Problemas Resueltos

(1)

EQUIVALENCIA

Notaciones generales utilizadas.

Valor futuro en función del valor presente para tasa efectiva i correspondiente a n periodos de capitalización.

Valor presente en función del valor futuro para tasa efectiva i correspondiente a n periodos de capitalización.

Valor de anualidad en función del valor futuro para tasa efectiva i correspondiente a n periodos de cuota.

. / Valor futuro en función del valor de anualidad futuro para tasa efectiva i correspondiente a n periodos de cuota.

. /

Valor de anualidad en función del valor presente para tasa efectiva i correspondiente a n periodos de cuota.

. /

Valor presente en función del valor de anualidad futuro para tasa efectiva i correspondiente a n periodos de cuota.

{

[ ] } Valor de anualidad en función de un gradiente aritmético con base B y _{gradiente G para tasa efectiva i correspondiente a n periodos de cuota.}

{ (

) }

Valor presente de un gradiente geométrico con cuota inicial T e incrementos proporcionales s, para tasa efectiva i correspondiente a n periodos de cuota.

Conversión de intereses efectivos con periodos de capitalización menores a tasas de plazo mayor relacionadas a partir de m.

(mensual a anual  m = 12) ⁄

Conversión de intereses efectivos con periodos de capitalización mayores a tasas de plazo menor relacionadas a partir de m.

(anual a mensual  m = 1/12)

(

)

Expresión para interpolar valores obtenidos a partir de las tablas de interés compuesto discreto.

(2)

1 Una firma financiera le ofrece a usted un préstamo de $1’000.000 a 60 meses con un interés mensual del 3%. a) Determine el valor de los pagos mensuales. b) ¿A cuánto equivaldrían los pagos mensuales si el interés fuese del 1,5% mensual?

1000000 1 2 3 4 5 57 58 59 60 meses

A = ?

a)

P = 1’000.000 i1 = 3% n = 60 meses ( ) ( ) b) P= 1’000.000 n=60 i2= 1,5%

( )

2

Un inventor recibe ofertas de dos compañías. Tiene que decidir cuál es la mejor oferta

tomando como punto de referencia su posibilidad de invertir al 14% anual.

a) Oferta 1 — $150.000 hoy y $200.000 dentro de 10 años.

b) Oferta 2 —, $30.000 al final de cada uno de los próximos 10 años.

a) Oferta 1.

P = ?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Años i = 14% anual

(3)

Para el valor de $200.000

Ptotal = 53.948 + 150.000 = 203.948,76 b) Oferta 2. P = ? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Años

i = 14% anual

A = 30000

(

)

( ) P = 156.483,47

La oferta 1 es la mejor teniendo en cuenta que es la que ofrece mayor valor hoy.

3 La organización para la cual usted trabaja tiene un fondo de préstamos de emergencia, cuyo reglamento establece que los créditos serán a 12 meses y que las cuotas 3, 6, 9 y 12 serán el doble de las demás. Asimismo, el interés es del 1,5% mensual. La cantidad que le van a prestar depende de la cuota.

a) Si le prestan $500.000, ¿cuáles serán sus cuotas normales?

b) Si sus cuotas normales son $10.000, ¿Cuál sería el valor del préstamo?

= 1,5% Anualidad mensual = 12

(4)

a)

P = 500000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

A A A A A A A A 2A 2A 2A 2A

Se trabajará entonces en base a dos anualidades, una mensual y otra trimestral, ambas con el mismo valor de cuota A. *( ) ( )+ [ ] b) P = ? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A A A A A A A A A = 10.000 i=1,5% n=12 2A 2A 2A 2A A = 10.000 i=4,57% n=4 *( ) ( )+ [ ]

4 Una organización desea comprar un vehículo que cuesta $7’800.000, puede pagar $1‘500.000 de contado y el resto a 12 meses. La financiera XW acepta 12 cuotas de $550.000 y la financiera XY ofrece financiar al 0,75% mensual. ¿Cuál financiación debe aceptar? ¿Qué interés mensual cobra la XW? ¿Cuáles serían las cuotas en la XY?

Vehículo= 7’800.000 Inicial= 1’500.000

(5)

Compañía XW P = 6’300.000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Meses

i = ?

