afirmaciones seg´un sean verdaderas o falsas.
I “R es una relaci´on” es verdadera.
I “R es una relaci´on en {1, 2, 3, 4, 5, 6}” es falsa.
I “R es una relaci´on en {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}” es verdadera.
I “R es una relaci´on en {1, 2, 3, . . .}” es verdadera.
Sea R la misma relaci´on que antes. Calcular I domR ={1, 2, 3, 4, 6}.
I recR = {1, 2, 5, 6, 7}.
Algunas Relaciones con Nombre Propio
Sea A un conjunto. Entonces, de entre todas las relaciones en A destacamos las siguientes.
Larelaci´on de identidad en A, en s´ımbolosIdA, es el conjunto de los
pares ordenados con ambas componentes siendo iguales y pertenenciendo a A. As´ı pues,
IdA= {hx , x i : x ∈ A}.
Y tambi´en es claro que
IdA = {hx , y i : x ∈ A y y ∈ A y x = y }.
Larelaci´on nula en A es el conjunto vac´ıo. [Es una relaci´on puesto que es un conjunto de pares ordenados]
Larelaci´on total en A es el conjunto de los pares ordenados con ambas componentes siendo elementos de A. As´ı pues, la relaci´on total en A es precisamente A × A.
Observaciones sobre estas relaciones destacadas
Sea A el conjunto ∅. Entonces,I IdA=∅. I A × A = ∅.
Sea A el conjunto {a}. Entonces, I IdA= {ha, ai}.
I A × A = {ha, ai}.
Sea A el conjunto {a, b}. Entonces, I IdA= {ha, ai, hb, bi}.
I A × A ={ha, ai, ha, bi, hb, ai, hb, bi}.
Sea A un conjunto cualesquiera. Entonces,
I ¿Cu´al es la menor relaci´on en A? Es ∅. Esto significa que (i) ∅ es una relaci´on en A, y que adem´as (ii) para cualquier relaci´on R en A se cumple que ∅ ⊆ R.
I ¿Cu´al es la mayor relaci´on en A? Es A × A. Esto significa que (i) A × A es una relaci´on en A, y que adem´as (ii) para cualquier relaci´on R en A se cumple que R ⊆ A × A.
Operaciones con Relaciones
Las relaciones son en particular conjuntos. Por tanto, todas las operaciones con conjuntos se pueden realizar en particular tambi´en con relaciones.
Si R y S son dos relaciones cualesquiera, entonces I [Union] R ∪ S = {hx , y i : hx , y i ∈ R o hx , y i ∈ S }.
I [Intersecci´on] R ∩ S = {hx , y i : hx , y i ∈ R y hx , y i ∈ S }.
I [Diferencia] R − S = {hx , y i : hx , y i ∈ R y hx , y i 6∈ S }.
Otra forma (dice exactamente lo mismo) de escribir las igualdades anteriores es decir que
I R ∪ S = {ha, bi : ha, bi ∈ R o ha, bi ∈ S }.
I R ∩ S = {ha, bi : ha, bi ∈ R y ha, bi ∈ S }.
I R − S = {ha, bi : ha, bi ∈ R y ha, bi 6∈ S }.
Operaciones Nuevas con Relaciones
A partir de una relaci´on R definimos larelaci´on inversa de R, en s´ımbolosR, como la relaci´˘ on que se da entre objetos a y b si y s´olo si R se da entre b y a. Es decir,
˘
R = {hx , y i : hy , x i ∈ R}.
Por tanto, ha, bi ∈ ˘R sii hb, ai ∈ R. Es claro que dom( ˘R) = rec(R), rec( ˘R) = dom(R), campo( ˘R) = campo(R).
A partir de dos relaciones R y S definimos suproducto relacional, en s´ımbolosR|S, como la relaci´on definida por la igualdad
R|S = {hx , y i : hay alg´un z tal que hx , zi ∈ R y hz, y i ∈ S }.
Por tanto, para cualesquiera objetos a y b se cumple que I ha, bi ∈ R|S, sii
Algunos Ejemplos
Sea R = {h1, 3i, h1, 5i, h2, 5i} y S = {h2, 1i, h5, 2i}. Entonces, I R = {h3, 1i, h5, 1i, h5, 2i}.˘
I S = {h1, 2i, h2, 5i}.˘
I R|S = {h1, 2i, h2, 2i}.
I S |R = {h2, 3i, h2, 5i, h5, 5i}.
I R|R =∅.
I S |S = {h5, 1i}.
Consideramos las relaciones en los n´umeros naturales (i.e., N = {1, 2, 3, . . .}) siguientes: R = {hx , y i : x ≤ y } y S = {hx , y i : x > y }. Entonces,
I R = {hx , y i : y ≤ x } = {hx , y i : x ≥ y }.˘
I S = {hx , y i : y > x } = {hx , y i : x < y }.˘
I R|S ={hx, y i : existe z tal que x ≤ z y z > y } = N × N.
I S |R = {hx , y i : existe z tal que x > z y z ≤ y } = (N − {1}) × N. I R|R = {hx , y i : existe z tal que x ≤ z y z ≤ y } = R.
I S |S = {hx , y i : existe z tal que x > z y z > y }= {hx , y i : x ≥ y + 2}.
Otro Ejemplo
Sea P la relaci´on en el conjunto de los seres humanos definida de modo que ha, bi ∈ P sii a es progenitor (padre o madre) de b. Y sea H la relaci´on en el conjunto de los seres humanos tal que ha, bi ∈ H sii a es hermano(a) de b. Entonces, las siguientes relaciones (todas ellas en el conjunto de los seres humanos) cumplen que
I ha, bi ∈ ˘P sii b es progenitor de a. Es decir, ha, bi ∈ ˘P sii a es hijo(a) de b.
I ha, bi ∈ ˘H sii b es hermano(a) de a. Es decir, ˘H = H.
I ha, bi ∈ (H|P) sii existe c tal que a es hermano(a) de c y c es
progenitor de b. Es decir, ha, bi ∈ (H|P) sii a es t´ıo(a) de b.
I ha, bi ∈ ( ˘P|H) sii existe c tal que c es progenitor de a y c es hermano(a) de b. Es decir, ha, bi ∈ ( ˘P|H) sii a es sobrino(a) de b.
I ha, bi ∈ (P|P) sii existe c tal que a es progenitor de c y c es progenitor
de b. Es decir, ha, bi ∈ (P|P) sii a es abuelo(a) de b.
I ¿C´omo definir la relaci´on que se da en un par ordenado ha, bi cuando a es nieto de b? Entre otras posibilidades se puede utilizar la relaci´on ˘
Propiedades de las Operaciones con Relaciones
Para cualesquiera relaciones R, S y T se cumple que˘ ˘ R = R.
¿Por qu´e? Porque ha, bi ∈R, sii hb, ai ∈ ˘˘˘ R, sii ha, bi ∈ R. R|(S |T ) = (R|S )|T .
¿Por qu´e? Porque ha, bi ∈ (R|(S |T )), sii existe c tal que ha, ci ∈ R y hc, bi ∈ (S|T ), sii existen c y d tal que ha, ci ∈ R y hc, d i ∈ S y hd , bi ∈ T , sii existe d tal que ha, d i ∈ (R|S) y hd , bi ∈ T , sii ha, bi ∈ ((R|S)|T ).
(R|S ) = (˘S | ˘R).
¿Por qu´e? Porque ha, bi ∈ (R|S ), sii hb, ai ∈ (R|S ), sii existe c tal que hb, ci ∈ R y hc, ai ∈ S, sii existe c tal que hc, bi ∈ ˘R y ha, ci ∈ ˘S , sii
existe c tal que ha, ci ∈ ˘S y hc, bi ∈ ˘R, sii ha, bi ∈ (˘S | ˘R).
Clases de Relaciones
Sea R una relaci´on. Se dice queR es una relaci´onreflexiva en un conjunto Asii todo elemento de A esta relacionado consigo mismo por R. Es decir, sii para todo x ∈ A se cumple que hx , x i ∈ R.
R es una relaci´onreflexivasii R es una relaci´on reflexiva en el conjunto campo(R).
R es una relaci´onirreflexiva sii ning´un objeto est´a relacionado consigo mismo por R. Es decir, sii todo objeto x cumple que hx , x i 6∈ R. R es una relaci´onsim´etricasii para cada par de objetos x , y se cumple que si hx , y i ∈ R entonces hy , x i ∈ R.
R es una relaci´onasim´etricasii para cada par de objetos x , y se cumple que si hx , y i ∈ R entonces hy , x i 6∈ R.
