LIBRO DE FÍSICA

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NERI AYALA, ABRAHAN CESAR

2

PHYSIS PREUNIVERSITARIA

Autor:

Abrahan Cesar Neri Ayala

Licenciado en Matemática Física e Informática Docente Universitario. UNJFSC.

Primera Edición: Enero -2014 Editado por:

Yaquelin Cesilia Sanchez Gomero Prolongación Salaverry Nº 139-Huacho Impreso en:

MAGYGRAF PERU EIRL Jr. Bolognesi 131- Huacho Agosto 2014

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio sin autorización escrita de los autores.

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3 PRÓLOGO

Desde las pinturas rupestres por los papiros y luego los libros en su concepto en general se han convertido en vehículos que complementan el aprendizaje enseñanza, binomio asociado a la educación.

Resulta indudable la trascendencia de la Física en el desarrollo social. La informática y las computadoras serian una ilusión sin el aporte de las teorías físicas.

Todo ser humano está en capacidad de aprender y dominar los contenidos físicos para ello, tanto estudiantes como profesores debemos entender que la física es parte de la experiencia vivencial. No debe ser desligada de la propia vida, sólo así estará cumpliendo su misión: contribuir a mirar y actuar en el mundo de manera más objetiva.

La educación es reflejo y producto de la sociedad en la cual se desarrolla. En la actualidad, la Educación se caracteriza por ser conservadora, memorista y acrítica. Su real transformación va más allá de propuestas puramente académicas. Sin embrago, a partir de una nueva perspectiva en el proceso y los materiales educativos, es posible fomentar estudiantes de nivel óptimo, sensibles y críticos frente a los problemas nacionales y mundiales.

El presente trabajo está dirigido a los estudiantes Preuniversitarios que inician el estudio de la Física Elemental.

El objetivo de la obra es, la comprensión de las leyes físicas fundamentales y el desarrollo, en los estudiantes, del hábito de utilizarlos en los diferentes problemas. El conocimiento de esta ciencia permitirá entender los fenómenos naturales que se dan el Universo y que se pueden observar en la vida diaria.

El texto consta de TRES Capítulos. Cada Capítulo se divide en tres bloques: Primero, la exposición teórica con ejemplos didácticos; segundo, problemas resueltos dosificados en orden creciente de dificultad; tercero; problemas propuestos en dos niveles.

No olvidemos que la Física es la columna vertebral de la ciencia e ingeniería.

Espero sinceramente que este texto se constituya en un buen compañero de trabajo de los estudiantes preuniversitarios.

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4 INDICE

Pág.

CAPITULO I

ANÁLISIS DIMENSIONAL……… 5

Ecuación dimensional………. 6

Propiedades de las Ecuaciones dimensionales……….. 7

Problemas Resueltos ……….. 11

Problemas propuestos nivel I ………. 22

Problemas propuestos nivel II ……….. 25

CAPITULLO II

ANÁLISIS VECTORIAL……….. 31

Operaciones básicas con los vectores………. 31

Descomposición rectangular de un vector……….. 37

Problemas resueltos ………. 40

Problemas propuestos nivel I ………. 49

Problemas propuestos nivel II ……… 55

CAPITULO III

CINEMÁTICA……….. 62

Elementos del movimiento……….. 63

Movimiento con velocidad constante……….. 67

Movimiento con aceleración constante……….. 75

Ecuación del M.R.U.V ………. 76

Gráficas de M.R.U.V. ………. 78

Problemas resueltos ………. 81

Problemas propuestos nivel I ……… 105

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5 PHYSIS

Desde que la palabra “Física” proviene del término “Physis”, que significa “Naturaleza”, en sus inicios, más o menos hasta principios del siglo XIX, la Física se consideró como una Ciencia que estudiaría todos los fenómenos naturales. Pero a partir del siglo XIX, se redujo su campo, limitándola al estudio de los llamados “Fenómenos Físicos”, el resto de fenómenos pasaron a formar parte de otras ciencias naturales.

La física es una ciencia natural encargada de estudiar los fenómenos físicos que ocurren en la naturaleza, sistematizándolos a través de leyes físicas determinadas.

Fenómeno Físico:

Es todo cambio y/o transformación que experimentan ciertos cuerpos sin alterar su estructura íntima. Es decir, son cambios reversibles.

Por ejemplo:

 Los cambios de estado

 El movimiento de los cuerpos

 La dilatación de los cuerpos, etc.

LA FÍSICA:

Es la ciencia de la naturaleza que estudia la estructura de la materia y las leyes fundamentales que rigen sus interacciones.

Podemos dividirla en dos grandes campos: 1. Física clásica

2. Física moderna

Cada una de ellas está integrada por varias disciplinas, como se muestra a continuación:

- Mecánica

Física - Calor y termodinámica Clásica - Electricidad y Magnetismo

- Luz y Óptica

- Teoría de - Física de partículas

la relatividad elementales y campos Física - Teoría - Física nuclear

Moderna cuántica - Física atómica - Física molecular - Física de estado sólido

La física clásica abarca históricamente todos los aportes hasta finales del siglo XIX.

Esta rama se sustenta en la mecánica de Newton (siglo XVII) y en la teoría electromagnética de Maxwell (siglo XIX).

La física moderna abarca desde comienzos del siglo XX hasta nuestros días. Esta rama tiene como base la teoría de la relatividad de Einstein (1905) y la teoría cuántica propuesta por H. Planck.

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6 CAPITULO I: ANÁLISIS DIMENSIONAL

Magnitud Física

Es todo aquello que puede ser medido con cierto grado de precisión usando para ello una unidad de medida patrón convencionalmente establecida.

Las magnitudes físicas, se clasifican en:

I. SEGÚN SU ORIGEN

1. Magnitudes Fundamentales

Son aquellas magnitudes que sirven de base para fijar las unidades y en función de las cuales se expresan las demás magnitudes.

2. Magnitudes Derivadas

Son aquellas que pueden ser expresadas en función de las magnitudes fundamentales.

II. SEGUN SU NATURALEZA

1. Magnitudes Escalares:

Son aquellas que quedan perfectamente definidas mediante un número real y su correspondiente unidad de medida.

