1
Pregunta rápida 1.1Dos varillas aislantes se encuentran cargadas con cargas de signo contrario en sus dos extremos. Las dos varillas están apoyadas sobre sus centros, de modo que pueden girar libremente, y colocadas en la posición que se muestra en la figura 1.1, vista desde arriba. El plano de rotación de las varillas es el plano del papel. ¿Vuelven las varillas a dicha posición si se las separa ligeramente y luego se las libera? Si no es así, ¿a qué posición se moverán? ¿Representa la posición final (o posiciones finales, si hay más de una) un equilibrio estable?
Figura 1.1 Si se perturba el sistema ¿volverá a esta posición?
Respuesta y explicación
La configuración es inherentemente inestable. Las cargas negativas se repelen. Cualquier ligera rotación de una de las varillas podría producir una rotación adicional que alejaría el sistema de su posición inicial. En el siguiente diagrama se muestran tres posibles configuraciones finales. La configuración (a) es estable: si se acercan los extremos superiores cargados positivamente, se repelerán y devolverán el sistema a su posición inicial. La configuración (b) representa un equilibrio inestable: si se acercan los extremos superiores, la atracción entre ellos será mayor que la de los extremos inferiores, acabándose en la configuración (c). La configuración (c) es estable.
(a) (b)
(c)
Figura 1.2 Explicación de la pregunta rápida 1.1 Situación problémica 1.1
Una esfera cargada positivamente, pendiente de un hilo, se sitúa cerca de un objeto no conductor. La esfera es atraída por el objeto. A partir de este experimento, no es posible determinar si el objeto está cargado negativamente o es neutro.
¿Por qué no? ¿Qué experimento adicional sería de ayuda para decidir entre ambas posibilidades? Razonamiento
La atracción entre la esfera y el objeto puede ser una atracción de cargas de signo contrario o también puede ser la atracción entre un objeto cargado y uno neutro debido a la polarización de las moléculas del objeto neutro. Hay dos posibles experimentos adicionales que ayudarían a determinar si el objeto estará cargado negativamente cerca del objeto; si la esfera es repelida por el objeto, éste estará cargado negativamente. Otra posibilidad consiste en situarse una esfera carga negativamente cerca del objeto; si la esfera es repelida por el objeto, éste estará cargado negativamente. Si la esfera es atraída por él, el objeto tendrá una carga neutra. Pregunta rápida 1.2
El objeto A tiene una carga de +2 μC y el objeto B tiene una carga de + 6 μC. ¿Cuál de las
siguientes es correcta? (a) FAB = - 3FBA
(b) FAB = - FBA (c) 3FAB = - FBA Respuesta y explicación
(b) A partir de la tercera ley de Newton, la fuerza eléctrica que B ejerce sobre A es de igual magnitud y sentido contrario a la que A ejerce sobre B, es decir, FAB = - FBA
Pregunta rápida 1.3
Una carga de prueba puntual de + 3 μC se encuentra situada en un punto P, donde el campo eléctrico debido a una serie de cargas fuente se dirige hacia la derecha y tiene una magnitud de 4x106 N/C. Si la carga de prueba se sustituye por
una carga de – 3 μC, ¿qué le sucede al campo eléctrico en P?
Respuesta y explicación
Nada, suponiendo que las cargas fuente que crean el campo no sean perturbadas por nuestras acciones. Recuerde que el campo eléctrico no es creado por la carga de + 3 μC ni por la carga de -3 μC, sino por las serie de cargas fuente.
Pregunta rápida 1.4
Una pelota de plástico muy pequeña, recubierta de metal y de carga neutra, está suspendida en el espacio entre dos placas metálicas verticales,
2
donde existe un campo eléctrico uniforme. Si lasdos placas están cargadas, una positiva y la otra negativamente, describa el movimiento de la pelota después de ponerla en contacto con una de las placas.
Respuesta y explicación
Las dos placas cargadas crean una región de campo eléctrico uniforme entre ellas, dirigido desde la positiva hacia la negativa. Si la pelota se perturba de modo que toque una de las placas, por ejemplo la negativa, una cierta carga negativa se transferirá a la pelota, que experimentará una fuerza de repulsión que acelerará hacia la placa positiva. Cuando toque la placa positiva, cederá su carga negativa y adquirirá carga positiva, y se acelerará de nuevo hacia la placa negativa. La pelota continuará realizando este movimiento de un lado a otro hasta que haya transferido la carga entre ellas, dejando ambas placas en estado eléctricamente neutro.
Pregunta rápida 1.5
Cuando hace buen tiempo, aparece un campo eléctrico sobre la superficie de la Tierra, que apunta hacia el interior de ésta. ¿Cuál es el signo de la carga del suelo en dicho caso?
Respuesta y explicación
Negativa, puesto que la líneas de campo eléctrico apuntan hacia abajo, el suelo debe tener cargas negativas.
Pregunta rápida 1.6
Ordene los valores de la magnitud del campo eléctrico en los puntos A, B y C de la figura 1.3, de mayor a menor.
Figura 1.3 Líneas de campo eléctrico por dos cargas puntuales positivas
Respuesta y explicación
A, B y C. El campo eléctrico máximo en A, puesto que las líneas se encuentran más juntas. El hecho de que no haya líneas en C indica que el campo allí es cero.
Ejemplo conceptual 1.1
Si un objeto suspendido A es atraído hacia el objeto B, que está cargado, ¿podemos concluir que el objeto A está cargado?
Razonamiento
Figura 1.4: Atracción electrostática entre una esfera cargada B y un conductor neutro A
No. El objeto A podría tener una carga de signo opuesto a la de B, pero también podría ser neutro. En este último caso , el objeto B hace que A se polarice, con lo cual atrae carga de un signo a la cara cercana de A, y al mismo tiempo desplaza una cantidad igual de carga del signo opuesto hacia la cara lejana, como se muestra en la figura 1.4. Así, la fuerza de atracción ejercida sobre B por cara inducida en el lado cercano de A es ligeramente mayor que la fuerza de repulsión ejercida sobre B por la carga inducida en lado lejano de A. En consecuencia, la fuerza neta sobre A está dirigida hacia B.
Ejemplo 1.2 Determinación de la fuerza resultante
Considere tres cargas puntuales localizadas en las esquinas de un triángulo, como se muestra en la figura 1.5, donde q1 = q2 = 5.0 μC, q3 = - 2.0 μC
y a = 0.10 m. Encuentre la fuerza resultante sobre q3.