A = 550.000

(

)

i= 0,7 %

(

)

i= 0,75%

(

)

Interpolando

(

)

( )



Por Solver de Excel se halla

que genera

Compañía XY P = 6’300.000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Meses

i = 0,75% mensual

A = ? ( )

(6)

La mejor opción de financiación es tomar el crédito con la compañía XW, la cual cobra un interés del 0,723% mensual, mientras que XY cobra un interés del 0,75% mensual, lo que genera una cuota de 550.944,3.

5 Un señor compra un auto y deposita el 30% de su valor como cuota inicial; además, para pagar la diferencia, firma 24 letras con vencimiento mensual. El interés es del 5% mensual. Después de efectuar 14 pagos, le informan que las 10 letras restantes valen $3’500.000 si las paga inmediatamente. ¿Cuál era el valor nominal del vehículo?

P = 70% VN 1 2 3 ... 14 …… 22 23 24 Meses

i = 1,5% mensual

3’500.000

A = ?

Inicial 30% de X

n= 24

i= 5%

P= 0,7X

El valor presente del préstamo en el periodo 14 es de 3’500.000, con base en esto se calcula la

cuota con n=10 y el interés del préstamo.

(

)

Con la cuota calculada se estima el valor presente del préstamo total con n=24.

(

)

El valor presente hallado equivale al 70% del valor nominal del vehículo.

(7)

6 Se estima que un depósito de azufre producirá 20.000 toneladas de azufre este año y que la producción disminuirá en 500 ton/año hasta el final del proyecto, el cual ocurrirá en 20 años. La utilidad neta será de US$60/ton durante los primeros 9 años, y de US$80/ton durante los 11 años restantes. ¿En cuánto podemos valorar la mina hoy día, si la tasa mínima de retorno es el 16% anual (en dólares)?

B2=1’240.000 B1=1’200.000 G1 = -30.000 G2 = -40.000

.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Años P = ? i = 16% anual , _[ _]- , _[ _] - Unidades Monetarias ( ) Unidades Monetarias

A partir del periodo 10:

, _[ _] - Unidades Monetarias ( ) Unidades Monetarias

El valor anterior corresponde al valor de la mina en el periodo 9, para sumarlo con debe llevarse al periodo cero:

(8)

Entonces el valor de la mina hoy es:

7 ¿Cuál sería la utilidad (US $/ton) del problema anterior en caso de ser uniforme, para que llegara a ser equivalente a las utilidades diferenciales?

Para encontrar las utilidades uniformes es necesario convertir el gradiente que representa la producción, en toneladas, de la mina a una anualidad.

20.000 G = -500

i = 16% anual

0 1 2 3 4 15 16 17 18 19 20 B= 20.000 G=-500 I=16% , _[ _]- En toneladas

El valor de la cuota debe ser equivalente a la de una cuota calculada con el valor presente de la mina en pesos: ( ) en pesos

Para obtener la utilidad ($/Ton) se relacionan las dos cuotas halladas:

(9)

8 La herencia del señor Rico asciende a $10’000.000, depositados en un fondo que produce el 18% anual. El Señor Rico dispone en su testamento que el primer año se entreguen a sus herederos $2’000.000, el segundo $2’100.000, el tercero $2’200.000, etc.

a) ¿Durante cuántos años se pueden hacer los pagos? (La respuesta puede ser decimal.)

b) ¿Cuántos años habría durado si el esquema hubiese sido $2’500.000, $2’400.000, $2´300.000, etc.? c) ¿Cuánto si hubiesen sido pagos uniformes de $2’200.000?

d) ¿Cuánto, si hubiesen sido pagos uniformes de $1‘800.000? Discuta los resultados.

10’000.000

i = 18% anual

1 2 3 4 5 n-2 n-1 n Años

2’000.000 G = 100.000 a) P=10’000.000 i=18% anual B=2’000.000

Con base en las formulas:

( ) y ,

[ ] -;

Al reemplazar el valor de A en la primera ecuación, se puede calcular directamente el valor presente de un gradiente aritmético.

, * _[ _] +- ( ) Para hallar el valor de n que genere un P=10’000.000 se interpola entre n=9 y n=10. Si n=9, entonces P= 9.869.330,9835

Si n=10, entonces P= 10.423.417,9375 Interpolando n=9,24; P=10’006.610,96

Mediante Solver de Excel se obtiene el valor: n=9,2243029 que genera un P=10’000.000.

b)

10’000.000

i = 18% anual

1 2 3 4 n-2 n-1 n G = -100.000 2’500.000

(10)

n=?

B=2’500.000

G=-100.000

Se usa la misma ecuación del punto a), y se interpola n entre 10 y 11.

Si n=10, entonces P= 9’799.970,9847

Si n=11, entonces P= 10’042.848,9493 Interpolando n=10,82; P=10’004.000,59

c)

P = 10’000.000 1 2 3 4 5 6 7 n-2 n-1 n Años

i = 18% anual

A = 2’200.000 ( ) ( )

Se interpola n entre 10 y 11.

Si n=10, entonces P= 9’886.989,84 Si n=11, entonces P= 10’243.211,74 Interpolando n=10,32; P=10’006.446,57

d)

P = 10’000.000

1 2 3 4 5 6 7 n-2 n-1 n Años

i = 18% anual

(11)

( )

(

)

En este caso en particular se tiene que ; es decir se tiene una anualidad perpetua, entonces se supone se podría hacer retiros por una cantidad infinita de periodos de tiempo, sin embargo, se sugiere reemplazar valores muy grandes para n en la ecuación correspondiente al cálculo para verificar esta afirmación.

9 a) ¿

Cuánto se acumulará al final de 10 años si hoy invierto $200.000 y dentro de 5 años invierto

$150.000 con un interés del 18% anual? b) ¿Cuál sería el resultado si el interés fuese el 18% anual compuesto mensualmente? F = ? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Años 200.000 150.000 a) Futuro para $200.000 F = 200.000 (5,233836) F = 1’046.767,11 Futuro para $150.000 F = 150.000 (2,287758) F = 343.163,66 Futuro total Ftotal = 1’046.767,11 + 343.163,66 Ftotal = 1’389.930,77

(12)

b)

Futuro para $200.000 F = 1’193.864,57 Futuro para $150.000 Futuro total

10

Si Jorge compra un auto por $4’500.000 y da $2’000.000 como cuota inicial, a) ¿Qué

cuotas mensuales debe pagar al final de los 30 meses siguientes, para cubrir la cantidad

financiada, si el interés es el 24% anual compuesto mensualmente? b) ¿Cuál sería su cuota

si el interés fuese el 24% anual?

P = 2’500.000

1 2 3 4 5 6 7 28 29 30 Meses r

= 24% a. c. mensual

A = ?

a)

(13)

( ) ( ) b) ⁄ ⁄ ( ) ( )

11 ¿Qué pagos crecientes aritméticamente serían equivalentes a la situación del problema anterior si el gradiente es la mitad de la base?

2’500.000

i = 2% mensual

1 2 3 4 5 28 29 30 Meses

B = ? G = B/2 Para $111.624,81 , [ ]- , [ _] - { }

(14)

Para $108.699,6 , [ ]- , [ _] - { }

12 Hace 5 años, al comprar de contado su casa, Enrique pagó $2’500.000. Los estimados de los arriendos anuales ahorrados son: $480.000, $600.000, $720.000, $840.000, $960.000 y el valor al vender hoy la casa es $20’000.000, ¿cuál es la rentabilidad lograda? (Ayuda: formule la ecuación de equivalencia y ensaye varios valores de i?

20

’

000.000 G = 120.000

i = ?

B=480.000 1 2 3 4 5 Años 2’500.000

Para los arriendos

* , [ ] -+ ( ) * , [ ] -+ ( )

Para el precio de venta

⁄

Valor presente total.

Para hallar el valor de la rentabilidad lograda , se toma como referencia i=64% e i=65%. Si i=64%; entonces P=2.561,85

Si i=65%; entonces P=2.498,75

Interpolando se encuentra que i=64,98019% genera un P=2499,98; y por Solver de Excel se encuentra i=64,979835% que genera un P=2.500.

(15)

13 Con miras a realizar un viaje dentro de un año, un profesional recién egresado colocará $16.500 al final de cada uno de los próximos 12 meses, en una entidad que paga el 24% anual compuesto trimestralmente. ¿Cuál será la suma de dinero disponible en el momento de realizar el viaje? Resuélvalo bajo cuatro supuestos:

a) Tratamiento de anualidad trimestral teniendo en cuenta que las 2 primeras cuotas de cada trimestre no ganan interés.

b) Las dos primeras cuotas de cada trimestre recibirán interés simple igual al 1,5% mensual. c) Las dos primeras cuotas de cada trimestre recibirán interés compuesto del 1,5%, lo que se traducirá en pequeñas anualidades durante el trimestre.

d) Tratamiento de la anualidad de forma mensual.