R es una relaci´onantisim´etricasii para cada par de objetos x , y se cumple que si hx , y i ∈ R y hy , x i ∈ R entonces x = y . Es decir, sii
para cada par de objetos x , y diferentes, si hx , y i ∈ R entonces hy , x i 6∈ R. R es una relaci´ontransitivasii para cualesquiera objetos x , y , z se cumple que si hx , y i ∈ R y hy , zi ∈ R entonces hx , zi ∈ R.
Algunas Reflexiones sobre las anteriores clases
Sea R una relaci´on. Por las definiciones anteriores se tiene queR noes una relaci´on reflexiva en un conjunto Asii existe un elemento x ∈ A tal que hx , x i 6∈ R.
R no es una relaci´onreflexivasii existe un elemento x ∈ campo(R) tal que hx , x i 6∈ R.
R no es una relaci´onirreflexivasii existe un objeto x que cumple que hx, xi ∈ R.
R no es una relaci´onsim´etricasii existen un par de objetos x , y que cumplen que hx , y i ∈ R y hy , x i 6∈ R.
R no es una relaci´onasim´etricasii existen un par de objetos x , y que cumplen que hx , y i ∈ R y hy , x i ∈ R.
R no es una relaci´onantisim´etricasii existen un par de objetos x , y que cumplen que hx , y i ∈ R y hy , x i ∈ R y x 6= y .
R no es una relaci´ontransitivasii existen objetos x , y , z que cumplen que hx , y i ∈ R y hy , zi ∈ R y hx , zi 6∈ R.
Algunos Ejemplos
Consideramos las relaciones R1 = {h1, 1i, h2, 3i},
R2 = {h1, 1i, h1, 2i, h2, 1i}, R3 = {h1, 2i, h1, 3i, h2, 3i},
R4 = {h1, 2i, h1, 3i, h2, 1i}, R5 = {h1, 1i, h1, 2i, h2, 2i},
R6 = {h1, 2i, h2, 1i, h2, 2i}, R7 = {h1, 2i, h2, 3i, h1, 3i, h3, 3i},
R8 = {h1, 2i, h2, 1i, h1, 1i, h2, 2i}, R9 = {h1, 2i, h2, 1i, h1, 1i} y
R10= {h1, 2i, h1, 3i}.
A continuaci´on completamos el cuadro siguiente.
R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 ∅ Reflexiva F F F F V F F V F F V Irreflexiva F F V V F F F F F V V Sim´etrica F V F F F V F V V F V Asim´etrica F F V F F F F F F V V Antisim´etrica V F V F V F V F F V V Transitiva V F V F V F V V F V V
M´
as Ejemplos
Consideramos las relaciones siguientes en el conjunto de los n´umeros naturales N = {1, 2, 3, . . .}. Se trata de ≤= {hx, y i : x ≤ y },
<= {hx , y i : x < y }, S = {hx , y i : y = x + 1}, Id = {hx , y i : x = y } y D = {hx , y i : x 6= y }.
A continuaci´on completamos el cuadro siguiente.
≤ < S Id D Reflexiva en N V F F V F Irreflexiva F V V F V Sim´etrica F F F V V Asim´etrica F V V F F Antisim´etrica V V V V F Transitiva V V F V F
Caracterizaci´
on de las diversas clases de Relaciones
Sea R una relaci´on en un conjunto A. Se cumple que
R es una relaci´on reflexiva en el conjunto A sii IdA ⊆ R.
R es una relaci´on reflexiva sii Idcampo(R) ⊆ R.
R es una relaci´on irreflexiva sii R ∩ IdA ⊆ ∅. Es decir, sii R ∩ IdA = ∅.
R es una relaci´on sim´etrica sii R ⊆ ˘R. Es decir, sii R = ˘R.
R es una relaci´on asim´etrica sii R ∩ ˘R ⊆ ∅. Es decir, sii R ∩ ˘R = ∅. R es una relaci´on antisim´etrica sii R ∩ ˘R ⊆ IdA.
Relaciones de Equivalencia
Para cualquier conjunto A la relaci´on IdA (i.e., la relaci´on de
identidad en A) cumple que es reflexiva en A, sim´etrica y transitiva. Estas tres popiedades (reflexiva en el conjunto, sim´etrica y transitiva) caracterizan en cierta forma relaciones a las que podriamos llamar de “igualdad en cierto aspecto”. Por ejemplo, las relaciones
R1 = {ha, bi : a y b son palabras que tienen la misma primera letra}
R2= {ha, bi : a y b son autom´oviles de la misma marca}
R3 = {ha, bi : a y b son personas que viven en el mismo pa´ıs}
R4 = {ha, bi : a y b son personas que tienen la misma edad}
R5 = {ha, bi : a y b son mascotas que tienen el mismo due˜no}
cumplen las tres propiedades anteriores [la reflexiva corresponde en cada caso a un conjunto diferente: palabras, autom´oviles, . . . ]. Unarelaci´on de equivalencia en un conjunto Aes una relaci´on en A que adem´as es reflexiva en A, sim´etrica y transitiva.
Clasificar los elementos de A a partir de una relaci´
on de
equivalencia en A
A nivel intuitivo la idea detr´as de una relaci´on de equivalencia en A es que nos permite clasificar los elementos del conjunto A. Cuando decimos “clasificar” nos referimos a que podemos distribuir (repartir) todos los elementos de A en diferentes clases (i.e., diferentes
subconjuntos de A) disjuntas.
Por ejemplo, la relaci´on de equivalencia llamada R1 en la diapositiva
anterior nos permite clasificar todas las palabras en diferentes clases: (1) una clase es la de las palabras que comienzan con la letra a, (2) otra clase es la de las palabras que comienzan con la letra b, (3) otra clase es la de las palabras que comienzan con la letra c, (4) otra clase es la de las palabras que comienzan con la letra d , etc. Teniendo en cuenta que hay 27 letras del alfabeto lo que acabamos de observar es que la relaci´on de equivalencia R1 nos clasifica todas las palabras en
Clasificar los elementos de A a partir de una relaci´
on de
equivalencia en A
Consideramos la relaci´on R en los n´umeros naturales que se da entre aquellos n´umeros que tienen la misma paridad. En particular,
h1, 3i ∈ R, h2, 4i ∈ R y h1, 2i 6∈ R.
I Es f´acil comprobar que R es una relaci´on de equivalencia en el conjunto de los n´umeros naturales.
I ¿Qu´e clasificaci´on nos determina esta relaci´on de equivalencia? Permite clasificar todos los n´umeros naturales en exactamente 2 clases
diferentes y disjuntas:
1 una clase es la de los n´umeros naturales pares, y 2 la otra clase es la de los n´umeros naturales impares.
Consideramos la relaci´on R0 en los n´umeros naturales que se da entre aquellos n´umeros tales que ambos son pares. En particular,
h1, 3i 6∈ R0, h2, 4i ∈ R0 y h1, 2i 6∈ R0.
I Es f´acil comprobar que R0 no es una relaci´on de equivalencia en el conjunto de los n´umeros naturales porque no es reflexiva en el conjunto de los n´umeros naturales (ya que por ejemplo h1, 1i 6∈ R0).
I Al no ser una relaci´on de equivalencia en el conjunto de los n´umeros naturales no nos determina una clasificaci´on en dicho conjunto.
Clasificar los elementos de A a partir de una relaci´
on de
equivalencia en A
Consideramos la relaci´on S en los n´umeros naturales que se da entre aquellos n´umeros que tienen el mismo resto al dividir entre 10 (recordemos que el resto de dividir entre 10 ha de ser un n´umero de los que hay del 0 al 9). En particular, h1, 11i ∈ S , h22, 4i 6∈ S y h126, 66i ∈ S. De hecho, dos n´umeros naturales est´an relacionados por S sii tienen el mismo ´ultimo digito en su representaci´on decimal.
I Es f´acil comprobar que S es una relaci´on de equivalencia en el conjunto de los n´umeros naturales.
I ¿Qu´e clasificaci´on nos determina esta relaci´on S de equivalencia? Permite clasificar todos los n´umeros naturales en las siguientes clases diferentes y disjuntas:
1 la clase de los n´umeros naturales cuyo resto al dividir entre 10 da 0, 2 la clase de los n´umeros naturales cuyo resto al dividir entre 10 da 1,
. . .
10 la clase de los n´umeros naturales cuyo resto al dividir entre 10 da 9,
Resumiendo, la relaci´on S nos clasifica todos los n´umeros naturales en exactamente 10 clases diferentes y disjuntas.
Clasificar los elementos de A a partir de una relaci´
on de
equivalencia en A
Consideramos la relaci´on IdA de identidad en el conjunto A.
I Es f´acil comprobar que IdA es una relaci´on de equivalencia en el
conjunto A.