Ejemplo: -10ºC; 5kg; etc.

2. Magnitudes Vectoriales

Son aquellas que además de conocer su valor, se requiere de su dirección y sentido para quedar perfectamente definidas.

Ejemplo:

 La Velocidad  La Aceleración  La Fuerza, etc.

(7)

7

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.)

Considera siete magnitudes fundamentales y dos auxiliares.

Magnitud Símb. Unidad Abreviatura

Longitud L Metro m

Masa M Kilogramo Kg

Tiempo T Segundo s

Intensidad de

Corriente Eléctrica _I Ampere A

Temperatura  Kelvin K

Intensidad Luminosa

J Candela cd

Cantidad de

Sustancia N Mol mol

ECUACIÓN DIMENSIONAL

Es aquella igualdad matemática que sirve para relacionar las dimensiones de las magnitudes físicas fundamentales, para obtener las magnitudes derivadas y fijar así sus unidades, además permite verificar si una fórmula o ley física, es o no correcta, dimensionalmente.

Notación:

Se usa un par de corchetes, así:   se lee “Ecuación Dimensional De” Ejemplo:

(8)

8 ECUACIONES DIMENSIONALES MÁS CONOCIDAS

1. AREA = L² 2. VOLUMEN = L3 3. VELOCIDAD = LT-1 4. ACELERACION = LT-2 5. FUERZA = MLT-2 6. TRABAJO = ML²T-2 7. POTENCIA = ML2_T-3 8. PRESION = ML-1_T-2 9. CALOR = ML²T-2 10. ENERGIA = ML²T-2 11. TORQUE = ML²T-2 12. MOMENTUM LINEAL = MLT-1 13. IMPULSO = MLT-1 14. CAUDAL = L3_T-1 15. VELOCIDAD ANGULAR = T-1 16. ACELERACION ANGULAR = T-2 17. CARGA ELECTRICA = IT 18. RESISTENCIA ELECTRICA = ML²T-3_I-2 19. POTENCIAL ELÉCTRICO = ML²T-3_I-1 20. CAPACIDAD ELÉCTRICA =M-1_L-2_T4_I²

PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES

1º Todo número expresado en cualquiera de sus formas tiene como dimensión a la unidad. Ejemplo: Cos 64º = 1  5

5

 = 1 8 = 1

1

2

3 _













2º Sólo se podrá sumar o restar magnitudes de la misma especie y el resultado de dicha operación será igual a la misma magnitud.

Ejm.:

6m + 4m = 10m 6m + 4m = 10m

(9)

9

Ejemplo:

9S – 6S = 3S 9S - 6S = 3S

T – T = T

3º Si una fórmula física es dimensionalmente correcta u homogénea, todos los términos de dicha ecuación deben ser dimensionalmente iguales.

Así: sea la fórmula física: P + Q = R – S  P = Q = R = S Ejemplos de Aplicación 1. Si: x = 2mg log 20 Donde m: masa g: aceleración de la gravedad ¿Qué dimensiones tendrá x?

Solución: x = 2mg log 20 Recordemos que: 2 = 1  log 20 = 1 Luego, tendremos: x = mg x = MLT-2 2. Si: X =





cos

4

1 vt

A



Donde: A = área; t = período; v = volumen.

(10)

10

Hallar las dimensiones de “x”

Solución:

 

_



















cos

.

4

1 vt

A

x

Recuerde:

1

4

1 _









___{= 1} cos  = 1 Luego: x =

T

.

L

vt

A

3 2















x =



3 1



3

LL

T

L

x = L-2_T-1 3. Si: P = ₅ 2

log

)

5 (

)

2 (

5 v

v

a



Donde: a = aceleración; v = velocidad Hallar las dimensiones de “P”

Solución:

De la 2º propiedad: 2a + a = a = LT-2

v + 5v = v = LT-1

(11)

11

P =

 

1 4 2 1 2 2 2

LT

T

L

LT

v

a

   















 P = LT-3 Observación Importante

Los exponentes de una magnitud siempre son números Ejemplos:

* Son correctas: h²; F2_t-4_{; t}5_{; L}cos 30º

* No son correctas: hm_{; F}q_{, M}t_gF_;_n

* Las siguientes expresiones podrían ser correctas, siempre y cuando “x” sea un número

- M3x

- F4xL; será correcta si “XL” es un número En éste caso se cumple:

XL = 1 x =

L

1

= L-1

Luego: M2xL_{= M²}

4. Halle las dimensiones de “X” en la siguiente ecuación dimensionalmente correcta. 6AX = g f . A

h

 . cos  . v Donde: h : altura ; f : frecuencia g : gravedad ; v : velocidad Solución: * Analizamos el exponente

(12)

12  



_



_



















f

g

A

1 g

f

.

A

 

1 1 2

LT

T

LT

A

_  



Luego, en la expresión inicial: AX = h-1_{. v}

LT-1__X__{= L}-1_{. LT}-1

 X = L-1

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Hallar P y z en la siguiente ecuación D.C.

x

sen

g

z

A

tg

)

(

7 )

25 log

8 (













Donde: A : peso; g = gravedad Solución Aplicamos la 1º propiedad: 1 =

gx

z

A

x

g

z

A

_







)

(

)

(

Luego: gP = A + z gP = A = z (1)

(13)

13

De (1): z = MLT-2 Además : gP = A P = 2 2  















LT

MLT

g

A

 P = M

2. ¿Qué valor tiene (x+y), si la siguiente ecuación es D.C.?

y x 2

g

.

k

f





 2  Donde:

 : longitud; g: gravedad; f: frecuencia k : constante numérica Solución f =  2x y

g

.

k



 2   T-1_{= 1 .}

 

2x2

L

 . (LT-2₎-y T-1_{= L}_₂_x2 . L-y_T2y T-1_{= L}2x2y_{. T}2y

Completamos el primer miembro para tener las mismas magnitudes del segundo miembro, así:

