Paradigmas de Lenguajes de Programación

Paradigmas de

Lenguajes de

Programación

Resolución I

Resolución en proposicional

 Dadas unas premisas P₁… P_n y una conclusión C

1) Calculamos la Forma Normal Conjuntiva (FNC) de cada premisa y de la negación de la conclusión

2) Aplicamos repetidamente la Regla de Resolución a la unión de todas las cláusulas obtenidas en el paso anterior

3) Si llegamos a la cláusula vacía:

 P₁ ∧ … ∧ P_n ∧ ¬ C es insatisfactible

 Por lo tanto, P₁ ∧ … ∧ P_n → C es tautología

Si no llegamos a la cláusula vacía:

 P₁ ∧ … ∧ P_n ∧ ¬ C es satisfactible

Forma Normal Conjuntiva (FNC)

 Una fórmula está en FNC si es una conjunción de

disyunciones de literales.

(p ∨ q ∨ ¬ r) ∧ ( r ∨ q) ∧

t

cláusula

Forma Normal Conjuntiva (FNC)

 Notación conjuntista

(p ∨ q ∨ ¬ r)

∧

(r ∨ q)

∧

t

{

_{p,q,¬r}

,

{r,q}

, {t} }

Ejemplo FNC

∧

∨

∧

∨

∧

∨

∧

∨

∧

∨

∧

∨

∧

∨

∧

∨

∧

∨

{

}

Aplicación de la regla de resolución

 En cada paso, se aplica la regla de resolución a dos cláusulas del

conjunto. El resolvente de las mismas se agrega al conjunto (si no estaba previamente) y si es posible, se hace una nueva aplicación.

Ejercicio resolución en proposicional

¿Se deduce (p ∧ q) de (¬p → q) ∧ (p → q) ∧ (¬p → ¬q)?

1)

¬(p ∧ q) ¬p

¬q {¬p, ¬q}

¬p → q p

q {p, q}

p → q ¬p

q {¬p, q}

¬p → ¬q p

¬q {p, ¬q}

Ejercicio (cont.)

2) Aplicar la regla de resolución y ver de llegar a la cláusula vacía 1. {¬p, ¬q} 2. {p, q} 3. {¬p, q} 4. {p, ¬q} 5. (de 1. y 4.) {¬q} 6. (de 2. y 3.) {q} 7. (de 5. y 6.) 3) Luego de (¬p → q) ∧ (p → q) ∧ (¬p → ¬q) se puede deducir (p ∧ q).

Resolución general en primer orden

Dado un conjunto de premisas P₁… P_n y una conclusión C

 Calcular la Forma Normal de Skolem de cada cláusula y la de la

negación de la conclusión

 Calcular la Forma Clausal de cada resultado del paso 2

 Hacer que las cláusulas resultado del paso 2 tengan variables

disjuntas

 Testear utilizando la Regla de Resolución General sobre la unión

de las cláusulas resultado del paso 3

 Si llegamos a la cláusula vacía:

 P₁ ∧ … ∧ P_n ∧ ¬ C es insatisfactible

 Por lo tanto, P₁ ∧ … ∧ P_n → C es tautología

Si no llegamos a la cláusula vacía:

 P₁ ∧ … ∧ P_n ∧ ¬ C es satisfactible

Forma Normal de Skolem

 Elimina los cuantificadores existenciales

 Para calcular la Forma Normal de Skolem de una

fórmula se deben realizar los siguientes pasos

 Calcular la Forma Normal Negada. Para realizar esto se debe

expresar la fórmula sólo en función de cuantificadores, conjunción, disyunción y negación (esta última sólo sobre fórmulas atómicas).