Solución
Primero observe la dirección de las fuerzas individuales ejercidas sobre q3 por q1 y q2. La
3
a que q3 y q2 tienen signos opuestos. La fuerzaejercida sobre q3 por q1 es repulsiva debido a que
ambas son positivas.
Figura 1.5 La fuerza ejercida sobre q3 por q1 es F31.
La fuerza ejercida sobre q3 por q2 es F32. La fuerza
resultante ejercida por F3 sobre q3 es el vector suma F31 + F32
Calcule ahora la magnitud de las fuerzas sobre q3.
La magnitud de F32 es: 2 2 3 e 32
a
q
q
k
F
2 6 6 2 2 9m
10
.
0
C
10
x
0
.
2
C
10
x
0
.
5
C
m
.
N
10
x
99
.
8
N
0
.
9
Advierta que en vista de que q3 y q2 tienen signos
opuestos, F32 está dirigido hacia la izquierda,
como se muestra 1.5
La magnitud de la fuerza ejercida sobre q3 y q1 es
2 1 3 e 31a
2
q
q
k
F
2 6 6 2 2 9m
10
.
0
2
C
10
x
0
.
5
C
10
x
0
.
5
C
m
.
N
10
x
99
.
8
N
0
.
11
La fuerza F31 es repulsiva y forma un ángulo de
45º con el eje x. En consecuencia, las componentes x y y de F31 son iguales, con
magnitud dada por F31cos45º = 7.9 N. La fuerza
F32 está en la dirección x negativa. Por tanto, las
componentes x y y de la fuerza resultante sobre q3
son
Fx = F31x + F32x = 7.9 N - 9.0 N = -1.1 N
Fy = F31y = 7.9 N
La fuerza resultante sobre q3, en forma de vector
unitario como F1 = (-1.1i +7.9j) N.
Ejemplo 1.3 ¿Dónde es igual a cero la fuerza resultante?
Tres cargas se encuentran a lo largo del eje x, como se muestra en la figura 1.6. La carga positiva q1 = 15.0 μC está en x = 2.00 m y la
carga positiva q2 = - 6.00 μC está en el origen.
¿Dónde debe estar situada la carga q3 sobre el
eje x de manera que la fuerza resultante sobre ella sea cero?
Solución
Puesto que q3 es negativa y tanto q1 como q2 son
positivas las fuerzas F31 y F32 son atractivas,
según se indica en la figura 1.6. Si dejamos que x sea la coordenada de q3 entonces las fuerzas F31
y F32 tienen magnitudes
2 1 3 e 31x
00
.
2
q
q
k
F
y 2 2 3 e 32x
q
q
k
F
Figura 1.6 Tres cargas puntuales se colocan a lo largo del eje x. La carga q3 es negativa, en tanto que
q1 y q2 son positivas: Si la fuerza neta sobre q3 es
cero, entonces la fuerza sobre q3 debida a q1 deber
ser igual y opuesta a la fuerza sobre q3 debida a q2. Para que la fuerza resultante sobre q3 sea cero,
F32 debe ser igual y opuesta a F31, o
2 1 3 e 2 2 3 ex
00
.
2
q
q
k
x
q
q
k
Puesto que ke y q3 son comunes en ambos lados,
despejamos x y encontramos que
1 2 2 2q
x
q
x
00
.
2
4.004.00xx2
6.00106C
x2
15.0106C
4
Al resolver está ecuación cuadrática para x,encontramos que x = 0.775 m
Ejemplo 1.4 El átomo de hidrógeno
El electrón y el protón de un átomo de hidrógeno están separados por una distancia en promedio de 5.3x10-11 m. Encuentre la magnitud de la fuerza
eléctrica y la fuerza gravitacional entre las dos partículas.
Solución
De acuerdo con ley de Coulomb, encontramos que la fuerza eléctrica atractiva tiene la magnitud
2 2 e e
r
e
k
F
11
2 2 19 2 2 9 em
10
x
3
.
5
C
10
x
60
.
1
C
m
.
N
10
x
99
.
8
F
N
10
x
2
.
8
F
8 e
Utilizando la ley de gravedad de Newton para las masas de partículas determinamos que la fuerza gravitacional tiene la magnitud
2 p e g
r
m
m
G
F
11
2 27 31 2 2 11 gm
10
x
3
.
5
kg
10
x
67
.
1
kg
10
x
11
.
9
kg
m
.
N
10
x
7
.
6
F
N
10
x
6
.
3
F
g
47 La razón 39 g e2
x
10
F
F
. Así pues, la fuerza gravitacional entre partículas atómicas cargadas es despreciable comparada con la fuerza eléctrica.Ejemplo 1.5 Determinación de la carga en esferas
Dos pequeñas esferas idénticas cargadas, cada una con 3.0x10-2 kg de masa, cuelgan en
equilibrio como se indica en la figura 1.7. Si la longitud de cada cuerda es 0.15 m y el ángulo θ = 5.0º, encuentre la magnitud de la carga sobre cada esfera.
Figura 1.7 Dos esferas idénticas, cada una con la misma carga q, suspendida en equilibrio por medio de cuerdas.
De acuerdo con el triángulo rectángulo de la figura 1.7, vemos que
L
a
sen
. Por consiguiente
0
.
15
m
sen
5
.
0
º
0
.
013
m
Lsen
a
La separación de las esferas es 2a = 0.026 m
Figura 1.8 El diagrama de cuerpo libre para la esfera cargadas en el lado izquierdo.
La fuerza que actúan sobre una de las esferas se muestran en la figura 1.8: Debido a que la esfera está en equilibrio, las resultantes de las fuerzas en las direcciones horizontal y vertical deben sumar cero por separado:
5
0
F
Tsen
F
)
1
x
e
0
mg
cos
T
F
)
2
y
En la ecuación (2), venos que
cos
mg
T
, por lo queT
puede eliminarse de 1) si hacemos esta sustitución. Lo anterior brinda un valor para la fuerza eléctrica,F
e
tan ) 3 Fe mg
3
.
0
x
10
kg
9
.
80
m
/
s
tan
5
.
0
º
F
e
2 2N
10
x
6
.
