Algebra y Analisis Tensorial

ALGEBRA Y ANALISIS TENSORIAL

Por Javier de Montoliu Siscar, Dr. Ing. Ind. 5ª Edición. Octubre 2004.

PROLOGO

Este ensayo tiene por finalidad facilitar los cálculos propios del Algebra Lineal, en especial los que se refieren a los distintos temas propios de las ciencias física y geométrica en su relación con un espacio puntual afín siempre propiamente euclidiano, a base de considerar la tridimensionalidad como un caso particular de la n-dimensionalidad con n finito.

No se desarrrollan pues de momento, sus posibles aplicaciones a la física relativista ni cuántica.

Esta Algebra y Cálculo Tensorial es especialmente útil, pues no opera solamente con magnitudes tensoriales propiamente dichas (que incluyen vectores y escalares), sino que permite considerar como tales en el cálculo, a los operadores lineales ó multilineales, facilitando así la formulación de las imágenes que determinan.

Entre los operadores expresables tensorialmente se incluyen derivadas, derivadas direccionales ó parciales, así como magnitudes integrales.

El simbolismo elegido para los tensores es intrínseco, y se ha limitado la utilización y descripción de sus componentes característicos y de las bases vectoriales adoptadas, a los casos en que ha sido necesario ó conveniente para una definición ó una demostración.

En cuanto a la expresión de sus componentes característicos en cifras, se hace excepcionalmente a título de ejemplo ó caso particular.

El álgebra que se utiliza, se halla definida en el segundo capítulo del texto, y en el resto del texto, se hace la aplicación del álgebra a un estudio parcial detallado de diversos tensores y sus relaciones.

En la primera parte se dedica una atención especial a los tensores de segundo orden y a su relación con las matrices cuadradas.

En la segunda parte ponemos el acento sobre las aplicaciones del álgebra a la expresión tensorial de las magnitudes diferenciables ó integrables así como de las derivadas espaciales y diferenciales y a la expresión intrínseca de las fórmulas de Stokes y Ostrogradski.

I TABLA DE CONTENIDO PROLOGO 1 TABLA DE CONTENIDO I ALGEBRA TENSORIAL 1 A.- GENERALIDADES. 1

B.- FUNDAMENTOS DEL ALGEBRA TENSORIAL INTRINSECA A

DESARROLLAR 3

1.- Algunos aspectos del espacio vectorial E propiamen-te euclidiano y de dimension finita y de los espacios

vectoriales E⊗s (n finito) construído sobre E, con cuyos

elementos opera el álgebra. 3

2. Estructura y propiedades principales del álgebra. 4

3.- Tensores y aplicaciones lineales. 7

4.- Operación contracción de tensores. 8

5.- Observaciones. 9

C.- TENSORES EN GENERAL. 11

1.- Norma, módulo, núcleos e imágenes de un tensor. 11

2.- Simetrías y antisimetrías en los tensores. 16

3.- Simetría y antisimetría m,p 18

4.- Simetría y antisimetría 1,2. 20

5.- Tensores totalmente antisimétricos 22

6.- Tensores totalmente simétricos y h-simétricos. 38

7.- Tensores isótropos. 42

8.- Particularidades del espacio tridimensional. 44

9.- Particularidades del espacio bidimensional. 48

10.- Polinomios tensoriales. 50

D.- TENSORES E⊗2 DE 2º ORDEN 55

1.- Generalidades. 55

2.- Matrices de coeficientes tensoriales. 57

3.- Producto matricial de tensores de 2ºorden. 62

4.- Tensor fundamental. 66

5.- Tensores isótropos. 69

6.- Invariantes de un tensor.Traza. 71

7.- Determinante de un tensor. 73

8.- Valores y vectores propios de un tensor. 75

9.- Grupos de tensores. Potencias matriciales. 80

10.- Tensores ortogonales. 89

11.- Tensores semejantes. 90

12.- Tensores simétricos definidos positivos. 91

13.- Tensores simétricos semidefinidos positivos. 93

ANALISIS TENSORIAL 95

A.- ESPACIOS PUNTUALES. DERIVADAS. 95

1.- Espacios puntuales afines. 95

II

3.- Derivación de expresiones tensoriales. 106

5.- Integrabilidad espacial. 112

6.- Funciones de función de x→. 115

7.- Campos vectoriales particulares en un espacio puntual

afín n-dimensional. 117

B. VARIEDADES. INTEGRACION. 119

1.- Variedades y cuerpos. 119

2.- Politopos y tensores totalmente antisimétricos. 120

3.- Magnitudes de volumen. 126

4.- Fórmulas de Stokes y de Ostrogradski. 127

5.- Integraciones en general. 131

C.- INTEGRALES Y CAMPOS PARTICULARES. 135

1.- Integrales de volumen relativas a r→r-n. 135

2.- Valor de ∇D→ para cualquier cuerpo. 143

3.- Campos solenoidales. 145

4.- Campos irrotacionales, 152

5.- Campos armónicos. 156

D.- ECUACIONES DIFERENCIALES 159

1.- Ejemplos de ecuaciones diferenciales. 159

E.- SERIES POLINOMICAS. 163

APENDICE-1 170

INDICE DE EQUACIONES

171 APENDICE-2

1

ALGEBRA TENSORIAL

A.- GENERALIDADES.

1.- Este texto tiene por objeto el estudio de un álgebra propia del conjunto de tensores afines construídos sobre un espacio vectorial E propiamente euclidiano n-dimensional, considerados intrínsecamente y tomando escalares y vectores como tensores de orden 0 y 1 respectivamente.

2.- Supondremos familiarizado el lector con los elementos de álgebra lineal y en particular con espacios vectoriales, tensores, matrices y determinantes.

3.- En general, expresaremos los escalares por letras griegas minúsculas: α,µ,π, etc., los vectores por letras normales

minúsculas con flecha en la parte superior: v→, w→, etc., y los

tensores por letras griegas minúsculas con flecha en la parte

superior: ρ→, σ→, etc. Si α ó (v→w→) son escalares complejos, sus

conjugados se representarán por α¯ y (v→¯w¯) ó α* y (v→ →w→)*.

Normalmente, cuando un escalar es un coeficiente de un

vector tal como v→, lo representaremos con la misma letra v sin

flecha y con un subíndice o supraíndice, por ejemplo: v₂, vi,

v₃,etc. Si es un coeficiente de un tensor τ→, se representará por

la letra normal minúscula t correspondiente, seguida de los subíndices y supraíndices, necesarios para su identificación,

escritos uno a continuación del otro. Ejemplo: t₁₂1₄

Una matriz se expresará con una letra mayúscula ó como

un conjunto de elementos. Sea por ejemplo la matriz A = {λi

j

}. La

expresión λj_i significará un elemento de la matriz, cuya

identificación dependerá de la convención adoptada. Hache convendremos que el supraíndice indica la fila, en este caso j, y que el subíndice indica la columna, en este caso i. De esta

manera, λ3₂ no representa a la matriz A, sino a un elemento

determinado de ella, el de fila 3 y columna 2.

Sea un sumatorio ∑k=m n a → k. Lo representaremos por ∑m n a → k si

no hay duda sobre la magnitud que toma valores y si tampoco hay

duda respecto a los valores límites, por ∑ka

→

k o simplemente por

∑a→k.

4.- Se adopta el convenio de Einstein:

Siempre que en un monomio figure dos veces el mismo índice, una vez como superior y otra como inferior, se debe, salvo aviso en contra, sumar los monomios obtenidos dando a este índice todos los valores posibles.

2

Si esto ocurre con más de un índice, habrá que sumar los monomios obtenidos dando a estos índices todos los valores posibles.

viv→_i = v1v→₁ + v2v→₂ + ... + vnv→_n

3

B.- FUNDAMENTOS DEL ALGEBRA TENSORIAL INTRINSECA A DESARROLLAR

1.- Algunos aspectos del espacio vectorial E

propiamen-te euclidiano y de dimension finita y de los

espacios vectoriales E⊗s (n finito) construído sobre E, con

cuyos elementos opera el álgebra. 1.01.- Bases duales.

Por ser E propiamente euclidiano tenemos E* = E, o sea que E es dual de sí mismo en el sentido siguiente:

A toda base de E corresponde una base dual también de. E, que sólo coincide con la primera cuando ésta es ortonormal.

Por otra parte, consideraremos a los vectores de E como tensores de orden uno y representaremos como base principal de E

a {e→_i} y como base dual a {e→j}, sabiendo que verifican

e→_ie→j = e→je→_i = δj_i (símbolo de Kronecker).

