Rigidez a la Flexión
Rigidez a la Flexión
[
[
editar
editar
]
]
La rigidez a la flexión es la propiedad que tiene un elemento que le permite resistir un
La rigidez a la flexión es la propiedad que tiene un elemento que le permite resistir un
límite de esfuerzos de flexión sin deformarse. La
límite de esfuerzos de flexión sin deformarse. Larigidez flexionalrigidez flexional(EI/L) de un miembro es(EI/L) de un miembro es
representada omo el produto del
representada omo el produto delmódulo de elastiidadmódulo de elastiidad (E) ! el (E) ! el"egundo momento de"egundo momento de
#rea
#rea$ tambi%n onoido omo &omento de Ineria (I) di'idido por la longitud (L) del$ tambi%n onoido omo &omento de Ineria (I) di'idido por la longitud (L) del
miembro$ que es neesaria en el m%todo de distribuión de momentos$ no es el 'alor
miembro$ que es neesaria en el m%todo de distribuión de momentos$ no es el 'alor
exato pero es la
exato pero es la azón aritm%tiaazón aritm%tia de rigidez de flexión de todos los miembros. de rigidez de flexión de todos los miembros.
Coeficientes de distribución
Coeficientes de distribución
[
[
editar
editar
]
]
Rigidez
Rigidez
En
En ingenieríaingeniería$ la$ la
rigidez
rigidez
es una medida ualitati'a de la resistenia a las deformaiones es una medida ualitati'a de la resistenia a las deformaionesel#stias produidas por un material$ que ontempla la apaidad de un
el#stias produidas por un material$ que ontempla la apaidad de unelementoelemento
estrutural
estrutural para soportar para soportar esfuerzosesfuerzos sin adquirir grandes sin adquirir grandesdeformaionesdeformaiones..
Los
Los
coeficientes de rigidez
coeficientes de rigidez
son magnitudes físias que uantifian la rigidez de un son magnitudes físias que uantifian la rigidez de unelemento resistente bao di'ersas onfiguraiones
elemento resistente bao di'ersas onfiguraiones de arga. *ormalmente las rigidees sede arga. *ormalmente las rigidees se
alulan omo la razón entre una fuerza apliada ! el desplazamiento obtenido por la
alulan omo la razón entre una fuerza apliada ! el desplazamiento obtenido por la
apliaión de esa fuerza.
apliaión de esa fuerza.
+ara barras o
+ara barras o 'igas'igas se ,abla así de se ,abla así de rigidez axial$ rigidez flexional$ rigidez torsional o rigidezrigidez axial$ rigidez flexional$ rigidez torsional o rigidez
frente a esfuerzos ortantes$ et.
frente a esfuerzos ortantes$ et.
Índice
Índice
[oultar] [oultar]
•
• --igidees de prismas me#niosigidees de prismas me#nios
o
o --..--igidez axialigidez axial
o
o --..igidez flexionaligidez flexional
o
o --..igidez frente a ortanteigidez frente a ortante
o
o --..00igidez mixta igidez mixta flexión1oflexión1ortantertante
o
o --..22igidez torsionaligidez torsional •
• igidees en plaas ! l#minasigidees en plaas ! l#minas
o
o ..--igidez de membranaigidez de membrana
o
o ..igidez flexionaligidez flexional •
• 3%ase tambi%n3%ase tambi%n
Rigideces de prismas mecánicos
Rigideces de prismas mecánicos
[
[
editar
editar
]
]
El omportamiento el#stio de una barra o
El omportamiento el#stio de una barra oprisma me#nioprisma me#nio sometido a peque4as sometido a peque4as
deformaiones est# determinado por 5 oefiientes el#stios. Estos oefiientes el#stios o
deformaiones est# determinado por 5 oefiientes el#stios. Estos oefiientes el#stios o
flexibles depende de6
flexibles depende de6
-.
-. La seióLa seión trans'en trans'ersal$ ursal$ uanto m#s grueanto m#s gruesa sea la seisa sea la seión m#s fuerzón m#s fuerza ser#a ser#
neesaria para deformarla. Eso se reflea en la neesidad de usar ables m#s
gruesos para arriostrar debidamente los m#stiles de los baros que son m#s
largos$ o que para ,aer 'igas m#s rígidas se neesiten 'igas on ma!or seión ! m#s grandes.
