LONGITUD DE UNA ELIPSE
En el presente artículo daremos justificación a una fórmula de aproximación para la longitud de una elipse de semiejes a y b. La fórmula es: ≈ ⋅π
(
A+B , donde)
es la longitud de la elipse A , = a+b y B= a +b
2 2
2 2
.
Longitud de Arco.
DEFINICIÓN 1. Una función f es lisa en un intervalo si su derivada es continua en todo el intervalo.
′
f
El significado intuitivo, en la definición anterior, es el de que: variaciones pequeñas de x tienen como consecuencia variaciones pequeñas en la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f. Lo que significa que en la gráfica de una función lisa no hay esquinas o picos.
( )
′ f x
Si f es una función lisa en [a ; b] , a los puntos A a f a
(
,( )
)
y B b f b(
,( )
)
se les llama extremos de la gráfica.Obtengamos la fórmula para la longitud de un arco, de extremos A y B.
Para ello consideremos una partición P del intervalo [a ; b] , determinada por los puntos, a= x0,x1,…,xn =b y sean Q x f xi
(
i,( )
i)
, i = 0 1 …, , ,nQi
)
, puntos de la curva asociados a esta partición, tenemos entonces n + 1 puntos Q0 , Q1 , ... , Qn sobre la
gráfica. Al conectar cada mediante un segmento se obtiene una línea quebrada cuya longitud será:
Qi−1 con LP d Q
(
i Qi)
(
x x)
[
f x( ) (
f x]
i n i i i i i n = − = − + − = = − −∑
1∑
1 1 2 1 2 1 ,Sea P =max x
{
(
i −xi−1)
}
, la norma de la partición. Si P es pequeña, entonces Qi - 1está cerca de Qi , para cada i , y LP será una buena aproximación de la longitud de arco
entre A y B.
Lo anterior nos permite definir adecuadamente el concepto de longitud de arco, diciendo:
La longitud de arco entre A y B, escrito Lba , es el límite lim L
P →0 P
Ahora bien como LP d Q
(
i Qi)
(
x x)
[
f x( ) ( )
f x]
i n i i i i i n = − = − + − = = − −
∑
1∑
1 1 2 1 2 1 ,al aplicar el teorema del valor medio a la función f sobre el intervalo
[
xi−1,xi]
se tiene( ) ( )
( )(
)
( )
(
)
LP
( )
xi[
f( )
wi xi]
[
f( )
wi]
i n i n = + ′ = + ′ ⋅ = =∑
∑
∆ 2 ∆ 2 2 1 1 1 ∆xiy al tomar límite cuando P → 0 obtenemos la integral:
Lba lim L lim
[
f( )
w]
x[
f( )
x]
dx P P P i i i n a b = = + ′ ⋅ = + ′ ⋅ →0 →0∑
=∫
2 1 2 1 ∆ 1Pongamos esto como una definición.
DEFINICIÓN 2. Sea f una función lisa en un intervalo [ a ; b ]. La longitud de arco de la gráfica de y = f(x), entre A y B, esta dada por Lba
[
f( )
x]
a b
=
∫
1+ ′ 2 ⋅dx Ejemplo. Apliquemos la fórmula anterior para obtener la longitud de una elipse de semiejes a y b. Consideremos la elipse x a y b 2 2 2 2 1+ = . Al despejar la variable y se tiene
y b a a x = ± 2 − 2
y considerando únicamente el arco de A
( )
0,b a B a( )
,0 , que se encuentra en el primer cuadrante, tendremos y b a a x x = 2 − 2 ≤ 0 con ≤aLa longitud de este arco nos dará la cuarta parte de la longitud de la elipse, que, de acuerdo a la fórmula de la Definición 2., sería:
( )
4 0 1 2 0 = La =
∫
+ ′y x ⋅ a dx y como( )
( )
( )
(
)
′ = − − ′ = − y x b a x a x y x b x a a x 2 2 2 2 2 2 2 2 entonces(
)
4 1 2 2 2 2 2 0 = + − ⋅∫
a ab x x dx a(
)
= − + − ⋅∫
4 4 2 2 2 2 2 2 2 0 a a x b x a a x dx a(
)
(
)
(
)
= + − ⋅ ⋅ = + − ⋅ = + − ⋅∫
∫
∫
4 4 4 1 4 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 2 a b a a sin a a a d a b a sin d a b a a sin d θ θ θ θ θ θ θ θ π π π cos cosEn una elipse los parámetros a, b y c satisfacen la relación a2 = b2 + c2 ó b2 - a2 = - c2 empleando esto tendríamos
=4
∫
1− 2 2 2 0 2 a c a sin θ θd π ⋅y puesto que la excentricidad de la elipse se define como ε = c
a , podemos escribir =4
∫
1− 2 2 0 2 a ε sin θ π ⋅ dθ (1)La integral que figura en la expresión anterior, es una de las llamadas integrales elípticas, la cual no se puede expresar en términos de funciones elementales, pero, obviamente, se puede calcular con técnicas numéricas o consultando directamente tablas de integrales elípticas.
