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Rigidez a La Flexión

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Academic year: 2021

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Rigidez a la Flexión

Rigidez a la Flexión

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La rigidez a la flexión es la propiedad que tiene un elemento que le permite resistir un

La rigidez a la flexión es la propiedad que tiene un elemento que le permite resistir un

límite de esfuerzos de flexión sin deformarse. La

límite de esfuerzos de flexión sin deformarse. Larigidez flexionalrigidez flexional(EI/L) de un miembro es(EI/L) de un miembro es

representada omo el produto del

representada omo el produto delmódulo de elastiidadmódulo de elastiidad (E) ! el (E) ! el"egundo momento de"egundo momento de

#rea

#rea$ tambi%n onoido omo &omento de Ineria (I) di'idido por la longitud (L) del$ tambi%n onoido omo &omento de Ineria (I) di'idido por la longitud (L) del

miembro$ que es neesaria en el m%todo de distribuión de momentos$ no es el 'alor

miembro$ que es neesaria en el m%todo de distribuión de momentos$ no es el 'alor

exato pero es la

exato pero es la azón aritm%tiaazón aritm%tia de rigidez de flexión de todos los miembros. de rigidez de flexión de todos los miembros.

Coeficientes de distribución

Coeficientes de distribución

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]

Rigidez

Rigidez

En

En ingenieríaingeniería$ la$ la

rigidez

rigidez

 es una medida ualitati'a de la resistenia a las deformaiones es una medida ualitati'a de la resistenia a las deformaiones

el#stias produidas por un material$ que ontempla la apaidad de un

el#stias produidas por un material$ que ontempla la apaidad de unelementoelemento

estrutural

estrutural para soportar  para soportar esfuerzosesfuerzos sin adquirir grandes sin adquirir grandesdeformaionesdeformaiones..

Los

Los

coeficientes de rigidez

coeficientes de rigidez

 son magnitudes físias que uantifian la rigidez de un son magnitudes físias que uantifian la rigidez de un

elemento resistente bao di'ersas onfiguraiones

elemento resistente bao di'ersas onfiguraiones de arga. *ormalmente las rigidees sede arga. *ormalmente las rigidees se

alulan omo la razón entre una fuerza apliada ! el desplazamiento obtenido por la

alulan omo la razón entre una fuerza apliada ! el desplazamiento obtenido por la

apliaión de esa fuerza.

apliaión de esa fuerza.

+ara barras o

+ara barras o 'igas'igas se ,abla así de  se ,abla así de rigidez axial$ rigidez flexional$ rigidez torsional o rigidezrigidez axial$ rigidez flexional$ rigidez torsional o rigidez

frente a esfuerzos ortantes$ et.

frente a esfuerzos ortantes$ et.

Índice

Índice

[oultar] [oultar]

• --igidees de prismas me#niosigidees de prismas me#nios

o

o --..--igidez axialigidez axial

o

o --..igidez flexionaligidez flexional

o

o --..igidez frente a ortanteigidez frente a ortante

o

o --..00igidez mixta igidez mixta flexión1oflexión1ortantertante

o

o --..22igidez torsionaligidez torsional •

• igidees en plaas ! l#minasigidees en plaas ! l#minas

o

o ..--igidez de membranaigidez de membrana

o

o ..igidez flexionaligidez flexional •

• 3%ase tambi%n3%ase tambi%n

Rigideces de prismas mecánicos

Rigideces de prismas mecánicos

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]

]

El omportamiento el#stio de una barra o

El omportamiento el#stio de una barra oprisma me#nioprisma me#nio sometido a peque4as sometido a peque4as

deformaiones est# determinado por 5 oefiientes el#stios. Estos oefiientes el#stios o

deformaiones est# determinado por 5 oefiientes el#stios. Estos oefiientes el#stios o

flexibles depende de6

flexibles depende de6

-.

-. La seióLa seión trans'en trans'ersal$ ursal$ uanto m#s grueanto m#s gruesa sea la seisa sea la seión m#s fuerzón m#s fuerza ser#a ser#

neesaria para deformarla. Eso se reflea en la neesidad de usar ables m#s

(2)

gruesos para arriostrar debidamente los m#stiles de los baros que son m#s

largos$ o que para ,aer 'igas m#s rígidas se neesiten 'igas on ma!or seión ! m#s grandes.