. El material del que est% fabriada la barra$ si se fabrian dos barras de id%ntias dimensiones geom%trias$ pero siendo una de aero ! la otra de pl#stio la primera es m#s rígida porque el material tiene ma!or módulo de 7oung (E ).
. La longitud de la barra el#stia (L)$ fiadas las fuerzas sobre una barra estas
produen deformaiones proporionales a las fuerzas ! a las dimensiones geom%trias. 8omo los desplazamientos$ aortamientos o alargamientos s on proporionales al produto de deformaiones por la longitud de la barra$ entre dos barras de la misma seión trans'ersal ! fabriadas del mismo material$ la barra m#s larga sufrir# ma!ores desplazamientos ! alargamientos$ ! p or tanto mostrar# menor resistenia absoluta a los ambios en las dimensiones.
9unional mente las rigidees tienen la forma gen%ria6
:onde6S i es una magnitud puramente geom%tria dependiente del tama4o ! forma de la
seión trans'ersal$E es el módulo de 7oung$L es la longitud de la barra ! ;i ! <i son
oefiientes adimensionales dependientes del tipo de rigidez que se est# examinando. =odas estas rigidees inter'ienen en la matriz de rigidez elemental que representa el omportamiento el#stio dentro de una estrutura.
Rigidez axial
[editar ]
La rigidez axial de un prisma o barra reta$ omo por eemplo una 'iga o un pilar es una medida de su apaidad para resistir intentos de alargamiento o aortamiento por la apliaión de argas seg>n su ee. En este aso la rigidez depende sólo del #rea de la seión trans'ersal ( A)$ el módulo de 7oung del material de la barra (E ) ! la longitud de la
siguiente manera6
Rigidez flexional
[editar ]
La rigidez flexional de una barra reta es la relaión entre el momento fletor apliado en uno de sus extremos ! el #ngulo girado por ese extremo al deformarse uando la barra est# empotrada en el otro extremo. +ara barras retas de seión uniforme existen dos oefiientes de rigidez seg>n el momento fletor est% dirigido seg>n una u otra direión prinipal de ineria. Esta rigidez 'iene dada6
:onde son los segundos momentos de #rea de la seión trans'ersal de la barra.
Rigidez frente a cortante
[editar ]
La rigidez frente a ortante es la relaión entre los desplazamientos 'ertiales de un extremo de una 'iga ! el esfuerzo ortante apliado en los extremos para pro'oar di,o desplazamiento. En barras retas de seión uniforme existen dos oefiientes de rigidez seg>n ada una de las direiones prinipales6
Rigidez mixta flexión-cortante
[editar ]
En general debido a las araterístias peuliares de la flexión uando el momento
fletor no es onstante sobre una taza prism#tia apareen tambi%n esfuerzos ortantes$ eso ,ae al apliar esfuerzos de flexión aparezan desplazamientos 'ertiales ! 'ie'ersa$ uando se fuerzan desplazamientos 'ertiales apareen esfuerzos de flexión. +ara
representar adeuadamente los desplazamientos lineales induidos por la flexión$ ! los giros angulares induidos por el ortante$ se define la rigidez mixta ortante1flexión que para una barra reta resulta ser igual a6
La rigidez torsional en una barra reta de seión uniforme es la relaión entre el momento torsor apliado en uno de sus extremos ! el #ngulo girado por este extremo$ al mantener fio el extremo opuesto de la barra6
:ondeG el módulo el#stio trans'ersal$ J es el momento de ineria torsional !L la longitud
de la barra.
Rigideces en placas y láminas
[editar ]
:e manera similar a lo que suede on elementos lineales las rigidees dependen del material ! de la geometría$ en este aso el espesor de la plaa o l#mina. Las rigidees en este aso tienen la forma gen%ria6
:onde6
son respeti'amente el módulo de 7oung ! el oefiiente de +oisson. es el espesor del elemento bidimensional.
es un entero ! .
Rigidez de membrana
[editar ]
La rigidez de membrana es el equi'alente bidimensional de la rigidez axial en el aso de elementos lineales 'iene dada por6
:ondeE es el módulo de 7oung$G es el módulo el#stio trans'ersal ! ? el
oefiiente de +oisson.