I ¿Qu´e clasificaci´on nos determina la relaci´on IdA de equivalencia?
Permite clasificar todos los elementos de A en exactamente tantas clases diferentes y disjuntas como elementos pertenecen a A. Cada una de estas clases est´a formada por un ´unico elemento de A.
Consideramos la relaci´on total en A, es decir, la relaci´on A × A. I Es f´acil comprobar que A × A es una relaci´on de equivalencia en el
conjunto A.
I ¿Qu´e clasificaci´on nos determina la relaci´on A × A de equivalencia? Permite clasificar todos los elementos de A en exactamente una s´ola clase. As´ı pues, esta ´unica clase contiene a todos los elementos de A.
La noci´
on de Partici´
on (o Clasificaci´
on)
Unapartici´on(oclasificaci´on)de un conjunto A es una colecci´on de subconjuntos no vac´ıos de A (estos subconjuntos son llamados las clasesde la partici´on) tal que todo elemento de A pertenece a uno de estos subconjuntos y s´olo a uno.
Dicho de otro modo, una partici´on (o una clasificaci´on) de un conjunto A es una colecci´on Π de subconjuntos de A tal que
I ∅ 6∈ Π (i.e., no hay clases vac´ıas),
I si X ∈ Π, Y ∈ Π y X 6= Y , entonces X ∩ Y = ∅ (i.e., las clases son disjuntas entre s´ı),
I si a ∈ A entonces existe un X ∈ Π tal que a ∈ X (i.e., todo elemento de A pertenece a alguna clase).
Los elementos de Π son las clasesde dicha partici´on (i.e., X es una clase de la partici´on Π sii X ∈ Π).
Algunos Ejemplos sobre Particiones
¿La colecci´on {{1}, {2, 3}} es una partici´on del conjunto {1, 2, 3}? S´ı (porque se cumplen las tres condiciones escritas en la p´agina anterior).
¿Es {{1}, {2, 3}} una partici´on del conjunto {1, 2, 3, 4}? No (porque falla la ´ultima de las tres condiciones en el caso de tomar a como 4). ¿Es {∅, {1}, {2, 3}} una partici´on del conjunto {1, 2, 3}? No (porque falla la primera de las tres condiciones).
¿Es {{1}, {2}, {2, 3}} una partici´on del conjunto {1, 2, 3}? No (porque falla la segunda de las tres condiciones en el caso de tomar X como {2} y tomar Y como {2, 3}).
Sea Aa el conjunto de todas las palabras que comienzan con la letra
a. Y an´alogamente consideramos los conjuntos Ab, Ac, . . . , Ay, Az.
¿Es la colecci´on {Aa, Ab, Ac, . . . , Ay, Az} una partici´on del conjunto
de todas las palabras? S´ı (porque se cumplen las tres condiciones explicitadas en la definici´on de partici´on).
M´
as Ejemplos sobre Particiones
Calcular todas las particiones del conjunto {1, 2}. A continuaci´on vamos enumerando todas las particiones de dicho conjunto.
1 {{1}, {2}}, 2 {{1, 2}}.
As´ı pues, en total hay 2 particiones.
Calcular todas las particiones del conjunto {1, 2, 3}. A continuaci´on vamos enumerando todas las particiones de dicho conjunto.
1 {{1}, {2}, {3}}, 2 {{1}, {2, 3}}, 3 {{2}, {1, 3}}, 4 {{3}, {1, 2}}, 5 {{1, 2, 3}}.
M´
as Ejemplos sobre Particiones
Calcular todas las particiones del conjunto {1, 2, 3, 4}. A continuaci´on vamos enumerando todas las particiones de dicho conjunto.
1 {{1}, {2}, {3}, {4}}, 2 {{1}, {2}, {3, 4}}, 3 {{1}, {3}, {2, 4}}, 4 {{1}, {4}, {2, 3}}, 5 {{1}, {2, 3, 4}}. 6 {{2}, {3}, {1, 4}}, 7 {{2}, {4}, {1, 3}}, 8 {{2}, {1, 3, 4}}. 9 {{3}, {4}, {1, 2}}, 10 {{3}, {1, 2, 4}}. 11 {{4}, {1, 2, 3}}. 12 {{1, 2}, {3, 4}}, 13 {{1, 3}, {2, 4}}, 14 {{1, 4}, {2, 3}}, 15 {{1, 2, 3, 4}}.
As´ı pues, en total hay 15 particiones.
Nota Avanzada sobre el N´
umero de Particiones
Por curiosidad comentamos que el n´umero de particiones de un conjunto con n elementos se conoce como el n-´esimo n´umero de Bell (en honor de Eric Temple Bell) y se suele denotar Bn. En particular,
B1 = 1, B2 = 2, B3 = 5, B4 = 15, B5 = 52, B6 = 203, etc.
¿C´omo calcular dicho n´umero en general? La mejor forma es calcular Bn+1 por recursi´on a partir de los anteriores ya conocidos (i.e., de
Bn, Bn−1, . . . , B2, B1, B0 tomando el convenio que B0 = 1) usando la
f´ormula Bn+1= n X k=0 n k Bk.
¿Cu´
al es la conexi´
on entre las Relaciones de Equivalencia y
las Particiones?
En las pr´oximas diapositivas vamos a analizar esta conexi´on con todo detalle pero todo lo que diremos se puede resumir en que para cualquier conjunto A se cumple que,
Toda relaci´on R de equivalencia en el conjunto A determina una partici´on de A a la cual llamaremos A/R.
Toda partici´on Π del conjunto A determina una relaci´on de equivalencia en A a la cual llamaremos RΠ.
Toda relaci´on R de equivalencia en el conjunto A cumple que coincide con la relaci´on de equivalencia asociada a la partici´on A/R. Es decir, R = RA/R.
Toda partici´on Π del conjunto A cumple que coincide con la partici´on asociada a la relaci´on RΠ. Es decir, Π = A/RΠ.
¿Cu´
al es la partici´
on A/R determinada por la relaci´
on de
equivalencia R?
Sea R una relaci´on de equivalencia en un conjunto A. Definici´on
Para cada a ∈ A, definimos el conjunto [a]R (al cual llamaremos laclase
de equivalencia de a respecto a R) como el conjunto de todos los elementos de A relacionados con a. Es decir,
[a]R = {x ∈ A : hx , ai ∈ R}.
Usando que R es reflexiva en A deducimos que para cada a ∈ A, se cumple que a ∈ [a]R. Por tanto, [a]R 6= ∅.
Usando que R es sim´etrica y transitiva deducimos que para cada a ∈ A y b ∈ A, se cumple que si ha, bi ∈ R entonces [a]R = [b]R.
[¿Por qu´e? Porque hx , ai ∈ R sii hx , bi ∈ R]
Usando que R es sim´etrica y transitiva deducimos que para cada a ∈ A y b ∈ A, se cumple que si ha, bi 6∈ R entonces [a]R∩ [b]R = ∅.
¿Cu´
al es la partici´
on A/R determinada por la relaci´
on de
equivalencia R?
Sea R una relaci´on de equivalencia en un conjunto A.
Definici´on
Definimos el conjunto A/R (al cual llamaremos elconjunto cociente de A respecto a R) como el conjunto de las clases de equivalencia respecto a R de todos los elementos de A. Es decir,
A/R = {[a]R : a ∈ A}.
Hecho
Se cumple que A/R es una partici´on de A. Es decir, Para cada a ∈ A se cumple que [a]R 6= ∅.
Para cada a ∈ A y b ∈ A, si [a]R 6= [b]R entonces [a]R ∩ [b]R = ∅.
Para cada a ∈ A se cumple que existe un b ∈ A tal que a ∈ [b]R.
Un Ejemplo sobre A/R
Sea A el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}, y sea R la relaci´on
{h1, 2i, h2, 1i, h4, 3i, h3, 4i, h4, 6i, h6, 4i, h3, 6i, h6, 3i} ∪ IdA. Es
evidente que R es una relaci´on de equivalencia en el conjunto anterior A. ¿Qu´e partici´on (clasificaci´on) A/R nos determina esta relaci´on de equivalencia R?
I Comenzamos calculando las clases de equivalencia de todos los elementos de A. En este caso se tiene que
F [1]R = [2]R = {1,2}.
F [3]R = [4]R = [6]R = {3, 4, 6}.
F [5]R = {5}.
I Una vez calculadas todas las clases de equivalencia es evidente que el conjunto cociente A/R es{[1]R, [2]R, [3]R, [4]R, [5]R, [6]R}, es decir
{[1]R, [3]R, [5]R}, es decir
Otro Ejemplo sobre A/R
Sea N el conjunto {1, 2, 3, . . .} de los n´umeros naturales, y
consideramos otra vez la relaci´on S en los n´umeros naturales que se da entre aquellos n´umeros que tienen el mismo resto al dividir entre 10 (i.e., si tienen el mismo ´ultimo digito en su representaci´on decimal). Es evidente que S es una relaci´on de equivalencia en el conjunto anterior N. ¿Qu´e partici´on (clasificaci´on) N/S nos determina esta relaci´on de equivalencia S ?