Por consiguiente podemos tomar como bases de E⊗s, las

siguientes:

{e→_i⊗e→_j⊗..⊗e→_s}, {e→i⊗e→_j⊗..⊗e→_s}, {e→_i⊗e→j..⊗e→s}, etc. 1.02.- Expresiones de un tensor.

a) Todo tensor de E⊗s puede expresarse por una

combinación lineal de productos tensoriales elementales, es

decir, correspondientes a elementos de E×s:

∑

= i ri r_i r_i

r _α

τ

b) Teniendo en cuenta que cada r factores tensoriales simples se pueden representar por un tensor de orden r, todo tensor de orden mayor que uno, se puede representar también en forma einsteniana de la siguiente manera:

τ → _{= σ}→

i⊗µ→ i

c) La notación ordinaria einsteniana de un tensor en función de bases duales, es:

τ

→ _{= t}ij..s

(e→_i⊗e→_j⊗..⊗e→_s) = ti_j..s(e→_i⊗e→j⊗..⊗e→_s) = ...

Si no se indica lo contrario tomaremos {e→_i} como base

principal y en consecuencia los coeficientes escalares se denominan:

4

Covariantes: t_ij..s

Mixtos: ti_j..s, etc.

Si y sólo si la base es ortonormal, se verifica: tij..s = t_ij..s = ti_j..s = ....

2. Estructura y propiedades principales del álgebra.

2.01.- Operaciones fundamentales.

El conjunto E⊗ toma la estructura de un álgebra

estableciendo las siguientes operaciones fundamentales entre sus elementos:

1º.- Multiplicación tensorial. 2ª.- Multiplicación contracta. que pasamos a precisar.

2.02.- Multiplicación tensorial.

Definimos como producto tensorial de un tensor τ→ ∈ E⊗s

por un tensor σ∈ E⊗m

a un tensor τ→⊗σ→ de E⊗(s+m)

de las características propias de la estructura tensorial que suponemos conocida.

Nos limitaremos ahora a recordar las siguientes:

1ª.- No conmutatividad: En general τ→⊗σ→ ≠ σ→⊗τ→.

2ª.- Asociatividad: σ→⊗(τ→⊗π→)=(σ→⊗τ→)⊗π→ = σ→⊗τ→⊗π→

3ª.- Distributividad a derecha e izquierda:

(σ→=σ→’+σ→”; τ→=τ→’+τ→”): σ→⊗τ→= σ→’⊗τ→’+ σ→’⊗τ→”+ σ→”⊗τ→’+ σ→”⊗τ→” 2.03.- Multiplicación contracta.

Entre los posibles, definimos como producto contracto

normal de dos tensores τ→ y σ→ y lo expresamos sin signo especial,

a un tensor τ→σ→, que tiene por orden el módulo de la diferencia de

órdenes de los factores, sujeto a las siguientes leyes:

1ª.- Conmutatividad: τ→σ→ = σ→τ→

2ª.- Distributividad a derecha e izquierda:

(σ→=σ→’+σ→”; τ→=τ→’+τ→”): σ→τ→= σ→’τ→’+ σ→’τ→”+ σ→”τ→’+ σ→”τ→”

5 el producto escalar en E.

4ª.- El producto contracto de dos productos tensoriales elementales, se verifica ordenadamente del modo siguiente:

(a→₁⊗a→₂⊗...⊗a→_m⊗a→_m+1⊗...⊗a→_n)(b→₁⊗b→₂⊗...⊗b→_m) =

= (a→₁b→₁)(a→₂b→₂)...(a→_mb→_m) [a→_m+1⊗...⊗a→_n]

Cada paréntesis () indica un producto escalar cuyos factores son los pares de vectores situados en el mismo orden de colocación de derecha a izquierda de los tensores factores, hasta agotar los vectores del tensor de menor orden.

Puede verse fácilmente que esta operación es compatible con las propias de los espacios vectoriales de tensores.

2.04.- Notaciones einstenianas normales. Ejemplos. Sean los tensores τ→=t_ijk(e→i⊗e→j⊗e→_k); σ→=slm(e→_l⊗e→_m)

1º.- π→ = τ→⊗σ→ = [tij k

(e→i⊗e→j⊗e→_k)] ⊗ [slm(e→_l⊗e→_m)] =

= t_ijkslm(e→i⊗e→j⊗e→_k⊗e→_l⊗e→_m)

p_ijklm = t_ijkslm 2º.- ρ→ = τ→σ→ = [tij

k

(e→i⊗e→j⊗e→_k)][slm(e→_l⊗e→_m)] = = t_ijkslm(e→ie→_l)(e→je→_m)e→_k =t_ijksije→_k

rk = t_ijksij

Para este producto, las bases utilizadas para el primer factor deben ser duales de las utilizadas para el segundo factor.

2.05.- Teoremas fundamentales de esta álgebra.

Teorema 1º.- Dados tres tensores τ→, σ→ y µ→ construidos

sobre E, tales que el orden de τ→ es igual o mayor que el de σ→, se

verifica:

(τ→σ→)µ→ = (σ→⊗µ→)τ→

Dada la distributividad de productos tensoriales y contractos, bastará demostrarlo para el caso de que los tres tensores sean productos tensoriales simples. Efectivamente, para

σ → _{= a}→ 1⊗a→2⊗...⊗a→r τ → _{= b}→ 1⊗b→2⊗...⊗b→r⊗b→r+1⊗...⊗b→s µ → _{= c}→ 1⊗c→2⊗....⊗c→t tendremos: τ →σ→ = (a→1b → 1)(a → 2b → 2)...(a → rb → r)[b → r+1⊗...⊗b→s] σ

6 y por consiguiente: (τ→σ→)µ→ = (a→1b → 1)(a → 2b → 2)...(a → rb → r)[b → r+1⊗...⊗b→s][c → 1⊗c→2⊗....⊗c→t] (σ→⊗µ→)τ→= (a→1b → 1)(a → 2b → 2)...(a → rb → r)[c → 1⊗c→2⊗....⊗c→t][b → r+1⊗...⊗b→s]

Teorema 2º.- Dados tres tensores σ→, τ→ y µ→ construidos

sobre E, tales que el orden de σ→ es inferior al de τ→, se

verifica:

(σ→τ→)⊗µ→ = (τ→⊗µ→)σ→

Bastará demostrarlo para los mismos tensores de la

demostración anterior, con lo que σ→τ→ tomará el valor allí

expresado. Tendremos además: τ →⊗µ→ = b→1⊗b→2⊗...⊗b→r⊗b→r+1⊗...⊗b→s⊗c→1⊗c→2⊗....⊗c→t y por consiguiente: σ →τ→⊗µ→ = (a→1b → 1)(a → 2b → 2)...(a → rb → r)[b → r+1⊗...⊗b→s⊗c→1⊗c→2⊗....⊗c→t] τ →⊗µ→)σ→ = (a→1b → 1)(a → 2b → 2)...(a → rb → r)[b → r+1⊗...⊗b→s⊗c→1⊗c→2⊗....⊗c→t]

Teorema 3º.- Sean 4 tensores τ→, τ→’, σ→ y µ→ construidos

sobre E, tales que τ→ y τ→’ son de igual orden. se verifica:

(τ→τ→’)(σ→µ→) = (τ→⊗σ→)(τ→’⊗µ→)

Pues τ→τ→’=τ→’τ→ es un escalar, y podremos escribir:

(τ→τ→’)(σ→µ→) = [(τ→’τ→)σ→]µ→ y por el teorema 1º:

(τ→τ→’)(σ→µ→) = [τ→’(τ→⊗σ→)]µ→ = (τ→⊗σ→)(τ→’⊗µ→)

2.06.- Un coeficiente escalar de un tensor τ→ de orden

s, relativo a una base tensorial compuesta por vectores de un par

de bases duales de E, es igual al producto contracto de τ→ por un

producto tensorial de dichos vectores base con índices en igual posición y orden.

Podemos demostrarlo, por ejemplo para tij_k:

τ →_(e→i⊗e→j⊗e→ k) = [t i'j' k'(e → i'⊗e→j'⊗e→ k'

)](e→i⊗e→j⊗e→_k) = = ti'j'_k'(e→_i'e→i)(e→_j'e→j)(e→k'e→_k) = tij_k

y evidentemente la demostración es análoga para cualquier otro coeficiente.

2.07.- Cambio de coordenadas de un tensor τ→ al pasar

de una base {e→_i} de E y su dual, a una nueva base {f→_j} y su dual,

relacionadas con las anteriores por:

7

Sea por ejemplo τ→= tir_st(e→_i⊗e→_r⊗e→s⊗e→t)= tvw_gh(f→_v⊗f→_w⊗f→g⊗f→h) tvw_gh= τ→(f→v⊗f→w⊗f→_g⊗f→_h) = τ→([β_iv→ei]⊗[β_rwe→r]⊗[α_gse→_s]⊗[α_hte→_t])=

= β_ivβ_rwα_gsα_ht τ→(e→i⊗e→r⊗e→_s⊗e→_t) = β_ivβ_rwα_gsαt_htir_st

Como βv i,β w r,α s g y α t

h corresponden a matrices de cambio de

bases, que son regulares, las nuevas coordenadas son función regular de las anteriores. Para todo tensor, se obtienen análogamente las coordenadas nuevas de cualquier tipo a partir de las antiguas del mismo o distinto tipo.