F = ?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Meses r = 24% anual cap. trimestral

A = 16.500

i = 24 / 4 = 6%

a) Para este caso se hará un tratamiento de anualidad trimestral teniendo en cuenta que las 2 primeras

cuotas de cada trimestre no ganan interés. A = 16.500 * 3 A = 49.500

(

)

( ) F = 49.500 * (4,37462) F = 216.543,49

b) Para este caso las dos primeras cuotas de cada trimestre recibirán interés simple así:

Para la primera cuota de cada trimestre tendríamos: F = 16.500 * (1 + (2 * 0,015))

(16)

Para la segunda cuota de cada trimestre: F = 16.500 * (1 + (1 * 0,015))

F = 16.747

Replantear la situación inicial a una anualidad trimestral: A = 16.995 + 16.747 + 16.500 = 50.242

(

)

(

)

c) Para este caso las dos primeras cuotas de cada trimestre recibirán interés compuesto menor a la tasa

pactada por trimestre, lo que se traducirá en pequeñas anualidades durante el trimestre, de la siguiente manera

(

)

(

)

F = 50.246,21

Replantear la situación original a una anualidad trimestral, obteniendo:

(

)

(

)

d) Para este caso trataremos la anualidad de forma mensual y no como veníamos estudiándola en los

incisos anteriores. ⁄ ⁄

(17)

(

)

(

)

14 Un equipo de perforación cuesta $7´000.000, de los cuales $2000.000 se pagarán hoy y los $5000.000 restantes deben pagarse en 24 cuotas mensuales con una financiación del 1,5% mensual. Los costos de mantenimiento serán de $700.000 el primer año y se incrementarán en $70.000 por año. El equipo tiene una duración de 5 años, al cabo de los cuales carece de valor.

a) ¿Cuáles deben ser los pagos mensuales uniformes para cubrir la deuda y los intereses?

b) ¿Cuáles serían los costos uniformes de mantenimiento equivalente al esquema real, si la tasa mínima es del 24% anual?

c) ¿Cuánto podría pagarle hoy día esta organización a otra que se encargará de comprar (usando el mismo esquema de financiación) y mantener a máquina en operación por 5 años? La tasa mínima de la organización es el 24% anual.

a) Financiación

P = 5’000.000 1 2 3 4 5 6 7 22 23 24 Meses

i = 1,5% mensual

A = ? ( ) ( ) A = 5’000.000 (0,04992) A = 249.620,51 b) Mantenimiento

.

0 1 2 3 4 5 Años

.

700.000

i = 24% anual

G = 70.000

(18)

, _[ _] - , _[ _] - c) ( ) La empresa podría pagar:

15 a) ¿Cuál es la tasa trimestral efectiva equivalente a una tasa diaria del (1/15)%? b) ¿Cuál sería la tasa trimestral nominal? c) ¿Cuál sería la tasa anual efectiva? d) ¿Cuál sería la tasa anual nominal? e) ¿Cuál sería el interés continuo equivalente?

a) b)

;

c) d)

;

(19)

16 Un crédito para adquisición de ropa en el almacén XYZ de Cali, se realizó en las siguientes condiciones: Valor de la ropa: $30.000 Cuota inicial: $7.500 Cuota mensual: $4.350 No de cuotas: 6

¿Qué tasa de interés mensual se ha cargado? ¿Qué tasa anual nominal y qué tasa anual efectiva? Como por ley usted debe pagar un máximo del 2% mensual sobre saldos, ¿Cuál hubiese sido su cuota en este caso? ¿Aceptar el crédito fue buena o mala decisión económica?

P = 22.500 1 2 3 4 5 6 Años

i = ?

A = 4.350 a)

(

)

(

)

Para hallar i se interpola entre i=4% e i=5%

Si i=4% entonces

Si i=5% entonces

Interpolando: i=4,4189% y =5,1724

Mediante Solver de Excel se encuentra que =5,1714 con i=4,41281%

b)

(20)

c)

(

)

(

)