. El material del que est% fabriada la barra$ si se fabrian dos barras de id%ntias dimensiones geom%trias$ pero siendo una de aero ! la otra de pl#stio la primera es m#s rígida porque el material tiene ma!or módulo de 7oung (E ).

. La longitud de la barra el#stia (L)$ fiadas las fuerzas sobre una barra estas

produen deformaiones proporionales a las fuerzas ! a las dimensiones geom%trias. 8omo los desplazamientos$ aortamientos o alargamientos s on proporionales al produto de deformaiones por la longitud de la barra$ entre dos barras de la misma seión trans'ersal ! fabriadas del mismo material$ la barra m#s larga sufrir# ma!ores desplazamientos ! alargamientos$ ! p or tanto mostrar# menor resistenia absoluta a los ambios en las dimensiones.

9unional mente las rigidees tienen la forma gen%ria6

:onde6S i  es una magnitud puramente geom%tria dependiente del tama4o ! forma de la

seión trans'ersal$E  es el módulo de 7oung$L es la longitud de la barra ! ;i  ! <i  son

oefiientes adimensionales dependientes del tipo de rigidez que se est# examinando. =odas estas rigidees inter'ienen en la matriz de rigidez elemental que representa el omportamiento el#stio dentro de una estrutura.

Rigidez axial

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La rigidez axial de un prisma o barra reta$ omo por eemplo una 'iga o un pilar es una medida de su apaidad para resistir intentos de alargamiento o aortamiento por la apliaión de argas seg>n su ee. En este aso la rigidez depende sólo del #rea de la seión trans'ersal ( A)$ el módulo de 7oung del material de la barra () ! la longitud de la

siguiente manera6

Rigidez flexional

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La rigidez flexional de una barra reta es la relaión entre el momento fletor  apliado en uno de sus extremos ! el #ngulo girado por ese extremo al deformarse uando la barra est# empotrada en el otro extremo. +ara barras retas de seión uniforme existen dos oefiientes de rigidez seg>n el momento fletor est% dirigido seg>n una u otra direión prinipal de ineria. Esta rigidez 'iene dada6

:onde son los segundos momentos de #rea de la seión trans'ersal de la barra.

Rigidez frente a cortante

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La rigidez frente a ortante es la relaión entre los desplazamientos 'ertiales de un extremo de una 'iga ! el esfuerzo ortante apliado en los extremos para pro'oar di,o desplazamiento. En barras retas de seión uniforme existen dos oefiientes de rigidez seg>n ada una de las direiones prinipales6

Rigidez mixta flexión-cortante

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En general debido a las araterístias peuliares de la flexión uando el momento

fletor  no es onstante sobre una taza prism#tia apareen tambi%n esfuerzos ortantes$ eso ,ae al apliar esfuerzos de flexión aparezan desplazamientos 'ertiales ! 'ie'ersa$ uando se fuerzan desplazamientos 'ertiales apareen esfuerzos de flexión. +ara

representar adeuadamente los desplazamientos lineales induidos por la flexión$ ! los giros angulares induidos por el ortante$ se define la rigidez mixta ortante1flexión que para una barra reta resulta ser igual a6

(3)

La rigidez torsional en una barra reta de seión uniforme es la relaión entre el momento torsor  apliado en uno de sus extremos ! el #ngulo girado por este extremo$ al mantener fio el extremo opuesto de la barra6

:ondeG el módulo el#stio trans'ersal$ es el momento de ineria torsional !L la longitud

de la barra.

Rigideces en placas y láminas

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:e manera similar a lo que suede on elementos lineales las rigidees dependen del material ! de la geometría$ en este aso el espesor de la plaa o l#mina. Las rigidees en este aso tienen la forma gen%ria6

:onde6

 son respeti'amente el módulo de 7oung ! el oefiiente de +oisson.  es el espesor del elemento bidimensional.

 es un entero ! .

Rigidez de membrana

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La rigidez de membrana es el equi'alente bidimensional de la rigidez axial en el aso de elementos lineales 'iene dada por6

:ondeE  es el módulo de 7oung$G es el módulo el#stio trans'ersal ! ? el

oefiiente de +oisson.