2.08.- Se demuestra que un conjunto de escalares

función de una base de E, define a un tensor de E⊗, si y sólo si,

con un cambio de bases, los escalares varían como si fueran los elementos de un conjunto de coeficientes tensoriales de un mismo tipo determinado. Entonces el conjunto de escalares coincide con el conjunto de coeficientes del mismo tipo correspondientes a algún tensor.

También se demuestra que un conjunto de escalares,

función de una base de E, define a un tensor π→, o sea que es el

conjunto de coeficientes de π→, de algún tipo, cuando al operar

como si así fuera para hallar los coeficientes de π→σ→ ó de π→⊗σ→,

siendo σ→ un tensor cualquiera, hallamos un conjunto de escalares

que define a un tensor.

2.09.- Para E propiamente euclidiano, el producto contracto aquí definido, induce en todos los espacios vectoriales

E⊗ de tensores afines a E, un producto escalar que también los

hace propiamente euclidianos.

3.- Tensores y aplicaciones lineales.

3.01.- Los productos contractos de un tensor π→

determinado de E⊗(s+m) por los distintos vectores de E⊗s, son

vectores de E⊗m que varían linealmente con ellos. Por lo tanto

dichos productos son las imágenes de una aplicación lineal de E⊗s

en E⊗m representada por el tensor π→.

El tensor de E⊗(s+m) correspondiente a la aplicación

lineal por la que una base {g→_i} de E⊗s tiene por imagen {f→_i),

vamos a ver que es (g→j⊗f→_j) siendo {g→j} la base dual de {g→_j}. En

efecto:

(g→j⊗f→_j)g→_i = (g→jg→_i)f→_j = f→_i

3.02.- De acuerdo con el párrafo anterior, la aplicación lineal idéntica vendrá representada por el tensor

g→i⊗g→_i = g→_i⊗g→i

referido a cualquier par de bases duales, pues por el teorema 1 y '2.06, tenemos:

8

(g→i⊗g→_i)a→ = (g→i→a)g→_i = aig→_i = a→

Para los vectores de E, la aplicación lineal idéntica vendrá representada por un tensor de 2º orden:

I →

= e→_i⊗e→i = e→i⊗e→_i

con {e→i} y {e→_i} bases duales de E.

El producto contracto de I→ por un producto tensorial

(a→⊗b→) cualquiera de dos vectores de E, es el producto escalar de

ambos. Pues tenemos: I →

(a→⊗b→) = (I→a→)b→ = a→b→

3.03.- Coeficientes de I→.

Los coeficientes tensoriales de I→ contravariantes

constituyen las matrices de cambio de base de una base a su dual

y los coeficientes covariantes de I→ forman las matrices del

cambio inverso. Los coeficientes mixtos forman la matriz unidad. Pues podemos escribir:

I → = gij(e→_i⊗e→_j) = e→_i⊗gije→_j = e→_i⊗e→i ⇒ e→i = gije→_j I → = g_ij(e→i⊗e→j) = e→i⊗g_ije→j = e→i⊗e→_i ⇒ e→_i = g_ije→j I →

= gi_j(e→_i⊗e→j) = e→_k⊗e→k ⇒ gi_j = δi_j (símbolo de Kronecker) I

→

= g_ij(e→i⊗e→_j) = e→_k⊗e→k ⇒ g_ij = δ_ij (símbolo de Kronecker) Por cálculo vectorial sabemos que las matrices de cambio inverso son inversas.

También se verifica que las matrices covariante y

contravariante de I→ son las fundamentales para las bases duales

fundamentales

gije→_i = e→j = e→j(e→i⊗e→_i) = (e→je→i)e→_i ⇒ gij = e→ie→j g_ije→i = e→_j = e→_j(e→_i⊗e→i) = (e→_ie→_j)e→i ⇒ g_ij = e→_ie→_j

4.- Operación contracción de tensores. La definiremos como un modelo.

Sea un producto tensorial único τ

→ _{= a→⊗b→⊗c→⊗d→⊗..⊗m→}

La contracción de los factores 2,4 es el tensor τ

→_{’= (b}→_d→_{)(a→⊗c→⊗..⊗m→)}

Si el tensor viene dado en forma normal en función de bases duales, tal como

τ

→ _{= t}ijk l..m(e

→

i⊗e→j⊗e→k⊗e→

l⊗..⊗e→m

9 la contracción 2,4 será: τ →_{’ = t}ijk l..m(e → je →l

)(e→_i⊗e→_k⊗..⊗e→m) = (j=l): tijk_l..m (e→_i⊗e→_k⊗..⊗e→m) Deducimos de aquí, que para efectuar esta última operación, hay que expresar previamente os dos factores tensoriales a suprimir, en sendas bases duales.

5.- Observaciones.

Las magnitudes que se consideran en muchas partes de la Física no relativista, son asimilables a espacios vectoriales de

tensores de orden 0, 1 ó mayor, isomorfos a los de E⊗, y sus

relaciones mutuas, en muchos casos, se pueden expresar sin adoptar unidades de medida, ó sea intrínsecamente, a través de los conceptos y métodos algebraicos aquí establecidos, y de otros complementarios deducidos de ellos.

Estimamos que esta álgebra tensorial puede facilitar considerablemente el estudio intrínseco de las relaciones entre magnitudes físicas y para su desarrollo, resulta indispensable el dominio en la aplicabilidad de los tres teoremas fundamentales aquí enunciados.

De entre los productos contractos entre tensores que se pueden definir y que se usan, se ha elegido como normal el de aplicación más general, y que estimamos suficiente para nuestros fines.

Una vez halladas las expresiones más sencillas ó convenientes, el cálculo numérico exige adoptar unidades de cada magnitud y por tanto la adopción de bases vectoriales que se correspondan debidamente entre ellas y entonces también tienen plena aplicación la expresión de tensores por coeficientes de notación einsteniana, expresión que en los casos sencillos se presta a la aplicación del cálculo matricial.

Las matrices, también se pueden considerar como tensores, por lo general de orden uno y dos, y por tanto, sus relaciones intrínsecas también quedarán reflejadas en desarrollos diversos del álgebra tensorial aquí presentada.

El álgebra que aquí se va a desarrollar, está dedicada

especialmente a los tensores afines a E expresados en forma intrínseca, incluyendo entre ellos a vectores y escalares. En cuanto a bases y coeficientes, en general intervienen solamente para completar el estudio de los problemas o para aclarar o confirmar resultados, de acuerdo con el objeto del texto, que es únicamente intentar hacer ver las ventajas del método intrínseco de cálculo tensorial aquí desarrollado.

Esta álgebra no se ha ampliado a los elementos de espacios construídos sobre espacios vectoriales herméticos, por la dificultad derivada de que, ya en los casos más sencillos, el producto hermítico de vectores no es en ellos conmutativo.

10

El método aquí utilizado para definir el álgebra y

otras propiedades de los elementos de E⊗ (tensores construídos

sobre E) al ser E propiamente euclidiano, tambien es utilizable cuando E sólo es euclidiano (no propiamente), si se tiene en cuenta que entonces en E no pueden existir bases ortonormales.

11

C.- TENSORES EN GENERAL.

1.- Norma, módulo, núcleos e imágenes de un tensor. 1.01.- Definición. Llamaremos aquí norma de un tensor τ

→_{, al escalar τ→τ→ y módulo de un tensor a la raíz cuadrada positiva}

de su norma.

Consecuencias.

a) Si τ→=tij..p(e→_i⊗e→_j⊗..⊗e→_p) es la representación

einsteniana del tensor en base del espacio fundamental, su norma valdrá:

τ

→τ→= tij..p

(e→_i⊗e→_j⊗..⊗e→_p)t_i'j'..p'(e→i'⊗e→j'⊗..⊗e→p')= tij..pt_ij..p

Como adoptando una base ortonormal se tiene tij..p = t_ij..p,

resulta que la norma se puede expresar siempre por una suma de cuadrados y por tanto es positiva, salvo el caso del tensor nulo, en el que será nula.

b) Si el tensor τ→= (τ→1⊗τ→2⊗..⊗τ→m) está expresado por un

producto tensorial de tensores, su norma es el producto de las normas de los factores. Aplicando las leyes del producto contracto, tendremos: τ →τ→ = (τ→1⊗τ2⊗..τ→m)(τ → 1⊗τ2⊗..τ→m) = (τ → 1τ → 1)(τ → 2τ → 2)...(τ → mτ → m)

c) La norma del tensor τ→=∑τ→i cuando {τ

→

i} es un conjunto

de tensores de igual orden ortogonales dos a dos, es la suma de las normas de los sumandos:

(τ→l + τ → 2 +...+ τ → 2m)(τ → l + τ → 2 +...+ τ → 2m) = τ → 1τ → 1 + τ → 2τ → 2 + .. + τ → mτ → m

puesto que los productos con subíndices distintos son nulos por ortogonalidad.