2
F
e
2De la ley de Coulomb, la fuerza eléctrica entre las cargas tiene magnitud
2 2 e e
r
q
k
F
donde r = 2a = 0.026 m y laq
es la magnitud de la carga en cada esfera. (Advierta que el término2
q
surge aquí debido a que la carga es la misma en ambas esferas). En esta educación puede despejarseq
2 y obtenerse 2 2 9 2 2 e e 2C
/
m
.
N
10
x
99
.
8
)
m
026
.
0
)(
N
10
x
6
.
2
(
k
r
F
q
C
10
x
4
.
4
q
8Ejemplo 1.6 Fuerza eléctrica sobre un protón Encuentre la fuerza eléctrica sobre un protón ubicado en un campo eléctrico de 2.0x104 N/C
dirigido a lo largo del eje x positivo. Solución
Puesto que la carga sobre el protón es + e = 1.6x10-19 C, la fuerza eléctrica sobre él es
F = eE = (1.6x10-19 C)(2.0x104i N/C) = 3.2x10-15N
donde i es un vector unitario en la dirección x positiva.
El peso del protón es mg = (1.67x10-27kg)(9.8m/s2) = 1.6x10-26 N. Por
consiguiente, vemos que la magnitud de la fuerza gravitacional en este caso es despreciable comparada con la fuerza eléctrica.
Ejemplo 1.7 Campo eléctrico debido a dos cargas
Una carga q1 = 7.0 μC se localiza en el origen y
una segunda carga q2 = - 5.0 μC se ubica en el
eje x a 0.30 m del origen, (figura 1.9). Encuentre el campo eléctrico en el punto P, el cual tiene coordenadas (0, 0.40) m.
Solución
Primero encuentre la magnitud del campo eléctrico producido por cada carga. Los campos E1 producidos por la carga de 7.0 μC y E2 debido
a la carga - 5.0 μC se muestran en la figura 1.9. Sus magnitudes son
2 6 2 2 9 2 1 1 140
.
0
10
0
.
7
.
10
99
.
8
m
C
x
C
m
N
x
r
q
K
E
e
C
N
x
E
1
3
.
9
10
5/
2 6 2 2 9 2 2 2 250
.
0
10
0
.
5
.
10
99
.
8
m
c
x
C
m
N
x
r
q
K
E
e
C
N
x
E
2
1
.
8
10
5/
Figura 1.9 El campo eléctrico total E en P es igual a la suma vectorial E1+E2, donde E1 es campo debido
a la carga positiva q1 y E2 es el campo debido a la
carga negativa q2
El vector E1 tiene sólo una componente y. El
6
E1cosθ = 3/5E1 y, una componente negativa dadapor -E2Senθ = -4/5 E2. Por tanto, podemos
expresar el vector como
E1 = 3.9x105j N/C
E2 = (1.1 x105i -1.4 x105 j) N/C
El campo resultante E en P es la superposición de E1 y E2:
E = E1 + E2 = (1.1X105i + 2.5x105j) N/C
De acuerdo con este resultado, encontramos que E tiene una magnitud de 2.7x05 N/C y forma un
ángulo Φ de 66º con el eje x positivo.
Ejemplo 1.8 Campo eléctrico de un dipolo Un dipolo eléctrico está compuesto por una carga positiva +q y una carga negativa -q separadas por una distancia 2a, como se muestra en la figura 1.10. Determine el campo eléctrico E debido a estas cargas a lo largo del eje y en el punto P, el cual está a una distancia y del origen. Suponga que y >>a.
Solución
En P, los campos E1 y E2 debido a las dos cargas
son iguales en magnitud, ya que P es equidistante de las dos cargas iguales y opuestas. El campo total E = E1 + E2, donde
2 2
2 2 2 1a
y
q
k
r
q
k
E
E
e e
Las componentes y de E1 y E2 se cancelan entre
sí. Las componentes x son iguales pues ambas están a lo largo del eje x. En consecuencia, E es paralela al eje x y tiene una magnitud igual a
2E1cosθ. En la figura 1.10 vemos que
cosθ = a/r = a/(y2+a2)1/2.
2 2
2 2 2
1/2 1cos
2
2
a
y
a
a
y
q
kk
E
E
e
2 2
3/22
a
y
qa
k
E
e
Utilizando la aproximación y>>a, podemos ignorar a2 en el denominador y escribir 3
2
y
qa
k
E
eFigura 1.10 El campo eléctrico total E en P debido a dos cargas iguales y opuestas (un dipolo eléctrico) es igual a la suma vectorial E1+E2. El campo E1 se
debe a la carga positiva +q y E2 es el campo debido
a la carga negativa – q.
De este modo vemos que a lo largo del eje y el campo de un dipolo en un punto distante varía como 1/r3, en tanto que el campo de variación
más lenta de una carga puntual varía como 1/r2 en
E para el dipolo se obtiene también para un punto distante a lo largo del eje x (solucionar este problema) y para un punto distante general. El dipolo es un buen modelo de muchas moléculas como el HCl
Ejemplo 1.9 Campo eléctrico debido a una barra cargada
Una barra de longitud tiene una carga positiva uniforme por longitud unitaria λ y una carga total Q. Calcule el campo eléctrico en un punto P a lo largo del eje de la barra, a una distancia d de un extremo (Figura 1.11)
Razonamiento y solución
En este cálculo se considera que la barra está sobre el eje x. Utilicemos Δx para representar la longitud de un pequeño segmento de la barra y expresamos con Δq la carga sobre el segmento. La proporción entre Δq y Δx es igual a la proporción entre la carga total y la longitud total de
7
la barra. Es decir Δq/ Δx = Q/ = λ. Por tanto, lacarga Δq sobre el pequeño segmento es Δq = λ Δx.
Figura 1.11 El campo eléctrico en P debido a una barra está cargada uniformemente que yace a lo largo del eje x. El campo en P debido al segmento de carga Δq es ke Δq/x2. El campo total en P es la
suma vectorial sobre todos los segmentos de la barra.