Rigidez flexional

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+ara una plaa delgada (modelo de Lo'e1@ir,off) de espesor onstante la >nia rigidez rele'ante es la que da uenta de las deformaiones pro'oadas por la flexión bao arga perpendiular a la plaa. Esta rigidez se onoe omo rigidez flexional de plaas ! 'iene dada por6

:onde6h espesor de la plaa$módulo de 7oung del material de la plaa !

(4)

Matriz de flexibilidad de una barra

Autores: Enrique Nieto García

4.1.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos articulados | 4.2.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos rígidos | 4.3.- Matriz de rigidez de una barra en el plano: otros casos | 4.4.- Sistema de numeración. Submatrices | 4..- !cuaciones matriciales de estado | 4."-Matriz de #le$ibilidad de una barra|

4.%.-&cti'idades | 4.(.- !)ercicios de autoe'aluación | 4 .6.- Matriz de flexibilidad de una barra

1. *+/0*+

2. M&* /! 5!6*7*5*/&/ /! 0+& 7&&

!structura del !stadio límpico en #ase de monta)e. Se'illa

-1. INTRODUCCIÓN

8emos re#erido en otros apartados anteriores cómo obtener di#erentes matrices de rigidez, 9a ue estamos siguiendo el m;todo de la rigidez, de c<lculo matricial, pero tambi;n se =a re#erido en el apartado 3-1, por e)emplo, el m;todo de la #le$ibilidad de c<lculo matricial.

(5)

un primer aspecto re#erente al m;todo de la #le$ibilidad.

>amos a re#erirnos en este apartado a la matriz de #le$ibilidad 9 aplicado al caso de una barra empotrada-libre 9 ello supone una serie de aspectos especí#icos :

1. 0na barra empotrada-libre, presenta e$clusi'amente tres incógnitas, desde el punto de 'ista del c<lculo de las reacciones, dado ue una barra est< siempre contenida en un plano, razón por l a cual es un sólido isost<tico .

2. &l tener un e$tremo empotrado, por e)emplo el e$tremo 1, supone ue el 'ector mo'imiento ó desplazamiento en el e$tremo 1 es nulo.

3. !l =ec=o de ue el 'ector desplazamiento 1 sea nulo, implica ue el 'ector desplazamiento ó mo'imiento del e$tremo 2 coincide con la de#ormación de la barra 9 , p or tanto, e$iste una relación directa entre el 'ector mo'imiento del e$tremo 2 9 las solicitaciones ue se producen en los e$tremos 1 9 2 de la barra.

?or ello la e$presión ue 'amos a obtener de la matriz de #le$ibilidad de esta barra constitu9e el caso m<s sencillo posible, aplicable a las estructuras plana s de barras de nudos rígidos .

?odríamos decir ue estamos de alguna #orma planteando la matriz de #le$ibilidad de un nudo, geom;tricamente un punto, por cuanto establecemos una relación entre el 'ector carga 9 el 'ector desplazamiento en dic=o nudo @puntoA.

!n la ecuación siguiente por el M;todo de la igidez una 'ez de#inida 9 calculada la matriz de cargas, obteniendo la in'ersa de la matriz de rigidez, se pueden calcular los desplazamientos o mo'imientos de los e$tremos.

{P}={K}·{d}

{d}={K}

-1

·{P}

donde:

B C Matriz de rigidez de la barra . ? C >ector de cargas en los e$tremos .

d C >ector de desplazamientos de los e$tremos .

!sta ecuación matricial, al igual ue la siguiente de#inen la relación entre el sistema de cargas 9 el sistema de desplazamientos o mo'imientos, en la metodología matricial, de #orma ue representa lo ue podríamos denominar como Dle9 constituti'aD de la barra, en nuestro caso, o de una estructura en un caso m<s gen;rico. Sin embargo el M;todo de la le$ibilidad se basa en la ecuación matricial siguiente :

{d}={F}·{P}

(6)

 C Matriz de #le$ibilidad de la barra . ? C Matriz de cargas en los e$tremos .

d C Matriz de desplazamientos de los e$tremos .