1.02.- Como la norma definida para un tensor coincide evidentemente con la norma del mismo tensor considerado un vector del espacio vectorial de los tensores de su orden, podemos aplicar a este espacio vectorial las desigualdades de Schwartz obtenidas para espacios vectoriales en general.

La 1ª desigualdad, para dos tensores cualquiera τ→ y σ→⊗µ→

supuestos no nulos y del mismo orden, es:

[τ→(σ→⊗µ→)][τ→(σ→⊗µ→)] ≤ (τ→τ→)[(σ→⊗µ→)(σ→⊗µ→)]

y transformando el 1º miembro por el teorema 1 fundamental, y el segundo miembro por el teorema 3º, queda así:

[(τ→σ→)µ→][(τ→σ→)µ→] ≤ (τ→τ→)(σ→σ→)(µ→µ→)

Sustituyendo →µ por τ→σ→ de igual orden, se verificará

12

[(τ→σ→)(τ→σ→)][(τ→σ→)(τ→σ→)] ≤ (τ→τ→)(σ→σ→)[(τ→σ→)(τ→σ→)]

que por ser el corchete positivo podemos simplificar así:

[(τ→σ→)(τ→σ→)] ≤ (τ→τ→)(σ→σ→)

Esta expresión generaliza la 1ª desigualdad de Schwartz al producto contracto de tensores cualesquiera.

1.03.- La anterior desigualdad nos permite definir el

coseno del ángulo formado por dos tensores τ→ y σ→ no nulos

cualesquiera, de módulos τ y σ. τσ σ τ σ τ cos σ σ τ τ σ τ σ τ σ τ cos r r r r r r r r r r r r r r _{; (, )=} ) )( ( ) )( ( = ) , ( 1 ≥ 2

Este coseno sería de naturaleza vectorial, y no

escalar, cuando τ→ y σ→ fueran de distinto orden. Tendría entonces

un módulo inferior o igual a uno. Sólo sería nulo para σ→ y τ→

ortogonales. Sería uno si τ→ se puede expresar así:

(∃µ→): τ→ = σ→⊗µ→ ⇒ τ→σ→ = (σ→σ→)µ→ = σσµ→; τ→τ→ = σσµµ

como puede verse fácilmente sustituyendo estos valores en la expresión de cos2(τ→,σ→).

1.04.- Sea el producto contracto de un tensor τ→ de

orden s por otro cualquiera de un orden r igual o inferior a s. El tensor resultante, de orden s-r, varía linealmente con el

factor de orden r elegido, y por tanto, se puede considerar a τ→

como un tensor representativo de una aplicación lineal del espacio de los tensores de orden r en el espacio de los de orden s-r y por analogía procederemos a las siguientes definiciones:

1ª. Para τ→ de orden s, llamamos núcleo de τ→ de orden

r, y lo expresamos por Nuc_r→τ, al conjunto de tensores σ→ de orden

r, tales que:

τ

→σ→ = 0→ ⇔ σ→ ∈Nucrτ

→

2ª. Para τ→ de orden s, llamamos imagen de τ→ de orden r,

y lo expresamos por Im_r→τ, al conjunto de tensores de orden r que

resultan de la multiplicación contracta de τ→ por cualquier tensor

σ

→ _{de orden s-r:}

τ

→σ→ = µ→ ⇔ µ→ ∈Imrτ

→

1.05.- Características de núcleos e imágenes.

a) Nuc_r→τ y Im_r→τ son subespacios vectoriales de tensores de

orden r correspondientes a la aplicación τ→.

b) Nuc_r→τ y Im_r→τ por ser subespacios vectoriales de tensores

13

del total espacio de tensores de orden r.

c) Como para toda aplicación lineal, cuando los productos

contractos de τ→ por los tensores de un conjunto {σ→i} son un

conjunto independiente, también lo es {σ→i}.

d) La suma de dimensiones de Nuc_r→τ y Im_s-r→τ cada uno en su

subespacio es nr. Efectivamente:

Si dim Nuc_r→τ = nr, o sea todo el espacio, será nulo τ→,

así como la dimensión de su imagen.

Si dim Nuc_r→τ = p<nr, adoptando una base {σ→_i} de algún

subespacio suplementario de Nuc_r→τ, y por tanto de dimensión

q=nr-p, siempre se verificará:

(q=nr-p): τ→(λ₁→σ₁+...+λ_q→σ_q) = λ₁→σ→τ ₁+...+λ_q→σ→τ _q

Como ningún σ→i pertenece al núcleo, el miembro primero

de la ecuación solo puede anularse cuando todos los λ sean nulos, y por lo tanto el 2º miembro se anulará si y sólo si todos los λ son nulos.

Ello conlleva que el conjunto {τ→σ→i} es independiente, y

como sea que ya es un generador de Im_s-r→τ, será además una base.

La dimensión de Im_s-r→τ es pues q=nr-p.

1.06.- Tensor τ→ expresado como producto σ→i⊗µ→

i

Siempre es posible expresar por σ→’i⊗µ→’_i un tensor τ→ de

orden s≥2, ya que estos tensores se pueden considerar como sumatorios de productos tensoriales de vectores y éstos a su vez pueden resumirse así.

Vamos a exponer distintas características que se

deducen de esta formulación de un tensor, suponiendo τ→ de orden

s, los {σ→’i} de orden r<s y, por tanto los {µ→’_i} de orden s-r.

1.07.- El subespacio A generado por los {σ→’i} contiene

al subespacio N suplementario ortogonal de Nuc_r→τ.

Sea en el espacio vectorial de los tensores de orden r, el subespacio A' ortogonal (y por tanto suplementario) del

subespacio A engendrado por los {σ→’i}.

Como por hipótesis todo tensor v→ de A’ es ortogonal a

todo tensor de A, y es de orden r, utilizando el 1º teorema fundamental, podremos escribir:

τ →v→ = (σ→’i⊗µ→’ i)v → _{= (σ}→_’i v →_)µ→_’ i = 0 ⇔ v→∈Nucrτ → _{⇔ A’⊂Nuc} rτ → _{⇔ A⊃N}

1.08.- El subespacio B generado por {µ→’_i} contiene a

Im_s-r→τ.

14

cualquier tensor λ→ de orden r y siempre pueden expresarse como

función lineal de los {µ→’_i}, ya que siendo escalares las

expresiones (σ→’i→λ) se verifica:

(1) →λ→ = (σ→’τ i⊗µ→’_i)λ→ = (σ→’i→λ)µ→’_i

1.09.- Evidentemente, si los σ→'i no son independientes

podemos ponerlos en función de los tensores de una base {σ→i

}, y

entonces siempre podremos expresar τ→ de orden s por:

(2) →τ = σ→i⊗µ→_i

adoptando una base {σ→i

} cualquiera del espacio vectorial de los tensores de orden r.

1.10.- Sea τ→ expresado por (2). Si {σ→i} es la base dual

de {σ→i

}, se verifica µ→i = τ→σ→i, pues por el 11 teorema fundamental

tenemos: τ →σ→i = (σ →j⊗µ→ j)σ → i = (σ →j σ → i)µ → j = µ → i

y sustituyendo en (2) tenemos otra expresión de τ→:

(3) →τ = σ→i ⊗ τ→σ→_i

de utilización general cuando {σ→i

} y {σ→i} son bases duales.

1.11.- El tensor τ→ de orden s representa la aplicación

lineal que hace corresponder a los tensores base σ→i de orden r

que figuran en (3), los tensores µ→i de orden s-r, y al resto de

tensores base, el tensor nulo.

Pues acabamos de ver que τ→σ→i = µ

→

i.

Si los tensores σ→ son productos tensoriales de un tipo

determinado, es fácil ver que τ→ representa asimismo la aplicación

multilineal que hace corresponder, a cada conjunto ordenado de tensores factores, un tensor de orden s-r determinado.

Hallar la imagen de un tensor con toda aplicación lineal, se reduce siempre a practicar un producto contracto entre este tensor y el que representa la aplicación. El primero será un producto tensorial para una aplicación múltiple.

1.12.- El único tensor, tal que su producto contracto es nulo, con cualquier tensor de un espacio vectorial de tensores de un mismo orden cualquiera, es el tensor nulo.

Se deduce fácilmente del examen de las ecuaciones (1) y (3) según que el orden del tensor único sea superior o inferior al del espacio de tensores considerado.

1.13.- Elección de bases para que la expresión de τ→ que

estamos estudiando tenga el mínimo de sumandos.

15

los tensores de orden r, la reunión de una base del subespacio

N ortogonal a Nuc_r→τ y de una base de Nuc_r→τ. Efectivamente:

Atendiendo a la ecuación (3), y considerando los

tensores {σ→i} de orden r, si dim Nucrτ

→ _{= p, los p sumandos}

correspondientes a los σ→i de la base de Nucrτ

→ _{serán nulos por}

serlo los segundos factores, y quedarán nr-p sumandos no nulos

correspondientes a la base del subespacio ortogonal a Nuc_r→τ.