Rigidez flexional
[editar ]
+ara una plaa delgada (modelo de Lo'e1@ir,off) de espesor onstante la >nia rigidez rele'ante es la que da uenta de las deformaiones pro'oadas por la flexión bao arga perpendiular a la plaa. Esta rigidez se onoe omo rigidez flexional de plaas ! 'iene dada por6
:onde6h espesor de la plaa$E módulo de 7oung del material de la plaa !
Matriz de flexibilidad de una barra
Autores: Enrique Nieto García
4.1.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos articulados | 4.2.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos rígidos | 4.3.- Matriz de rigidez de una barra en el plano: otros casos | 4.4.- Sistema de numeración. Submatrices | 4..- !cuaciones matriciales de estado | 4."-Matriz de #le$ibilidad de una barra|
4.%.-&cti'idades | 4.(.- !)ercicios de autoe'aluación | 4 .6.- Matriz de flexibilidad de una barra
1. *+/0*+
2. M&* /! 5!6*7*5*/&/ /! 0+& 7&&
!structura del !stadio límpico en #ase de monta)e. Se'illa
-1. INTRODUCCIÓN
8emos re#erido en otros apartados anteriores cómo obtener di#erentes matrices de rigidez, 9a ue estamos siguiendo el m;todo de la rigidez, de c<lculo matricial, pero tambi;n se =a re#erido en el apartado 3-1, por e)emplo, el m;todo de la #le$ibilidad de c<lculo matricial.
un primer aspecto re#erente al m;todo de la #le$ibilidad.
>amos a re#erirnos en este apartado a la matriz de #le$ibilidad 9 aplicado al caso de una barra empotrada-libre 9 ello supone una serie de aspectos especí#icos :
1. 0na barra empotrada-libre, presenta e$clusi'amente tres incógnitas, desde el punto de 'ista del c<lculo de las reacciones, dado ue una barra est< siempre contenida en un plano, razón por l a cual es un sólido isost<tico .
2. &l tener un e$tremo empotrado, por e)emplo el e$tremo 1, supone ue el 'ector mo'imiento ó desplazamiento en el e$tremo 1 es nulo.
3. !l =ec=o de ue el 'ector desplazamiento 1 sea nulo, implica ue el 'ector desplazamiento ó mo'imiento del e$tremo 2 coincide con la de#ormación de la barra 9 , p or tanto, e$iste una relación directa entre el 'ector mo'imiento del e$tremo 2 9 las solicitaciones ue se producen en los e$tremos 1 9 2 de la barra.
?or ello la e$presión ue 'amos a obtener de la matriz de #le$ibilidad de esta barra constitu9e el caso m<s sencillo posible, aplicable a las estructuras plana s de barras de nudos rígidos .
?odríamos decir ue estamos de alguna #orma planteando la matriz de #le$ibilidad de un nudo, geom;tricamente un punto, por cuanto establecemos una relación entre el 'ector carga 9 el 'ector desplazamiento en dic=o nudo @puntoA.
!n la ecuación siguiente por el M;todo de la igidez una 'ez de#inida 9 calculada la matriz de cargas, obteniendo la in'ersa de la matriz de rigidez, se pueden calcular los desplazamientos o mo'imientos de los e$tremos.
{P}={K}·{d}
{d}={K}
-1·{P}
donde:
B C Matriz de rigidez de la barra . ? C >ector de cargas en los e$tremos .
d C >ector de desplazamientos de los e$tremos .
!sta ecuación matricial, al igual ue la siguiente de#inen la relación entre el sistema de cargas 9 el sistema de desplazamientos o mo'imientos, en la metodología matricial, de #orma ue representa lo ue podríamos denominar como Dle9 constituti'aD de la barra, en nuestro caso, o de una estructura en un caso m<s gen;rico. Sin embargo el M;todo de la le$ibilidad se basa en la ecuación matricial siguiente :
{d}={F}·{P}
C Matriz de #le$ibilidad de la barra . ? C Matriz de cargas en los e$tremos .
d C Matriz de desplazamientos de los e$tremos .
