1 1 CC ww==22tt//mm DD 11ttmm 4I 4I K K==44II//66==22 KK//22==11 h h==33,,00mm II II II K
K==II//33==11 KK==II//33==11 KK==II//33==11 B B ww==22tt//mm EE 8I 8I h h==33,,00mm II KK==88II//66==44 II II KK//22==22 K
K==II//33==11 KK==II//33==11 KK==II//33==11 A
A L=6,0mL=6,0m FF L=3,0mL=3,0m
E
Esst t SSiimmeettrriicca a dde e 001 1 CCrruujjiiaa EsEst t EEqquuiivvaalleenntte e KKvv==KK//22
Solucion( Adaptacion C Zapatel)
Solucion( Adaptacion C Zapatel)
1,-Determinacion de las Propiedades Geometricas
1,-Determinacion de las Propiedades Geometricas
N
Nuuddo o BB KK CC==KK//SSuummKK NNuuddo o CC KK CC==KK//SSuummKK Viga
Viga 22 0.0.55 ViVigaga 11 0.50.5
col sup
col sup 11 0.0.2525 cocol sul supp 11 0.50.5 col inf
col inf 11 0.0.2525 cocol inl inf f 00 00 S
Suummaa 44 11 SSuummaa 22 11
2,-Momentos de Empotramiento Mº ,.Considerar
2,-Momentos de Empotramiento Mº ,.Considerar voladizo
voladizo
viga sup
viga sup 22**66^^22//1122== 66 ttmm ccool l ssuupp 00 t-mt-m viga inf
viga inf 22**66^^22//1122== 66 ttmm ccool l iinnf f 00 t-mt-m
3,-Etapa I.- Procedimiento de Cross
3,-Etapa I.- Procedimiento de Cross
CCN
Nuuddo o mmaas s ddeessqquuiicciiaaddo o BB,,CC,,BB,,CC --11 11
C
C
Accion Accion ReaccionReaccion 0 0..55 00..55 NNuuddooCC --11 ++1 1 00 -6-6Mº
Mº
MMddeessqq --44..2255 0 0..7755 --00..113333 2 2..112255 22..112255 --00..000044 -0.133 -0.133 0 0..006666 00..006666 HHoorraarriioo --00..000044 ++ 0 0..000022 00..000022 NNuuddooBB M Mii 22..880077 --33..880077 MMddeessqq --66 M Mddeessqq 11..006633 M Mddeessqq 00..003333 M Mii 22..332222 -0.008 -0.008 0.033 0.033 -0.266 -0.266 1.063 1.063Mº
Mº
1.51.5 0. 0.2525 0.0.55 0.25 0.25B
B
M Mºº 00 --66 M Mtt 11..55 33 -0. -0.266266 -0.-0.531531 -0. -0.008008 -0.-0.017017 M Mii 11..222266 --33..554488 M Mii 00..661177 -0.133 -0.133 0.75 0.75 M Mºº 00 33..880077Metodo de Cross aplicando Hoja de Calculo EXCELL Por Ing C Zapatel S.