I Las clases de equivalencia de los elementos de N son F [1]S = {1, 11, 21, 31, . . .} = [11]S = [21]S= . . .. F [2]S ={2, 12, 22, 32, . . .} = [12]S = [22]S= . . .. F [3]S ={3, 13, 23, 33, . . .} = [13]S = [23]S= . . .. F [4]S = {4, 14, 24, 34, . . .} = [14]S = [24]S= . . .. F [5]S = {5, 15, 25, 35, . . .} = [15]S = [25]S= . . .. F [6]S = {6, 16, 26, 36, . . .} = [16]S = [26]S= . . .. F [7]S = {7, 17, 27, 37, . . .} = [17]S = [27]S= . . .. F [8]S = {8, 18, 28, 38, . . .} = [18]S = [28]S= . . .. F [9]S = {9, 19, 29, 39, . . .} = [19]S = [29]S= . . .. F [10]S = {10, 20, 30, 40, . . .} = [20]S = [30]S = . . ..
I Por tanto, es evidente que el conjunto cociente N/S es precisamente
{[1]S, [2]S, [3]S, [4]S, [5]S, [6]S, [7]S, [8]S, [9]S, [10]S}.
¿Cu´
al es la relaci´
on de equivalencia R
Πdeterminada por la
partici´
on Π?
Sea Π una partici´on del conjunto A. Definici´on
Definimos la relaci´onRΠ como aquella que relaciona dos objetos de A sii
estos dos objetos pertenecen a una misma clase de la partici´on Π. Es decir, relaciona dos objetos sii la clase de la partici´on a la que pertenece el primer objeto coincide con la clase de la partici´on a la que pertenece el segundo objeto. Es decir,
RΠ ={ha, bi : a ∈ A y b ∈ A y existe X ∈ Π tal que a ∈ X y b ∈ X }.
Hecho
Se cumple que RΠ es una relaci´on de equivalencia en A. Es decir,
[Reflexiva en A] Para cada a ∈ A se cumple que ha, ai ∈ RΠ.
[Sim´etrica] Para cada a ∈ A y b ∈ A, si ha, bi ∈ RΠentonces hb, ai ∈ RΠ.
Un Ejemplo sobre Π
RSea A el conjunto {1, 2}. Anteriormente vimos que en este conjunto hay exactamente 2 particiones, que son Π = {{1}, {2}} y
Π0= {{1, 2}}.
I ¿Qu´e relaci´on es RΠ? Es la relaci´on IdA. I ¿Qu´e relaci´on es RΠ0? Es la relaci´on A × A.
Sea A el conjunto {1, 2, 3}. Anteriormente vimos que en este conjunto hay exactamente 5 particiones, que son
Π1= {{1}, {2}, {3}}, Π2= {{1}, {2, 3}}, Π3 = {{2}, {1, 3}},
Π4= {{3}, {1, 2}} y Π5= {{1, 2, 3}}.
I ¿Qu´e relaci´on es RΠ1? Es la relaci´on IdA.
I ¿Qu´e relaci´on es RΠ2? Es la relaci´on IdA∪ {h2, 3i, h3, 2i}.
I ¿Qu´e relaci´on es RΠ3? Es la relaci´on IdA∪ {h1, 3i, h3, 1i}.
I ¿Qu´e relaci´on es RΠ4? Es la relaci´on IdA∪ {h1, 2i, h2, 1i}.
I ¿Qu´e relaci´on es RΠ5? Es la relaci´on A × A.
Otro Ejemplo sobre Π
RSea A el conjunto {1, 2, 3, 4}. Anteriormente vimos que en este conjunto hay exactamente 15 particiones. Para cada una de ellas escribimos la relaci´on asociada correspondiente (seguimos el mismo orden que en la diapositiva anterior donde las escribimos).
1 IdA,
2 IdA∪ {h3, 4i, h4, 3i}, 3 IdA∪ {h2, 4i, h4, 2i}, 4 IdA∪ {h2, 3i, h3, 2i},
5 IdA∪ {h2, 3i, h2, 4i, h3, 4i, h3, 2i, h4, 2i, h4, 3i}, 6 IdA∪ {h1, 4i, h4, 1i},
7 IdA∪ {h1, 3i, h3, 1i},
8 IdA∪ {h1, 3i, h1, 4i, h3, 4i, h3, 1i, h4, 1i, h4, 3i}, 9 IdA∪ {h1, 2i, h2, 1i},
10 IdA∪ {h1, 2i, h1, 4i, h2, 4i, h2, 1i, h4, 1i, h4, 2i}, 11 IdA∪ {h1, 2i, h1, 3i, h2, 3i, h2, 1i, h3, 1i, h3, 2i}, 12 IdA∪ {h1, 2i, h2, 1i} ∪ {h3, 4i, h4, 3i},
13 IdA∪ {h1, 3i, h3, 1i} ∪ {h2, 4i, h4, 2i}, 14 IdA∪ {h1, 4i, h4, 1i} ∪ {h2, 3i, h3, 2i}, 15 A × A.
Las relaciones de equivalencia en un conjunto y las
particiones en ese conjunto se determinan m´
utuamente
Hecho
Sea R una relaci´on de equivalencia en un conjunto A. Entonces la relaci´on RA/R es precisamente la relaci´on R (i.e., RA/R = R).
[¿Por qu´e? Porque hx , y i ∈ RA/R sii, existe X ∈ A/R tal que x ∈ X y y ∈ X sii, existe a ∈ A tal que x ∈ [a]R y y ∈ [a]R sii, existe a ∈ A tal que
hx, ai ∈ R y hy , ai ∈ R sii, hx, y i ∈ R. ]
Hecho
Sea Π una partici´on un conjunto A. Entonces la partici´on A/RΠ es
precisamente la partici´on Π (i.e., A/RΠ= Π).
[¿Por qu´e? Porque X ∈ A/RΠ sii, existe a ∈ A tal que X = [a]RΠ sii, existe
a ∈ A tal que X = {x ∈ A : hx , ai ∈ RΠ} sii, existe a ∈ A tal que
X = {x ∈ A : x est´a en la misma clase de Π que a} sii, X ∈ Π. ]
Las relaciones de equivalencia en un conjunto y las
particiones en ese conjunto se determinan m´
utuamente
Una Consecuencia Immediata
Sea A un conjunto. Entonces, hay tantas relaciones de equivalencia en A como particiones del conjunto A hay.
Por tanto, el n´umero de Bell n-´esimo tambi´en coincide con el n´umero de relaciones de equivalencia en un conjunto con n elementos.
Un tipo especial de relaciones: las funciones
Hay relaciones que tienen la peculiaridad de que ning´un objeto se relaciona con m´as de un objeto a la vez. As´ı pues, estas relaciones cumplen que el objeto b con el que se relaciona (si es que lo hay) a trav´es de R un objeto a queda totalmente determinado utilizando s´olo a y R.
En el lenguaje natural nos encontramos continuamente con relaciones de este tipo particular:
I la relaci´on {hx , y i : y es el alcalde de x } tiene dicha peculiaridad. Es precisamente dicha particularidad la que hace que no haya ninguna ambig¨uedad al usar una expresi´on como “el alcalde de Barcelona” (autom´aticamente sabemos que se refiere a Jordi Hereu).
I la relaci´on {hx , y i : y es el a˜no de nacimiento de x } tiene dicha peculiaridad. Es precisamente dicha particularidad la que hace que no haya ninguna ambig¨uedad al usar una expresi´on como “el a˜no de nacimiento de Ram´on y Cajal” (autom´aticamente sabemos que se refiere al a˜no 1852).
I . . .
Funciones
¿Qu´e es una funci´on?
Unafunci´on es una relaci´on R tal que para cualesquiera objetos a, b, c, se cumple que
si ha, bi ∈ R y ha, ci ∈ R, entonces b = c.
En otras palabras, una funci´on es una relaci´on R que cumple que para todo a ∈ dom(R) hay un ´unico objeto b tal que ha, bi ∈ R.
Usaremos las letras f , g , h, F , G , H para referirnos a funciones. Si f es una funci´on y a ∈ dom(f ), entonces denotaremosf (a) al ´
unico objeto b tal que ha, bi ∈ f . Es decir, para todo elemento a del dominio de f se cumple que,
f (a) = b sii ha, bi ∈ R.
