Soluciones Ejercicios 6: Forma Normal Prenex y Forma Normal de Skolem

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Soluciones Ejercicios 6: Forma Normal Prenex y

Forma Normal de Skolem

TAII(I)-L´ogica

3 de mayo de 2006

1.

Ejercicio 6.1

Calcular la Forma Normal Prenex (FNP) equivalente de la siguiente f´ormula.

∀x∀y[∃zP (x, y, z) ∧ (∃uQ(x, u) −→ ∃vQ(y, v))]

Soluci´on:

1. Eliminar conectivas (↔, →)

∀x∀y[∃zP (x, y, z) ∧ (¬∃uQ(x, u) ∨ ∃vQ(y, v))]

2. Eliminar ¬

∀x∀y[∃zP (x, y, z) ∧ (∀u¬Q(x, u) ∨ ∃vQ(y, v))]

3. Extracci´on de cuantificadores (todos son independientes)

∀x∀y∃z∀u∃v[P (x, y, z) ∧ (¬Q(x, u) ∨ Q(y, v))]

2.

Ejercicio 6.2

Obtener la Forma Normal Prenex (FNP) equivalente de la siguiente f´ormula.

¬[∃x(A(x) −→ (∀yB(x, y)))]

Soluci´on:

1. Eliminar conectivas (↔, →)

¬[∃x(¬A(x) ∨ (∀yB(x, y)))]

2. Eliminar ¬

∀x¬[(¬A(x) ∨ (∀yB(x, y)))] ∀x[(¬¬A(x) ∧ ¬(∀yB(x, y)))] ∀x[(A(x) ∧ ∃y¬B(x, y))]

(2)

3. Extracci´on de cuantificadores (y es independiente)

∀x∃y[A(x) ∧ ¬B(x, y)]

3.

Ejercicio 6.3

Calcular la FNP equivalente de la siguiente f´ormula.

∀x∀y[∃z(A(x, z) ∧ B(y, z)) −→ ∃uC(x, y, u)]

Soluci´on:

1. Eliminar conectivas (↔, →)

∀x∀y[¬∃z(A(x, z) ∧ B(y, z)) ∨ ∃uC(x, y, u)]

2. Eliminar ¬

∀x∀y[∀z¬(A(x, z) ∧ B(y, z)) ∨ ∃uC(x, y, u)] ∀x∀y[∀z(¬A(x, z) ∨ ¬B(y, z)) ∨ ∃uC(x, y, u)]

3. Extracci´on de cuantificadores (z, u son independientes)

∀x∀y∀z∃u[¬A(x, z) ∨ ¬B(y, z) ∨ C(x, y, u)]

4.

Ejercicio 6.4

Calcular la Forma Normal Prenex (FNP) equivalente de la siguiente f´ormula.

F : ∀xA(x) −→ ¬∃z[B(w, z) −→ ∀yC(w, y)]

Soluci´on:

1. Eliminar conectivas (↔, →)

¬∀xA(x) ∨ ¬∃z[B(w, z) −→ ∀yC(w, y)] ¬∀xA(x) ∨ ¬∃z[¬B(w, z) ∨ ∀yC(w, y)]

2. Eliminar ¬

¬∀xA(x) ∨ ∀z¬[¬B(w, z) ∨ ∀yC(w, y)] ¬∀xA(x) ∨ ∀z[¬¬B(w, z) ∧ ¬∀yC(w, y)] ¬∀xA(x) ∨ ∀z[B(w, z) ∧ ∃y¬C(w, y)] ∃x¬A(x) ∨ ∀z[B(w, z) ∧ ∃y¬C(w, y)]

3. Extracci´on de cuantificadores (z e y son independientes)

∃x¬A(x) ∨ ∀z∃y[B(w, z) ∧ ¬C(w, y)] ∃x∀z∃y[¬A(x) ∨ (B(w, z) ∧ ¬C(w, y))]

(3)

5.

Ejercicio 6.5

Calcular la Forma Normal Prenex (FNP) equivalente de la siguiente f´ormula.

F : A(x, y) ∧ [∃xB(x) −→ ∀y∀zC(x, y, z)] Soluci´on: 1. Eliminar conectivas (↔, →) A(x, y) ∧ [¬∃xB(x) ∨ ∀y∀zC(x, y, z)] 2. Eliminar ¬ A(x, y) ∧ [∀x¬B(x) ∨ ∀y∀zC(x, y, z)]

3. Extracci´on de cuantificadores (x e y no son independientes)

A(x, y) ∧ [∀t¬B(t) ∨ ∀y∀zC(x, y, z)] A(x, y) ∧ ∀t∀y∀z[¬B(t) ∨ C(x, y, z)] A(x, y) ∧ ∀t∀u∀z[¬B(t) ∨ C(x, u, z)] ∀t∀u∀z[A(x, y) ∧ (¬B(t) ∨ C(x, u, z))]

6.

Ejercicio 6.6

Obtener la Forma Normal de Skolem (FNS) equivalente de la siguiente f´ormula.

