FACULTAD DE INGENIERÍA DE SISTEMAS Y
FACULTAD DE INGENIERÍA DE SISTEMAS Y
ELECTRÓNICA
ELECTRÓNICA
PERIODO 2013-III
PERIODO 2013-III
ANALISIS MATEMÀTICO II
ANALISIS MATEMÀTICO II
ESCUELA DE INGENIERÍA DE
ESCUELA DE INGENIERÍA DE
TELECOMUNICACIONES
TELECOMUNICACIONES
JOSE EDUARDO TORRES VEGA
JOSE EDUARDO TORRES VEGA
Coronel EP ( R )
Coronel EP ( R )
Diplomado en Ciencia y Tecnología
Diplomado en Ciencia y Tecnología
Ingeniero Electrónico CIP
Ingeniero Electrónico CIP
Maestro en Administración
Maestro en Administración
Experto en Logística
Experto en Logística
Diplomado en Seguridad y Salud
Diplomado en Seguridad y Salud
Ocupacional
Ocupacional
Docente Universitario a nivrl pre grado y post grado
Docente Universitario a nivrl pre grado y post grado
Consultor en Servicios de Telecomunicaciones
Consultor en Servicios de Telecomunicaciones
Estudios Teóricos de Radiaciones No Ionizantes
Estudios Teóricos de Radiaciones No Ionizantes
PRESENTADO POR:
SUMARIO
SUMARIO
BIBLIOGRAFÍA
BIBLIOGRAFÍA
1.
1.
LE
LE
IT
IT
HO
HO
LD
LD
,
,
LO
LO
UI
UI
S:
S:
(1
(1
99
99
7)
7)
.
.
El cálculo con Geometría Analítica.
El cálculo con Geometría Analítica.
Edit. Harla. México.
Edit. Harla. México.
2.
2.
A
A
YR
YR
E
E
S
S
,
,
FR
FR
AN
AN
K
K
:
:
(
(
1
1
98
98
9
9
).
).
Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
. Edit. Mc
. Edit. Mc
Graw Hill. México.
Graw Hill. México.
3
3
.
.
Z
Z
I
I
L
L
L
L
,
,
D
D
E
E
N
N
N
N
I
I
S
S
:
:
(
(
1
1
9
9
8
8
7
7
)
)
.
.
Cálculo con Geometría Analítica
Cálculo con Geometría Analítica
. Grupo. Editorial Iberoamérica. México.
. Grupo. Editorial Iberoamérica. México.
4.
4.
BRI
BRI
TTO
TTO
N,
N,
JA
JA
CK.
CK.
KRI
KRI
EGH
EGH
:
:
Matemáticas Universitarias
Matemáticas Universitarias
. Editorial CECSA.
. Editorial CECSA.
5.
5.
DE
DE
MI
MI
DO
DO
VI
VI
CH
CH
,
,
B.
B.
:
:
Problemas y
Problemas y
Ejercicios. Análisis
Ejercicios. Análisis
Matemático
Matemático
. Editorial Mir.
. Editorial Mir.
6.
6.
P
P
I
I
SK
SK
UN
UN
O
O
V
V
,
,
N.
N.
:
:
Cálculo
Cálculo
Diferencial
Diferencial
e
e
Integral
Integral
. Tomo I. Editorial
. Tomo I. Editorial
Mir
Mir
.
.
1.
1.
LA
LA
ANTIDERIV
ANTIDERIV
ADA
ADA
Y LA
Y LA
INTEGRAL
INTEGRAL
INDEFINIDA
INDEFINIDA
2.
2.
PRO
PRO
PIED
PIED
ADES
ADES
BÁSI
BÁSI
CAS.
CAS.
3.
3.
IN
IN
TE
TE
GR
GR
AL
AL
ES
ES
EL
EL
EM
EM
EN
EN
T
T
AL
AL
ES
ES
,
,
AL
AL
GU
GU
NA
NA
S
S
AP
AP
LI
LI
CA
CA
CI
CI
ON
ON
ES
ES
DE
DE
LA
LA
INTEGRAL INDEFINIDA
INTEGRAL INDEFINIDA
4.
Primitivas o Antiderivadas
Una función
F se llama anti derivada
de una función
f en un intervalo I, si la
derivada de F es f; esto es:
F´(x) = f(x) para todo x en I.
Observación:
De la definición se ve que F no es única.
Para que F´(x) exista, la función F(x) debe
ser continua.
2 -x
e dx
,
sen x
dx
x
,
cos
x
dx
x
,
1
ln
dx
x
.
En el mismo sentido:
La función G(x) es una primitiva de la función f(x) en un intervalo I si
G´(x)=f(x) para todo x del intervalo I.
No toda función admite primitiva en un intervalo I.
Sin embargo se verifica lo siguiente
Teorema
Toda función continua f en el intervalo [a,b] tiene una función primitiva y, por
consiguiente integral indefinida. Sin embargo,
…
.
“La
derivada de una función elemental es una función elemental, la primitiva
de una función elemental puede no ser una función
elemental”
)
(
))
(
(
x
f
dx
x
F
d
Para encontrar la primitiva de una función debemos establecer la existencia
de una función F(x) tal que su derivada sea igual a la función f(x) conocida
ESCUELA DE INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES
Ejemplo. Sea f(x) = x; ¿cuál será su primitiva?