Diremos que f (a) es el valor de f en el argumento ao el valor que f asigna al argumento a.
Algunos Ejemplos sobre Funciones
¿Es la relaci´on {h2, 3i, h2, 4i} una funci´on? No (porque se tiene que el 2 est´a relacionado con m´as de un objeto).
¿Es la relaci´on {ha, bi : a ∈ N y b ∈ N y b = a + 1} una funci´on? Si (porque se tiene que si b = a + 1 y c = a + 1 entonces b = c.). ¿Es la relaci´on {ha, bi : a ∈ N y b ∈ N y a = b + 1} una funci´on? Si (porque se tiene que si a = b + 1 y a = c + 1 entonces b = c.). ¿Es la relaci´on {ha, bi : a ∈ N y b ∈ N y a < b} una funci´on? No (porque se tiene que el 1 est´a relacionado tanto con el 2 como con el 3.).
Sea A un conjunto. ¿Es la relaci´on {ha, {a}i : a ∈ A} una funci´on? S´ı. Sea A un conjunto. ¿Es la relaci´on IdA (es decir, la relaci´on
{ha, ai : a ∈ A}) una funci´on? S´ı.
Igualdad entre Funciones
Sea f una funci´on. Entonces, por el principio de extensionalidad es evidente que
f = {ha, f (a)i : a ∈ dom(f )}.
Dicho de otra forma, para todo par de objetos a, b se cumple que ha, bi ∈ f sii a ∈ dom(f ) y f (a) = b.
Sea f una funci´on. Entonces, por el principio de extensionalidad es evidente que
rec(f ) = {f (a) : a ∈ dom(f )}.
Sean f y g dos funciones. Entonces, por el principio de extensionalidad es evidente que
f = g sii
dom(f ) = dom(g )
para todo a ∈ dom(f ), se cumple que f(a) = g(a). Por tanto, para definir una funci´on basta con (i) especificar su dominio, y (ii) decir que que valor asigna la funci´on a cada elemento del dominio.
Ejemplos de Funciones
Sea G la funci´on cuyo dominio es el conjunto A de las palabras y tal que para cada palabra p (i.e., p ∈ A) se cumple que G (p) es la primera letra de p. Resumiendo, G es la funci´on que asigna a cada palabra su primera letra.
Sea g la funci´on cuyo dominio es el conjunto A de los n´umeros naturales y tal que para cada n´umero natural n (i.e., n ∈ N) se cumple que g (n) es n3. Resumiendo, g es la funci´on que asigna a cada n´umero natural su cubo.
Sea h la funci´on cuyo dominio es el conjunto A de las palabras y tal que para cada palabra p (i.e., p ∈ A) se cumple que h(p) es el n´umero de letras que tiene la palabra p. Resumiendo, h es la funci´on que asigna a cada palabra el n´umero de letras que tiene dicha palabra.
M´
as Ejemplos de Funciones
Sea h1 la funci´on cuyo dominio es el conjunto {V , F } × {V , F } (i.e.,
el producto cartesiano consigo mismo del conjunto formado por los dos valores de verdad) y que a cada elemento ha, bi del dominio le asigna el valor de verdad de la f´ormula p ∨ q al interpretar p por el valor a y q por el valor b. Resumiendo, h1 es la funci´on
{hhV , V i, V i, hhV , F i, V i, hhF , V i, V i, hhF , F i, F i}.
Sea h2 la funci´on cuyo dominio es otra vez el conjunto
{V , F } × {V , F } y que a cada elemento ha, bi del dominio le asigna el valor de verdad de la f´ormula p → q al interpretar p por el valor a y q por el valor b. Resumiendo, h2 es la funci´on
Funci´
on de A en B
Una funci´on f es unafunci´on de A en B si adem´as de ser una funci´on cumple que dom(f ) = A y que para todo a ∈ A se tiene que
f (a) ∈ B. En otras palabras, f es una funci´on tal que dom(f ) = A y rec(f ) ⊆ B.
Usaremos la notaci´on f : A −→ B para indicar que f es una funci´on de A en B.
Varias Clases de Funciones
Una funci´on f esinyectiva si para cualesquiera a, b ∈ dom(f ), se cumple que
si f (a) = f (b) entonces a = b. En otras palabras,
si a 6= b entonces f (a) 6= f (b).
Una funci´on f se dice que essobre B si adem´as de ser funci´on se cumple que B ⊆ rec(f ). En otras palabras, f es una funci´on tal que para todo b ∈ B se cumple que existe a ∈ dom(f ) tal que f (a) = b. Una funci´on f esuna funci´on de A sobre B si adem´as de ser funci´on se cumple que dom(f ) = A y rec(f ) = B. En otras palabras, f es una funci´on tal que
I dom(f ) = A,
I para todo a ∈ A se cumple que f (a) ∈ B [i.e., rec(f ) ⊆ B],
I para todo b ∈ B se cumple que existe a ∈ A tal que f (a) = b [i.e., B ⊆ rec(f )].
Unabiyecci´on entre un conjunto A y un conjunto B es una funci´on de A sobre B que adem´as es inyectiva.
Algunos Ejemplos sobre las Clases anteriores
Sea Z el conjunto de los n´umeros enteros, i.e.,Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}. Consideramos la funci´on f que asigna a cada n´umero entero n su opuesto −n (en particular se tiene que f (−2) = 2, f (−1) = 1, f (0) = 0, f (1) = −1, f (2) = −2). Es evidente que es una funci´on de Z en Z. ¿Es inyectiva? S´ı (porque n´umeros diferentes tienen opuestos diferentes). ¿Es sobre Z? S´ı (porque todo n´umero entero es el opuesto de alg´un n´umero entero). ¿Es una biyecci´on entre Z y Z? S´ı.
Consideramos la funci´on g que asigna a cada n´umero entero n su cuadrado n2 (en particular se tiene que g (−2) = (−2)2= 4, g (−1) = (−1)2 = 1, g (0) = 0, g (1) = 12 = 1, g (2) = 22 = 4). Es evidente que g es una funci´on de Z en Z. ¿Es inyectiva? No (porque por ejemplo g (1) = g (−1) siendo el 1 y el −1 dos n´umeros
diferentes). ¿Es sobre Z? No (porque el n´umero −1 no es el cuadrado de ning´un n´umero entero). ¿Es sobre {0, 1, 2, . . .}? No (porque 2 no es el cuadrado de ning´un entero). ¿Es una biyecci´on entre Z y Z? No.
M´
as Ejemplos sobre las Clases anteriores
Sea A el conjunto de las personas. Consideramos la funci´on F que asigna a cada persona su madre. Es evidente que F es una funci´on de A en A. ¿Es inyectiva? No (porque hay personas diferentes con la misma madre). ¿Es sobre A? No (porque hay personas que no son la madre de nadie). ¿Es sobre el conjunto M de las mujeres? No (porque no toda mujer es madre de alguien). ¿Es una biyecci´on entre A y A? No.
Sea A el conjunto {Madrid, Barcelona, Valencia}. Consideramos la funci´on G que asigna a cada elemento de A su alcalde. De hecho, G = {hMadrid, Gallard´oni, hBarcelona, Hereui, hValencia, Barber`ai}. ¿Es inyectiva? S´ı(porque ciudades diferentes tienen alcaldes diferentes). ¿Es sobre el conjunto de los alcaldes de Espa˜na? No (porque por ejemplo el alcalde de Tarragona no es el alcalde ninguna de las ciudades pertenecientes a A). ¿Es sobre el conjunto {Gallard´on, Hereu, Barber`a}? S´ı(porque todo elemento de este conjunto es el alcalde de una de las ciudades pertenecientes a A). ¿Es una biyecci´on entre A y
Motivaci´
on de los lenguajes de Primer Orden
La l´ogica de enunciados s´olo es ´util para analizar la estructura de los enunciados compuestos formados a partir de otros m´as simples con ayuda de expresiones veritativo-funcionales.
Esto nos da una incapacidad de la l´ogica de enunciados para mostrar la correcci´on de argumentos como los siguientes:
I Todos los hombres son mortales, Juan es un hombre; por tanto, Juan es mortal.
I El planeta Marte tiene agua, Marte no es la Tierra; por tanto, alg´un planeta diferente de la Tierra tiene agua.
Para estudiar la correcci´on de argumentos como los anteriores necesitamos un lenguaje formal que nos permita representar la estructura de enunciados como los anteriores. Y no queremos perder tampoco el poder de representaci´on que ya ten´ıamos en la l´ogica de enunciados.
Motivaci´
on de los Lenguajes de Primer Orden
Por tanto, nuestro nuevo lenguaje tendr´a que permitirnos al menos utilizar expresiones del tipo de:
1 Nombres propios: Juan, Marte, la Tierra, etc. Los nombres propios son
expresiones para referirnos a un objeto determinado.