Como por '1.08 sabemos que el subespacio generado por

{τ→σ→i} ha de contener a Ims-rτ

→_{, cuya dimensión según '1.05 es n}r

-p, el número de sumandos no nulos es irreducible.

1.14.- Siempre que la expresión τ→ = σ→i⊗µ→

i esté escrita

con un mínimo de sumandos para el orden r elegido para los

tensores σ→ tal como se acaba de indicar, tendremos en

consecuen-cia:

{σ→i

} = Base subespacio ortogonal a Nuc_r→τ

{µ→i} = Base Ims-rτ

→_.

1.15.- Se deduce fácilmente de '1.11 que el producto

contracto de un tensor de orden s por un tensor de orden r es siempre un tensor. El orden del mismo es el módulo de s-r, y el tensor puede ser nulo.

La admisión del orden tensorial uno para los vectores y el orden cero para los escalares generaliza esta proposición a todos los casos posibles.

16

2.- Simetrías y antisimetrías en los tensores. 2.01.- Transposición.

Sea →λ’un tensor producto tensorial cualquiera de s

vectores y λ→’ un tensor producto tensorial de los mismos s

vectores que antes pero en un orden distinto, que solamente difiere del anterior en que se hallan permutados los factores de

lugares de orden m y p. Diremos que λ→ y λ→’ son tensores

transpuestos m,p.

Para tensores en general, diremos que un tensor es el

tensor transpuesto m,p de τ→ y lo designaremos τ→~(m,p), cuando se

verifique:

(∀λ→): τ→~(m,p)

λ→’ = τ→λ→

para cualquier par λ→ y λ→’ de productos tensoriales transpuestos

m,p.

Por lo tanto dos tensores transpuestos m,p son del mismo orden, y éste es mayor ó igual que m y que p.

Dada una descomposición de τ→ en suma de productos

tensoriales de vectores esta condición la cumple evidentemente un tensor suma de productos tensoriales de vectores que sean transpuestos m,p de los primeros.

Ejemplo de tensores transpuestos 2,4: τ → _{= ∑[α} i(a → i⊗b→i⊗c→i⊗d→i⊗e→i)] τ →_~(2,4) = ∑[α i(a → i⊗d→i⊗c→i⊗b→i⊗e→i)]

Para cualesquiera vectores h→,u→,v→,w→,q→ se tiene;

[∑(αia → i⊗b→i⊗c→i⊗d→i⊗e→i)](h→⊗u→⊗v→⊗w→⊗q→)=∑[αi(a → ih → )(b→_iu→)(c→_iv→)(d→_iw→)(e→_iq→)] [∑(αia → i⊗d→i⊗c→i⊗b→i⊗e→i)](h→⊗w→⊗v→⊗u→⊗q→)=∑[αi(a → ih → )(d→_iw→)(c→_iv→)(b→_iu→)(e→_iq→)] y ambos productos son efectivamente iguales.

Solo hay un tensor que cumpla con las condiciones

exigidas al transpuesto. Si hubiera dos, tales como τ→1 y τ

→ 2, se tendría: (∀λ→’): τ→1λ →_{’ = τ→} 2λ →_{’ ⇔ (τ→} 1 - τ → 2)λ → ’ = 0

y por tanto, como cualquier tensor σ→ de orden s>1 puede

descom-ponerse en suma de productos tensoriales de vectores, se tendría también: (∀σ→): (τ→1 - τ → 2)σ → _{= 0 ⇔ τ→} 1 = τ → 2

17

transposición efectuada sobre un tensor τ→, al tensor transpuesto

lo designaremos simplemente por τ~ _{ó bien τ}→_~.

2.03.- Consecuencias de la definición de tensor transpuesto:

1ª.- Si con la misma transposición τ→ se convierte en τ~ _,

y →σ en σ~ , siendo τ→ y σ→ tensores en los que es posible la

transposición en cuestión, se verifica: τ

~σ~ = τ→σ→

2ª.- El módulo de un tensor no varía cuando efectuamos en él cualquier transposición.

3ª.- Con la transposición de un tensor, los índices de sus coeficientes experimentan el mismo tipo de transposición.

Para una transposición (2,4), representando con apóstrofe los coeficientes del tensor transpuesto, tendremos por ejemplo:

18

3.- Simetría y antisimetría m,p

3.01.- Definición. Decimos que un tensor tiene simetría m,p cuando es igual a su transpuesto m,p y que tiene antisimetría m,p cuando es opuesto.

Por consiguiente, dado un tensor por una suma de productos tensoriales de vectores, diremos que tiene simetría m,p si y sólo si es igual al tensor expresable por una suma de productos tensoriales de vectores, que difieren de los anteriores por la permutación de los factores de lugares m y p. Diremos que tiene antisimetría m,p si y sólo si resulta ser opuesto.

3.02.- Si un tensor tiene simetría m,p, un coeficiente tensorial cualquiera es igual al coeficiente que corresponde a la permutación de los índices de lugares m y p. Para un tensor antisimétrico m,p, estos coeficientes son opuestos. Ejemplos: Simetría 2,4: tij_kmq= ti_mkj_q; tijkmq= timkjq; etc.

Antisimetría 2,4: tij_kmq=-ti_mkj_q; tijkmq=-timkjq; etc.

Por tanto, en este último caso, para m=j y para todos los tipos de coeficiente en que ambos están a un mismo nivel, los

coeficientes son nulos (p.e.: tijkjq = 0).

3.03.- Evidentemente, para que un tensor de orden r dado por sus coeficientes en alguna base, sea simétrico o antisimétrico m,p, es necesario y suficiente que la propiedad anterior de los coeficientes de índices permutados, la verifiquen

la totalidad nr de coeficientes de un único tipo cualquiera.

3.04.- Es fácil deducir que el conjunto de los tensores simétricos m,p de un mismo orden r constituye un subespacio vectorial del espacio vectorial de los tensores de orden r y que lo mismo ocurre con los antisimétricos m,p.

Estos subespacios son disjuntos, pues son ortogonales entre sí como vamos a ver.

Efectivamente, si tenemos cualquier tensor τ→ con

simetría m,p, y otro tensor cualquiera σ→ del mismo orden con

antisimetría m,p, y consideramos los tensores τ~ _{y σ}~

respectivamente transpuestos m,p de los anteriores, tendremos por '2.03:

τ

→σ→ = τ~σ~ y como además se verifica:

τ

~ _{= τ}→_{; σ}~ _{= -σ}→

al multiplicar estas últimas igualdades miembro a miembro resulta:

19 τ

→σ→ = -τ→σ→ ⇔ τ→σ→ = 0

3.05.- La dimensión del subespacio de los tensores de simetría m,p, puede verse que es:

n 2 1 n _r-2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +

siendo n la dimensión del espacio vectorial fundamental y r el orden de los tensores considerados.

El primer factor es el número posible de combinaciones de orden 2 con repetición que pueden formarse con n elementos tomados dos a dos en cada una.

El segundo factor es el número posible de variaciones con repetición de orden r-2 que pueden formarse con n elementos tomados r-2 a r-2 en cada una.

3.06.- La dimensión del subespacio de los tensores de orden r con antisimetría m,p puede verse que es:

n 2 n _r-2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

siendo n la dimensión del espacio fundamental.

El primer factor es el número posible de combinaciones de orden 2 sin repetición que pueden formarse con n elementos tomados dos a dos en cada una. El segundo factor es el mismo que

en '3.05.

Este subespacio es suplementario del anterior, pues la

20

4.- Simetría y antisimetría 1,2.

4.01.- Sea un tensor τ→ de simetría 1,2 expresado por:

τ

→ _{= v→⊗σ→}

siendo v→ un vector y σ→ un tensor de cualquier orden.

Para algún tensor ρ→ de orden inferior en una unidad al

de σ→ se verificará:

(∃ρ→): τ→ = v→⊗v→⊗ρ→

Efectivamente. Si la expresión de σ→ como suma de

productos tensoriales vector-tensor con un mínimo de sumandos, es la siguiente: σ → _{= w}→ i⊗µ→ i tendremos τ → _{= v}→ _{⊗ w→} i ⊗ µ→ i

Por la simetría 1,2 de τ→ se verifica:

(v→⊗w→_i⊗µ→i)(a→⊗b→)=(v→⊗w→_i⊗µ→i)(b→⊗a→) ⇔ (v→a→)(b→w→_i)µ→i=(v→b→)(a→w→_i)µ→i

⇔ [(v→a→)(b→w→i) - (v

→_b→_)(a→_w→

i)]µ

→i

= 0

y por ser linealmente independientes los tensores µ→i:

(∀i): 0 = (v→a→)(b→w→i) - (v →_b→_)(a→_w→ i) = [(v →_a→_)w→ i - (a →_w→ i)v →_]b→

y por ser b→ un vector cualquiera:

(∀i): (v→a→)w→i = (a

→_w→

i)v

→

Por ser linealmente independientes los w→_i es necesario

que su conjunto conste de un vector único λv→, que utilizado en la

última ecuación, la verifica.