F : ∃x∀y∀z∃u∀v∃w[P (x, y, z) ∧ Q(u, v) ∧ ¬R(w)]

Soluci´on:

1. En la f´ormula anterior (que ya se encuentra en FNP), es necesario eliminar los cuantificadores existenciales (∃x, ∃u, ∃w).

2. ∃x no se encuentra precedido por cuantificadores universales, se sustituye por una constante (a):

∀y∀z∃u∀v∃w[P (a, y, z) ∧ Q(u, v) ∧ ¬R(w)]

3. ∃u, ∃w est´an predecidos por varios cuantificadores universales, por lo que ser´an sustituidos por las f´ormulas de aridad 2 f (y, z), y de aridad 3

g(y, z, v) respectivamente:

∀y∀z∀v[P (a, y, z) ∧ Q(f (y, z), v) ∧ ¬R(g(y, z, v))]

Las sustituciones realizadas: a, f y g son funciones de Skolem de aridad 0, 2 y 3 respectivamente.

(4)

7.

Ejercicio 6.7

Obtener la Forma Normal de Skolem (FNS) equivalente de la siguiente f´ormula.

F : ∀x∃y∃z[(¬P (x, y) ∧ Q(x, z)) ∨ R(x, y, z)]

Soluci´on:

1. En primer lugar se transforma la f´ormula a Forma Norma Conjuntiva:

∀x∃y∃z[(¬P (x, y) ∨ R(x, y, z)) ∧ (Q(x, z) ∨ R(x, y, z))]

2. Los cuantificadores ∃y, ∃z est´an precedidos por el cuantificador universal

∀x por lo que se sustituyen por dos funciones de Skolem de aridad 1: f(x)

y g(x) respectivamente:

∀x[(¬P (x, f (x)) ∨ R(x, f (x), g(x))) ∧ (Q(x, g(x)) ∨ R(x, f (x), g(x)))]

8.

Ejercicio 6.8

Obtener la Forma Normal de Skolem (FNS) equivalente de la siguiente f´ormula. F : ∀x[(A(x, y) −→ ∃yP (x, y, z)) −→ ¬∀zQ(x, z)] Soluci´on: 1. Obtenci´on de la FNP F: ∀x[(¬A(x, y) ∨ ∃yP (x, y, z)) −→ ¬∀zQ(x, z)] ∀x[¬(¬A(x, y) ∨ ∃yP (x, y, z)) ∨ ¬∀zQ(x, z)] ∀x[(¬¬A(x, y) ∧ ¬∃yP (x, y, z)) ∨ ¬∀zQ(x, z)] ∀x[(A(x, y) ∧ ∀y¬P (x, y, z)) ∨ ¬∀zQ(x, z)] ∀x[(A(x, y) ∧ ∀u¬P (x, u, z)) ∨ ∃z¬Q(x, z)] ∀x[∀u(A(x, y) ∧ ¬P (x, u, z)) ∨ ∃t¬Q(x, t)] ∀x[∀u∃t((A(x, y) ∧ ¬P (x, u, z)) ∨ ¬Q(x, t))] ∀x∀u∃t[(A(x, y) ∧ ¬P (x, u, z)) ∨ ¬Q(x, t)] ∀x∀u∃t[(A(x, y) ∨ ¬Q(x, t)) ∧ (¬P (x, u, z) ∨ ¬Q(x, t))]

(5)

2. Cierre existencial de las variables libres:

∃y∀x∀u∃t[(A(x, y) ∨ ¬Q(x, t)) ∧ (¬P (x, u, z) ∨ ¬Q(x, t))] ∃y∃z∀x∀u∃t[(A(x, y) ∨ ¬Q(x, t)) ∧ (¬P (x, u, z) ∨ ¬Q(x, t))]

3. Eliminar cuantificadores existenciales:

∃z∀x∀u∃t[(A(x, a) ∨ ¬Q(x, t)) ∧ (¬P (x, u, z) ∨ ¬Q(x, t))] ∀x∀u∃t[(A(x, a) ∨ ¬Q(x, t)) ∧ (¬P (x, u, b) ∨ ¬Q(x, t))]

∀x∀u[(A(x, a) ∨ ¬Q(x, f (x, u))) ∧ (¬P (x, u, b) ∨ ¬Q(x, f (x, u)))]

9.

Ejercicio 6.9

Obtener la Forma Normal de Skolem (FNS) equivalente de la siguiente f´ormula.

F : ∀x∃y∃z[(¬P (x, y) ∧ Q(x, z)) ∨ R(x, y, w)]

Nota: como puede observarse se ha modificado la funci´on predicativa F del ejercicio 6.7 dejando libre la tercera variable de R(-,-,-).