Lº_T-1_{= L}₂x2y T2y Igualamos exponentes: De T : 2y = -1 Y = - ½ De L : -2x² - y = 0  - 2x² = y - 2x² = - ½ x² = ¼ x = ½ Luego

(14)

14

x + y = ½ +













2

1

(x + y) = 0

3. La ecuación mostrada es dimensionalmente correcta. Hallar: (x - y), en g = Vtx_{(9 - Q}y-x₎ Donde: t = tiempo; v = velocidad g = gravedad Resolución: Como es D.C., tenemos: [9] = [Ky-x_{] = 1} Es decir: y – x = 0  y = x Entonces: [g] = [ Vtx_] LT-2_{= LT}-1_Tx_{= LT}x-1 Igualando exponentes: x – 1 = -2  x = -1 Luego y = -1  (x - y) = 0

4. Hallar “” si la ecuación mostrada es dimensionalmente correcta.



_







sen a a

y

x

y

x

v

t







5

1 Donde:

(15)

15

t = tiempo; v = velocidad;  = aceleración angular Solución * [x] = [5 ] = T -2 * 2 1

T

LT

]

y

[

]

y

[

x

v

 

















[y] = LT

Luego, en la expresión original: ta a

_y

_{= (}_₎-1_ysen Ta a 1

y

_{= (T}-2₎-1_ysen Ta a 1

y

_{= T}2_ysen Igualando exponentes: a = 2 ;

2

1

= sen    = 30º

5. Calcule las dimensiones de A y B respectivamente, en la siguiente ecuación dimensionalmente correcta.

p = A t - 9 B t2 Donde p es distancia y t es tiempo. A) L T  1_{; L T} 2

B) L T  2_{; L}2 _T 2

C) L T  2_{; L T} 3

D) L 2_T 1 _{; L}2_T 2

(16)

16

RESOLUCIÓN

Si la ecuación es dimensionalmente correcta, entonces cada uno de los términos de la ecuación debe tener las mismas dimensiones. Luego, la ecuación dimensional se expresa:

[ p ] = [A] [t] = [9] [ B ] [ t ]2

Nótese que todos los términos han sido igualados y ahora se reemplaza las dimensiones de las cantidades físicas conocidas.

L = [ A ] T = (1) [ B ] T 2

Recuerde: [9 ] = (1). Finalmente se deduce:

[ A ] = L T  1_{; [ B ] = = L T} 2_{RPTA : A}

6. La energía en el S.I., se mide en joules (J). Si la energía cinética (Ec)

de un cuerpo está definida mediante:

EC = 0,5 mv 2

Donde m es masa y v es el módulo de la velocidad.

¿Cuál de los siguientes grupos de unidades equivale al Joule? A) kg m2_s1 B) kg m 1_s 2 C) kg m 2_s 2 D) kg m2_s 2 E) kg m3_s 2 RESOLUCIÓN

Escribimos la ecuación dimensional de la energía cinética y reemplazamos las dimensiones de las cantidades físicas conocidas.

[ EC ]= [ 0,5 ] [ m ] [ v ] 2

[ EC ]= (1) M ( LT  2 ) 2

(17)

17

Reemplazamos las unidades de cada magnitud fundamental y encontramos el joule (J) expresado en términos de las unidades fundamentales.

Joule = J = kgm 2_s 2

Rpta : D

7. Un grupo de unidades que representa la medición de la potencia es: A) lb pie3 _s 3 B) lb pie2 _s2 C) kg m3 _s 2 D) lb pie2 _s 3 E) kg m3_s 2 RESOLUCIÓN: lb pie 2 _s 3 _{Rpta : D}

8. El número de Reynolds es un valor adimensional el cual nos indica si un flujo es turbulento o laminar, dentro de un tubo. El número de Reynolds “R”, se calcula mediante la siguiente ecuación:

R =  V d /

Donde  es la densidad, V la rapidez promedio y d el diámetro del tubo.

Determinar las dimensiones de la viscosidad .

A) M2 _L1 _T1 B) M3 _L1 _T1 C) M L1 _T2 D) M L2 _T1 E) M L1 _T1 RESOLUCIÓN

Escribimos la ecuación dimensional:

[R] [] = [] [V] [d]

(18)

18

(1) [] = ML3 _LT1_L

[] = ML1_T1

Rpta : E

9. La densidad (D) de un sólido según la temperatura, está dada por la siguiente ecuación :

Donde M es la masa y ∆T la variación de la temperatura. Determinar las dimensiones de B. A) L3_1 _{B) L}3_1 C) L 3 _{D) M}3 _1 _T1 E) M L1 _1 RESOLUCIÓN [D] ( [A] + [B][∆T] ) = [M] [D] [A] = [D] [B] [∆T] = [M] ML 3_{[A] = ML} 3_[B]__{= M} [B] = L3_1 Rpta : B

10. Un objeto que realiza un movimiento periódico tiene la siguiente ecuación:

d =A e t_{cos (w t -}_₎

Donde d es la posición, t el tiempo y e  2,82. Determine la dimensión

de [A y w ].

A) L ; T 2 _{B) L ; T}1 _{C) L}2_;T2 D) L 2_;T2 _{E) L}2 _{; T}1

(19)

19

RESOLUCIÓN

Escribimos la ecuación dimensional y resolvemos: [d] = [A] [e ] t_{[cos (wt +}__)]

[d] = [A] (1) (1) L = [A]

Los exponentes son adimensionales, por lo tanto dimensionalmente

se igualan a la unidad: [exponente] = 1

[t ] = 1  [1] [] [t] = 1 (1) [] T = 1

[] = T 1

Los ángulos son adimensionales:

[ángulo] = 1

[(wt + )] = 1  [] [t] = [] = 1 [w]T = [] = 1

[w] = T 1_{; [}__{] = 1}

Rpta : B

11. En cierto experimento, se mide el tiempo que demora un péndulo simple en dar una oscilación. Se observa que este tiempo depende de la aceleración de la gravedad y de la longitud de la cuerda. La ecuación empírica del periodo en función de estas dos últimas cantidades es:

A) 6,28 g1/2 _L1/2

(20)

20

C) 3,12 g1/5 _L1/3

D) 1,24 g1/3 _L1/3

E) 3,14 g2 _L1/2 RESOLUCIÓN:

Las tres cantidades relacionadas son: t = tiempo

g = aceleración de la gravedad. L = longitud de la cuerda.