¿cumple el requisito
(
(
))
f
(
x
)
?
dx
x
F
d
x
x
dx
x
F
d
2
1
2
))
(
(
1Luego F
1
(x) es primitiva de f(x)
2 12
1
)
(
x
x
F
¿Qué
ocurre
con
2
?
2
1
)
(
2 2x
x
F
x
dx
x
F
d
(
2(
))
Luego F
2
(x) también es primitiva de f(x).
55
2
1
)
(
2 3x
x
F
F
3
(x) también es primitiva de f(x).
Observación:
De la definición y los ejemplos se ve que F no
es única. Para que F´(x) exista, la función F(x)
debe ser continua.
Se concluye en que si una función f(x) es continua y
derivable puede tener infinitas funciones primitivas, cuya
forma es:
Donde C es una constante arbitraria o “constante de
mitigación”.
C
x
x
F
2
2
1
)
(
Interpretación geométrica
TEOREMA
Si F es una anti derivada de f en un intervalo I, la anti derivada
más general de f en I es: F (x)+ C, donde C es una constante
arbitraria.
NOTACION
El conjunto de todas las anti derivadas se denomina: la
Integral
Indefinida
de f respecto a x, denotada por:
f
(
x
)
dx
F
(
x
)
C
Símbolo de
Integral
Función
Diferencial de x
Una anti derivada de
fConstante de
integración
ESCUELA DE INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES
Ejemplo:
la integral indefinida de f(x) = e
xes G(x) = e
x+ C, donde C es una
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
1. Del múltiplo constante:
kf
(
x
)
dx
k
f
(
x
)
dx
2. De la suma o diferencia:
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
f
(
x
)
dx
g
(
x
)
dx
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
f
(
x
)
dx
g
(
x
)
dx
CUIDADO:
Ejercicios
Encuentre la anti derivada más general de cada una
de las siguientes funciones.
x
x
f
d
c
e
x
f
a
x
cos
)
(
)
x
1
f(x)
)
)
(
b)
8x
f(x)
)
3
dx
x
sen
g
dx
e
f
dx
x
e
x
)
3
(
)
)
)
2
5
dx
x
x
x
dx
x
x
dx
x
dx
x
)
1
(
)
4
2
(
)
4
1
)
3
3
6
)
2
)
8
(
)
1
3
2
3
2
7
Determine:
dx
senx
x
dx
x
x
dz
z
z
dx
x
x
3
2
3
2
)
2
(
cos
6
)
8
)
3
cos(
.
)
7
1
3
)
6
3
2
)
4
(
)
5
Las integrales inmediatas son aquellas que se resuelven por la aplicación directa de
alguna fórmula de integración.
Integrales inmediatas para funciones compuestas
x
r
dx =
x
r+1
r + 1
+ C, para cualquier constante r
–
1
f '(x) [f(x)]
r
dx =
[f(x)]
r+1
r + 1
+ C para r
-1
1
2
2 cos 2x sen
3
2x dx =
1
2
sen
4
2x
4
=
1
8
sen
4
2x + C
Tipo general
cos 2x sen
3
2x dx =
Ejemplo:
1
x
dx = ln | x | + C
Tipo general
Ejemplo:
dx
x
f
x
f
)
(
)
(
'
= ln |f(x)| + C
tg 3x dx =
–1
3
–3 sen 3x
cos 3x
dx
= –1
3
ln |cos 3x | + C
a
x
dx =
a
x
ln a
+ C, para cualquier a > 0
Para a = e se obtiene
e
x
dx = e
x
+ C
Tipo general
Ejemplo:
f '(x) a
f(x)
dx =
a
f(x)
ln a
+ C, para a > 0
x
2
e
x3
dx =
1
3
3x
2
e
x3
dx =
1
3
e
x3
+ C
sen x dx
= – cos x + C
Tipo general
Ejemplo:
f '(x) sen f(x) dx
= –cos f(x) + C
e
3x
sen (e
3x
+ 5) dx =
1
3
3 e
3x
sen (e
3x
+ 5) dx
= –
1
3
cos (e
3x
+ 5) + C
cos x dx = sen x + C
Tipo general
Ejemplo:
f '(x) cos f(x) dx = sen f(x) + C
e
7x
cos (e
7x
+ 5) dx =
1
7
7 e
7x
cos (e
7x
+ 5) dx =
1
7
sen (e
7x
+ 5) + C
21
arcsen( )
1
dx
x C
x
Tipo
general
Ejemplo:
g '(x)
1 - [g(x)]
2
dx = arcsen g(x) + C
e
3x
1
–
e
6x
dx =
e
3x
1
–
(e
3x
)
2
dx =
1
3
3e
3x
1
–
(e
3x
)
2
dx =
1
3
arcsen e
3x
+ C
1
1 + x
2dx = arctg x + C
2f ( )
arctg( )
1
f ( )
x
dx
x C
x
Tipo
general
1
1 + 2x
2
dx =
Ejemplo:
1
1 + ( 2x)
2
dx =
1
2
2
1 + ( 2x)
2
dx =
1
arctg
2x
2
C
APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN DONDE SE TRATA DE ENCONTRAR UNA FUNCIÓN
CONOCIENDOSE UNA EXPRESIÓN QUE INVOLUCRA A ALGUNA DE SUS DERIVADAS
(ECUACIONES DIFERENCIALES).