El campo ΔE producido por este segmento en el punto P está en la dirección x negativa y su magnitud es 2 2
x
x
k
x
q
k
E
e
e
Observe que cada elemento produce un campo en la dirección x negativa por lo que el problema de sumar sus contribuciones es particularmente simple en este caso. El campo total en P producido por todos los segmentos de la barra, que se encuentran a diferencia distancias desde P, está dado por la siguiente ecuación
r
r
dq
k
E
e
2ˆ
, que en este caso se convierte en:
d d ex
dx
k
E
2donde los límites en la integral se extienden desde un extremo se la barra (x =d) hasta el otro (x = + d). Puesto que ke y λ son constantes, pueden salir
del integrando. De esta forma encontramos que
d d e d d e
x
k
x
dx
k
E
1
2
d
d
Q
k
d
d
k
E
e e
1
1
donde hemos usado el hecho que la carga total Q = λ .
A partir de este resultado vemos que si el punto P está bastante lejos de la barra (d >> ), entonces puede ignorarse en el denominador, y E = keQ/d2.
Esta es exactamente la forma que usted esperaría para una carga puntual. Por tanto, en el caso de grandes valores de d/ , la contribución de la carga aparece como una carga puntual de magnitud Q. Utilizar la técnica de límite (d/ → ∞) es un buen método para verificar una fórmula teórica.
Ejemplo 1.10 Campo eléctrico de un anillo de carga uniforme
Un anillo de radio a tiene una carga positiva uniforme por unidad de longitud, con una carga total Q. Calcule el campo eléctrico d lo largo del eje x del anillo en un punto P que se encuentra a una distancia x del centro del anillo ( Ver figura 1.12)
Razonamiento y solución
Figura 1.12 Un anillo cargado uniformemente de radio a (a) El campo en P sobre el eje x debido a un elemento de carga dq (b) El campo eléctrico total en P está a lo largo del eje x. Advierta que la componente perpendicular del campo eléctrico en P debido al segmento 1 es cancelado por la componente perpendicular debida al segmento 2, el cual se localiza en el segmento q opuesto al anillo.
8
La magnitud del campo eléctrico en P debido alsegmento de carga dq es 2
r
dq
k
dE
eEste campo tiene una componente dEx = dEcosθ
a lo largo del eje del anillo y una componente dE┴
perpendicular al eje. Sin embargo, como vemos en la figura 1.12, el campo resultante en P debe estar sobre el eje x debido a que la suma de las componentes perpendiculares es igual a cero. Es decir, la componente de cualquier elemento es cancelada por la componente perpendicular de un elemento en el lado opuesto del anillo. Puesto que r = (x2 + a2)1/2 y cosθ = x/r encontramos que
dq
a
x
x
k
r
x
r
dq
k
dE
dE
e e xcos
2 2 2 3/2
En este caso, todo los segmentos del anillo producen la misma contribuciones al campo en P puesto todos son equidistantes de este punto. Así, podemos integrar la expresión anterior para obtener el campo total en P.
dq
a
x
x
k
dq
a
x
x
k
E
e e x 2 2 3/2 2 2 3/2
Q
a
x
x
k
E
e x 2 2 3/2
Este resultado nuestra que el campo es cero en x = 0 ¿Esto le sorprende?
Ejemplo 1.11 Campo eléctrico de un disco cargado uniformemente
Un disco de radio R tiene una carga uniforme por unidad de área σ. Calcule el campo eléctrico en un punto P que se encuentra a lo largo del eje central del disco y a una distancia x de su centro (ver figura 1.13).
Razonamiento
La solución a este problema es directa si consideramos al disco como un conjunto de anillos concéntricos. Podemos usar entonces el ejemplo 1.10, el cual produce el campo de un anillo de radio r, y sumar las contribuciones de todos los anillos que conforman el disco. Por simetría, el campo sobre un punto axial debe ser paralelo a este eje.
Figura 1.13 Un disco cargado uniformemente de radio R. El campo eléctrico en un punto axial P está dirigido a lo largo de este eje, perpendicular al plano del disco.
Solución
El anillo de radio r y ancho dr tiene un área igual a 2πrdr (ver figura 1.13). La carga dq sobre este anillo es igual al área del anillo multiplicada por la carga por unidad de área, o dq = 2πσrdr: Usando este resultado en la ecuación dada para Ex en el
ejemplo 1.10 (con
a
sustituida por r) se produce para el campo debido al anillo la expresión
rdr
a
x
x
k
dE
e2
2 / 3 2 2
Para obtener el campo total en P, integramos esta expresión sobre los límites r = 0 hasta r = R, observando que x es una constante. Esto se transforma en:
R er
x
rdr
x
k
E
0 2 2 3/22
R er
x
x
k
E
0 2 / 1 2 22
/
1
1/2 2 2R
x
x
x
x
k
E
e
El resultado es válido para todos los valores de x. El campo cercano al disco sobre un punto axial puede obtener también a partir de 1) suponiendo que R > x. 0
2
k
x
E
e9
donde Є0 es la permitividad del campo espaciolibre o vacío.
Ejemplo 1.12 Una carga positiva acelerada Una carga puntual positiva q de masa m se libera desde el reposo en un campo eléctrico uniforme E dirigido a lo largo del eje x, como se muestra en la figura 1.14 Describa su movimiento
Figura 1.14 Una carga puntual positiva q en un campo eléctrico uniforme E experimenta una aceleración constante en la dirección del campo.
Razonamiento y solución
La aceleración de la carga es constante y está dada por qE/m. El movimiento es en línea recta a lo largo del eje x. Por consiguiente, podemos aplicar las ecuaciones de la cinemática para movimiento rectilíneo con aceleración constante.
2 0 0
2
1
at
t
v
x
x
v
v
0
at
0
2 0 22
a
x
x
v
v
Si x0 = 0 y v0 = 0 se obtiene 2 22
2
1
t
m
qE
at
x
t
m
qE
v
x
m
qE
v
2
2
La energía cinética de al carga después de que se ha movido una distancia x es
qEx
x
m
qE
m
mv
K
2
2
1
2
1
2Este resultado también puede obtener del teorema del trabajo y la energía, gracias a que el trabajo realizado por la fuerza eléctrica es
F
ex
qEx
yK
W
Ejemplo 1.13 Un electrón acelerado
En la figura 1.15 se muestra un electrón que entra a la región de un campo eléctrico uniforme con v0
= 3.00x106 m/s y E = 200 N/C. El ancho de las
placas es = 0.100 m (a) Encuentre la aceleración del electrón mientras está en el campo eléctrico.
Figura 1.15 Un electrón se lanza horizontalmente en un campo eléctrico uniforme producido por dos placas cargadas: El electrón se somete a una aceleración hacia abajo (opuesta E) y su movimiento es parabólico.
Solución
Puesto que la carga en el electrón tiene una magnitud de 1.60x10-19C y m = 9.11x10-31 kg,
utilizando un análisis similar al ejemplo 1.12 se tiene que
j
kg
x
C
N
C
x
j
m
eE
a
31
1910
11
.
9
/
200
10
6
.
1
s
m
j
x
a
3
.
51
10
13
/
b) Encuentre el tiempo que tarda el electrón en viajar a través de la región
Solución
La distancia horizontal recorrida por el electrón mientras está en el campo eléctrico es
10
x = , encontramos que el tiempo que transcurreen el campo eléctrico es
s
x
v
t
6 8 010
33
.
3
m/s
3.00x10
m
100
.
0
c) ¿cuál es el desplazamiento vertical y del electrón mientras está en el campo eléctrico? Solución Utilizando la ecuación 2 2
2
1
2
1
t
m
eE
at
y
y losresultados de a) y b), encontramos que
13 2
8
2 210
33
.
3
/
10
51
.
3
2
1
2
1
s
x
s
m
x
at
y
cm
m
y
0
.
0195
1
.
95
Si la separación entre las placas es más pequeña que esto, el electrón golpeará la placa positiva. Pregunta rápida 1.7
Para una superficie gaussiana a través de la cual el flujo neto sea cero, las siguientes cuatros afirmaciones podrían ser ciertas. ¿Cuáles de ellas deben ser necesariamente ciertas? (a) No hay cargas en el interior de la superficie. (b) La carga neta en el interior de la superficie es cero. (c) El campo eléctrico es cero en todos los puntos de la superficie. (d) El número de líneas de campo eléctrico que entran en superficie es igual al número de líneas de campo que salen de ella. Explicación y respuesta
Figura 1.16 Carga puntual situado en el exterior de una superficie cerrada. El número de líneas que entran en la superficie es igual al de líneas que salen de la misma.
(b) y (d). (a) no es necesariamente cierta, puesto que podría haber el mismo número de cargas positivas y negativas en el interior de la superficie. (c) no es necesariamente cierta, como puede en la figura 1.16, donde existe un campo eléctrico no nulo sobre todos los puntos de la superficie, pero la carga neta cerrada por ésta es cero, de modo que el flujo eléctrico neto es cero.
Situación problémica 1.2
Una superficie gaussiana esférica encierra una carga puntual q. Describa qué le ocurre al flujo neto a través de la superficie si (a) se triplica la carga, (b) se duplica el volumen de la esfera, (c) la superficie se convierte en un cubo, y (d) la carga se mueve a otro punto en el interior de la superficie.
Razonamiento
(a) Si se triplica la carga, el flujo neto a través de la superficie también se triplica, puesto que el flujo neto es proporcional a la carga encerrada por la superficie. (b) El flujo neto permanece constante si el volumen varía puesto que la superficie sigue encerrando la misma carga, sin importar su volumen. (c) El flujo neto no varía cuando varía la forma de la superficie cerrada. (d) El flujo neto a través de la superficie cerrada permanece constante si la carga se mueve a otro punto, mientras este segundo punto se encuentre en el interior de la superficie.
Situación problémica 1.3
Considere una carga puntual +Q situada en el espacio vacío. Se rodea la carga con cascarón esférico conductor, de modo que la carga se encuentre en el centro de éste. ¿Qué efecto tiene esto sobre las líneas de campo creadas por la carga?
Razonamiento
Al rodear la carga con el cascarón esférico conductor, las cargas de la superficie conductora se desplazarían para satisfacer las condiciones de un conductor en equilibrio electrostático, así como la ley de Gauss. Aparecerá una carga neta –Q sobre la superficie interior del conductor, de modo que el campo eléctrico en el interior del conductor se anula (una superficie esférica en el interior de la superficie conductora rodeará una carga neta igual cero). Por tanto, aparecerá una carga +Q sobre la superficie exterior del cascarón. De este modo, una superficie gaussiana situada en el
11
exterior del cascarón encerrará una carga neta+Q, la misma que habría si el cascarón no hubiera estado allí. Por tanto, el cambio en las líneas de campo es la ausencia de líneas en el interior del cascarón conductor.
Ejemplo 1.14 Flujo a través de un cubo
Considere un campo eléctrico uniforme E orientado en la dirección x. Encuentre el flujo eléctrico neto a través de la superficie de un cabo de lados orientado como se indica en la figura 1.17
Solución
El flujo neto puede evaluarse al sumar los flujos a través de cada cara del cubo. En primer lugar, observe que el flujo a través de cuatro de las caras es cero, puesto que E, es perpendicular a dA es perpendicular a E en las caras marcadas con y en la figura 1.16. En consecuencia, θ = 90º, por lo que E.dA = EdAcos90º = 0. Por la misma razón de los planos paralelos al plano xy también es cero.
Figura 1.17 Una superficie hipotética en forma de cubo en un campo eléctrico uniforme paralelo al eje x. El flujo neto a través de la superficie es cero
Considere ahora las caras marcadas con y . El flujo neto a través de éstas es
2 1A
d
E
A
d
E
e
Para la cara E es constante y apunta hacia adentro, en tanto que dA apunta hacia fuera (θ = 180º), de manera que encontramos que el neto a través de esta cara es
1 1 2 1º
180
cos
E
EA
dA
E
EdA
A
d
E
puesto que el área de cada cara es
A
2. Del mismo modo en E es constante y apunta hacia afuera y en la misma dirección que dA (θ = 0º), por lo que el flujo a través de esta cara es
2 1 2 2º
0
cos
E
EA
dA
E
EdA
A
d
E
Por tanto, el flujo neto sobre todas las caras es cero, ya que
0
2 2
eE
E
Ejemplo 1.15 El campo eléctrico debido a una carga puntual
A partir de la ley de Gauss, calcule el campo eléctrico debido a una carga puntual aislada q y demuestre que la ley de Coulomb se deduce de este resultado.
Solución
Para esta situación elegimos una superficie gaussiana esférica de radio r y centrada en la carga puntual, como en la figura 1.18. El campo eléctrico de una carga puntual positiva apunta radialmente hacia fuera por simetría y es, por tanto, normal a la superficie en todo punto. Es decir, E es paralelo a dA en cada punto, por lo que E.dA = EdA y aplicando la ley de Gauss se tiene
0
q
EdA
A
d
E
e
Figura 1.18 La carga puntual q está en el centro de la superficie gaussiana esférica y E es paralela dA en todos los puntos sobre la superficie
Por simetría, E es constante en todo los puntos sobre la superficie, por lo que puede sacarse de la integral. Por consiguiente
12
0 24
r
q
E
dA
E
EdA
donde hemos aprovechado el hecho de que el área de la superficie de una esfera es 4πr2. Por
tanto, la magnitud del campo a una distancia r de q es 2 2 0
4
r
q
k
r
q
E
e
Si una segunda carga puntual q0, se sitúa en un
punto donde el campo es E, la fuerza eléctrica sobre la carga tiene una magnitud
2 0 0
r
k
E
q
F
e
ePreviamente obtuvimos la ley de Gauss a partir de ley de Coulomb. Aquí mostramos que la ley de Coulomb se desprende de la ley Gauss. Son equivalentes.
Ejemplo 1.16 Una distribución de carga simétrica esféricamente
Una esfera aislante de radio a tiene una densidad de carga uniforme ρ y una carga positiva Q (figura 1.19), a) Calcule la magnitud del campo eléctrico en un punto fuera de esfera b) Encuentre la magnitud del campo eléctrico en un punto dentro de la esfera.
Solución
Puesto que la distribución de carga es simétrica esféricamente, seleccionamos también es este caso una superficie gaussiana esférica de radio r, concéntrica con esfera, como en la figura 1.18a. Siguiendo la línea de razonamiento dada en el ejemplo 1.15, encontramos que
)
r
(para
2
a
r
Q
k
E
e
Observe que este resultado es idéntico al obtenido para una carga puntual. Por tanto, concluimos que, para una esfera cargada uniformemente, el campo en la región externa a la esfera es
equivalente al de una carga puntual localizada en
el centro de la esfera.
Figura 1.19 una esfera aislante cargada uniformemente de radio a y una carga total Q. a) El campo en un punto exterior a al esfera es keQ/r2. b)
el campo dentro de la esfera se debe sólo a la carga dentro de la superficie gaussiana y está dado por (keQ/a3)r
b) Encuentre la magnitud del campo eléctrico en un punto dentro de la esfera.
Razonamiento y solución
En este caso elegimos una superficie gaussiana con radio r < a, concéntrica con la distribución de carga (ver figura 1.19b). Expresamos el volumen de esta esfera más pequeña mediante
V
. Para aplicar la ley de Gauss en esta situación es importante observar que la carga qin dentro de lasuperficie gaussiana de volumen
V
es una cantidad menor que la carga total Q. Para calcular la carga qin, si usa el hecho de queq
in
V
,donde
es la carga por unidad de volumen yV
es el volumen encerrado por la superficie gaussiana, dado por 33 4
r
V para una esfera.
Por tanto.
33
4
r
V
q
in
Como en el ejemplo 1.15, la magnitud del campo eléctrico es constante en cualquier punto de la superficie gaussiana esférica y es normal a la superficie en cada punto. Por consiguiente, la ley de Gauss en la región r < a se tiene
0 24
q
inr
E
dA
E
EdA
Al despejar E se obtiener
r
r
r
q
E
in 0 2 0 3 2 04
3
3
/
4
4
13
Puesto que por definición 30
3
/
4
a
Q
, estopuede expresarse de la siguiente manera
r
a
Q
k
r
a
Q
E
3 e3 04
Advierta que este resultado para E difiere del obtenido en el inciso a). Éste muestra que E→0 mediante r →0, como tal vez usted pudo haber pronosticado de acuerdo con la simetría esférica de la distribución de carga. En consecuencia, el resultado elimina la singularidad que existiría en r = 0 si E varía como 1/r2 dentro de la esfera. Es
decir, si
E
1 r
/
2, el campo sería infinito en r = 0, lo cual es, sin duda, una situación imposible físicamente. Una grafica de E contra r se muestra en la figura 1.20Figura 1.20 Una gráfica de E contra r para una esfera aislante cargada uniformemente: El campo dentro de la esfera (r < a) varía linealmente con r. El campo fuera de la esfera (r >a) es el mismo que el de una carga puntual Q localizada en el origen.
Ejemplo 1.17 El campo eléctrico debido a un cascarón esférico delgado
Un cascarón esférico delgado de radio a tiene una carga total Q distribuida uniformemente sobre su superficie (ver figura 1.21). Encuentre el campo eléctrico en puntos dentro y fuera del cascarón. Razonamiento y solución
El cálculo del campo fuera del cascarón es idéntico al ya realizado para la esfera sólida en el ejemplo 1.16. Si construimos una superficie gaussiana esférica de radio r > a, concéntrica con el cascarón, entonces la carga dentro de esta superficie es Q. En consecuencia, el campo en un
punto fuera del cascarón es equivalente al de una carga puntual Q en el centro.
)
r
(para
2
a
r
Q
k
E
e
Figura 1.21 a) El campo eléctrico interior de un cascarón esférico cargado uniformemente es cero. b) El campo exterior es el mismo que el de una carga puntual con una carga total Q localizada en el centro del cascarón. c) Superficie gaussiana para r < a
El campo eléctrico dentro del cascarón esférico es cero. Esto se desprende también de la ley de Gauss aplicada a una superficie esférica de radio r < a. Puesto que la carga neta dentro de la superficie es cero y por la simetría esférica de la distribución de carga, la aplicación de la ley de Gauss muestra que E = 0 en la región r < a, Ejemplo 1.18 Una distribución de una carga simétrica cilíndricamente
Encuentre el campo eléctrico a una distancia r de una línea de carga positiva y uniforme de longitud infinita cuya carga por unidad de longitud es λ uniforme (ver figura 1.22)
Razonamiento
La simetría de la distribución de carga muestra que E debe ser perpendicular a la línea de carga y apuntar hacia afuera, como en la figura 1.22a. La vista del extremo de la línea de carga mostrada en la figura 1.22b ayuda a visualizar las direcciones de las líneas de campo eléctrico. En este caso elegimos una superficie gaussiana cilíndrica de radio r y longitud que es coaxial con la línea de carga. Para la parte curva de esta superficie, E es constante en magnitud y perpendicular a la superficie en cada punto. Además, el flujo a través de los extremos del cilindro gaussiano es cero debido a que E es paralelo a estas superficies. Solución
La carga total dentro de nuestra superficie gaussiana es λ . Al aplicar la ley de Gauss y
14
advertir que E es paralelo a dA en todos lospuntos sobre la superficie curva del cilindro, encontramos que 0 0
in
eq
dA
E
A
d
E
Pero el área de la superficie es
A
2
r
, por tanto,
0r
2
E
r
k
r
E
e
2
2
0
Figura 1.22 (a) Una línea de carga infinita rodeada por una superficie gaussiana cilíndrica concéntrica con la línea de carga. (b) Una vista de extremo muestra que el campo sobre la superficie cilíndrica es constante en magnitud y perpendicular a la superficie.