Ejemplo de Estructura Carga Simetrica, Ref Bartolome pag 54
Solucion de un aligerado.- La fig representa la planta tipica hipotetica, ya que la placa esta mal distribuida que puede causar problemas torsionales por efectos sismicos
Adaptacion C. Zapatel 1 2 3 4 5 6.00 m 6.00 6.00 1.00 B M 1.00 6.00 placa M t=0,25m h=3,0m A ancho 0.25 0.3 0.3
Viga sobre Viga Volado
Fig 1.-Planta Tipica de una Edificacion de 4 Niveles
ACERO TEMP REC=2CM ACERO LONG SUP
Ec= 2*10^6 T/m2 5 Ec= 200 T/cm2 20 V V V H=25 cm LAD LAD cm 10 30 10 30 10
ACERO LONG INF REC=2CM
Fig 2.-TECHO ALIGERADO H=25CM-SECCION TRANSVERSAL M-M
ESC 1/10
Viga principal Viga Eje 1, Eje 2,Eje3 V=Vigueta=ala(5)+alma(20)=25cm Viga Eje 4, Eje 5
Viga secundaria Viga Eje A, Eje B 100
8.75 5
CG 20 25
16.25
25
Fig 3.-Modelo Estructural.-
Vigueta ancho 100cmIg=(25*100) 56770.83 cm4 use para ancho 1,0m
Ig=(10*25) 22708 cm4
CG( ) = Centro de gravedad 8.75 50 1,-Metrado de cargas sobre el techo aligerado
1,a.- Cargas permanentes o muertas
Peso propio h=25cm 350 Kg/m2
Enlucidos + acabados 100
Tabiqueria movil 100
Carga permanente D= 550 Kg/m2
1,b.- Cargas Viva o Sobrecarga
L= 300 Kg/m2
W= 850 Kg/m2
W= 0.85 T/m2
2,-Modelaje de la placa, se realizara empotrando sus extremos lejanos(ver fig), suponiendo que no existe repercusion de los giros de un nivel a otro; hipotesis aceptada por Norma E-060 y ACI para el analisis por carga vertical
1m
H=3,0m
h
1.00 m
H=3,0m
Fig.- Isometrico placa techo para Area de influencia 40(100)cm
0,25 m
3,-Momento de Inercia I=bh^3/12=Momento de Inercia de un rectangulo b= dimension perpendicular al plano frontal
h= dimension paralelo al plano frontal 3,1,-Placa
espesor 0.25 ancho tributario Elem t
L=Altura300cm Placa 25 Ip=40*25^3/12= 52083 cm4 Techo Ip/L= 174 cm3 3,2,-Techo aligerado Ver Secc M-M Ig=22 700 cm4(10*40) Ig=56 750 cm4(25*100) CG(8,75; 20) = Centro de gravedad Use Ig=22700 cm4 Ig/L=22701/600= 38 cm3
4,-Modelo matematico, para un ancho tributario de 1,00m h=3m
I=1300208cm4 K=I/L=0,76
6,0m 6,0m 6,0m 1,0m
h=3m I=56770cm4
I=1300208cm K=I/L=0,17 K=I/L=0,17 K=I/L=0,76
La placa rigidiza al techo en el nudo K=0,76*2=1,52 Ip/It= 8.94117647 Rgto indica siΣKp/Kt>8 considerar empotrado, luego 1,52/0,17=9, luego cumple
5,-Simplificacion del Modelo matematico.-Se permitie simplificar la estructura
se transforma en carga lineal:W=0,85t/m2*1,0m=0,85t/m Empot w=0,85t/m2=0,85*1m= 0.85 t/m 1 2 3 4 L(m) 6 6 6 1.00 I 1 1 1 k=I/L= k=I/L= S3=5mm 0.16666667 0.16666667 K1=3/4*K= 0.125 ΣK 0.33333333 0.29166667 C=K/ΣK= 0 0.5 0.50 0.57 0.43 1
Fig.- Modelo matematico simplificado para asentamiento apoyo S3=5mm 1,-Calculo de Rigidez y Coeficiente distribucion
Ko=Rigidez de comparacion=I/L=I/6=38 Mº Mº
Kij=kij/Ko 1 2
Ver grafico
Fig.- Posicion 0: Estructura sin desplazamiento
2,-Calculo de Momento de Empotramiento perfecto para posicion "0" sin desplazamiento
Viga Mº=0,85*6^2/12= 2.55
Mº1=0,85*6^2/8= 3.825
Volado Mº=0,85*1^2/2= 0.425
3,-Calculo de Momento de Empotramiento perfecto para posicion "1" con desplazamiento, sin cargas externas Mº=-6EIЏ/L=-6EIS/L^2 Mº1=-3EIЏ/L=-3EIS/L^2
E=210T/cm2 Icg=56750 cm4 EI= 11917500 T*cm2
S=5mm=0,50cm EIS= 5958750 T*cm3 tramo 23=32 Mº=-6(EIS)/600^2=-6*5958750/600^2= - 99.3125 T-cm= -0,99T-m tramo 34 Mº=-3(EIS)/6^2=-6*(-5958750)/600^2= 49.65625 T-cm= 0,50T-m NOTA S es Negativo Mº 34 1 2 2 3 3 4
S=0,5mm
Fig.- Posicion 1: Estructura con desplazamiento
4,-Debido a la geometria de la estructura, por superposicion de efectos: Signo negativo ANTIHORARIO
Viga 12 Mº12=2,55+0=2,55 2.55 T-m
Viga 21 Mº21=2,55+0=2,55 2.55 T-m
Viga 23 Mº23=-2,55-0,99= -3,45 -3.45 T-m
Volado
Viga 32 Mº32=2,55-0,99=1,65 1.65 T-m Mv=0,425
Viga 34 Mº34=-3,825+0,50= -3,325 -3.325 T-m 5,-Distribucion del metodo de Cross: Etapa 0 + Etapa 1
1 2 2 3 3 4 0 0.5 0.50 0.57 0.43 1.00 Mº -2.55 2.55 -3.45 1.65 -3.325 0.425 0.213 0.836 0.627 + 0.418 0.241 0.241 0.121 0.121 -0.069 -0.052 -0.03443878 0.017 0.017 0.009 Mi=ΣMi -2.421 2.808 -2.808 2.537 -2.537 0.425
Proceso 4,3,2,3,2,3 M =Mto desquiciado
nudo 2 M = -0.48214286 nudo 3 M = 0.12053571 nudo 2 M = -0.03443878 2.42 2.81 . 2,54 0.43 1 2 . 3 4 6,0m 6,0m 6,0m 1,0m
Determinacion de I seccion en Tee A x1 y1 A y AX A1 25 20 500 15 7500 A2 100 5 500 2.5 1250 Suma 1000 8750 y=Ax/Σ A= 8.75 CG(50,8,75) Io Ad^2 Ix 1041.67 19531.25 20572.92 16666.67 19531.25 36197.92 Suma 56770.83
ancho tribut I(cm4) I/Io L(m) K=I/L
100 130208.333 2.29 3 0.76
100 56770.83 1 6 0.17
M TODO DE CROSS
La Fig representa un Portico Simetrico a 2 Aguas de Concreto Armado( E=2060*10^4 Ton/m2) Los elementos estructurales se definen b= base, h=altura
Colocar la mayor dimension paralelo a la vista frontal del portico Colocar la menor dimension perpendicular a la vista frontal del portico Io= Mto de Inercia de comparacion, I/Io= Inercia relativa
Elem b h I(cm4) I/Io L(m) K w(t/m)
Col 0 0 1 1 15.00 0.067 0 Viga 0 0 2 2 26.249 0.076 3 h1= 8.00 0 h1= 8.00 0 0 Iv= 2.00 Kv= 0.076 Σki= 0.143 Cij=Kij/Σki Ci= 0.533 Cj= 0.467 h2= 15 Ic= 1 Kc= 0.067
Fig.- Isometrico portico a 2 Aguas
0 0 w= 3 T/m L= 25 L= 25 L= 26.249 8.00 m K= 0.076
ø
Fig.- Portico Simetrico a 2 Aguas K= 15.00 0 0.067 sen
ø=
0.305 0 t/m Cosø=
0.952 t/m tgø=
0.320 Empot L= 25 L= 25w= 3 T/m 3 L= 25 L= 26.249 . d1 8.00 m K= 0.076 1 2
Fig.- Modelo matematico simplificado por Simetria
15.00 0 K=
t/m 0.067
1 Empot
L= 25
1,-Solucion Estructura para la posicion 0 sin desplazamiento, 1 grado de Libertad (1 GL) Para evitar la deformacion se colocara un apoyo c/rodillo ficticio en la mitad de la estructura
w= 3 3 L= 25 L= 26.249 8 K= 0.076 2 R10 15 0 K= 0.067 1 Empot L= 25
Fig.- Portico para posicion "0" sin desplazamiento
Metodo de Cross aplicando Hoja de Calculo EXCELL Por Ing C Zapatel S.