Una expresión para determinar la longitud de una elipse se puede obtener, haciendo lo siguiente:
Para la integral elíptica que figura en (1), al aplicar la serie binomial
1 1 1 2 1 2 4 1 3 2 4 6 1 3 5 2 4 6 8 1 2 3 4 − = − − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − < u u u u u donde u (2)
, el radical 1−ε2sin2θ ⋅ quedaría
1 1 1 2 1 2 4 1 3 2 4 6 1 3 5 2 4 6 8 2 2 2 2 4 4 6 6 8 8 − = − − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −
ε sin θ ε sin θ ε sin θ ε sin θ ε sin θ
de manera que (1) se puede escribir
= − − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥⋅ = − − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥
∫
∫
∫
∫
∫
4 1 1 2 1 2 4 1 3 2 4 6 1 3 5 2 4 6 8 4 1 2 1 2 4 1 3 2 4 6 2 2 4 4 6 6 8 8 0 2 2 2 0 2 0 2 4 4 6 6 0 2 0 2a sin sin sin sin d
a d sin d sin d sin d
ε θ ε θ ε θ ε θ θ ε θ θ ε θ θ ε θ θ π π π π π θ
y, ahora, empleando la fórmula de Wallis para las integrales de potencias del seno; que establece:
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
sin xdx n n n n n n n n n n n n = − − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ ⋅ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪∫
1 3 4 2 2 4 5 3 1 3 5 3 2 4 4 2 0 2 , si es impar 2 , si n es par π π, la expresión para la longitud de la elipse quedaría
= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ = − ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ − ⋅ ⋅ ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ′ 4 2 1 2 2 1 2 1 2 4 2 3 1 4 2 1 3 2 4 6 2 5 3 1 6 4 2 2 1 1 2 1 3 2 4 3 1 3 5 2 4 6 5 1 3 5 7 2 4 6 8 7 2 4 6 2 2 2 4 2 6 2 8 a a π π ε π ε π ε π ε ε ε ε (2 )
con la cual podemos aproximar la longitud de la elipse, siendo mejor la aproximación, entre más términos se tomen de la serie.
LA APROXIMACIÓN : ≈ ⋅π
(
A+B)
Veamos como, en efecto, la cantidadπ⋅
(
A+B es una buena aproximación para la)
longitud de una elipse.Aquí, A= a+b
2 , es la media aritmética de los semiejes a y b , y
B= a +b 2 2 2 , es la media cuadrática. Puesto que ε= c a , entonces 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − = − = − − = = − ε ε ε c a a c a b a b a b a = , y ; y por lo tanto
(
)
(
)
2A a b a 1 b 1 2 a a π π= ⋅ + = ⋅π ⎛ + π ε ⎝⎜ ⎞⎠⎟ = ⋅ + 1−y si desarrollamos 1−ε2 con la serie binomial (2), se tiene
1 1 1 2 1 2 4 1 3 2 4 6 1 3 5 2 4 6 8 2 2 4 6 8 − = − − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ε ε ε ε ε
2 2 1 2 1 2 4 1 3 2 4 6 1 3 5 2 4 6 8 2 1 1 2 2 1 2 2 4 1 3 2 2 4 6 1 3 5 2 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 A a a π π ε ε ε ε π ε ε ε ε = ⋅ − − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ = ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ π⋅ = ⋅π − ε ε ε ε ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ A a 1 1 2 2 1 2 2 4 1 3 2 2 4 6 1 3 5 2 2 4 6 8 2 4 6 8 (3)
De manera análoga, y teniendo en cuenta que b2 =a2
(
1−ε , podemos escribir 2)
(
)
π⋅ =B π a +b =π a +a −ε = ⋅π a − ε 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1y aplicando la serie binomial (2) al radical 1 1 2 2 − ε , se obtiene π⋅ = ⋅π − ε ε ε ε ⋅ − ⋅ ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ − ⋅ ⋅ ⋅ ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ B a 1 1 2 2 1 2 4 1 2 1 3 2 4 6 1 2 1 3 5 2 4 6 8 1 2 2 2 4 3 6 4 8 (4) sumando (3) y (4) se tiene
(
)
(
)
(
)
(
)
⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ − − ⋅ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − − ⋅ = + 8 6 2 4 2 2 2 8 6 4 2 8 8 1 6 4 1 4 2 1 2 8 8 6 4 2 2 2 9 5 3 1 5 6 4 2 5 3 1 3 4 2 3 1 2 1 1 2 8 9 8 6 4 2 2 5 3 1 4 5 6 4 2 2 3 1 2 3 4 2 2 1 2 1 2 1 8 6 4 2 2 5 3 1 1 6 4 2 2 3 1 1 4 2 2 1 2 1 2 ε ε ε ε π ε ε ε ε π ε ε ε ε π π a a a B Acomparando este resultado con el de la longitud dada en (2’), vemos que coincide en los cuatro primeros términos de la serie y por lo tanto π
(
A+B)
≈ .Nótese que el quinto término, el que contiene a ε8, en π
(
A+B)
tiene como coeficiente a 1 3 5 9 2 2 2 4 6 8 8 45 4096 0 01098633 ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = . y el término similar en el desarrollo de ,
tiene como coeficiente a 1 3 5 7 2 4 6 8 1 7 175 16384 0 00152588 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ ⋅ = = . , los cuales ya no coinciden EJEMPLO
Para una elipse de semiejes a = 10 y b = 8 , tendríamos ε2 2 2 2 2 2 36 100 0 36 = c = − = = a a b a .
y de acuerdo a (1) , la integral elíptica sería
(
)
(
)
2 2 0 40 1 0.36 sinconsultando el valor de la integral en tablas de integrales elipticas, se tiene 40 1.418083394 56.72333576 d π θ θ = − ⋅ ≈ =
∫
Si empleamos la aproximación π
(
A+B)
tendremosA= a+b = B= a +b = 2 9 2 82 2 2 y
(
)
≈π 9+ 82 ≈56 722665. ≈56 723.la aproximación π