Si la línea de carga tiene una longitud finita, el resultado para E no es el dado por la ecuación
r
k
E
2
e
.Para puntos cercanos a la línea de carga y alejados de los extremos, la ecuación anterior proporciona una buena aproximación del valor del campo. Esto se traduce en que la ley de Gauss no es útil para calcular E en el caso se una línea de carga finita. Esto se debe a que la magnitud del campo eléctrico ya no es constante sobre la superficie del cilindro gaussiano. Además, E no es perpendicular a la superficie cilíndrica en todos los puntos. Cuando hay poca simetría la distribución de carga, como se este caso, es necesario calcular E utilizando la ley de Coulomb.
Ejemplo 1.19 Una lámina plana de carga no conductora
Encuentre el campo eléctrico debido a un plano infinito no conductor con carga uniforme por unidad de área σ.
Razonamiento
La simetría de la situación señala que E debe ser perpendicular al plano y que la dirección de E en un lado del plano debe ser opuesta a su dirección en el otro lado, como se muestra en la figura 1.23. Es conveniente elegir para nuestra superficie gaussiana un cilindro pequeño cuyo eje sea perpendicular al plano y cuyos extremos tengan cada uno un área A y sean equidistantes del plano.
Figura 1.23 Una superficie gaussiana cilíndrica que penetra una lámina de carga infinita. El flujo a través de cada extremo de la superficie gaussiana es EA. No hay flujo a través de la superficie curva del cilindro.
15
En este caso vemos que E es paralelo a lasuperficie cilíndrica, no hay flujo a través de esta superficie. El flujo hacia afuera de cada extremo del cilindro es EA (puesto que E es perpendicular a los extremos); por tanto, el flujo total a través de nuestra superficie gaussiana es 2EA.
Solución
Notando que la carga total dentro de la superficie es σA, aplicando la ley de Gauss para obtener
0 0
2
EA
q
inA
e
02
E
Puesto que la distancia de la superficie a partir del plano no aparece en la ecuación anterior, concluimos que E
/2
0 a cualquier distancia desde el plano. Es decir, el campo es uniforme en todos lados.Ejemplo conceptual 1.20
Explique por qué la ley de Gauss no puede utilizarse para calcular el campo eléctrico de a) un dipolo eléctrico, b) un disco cargado, y c) tres cargadas puntuales en las esquinas de un triángulo.
Razonamiento
Los patrones de campo eléctrico de cada una de estas tres configuraciones no tienen suficiente simetría para hacer los cálculos prácticos. (La ley de Gauss en forma integral sólo es útil para calcular el campo eléctrico de distribuciones de carga altamente simétricas, como esferas, cilindros y láminas cargadas uniformemente). Con el fin de aplicar la ley Gauss en forma integral, usted debe ser capaz de encontrar una superficie cerrada que rodee la distribución de carga, la cual puede subdividirse de manera que la magnitud del campo sobre las regiones independientes de la superficie sea constante. Una superficie de este tipo no puede encontrarse en estos casos.
Ejemplo 1.21 Una esfera dentro de un cascarón esférico.
Una esfera conductora sólida de radio a tiene una carga positiva neta 2Q (figura 1.24). Un cascarón esférico conductor de radio interior b y radio
exterior c es concéntrico con la esfera sólida y tiene una carga neta –Q. Mediante el empleo de la ley de Gauss, determine el campo eléctrico en las regiones marcadas con , , y y la distribución de carga sobre el cascarón esférico.
Figura 1.24 Una esfera conductora sólida de radio a y carga 2Q rodeada por un cascarón esférico conductor de carga –Q.
Razonamiento y solución
Advierta primero que la distribución de carga en ambas esferas tiene simetría esférica, puesto que éstas son concéntricas. Para determinar el campo a diversas distancias r del centro, construimos superficies gaussianas esféricas de radio r.
Para encontrar E en el interior de la esfera sólida de radio a (región ), considere una superficie gaussiana de radio r < a. Puesto que no hay carga dentro de un conductor en equilibrio electrostático, vemos que qin = 0, por lo que de la
ley de Gauss y la simetría, E1 = 0 para r < a. De
este modo, concluimos que la carga neta 2Q sobre la esfera sólida se distribuye sobre su superficie exterior.
En la región sobre las esferas, donde a < r < b, construimos una superficie gaussiana esférica de radio r y advertimos que la carga dentro de esta superficie es + 2Q (la carga sobre la esfera interior). Debido a al simetría esférica, las líneas de campo eléctrico deben apuntar radialmente hacia afuera y ser de magnitud constante sobre la superficie gaussiana. Siguiendo el ejemplo 1.15 y utilizando la ley de Gauss, encontramos que
0 0 2 2 22
r
4
q
Q
E
A
E
in
16
b)
r
a
(para
2
r
4
2
2 2 0 2
r
Q
k
Q
E
e
En la región donde r > c, la superficie gaussiana esférica que rodea a una carga total qin
= 2Q + (-Q) = Q. En consecuencia, la ley de Gauss aplicada a esta superficie origina.
c)
r
(para
2 2
r
Q
k
E
ePor último, considere la región , donde b < r < c. El campo eléctrico debe ser cero en esta región debido a que el cascarón esférico es también un conductor en equilibrio. Si construimos una superficie gaussiana de este radio, vemos que qin
debe ser cero puesto que E2 = 0. De acuerdo con
este argumento, concluimos que la carga sobre la superficie interior del cascarón esférico debe ser -2Q para cancela la carga +2Q sobre la esfera sólida. (La carga -2Q es inducida por la carga +2Q). Además, puesto que la carga neta sobre el cascarón debe tener una carga igual +Q.