Se elabora una relación entre las cantidades físicas:

t = k g x _Ly Donde:

k: es un número adimensional, denominado constante de

proporcionalidad.

x e y: son exponentes de valor desconocido, que determinaremos para

que la ecuación empírica quede determinada.

Se escribe la ecuación dimensional y se reemplaza las dimensiones de las cantidades conocidas.

[ t ] = [ k ] [ g ] x __{[ L ]}y

T = (1) ( LT  2 ₎ x_{( L )}y

T = L x + y _T 2 x

Comparando los exponentes de las dimensiones a cada lado de la ecuación, deducimos:

 2x = 1  x = 1/2 x + y = 0  y = +1/2

Finalmente la ecuación empírica es:

t = kg 1/2 __L1/2

(21)

21

12. Con respecto a la gráfica, determine la dimensión del área

sombreada. A) M 2_{L T}1 B) M L T 5 C) M L2_T1 D) M L2_T1 E) L T 1 RESOLUCIÓN:

La dimensión del área comprendida por la gráfica F – t es: [área (F–t)] = [F] [t]/2=(MLT2 _)(T)/1

[área (F–t)] = ML T 1

Rpta : E

13. Con respecto a la gráfica A vs B mostrada en la figura, determine la dimensión de la pendiente de la recta. Donde A es masa y B es volumen. A) M L1 B) M L2 C) M 1 _L1 D) M T 3 E) M L3 RESOLUCIÓN:

La dimensión de la pendiente de la recta es: [pendiente (A – B) ] =

 

A

B

[pendiente (A–B)] =









3

masa

M

volumen



L

[pendiente (A–B)] 3

ML





Rpta : E 2

B

4 1

A

t(s)

F(N)

(22)

22

14. La diferencia de potencial eléctrico “



V

” entre dos puntos de un material está dada por:

W

V

q

 

Donde W es el trabajo necesario para trasladar las cargas entre dichos puntos y q es la cantidad de carga neta que se traslada. Determine las dimensiones de la diferencia de potencial eléctrico.

A) M L 1_T3_I1 B) M L 2_T3_I1 C) M1 _L1_T3_I1 D) M T 3_I1 E) M L 3_I1 RESOLUCIÓN:

Escribimos la ecuación dimensional y reemplazamos las dimensiones del trabajo y la carga eléctrica:

   

_{ }

W

M L T

2 2

V

q

I T







 

 

_V

_{M L T}

2 3

_I

1 _{Rpta : B}

15. La capacitancia (C) de un capacitor es la división entre el valor de la carga (Q) que almacena una de sus armaduras y la diferencia de potencial (V) entre las armaduras del capacitor. Determine las dimensiones de la capacitancia. A) M1 _L2_T4_I1 B) M L 2_T3_I1 C) M1 _L1_T3_I1 D) M T 3_I1 La unidad de la diferencia de potencia o voltaje es el voltio (V)

(23)

23

E) M 1 _L2_T4_I2

RESOLUCIÓN:

Escribimos la ecuación dimensional y reemplazamos las dimensiones de la carga eléctrica y de la diferencia de potencial:

   

_{ }

2 3 1

q

I T

C

V

M L T



I







 

1 2 4 2

C



M L T I

  Rpta : E

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I

01. Determinar la unidad de E en el sistema internacional

E =D V2

G

Sí D: densidad V: Velocidad lineal g: aceleración de la gravedad a) kg.m-2 _{b) kg}-1_m _{c) kg.m}

d) kg.m-1 _{e) kg}-1_m-1

02. Determinar que unidad tiene K en la siguiente formula KF = mv Donde: m= masa F= fuerza V = velocidad La unidad de la capacidad eléctrica es el faradio (F)

(24)

24

a) tiempo b) masa c) segundo

d) longitud e) Pascal

03. ¿Qué magnitud representa K en la siguiente fórmula? PK = mgh

Donde: p: potencia, m: masa g: aceleración h: altura a) Longitud b) masa c) tiempo d) área e) presión

04. La siguiente expresión es Dimensional correcta y homogénea

AF = m v2 Donde: F: fuerza,

v: velocidad m: masa ¿Qué magnitud representa?

a) T-1 _{b) L} _{c) M}

d) T e) M-5

05. La siguiente formula física es dimensionalmente correcta y homogénea RV= mc2_A

Donde:

V = volumen C = velocidad m = masa A = Area

Determinar que magnitud representa “R” a) Longitud b) Masa c) Tiempo

d) Fuerza e) Densidad

06. Determinar que magnitud representa A/B en la siguiente fórmula física E = A V2_{+ B P}

Donde: E = energía

V = velocidad; P= presión a) M L b) M L2 _{c) M L}-3

d) M L3 _{e) 25}

07. En la siguiente fórmula del periodo de oscilación de un péndulo T =

x





x_{. g}y

Donde:



= Longitud de la cuerda g = gravedad

(25)

25

Hallar la fórmula física correcta

a)

2 

12_g2 _{b) 2}

g

L



c)

g

L



2

d)

g

L



2

e) Lg

08. La presión P que un fluido ejerce sobre una pared depende de la

velocidad “V” del fluido, de su densidad “D” y tiene la siguiente forma.

P=

x

Vx_Dy_{, Hallar la fórmula física correcta}

a) P =

2

V2_D2 _{b) P =}

₂

_V2_D

c) P = V D2 _{d) P = V D}3

e) p= VD-5

09. Sí la siguiente expresión es dimensionalmente correcta.

Hallar 4z-3y; F= BZ_{. A}-Y_V.

Donde F= presión, B =Fuerza, A = volumen, V = longitud

a) 2 b) –1 c) 1

d) -2 e) 5

10. Si: el impulso es I = F.T, encontrar las dimensiones de “Z” para que la

siguiente ecuación sea dimensionalmente correcta.

I = W/Z - m.Z Dónde: W = trabajo; t = tiempo m = masa; F = fuerza a) LT b) L-1_{T c) LT}-1 d) LT2 _{e) L}-1_T-1

11. La fórmula para hallar la rigidez de una cuerda es: S = (a Q/R + b) d2

(26)

26

Donde: Q = carga (newton) R = radio d = Diámetro s = rigidez (newton)

Hallar las ecuaciones dimensiónales de a y b a) L-1_{, L}-1_MT-2_{b) LT}-1_{, L}-1_{MT c) L, L}-1_T

d) L-2_{, L}-1 _MT _{e) MLT}-8_;T

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II

01. La siguiente fórmula física es dimensionalmente correcta y homogénea

K V = mc2_A Dónde:

V = volumen c = velocidad M = masa A = área

Determina que magnitud representa K A) Longitud b) masa c) tiempo d) fuerza e) trabajo

02. En la siguiente fórmula física

Determinar A/B y que magnitud representa Donde:

E= energía; V = velocidad; P = presión a) ML b) ML-3 _{C) M}-1

d) M2 _L-2_{e) LT}

03. La siguiente formula es dimensionalmente correcta: E = Aw2 _{+ BV}2 _+CP,

Hallar: (BC)/A

(27)

27

Dónde:

E = Energía; w = velocidad angular v = velocidad; P = presión

a) L2 _T–1 _{b) M L}–1 _{c) L}

d) LT e) LT-7/8 04. Dada la siguiente formula física:

Hallar la magnitud de K, donde:

P : potencia; w = velocidad angular a) LTM –2 _{b) L}-1 _MT-1_{c) L}2 _{M t}-1

d) LMT e) MLT-2/5

05. La siguiente expresión es dimensionalmente correcta y homogénea

Dónde: F= fuerza m = masa v = velocidad

¿Qué magnitud representa K? a) L T b) L-1_{c) L}-1 _T

d) L e) M

06. Siendo la expresión homogénea, calcular [x]

Donde: A: velocidad C: presión A) ML3 B) M-1L3 C) ML-3 D) ML4 E) M-1.L-3

)

cos

F

(

C

sen

).

B

A

(

x

2 









P = kw

–2

tg



KF = mv

2

(28)

28

07. Indicar cuál de las siguientes ecuaciones es dimensionalmente

homogénea: I. II. III. Donde: t: tiempo m:masa F: fuerza l: longitud v: velocidad

a) sólo I b)sólo II c) sólo III d) I y II e) II y III

08. En la siguiente fórmula física, determinar las dimensiones de "V".

Donde:

H: distancia A: tiempo

a) LT-1 b) L-1T C) LT-2 d) L-1.T2 e) L2T2

09. Hallar la fórmula dimensional de “M”, si se sabe que la expresión:

es dimensionalmente homogénea y que:

A: área; H: altura;

a) L2 b) L c) L-1 d) L-2 e) 1

10. Determinar las dimensiones de "I" para que la expresión:

Sea dimensionalmente correcta, siendo:

v

/

m

F





2 m

/

FV





m

/

t

.

F

2 



)

A

.

S

(

sen

S

.

V

.

H







H

.

4 cos

.

A

.

9 tg

.

M

.

2 sen









C

v

.

m

.

5 N

.

A

.

V

I



(29)

29

A: presión m: masa c: velocidad de la luz N: constante numérica a) T-3 b) T-2 c) T-1 d) MT e)MT-2

11. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta, determinar x.y.z:

Donde: k: potencia S: longitud E: velocidad A: masa A) -3 B)-2 C) 1 D) 2 E) 3

12. Determinar una fórmula empírica para el caudal "Q" (en m3/s) que sale a

través de una tubería en función de la densidad del líquido "D" (kg/m3), radio de la tubería "R" (m) y la presión "P" (en N/m2) y una constante "k". a) √ b) √ C) √ d) √ e) √

13. Dada la formula, dimensionalmente correcta:

Donde: I: impulso V: velocidad E: energía m: masa Determinar el valor de "x": a) 1 b)2 c) 3

z

y

x

_.

_S

_.

_A

E

k



E

V

.

C

.

e

.

k

m x I . C 2 2





(30)

30

d) 4 e) 5

14. En la siguiente ecuación dimensionalmente homogénea. Determinar la

dimensión de "C". Donde: A : longitud



: Aceleración angular t: tiempo a) LT b) L3T3 c) L2T d) L3T–1 e) LT3

15. Según la siguiente fórmula física, dimensionalmente correcta:

Donde: h: altura

¿Qué representa "R"?

a) longitud b) área c) volumen d) velocidad e) aceleración

16. Se ha inventado un nuevo sistema de unidades en el que las magnitudes

fundamentales son la presión (P), la densidad (D) y el tiempo (T), luego en dicho sistema, la fuerza estará expresada por:

a) PDT b) P2D-1T2 c) PD2T2 d) P2DT e) PD-2T2

17. La energía potencial elástica (U) es función de cierta magnitud llamada

rigidez "R" (en N/m) y de la deformación del cuerpo "x" (en m), halle la fórmula empírica para dicha energía (k: constante adimensional). a) U = KRX b) U = KR2X c) U = KRX2

d) U = KRX-2 e) U = KR-2.X

18. La velocidad de una partícula, de masa "m" en función del tiempo t, está

dada por:



B

cos

60 º

.

C



]

e

)

Ax

(

sen

.

A

[

y

t xB







1

A

.

N

A

senx

y

x

cos

z

y

)

z

h

(

z

R





























_





(31)

31

Indicar las dimensiones de k/H, si Lo es una longitud. a) MT-2 b) MT-1 c) M2T-1

d) M2T-2 e) M2T-3

19. La relación de Louis de Broglie para la interpretación física de la dualidad

onda-partícula establece que cualquier masa o partícula que se mueve a cierta velocidad tiene asociada una onda electromagnética cuya longitud de onda () depende de la constante de Planck (h) y de su cantidad de movimiento (P), tal que:





h

x

P

y, ¿Cuáles son los valores de x e y que lograr homogenizar la fórmula dada?

a)

h P

1 1 b) hp c) 2hp d) h e) p

20. Si se tomaran como magnitudes fundamentales la aceleración (A), la

masa (M) y el tiempo (T). ¿Cuál sería la fórmula dimensional de la constante de gravitación universal (G)?

a) 3 1 4

A M T

 b) AM c) 2A d) MT e) AMT

s

/

m

)

jˆ

iˆ

(

t

.

m

k

sen

.

L

.

H

2 V

o

_

























(32)

32 ANÁLISIS VECTORIAL

Vector: Es un ente matemático que se caracteriza porque tiene módulo,

dirección y sentido. Un vector sirve para representar a las magnitudes físicas vectoriales.

Los vectores se pueden representar gráficamente mediante un segmento de recta orientado. Así:

Notación:

*

v



: se lee “vector v”

*

v



: se lee “módulo del vector v”

OPERACIONES BASICAS CON LOS VECTORES

Debemos tener presente que para realizar operaciones con vectores, estos deben ser de la misma naturaleza.

I. Suma de Vectores

Consiste en reemplazar a un conjunto de vectores por uno solo llamado vector resultante (

R



).

¿Cómo determinamos la resultante de dos vectores?

Mod ulo: IvI  Dirección Sentido Línea de acción x y v

(33)

33

Rpta. Se debe tener en cuenta los siguientes casos:

1. Para dos vectores con el mismo sentido:

La resultante se obtiene sumando los módulos de los vectores Ejemplo:



A esta resultante se le conoce como Resultante Máxima (Rmax)

R = A + B

2. Para dos vectores con sentidos opuestos





R = A - B

En este caso se obtiene restando los módulos de los vectores * A esta resultante se le conoce como “RESULTANTE MINIMA” (RMIN)

3. Para dos vectores perpendiculares:

A = 4u R = 7u B = 3u

A = 4u

R = 1u

B = 3u

R A = 6u B = 8u

(34)

34

R = 2 2

B

A



R = 2 2

8

6 

R = 10u

En este caso la resultante se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras.

R =

A

2



B

2

4. Para dos vectores que forman un ángulo cualquiera



Observe que en este caso se trazan paralelas a los vectores por sus extremos. La unión del origen de los vectores con la intersección de las paralelas es el vector resultante.

El módulo de éste vector resultante se obtiene así:

R =

A

2



B

2



2 AB

Cos



Método del Polígono

Nos permite determinar la resultante de varios vectores:

Procedimiento

1. Trasladamos los vectores y los colocamos uno a continuación de otro (extremo de un vector en el origen del otro)

2. El vector resultante (

R



) se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector



A

R

(35)

35

Por ejemplo:

Para los vectores dados, halle el módulo de la resultante.

Solución

Colocamos los vectores uno a continuación de otro.

El vector resultante se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector. Luego:

R = 8

Diferencia de dos Vectores

Los vectores que se van a restar se unen en un origen común, luego el vector diferencia se obtiene uniendo los extremos de los vectores. El vector diferencia señala hacia el minuendo.



B

A

D









A

B

A

D

B=4

A=5

37º

c = 3

B = 4 A = 5 C =3 R 37º 4 4

(36)

36

Su módulo:









A

B

2 AB

cos

D

2 2 Ejemplos de Aplicación

1. La resultante máxima de dos vectores de módulos iguales es 10. Hallar la nueva resultante cuando dichos vectores estén formando 120º entre sí.

Solución:

Sea los vectores

a

y

b



Tales que:

a



b



m



Luego, Rmax = a + b Rmax = 2m Por dato: 2m = 10 m = 5 Luego, cuando forman 120º:

R =

5

2



5

2



2 (

5 )(

5 )

cos

120 º

R =

_













2

1 )

5 (

2

5

2 2 2 R = 5 Conclusión

Dos vectores de igual módulo que formen 120º entre si originan una resultante de igual módulo que los vectores.

R

120º

5

(37)

37

2. La figura mostrada es un hexágono regular de lado 6u. Halle el módulo del vector resultante.

Solución

Trasladamos los vectores hacia los lados que son paralelos a dichos vectores, así: Luego; sumamos:

AC



CD



AD

ED

AE





 R = 2 (AD) Pero AD = 12u Luego R = 24u

3. Dados los vectores mostrados, determinar

P

2 Q





Solución.

Unimos los vectores por sus orígenes.

B C D E F A

53º

P

=

5 15º 2

Q =

6 B

C

D

E

F

A

78º P = 5 Q = 3 25º

(38)

38

D =

5

2



6

2



2 (

5 )(

6 )

Cos

53 º

D =

25 

36 

36

 D = 5

DESCOMPOSICION RECTANGULAR DE UN VECTOR

Consiste en reemplazar un vector por otros dos, de tal forma que éstos sean mutuamente perpendiculares.  Vx =

V

cos





Vx = V Cos  Vy =

V



sen Vy = V sen  Además: Ejemplos de Aplicación

1. Hallar el módulo de la resultante.



y

x



v

y

x

v

_x

v

_y

53º

90 37º

120

(39)

39

Solución: * Hallamos “RH” RH = 120 cos 53º - 90 cos 37º RH = 120 x

5

3

- 90 x

5

4

RH = 0 * Hallamos “RV” RV = 90 Sen 37º + 120 sen 53º RV = 90 x

5

3

+ 120 x

5

4

RV = 150

Luego la resultante total se obtiene así: R =

R

2_H



R

2_v R = 2 2

150

0 

 R = 150 53º 37º 90 sen 37º 120 Cos 53º 90 Cos 37º 120 Sen 53º

(40)

40

2. Halle la medida del ángulo “” para que la resultante se encuentre en el eje “x”

Solución

Como la resultante está ubicada sobre el eje “x”, entonces en el eje vertical, la resultante debe ser igual a cero:

Luego: Ry = 0 10 sen  - 16 cos 60º = 0 5 sen  = 8 cos 60º 5 sen  = 8 x ½ = 4 sen  =

5

4

  = 53º

30º

6

10 

16 

10 10 sen



10 cos



16 cos 60º

6 16 sen 60º

60º

(41)

41 PROBLEMAS RESUELTOS

01. Determine el módulo de la resultante de los vectores 

A

,

B

 y

C

 .

a) 12 u b) 14 u c) 24 u d) 13 u e) 15 u

RESOLUCIÓN

Sumamos los vectores

B y C

 

, usando el método del paralelogramo:

Calculamos el modulo de 

B



C

 usando la fórmula:

Un análisis geométrico adicional nos lleva a la conclusión de que el vector

B





C

 biseca al ángulo de 60°, esto es porque los vectores que se han sumado tienen igual módulo. Por lo tanto el ángulo que forman entre si el vector 

A

y 

B



C

 es 90°.

60°

_{= 4u}

= 4u

2 2

4

2

4

60 4 3

B

C

( )( ) Cos

u

 





 

 

B = 4u

C = 4u

60°

(42)

42

Sumamos ahora 

A

y

B





C

 con el método del paralelogramo.

Calculamos el modulo de

R

A

B

C

   





usando la fórmula:

12 R

u





Rpta: A

02. Dos vectores 

A

y

B

 tienen módulos de 10 u y 6 u respectivamente. Determinar en qué intervalo se encuentra el módulo de la resultante que se pueden obtener con estos dos vectores.

A)

0 u



A



B



16 u

  B)

0 u



A



B



4 u

  C)

6 u



A



B



16 u

  D)

6 u



A



B



10 u

 

A = 4



6 u

90°

2 2

4 6

4 3

2 4 6

4 3

90 R

(

)

(

)

(

)(

) Cos









(43)

43

E)

4 u



A



B



16 u

 

RESOLUCIÓN

Calculamos el módulo de la resultante máxima y mínima de estos dos vectores, cuando formen 0° y 180° entre sí respectivamente.

u

16 B

A





  ;

A



B



4 u

 

El intervalo entre los cuales se encontrará la resultante de estos vectores de acuerdo al ángulo que formen entre si será:

4 u

A

B

16 u

 







Rpta: E

03. Dos vectores tienen una resultante máxima cuyo módulo es 14 u y una resultante mínima cuyo módulo es 2u. Determine el módulo de la resultante de los vectores cuando son perpendiculares entre si.

a) 12 u b) 14 u c) 20 u d) 10 u e) 15 u

RESOLUCIÓN

Supongamos que sean dos vectores 

A

y

B

 , entonces según lo afirmado en el problema.  





A

B

u

14

;

2 u





A



B



Resolvemos y encontramos los módulos de los vectores 

A

y 

B

.

u

8 A





B



6 u



(44)

44

Calculamos el módulo de los vectores 

A

y 

B

usando la fórmula [1], cuando los vectores son perpendiculares ( = 90°).









 

90 Cos

)

6 )(

8 (

2

6

8 B

A

2 2

u

10 B

A





  Rpta: D

04. Sea el vector

A

 de módulo 5 u que forma 63° con respecto al eje +x, y las rectas L1 y L2 que forman ángulos de 137° y 10° con respecto al eje +x. Determine los módulos de las componentes del vector

A

 sobre L1 y L2.

a) 4 u y 6 u b) 8 u y 5 u c) 5 u y 6 u d) 4 u y 5 u e) 4 u y 3 u

RESOLUCIÓN

Dibujamos el vector 

A

y las rectas L1 y L2, Construimos un paralelogramo y trazamos los componentes de 

A

.

L

2

L

1

63°

_10°

137°

(45)

45

Calculamos el módulo de las componentes usando ley de senos y obtenemos:

A1 = 5cm Y A2 = 6cm

Rpta: C

05. Los vectores

A,B y C

   están ubicados en el sistema ortogonal, tal como se muestra en la figura. Determine la resultante de los vectores.

a)

R





0,8 i 0,3 j





 b)

R



 

0,8 i 0,3 j





 c)

R





0,8 i 0,3 j





 d)

R



 

0,8 i 0,3 j





 e)

R

0,3 i 0,8 j

  





= 2 cm

=

cm

= 2,5 cm

16°

53°

45°

(46)

46

RESOLUCIÓN

Descomponemos rectangularmente los vectores y calculamos los módulos de las componentes.

Calculamos la resultante en cada eje usando vectores unitarios.

x

R





1,2 i





2 i





2, 4 i





0,8 i

 y

R





1,6 j





2 j 0,7 j









0,3 j



R





0,8 i





0,3 j

 Rpta: A

06. Los vectores

A,B y C

   están ubicados en el sistema ortogonal, tal como se muestra en la figura. Determine la resultante de los vectores.

= 10u

= 8



2 u

83°

30°

38°

= 10u

A

I

B

J

C

J

16°

53°

45°

C

I

A

J

B

I

A = 2cm

C = 2,5cm

B =

cm

(47)

47

A) 4 u  7º B) 1 u  8 º C) 4 u  0 º D) 1 u  0 º E) 1 u  10 º RESOLUCIÓN

Los ángulos mostrados no corresponden a triángulos notables. Si los vectores son girados 7° en sentido horario, obtenemos que los vectores forman ángulos notables con respecto a los ejes ortogonales.

Descomponemos los vectores y calculamos los componentes de cada vector.

A = 10u

B = 8



2 u

37°

45°

C = 10u

7°

90°

A

I

B = 8



2 u

53°

45°

C = 10u

A

J

A = 10 u

B

I

B

J

(48)

48

Calculamos la resultante     









6 i

8 i

10 i

4 i

R

x     









8 j

0 j

R

y  



4 i

R

El módulo de la resultante es:

R



4 u



, girando el vector 7° en sentido antihorario (para restituir el ángulo anteriormente girado), la dirección y el sentido del vector resultante será: 7° con respecto al eje +x.

Rpta: A

07. Sean los vectores

A

6 i

8 j

2 k

   







y

B

2 i

12 j

6 k

   





. Determine el módulo de

R

6 A

5 B

  





a) 42 u b) 12 u c) 63 u d) 26 u e) 98 u

(49)

49

RESOLUCIÓN Calculamos 

R

:   





6 A

5 B

R

   







30 i

36 j

42 k

R

Calculemos el módulo de la resultante.

63 )

42 (

)

36 (

)

30 (

R



2



2





2



 Rpta: C

08. Calcule el módulo de la resultante de los vectores que se muestran en la figura. A) 8 u B) 10 u C) 6 u D) 5 u E) 9 u RESOLUCIÓN Rx = 8 u Ry = 6 u

Calculamos la resultante aplicando Pitágoras:

R = 10 u Rpta: B

)

k

6 j

12 i

2 (

5 )

k

2 j

8 i

6 (

6 R

      









1u

(50)

50

09. Determine el módulo del vector



A

tal que la resultante de los vectores mostrados en la figura sea vertical.

(B = 25u) A) 40 u B) 20 u C) 60 u D) 30 u E) 90 u RESOLUCIÓN Descomponemos y sumamos: x _x _x

R

B i

A i

0 25cos53 i

Acos60 i

0 A

30u

    







 

 



Rpta: D

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I

01. En el sistema mostrado hallar el módulo de la resultante:

53°

60°

53°

y

60°

x

(51)

51

a) 3 b) 4 c) 5

d) 7 e) 9

02. Del grafico mostrado hallar el modulo de la resultante:

a) 1 b) 2 c) 5

d) 2√ e) 7

03. Hallar el módulo de la resultante:

a) 3(←) b) 3(↑) c) 3 (→)

d) 3 (↓) e) 0

(52)

52

a) 17x b) 13x c) 10x

d) 8x e) 24x

05. Se tienen dos vectores de módulos 9u y 15u. ¿Qué ángulo forman si

la resultante entre ellos mide 21u?

a) 30° b) 60° c) 53°

d) 37° e) 45°

a) 5√ b) 5 c) 2

d) 2 e) 15

07. La resultante de 2 vectores es 2 √ , si sus modulos son 6 y 4

unidades ¿Qué ángulos forman dichos vectores?

a) 30° b) 60° c) 45°

d) 37° e) 53°

08. En el grafico mostrando la resultante es igual a cero, determine el

(53)

53

a) 20° b) 30° c) 60° d) 50° e) 15° 09. Hallar la resultante: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10

10. Dos vectores “A” y “B” forman entre si un ángulo de 45°. Si el módulo de

B es de √ . ¿Cuál es el modulo de “R”, sabiendo que “R” y “A” forman un ángulo de 30°?

a) √ b) 2√ c) 6

d) 5 e) 8

11. Hallar el módulo de la resultante, sabiendo que el vertical.

a) 10 b) 15 c) 20

(54)

54

12. Determinar el valor de “θ” para que la resultante sea vertical.

a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60°

13. Dados dos vectores de igual modulo los cuales forman un ángulo de 37°,

hallar la relación entre el modulo del vector resultante y el modulo del vector diferencia de los mismos.

a) 3 b) 2 c) 1/3

d) 4 e) 5

a) 20√ b) 40 c) 60

d) 70 e) 70√

15. Hallar el ángulo que forman dos vectores | ̅| = 5 y | ̅| = 5 √ si la

resultante vale 5.

a) 45° b) 53° c) 30°

(55)

55

16. La máxima resultante de dos vectores es 21 y su mínima resultante es 3.

¿Cuál será la resultante cuando formen 90°?

a) 10 b) 12 c) 14

d) 15 e) 18

17. Los vectores ̅ y ̅ forman entre si un ángulo de 90°, calcular:

| ̅ ̅| | ̅ ̅|

a) 0 b) 1 c) 2

d) 1/2 e) 1/3

18. Determinar en el módulo del vector resultancia, si el lado de cada

cuadrito pequeño es 2 unidades de longitud.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 8

19. Del gráfico, hallar el módulo de la resultante, (Cos 120° = - 1/2).

a)

√

b)

√

c) 3

(56)

56 20. Dos vectores forman un ángulo de 60° y el módulo de su vector diferencia

es de 2√ . Hallar el modulo de los vectores si uno es los ¾ del otro.

a) 4; 2

b) 4; 3

c) 8; 6

d) 10; 10

√

e) 4; 7

PROBLEMAS DE PROPUESTOS NIVEL II

01. . En la figura mostrada, se tiene: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

a) 5

b) 5

√

c) 10

d) 10

√

e) 15

a) 4

b) 4

√

c) 8

(57)

57

03. Hallar el modulo del vector resultante:

a) 4

b) 4

√

c) 5

√

d) 8

√

e) 8

04. Determinar el módulo de la resultante parcial en el eje de las abscisas (x), si:

A=50; B=100; C=40.

a) 20

b) 40

c) 50

d) 60

e) 70

05. Si tiene 3 vectores de igual modulo (F=100) según se muestra en el Sistema de

Vectores. Calcular el módulo de la resultante parcial en el eje de las ordenadas (y) es decir la componente de la resultante en el eje “y”.

(58)

58 a) 100

b) 110

c) 120

d) 130

e) 140

06. La resultante parcial en el eje “x” del siguiente Sistema de Vectores, tiene un valor

de 6 unidades. Determinar Cos .

Datos:

̅ ̅ ̅

a) 0

b) 0,5

c) 0,2

d) 0,6

e) 1

07. Si el módulo de la resultante parcial en el eje “y” del sistema de vectores mostrado

tiene un valor de 64, Hallar el valor de .

̅ ̅ ̅

a) 30°

b) 37°

c) 53°

(59)

59

08. Determinar el módulo de la resultante de los vectores mostrados.

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

09. Determinar el módulo de la resultante y su dirección:

a) 50 y 45°

b) 70 y 37°

c) 50 y 53°

d) 70 y 45°

e) 40

√ y 45°

10. Si la resultante del sistema de vectores mostrado es de 7u apuntando hacia abajo a

(60)

60 a) 60°; 100

b) 60°; 200

c) 30°; 100

d) 30°; 200

e) 53°; 150

11. Los vectores que se muestran tienen resultante nula. Si C = 2a = 20√ cm. ¿Cuál