 Reemplazar cada variable ligada por un cuantificador

existencial por:

a. Una nueva constante, si esa variable no está en el alcance de

ningún cuantificador universal

b. Un término de tipo función, cuyo símbolo de función es nuevo y

sus parámetros corresponden a las variables cuantificadas universalmente cuyo alcance incluya a la variable ligada al cuantificador existencial

Forma Normal de Skolem: Ejemplo

Pasaje a Forma Normal Negada

∀ x.( ( P(x) ∧ Q(x) ) → ∀ y. ( Q(y) → ∃ z. R(z) ) ) ∧ ∃ t. Q(t)

∀ x.( ( P(x) ∧ Q(x) ) → ∀ y. (¬ Q(y) ∨ ∃ z. R(z) ) ) ∧ ∃ t. Q(t)

Forma Normal de Skolem: Ejemplo

Cálculo de la Forma Normal de Skolem

∀ x.(¬ P(x) ∨ ¬ Q(x) ∨ ∀ y. (¬ Q(y) ∨ ∃ z. R(z) ) ) ∧ ∃ t. Q(t)

y

x

Forma Prenexa

 Una fórmula está en Forma Prenexa si no tiene

cuantificadores o si es de la forma C₁x₁.C₂x₂. … C_nx_n.B

 Cada C_i es un cuantificador existencial o universal  B es una fórmula sin cuantificadores

∀ x.(¬ P(x) ∨ ¬ Q(x) ∨ ∀ y. (¬ Q(y) ∨ R(f(x,y)) ) ) ∧ Q(c)

∀ x. ∀ y. (¬ P(x) ∨ ¬ Q(x) ∨ ¬ Q(y) ∨ R(f(x,y)) ) ∧ Q(c)

Forma Clausal

 Llamamos literales a fórmulas atómicas (literal positivo)

o a fórmulas atómicas negadas (literal negativo).

 Una cláusula es una disyunción de literales en Forma

Prenexa.

 Una sentencia está en Forma Clausal si es una

conjunción de cláusulas. Cada cláusula debe poseer variables ligadas distintas a las de otras cláusulas.

Pasaje a Forma Clausal

1. Convertir la fórmula a Forma Prenexa

2. Luego convertir el resultado a Forma Normal Conjuntiva 3. Distribuir los cuantificadores sobre cada conjunción

 _{∀ x. ( A ∧ B) ↔ ∀ x. A ∧ ∀ x. B}

4. Asegurarse que los cuantificadores sean disjuntos

Forma Clausal: Ejemplo

 La Forma Prenexa de nuestro ejemplo ya está en

Forma Normal Conjuntiva.

 Distribuimos los cuantificadores en la conjunción.

∀ x. ∀ y. ( (¬ P(x) ∨ ¬ Q(x) ∨ _{¬ Q(y) ∨ R(f(x,y)) ) ∧ Q(c)} )

∀ x. ∀ y. ( (¬ P(x) ∨ ¬ Q(x) ∨ _{¬ Q(y) ∨ R(f(x,y)) )) ∧}

Forma Clausal: Notación conjuntiva

 Notamos cada cláusula como un conjunto. La notación

conjuntiva de la fórmula completa será el conjunto formado por los mismos.

{ _{{¬ P(x), ¬ Q(x), ¬ Q(y), R(f(x,y))}} , {Q(c)}}

La notación no explicita los cuantificadores universales. Dado que la sentencia estaba en Forma Normal de Skolem entonces necesariamente las variables que aparecen tienen que estar cuantificadas universalmente.

∀ x. ∀ y. ( (¬ P(x) ∨ ¬ Q(x) ∨ ¬ Q(y) ∨ R(f(x,y)) )) ∧

Regla de resolución general

 En cada paso, se aplica la regla de resolución a dos cláusulas del

conjunto. El resolvente de las mismas se agrega al conjunto (si no estaba previamente) y si es posible, se hace una nueva aplicación.

Primer Orden: Ejercicio

 Premisas

 P₁: Todos los sabuesos aúllan de noche

 P₂: Todos los que tienen gatos no tienen ratones  P₃: Javier tiene un gato o un perro que no aúlla

 Conclusión

 C: Javier no tiene ratones

 Primero, expresemos estas sentencias en primer orden utilizando:

 Predicados: Sabueso(x), Aúlla(x), Tiene(x,y), Gato(x), Ratón(x)‏  La constante _Javi para representar a Javier