1.1,-Calculo de Rigidez y Coeficiente distribucion
Ko=Rigidez de comparacion Mº Mº
Kij=kij/Ko
i
jVer grafico
Fig.- Posicion 0: Estructura sin desplazamiento
1.2,-Calculo de Momento de Empotramiento perfecto para posicion "0" sin desplazamiento
Elem L W(t/m) Mº= WL^2/12 t-m
Col 15 0 0
Viga 25 3 156.250
1,3,-Distribucion del metodo de Cross: Etapa 0
1 2 2 3
Mº 0 0 -156.250 156.25
36.458 72.915 83.335
41.667 +
Mi=ΣMi 36.458 72.915 -72.915 197.917
El signo menos es antihorario
Proceso 2,3,2,3,2,3 M =Mto desquiciado
nudo 2 M = -156.250
OBSERVESE que el Cross cierra en un ciclo, porque la estructura tiene (1GL): 1 grado de libertad rotacional ø2, ver el apoyo fictucio
Calculo de R10
Analizar la columna12
w= 3 197.917 tm . (3x)= 7.29 L= 25 L= 26.249 8 m 2 R10 ΣFx=0 (3x)= 7.29 0 ΣM1=0 15 t/m K=0,333 R10= 40.17 t 1 Empot -7.29 t L= 25 -36.458 tmEl signo menos es antihorario, Mtos valores Absolutos 72.915 tm 2 0 7.29 formato Zap 15 0 t/m ΣM2=0 1 Empot 0 7.29 -7.29 t sen
ø=
0.305 Cosø=
0.952 -36.458 tm tgø=
0.320d21 (3) . 90º Hacemos d1= 1 d1 d21 8 26.249 (2) R10
d21
d23 d1=1 tgø
=d21/d1 Col d21=tgø*
d1= 15 Col d21= -0,30*d1ø
Viga d21= -0.32 Viga Cosø
=d1/d23 d23=d1/Cosø=1,044d1 d23= 1.04996 (1) L=5,0mFig.- Portico para posicion "1" con desplazamiento
Se desplaza columna(d21) y luego la viga(d23), ambos perpendicular Eje elemento Signo (+) desplazamiento horario
2,1,-Calculo de Momento de Empotramiento perfecto para posicion "1" con desplazamiento Mº= - 6(EI)S/L^2 S= desplazamiento Horiz(d21) u Diagonal(d23)
col EI=1 Ton/m2 I(m4) EI(Tm2)
viga EI=2 Ton/m2 col 0.00000001 1
viga 0.00000002 2
Columna Mº12=Mº21= -6*(EI)*(-0,4)/4^2= 0.12 T-m
Viga Mº23=Mº32=-6*(EI)(1,077)/4,698^2= -0.58556 T-m
2,3,-Distribucion del metodo de Cross: Etapa 1
1 2 2 3 0 0.467 0.533 0 Mº 0.12 0.12 -0.586 -0.586 0.109 0.21726 0.248 0.124 + Mi=ΣMi 0.229 0.337 -0.337 -0.461
Proceso 2,3, M =Mto desquiciado
nudo2 M= -0.47
OBSERVESE que el Cross cierra en un ciclo, porque la estructura tiene (1GL): 1 grado de libertad rotacional ø2
ESTOS VALORES DEBEN MULTIPLICARSE POR FACTOR d1 Calculo de R11
0 tm
L= 26.249 8 2 R11 ΣFx=0 (3x)= 0.03772566 ΣM1=0 15 R11= 0.0440 t
1 Empot 0 T Ver DCL Columna L= 25 0 tm 0.337 tm 2 15 m ΣM2=0 1 0.04 t 0.229 tm 3,-Determinacion del Factor d1