!n la ecuación anterior =emos e$presado cómo mediante el M;todo de la le$ibilidad una 'ez de#inida la matriz de cargas, a tra';s de la matriz de #le$ibilidad, se pueden calcular los desplazamientos o mo'imientos de los e$tremos
/e lo anterior se deduce la relación entre las matrices de rigidez 9 de #le$ibilidad ue es la siguiente:
{F}={K}
-1!s decir:
la matriz de #le$ibilidad es la in'ersa de la matriz de rigidez.
2. MATRI D! "#!$I%I#IDAD D! UNA %ARRA
Seguidamente 'amos a e$presar m<s detalladamente la ecuación matricial característica del M;todo de la le$ibilidad:
pero planteando a=ora la matriz de #le$ibilidad de una barra en la ue uno de sus e$tremos, el 1, se encuentra empotrado 9 el otro e$tremo, el 2, se encuentra libre 9 sometido a carga, razón por la ue en dic=a barra sólo el e$tremo 2 puede tener mo'imientos.
Seguidamente 'amos a e$presar la ecuación matricial anterior, donde sabemos ue:
{d}={F}·{P}
1. !l 'ector carga ser< del tipo &x' &(' Mz' en el e$tremo 2, por cuanto la modelización ue 'amos a desarrollar ser< aplicable a estructuras planas de nudos rígidos.
2. !l 'ector desplazamiento ser< del tipo dx' dx' z , en co=erencia con la tipología en estudio.
!n la ecuación matricial siguiente, aunue posteriormente nos ceEiremos al caso de barra plana de e$tremos empotrado-libre, e$presamos la relación entre cargas 9 mo'imientos en los e$tremos de una barra, de #orma general.
/enominamos al e$tremo izuierdo como 1 9 al e$tremo derec=o como 2, en la e$posición ue estamos =aciendo, con lo ue el caso ue 'amos a estudiar se corresponde con la submatriz "22.
0tilizamos en los dos e$tremos el mismo con'enio de signos en cargas 9 desplazamientos, correspondientes a los sentidos positi'os del primer cuadrante.
las barras se encuentran sometidas no solamente a a$iles, sino tambi;n a cortantes 9 #lectores 9 por ello el 'ector de cargas, ser< :
/onde los 'alores de &1x' &1( ( M1z se corresponden con el sistema de reacciones en el e$tremo 1 9 el resto de 'alores en el e$tremo 2 ser<n el 'ector carga en el e$tremo 2.
!n cuanto al 'ector desplazamiento o mo'imiento =emos de considerar ue al estar el e$tremo 1 empotrado, ser<n nulos los desplazamientos en $ e 9 , así como los giros en z de dic=o e$tremo 1.
!studiamos auí el caso de una barra como la ue 'emos en la #igura siguiente, con empotramiento en el e$tremo 1 9 libre en el e$tremo 2, de manera ue dic=o e$tremo 2 puede presentar:
- desplazamientos en $ - desplazamientos en 9 - giros en z
ada uno de los 'alores ue aparecen en la ecuación matricial siguiente es un escalar, de #orma ue la ecuación matricial re#erida, se corresponde con un sistema de ecuaciones tal 9 como el ue sigue :
dx )
f
11 .&x *f
12 .&( *f
1+ . Mz d( )f
21 .&x *f
22 .&( *f
2+ . Mzz )
f
+1 .&x *f
+2 .&( *f
++ . Mz!l sistema de ecuaciones anterior es, por tanto, la e$presión de las de#ormaciones ue aparecen en el e$tremo libre de la barra, 2 , en #unción de las cargas ue actFan en dic=o e$tremo.
!n lo ue sigue 'amos a calcular el 'alor de los par<metros escalares #i) ue componen la matriz de #le$ibilidad re#erida anteriormente.
?ara ello, 'amos a establecer la relación ue se produce entre cada una de las cargas ue actFan en el e$tremo libre, con los posibles desplazamientos del mismo e$tremo de la barra, 9a ue el desplazamiento del e$tremo empotrado es nulo, consecuencia de la propia 'inculación.
