MPES_U1_EA

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Procesos estocásticos

Unidad 1. Introducción a los

procesos estocásticos

Evidencia de aprendizaje.

Construcción de procesos

estocásticos

qwertyuiopasdfghjklzxcvbn

mqwertyuiopasdfghjklzxcv

bnmqwertyuiopasdfghjklzx

cvbnmqwertyuiopasdfghjkl

zxcvbnmqwertyuiopasdfghj

klzxcvbnmqwertyuiopasdfg

hjklzxcvbnmqwertyuiopasd

fghjklzxcvbnmqwertyuiopa

sdfghjklzxcvbnmqwertyuio

pasdfghjklzxcvbnmqwertyu

iopasdfghjklzxcvbnmqwert

yuiopasdfghjklzxcvbnmqwe

rtyuiopasdfghjklzxcvbnmq

wertyuiopasdfghjklzxcvbn

mqwertyuiopasdfghjklzxcv

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Procesos estocásticos

Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos

INTRODUCCIÓN

Un proceso estocástico es un concepto matemático que sirve para caracterizar Un proceso estocástico es un concepto matemático que sirve para caracterizar una sucesión de variables aleatorias (estocásticas) que evolucionan en función de una sucesión de variables aleatorias (estocásticas) que evolucionan en función de otra variable, generalmente el tiempo. Cada una de las variables aleatorias del otra variable, generalmente el tiempo. Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de probabilidad y, entre ellas, proceso tiene su propia función de distribución de probabilidad y, entre ellas, pu

puedeeden n esestatar r corcorrerelalaciciononadadas as o o nono. . CaCada da vavaririablable e o o coconjnjununto to de de vavariariablbleses sometidas a influencias o efectos aleatorios constituye un proceso estocástico. sometidas a influencias o efectos aleatorios constituye un proceso estocástico. dentificar las propiedades que deben tener las variables aleatorias que forman un dentificar las propiedades que deben tener las variables aleatorias que forman un proceso estocástico para determinar si es de incrementos independientes, de proceso estocástico para determinar si es de incrementos independientes, de !ar"ov y estacionario, es parte del aprendizaje de unidad.

!ar"ov y estacionario, es parte del aprendizaje de unidad.

Evidencia de aprendizae. Construcción de un

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Procesos estocásticos

Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos

Instrucciones Instrucciones

Una part#cula se encuentra en un

Una part#cula se encuentra en un punto al que punto al que identiidentificarficaremos con el emos con el origenorigen

de la recta num$rica. Con probabilidad

de la recta num$rica. Con probabilidad p p avanza una unidad %acia la derec%a avanza una unidad %acia la derec%a

y con probabilidad

y con probabilidad q = 1 - pq = 1 - p lo %ace %acia la izquierda. &ea lo %ace %acia la izquierda. &ea X X nn el punto donde el punto donde se encuentra la part#cula despu$s de

se encuentra la part#cula despu$s de nn pasos. pasos.

'ste proceso se conoce como

'ste proceso se conoce como ca!inata aleatoriaca!inata aleatoria oo recorrido aleatorio.recorrido aleatorio. &e&e

ppuueedde e ppeennssaar r aa X X nn cocomo mo ununa a susuma ma de de vavaririabableles s inindedepependndieientntes es ee id$nticamente distribuidas

id$nticamente distribuidas Y Y i i que indican que indican lo ocurrido lo ocurrido en cada en cada pasopaso 1 1 1 1 ii si

si enen el el pasopaso ii hayhay unun movimientomovimiento aa lala derechaderecha Y

Y

si

si enen el el pasopaso ii hayhay unun movimientomovimiento aa lala izquierdaizquierda

 = =   − − 

Con distribución de probabilidad comn dada por Con distribución de probabilidad comn dada por

(

( _{i i} )11) ,, (( _ii 11)) 11

P

P Y Y = = = = p p P P Y Y = = − − = = − − =p p q= q

.. Usando lo anterior, las variables de la caminata aleatoria son Usando lo anterior, las variables de la caminata aleatoria son

0 0 1 1 22 0 0 ... 00.. n n nn X X X X Y Y Y Y Y Y para para nn = = = = ++ ++ ++ >>

*ecursivamente, la relación anterior se escribe como *ecursivamente, la relación anterior se escribe como

0 0 0 0 n n n n 11 nn 0,0, X X == y y X X == X X ₋₋ ++Y para Y para nn >> + bien, + bien, 0 0 0 0 n n n n 11 nn 0.0. X X == y y X X −−X X −− ==Y para Y para nn >> a"

a" emuestra queemuestra que { { }} X X nn

es un proceso con incrementos independientes. es un proceso con incrementos independientes. &e dice que un proceso