Por equilibrio de la coordenada 1:
R10-d1*R11=0 14,11-d1(29473)=0
d1= 912.492085 m
d1= 912492.085 mm
4,-Determinacion de los Momentos Finales Mij=Mij(0)+ d1*Mij(1) Barra 1-2 2-1 2-3 3-2 Mij(0) 36.458 72.915 -72.915 197.917 Mij(1) 0 0 0 0 d1*Mij(1) 208.62 307.74 -307.74 -421.03 Mij(0) 245.08 380.66 -380.66 -223.11 223.11
380.66 380.66
Fig.- DMF™
245.08 245.08
5,-La solucion del Cross en la posicion 1(con desplazamiento) se puede resolver en lo siguiente
Sea d1=Δ= desplazamiento vertical d21= -0,3Δ
Ver Item 2,0 d23= 1,044Δ
5,1,-Calculo de Momento de Empotramiento perfecto para posicion "1" con desplazamiento Mº= - 6(EI)S/L^2 S= desplazamiento Horiz(d21) u Diagonal(d23)
I=Io=1 cm4 Ic=1 Iv=2
Columna Mº12=Mº21= -6*(EI)(-0,3Δ)/4^2=0,1125(EIΔ)=0,1125X T-m Viga Mº23=Mº32=-6*(E*3,38)(1,044Δ)/4,698^2= -0,959(EIΔ)= -0,959X T-m
X=EIΔ Asumiendo X=1 0.113
5,2,-Distribucion del metodo de Cross: Etapa 1 -0.954
1 2 2 3 0 0.467 0.533 0 Mº 0.113 0.113 -0.954 -0.954 0.196 0.393 0.449 0.224 + Mi=ΣMi 0.309 0.505 -0.505 -0.730
Proceso 2,3, M =Mto desquiciado
nudo 2 M = -0.842
OBSERVESE que el Cross cierra en un ciclo, porque la estructura tiene (1GL): 1 grado de libertad rotacional ø2
ESTOS VALORES DEBEN MULTIPLICARSE POR FACTOR X Calculo de R11
Primero Analizar COLUMNA
0.730 tm
L=5,385m 8 m 2 R11 ΣFx=0 (3x)= 0.054 ΣM1=0 15 m R11= 0.067 X
1 Empot 0.054 T Ver DCL Columna L= 25 0.309 tm 0.505 tm 2 15 m ΣM2=0 1 0.0543 t t 0.309 tm 5.3,-Determinacion del Factor X
Por equilibrio de la coordenada 1: R10= 40.17
R10-X*R11=0 R11= 0.067
X= 601.58
X=EIΔ
5.4,-Determinacion de los Momentos Finales Mij=Mij(0)+ d1*Mij(1) Barra 1-2 2-1 2-3 3-2 Mij(0) 36.458 72.915 -72.915 197.917 Mij(1) 0.309 0.505 -0.505 -0.730 X*Mij(1) 185.82 303.96 -303.96 -438.99 Mij(0) 222.28 376.88 -376.88 -241.07
5,5,-Determinacion de las deflexiones Vertical y Horizontal Datos E= 20600000 T/m2 I=Io=Ic= 0.00000001 m4 EI= 0.206 Tm2 X= 601.58 X=EIΔ Δ=X/(EI)= 2920.27255 m 2920272.55 mm
desp Horiz d21= -0,3Δ= -876.081765 m -876081.76 mm desp Vertl d23= 1,04Δ 3037.08345 m 3037083.45 mm El signo negativo significa que se desplaza sentido antihorario
d21= -876081.76 (3)
d23= d1= 2920272.55
3037083.45