!n la ecuación :
Si se cumple ue : &( ) Mz ) , &x ) 1
ello implica ue : dx )
f
11Si se cumple ue : &x ) Mz ) , &( ) 1
ello implica ue : dx )
f
12Si se cumple ue : &x ) &( ) , Mz ) 1
ello implica ue : dx )
f
1+!n la ecuación ue e$presamos seguidamente : d( )
f
21 .&x *f
22 .&( *f
2+ . MzSi se cumple ue : &( ) Mz ) , &x ) 1
ello implica ue : d( )
f
21Si se cumple ue : &x ) Mz ) , &( ) 1
ello implica ue : d( )
f
22Si se cumple ue : &x ) &( ) , Mz ) 1
d( )
f
2+!n la ecuación ue e$presamos seguidamente : z )
f
+1 .&x *f
+2 .&( *f
++ . MzSi se cumple ue : &( ) Mz ) , &x ) 1
ello implica ue : z )
f
+1 Si se cumple ue : &x ) Mz ) , &( ) 1ello implica ue : z )
f
+2 Si se cumple ue : &x ) &( ) , Mz ) 1ello implica ue : z )
f
++!stas relaciones anteriores nos 'an a ser'ir para determinar el 'alor de los di#erentes componentes de la matriz de #le$ibilidad, del caso ue nos ocupa.
>emos ue los 'alores se pueden obtener por su relación con las cargas unitarias en el e$tremo libre , 2 , 9 por ello pasamos a estudiar tal relación en la barra empotrada-libre.
8emos re#erido anteriormente ue el 'alor de
f
11 es el del desplazamiento d$ , cuando =a9, e$clusi'amente, una carga &x ) 1.!ste caso se corresponde, tal 9 como podemos 'er en la #igura siguiente, con una solicitación a$ial de tracción-compresión, por tanto, 9 ue 'iene regida por la e$presión conocida como 5e9 de Goung:
) ! .
luego:
f
11 ) #!Af
12 ) ,'9a ue no =a9 relación directa &x - d(
!llo se produce porue con una carga unitaria en el e)e $, no se produce desplazamiento alguno en el e)e 9.
f
1+ ) ,,9a ue no =a9 relación directa:&x - z
!llo se produce porue con una carga unitaria en el e)e $, no se produce un giro en z.
f
21 ) ,,9a ue no =a9 relación directa: &( - dx
!llo se produce porue una carga unitaria en el e)e 9 no produce un desplazamiento en $.
f
+1 ) ,,9a ue no =a9 relación directa: Mz - dx
!n la #igura anterior podemos 'er:
!l desplazamiento 9 el giro producido por una carga unitaria&( ) 1.
!l desplazamiento 9 el giro producido por una carga unitaria Mz ) 1.
para una barra empotrada-libre.
!l diagrama de #lectores.
5a el<stica.
f
22 es el d9 cuando =a9, e$clusi'amente, un &( ) 1 5uego:f
22 ) #+ +!If
2+ es el d9 cuando =a9, e$clusi'amente, un Mz ) 1 5uego:f
2+ ) #2 2!If
+2 es el z cuando =a9, e$clusi'amente, un &( ) 1 5uego:f
+2 ) #2 2!If
++ es el z cuando =a9, e$clusi'amente, un Mz ) 1 5uego:f
++ ) # !I8emos utilizado como criterio de signos el siguiente :
?ara las #uerzas, ser<n positi'as cuando sus sentidos de actuación sean los correspondientes a los e)es $ ,
9 en 1er.cuadrante.
?ara los momentos, el positi'o en el e)e z, correspondiente con los e)es anteriores.
!l criterio de signos a utilizar lo ser< con generalidad, para todo el desarrollo ue 'amos a e$poner en
Metodología matricial, tanto para cargas como para desplazamientos 9 para cualuiera de los dos e$tremos de una barra.
!n base a lo anterior, la matriz de rigidez del caso ue estamos analizando, como relación entre el 'ector carga en el e$tremo 2 9 el 'ector desplazamiento en el e$tremo 2 ser<
+S*/!&*+ *+&5 :
!s importante comprender bien las relaciones ue se producen entre la de#ormación 9 las cargas en los casos ue se estudian en la teoría del apítulo ( @!structuras &ruitectónicas e *ndustriales: Su c<lculoA
- &n<lisis de la 'iga apo9ada-empotrada @&pdo 2A - &n<lisis de la 'iga apo9ada-apo9ada @&pdo. 3A - &n<lisis tipo @&pdo. 4A