2 Predicados (propiedades): ser mortal, ser humano, contener agua, etc.
Los predicados expresan propiedades de un cierto objeto.
3 Relacionales: ser hijo de, es mayor que, ser trillizos, etc. Los relaciones
son expresiones que utilizamos para indicar que un objeto est´a relacionado de alg´un modo con otro.
4 la relaci´on de identidad: “es igual a”.
5 Cuantificadores: “todos”, “algunos”. Los cuantificadores son
expresiones que utilizamos para hablar de la totalidad o de una parte de un conjunto de objetos.
Motivaci´
on de los Lenguajes de Primer Orden
Los seis elementos anteriores son exactamente los presentes en los lenguajes de primer orden.
No hay un s´olo lenguaje de primer orden sino una familia de lenguajes de primer orden.
Todos los lenguajes de primer orden tienen en com´un los tres ´ultimos elementos de la lista anterior.
Simplemente se diferencian en los tres primeros elementos, dependiendo del ´ambito de la realidad del que queramos hablar conviene tener unos u otros nombres propios, predicados y relacionales.
Los Lenguajes de Primer Orden
Todos los lenguajes de primer orden tienen en com´un los s´ımbolos siguientes:
1 Variables: x , y , z, . . . , x1, x2, . . . (hay infinitas).
2 Conectivas: ∧, ∨, →, ↔, ¬.
3 Cuantificadores: ∀ (cuantificador universal), ∃ (cuantificador
existencial).
4 S´ımbolo de igualdad: ≈.
5 Par´entesis: ), (.
Las conectivas, los cuantificadores y el s´ımbolo de igualdad son los s´ımbolos l´ogicos del lenguaje. Y los par´entesis son loss´ımbolos auxiliares del lenguaje.
Todo lenguaje de primer orden est´a caracterizado por los s´ımbolos que tiene adem´as de los comunes. Estos s´ımbolos, llamados s´ımbolos propios, son de tres tipos (y s´olo de uno de ellos):
1 Constantes individuales: c, d , e, . . . , c1, c2, . . . 2 S´ımbolos de predicado: P, Q, P1, P2, . . ..
3 S´ımbolos relacionales: R, S , T , R1, R2, . . . Cada s´ımbolo relacional tiene
asociado un n´umero natural ≥ 2 que indica el tipo de relaci´on que puede expresar (binaria, ternaria, etc.).
Los Lenguajes de Primer Orden
Para identificar un lenguaje de primer orden basta con decir cu´ales son sus s´ımbolos propios, es decir, (i) cu´ales son sus constantes, (ii) cu´ales son sus s´ımbolos de predicado, y (iii) cu´ales son sus s´ımbolos
relacionales (indicando el n´umero asociado a cada s´ımbolo relacional).
Ejemplos de lenguajes de primer orden
L≈ es el que no tiene s´ımbolos propios (lenguaje puro de la identidad). El que tiene una constante individual c y un s´ımbolo relacional ternario R.
L1 es el que tiene dos constantes individuales c, d , un s´ımbolo de
predicado P, un s´ımbolo relacional binario R y un s´ımbolo relacional ternario S .
F´
ormulas de un lenguaje de Primer Orden
Sea L un lenguaje de primer orden.Unaexpresi´ondel lenguaje L es una sucesi´on finita de s´ımbolos de L. Unt´ermino del lenguaje L es una variable o una constante de L. Unaf´ormula at´omica del lenguaje L es una expresi´on de alguna de las tres formas siguientes:
1 t ≈ t0 donde t, t0 son t´erminos del lenguaje L.
2 Pt donde P es un s´ımbolo de predicado de L y t es un t´ermino de L. 3 Rt1. . . tn donde R es un s´ımbolo relacional n-ario de L y t1, . . . , tn son
t´erminos de L.
Unaf´ormula del lenguaje L es una expresi´on que se obtiene de acuerdo a alguna de las reglas siguientes:
1 Toda f´ormula at´omica de L es una f´ormula de L.
2 Si α, β son f´ormulas tambi´en lo son (α ∧ β), (α ∨ β), (α → β),
(α ↔ β) y ¬α.
3 Si α es una f´ormula y x es una variable, ∀x α y ∃x α son f´ormulas.
Omitiremos los par´entesis exteriores de las f´ormulas (como en el caso proposicional), y usaremos α, β, . . . para referirnos a las f´ormulas.
Ejemplos de f´
ormulas en un lenguaje de Primer Orden
Ejemplo en los lenguajes L≈ y L1 anteriores
Expresi´on T´ermino F´ormula At´omica F´ormula
x ), No No No No (y ∀ S´ı No No No x S´ı S´ı No No c No/S´ı No/S´ı No No (x ≈ y ) S´ı No No No y ≈ x S´ı No S´ı S´ı ∀cx ≈ c No/S´ı No No No ∀yx ≈ y S´ı No No S´ı
Px No/S´ı No No/S´ı No/S´ı
Rxy No/S´ı No No/S´ı No/S´ı
Px ∧ ¬Rxy No/S´ı No No No/S´ı
Ejemplos de f´
ormulas en un lenguaje de Primer Orden
Ejemplos de f´ormulas at´omicas (se sobreentiende el lenguaje) x ≈ y , x ≈ c, Pc, Rxy , Rdy , Rcd , etc.
Ejemplos de f´ormulas no at´omicas (se sobreentiende el lenguaje) ¬x ≈ y , ¬Px, Px → Rxy , Px ∧ ¬Qy , ∀xPx, ∀x¬Px,
Diversos Tipos de F´
ormulas
Unaconjunci´on es una f´ormula de primer orden de la forma (α ∧ β). Unadisyunci´ones una f´ormula de primer orden de la forma (α ∨ β). Uncondicional es una f´ormula de primer orden de la forma (α → β). Unbicondicionales una f´ormula de primer orden de la forma (α ↔ β). Unanegaci´ones una f´ormula de primer orden de la forma ¬α.
Unacuantificaci´on universal es una f´ormula de primer orden de la forma ∀x α.
Unacuantificaci´on existenciales una f´ormula de primer orden de la forma ∃x α.
Toda f´ormula de primer orden es o bien una conjunci´on, o una diyunci´on, o un condicional, o un bicondicional, o una negaci´on, o una cuantificaci´on universal, o una cuantificaci´on existencial, o una f´ormula at´omica.
Justificaci´
on de porqu´
e una expresi´
on es una f´
ormula
Al igual que en el caso proposicional podemos asociar a cada f´ormula de un lenguaje de primer orden su ´arbol geneal´ogico, que describe la construcci´on o generaci´on de la f´ormula de acuerdo a las reglas anteriores. Por ejemplo,El ´arbol geneal´ogico de ∀x ∃y (Px ∧ Rxy ) → ¬Rxc es
Px Rxy Px ∧ Rxy ∃y (Px ∧ Rxy ) ∀x∃y (Px ∧ Rxy ) Rxc ¬Rxc ∀x∃y (Px ∧ Rxy ) → ¬Rxc
El ´arbol geneal´ogico de ∀x (Px → ∃yRxy ) → ∀x (∃yRxy → ¬Qx ) es
Px Rxy ∃yRxy Px → ∃yRxy ∀x(Px → ∃yRxy ) Rxy ∃yRxy Qx ¬Qx ∃yRxy → ¬Qx ∀x(∃yRxy → ¬Qx) ∀x(Px → ∃yRxy ) → ∀x(∃yRxy → ¬Qx) Los ´arboles geneal´ogicos permiten justificar que se es una f´ormula.
Subf´
ormulas
Las subf´ormulasde una f´ormula son las f´ormulas que aparecen en su ´
arbol geneal´ogico, incluida la propia f´ormula.
Por ejemplo, ∀x ∃y (Px ∧ Rxy ) → ¬Rxc tiene 8 subf´ormulas, y ∀x(Px → ∃yRxy ) → ∀x(∃yRxy → ¬Qx) tiene 10 subf´ormulas seg´un lo que hemos visto en la anterior diapositiva.
¿Cu´ales son la subf´ormulas de la f´ormula ∀y ∀x ((x ≈ y ∧ Px ) → Py )? Para responder a esta pregunta comenzamos construyendo el ´arbol geneal´ogico de esta f´ormula, el cual es
x ≈ y Px
(x ≈ y ∧ Px ) Py ((x ≈ y ∧ Px ) → Py ) ∀x((x ≈ y ∧ Px) → Py ) ∀y ∀x((x ≈ y ∧ Px) → Py )
Por tanto, hay siete subf´ormulas que son: x ≈ y , Px , (x ≈ y ∧ Px ), Py , ((x ≈ y ∧ Px ) → Py ), ∀x ((x ≈ y ∧ Px ) → Py ) y
∀y ∀x((x ≈ y ∧ Px) → Py ).