!n la ecuación anterior =emos e$presado cómo mediante el M;todo de la le$ibilidad una 'ez de#inida la matriz de cargas, a tra';s de la matriz de #le$ibilidad, se pueden calcular los desplazamientos o mo'imientos de los e$tremos

/e lo anterior se deduce la relación entre las matrices de rigidez 9 de #le$ibilidad ue es la siguiente:

{F}={K}

-1

!s decir:

la matriz de #le$ibilidad es la in'ersa de la matriz de rigidez.

2. MATRI D! "#!$I%I#IDAD D! UNA %ARRA

Seguidamente 'amos a e$presar m<s detalladamente la ecuación matricial característica del M;todo de la le$ibilidad:

 pero planteando a=ora la matriz de #le$ibilidad de una barra en la ue uno de sus e$tremos, el 1, se encuentra empotrado 9 el otro e$tremo, el 2, se encuentra libre 9 sometido a carga, razón por la ue en dic=a barra sólo el e$tremo 2 puede tener mo'imientos.

Seguidamente 'amos a e$presar la ecuación matricial anterior, donde sabemos ue:

{d}={F}·{P}

1. !l 'ector carga ser< del tipo &x' &(' Mz' en el e$tremo 2, por cuanto la modelización ue 'amos a desarrollar ser< aplicable a estructuras planas de nudos rígidos.

2. !l 'ector desplazamiento ser< del tipo dx' dx' z , en co=erencia con la tipología en estudio.

!n la ecuación matricial siguiente, aunue posteriormente nos ceEiremos al caso de barra plana de e$tremos empotrado-libre, e$presamos la relación entre cargas 9 mo'imientos en los e$tremos de una barra, de #orma general.

/enominamos al e$tremo izuierdo como 1 9 al e$tremo derec=o como 2, en la e$posición ue estamos =aciendo, con lo ue el caso ue 'amos a estudiar se corresponde con la submatriz "22.

0tilizamos en los dos e$tremos el mismo con'enio de signos en cargas 9 desplazamientos, correspondientes a los sentidos positi'os del primer cuadrante.

(7)

las barras se encuentran sometidas no solamente a a$iles, sino tambi;n a cortantes 9 #lectores 9 por ello el 'ector de cargas, ser< :

/onde los 'alores de &1x' &1( ( M1z se corresponden con el sistema de reacciones en el e$tremo 1 9 el resto de 'alores en el e$tremo 2 ser<n el 'ector carga en el e$tremo 2.

!n cuanto al 'ector desplazamiento o mo'imiento =emos de considerar ue al estar el e$tremo 1 empotrado, ser<n nulos los desplazamientos en $ e 9 , así como los giros en z de dic=o e$tremo 1.

!studiamos auí el caso de una barra como la ue 'emos en la #igura siguiente, con empotramiento en el e$tremo 1 9 libre en el e$tremo 2, de manera ue dic=o e$tremo 2 puede presentar:

- desplazamientos en $ - desplazamientos en 9 - giros en z

ada uno de los 'alores ue aparecen en la ecuación matricial siguiente es un escalar, de #orma ue la ecuación matricial re#erida, se corresponde con un sistema de ecuaciones tal 9 como el ue sigue :

dx )

11 .&x *

12 .&( *

1+ . Mz d( )

21 .&x *

22 .&( *

2+ . Mz

 z )

+1 .&x *

+2 .&( *

++ . Mz

!l sistema de ecuaciones anterior es, por tanto, la e$presión de las de#ormaciones ue aparecen en el e$tremo libre de la barra, 2 , en #unción de las cargas ue actFan en dic=o e$tremo.

!n lo ue sigue 'amos a calcular el 'alor de los par<metros escalares #i) ue componen la matriz de #le$ibilidad re#erida anteriormente.

?ara ello, 'amos a establecer la relación ue se produce entre cada una de las cargas ue actFan en el e$tremo libre, con los posibles desplazamientos del mismo e$tremo de la barra, 9a ue el desplazamiento del e$tremo empotrado es nulo, consecuencia de la propia 'inculación.