Soluci´on:

1. Se transforma F a FNC:

∀x∃y∃z[(¬P (x, y) ∨ R(x, y, w)) ∧ (Q(x, z)R(x, y, w))]

2. Cierre existencial de las variables libres:

∃w∀x∃y∃z[(¬P (x, y) ∨ R(x, y, w)) ∧ (Q(x, z)R(x, y, w))]

3. Skolemnizaci´on:

∀x∃y∃z[(¬P (x, y) ∨ R(x, y, a)) ∧ (Q(x, z)R(x, y, a))] ∀x∃z[(¬P (x, f (x)) ∨ R(x, f (x), a)) ∧ (Q(x, z)R(x, f (x), a))] ∀x[(¬P (x, f (x)) ∨ R(x, f (x), a)) ∧ (Q(x, g(x))R(x, f (x), a))]

(6)

10.

Ejercicio 6.10

Obtener la Forma Normal de Skolem (FNS) equivalente de la siguiente f´ormula.

F : ∀x[¬P (x, a) −→ ∃y(P (y, g(x)) ∧ ∀z(P (z, g(x)) −→ P (y, z)))]

Soluci´on:

1. Obtenci´on de la FNP:

∀x[¬¬P (x, a) ∨ ∃y(P (y, g(x)) ∧ ∀z(P (z, g(x)) −→ P (y, z)))] ∀x[P (x, a) ∨ ∃y(P (y, g(x)) ∧ ∀z(¬P (z, g(x)) ∨ P (y, z)))] ∀x[P (x, a) ∨ ∃y∀z(P (y, g(x)) ∧ (¬P (z, g(x)) ∨ P (y, z)))] ∀x∃y∀z[P (x, a) ∨ (P (y, g(x)) ∧ (¬P (z, g(x)) ∨ P (y, z)))]

∀x∃y∀z[(P (x, a) ∨ P (y, g(x))) ∧ (P (x, a) ∨ ¬P (z, g(x)) ∨ P (y, z))]

2. No existen variables libres... 3. Skolemnizaci´on:

∀x∀z[(P (x, a) ∨ P (f (x), g(x))) ∧ (P (x, a) ∨ ¬P (z, g(x)) ∨ P (f (x), z))]

11.

Ejercicio 6.11

Obtener la Forma Normal de Skolem (FNS) equivalente de la siguiente f´ormula. F : ∀x[(P (x) −→ ¬∀y(Q(x, y) −→ ∃zP (z))) ∧ ∀t(Q(x, y) −→ R(t))] Soluci´on: 1. Obtenci´on de la FNP: ∀x[(¬P (x) ∨ ¬∀y(Q(x, y) −→ ∃zP (z))) ∧ ∀t(Q(x, y) −→ R(t))] ∀x[(¬P (x) ∨ ¬∀y(Q(x, y) −→ ∃zP (z))) ∧ ∀t(¬Q(x, y) ∨ R(t))] ∀x[(¬P (x) ∨ ¬∀y(¬Q(x, y) ∨ ∃zP (z))) ∧ ∀t(¬Q(x, y) ∨ R(t))] ∀x[(¬P (x) ∨ ∃y¬(¬Q(x, y) ∨ ∃zP (z))) ∧ ∀t(¬Q(x, y) ∨ R(t))]

(7)

∀x[(¬P (x) ∨ ∃y(¬¬Q(x, y) ∧ ¬∃zP (z))) ∧ ∀t(¬Q(x, y) ∨ R(t))] ∀x[(¬P (x) ∨ ∃y(Q(x, y) ∧ ∀z¬P (z))) ∧ ∀t(¬Q(x, y) ∨ R(t))] ∀x[(¬P (x) ∨ ∃y∀z(Q(x, y) ∧ ¬P (z))) ∧ ∀t(¬Q(x, y) ∨ R(t))] ∀x[∃y∀z(¬P (x) ∨ (Q(x, y) ∧ ¬P (z))) ∧ ∀t(¬Q(x, y) ∨ R(t))] ∀x[∃u∀z(¬P (x) ∨ (Q(x, u) ∧ ¬P (z))) ∧ ∀t(¬Q(x, y) ∨ R(t))] ∀x∃u∀z∀t[(¬P (x) ∨ (Q(x, u) ∧ ¬P (z))) ∧ (¬Q(x, y) ∨ R(t))] ∀x∃u∀z∀t[(¬P (x) ∨ Q(x, u)) ∧ (¬P (x) ∨ ¬P (z)) ∧ (¬Q(x, y) ∨ R(t))]

2. Cierre existencial de las variables libres:

∃y∀x∃u∀z∀t[(¬P (x) ∨ Q(x, u)) ∧ (¬P (x) ∨ ¬P (z)) ∧ (¬Q(x, y) ∨ R(t))]

3. Skolemnizaci´on:

∀x∃u∀z∀t[(¬P (x) ∨ Q(x, u)) ∧ (¬P (x) ∨ ¬P (z)) ∧ (¬Q(x, a) ∨ R(t))] ∀x∀z∀t[(¬P (x) ∨ Q(x, f (x))) ∧ (¬P (x) ∨ ¬P (z)) ∧ (¬Q(x, a) ∨ R(t))]

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