M´
as Ejemplos de Subf´
ormulas
¿Cu´antas subf´ormulas tiene la f´ormula ∀xPx → ∃xPx y cu´ales son? Para responder a esta pregunta comenzamos construyendo el ´arbol geneal´ogico de esta f´ormula, el cual es
Px ∀xPx
Px ∃xPx ∀xPx → ∃xPx
Por tanto, hay cuatro subf´ormulas que son: Px , ∀xPx , ∃xPx y ∀xPx → ∃xPx.
¿Cu´antas subf´ormulas tiene la f´ormula ∀x (Px → ∃xPx ) y cu´ales son? Para responder a esta pregunta comenzamos construyendo el ´arbol geneal´ogico de esta f´ormula, el cual es
Px
Px ∃xPx Px → ∃xPx ∀x(Px → ∃xPx)
Por tanto, hay cuatro subf´ormulas que son: Px , Px → ∃xPx , ∃xPx y ∀x(Px → ∃xPx).
Variables libres y ligadas
Unacuantificaci´on ligada a una variable x es una f´ormula de la forma ∀xα o de la forma ∃xα (donde α es otra f´ormula).
Una aparici´on de una variable x en una f´ormula α es ligadasi aparece en una subf´ormula de α que es una cuantificaci´on ligada a x . Es decir, sii dicha aparici´on de la variable x est´a bajo el alcance de una cuantificaci´on de la forma ∀x o ∃x .
Una aparici´on de una variable x en una f´ormula α es libresi no es ligada. Es decir, sii dicha aparici´on de la variable x no est´a bajo el alcance de ninguna cuantificaci´on de la forma ∀x o ∃x .
Es evidente que toda aparici´on de una variable en una f´ormula es o bien libre o bien ligada.
Ejemplos sobre Variables libres y ligadas
Indicar con las apariciones de variables que son ligadas, y con las apariciones de variables que son libres en las siguientes f´ormulas.
∀x(Px → Rxy ) → (∃yPy → Rxz). ∀x(Px → Rxy ) → (∃y Py → Rxz).
∀z∀x(Px → x ≈ y ) ∧ Qz. ∀z∀x(Px → x ≈ y ) ∧ Qz. ∀x(Px → ∃yRxy ) → ∀x(∃yRxy → ¬Qx).
∀x(Px → ∃y Rxy ) → ∀x(∃y Rxy → ¬Qx).
Sentencias y F´
ormulas Abiertas
Una variable x est´a libreen una f´ormula α si hay alguna aparici´on libre de la variable x en la f´ormula α. Es decir, si hay una aparici´on de x en α que no aparece bajo el alcance de ning´un cuantificador de la forma ∀x o ∃x .
Escribiremos α(x1, . . . , xn) para denotar a una formula α tal que sus
variables libres est´an entre (no tienen porque ser exactamente) x1, . . . , xn.
Una f´ormula con una o m´as variables libres es una f´ormula abierta. Algunos ejemplos de f´ormulas abiertas son ¬c ≈ y , Px →
Rx y , ∀x ∃yRxy → Rx x , ∀x (∃y (Px ∧ Rxy ) → ¬Rzx ), . . .
Toda f´ormula sin variables libres es una sentencia(o una f´ormula cerrada), y las denotaremos σ, δ, . . .. Algunos ejemplos de sentencias son
¬c ≈ d , Pc → Rcc, ∀x∀y (Px → Rxy ), ∀x(∃y (Px ∧ Rxy ) → ¬Rxc), . . .
Sem´
antica
Antes hemos introducido la sintaxis de los lenguajes de primer orden. Ahora prestamos atenci´on a susem´antica, es decir, vamos a decir c´omo se les atribuye significado a los lenguajes de primer orden (hasta ahora s´olo son s´ımbolos sint´acticos).
Recordemos para identificar un lenguaje de primer orden basta con decir cu´ales son sus s´ımbolos propios, es decir, (i) cu´ales son sus constantes, (ii) cu´ales son sus s´ımbolos de predicado, y (iii) cu´ales son sus s´ımbolos relacionales (indicando el n´umero asociado a cada s´ımbolo relacional).
Desde un punto de vista intuitivo, para interpretar un lenguaje de primer orden L debemos hacer dos cosas:
1 Fijar un conjunto A no vac´ıo de objetos (los elementos del discurso). 2 Interpretar cada uno de los s´ımbolos propios del lenguaje L, es decir,
F asignar a cada constante un elemento del conjunto A.
F asignar a cada s´ımbolo de predicado un subconjunto (puede ser vac´ıo) de A.
F asignar a cada s´ımbolo relacional n-ario una relaci´on n-aria (puede ser vac´ıa) en A.
Estructuras
Definici´on
Unaestructura para un lenguaje de primer orden L consiste en un par ordenado A = hA, F i donde
1 A es un conjunto no vac´ıo llamado eluniverso(odominio) de la
estructura.
2 F es una regla que asigna un objeto a cada s´ımbolo propio de L
cumpliendo las condiciones siguientes:
I 2.1. si c es una constante de L, la regla le asigna un elemento de A, al que denotamos cAy llamamos lainterpretaci´on (denotaci´on) de c en A.
I 2.2. si P es un s´ımbolo de predicado de L, la regla le asigna un subconjunto de A, al que denotamos PAy llamamos lainterpretaci´on
de P en A.
I 2.3. si R es un s´ımbolo relacional n-ario de L, la regla le asigna una relaci´on n-aria en A, a la que denotamos RAy llamamos la
interpretaci´on de R en A.
Usaremos los nombres A, B, C, . . . para referirnos a las estructuras.
Ejemplos de Estructuras
Consideramos otra vez el lenguaje L1 de antes. Una estructura para
este lenguaje es por ejemplo
A = hA, cA, dA, PA, RA, SAi,
donde A es el conjunto de los objetos celestes del sistema solar, cA es la Tierra, dA es la Luna, PA es el conjunto de los planetas, RA es la relaci´on “ser sat´elite de” entre objetos celestes del sistema solar y SA es la relaci´on vac´ıa.
Otra estructura para ese mismo lenguaje es B = hB, cB, dB, PB, RB, SBi,
donde B es el conjunto de los n´umeros naturales (i.e.,
B = {1, 2, 3, . . .}), cB es el n´umero 5, dB es el n´umero 1, PB es el conjunto de los n´umeros pares, RB es la relaci´on “ser menor estricto que” entre n´umeros naturales y SB es la relaci´on
M´
as Ejemplos de Estructuras
Otro ejemplo m´as de estructura para el lenguaje L1 es
C = hC , cC, dC, PC, RC, SCi,
donde C = {1, 2, 3, 4}, cC = 2, dC = 1, PC = {1, 2},
RC = {h1, 3i, h1, 1i, h3, 2i} y SC = {h1, 1, 3i, h2, 1, 4i, h3, 2, 1i}.
Algunas Observaciones sobre las Estructuras
El universo de una estructura nunca es vac´ıo.
Es posible que la interpretaci´on de un s´ımbolo de predicado o de un s´ımbolo relacional sea el conjunto vac´ıo. Esto es as´ı para poder hablar de propiedades y relaciones que no posee ning´un objeto del universo de la estructura.
Es obvio que un lenguaje de primer orden puede interpretarse en distintas estructuras.
Sentencias Verdaderas en una Estructura
Una estructura para un lenguaje de primer orden nos proporciona la interpretaci´on de los s´ımbolos propios del lenguaje.
Para determinar el valor de verdad de las sentencias (de un lenguaje de primer orden) debemos fijar tambi´en el significado de los s´ımbolos no propios.
¿Cu´al es el significado de los s´ımbolos no propios? Desde un punto de vista intuitivo se tiene que el significado de
I las conectivas ∧, ∨, →, ↔, ¬ es el mismo que en la l´ogica proposicional.
I el cuantificador universal ∀ se lee “para todo objeto del dominio de la estructura”.
I el cuantificador existencial ∃ se lee “para alg´un objeto del dominio de la estructura”.
I el s´ımbolo de igualdad ≈ es la relaci´on de identidad (igualdad).
Dada una sentencia σ y una estructura A autom´aticamente queda determinado si la sentencia σ esverdadera en la estructura A (escribiremos A |= σ) o si por contra la sentencia σ esfalsa en la estructuraA (escribiremosA 6|= σ).
Ejemplo sobre la verdad/falsedad de Sentencias
Consideramos otra vez las estructuras A, B, C de antes. Clasificar las siguientes sentencias seg´un sean verdaderas o falsas.