Pregunta rápida 1.8
Si el camino entre A y B no influye sobre la integral de la siguiente ecuación
B A A BU
q
E
d
s
U
U
0
¿Por qué no utilizamos simplemente la expresión ΔU = -q0Ed, donde d es la distancia en la línea
recta entre A y B?
Explicación y respuesta
En general, el campo eléctrico varía de un punto a otro, de modo que la expresión propuesta no produce el resultado correcto.
Situación problémica 1.4
Supongamos que los científicos hubieran decido medir pequeñas energías utilizando los
protón-voltios en vez de los electrón-protón-voltios. ¿Qué
diferencia habría? Razonamiento
No habría ninguna diferencia. Un electrón-voltio es la energía ganada por un electrón que es acelerado a través de la misma diferencia de potencial de un voltio. Un protón acelerado a través de la misma diferencia de potencial tendrá la misma energía cinética, puesto que su carga
es de la misma magnitud que la del electrón. El protón se moverá más lentamente después de acelerarse a través de un voltio, puesto que su masa es mayor, pero aún así habrá ganado una energía cinética de un electrón-voltio o un protón-voltio.
Pregunta rápida 1.9
Si se libera un electrón desde el reposo en un campo eléctrico uniforme, ¿la energía potencial eléctrica del sistema carga-campo aumenta, disminuye o permanece constante?
Explicación y respuesta
La energía potencial eléctrica disminuye si un
electrón (de hecho, cualquier partícula cargada) se libera en un campo eléctrico. La fuerza eléctrica hace que electrón se acelere, y la energía potencial del sistema carga-campo disminuye a medida que la energía cinética del electrón aumenta. Es el caso análogo a la disminución de energía potencial y aumento de energía cinética de cuerpo que cae debido a la gravedad.
Pregunta rápida 1.10
Si el potencial eléctrico de un punto es cero, ¿significa que no hay carga en las proximidades del punto?
Explicación y respuesta
No. Suponga que hay varias cargas en la vecindad del punto en cuestión. Si algunas cargas son positivas y otras negativas, las contribuciones al potencial eléctrico en el punto pueden cancelarse. Por ejemplo, el potencial eléctrico en el punto medio entre carga de igual magnitud y signo contrario es cero.
Pregunta rápida 1.11
Un globo esférico contiene una partícula cargada positivamente en su centr0. Si se infla el globo para hacerle ocupar un volumen mayor, mientras la partícula cargada permanece en el centro, ¿Cuáles de las siguientes cantidades varían: (a) el potencial eléctrico sobre la superficie del globo, (b) la magnitud del campo eléctrico sobre la superficie del globo, (c) el flujo eléctrico a través del globo? Explicación y respuesta
(a), (b). El potencial eléctrico es inversamente proporcional al radio (V = keq/r). La magnitud del
17
campo eléctrico es inversamente proporcional alcuadrado del radio (V = keq/r2). Puesto que pasa
el mismo número de líneas de campo a través de la superficie, independiente del tamaño, el flujo eléctrico a través de la superficie permanece constante.
Pregunta rápida 1.12
Suponga que se conoce el valor del potencial eléctrico en un punto ¿Puede calcularse el valor del campo eléctrico en dicho punto únicamente con es información?
Explicación y respuesta
El valor del potencial eléctrico en un punto no es suficiente para determinar el campo eléctrico. El campo eléctrico está relacionado con la variación del potencial en el espacio de modo que debe conocerse cómo varía el potencial alrededor del punto.
Pregunta rápida 1.13
Si el potencial eléctrico es constante en una región, ¿qué puede deducirse acerca del campo eléctrico en esa misma región? Si el campo eléctrico es nulo en una región, ¿qué puede deducirse acerca del potencial eléctrico en esa misma región?
Explicación y respuesta
Si V es constante en determinada región del espacio el campo eléctrico en dicha región debe ser nulo, puesto que el campo eléctrico está relacionado con la variación del potencial en el espacio. (En una dimensión, Ex = -dV/dx, de modo
que si V es constante E = 0) De igual modo, si
E = 0 en una determinada región del espacio, V
debe ser constante en dicha región (por ejemplo, el interior de un conductor cargado en equilibrio). Situación problémica 1.4
¿Por qué el extremo de un pararrayos es puntiagudo?
Razonamiento
La función de un pararrayo es servir de atracción a los rayos, de modo que la carga liberada por el rayo pueda desviarse hasta suelo de forma segura. Si el pararrayo es puntiagudo, el campo eléctrico es muy intenso cerca del extremo, puesto que el radio de curvatura del conductor es muy pequeño. Este gran campo eléctrico aumenta
mucho la probabilidad que la descarga del rayo se produzca cerca del extremo del pararrayos, en vez de cualquier otro sitio.
Ejemplo 1.22 El campo eléctrico entre dos placas paralelas de carga opuesta
Una batería de 12 V se conecta entre dos placas paralelas, como se ve en la figura 1.25. La separación entre las placas es igual a 0.30 cm, y el campo eléctrico se supone como uniforme. (Esta suposición es razonable si la separación de las placas es pequeñas en la relación con el tamaño de placa y si no consideramos puntos cerca de los bordes de las placas) Determine la magnitud del campo eléctrico entre placas.
Figura 1.25 Una batería de 12 V conectada a dos placas paralelas. El campo eléctrico entre las placas tiene una magnitud dada por la diferencia de potencial divida entre la separación d de las placas.
Solución
El campo eléctrico está dirigido de la placa positiva hacia la placa negativa. Vemos que la placa positiva está a un potencial mayor que la placa negativa. Advierta que la diferencia de potencial entre las placas debe ser igual a la diferencia de potencial entre los terminales de la batería. Esto puede entenderse observando que todos los puntos en un conductor en equilibrio están al mismo potencial, por lo que no hay diferencia de potencial entre una terminal de la batería y cualquier parte de la placa a la cual está conectada. Por tanto, la magnitud del campo eléctrico entre las placas es
V/m
10
0
.
4
m
10
30
.
0
V
12
3 2x
x
d
V
V
E
B
A
Esta configuración, conocida como capacitor de