Por otra parte, la condición es suficiente para que la

nueva expresión de τ→ sea la de un tensor con simetría 1,2.

Tendremos por lo tanto que el tensor ρ→ es igual al

único tensor µ→i

.

4.02.- La propiedad anterior relativa a la simetría 1,2 puede extenderse a otras simetrías por el método que se desarrolla a continuación.

Sea el tensor τ→ simétrico 2,4 expresado por:

τ

→ _{= ∑(r→}

i⊗v→⊗h→i⊗u→i)

21 τ

→ _{= ∑(r→’}

i⊗v→⊗h→’i⊗v→)

puesto que por transposiciones sucesivas tenemos: τ

~ _{= ∑(v→⊗u→}

i⊗r→i⊗h→i)

con simetría 1,2 y por tanto:

τ~ _{= ∑(v→⊗v→⊗r→’}

i⊗h→’i)

y por transposiciones inversas obtenemos el anterior resultado. 4.03.- Así pues, podemos decir en general:

Si un tensor expresado como producto tensorial tiene un

único factor vectorial v→ en el lugar m y tiene simetría m,p, se

puede expresar también como producto tensorial con el mismo

factor vectorial v→ único no sólo en el lugar m sino en el p.

4.04.- Sea un tensor expresado como producto tensorial que tiene un único factor vectorial en el lugar m. Este tensor no puede ser antisimétrico m,p.

Para demostrarlo bastará comprobar que el tensor τ

→_{=v→⊗σ→ no puede ser antisimétrico m,p.}

Pues si así fuera, procediendo como en '4.03,

hallaríamos que debería verificarse

(v→a→)w→_i = -(a→w→_i)v→

y tendríamos por una parte, que por ser linealmente

independientes los w→_i sería necesario que su conjunto constara de

un solo vector λv→ y por otra parte, sustituyendo este valor en la

igualdad final, tendríamos también: λ(v→a→)v→ = - λ(a→v→)v→

lo que es imposible al ser a→ cualquier vector.

4.05.- Se deduce inmediatamente de la propiedad anterior que un tensor expresable por un único producto tensorial de vectores, no puede tener ninguna antisimetría.

22

5.- Tensores totalmente antisimétricos 5.01.- Definición y propiedades generales.

Un tensor es totalmente antisimétrico, cuando es antisimétrico respecto a cualquier par de posiciones.

En consecuencia de la definición y de lo dicho en párrafos anteriores podemos establecer para los tensores totalmente antisimétricos las siguientes características:

1ª.- Un tensor totalmente antisimétrico expresado como un sumatorio de productos tensoriales de vectores, lo que en todo tensor es posible, no varía si efectuamos una misma permutación par entre los factores de cada sumando, y se transforma en su opuesto con una misma permutación impar cualquiera.

Entendemos por permutación par el resultado de dos o de un número par de permutaciones sucesivas entre cualesquiera pares de posiciones, y por permutación impar el resultado de una sola o un número impar de permutaciones sucesivas.

Si P es el conjunto de permutaciones pares p_P y I el

conjunto de permutaciones impares p_I, podremos escribir:

τ → _{= ∑} i(a → i⊗b→i⊗..⊗r→i)= ∑i[pP(a → i⊗b→i⊗..⊗r→i)]= -∑i(pI(a → i⊗b→i⊗..⊗r→i)]

2ª.- Dado un tensor totalmente antisimétrico τ→ de orden

q y otro tensor cualquiera σ→ de los que se puedan determinar los

transpuestos (m,p) expresados respectivamente por τ~ _{y σ}~_{, de}

acuerdo con '2.03 1ª, tendremos

τ →σ→ = τ~σ~ = -τ→σ~ Ejemplo para q>2; m=1; p=2: τ →_{(a→⊗b→⊗c→⊗..r→) = - τ→(b→⊗a→⊗c→⊗..r→)} lo que implica: (τ→a→)(b→⊗c→⊗..⊗r→) = -(τ→b→)(a→⊗c→⊗..r→)

3ª.- Por consiguiente el producto contracto de tal

tensor →τ totalmente antisimétrico de orden q, por cualquier

tensor que presente alguna simetría entre dos de sus primeras q posiciones, es nulo, o sea que ambos tensores serán ortogonales.

5.02.- Sea la expresión general de un tensor τ→

(4) τ→ = tij..r(e→_i⊗e→_j⊗..⊗e→_r) = ti_j..r(e→_i⊗e→j⊗..⊗e→_r) = ...

Si el tensor es totalmente antisimétrico, se verificarán las siguientes propiedades:

23

transforman en sus opuestos con una permutación impar de sus índices y no varían con una permutación par. Ejemplo:

(5) tij_k = -tji_k = -t_kji = -ti_kj = t_kij = tj_ki

y para igual valor de dos subíndices o bien de dos supraíndices, el coeficiente es nulo.

2ª.- Si consideramos un solo tipo de coeficientes de un

tensor τ→ totalmente antisimétrico de orden q construido sobre un

espacio euclidiano de n dimensiones, deducimos:

a) No existen tensores totalmente antisimétricos no nulos de orden superior a n. Puesto que todos los coeficientes tendrían a la fuerza un índice repetido y por tanto serían nulos.

b) Los coeficientes no nulos pueden agruparse en tantos grupos como combinaciones sin repetición de n elementos tomados de q en q, de manera que a cada grupo correspondan q! coeficientes de igual valor absoluto (q! son las permutaciones de q elementos).

El número de grupos es pues _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ q n

c) Si consideramos un orden preestablecido (p. Ej. creciente) para los valores numéricos de los índices, en cada grupo habrá un sólo coeficiente dispuesto con arreglo a este orden, al que llamaremos coeficiente estricto y expresaremos por t(ij..r).

d) Si en la expresión general de τ→ sacamos factor común los

coeficientes estrictos, tendremos otra expresión de τ→:

(6) →τ = t(ij..r)[∑_p∈Pp(e→_i⊗e→_j⊗..⊗e→_r) - ∑_p∈Ip(e→_i⊗e→_j⊗..⊗e→_r)]

que debe entenderse como sumatorio de tantos tensores como coeficientes estrictos.

e) De la expresión anterior, se deduce esta otra:

(7) →τ =

q! 1

tij..r[∑_p∈Pp(e→_i⊗e→_j⊗..⊗e→_r) - ∑_p∈Ip(e→_i⊗e→_j⊗..⊗e→_r)]

al considerar que cada coeficiente estricto corresponde a tantos coeficientes ordinarios como permutaciones q! de q elementos.

5.03.- Con un espacio vectorial fundamental de n dimensiones, el conjunto de tensores distintos totalmente antisimétricos de orden q, constituye un subespacio vectorial de los tensores de orden q. Por lo que antecede, vemos que su dimensión coincide con el número de componentes estrictas, o sea de grupos, correspondientes a n y a q. Para n=q es uno, con una sola componente estricta y un sólo grupo. En general es:

24 Dimensión = _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ q n

5.04.- Cuando un tensor τ→ de orden s es totalmente

antisimétrico, Nuc_r→τ y Im_r→τ son ortogonales suplementarios.

Puesto que la expresión τ→=σ→i⊗µ→

1 de τ

→ _{con un mínimo de}

sumandos, sabemos por '1.14 que implica:

{σ→i

} = Base subespacio ortogonal a Nuc_r→τ.

{µ→1} = Base de Ims-rτ

→_.

Y con τ→ totalmente antisimétrico tendremos τ→=±µ→i⊗σ→

i

también con un mínimo de sumandos, y por tanto:

{µ→i} = Base subespacio ortogonal a Nucs-rτ

→ {σ→i

} = Base de Im_r→τ

5.05.- Producto exterior.

Llamamos producto exterior de los vectores a→,b→,...r→ y

lo expresamos por a→∧b→∧..∧r→, al siguiente tensor:

(8) a→∧b→∧..∧r→ = ∑_p∈Pp(a→⊗b→⊗..⊗r→) - ∑_p∈Ip(a→⊗b→⊗..⊗r→)

que es evidentemente un tensor totalmente antisimétrico. 5.06.- Ejemplo de producto exterior:

a

→∧b→∧c→ = a→⊗b→⊗c→ + b→⊗c→⊗a→ + c→⊗a→⊗b→ - a→⊗c→⊗b→ - b→⊗a→⊗c→ - c→⊗b→⊗a→ 5.07.- Empleando productos exteriores las ecuaciones (6) y (7) quedan de la siguiente manera:

τ

→ _{= t}(ij..r)

(e→_i∧e→_j∧..∧e→_r) = q!