A B C Pc V F V ¬Pd V V F ∀x∀y ((Px ∧ Py ) → x ≈ y ) F F F ∃xRxx F F V ∃xRdx V V V ∃xRxd F F V ∃x∃yRxy V V V ∀x(Px → ∃yRyx) F V V ∃x∀y (¬x ≈ y → Rxy ) F V F ∃x∃ySxyx F V F ∀x∃yRxy F V F ∃x∀yRxy F F F Rxd ? ? ? ∀y (¬x ≈ y → Rxy ) ? ? ?
Otro Ejemplo sobre la verdad/falsedad de Sentencias
Consideramos el lenguaje de primer orden que tiene un s´ımbolo de constantes c, dos s´ımbolos de predicado P, Q y un relacional binario R. Sobre este lenguaje consideramos la estructuraA = hA, cA, PA, QA, RAi,
donde A es el conjunto de los n´umeros naturales (i.e., A = {1, 2, 3, . . .}), cA es el n´umero 1, PA es el conjunto de los n´umeros pares, QA es el conjunto de los n´umeros impares y RA es la relaci´on “ser menor estricto que”. Entonces,
La sentencia ∀x (Px ∨ Qx ) expresa que todo n´umero natural es par o impar. Y por tanto, es verdadera en esta estructura A.
La sentencia ∀y (Py ∨ Qy ) expresa lo mismo que la anterior; luego es verdadera en A.
La sentencia ∀x (Px ↔ ¬Qx ) expresa que todo n´umero natural es par sii no es impar. Y por tanto, es verdadera en A.
Otro Ejemplo sobre la verdad/falsedad de Sentencias
(cont.)La sentencia ∃xRxx expresa que hay alg´un n´umero natural que es menor estricto que si mismo. Y por tanto, es falsa en A.
La sentencia ∀xRcx expresa que el 1 es menor estricto que todo n´umero natural, i.e., que todo n´umero natural es mayor estricto que el 1. Y por tanto, es falsa en A.
La sentencia ∀x (Rcx ∨ x ≈ c) expresa que todo n´umero natural es o bien mayor estricto que el 1 o bien el n´umero 1. Y por tanto, es verdadera en A.
La sentencia ∀x ∃yRxy expresa que todo n´umero natural tiene uno estrictamente mayor. Y por tanto, es verdadera en A. Y lo mismo es expresado por ∀y ∃xRyx .
La sentencia ∀x ∃yRyx expresa que todo n´umero natural tiene uno estrictamente menor. Y por tanto, es falsa en A.
Otro Ejemplo sobre la verdad/falsedad de Sentencias
(cont.)La sentencia ∀x ∀y (Rxy ∨ Ryx ) expresa que dados dos n´umeros naturales o bien el primero es estrictamente menor que el segundo o bien el segundo es estrictamente menor que el primero. Y por tanto, es falsa en A.
La sentencia ∀x (Px → ∃y (Qy ∧ Rxy )) expresa que para todo n´umero natural si es par entonces hay un n´umero impar estrictamente mayor que ´el, i.e., todo n´umero par tiene un impar estrictamente mayor. Y por tanto, es verdadera en A.
La sentencia ∀x (Px → ∃y (Qy ∧ Ryx )) expresa que para todo n´umero natural si es par entonces hay un n´umero impar estrictamente menor que ´el, i.e., todo n´umero par tiene un impar estrictamente menor. Y por tanto, es verdadera en A.
La sentencia ∀x (Qx → ∃y (Py ∧ Ryx )) expresa que para todo n´umero natural si es impar entonces hay un n´umero par estrictamente menor que ´el, i.e., todo n´umero impar tiene un par estrictamente menor. Y por tanto, es falsa en A.
Otro Ejemplo sobre la verdad/falsedad de Sentencias
Consideramos la estructura (en el lenguaje de primer orden del ejemplo anterior)B = hB, cB, PB, QB, RBi,
donde B es el conjunto {1, 2, 3, 4}, cB = 1, PB = {1, 2, 3}, QB = {2, 4} y RB = {h1, 2i, h2, 3i, h3, 3i}. Entonces,
La sentencia ∃x (Px ∧ Qx ) es verdadera (puesto que 2 ∈ PB y 2 ∈ QB). La sentencia ∃xRcx es verdadera (puesto que 1 est´a relacionado por RB
con alg´un objeto ya que h1, 2i ∈ RB).
La sentencia ∃yRyc es falsa (puesto que ning´un objeto est´a relacionado por RB con 1). Y los mismo para ∃xRxc.
La sentencia ∀x (Px ∨ Qx ) es verdadera (puesto que todos los elementos del dominio o bien pertencen a PB o a QB).
La sentencia ∃x (¬Qx ∨ c ≈ x ) es verdadera (puesto que el condicional ¬Qx ∨ c ≈ x es verdadera si interpretamos x como 3).
La sentencia ∃x (Qx → c ≈ x ) es verdadera(puesto que el condicional Qx → c ≈ x es verdadera si interpretamos x como 3).
Otro Ejemplo sobre la verdad/falsedad de Sentencias
(cont.)La sentencia ∀xPx ∨ ∀xQx es falsa (puesto que ni todos los objetos pertenecen a PB ni todos los objetos pertenecen a QB).
La sentencia ∀x ∃yRxy es falsa (puesto que 4 no est´a relacionado por RB con ning´un objeto).
La sentencia ∃y ∀x ¬Rxy es verdadera (puesto que ning´un objeto est´a relacionado por RB con 1, i.e., puesto que ∀x ¬Rxy es verdadera si interpretamos y como 1).
La sentencia ∀x (Px → ∃yRxy ) es verdadera (puesto que todos los elementos de PB est´an relacionados por RB con alg´un objeto). La sentencia ∀x ∀y ∀z((Rxy ∧ Rxz) → y ≈ z) es verdadera (puesto que la relaci´on RB es una funci´on).
La sentencia ∀xPx → ∃xPx es verdadera (puesto que el segundo miembro del condicional es verdadero).
Verdad L´
ogica
Hasta ahora hemos hablado de la noci´on de verdad en una estructura. Conviene remarcar que no se puede hablar del valor de verdad de una sentencia, puesto que una sentencia admite significados diferentes en estructuras diferentes.
Una sentencia de un lenguaje de primer orden L es una verdad l´ogica si es verdadera en toda estructura para L. Las verdades l´ogicas tambi´en son llamadas sentencias universalmente v´alidaso l´ogicamente v´alidas.
Todas las sentencias que tienen forma de una tautolog´ıa
(proposicional) son verdades l´ogicas. Este tipo de sentencias son verdades l´ogicas en virtud de la sem´antica de las conectivas. As´ı pues, la sentencia (∃xPx ∧ ∀xQx ) → ∀xQx es una verdad l´ogica, puesto que es de la forma (α ∧ β) → β, la cual es una tautolog´ıa. An´alogamente, utilizando que α → (α ∨ β) es una tautolog´ıa, resulta que la sentencia ∃xPx → (∃xPx ∨ ∀xQx) tambi´en es una verdad l´ogica.
M´
as sobre la Verdad L´
ogica
Otros ejemplos de verdades l´ogicas que se pueden justificar por la misma raz´on anterior (ser tautolog´ıas proposicionales) son
(∀x x ≈ c → ∃yPy ) ↔ (¬∀x x ≈ c ∨ ∃yPy ), (Pc → ∀xPx ) ∨ (∀xPx → Pc), etc.
Ejemplos de verdades l´ogicas en base a un motivo diferente (porque no son tautolog´ıas proposicionales) son por ejemplo
I ∀x x ≈ x,
I ∀x∀y (x ≈ y → y ≈ x),
I ∀x∀y ∀z((x ≈ y ∧ y ≈ z) → x ≈ z). I ∀x∀y ((x ≈ y ∧ Px) → Py ),
Las tres primeras sentencias esencialmente est´an afirmando que la relaci´on de igualdad es una relaci´on de equivalencia, es decir, que es reflexiva, sim´etrica y transitiva. Y la cuarta sentencia expresa que objetos identicos cumplen las mismas propiedades.
M´
as sobre la Verdad L´
ogica (cont.)
M´as ejemplos de verdades l´ogicas son I ∀x(Px → Px), I ∀xPx → Pc, I Pc → ∃xPx , I ∀xPx → ∃xPx, I ∀x(Px → Qx) → (∀x(Qx → Rx) → ∀x(Px → Rx)), I ∀x(Px → Qx) → (∀xPx → ∀xQx), I ∀x(Px → Qx) → (∃xPx → ∃xQx), I ∃x(Px → ∀yPy ),
I ∃x∀yRxy → ∀y ∃xRxy , I etc.