!n la ecuación :

(8)

Si se cumple ue : &( ) Mz ) , &x ) 1

ello implica ue : dx )

11

Si se cumple ue : &x ) Mz ) , &( ) 1

ello implica ue : dx )

12

Si se cumple ue : &x ) &( ) , Mz ) 1

ello implica ue : dx )

1+

!n la ecuación ue e$presamos seguidamente : d( )

21 .&x *

22 .&( *

2+ . Mz

Si se cumple ue : &( ) Mz ) , &x ) 1

ello implica ue : d( )

21

Si se cumple ue : &x ) Mz ) , &( ) 1

ello implica ue : d( )

22

Si se cumple ue : &x ) &( ) , Mz ) 1

(9)

d( )

2+

!n la ecuación ue e$presamos seguidamente :  z )

+1 .&x *

+2 .&( *

++ . Mz

Si se cumple ue : &( ) Mz ) , &x ) 1

ello implica ue : z )

+1 Si se cumple ue : &x ) Mz ) , &( ) 1

ello implica ue :  z )

+2 Si se cumple ue : &x ) &( ) , Mz ) 1

ello implica ue :  z )

++

!stas relaciones anteriores nos 'an a ser'ir para determinar el 'alor de los di#erentes componentes de la matriz de #le$ibilidad, del caso ue nos ocupa.

>emos ue los 'alores se pueden obtener por su relación con las cargas unitarias en el e$tremo libre , 2 , 9 por  ello pasamos a estudiar tal relación en la barra empotrada-libre.

8emos re#erido anteriormente ue el 'alor de

11 es el del desplazamiento d$ , cuando =a9, e$clusi'amente, una carga &x ) 1.

!ste caso se corresponde, tal 9 como podemos 'er en la #igura siguiente, con una solicitación a$ial de tracción-compresión, por tanto, 9 ue 'iene regida por la e$presión conocida como 5e9 de Goung:

 ) ! .

(10)

luego:

11 ) #!A

12 ) ,'

9a ue no =a9 relación directa &x - d(

!llo se produce porue con una carga unitaria en el e)e $, no se produce desplazamiento alguno en el e)e 9.

1+ ) ,,

9a ue no =a9 relación directa:&x - z

!llo se produce porue con una carga unitaria en el e)e $, no se produce un giro en z.

21 ) ,,

9a ue no =a9 relación directa: &( - dx

!llo se produce porue una carga unitaria en el e)e 9 no produce un desplazamiento en $.

+1 ) ,,

9a ue no =a9 relación directa: Mz - dx

(11)

!n la #igura anterior podemos 'er:

 !l desplazamiento 9 el giro producido por una carga unitaria&( ) 1.

 !l desplazamiento 9 el giro producido por una carga unitaria Mz ) 1.

 para una barra empotrada-libre.

 !l diagrama de #lectores.

 5a el<stica.

22 es el d9 cuando =a9, e$clusi'amente, un &( ) 1 5uego:

22 ) #+  +!I

2+ es el d9 cuando =a9, e$clusi'amente, un Mz ) 1 5uego:

2+ ) #2 2!I

+2 es el z cuando =a9, e$clusi'amente, un &( ) 1 5uego:

+2 ) #2 2!I

++ es el z cuando =a9, e$clusi'amente, un Mz ) 1 5uego:

++ ) #  !I

8emos utilizado como criterio de signos el siguiente :

 ?ara las #uerzas, ser<n positi'as cuando sus sentidos de actuación sean los correspondientes a los e)es $ ,

9 en 1er.cuadrante.

 ?ara los momentos, el positi'o en el e)e z, correspondiente con los e)es anteriores.

 !l criterio de signos a utilizar lo ser< con generalidad, para todo el desarrollo ue 'amos a e$poner en

Metodología matricial, tanto para cargas como para desplazamientos 9 para cualuiera de los dos e$tremos de una barra.

(12)

!n base a lo anterior, la matriz de rigidez del caso ue estamos analizando, como relación entre el 'ector carga en el e$tremo 2 9 el 'ector desplazamiento en el e$tremo 2 ser<

+S*/!&*+ *+&5 :

!s importante comprender bien las relaciones ue se producen entre la de#ormación 9 las cargas en los casos ue se estudian en la teoría del apítulo ( @!structuras &ruitectónicas e *ndustriales: Su c<lculoA

- &n<lisis de la 'iga apo9ada-empotrada @&pdo 2A - &n<lisis de la 'iga apo9ada-apo9ada @&pdo. 3A - &n<lisis tipo @&pdo. 4A

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