1

tij..r(e→_i∧e→_j∧..∧e→_r)

Si en la primera ecuación sustituimos (e→_i∧e→_j∧..∧e→_r) por

[e→_(ij..r)], tendremos:

(9) →τ = t(ij..r)e→_(ij..r)

y de esta manera, se puede aplicar el convenio de Einstein a los índices considerados en bloque. También se tendrá:

e→(ij..r)e→_(i'j'..r') = δ_(i'j'..r')(ij..r) = simbolo de Kronecker t(ij..r) = τ→e→(ij..r); t_(ij..r) = τ→e→_(ij..r)

5.08.- En álgebra exterior se estudian las propiedades de este producto y aquí nos limitaremos a enunciar algunas.

1ª La multiplicación exterior es asociativa y distributiva. Para multiplicar por un escalar basta multiplicar un factor.

25

2ª Una permutación par de factores vectoriales no altera el producto exterior y una permutación impar lo convierte en su opuesto.

3ª Un producto exterior nulo corresponde a un conjunto de factores no independiente y recíprocamente.

4ª Si n es la dimensión del espacio vectorial de los factores, un producto de más de n factores es nulo.

5ª Todo tensor totalmente antisimétrico de orden n, por ser uno la dimensión de su subespacio, puede expresarse siempre con un único producto exterior de n vectores.

6ª En la expresión general de un tensor π→ producto exterior

de orden q≤n, en función de una base {e→i} de E n-dimensional:

(m→=mie→_i;..s→=ske→_k): π→ = m→∧n→∧..∧s→ = p(ij..r)e→_(ij..r) se verifica: } V .. V V { Det = s .. n m . .. . . s .. n m s .. n m = p m n s r r r j j j i i i (ij..r)

siendo las V_i las matrices columna (ó bien fila) de los

coeficientes de los factores respecto a {e→_i,e_j,..e→_r}.

7ª No todos los tensores totalmente antisimétricos pueden representarse por un producto exterior para dimensión E n>3.

5.09.- Norma de un tensor totalmente antisimétrico τ→ no

nulo de orden q (q igual o menor que la dimensión n del espacio E fundamental).

La expresión de τ→ en bases {e→_i} y {e→i} duales, es

τ

→ _{= t}ij..r

(e→_i⊗e→_j⊗..⊗e→_r) = t(ij..r)e→_(ij..r) τ

→ _{= t}

ij..r(e

→i⊗e→j⊗..⊗e→r

) = t_(ij..r)e→(ij..r)

Teniendo en cuenta lo dicho en '1.01, y que hay q!

productos iguales tij..rt_ij..r para cada coeficiente estricto, se

verificará:

(10) →τ→ = tτ ij..rt_ij..r = q! t(ij..r)t_(ij..r)

y por lo tanto:

(11) e→_(ij..r)e→(ij..r) = q!

26

como norma especial para estos tensores, el valor

t(ij..r)t_(ij..r)

mientras que aquí hemos conservado el concepto general.

5.10.- Sea σ→ un tensor totalmente antisimétrico

cualquiera de orden s, y sean q vectores a→,b→,..,r→, con q≤s.

De acuerdo con (8) y '5.01-2ª, se verifica:

(12) q! 1 _→σ (a→∧b→∧..∧r→) = q! 1 _→σ[∑ p∈Pp(a→⊗b→⊗..⊗r→) - ∑p∈Ip(a→⊗b→⊗..⊗r→)]= = →σ(a→⊗b→⊗..⊗r→)

5.11.- Sea {e→_i} una base de E n-dimensional, y el

conjunto de n vectores {v→_j} tales que v→_i= τ→e→_i. En virtud de

'5.08-6ª habrá un único componente y podremos escribir: (13) →π = v→₁∧v→₂∧..v→_n = τ→e→₁∧τ→e→₂∧..∧τ→e→_n = (Det{t_ji})e→_(12..n)

Si el conjunto hubiera sido de solamente q<n vectores,

y no coincidieran los subespacios generados por {v→_i} y por {e→_i},

habría más componentes. Para cada uno, y según '5.08-6ª, p(αβ..µ)

sería igual al determinante de la matriz extraída de {t_ji} para

los q valores α,β,..,y µ de i así como de j, y tendríamos: v

→_{α∧v→β∧..v→µ = τ}→_e→_{α∧τ→e→β∧..∧τ→e→µ = (Det {t}

j i

}₍αβ..µ))e

→

(αβ..µ)

En este caso, habrá que tener también en cuenta que

ahora τ→ no queda determinado por solo q<n vectores v→.

5.12.- Escalares polares.

Si el espacio fundamental es n-dimensional, los tensores totalmente antisimétricos de orden n, vemos por '5.03 que constituyen un subespacio vectorial unidimensional de los tensores de orden n, y por lo tanto podremos hacer que a cada tensor totalmente antisimétrico corresponda un escalar, de tal modo que a suma de tensores corresponda suma de escalares y que a producto de escalar por tensor corresponda el producto de este escalar por el escalar correspondiente al tensor. Al escalar correspondiente a cada tensor le denominaremos escalar polar de este tensor y lo expresaremos así:

Escalar polar de v→₁∧v→₂∧..∧v→_n = (v→₁∧v→₂∧..∧v→_n)’

y a la ecuación (13) entre tensores, corresponderá entre escalares:

(14) (v→₁∧v→₂∧..∧v→_n)’ = (Det {V₁ V₂ .. V_n})(e→₁∧e→₂∧..∧e→_n)’ 5.13.- Producto de dos escalares polares.

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segundo con la base dual {e→i) podremos escribir:

(v→₁∧v→₂∧..∧v→_n)’ = (Det {V₁ V₂ .. V_n})(e→₁∧e→₂∧..∧e→_n)’

' ) e .. e e ( ~ W .. ~ W ~ W Det = ' ) w .. w w ( 1 2 n n 2 1 n 2 1 r r r r r r _{∧ ∧ ∧} ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∧ ∧ ∧ Pero tenemos: = } V .. V V { ~ W .. ~ W ~ W Det = }] V .. V V { Det ][ ~ W .. ~ W ~ W Det [ 1 2 n n 2 1 n 2 1 n 2 1 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = Det{W~jV_i} = Det {w→jv→_i}

y por lo tanto, el producto contracto miembro a miembro resulta: ((v→₁∧v→₂∧..∧v→_n)’(w→1∧w→2∧..∧w→n)’ = [Det{w→jv→_i}](e→_i∧..∧e→_n)’(e→i∧..∧e→n)’

5.14.- Si un producto exterior de q vectores no es nulo, tiene por factores q vectores independientes, según se dijo

en '5.08-3ª. Por consiguiente, cuando n es la dimensión del

espacio vectorial fundamental, si un producto exterior de n vectores no es nulo, podemos considerar que estos vectores constituyen una base del espacio fundamental.

5.15.- En el caso de que {w→i} sea la base {v→i} dual de

{v→_i}, tendremos Det{w→jv→_i} = 1, y la última ecuación queda así:

(v→₁∧v→₂∧..∧v→_n)’(v→1∧v→2∧..∧v→n)’ = (e→_i∧..∧e→_n)’(e→i∧..∧e→n)’

Así pues, los productos de los escalares polares correspondientes a bases duales, coinciden para todos los pares de bases duales. Esto ocurrirá también con un par de bases duales ortonormales, que son coincidentes, y por tanto este producto constante será igual al cuadrado del escalar polar correspondien-te a cualquier base ortonormal.

Conviniendo que este cuadrado sea la unidad, tendremos que el producto de los escalares polares correspondientes a cualquier par de bases duales es siempre uno.

5.16.- En virtud de esta convención, el escalar polar correspondiente a cualquier base ortonormal será uno o menos uno. Si para un orden determinado de los vectores de una base ortonormal asignamos el valor uno, con una permutación impar de este orden resultará el valor menos uno.

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Tendremos pues dos tipos de bases: las positivas y las negativas y también obtenemos la siguiente expresión intrínseca: (15) (v→₁∧v→₂∧..∧v→_n)’(w→1∧w→2∧..∧w→n)’ = Det{w→jv→_i}

5.17.- Tensor de Ricci.

Sean las ecuaciones (12) y (14) antes deducidas: v→₁∧v→₂∧..∧v→_n = (Det {V₁ V₂ .. V_n})(e→₁∧e→₂∧..∧e→_n) (v→₁∧v→₂∧..∧v→_n)’ = (Det {V₁ V₂ .. V_n})(e→₁∧e→₂∧..∧e→_n)’

en las que {v→_i} y (e→_j} son bases cualesquiera del espacio

fundamental.

Dividiendo miembro a miembro estas dos ecuaciones, y

expresando por ε→ el tensor cociente, tendremos:

) e .. e e ( e .. e e = ) v .. v v ( v .. v v = n 2 1 n 2 1 n 2 1 n 2 1 ′ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ′ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ r r r r r r r r r r r r rε

El tensor ε→ se llama tensor de Ricci y tenemos que en

la forma indicada, su expresión no varía con la base del espacio fundamental utilizada.

Si adoptamos una base ortonormal cualquiera de orden vectorial positivo, su expresión se simplifica así:

ε → _{= f}→

1 ∧ f→2 ∧ .. ∧ f→n

y de esta última expresión se deduce inmediatamente que su escalar polar es +1.