&e dice que un proceso

{{

Y Y t t ::tt ≥≥00

}}

tiene incrementos independientes si tiene incrementos independientes si

ppaarra a ccuuaalleessqquuiieerra a ttiieemmppooss 00≤≤t t 11<<t t 22<<……<<t t _n_n , , llaas s vvaarriiaabblleess

Y

Y _t t_1,_1,Y Y _t t₂₂−−Y Y _t t_1,_1,_…_…Y Y _tn_tn−−Y Y _tn_tn₋₋₁₁ _{son independientes.}_{son independientes.}

#"

#" emuestra queemuestra que { { }} X X nn

es un proceso de !ar"ov. es un proceso de !ar"ov.

ado que estas probabilidades no dependen de n, se dice que son ado que estas probabilidades no dependen de n, se dice que son %omog$neas en el tiempo, es decir, son las mismas para cualquier valor %omog$neas en el tiempo, es decir, son las mismas para cualquier valor de n. - partir de estas consideraciones, es intuitivamente claro que este de n. - partir de estas consideraciones, es intuitivamente claro que este

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Procesos estocásticos

Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos

proceso cumple la propiedad de !ar"ov, es decir, el estado futuro del proceso cumple la propiedad de !ar"ov, es decir, el estado futuro del proceso depende nicamente del estado presente y no de los estados proceso depende nicamente del estado presente y no de los estados previamente visitados.

previamente visitados. 'n un

'n un procproceso a eso a tietiempo discmpo discretretoo

{{

X X nn

}}

, escribimos la propiedad de, escribimos la propiedad de

!ar"ov de la siguiente forma !ar"ov de la siguiente forma

P

((

X X _n_n== x x_n_n

||

X X 00== x x00,, X X 11== x x11…… X X _n_n−−11== x x_n_n−−11

))

P

P(( X X nn== x xnn∨∨ X X nn−−11== x xnn−−11)) X X nn−− x xnn−−11==Y Y _n_n

P

((

Y Y _n_n== x x_n_n−− x x_n_n₋₋11

||

Y Y 11== x x11,, Y Y 11== x x11,,Y Y 22== x x22−− x x11…… Y Y _n_n−−11== x x_n_n−−11−− x x_n_n−−22

))

P

P((Y Y _n_n== x x_n_n−− x x_n_n−−11)) P P(( X X _n_n−− x x_n_n−−11== x x_n_n−− x x_n_n−−11)) P P(( X X _n_n== x x_n_n−−11∨∨ X X _n_n−−11== x x_n_n−−11))

c"

c" emuestra queemuestra que { { }} X X nn

es un proceso con incrementos estacionarios. es un proceso con incrementos estacionarios. &e dice que un proceso

&e dice que un proceso

{{

X X t t ::t ≥t ≥00

}}

tiene incrementos estacionarios si tiene incrementos estacionarios si

pa

para ra cucualalesesququieiera ra titiemempospos ss<<00 , y , y papara ra cucualalququieierr hh>>00 , , llaass vvaarriiaabblleess X X t t ++hh−− X X ss++hh y y X X t t −− X X ss ttieienenen n lla a mimissma ma didiststriribubuccióión n ddee

probabilidad. 's decir, el incremento que sufre el proceso entre los probabilidad. 's decir, el incremento que sufre el proceso entre los tiempos s y t sólo depende de estos tiempos a trav$s de la diferencia t  tiempos s y t sólo depende de estos tiempos a trav$s de la diferencia t  s, y no de los valores espec#ficos de s y t.

s, y no de los valores espec#ficos de s y t. d"

d" &i el siguiente elemento del espacio muestral representa una colección&i el siguiente elemento del espacio muestral representa una colección de valores tomados por las

de valores tomados por las variabvariablesles Y´sY´s, dibuja la trayectoria muestral, dibuja la trayectoria muestral

correspondiente correspondiente

/ 0 (12,12,2,12,2,2,2,2,12,3). / 0 (12,12,2,12,2,2,2,2,12,3).

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Procesos estocásticos

Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos

e"

e" Calcula la esperanza y la varianza deCalcula la esperanza y la varianza de X X nn e interpreta su ve interpreta su valor cuandoalor cuando p p

> q

> q, cuando, cuando p < q p < q y cuando y cuando p = q p = q..

Una caminata aleatoria puede tambi$n definirse de la forma siguiente Una caminata aleatoria puede tambi$n definirse de la forma siguiente &ea 42, 45, . Una sucesión de variables aleatorias independientes e &ea 42, 45, . Una sucesión de variables aleatorias independientes e id$nticamente

id$nticamente distribuidas distribuidas tales tales que que 6(4 6(4 0 0 72) 72) 0 0 p p y y 6(4 6(4 0 0 2) 2) 0 0 q, q, enen donde, como antes, p 7 q 0 2. 'ntonces para t 8 2 se define

donde, como antes, p 7 q 0 2. 'ntonces para t 8 2 se define

X

X _n_n== X X 00++ξξ11++……++ξξnn..

6ara cualquier entero

6ara cualquier entero nn ≥≥0,0,

2. 2. EE

((

X X nn

))

==nn(( p p−−qq)).. E E

((

X X _n_n

))

==

∑

ii==11 n n E E

((

ξξ_ii

))

==nEnE((ξξ))==nn(( p p−−qq)) E

E

((

ξξ22

))

== p p++qq==11 y y EE((ξξ))== p p−−qq

5. 5. VVarar

((

X X nn

))

==44npqnpq .. V Varar((ξξ))==11−−((_p_p−−_q_q))22==44_pq_{pq ..} V Varar

((

X X _n_n

))

==

∑

ii==11 n n V Varar

((

ξξ_ii

))

==nn V Varar((ξξ))==44npqnpq

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Procesos estocásticos

Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos

&i

&i p p>>qq ,, 's

's dedeccirir, , si si la la cacamiminanatta a totoma ma ppasasos os a a la la dederrecec%a %a cocon n mamayyor or probabilidad, entonces el estado promedio despu$s de n pasos es un probabilidad, entonces el estado promedio despu$s de n pasos es un nmero positivo, es decir, su comportamiento promedio es tender %acia nmero positivo, es decir, su comportamiento promedio es tender %acia la derec%a,

la derec%a, &i

&i p p<<qq ,,

'ntonces el estado final promedio de la caminata despu$s de n pasos 'ntonces el estado final promedio de la caminata despu$s de n pasos es un nmero negativo, es decir, en promedio la caminata tiende a es un nmero negativo, es decir, en promedio la caminata tiende a moverse %acia la izquierda. 'n ambos casos la varianza crece moverse %acia la izquierda. 'n ambos casos la varianza crece conforme el nmero de pasos n crece

conforme el nmero de pasos n crece &i &i p p==qq== 1 1 2 2

&e dice que la caminata es sim$trica, y en promedio el proceso se &e dice que la caminata es sim$trica, y en promedio el proceso se queda en su estado inicial pues

queda en su estado inicial pues E E

((

X X nn

))

==00 , sin embargo para tal valor, sin embargo para tal valor

de p la varianza es

de p la varianza es VVarar

((

X X nn

))

==nn ..

C+9C:U&;9

:os elementos de un proceso estocástico, fueron parte de la actividad, as# como :os elementos de un proceso estocástico, fueron parte de la actividad, as# como dos tipos de clasificaciones de los procesos estocásticos de acuerdo a su espacio dos tipos de clasificaciones de los procesos estocásticos de acuerdo a su espacio de estados y su parámetro temporal, y de acuerdo a las caracter#sticas num$ricas de estados y su parámetro temporal, y de acuerdo a las caracter#sticas num$ricas de las variables aleatorias. 'sto me permitió identificar el tipo de proceso que de las variables aleatorias. 'sto me permitió identificar el tipo de proceso que puedes utilizar al modelar cierto tipo de situaciones y demostraciones.

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Procesos estocásticos

Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos

<<:+=*->?-ntroducción a los procesos estocásticos@ :uis *incón@ epartamento de ntroducción a los procesos estocásticos@ :uis *incón@ epartamento de

!atemáticas@ >acultad de Ciencias U9-!@ Circuito 'Aterior de CU@ BD2B !$Aico !atemáticas@ >acultad de Ciencias U9-!@ Circuito 'Aterior de CU@ BD2B !$Aico >.

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Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos

Universidad -bierta y a istancia de !$Aico@ :icen

Universidad -bierta y a istancia de !$Aico@ :icenciatura en matemáticas@ EFciatura en matemáticas@ EF

cuatrimestre@ 6rocesos estocásticos@ Unidad 2. ntroducción a los procesos cuatrimestre@ 6rocesos estocásticos@ Unidad 2. ntroducción a los procesos estocásticos