Como el tensor de Ricci es un tensor totalmente antisimétrico de orden n igual a la dimensión del espacio vectorial fundamental, tiene un solo coeficiente estricto que vale +1 y su norma es n! de acuerdo con '5.09.

5.18.- Otras propiedades generales del tensor de Ricci.

1ª.- Producto contracto de ε→ con un producto tensorial

de orden s no superior al de ε→, tal como σ→=e→₁⊗e→₂⊗..⊗e→_s.

Por (12) siempre tendremos:

(16) →ε(e→₁⊗e→₂⊗..⊗e→_s) =

s! 1_→ε

(e→₁∧e→₂∧..∧e→_s) y se pueden presentar dos casos.

a) Si los s factores no forman un sistema linealmente independiente, el producto es nulo pues lo es el producto exterior del segundo miembro.

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b) Si los s factores forman un sistema linealmente

independiente, completaremos a partir de ellos una base {e→_i} del

espacio. Utilizando la base dual para expresar ε→ tendremos:

ε→(e→₁⊗e→₂⊗..⊗e→_s) = ) e .. e e ( e .. e e n 2 1 n 2 1 ′ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ r r r r r r (e→₁⊗e→₂⊗..⊗e→_s)

Como el numerador de la fracción es un sumatorio de productos tensoriales y debe multiplicarse por el producto

tensorial →σ= e→₁⊗e→₂⊗..⊗e→_s, podemos suprimir todos aquellos

sumandos cuyos productos con σ→ se anulen y el producto contracto

quedará de la siguiente forma:

(e→1∧e→2∧..∧e→n)(e→₁⊗e→₂⊗..⊗e→_s)=

(17)

[(e→1⊗e→2⊗..⊗e→s)⊗(e→s+1∧e→s+2∧..∧e→n)](e→₁⊗e→₂⊗..⊗e→_s) = e→s+1∧e→s+2∧..∧e→n

El denominador es el inverso de (e→₁∧e→₂∧..∧e→_n)’

Sustituyendo estos resultados tendremos finalmente: ε→(e→₁⊗e→₂⊗..⊗e→_s) = (e→s+1∧e→s+2∧..∧e→n)(e→₁∧e→₂∧..∧e→_n)’

y teniendo en cuenta (16)

(18) ε→(e₁⊗..⊗e→_s)=(e→s+1∧e→s+2∧..∧e→n)(e→₁∧e→₂∧..∧e→_n)’= s!

1_→ε

(e→₁∧..∧e→_s)

5.19.- En el caso particular de que s=n, ó sea de un producto tensorial de n factores tendremos:

ε →_(e→ 1⊗e→2⊗..⊗e→n) = n! 1 ε →_(e→ 1∧e→2∧..∧e→n) = (e → 1∧e→2∧..∧e→n)’

y los dos últimos miembros nos indican una utilización del tensor ε

→ _{para la obtención del escalar polar de un producto exterior de}

orden n.

5.20.- Tensores adjuntos o polares.

Llamamos tensor adjunto de un tensor τ→ de orden s≤n

totalmente antisimétrico, al tensor τ→’ de orden n-s siguiente:

(19) →τ’ =

s! 1_{→τ→ ε}

Por lo visto en '5.11, τ→’ es totalmente antisimétrico,

y consideraremos también así a vectores y escalares.

Observaremos que la fórmula obtenida en el párrafo anterior, en relación con el escalar polar de un producto exterior de orden n, se ajusta a la fórmula general que acabamos

30 de obtener.

5.21.- Si τ→ es un producto exterior, aplicando

sucesivamente la fórmula general, la (16) y después (18), tendremos:

(20) (e→₁∧e→₂∧..∧e→_s)’ = s!

1_→ε

(e→₁∧e→₂∧..∧e→_s) = ε→(e→₁⊗e→₂⊗..⊗e→_s) =

=(e→s+1∧e→s+2∧..∧e→n)(e→₁∧e→₂∧..∧e→_n)’

5.22.- La ecuación anterior relaciona el tensor polar

de un producto exterior e→₁∧e→₂∧..∧e→_s parcial, con el tensor

(escalar) polar de un producto exterior e→₁∧e→₂∧..∧e→_s∧..∧e→_n

completo.

Vamos a obtener ahora la relación entre el tensor polar del mismo producto exterior parcial anterior y el tensor polar

de un producto exterior intermedio e→₁∧e→₂∧..∧e→_s∧..∧e→_s+r con s+r ≤ n.

Por lo dicho en el párrafo anterior, tenemos: (e→₁∧e→₂∧..∧e→_s∧..∧e→_s+r)’ = (e→s+r+1∧..∧e→n)(e→₁∧e→₂∧..∧e→_n)’

El primer factor del 2º miembro podemos expresarlo así: e

→s+r+1

∧..∧e→n

=[(e→s+1⊗..⊗e→s+r)⊗(e→s+r+1∧..∧e→n)](e→_s+1⊗..⊗e→_s+r)

y análogamente a lo visto para los dos primeros miembros de (17), pero partiendo esta vez del factor s+r+1 en lugar del factor 1, podemos transformarlo de nuevo de esta manera:

e→s+r+1∧..∧e→n=(e→s+1∧..∧e→s+r∧e→s+r+1∧..∧e→n)(e→_s+1⊗..⊗e→_s+r)= Sustituyendo tenemos:

(e→₁∧e→₂∧..∧e→_s+r)’=(e→s+1∧..∧e→n)(e→_s+1⊗..⊗e→_s+r)(e→₁∧e→₂∧..∧e→_n)’= y teniendo en cuenta (20):

(21) (e→₁∧e→₂∧..∧e→_s+r)’=(e→₁∧e→₂∧..∧e→_s)’(e→_s+1⊗..⊗e→_s+r)

Finalmente, como para cada uno de los r! sumandos

productos tensoriales que constituyen e→_s+1∧..∧e→_s+r el resultado de

su producto contracto por (e→₁∧e→₂∧..∧e→_s)’ es el mismo, también

tendremos:

(e→₁∧e→₂∧..∧e→_s+r)’ =

r! 1

(e→₁∧e→₂∧..∧e→_s)’(e→_s+1∧..∧e→_s+r)

5.23.- Casos particulares. 1º.- s+r = n.

31

La última ecuación podremos escribirla así: (e→₁∧e→₂∧..∧e→_s)’(e→_s+1∧e→_s+2∧..∧e→_n) = (n-s)! (e→₁∧e→₂∧..∧e→_n)’

2º.- s = n-1. Es un subcaso del anterior para r=1. Aplicando (21) tenemos

(e→₁∧e→₂∧..∧e→_n)’=(e→₁∧e→₂∧..∧e→_n-1)’e→_n

de donde deducimos que el vector (e→₁∧e→₂∧..∧e→_n-1)’ es el que con

cualquier vector a→ verifica:

(e→₁∧e→₂∧..∧e→_n-1)’a→ =(e→₁∧e→₂∧..∧e→_n-1∧a→)’

y es por tanto ortogonal a e→₁,e→₂,.., y a e→_n-1, ya que el que a→

coincida con uno de estos vectores o sea función lineal de los mismos, es suficiente para anular el segundo miembro.

5.24.- Algunas propiedades de los tensores polares. Para su estudio consideraremos que los escalares que multiplican a los tensores son coeficientes y no tensores y que

se verifica (ατ→)’ = ατ→’ y recordaremos que para bases duales

(e→₁∧e→₂∧..∧e→_n)’(e→1∧e→2∧..∧e→n)’ = 1

La ecuación (20) dice así:

(e→₁∧e→₂∧..∧e→_s)’ = (e→s+1∧e→s+2∧..∧e→n)(e→₁∧e→₂∧..∧e→_n)’

que también podemos aplicar con bases duales, resultando: (e→s+1∧e→s+2∧..∧e→n)’ = (e→₁∧e→₂∧..∧e→_s)(e→s+1∧..∧e→n∧e→1∧..∧e→s)’

Los tensores polares (escalares) que figuran en la segundos miembros de ambas ecuaciones tienen valores inversos y el que tengan el mismo signo u opuesto sólo dependerá de si n y s son impares ó pares.

Señalaremos las siguientes propiedades:

1ª.- Sean τ→ y σ→ tensores totalmente antisimétricos del

mismo orden s, y α y β escalares. Se verifica que la determinación del tensor polar es una aplicación lineal:

(ατ→+βσ→)’ = s! 1_{→ε(ατ→+βσ→} ) =α εrrτ β εrσr s! 1 + s! 1 _{= ατ→’ + βσ→} ’

2ª.- El tensor polar del tensor polar de un tensor τ→

totalmente antisimétrico, es este mismo tensor (salvo el signo).

Cuando τ→ = e→₁∧e→₂∧..∧e→_s es un producto exterior, en el

párrafo anterior se ha calculado τ→’ y por tanto: