Operadores no acotados en espacios
de Hilbert
Adriana Giacobbi 22 de marzo de 2013
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Indice
1. Introducci´on 3
2. Preliminares 4
3. Propiedades b´asicas y ejemplos 6
3.1. Ejercicios . . . 13
4. Operadores sim´etricos y autoadjuntos 17
4.1. Ejercicios . . . 25
5. La Transformada de Cayley 29
1.
Introducci´
on
Muchos de los operadores m´as importantes que aparecen en la matem´atica son acotados. Sin embargo, en este trabajo se introducir´an algunas definiciones b´asicas y teoremas necesarios para trabajar con operadores no acotados en espacios de Hilbert. Se mostrar´an algunas diferencias en el comportamiento del adjunto de un operador no acotado con respecto a un operador acotado, as´ı como diferencias en las propiedades espectrales.
Se estudiar´an las extensiones sim´etricas y autoadjuntas de un operador, introduciendo la noci´on de subespacios e ´ındices de deficiencia.
Por ´ultimo, se mostrar´a que el estudio de operadores autoadjuntos puede reducirse al de los operadores unitarios mediante la Transformada de Cayley.
2.
Preliminares
Definici´on 2.0.1. Un Espacio de Hilbert es un espacio vectorial H sobre F (donde F denota R o C) junto con un producto interno h·, ·i tal que relativo a la m´etrica d(x, y) = kx − yk inducida por la norma, H es completo.
En este trabajo asumiremos que todos los espacios de Hilbert son separables.
Definici´on 2.0.2. Si H y K son dos espacios de Hilbert, un Operador Lineal T : H → K es una aplicaci´on lineal cuyo dominio de definici´on dom(T ) es un subespacio vectorial de H.
Se dice que T es acotado si existe una costante c > 0 tal que ||T f || ≤ c||f || ∀f ∈ dom(T ). Observaci´on 2.0.3. Si el operador T es acotado, entonces puede ser extendido a un operador lineal sobre la clausura de dom(T ) y luego, extendido a H dejando que T sea 0 sobre dom(T )⊥.
4 En base a la observaci´on anterior y a menos que especifiquemos lo contrario, asumiremos que un operador acotado est´a definido sobre todo H y denotaremos B(H, K) al conjunto de operadores acotados de H en K y B(H) = B(H, H).
Definici´on 2.0.4. Si T ∈ B(H, K), se define la norma de T como kT k = sup {kT xk : kxk ≤ 1} . Proposici´on 2.0.5. Si T ∈ B(H, K), entonces kT k = sup {kT xk : kxk = 1} = sup kT xk kxk : x 6= 0 = inf {c > 0 : kT xk ≤ c kxk para x ∈ H} .
Definici´on 2.0.6. Sean T, S ∈ B(H) tales que ∀x, y ∈ H, hT x, yi = hx, Syi. Decimos que S es el operador adjunto de T y lo notamos S = T∗.
Proposici´on 2.0.7. Si T, S ∈ B(H) y α ∈ F, entonces: (a) (αT + S)∗ = ¯α T∗+ S∗
(b) (T S)∗ = S∗T∗ (c) T∗∗= (T∗)∗ = T (d) I∗ = I
(e) Si T es inversible y T−1 es su inverso, entonces T∗ es inversible y (T∗)−1= (T−1)∗. (f ) T∗ es acotado y kT k = kT∗k
Proposici´on 2.0.8. Si T ∈ B(H), entonces: (a) ker(T ) = ran(T∗)⊥
Definici´on 2.0.9. Un operador T ∈ B(H) es autoadjunto si T∗= T . Diremos que T es normal si T T∗= T∗T y unitario si T T∗= T∗T = I.
Proposici´on 2.0.10. Sea H un C-espacio de Hilbert y T ∈ B(H). Entonces T es autoadjunto si y s´olo si hT h, hi ∈ R, para todo h ∈ H.
Proposici´on 2.0.11. Si T ∈ B(H) es autoadjunto, entonces ||T || = sup {| hT x, xi | : ||x|| = 1}. Proposici´on 2.0.12. Si T ∈ B(H), las siguiente condiciones son equivalentes:
(a) T es unitario.
(b) hT x, T yi = hx, yi, ∀x, y ∈ H y ran(T ) = H. (c) ||T x|| = ||x||, ∀x ∈ H y ran(T ) = H.
Definici´on 2.0.13. Dado T ∈ B(H), definimos el conjunto resolvente de T como ρ(T ) = {λ ∈ C : λI − T es inversible} .
El espectro de T es el conjunto σ(T ) = C\ρ(T ).
Teorema 2.0.14. Si T ∈ B(H), entonces σ(T ) es compacto, no vac´ıo y σ(T ) ⊆ {z ∈ C : |z| < ||T ||}. Proposici´on 2.0.15. Si T ∈ B(H), entonces σ(T∗) =λ : λ ∈ σ(T ) .
Proposici´on 2.0.16. Si T ∈ B(H) es autoadjunto, entonces σ(T ) ⊆ R. Si T ∈ B(H) es unitario, entonces σ(T ) ⊆ {λ : |λ| = 1}.
3.
Propiedades b´
asicas y ejemplos
Definici´on 3.0.18. Sean H, K dos espacios de Hilbert. Un operador no acotado (densamente definido) de H en K es un operador lineal T desde un subespacio denso de H, llamado dominio de T y denotado por dom(T ), en K.
Los c´alculos con operadores no acotados son considerablemente m´as complicados que en el caso acotado. Si T1 y T2 son operadores lineales de H en K, entonces T1+ T2 denotar´a el operador con
dom(T1 + T2) = dom(T1) ∩ dom(T2) y (T1 + T2)h = T1h + T2h. Si T2 : H → K y T1 : K → L,
entonces T1T2 es un operador lineal de H en L con dom(T1T2) = dom(T2) ∩ T2−1(dom(T1)) y
T1T2h = T1(T2h).
Definici´on 3.0.19. Sean T1 y T2 operadores de H en K. Decimos que T1 es una extensi´on de T2
(y se denota como T2⊆ T1) si dom(T2) ⊆ dom(T1) y T1h = T2h ∀h ∈ dom(T2).
Notemos que si T ∈ B(H), entonces la ´unica extensi´on de T es ´el mismo, de modo que la definici´on anterior s´olo tendr´a sentido para operadores no acotados.
La noci´on de gr´afico de un operador lineal, introducida por von Neumann, ser´a muy ´util para estudiar operadores no acotados.
Definici´on 3.0.20. Si T : H → K, el gr´afico de T es el conjunto gra(T ) = {h ⊕ T h ∈ H ⊕ K : h ∈ dom(T )} .
Observaci´on 3.0.21. Es inmediato que T2⊆ T1 si y s´olo si gra(T2) ⊆ gra(T1). 4
Definici´on 3.0.22. Un operador T : H → K es cerrado si su gr´afico es cerrado en H ⊕ K. Un operador se dice clausurable si tiene una extensi´on cerrada. Denotaremos C(H, K) a la colecci´on de todos los operadores cerrados densamente definidos de H en K y llamaremos C(H) = C(H, H).
Una forma natural de tratar de obtener una extensi´on cerrada de un operador T es tomando la clausura de su gr´afico en H ⊕ K. El problema con esto es que dicha clausura, denotada por gra(T ), no corresponde en general al gr´afico de un operador.
Para analizar este problema, veamos primero el siguiente resultado:
Proposici´on 3.0.23. Sea G un subespacio de H ⊕ K. Entonces G es el gr´afico de un operador lineal T : H → K si y s´olo si k ∈ K, 0 ⊕ k ∈ G ⇒ k = 0.
Demostraci´on. Supongamos que G = gra(T ) para cierto T : H → K. Por linealidad, si k ∈ K y 0 ⊕ k ∈ G resulta k = 0.
Para la rec´ıproca, definimos el conjunto D = {h ∈ H : ∃k ∈ K con h ⊕ k ∈ G}. Sean h ∈ D y k1, k2 ∈ K tales que h ⊕ k1, h ⊕ k2 ∈ G. Dado que G es subespacio vectorial, se tiene que
0 ⊕ (k1− k2) = h ⊕ k1− h ⊕ k2 ∈ G, con lo cual k1 = k2. Esto dice que para todo h ∈ D existe un
´
unico k ∈ K tal que h ⊕ k ∈ G, siendo posible definir k = T h. Veamos que T es una aplicaci´on lineal. Sean hi⊕ ki∈ G, i = 1, 2 y λ1, λ2 ∈ C. Luego, λ1h1+ λ2h2⊕ λ1k1+ λ2k2∈ G. Por la definici´on de
T , tenemos que
T (λ1h1+ λ2h2) = λ1k1+ λ2k2= λ1T h1+ λ2T h2
con lo cual, T es lineal y G = gra(T ).
Demostraci´on. Sea gra(T ) un gr´afico. Esto es, existe un operador S : H → K tal que gra(S) = gra(T ). Se sigue que gra(T ) ⊆ gra(S), con lo cual T es clausurable.
Supongamos ahora que T es clausurable; esto es, existe un operador cerrado S : H → K con T ⊆ S. Si 0 ⊕ k ∈ gra(T ), entonces 0 ⊕ k ∈ gra(S) y as´ı k = 0. Por la proposici´on anterior, gra(T )
es un gr´afico.
Si T es un operador clausurable, llamaremos clausura de T al operador cuyo gr´afico es gra(T ) y lo denotaremos por T . De este modo, gra(T ) = gra(T ).
Definici´on 3.0.25. Si T : H → K est´a densamente definido, sea
D = {k ∈ K : h 7→ hT h, ki es un funcional lineal acotado sobre dom(T )} .
Debido a que dom(T ) es denso en H, si k ∈ D entonces existe un ´unico vector f ∈ H tal que hT h, ki = hh, f i, ∀h ∈ dom(T )1. Denotamos a este ´unico vector f por f = T∗k. As´ı,
hT h, ki = hh, T∗ki (1)
para h ∈ dom(T ) y k ∈ D. El operador T∗ es llamado el adjunto de T y D = dom(T∗).
Observaci´on 3.0.26. Es claro que T∗ es un operador lineal, pero no necesariamente est´a
densa-mente definido. 4
Proposici´on 3.0.27. Sean T y S operadores densamente definidos sobre H. Entonces, (a) Para todo λ ∈ C, (λT )∗ = λT∗.
(b) Si S ⊆ T , entonces T∗ ⊆ S∗.
(c) T∗+ S∗⊆ (T + S)∗.
(d) Si ST tiene dominio denso en H, entonces T∗S∗ ⊆ (ST )∗. Si adem´as S ∈ B(H), entonces T∗S∗ = (ST )∗.
Demostraci´on. La prueba de (a) es inmediata de la definici´on de adjunto.
(b) Si x ∈ dom(T∗), entonces existe y ∈ H tal que hx, T hi = hy, hi, ∀h ∈ dom(T ). Como S ⊆ T , hy, hi = hx, T hi = hx, Shi para todo h ∈ dom(S). Esto implica que x ∈ dom(S∗) y S∗x = y, es
decir, T∗ ⊆ S∗.
(c) Si x ∈ dom(T∗ + S∗), entonces x ∈ dom(T∗) y x ∈ dom(S∗). Por lo tanto, existen y1, y2 ∈ H
tales que hx, T hi = hy1, hi, para todo h ∈ dom(T ) y hx, Shi = hy2, hi, para todo h ∈ dom(S); con
lo cual, hx, (T + S)hi = hy1+ y2, hi, ∀h ∈ dom(T ) ∩ dom(S) = dom(T + S).
(d) Si x ∈ dom(T∗S∗), entonces x ∈ dom(S∗) y S∗x ∈ dom(T∗). Por lo tanto, ∃y1∈ H : hx, Shi = hy1, hi , ∀h ∈ dom(S),
∃y2∈ H : hS∗x, T ui = hy2, ui , ∀u ∈ dom(T ).
Ahora bien, si u ∈ dom(ST ) entonces u ∈ dom(T ) y h = T u ∈ dom(S). Teniendo en cuenta que y1= S∗x, se tiene que
hx, ST ui = hx, Shi = hy1, hi = hS∗x, T ui = hy2, ui
con lo cual, x ∈ dom((ST )∗) y (ST )∗x = y2= T∗S∗x.
1
El Teorema de Representaci´on de Riesz dice que si T es un funcional lineal acotado sobre un espacio de Hilbert H, entonces existe un ´unico vector h0∈ H tal que T h = hh, h0i para todo h ∈ H. M´as a´un, kT k = kh0k.
El siguiente lema nos permitir´a estudiar de cerca al adjunto de un operador.
Lema 3.0.28. Sea T : H → K un operador densamente definido. Definimos un operador unitario V : H ⊕ K → K ⊕ H como V (h ⊕ k) = (−k) ⊕ h. Entonces V es un isomorfismo y
gra(T∗) = [V (gra(T ))]⊥. Demostraci´on. Es claro que V es un isomorfismo. Notemos que
gra(T∗) = {k ⊕ T∗k ∈ K ⊕ H : k ∈ dom(T∗)} . Luego, si k ∈ dom(T∗) y h ∈ dom(T ) resulta
hk ⊕ T∗k, V (h ⊕ T h)i = hk ⊕ T∗k, −T h ⊕ hi = − hk, T hi + hT∗k, hi = 0.
As´ı, gra(T∗) ⊆ [V (gra(T ))]⊥. Por otra parte, si k ⊕ f ∈ [V (gra(T ))]⊥ entonces ∀h ∈ dom(T ) 0 = hk ⊕ f, −T h ⊕ hi = − hk, T hi + hf, hi
de modo que hT h, ki = hh, f i. Por definici´on, k ∈ dom(T∗) y T∗k = f . Proposici´on 3.0.29. Si T : H → K es un operador densamente definido, entonces:
1. T∗ es un operador cerrado.
2. T∗ est´a densamente definido si y s´olo si T es clausurable. 3. Si T es clausurable, entonces su clausura es T∗∗.
Demostraci´on. La prueba de 1 es inmediata del lema 3.0.28, dado que [V (gra(T ))]⊥ es siempre un subespacio cerrado de K ⊕ H.
Para probar 2, supongamos que T es clausurable y sea k0∈ dom(T∗)⊥. De este modo,
k0⊕ 0 ∈ gra(T∗)⊥= V (gra(T ))⊥⊥= V (gra(T )) = V (gra(T )).
As´ı, 0 ⊕ (−k0) = V∗(k0⊕ 0) ∈ V∗V (gra(T )) = gra(T ). Dado que T es clausurable, gra(T ) es
un gr´afico y entonces k0 = 0. Luego, T∗ est´a densamente definido. Rec´ıprocamente, supongamos
que dom(T∗) es denso. Esto nos garantiza que T∗∗ ≡ (T∗)∗ est´a definido, y por 1 es cerrado. Por el lema 3.0.28,
[V (gra(T ))]⊥= gra(T∗) =⇒ V (gra(T )) = gra(T∗)⊥ =⇒ V (gra(T )) ⊂ gra(T∗)⊥ =⇒ gra(T ) ⊂ V∗(gra(T∗)⊥).
Dado que V es unitario (luego V∗ tambi´en lo es), para cualquier subespacio M de H se tiene que V∗(M⊥) = V∗(M)⊥. En particular, para M = gra(T∗) nos queda
gra(T ) ⊂ [V∗(gra(T∗))]⊥= gra(T∗∗) con lo cual, T tiene una extensi´on cerrada.
Para la prueba de 3, nuevamente usando el lema 3.0.28, tenemos que gra(T∗∗) = V∗(gra(T∗))⊥=hV∗[V (gra(T ))]⊥i
⊥
=hV∗V (gra(T )⊥)i
⊥
= gra(T )⊥⊥= gra(T ).
Corolario 3.0.30. Si T ∈ C(H, K), entonces T∗ est´a densamente definido y T∗∗= T .
Demostraci´on. Es inmediato de la proposici´on anterior.
A continuaci´on veremos algunos ejemplos de operadores no acotados y sus adjuntos.
Ejemplo 3.0.31. Sea {en}n≥0 una base ortonormal para H y sean α0, α1, . . . n´umeros complejos.
Definimos D = ( h ∈ H : ∞ X n=0 |αnhh, eni|2 < ∞ ) y T h = ∞ X n=0 αnhh, eni en para h ∈ D. Entonces D
es denso en H dado que en∈ D, ∀n ≥ 0. Adem´as, dom(T∗) = D y T∗k = ∞
X
n=0
αnhk, eni en, ∀k ∈ D.
En efecto, sean h, k ∈ D y φ(h) = hT h, ki. Es f´acil ver que |φ(h)| ≤ khk ∞ X n=0 αnhk, eni en . Como k ∈ D, φ resulta un funcional lineal acotado sobre D, con lo cual k ∈ dom(T∗).
Por otro lado, si k ∈ dom(T∗), existe c > 0 tal que |φ(h)| ≤ c khk, ∀h ∈ D. Pero
|φ(h)| = l´ım N −→∞ N X n=0 αnhh, eni hen, ki = l´ım N −→∞ * h, N X n=0 αnhk, eni en + ≤ c khk ,
para todo h ∈ D, con lo cual ∞ X n=0 αnhk, eni en
< ∞ y as´ı, k ∈ D. Por lo tanto, dom(T∗) = D. Por ´ultimo, hk, T hi = l´ım N −→∞ N X n=0 hk, αnhh, eni eni = l´ım N −→∞ N X n=0 αnhen, hi hk, eni = l´ım N −→∞ * N X n=0 αnhk, eni en, h + con lo cual, T∗k = ∞ X n=0 αnhk, eni en, ∀k ∈ D.
Ejemplo 3.0.32. Sea (X, Ω, µ) un espacio de medida σ-finita y sea φ : X → C una funci´on medible. Definimos D =f ∈ L2(µ) : φf ∈ L2(µ) y T f = φf , ∀f ∈ D.
Un razonamiento similar al del ejemplo anterior, muestra que dom(T∗) = D. Adem´as, T∗g = φg para g ∈ D. En efecto, hT f, gi = Z T f g dµ = Z φf g dµ = Z f φg dµ con lo cual, T∗g = φg, ∀g ∈ D.
Ejemplo 3.0.33. Sea H = L2([0, 1]) relativo a la medida de Lebesgue y D el conjunto definido por D =f : [0, 1] → C : f es absolutamente continua, f0 ∈ L2, f (0) = f (1) = 0 .
Este conjunto incluye a todos los polinomios p con p(0) = p(1) = 0, por lo que la clausura uniforme de D es el conjunto {f ∈ C[0, 1] : f (0) = f (1) = 0}. As´ı, D es denso en L2([0, 1]).
Definimos T : L2([0, 1]) → L2([0, 1]) por T f = if0 para f ∈ D. Veamos que T es cerrado. Para ello, supongamos que {fn} ⊆ D y fn⊕ ifn0 −→ f ⊕ g en L2⊕ L2. Sea h(x) = −i
Rx
0 g(t)dt; luego h
es absolutamente continua. Utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos que |fn(x) − h(x)| = Z x 0 f0 n(t) + ig(t) dt ≤ fn0 + ig 2 = ifn0 − g 2.
As´ı, fn(x) −→ h(x) uniformemente sobre [0, 1]. Dado que fn−→ f en L2([0, 1]), f (x) = h(x) a.e.
De este modo, podemos asumir que f (x) = −iR0xg(t)dt para todo x. Luego, f es absolutamente continua y fn(x) −→ f (x) uniformemente sobre [0, 1]. As´ı f (0) = f (1) = 0 y f0 = −ig ∈ L2([0, 1]),
con lo cual f ∈ D y f ⊕ g = f ⊕ if0∈ gra(T ), esto es, T ∈ C(L2([0, 1])).
Notemos que {f0 : f ∈ D} = n
h ∈ L2([0, 1]) :R01h(x) dx = 0 o
= [1]⊥.
Por otra parte, dom(T∗) =g : g es absolutamente continua sobre [0, 1], g0 ∈ L2([0, 1]) y para
g ∈ dom(T∗), T∗g = ig0. En efecto, supongamos que g ∈ dom(T∗) y consideremos h = T∗g y H(x) =Rx
0 h(t)dt. Usando integraci´on por partes, para cada f ∈ D
i Z 1 0 f0gdx = hT f, gi = hf, hi = Z 1 0 f hdx = Z 1 0 f (x)dH(x) = − Z 1 0 f0(x)H(x)dx
esto es, hf0, −igi = hf0, −Hi, ∀f ∈ D. As´ı, H − ig ∈ {f0 : f ∈ D}⊥= [1]⊥⊥, por lo tanto H − ig = c, con c constante. Luego, g = ic − iH, con lo cual g es una funci´on absolutamente continua y g0= −ih ∈ L2, como quer´ıamos probar.
Rec´ıprocamente, si f ∈ D y g es absolutamente continua sobre [0, 1] con g0 ∈ L2([0, 1]), entonces
mediante integraci´on por partes se tiene que hT f, gi = Z 1 0 (if0)gdx = Z 1 0 f ig0dx = hf, T gi
con lo cual, dom(T∗) contiene al conjunto de las funciones g absolutamente continuas sobre [0, 1] con g0∈ L2([0, 1]).
Ejemplo 3.0.34. Sea E =f ∈ L2([0, 1]) : f es absolutamente continua, f0∈ L2, f (0) = f (1) .
Pa-ra f ∈ E definimos Sf = if0. Como en 3.0.33, S ∈ C(L2([0, 1])) y ran(S) = [1]⊥.
Por otra parte, afirmamos que dom(S∗) = E y S∗g = ig0 ∀g ∈ E. En efecto, sea g ∈ dom(S∗)
y H(x) = Rx
0 h(t)dt. Como en 3.0.33, H(0) = H(1) = 0 y para cada f ∈ E , i
R1
0 f
0g = −R1
0 f 0H.
Entonces, 0 =R01(if0g +f0H) =R01if0(g + iH). As´ı, g +iH⊥ran(S) y luego g +iH = c, una funci´on constante. Se sigue que g = c − iH es absolutamente continua, g0 = −ih ∈ L2 y g(0) = g(1) = c. Por lo tanto, g ∈ E y S∗g = h = ig0.
La otra inclusi´on es an´aloga a la realizada en 3.0.33.
Los dos ejemplos anteriores muestran el hecho de que el c´alculo del adjunto depende del dominio del operador, no s´olo de la definici´on formal del operador.
Proposici´on 3.0.35. Si T : H → K est´a densamente definido, entonces ran(T )⊥= ker(T∗).
Si adem´as T es cerrado, entonces
ran(T∗)⊥= ker(T ).
Demostraci´on. La primera igualdad es inmediata de la definici´on (1) de operador adjunto.
Por el corolario 3.0.30, si T ∈ C(H, K), entonces T∗∗ = T , con lo cual la segunda igualdad se sigue de la primera.
Definici´on 3.0.36. Si T : H → K es un operador lineal, decimos que T es acotadamente inversible si existe un operador lineal acotado S : K → H tal que T S = I y ST ⊆ I.
Notemos que si ST ⊆ I, entonces ST es acotado sobre su dominio. Llamaremos a S inverso (acotado) de T .
Proposici´on 3.0.37. Sea T : H → K un operador lineal.
(a) T es acotadamente inversible si y s´olo si ker(T ) = (0), ran(T ) = K y el gr´afico de T es cerrado. (b) Si T es acotadamente inversible, su inverso es ´unico.
Demostraci´on.
(a) Sea S el inverso de T . Dado que ST ⊆ I, tenemos que ker(T ) = (0). Dado que T S = I, resulta ran(T ) = K. Tambi´en, gra(T ) = {h ⊕ T h : h ∈ dom(T )} = {Sk ⊕ k : k ∈ K}, que es cerrado por ser S acotado.
Rec´ıprocamente, si T cumple las propiedades mencionadas entonces S = T−1 es un operador bien definido sobre K. Dado que gra(T ) es cerrado, gra(S) tambi´en lo es, y por el Teorema del Gr´afico Cerrado2, S ∈ B(K, H).
(b) Si R : K → H es otro inverso, tenemos que T S(y) = y = T R(y) para todo y ∈ K. Dado que
ker(T ) = (0), se sigue que S = R.
Definici´on 3.0.38. Si T : H → H es un operador lineal, definimos el conjunto resolvente de T como ρ(T ) = {λ ∈ C : λI − T es acotadamente inversible}.
El espectro de T es el conjunto σ(T ) = C\ρ(T ).
El espectro de un operador no acotado puede tener caracter´ısticas muy diferentes al de los operadores acotados.
Sea D1 =f ∈ L2([0, 1]) : f ∈ C1([0, 1]) y D2 = {f ∈ D1 : f (0) = 0}. Consideremos T f = f0
con dom(T ) = D1. Entonces la ecuaci´on (λI − T )f = λf − f0 = 0 tiene soluci´on f (x) = eλx, f ∈ D1.
Luego, ker(λI − T ) 6= (0) para todo λ ∈ C; es decir, σ(T ) = C.
2El Teorema del Gr´afico Cerrado dice que si T : H → K es un operador cuyo gr´afico gra(T ) = {h ⊕ T h : h ∈ H}
es cerrado en H ⊕ K, entonces T ∈ B(H, K). Cabe aclarar que este teorema es v´alido para Espacios de Banach. En particular, es v´alido para espacios de Hilbert.
Consideremos ahora T f = f0 con dom(T ) = D2. Entonces, σ(T ) = ∅. En efecto, (λI − T )−1
existe ∀λ ∈ C. Sea Bf (y) = −eλyR0ye
−λxf (x)dx, y ∈ [0, 1], f ∈ L2([0, 1]). Un c´alculo directo
muestra que (λI − T )B(f ) = f . Por otra parte, mediante integraci´on por partes se tiene que B(λI − T )f (y) = −eλy
Z y 0 e−λx(λf (x) − f0(x))dx = −λeλy Z y 0 e−λxf (x)dx + eλy Z y 0 e−λxf0(x)dx = −λeλy(−1 λe −λx f (x)) y 0− e λy Z y 0 e−λxf0(x)dx + eλy Z y 0 e−λxf0(x)dx = eλye−λyf (y) = f (y)
para cada f ∈ D2. As´ı, (λI − T )−1 = B.
Proposici´on 3.0.39. Si T : H → H es un operador lineal, entonces σ(T ) es cerrado y la funci´on z 7→ (zI − T )−1 es anal´ıtica sobre ρ(T ).
Demostraci´on. La demostraci´on puede encontrarse en el cap´ıtulo VIII del libro de Reed-Simon[RS].
Proposici´on 3.0.40. Sea T ∈ C(H). Entonces,
1. λ ∈ ρ(T ) si y s´olo si ker(T − λI) = (0) y ran(T − λI) = H.
2. σ(T∗) =λ : λ ∈ σ(T ) y para λ ∈ ρ(T ), [(T − λI)∗]−1 =(T − λI)−1∗.
Demostraci´on. 1. Dado que ρ(T ) consta de los λ ∈ C para los cuales T − λI es acotadamente inversible, se aplica la proposici´on 3.0.37 a este operador.
2. Veamos que para λ ∈ C, λI −T∗ es acotadamente inversible si y s´olo si ¯λI −T es acotadamente inversible.
Si λ ∈ ρ(T∗), entonces existe B ∈ B(H) tal que (λI − T∗)B = I y B(λI − T∗) ⊆ I. Aplicando la proposici´on 3.0.27, se tiene que B∗(λI − T ) ⊆ I y (λI − T )B∗ = I (∗). As´ı, ¯λI − T es acotadamente inversible.
La rec´ıproca es an´aloga. De (∗), se deduce que [(T − λI)∗]−1=(T − λI)−1∗, para λ ∈ ρ(T ).
3.1 Ejercicios
3.1. Ejercicios
3.1.1. Definir un operador shift ponderado no acotado y determinar su adjunto.
Demostraci´on. Sea {en}n≥0 una base ortonormal para l2 y λ = (λn)n una sucesi´on de n´umeros
complejos. Definimos D = ( x ∈ l2: ∞ X n=0 λnhx, eni en+1 ∈ l2 ) Tλx = ∞ X n=0 λnhx, eni en+1, para x ∈ D.
Tλ se denomina Operador Shift ponderado a izquierda. Tambi´en se puede definir un operador
shift ponderado a derecha, como
Sλx = ∞ X n=0 λnhx, en+1i en, donde dom(Sλ) = ( x ∈ l2: ∞ X n=0 λnhx, en+1i en∈ l2 ) .
Un razonamiento an´alogo al utilizado en el ejemplo 3.0.31 muestra que dom(T∗) = dom(S). Adem´as, hTλx, yi = l´ım N −→∞ N X n=0 λnhx, eni hen+1, yi = l´ım N −→∞ * x, N X n=0 λnhy, en+1i en + . Luego, Tλ∗ = Sλ.
3.1.2. Si H tiene dimensi´on infinita, mostrar que existe un operador lineal T : H → H tal que gra(T ) es denso en H ⊕ H. ¿Qu´e dice esto acerca de dom(T∗)?
Demostraci´on. Ver Lindsay [1984].
3.1.3. Sea D el conjunto de las funciones f absolutamente continuas tales que f0 ∈ L2(0, 1).
Definimos Df = f0 para f ∈ D y Af (x) = xf (x) para f ∈ L2(0, 1). Mostrar que DA − AD ⊆ I. Demostraci´on. Alcanza con ver que (DA − AD)f (x) = f (x), para cada f . En efecto,
(DA − AD)f (x) = DAf (x) − ADf (x) = xf0(x) + f (x) − xf0(x) = f (x).
3.1.4. Si A es un ´algebra de Banach con identidad, mostrar que no existen elementos a, b ∈ A tales que ab − ba = e.
Demostraci´on. Supongamos que existen a, b ∈ A tales que ab − ba = e. Probaremos por inducci´on que
anb − ban= nan−16= 0 (2)
lo cual es v´alido para n = 1 por hip´otesis. Si (2) vale para n ∈ N, entonces an6= 0 y
an+1b − ban+1 = an(ab − ba) + (anb − ban)a = ane + nan−1a = (n + 1)an. Por lo tanto, ∀n ∈ N se verifica (2).
Luego, n an−1 = kanb − bank ≤ 2 kank kbk ≤ 2 an−1 kak kbk
y as´ı, n ≤ 2 kak kbk, ∀n ∈ N, lo cual es imposible.
3.1.5. Definimos A : L2(R) → L2(R) por (Af )(x) = e−x2f (x − 1), ∀f ∈ L2(R). 1. Mostrar que A ∈ B(L2(R)).
2. Hallar kAnk y mostrar que r(A) = 0, de modo que σ(A) = {0}. 3. Mostrar que A es inyectivo.
4. Hallar A∗ y mostrar que ran(A) es denso.
5. Definir B = A−1 con dom(B) = ran(A) y mostrar que B ∈ C(L2(R)), con σ(B) = ∅. Demostraci´on. 1. Un c´alculo inmediato muestra que
kAf k2 ≤ Z R f2(x − 1)dx = Z R f2(x)dx = kf k2. Como f ∈ L2(R), resulta A ∈ B(L2(R)).
2. Se puede demostrar por Inducci´on que
An= exp(−
n
X
i=0
(x − i)2)f (x − n).
Para calcular kAnk, recordemos que si g es continua y T : L2(R) → L2(R) es el operador
dado por T f (x) = g(x)f (x), entonces kT k = sup |g|. En nuestro caso, calcularemos el valor m´aximo de la funci´on gn(x) = exp(−
n
X
i=0
3.1 Ejercicios
hn(x) = n
X
i=0
(x − i)2. Derivando esta funci´on, se sigue que su m´ınimo se alcanza para x0 = n2.
Un c´alculo sencillo muestra que el valor m´ınimo de hn es
hn(x0) = n X i=0 (n 2 − i) 2= 1 6n(n + 1)( n 2 + 1). Luego, kAnk = exp (−16n(n + 1)(n2 + 1)).
Por otra parte, teniendo en cuenta que r(A) = l´ımn−→∞kAnk
1
n, se sigue que r(A) = 0. As´ı,
por definici´on de radio espectral, se deduce que σ(A) = {0}. 3. Si Af (x) = 0 para todo x ∈ R, es inmediato que f ≡ 0. 4. Para cada f, g ∈ L2(R), hAf, gi = Z ∞ −∞ e−x2f (x − 1)g(x)dx = Z ∞ −∞ f (x)e−(x+1)2g(x + 1)dx, con lo cual, A∗g = e−(x+1)2g(x + 1).
Es claro que A∗ es inyectivo, con lo cual, por 2.0.8 resulta ran(A) denso. 5. Sea B = A−1 con dom(B) = ran(A). Por la proposici´on 3.0.37, B ∈ C(L2(R)).
Recordemos que si A es acotado, entonces para λ 6= 0
λ ∈ σ(A) ⇐⇒ λ−1∈ σ(A−1). Luego, σ(B) = ∅.
3.1.6. Si A ∈ C(H), mostrar que A∗A ∈ C(H). Mostrar que −1 /∈ σ(A∗A) y que si B = (I +A∗A)−1,
entonces kBk ≤ 1. Adem´as, C = AB es acotado y kCk ≤ 1.
Demostraci´on. Sea A ∈ C(H) y (xn)n⊆ dom(A∗A) tal que xn−→ x y A∗Axn −→ y. Como A es
cerrado, se sigue que x ∈ dom(A).
Por otra parte, dado h ∈ dom(A) se tiene que
hh, A∗Axni −→ hh, yi ,
hh, A∗Axni = hAh, Axni −→ hAh, Axi ∀h ∈ dom(A).
Luego, Ax ∈ dom(A∗).
Adem´as, para h ∈ dom(A)
hy − A∗Ax, hi = hy, xi − hA∗Ax, hi = l´ım
n−→∞hA ∗Ax
n, hi − hA∗Ax, hi
= l´ım
por ser A cerrado. Por lo tanto, y = A∗Ax y as´ı, A∗A ∈ C(H).
Definamos S = I + A∗A y veamos que S es acotadamente inversible.
Del lema 3.0.28 se deduce que H⊕H = V (gra(A))⊕gra(A∗). Luego, a cada h ∈ H le corresponde un ´unico Bh ∈ dom(A), y un ´unico Ch ∈ dom(A∗) tales que
(0, h) = (−ABh, Bh) + (Ch, A∗Ch). (3)
Asi, quedan definidos en todo H los operadores lineales B y C. Adem´as, para cada h ∈ H khk2 ≥ kBhk2+ kChk2,
de modo que kBk ≤ 1 y kCk ≤ 1. De (3) se sigue que C = AB y que h = Bh + A∗Ch = Bh + A∗ABh = SBh
para todo h ∈ H. Luego, SB = I. Si y ∈ dom(S), entonces y = Bh para alg´un h ∈ H. As´ı, Sy = SBh = h y BSy = Bh = y. Por lo tanto, BS ⊆ I.
4.
Operadores sim´
etricos y autoadjuntos
Una introducci´on apropiada para esta secci´on consiste en un examen cuidadoso de los ejemplos 3.0.33 y 3.0.34 de la secci´on anterior. En 3.0.33 vimos que el operador T parec´ıa inclinarse a ser autoadjunto, pero dom(T∗) fue diferente de dom(T ), de modo que no podr´ıa decirse realmente que T = T∗. En 3.0.34, S = S∗ en cualquier sentido del concepto de igualdad. Esto se˜nala la diferencia entre operadores sim´etricos y autoadjuntos que es necesario hacer en la teor´ıa de operadores no acotados.
Definici´on 4.0.7. Un operador T : H → H se dice sim´etrico si T est´a densamente definido y hT f, gi = hf, T gi, ∀f, g ∈ dom(T ).
Proposici´on 4.0.8. Si T est´a densamente definido, las siguientes afirmaciones son equivalentes. 1. T es sim´etrico.
2. T ⊆ T∗.
3. hT f, f i ∈ R, ∀f ∈ dom(T ). Demostraci´on.
1) ⇒ 2) : Sea f ∈ dom(T ). Existe entonces g = T f tal que hT h, f i = hh, gi, ∀h ∈ dom(T ). Esto implica que f ∈ dom(T∗) y que T∗f = g = T f , ∀f ∈ dom(T ).
2) ⇒ 3) : Si f ∈ dom(T ), hT f, f i = hT∗f, f i = hf, T f i =hT f, f i. Esto implica que hT f, f i ∈ R. 3) ⇒ 1) : Supongamos que hT f, f i ∈ R ∀f ∈ dom(T ). Dada g ∈ dom(T ), se tiene que
hT (f + g), f + gi = hT f, f i + hT g, gi + hT g, f i + hT f, gi , hf + g, T (f + g)i = hf, T f i + hg, T gi + hg, T f i + hf, T gi . Dado que hT (f + g), f + gi = hf + g, T (f + g)i, se tiene que
hf, T gi + hT f, gi = hT f, gi + hf, T gi con lo cual,
Im hT f, gi = Im hf, T gi . (4)
Utilizando el mismo razonamiento para hT (f + ig), f + igi, se llega a que hf, T gi + hf, T gi = hT f, gi + hT f, gi
con lo cual,
Re hf, T gi = Re hT f, gi (5)
De las igualdades (4) y (5), se deduce que hT f, gi = hf, T gi.
Observaci´on 4.0.9. Si T es sim´etrico, el hecho de que T ⊆ T∗ implica que dom(T∗) es denso.
Entonces, T es clausurable por la proposici´on 3.0.29. 4
Vamos a hacer hincapi´e en que la condici´on de que T = T∗ en la definici´on anterior lleva consigo el requisito de que dom(T ) = dom(T∗). Ahora, claramente cada operador autoadjunto es sim´etrico, pero el ejemplo 3.0.33 muestra que hay operadores sim´etricos que no son autoadjuntos. Sin embargo, si un operador es acotado, entonces es autoadjunto si y s´olo si es sim´etrico.
Notemos que la proposici´on 3.0.29 implica que un operador autoadjunto es necesariamente cerrado.
Proposici´on 4.0.11. Supongamos que T es un operador sim´etrico sobre H. 1. Si ran(T ) es denso, entonces T es inyectivo.
2. Si T = T∗ y T es inyectivo, entonces ran(T ) es denso y T−1 es autoadjunto. 3. Si dom(T ) = H, entonces T = T∗ y T es acotado.
4. Si ran(T ) = H, entonces T = T∗ y T−1∈ B(H).
Demostraci´on. 1. Por la proposici´on 3.0.35 sabemos que ker(T∗) = (0). Dado que T ⊆ T∗, tenemos que ker(T ) = (0).
2. Aplicando 3.0.35 se deduce que ran(T )⊥= (0), con lo cual, ran(T ) es denso en H. Para probar que T−1 es autoadjunto, notemos que
(T−1)∗T∗ ⊆ (T T−1)∗= I ⇒ (T−1)∗ = (T∗)−1.
3. Sabemos que T ⊆ T∗. Si dom(T ) = H, entonces T = T∗ y por el Teorema del Gr´afico Cerrado, T ∈ B(H).
4. Si ran(T ) = H, entonces por (1) T es inyectivo. Sea S = T−1 con dom(S) = ran(T ) = H. Si f = T g y h = T k con g, k ∈ dom(T ), entonces hSf, hi = hg, T ki = hT g, ki = hf, ki = hf, Shi. Luego, S es sim´etrico. Por (3), S = S∗∈ B(H) y por (2), T = S−1 es autoadjunto.
Ahora centraremos nuestra atenci´on en las propiedades espectrales de operadores sim´etricos y autoadjuntos. En particular, se ver´a que los operadores sim´etricos pueden tener n´umeros no reales en sus espectros, aunque la naturaleza del espectro puede ser completamente caracterizada. Los operadores autoadjuntos, sin embargo, deben tener espectro real. El siguiente resultado inicia el an´alisis del espectro.
Proposici´on 4.0.12. Sea T un operador sim´etrico y λ = α + iβ, con α, β ∈ R. 1. Para cada f ∈ dom(T ), k(T − λI)f k2 = k(T − αI)f k2+ β2kf k2.
2. Si β 6= 0, ker(T − λI) = (0).
3. Si T es cerrado y β 6= 0, ran(T − λI) es cerrado. Demostraci´on. Notemos que
k(T − λI)f k2 = k(T − αI)f − iβf k2
Pero h(T − αI)f, βf i = β hT f, f i − αβ kf k2 ∈ R, con lo cual, se verifica (1).
El inciso (2) es inmediato de (1). Para probar (3), notemos que k(T − λI)f k2 ≥ β2kf k2
. Sea {fn} ⊆ dom(T ) tal que (T − λI)fn −→ g. La desigualdad anterior implica que fn es una sucesi´on
de Cauchy en H. En efecto,
β2||fn− fm||2≤ ||(T − αI)(fn− fm)||2+ β2||fn− fm||2= ||(T − λI)(fn− fm)||2 −→ 0.
Sea entonces f = l´ım fn. Observemos que fn⊕(T −λI)fn∈ gra(T −λI) y fn⊕(T −λI)fn−→ f ⊕g,
con lo cual f ⊕ g ∈ gra(T − λI) y as´ı g = (T − λI)f ∈ ran(T − λI).
Por lo tanto, ran(T − λI) es cerrado.
Lema 4.0.13. Si M y N son subespacios cerrados de H y M∩N⊥= (0), entonces dimM ≤ dimN . Demostraci´on. Sea P la proyecci´on ortogonal de H en N y definamos T : M → N por T f = P f para f ∈ M. Dado que M ∩ N⊥= (0), T es inyectivo. Si L es un subespacio de M de dimensi´on
finita, dimL = dimT L ≤ dimN . Como L es arbitrario, dimM ≤ dimN .
Teorema 4.0.14. Si T es un operador sim´etrico cerrado, entonces dim ker(T∗− λI) es constante para Im(λ) > 0 y constante para Im(λ) < 0.
Demostraci´on. Sea λ = α + iβ, α, β ∈ R, β 6= 0.
Afirmamos que si |λ − µ| < |β|, entonces ker(T∗−µI)∩[ker(T∗− λI)]⊥
= (0). Supongamos que esto no es as´ı. Entonces ∃f ∈ ker(T∗− µI) ∩ [ker(T∗− λI)]⊥ con kf k = 1. Por 4.0.12, ran(T − λI) es cerrado. Luego, f ∈ [ker(T∗− λI)]⊥ = ran(T − λI). Sea g ∈ dom(T ) tal que f = (T − λI)g. Dado que f ∈ ker(T∗− µI),
0 = h(T∗− µI)f, gi = hf, (T − µI)gi =f, (T − λI + λI − µI)g = kf k2+ (λ − µ) hf, gi .
Por lo tanto, 1 = kf k2 = |λ − µ| |hf, gi| ≤ |λ − µ| kgk. Pero nuevamente la proposici´on 4.0.12 implica que 1 = kf k = (T − λI)g ≥ |β| kgk, con lo cual kgk ≤ |β|
−1
.
Se sigue que 1 ≤ |λ − µ| kgk ≤ |λ − µ| |β|−1 < 1 si |λ − µ| < |β|, contradiciendo la hip´otesis. Este hecho y el lema 4.0.13, nos dicen que dim ker(T∗−µI) ≤ dim ker(T∗−λI) si |λ − µ| < |β| = |Imλ|.
Notemos que si |λ − µ| < 12|β|, entonces |λ − µ| < |Im µ|, de modo que la desigualdad contraria tambi´en es v´alida. Esto muestra que la funci´on λ 7→ dim ker(T∗−λI) es localmente constante sobre C − R. Cubriendo el semiplano superior (resp. inferior) con bolas donde se cumpla lo anterior, se llega a que dim ker(T∗− λI) es constante para Im(λ) > 0 (resp. Im(λ) < 0). Teorema 4.0.15. Si T es un operador sim´etrico cerrado, entonces ocurre una y s´olo una de las siguientes posibilidades:
1. σ(T ) = C.
2. σ(T ) = {λ ∈ C : Im(λ) ≥ 0}. 3. σ(T ) = {λ ∈ C : Im(λ) ≤ 0}. 4. σ(T ) ⊆ R.
Demostraci´on. Sea H± = {λ ∈ C : ± Im(λ) > 0}. Por 4.0.12, para λ ∈ H±, T − λI es inyectivo y
tiene rango cerrado. Luego, si T − λI es suryectivo entonces λ ∈ ρ(T ) por 4.0.11.
Sabemos que [ran(T − λI)]⊥ = ker(T∗− λI). Dado que ran(T − λI) es cerrado, se tiene que ran(T − λI) = ker(T∗− λI)⊥. Luego, T − λI es suryectivo si y s´olo si ker(T∗− λI) = (0). Dado
que σ(T ) es cerrado, el teorema anterior implica que H±⊂ σ(T ) ⇒ σ(T ) = C
H+⊂ σ(T ), H−∩ σ(T ) = ∅ ⇒ σ(T ) = H+= {λ ∈ C : Imλ ≥ 0}
H−⊂ σ(T ), H+∩ σ(T ) = ∅ ⇒ σ(T ) = H−= {λ ∈ C : Imλ ≤ 0}
H+∩ σ(T ) = ∅, H−∩ σ(T ) = ∅ ⇒ σ(T ) ⊆ R
Corolario 4.0.16. Si T es un operador sim´etrico cerrado, las siguientes condiciones son equiva-lentes:
1. T es autoadjunto. 2. σ(T ) ⊆ R.
3. ker(T∗− iI) = ker(T∗+ iI) = (0).
Demostraci´on.
1) ⇒ 2) : Si T es sim´etrico, entonces cada autovalor de T es real (Ejercicio 4.1.1). Si T es autoadjunto y λ ∈ C\R, por la proposici´on 4.0.12
(0) = ker(T − λI) = ker(T∗− λI) = ran(T − λI)⊥⇒ ran(T − λI) = H y por el teorema anterior, se deduce que σ(T ) ⊆ R.
2) ⇒ 3) : Si σ(T ) ⊆ R, ker(T∗± iI) = [ran(T ∓ iI)]⊥= H⊥= (0).
3) ⇒ 1) : Si se verifica (3), entonces esto, combinado con 4.0.12 (3) y 3.0.35, implica que T + iI es suryectivo. Sea h ∈ dom(T∗). Luego existe f ∈ dom(T ) tal que (T + iI)f = (T∗+ iI)h. Pero T∗+iI ⊇ T +iI, con lo cual (T∗+iI)f = (T∗+iI)h, siendo T∗+iI es inyectivo. As´ı h = f ∈ dom(T ),
por lo tanto, T = T∗.
Puede ocurrir que un operador sim´etrico T falla en ser autoadjunto debido a que su dominio es demasiado peque˜no, y esto puede ser rectificado mediante el aumento del tama˜no del mismo. En efecto, si T es el operador sim´etrico del ejemplo 3.0.33, entonces el operador S del ejemplo 3.0.34 es una extensi´on autoadjunta de T .
Definici´on 4.0.17. Un operador sim´etrico T definido sobre H es llamado operador sim´etrico maximal si T ⊆ S, S sim´etrico ⇒ S = T.
Proposici´on 4.0.18.
(a) Todo operador sim´etrico tiene una extensi´on sim´etrica maximal. (b) Las extensiones sim´etricas maximales son cerradas.
(c) Un operador autoadjunto es un operador sim´etrico maximal.
Demostraci´on. La prueba de (a) se deduce del Lema de Zorn. Para mostrar (b), notemos que si T es sim´etrico, entonces es clausurable.Ahora bien, la clausura de un operador sim´etrico es sim´etrica (Ejercicio 4.1.3), por lo que se deduce (b). Para la prueba de (c), sea T un operador autoadjunto, S un operador sim´etrico y T ⊆ S. Dado que S∗ ⊆ T∗, se tiene que
S ⊆ S∗ ⊆ T∗ = T ⊆ S,
con lo cual, S = T .
Observaci´on 4.0.19. La prueba de (c) muestra que cada extensi´on sim´etrica de un operador T
es una restricci´on de T∗. 4
Definici´on 4.0.20. Sea T un operador sim´etrico cerrado. Los subespacios de deficiencia de T son los espacios
L+= ker(T∗− iI) = [ran(T + iI)]⊥, L−= ker(T∗+ iI) = [ran(T − iI)]⊥.
Los ´ındices de deficiencia de T son los n´umeros n± = dimL±.
Con el fin de estudiar las extensiones sim´etricas cerradas de un operador sim´etrico, tambi´en introducimos los espacios
K+= {f ⊕ if : f ∈ L+} ,
K−= {g ⊕ (−ig) : g ∈ L−} .
As´ı, K±6 H ⊕ H. Notar que K± est´an contenidos en gra(T∗) y son las porciones del gr´afico de
T∗ que se encuentran sobre L±. El siguiente lema mostrar´a por qu´e los subespacios de deficiencia
se denominan as´ı.
Lema 4.0.21. Si T es un operador sim´etrico cerrado, entonces gra(T∗) = gra(T ) ⊕ K+⊕ K−
Demostraci´on. Sea f ∈ L+ y h ∈ dom(T ). Entonces
hh ⊕ T h, f ⊕ if i = hh, f i − i hT h, f i = −i h(T + iI)h, f i = 0,
pues L+= [ran(T + iI)]⊥. Se puede probar que gra(T ), K+y K−son ortogonales de a pares. Dado
que es claro que gra(T ) ⊕ K+⊕ K− ⊆ gra(T∗), nos queda por demostrar que la suma directa es
densa en gra(T∗).
Sea h ∈ dom(T∗) tal que h ⊕ T∗h⊥ gra(T ) ⊕ K+⊕ K−. Dado que h ⊕ T∗h⊥ gra(T ), se tiene que
0 = hh ⊕ T∗h, f ⊕ T f i = hh, f i + hT∗h, T f i, ∀f ∈ dom(T ). Luego, hT∗h, T f i = − hh, f i, con lo cual, T∗h ∈ dom(T∗) y T∗T∗h = −h. Por lo tanto, (T∗− iI)(T∗+ iI)h = (T∗T∗+ I)h = 0. As´ı, (T∗+ iI)h ∈ L+. Invirtiendo el orden de estos factores, se prueba que (T∗− iI)h ∈ L−. Pero si
g ∈ L+, 0 = hh ⊕ T∗h, g ⊕ igi = hh, gi − i hT∗h, gi = −i h(T∗+ iI)h, gi. Dado que g puede ser
tomado igual a (T∗ + iI)h, tenemos que (T∗ + iI)h = 0 o sea, h ∈ L−. An´alogamente, h ∈ L+.
Definici´on 4.0.22. Si T es un operador sim´etrico cerrado y M es una variedad lineal en dom(T∗), entonces M se dice T -sim´etrica si hT∗f, gi = hf, T∗gi, ∀f, g ∈ M. Llamaremos a la variedad M T -cerrada si {f ⊕ T∗f : f ∈ M} es cerrado en H ⊕ H.
Observaci´on 4.0.23. M es tanto T -sim´etrica como T -cerrada cuando T∗|M, la restricci´on de T∗ a M, es un operador sim´etrico cerrado; si dom(T ) ⊆ M, entonces T∗|M es una extensi´on sim´etrica
cerrada de T . 4
Lema 4.0.24. Si T es un operador sim´etrico cerrado sobre H y S es una extensi´on sim´etrica cerrada de T , entonces existe una subvariedad M T -sim´etrica y T -cerrada de L++ L−, tal que
gra(S) = gra(T ) + gra(T∗|M). (6)
Rec´ıprocamente, si M es una variedad T -sim´etrica y T -cerrada en L++ L−, entonces existe una
extensi´on sim´etrica cerrada S de T de modo tal que (6) se cumple.
Demostraci´on. Supongamos que la variedad M T -sim´etrica y T -cerrada en L++ L− est´a dada, y
sea D = dom(T ) + M. Dado que D ⊆ dom(T∗), S = T∗|D est´a bien definido. Sean f = f0+ f1,
g = g0+ g1, con f0, g0 ∈ dom(T ) y f1, g1∈ M. Entonces,
hT∗f, gi = hT∗f0+ T∗f1, g0+ g1i
= hT f0, g0i + hT f0, g1i + hT∗f1, g0i + hT∗f1, g1i .
Utilizando la T -simetr´ıa de M, la simetr´ıa de T y la definici´on de T∗, tenemos que hT∗f, gi = hf0, T g0i + hf0, T∗g1i + hf1, T g0i + hf1, T∗g1i
= hf, T∗gi .
As´ı, S = T∗|D es sim´etrico. Notar que gra(T )⊥ gra(T∗|M) en H ⊕ H. Como estos espacios son cerrados, gra(S) definido como en (6) es cerrado.
Sea ahora S una extensi´on sim´etrica cerrada de T . Ya sabemos que T ⊆ S ⊆ T∗, de modo que gra(T ) ⊆ gra(S) ⊆ gra(T∗) = gra(T ) ⊕ K+⊕ K−. Sea G = gra(S) ∩ (K+⊕ K−) y sea M el conjunto
de las primeras coordenadas de elementos en G. Se sigue que M es una variedad en L++ L− y
M ⊆ dom(S). Entonces, para f, g ∈ M, se tiene que hT∗f, gi = hSf, gi = hf, Sgi = hf, T∗gi. As´ı,
M es T -sim´etrica. Es claro que gra(T∗|M) = G, con lo cual M es T -cerrada. Si h ⊕ Sh ∈ gra(S), sea h ⊕ Sh = (f ⊕ T f ) + k, donde f ∈ dom(T ) y k ∈ K+⊕ K−. Dado que T ⊆ S, k ∈ gra(S) y as´ı,
k ∈ G. Se sigue que gra(S) = gra(T ) + gra(T∗|M).
Teorema 4.0.25. Sea T un operador sim´etrico cerrado. Si W es una isometr´ıa parcial con espacio inicial3 en L+ y espacio final4 en L−, sea
DW = {f + g + W g : f ∈ dom(T ), g ∈ L+} (7)
y definimos TW sobre DW por
TW(f + g + W g) = T f + ig − iW g. (8)
3
Se llama Espacio Inicial de un operador U al espacio ker(U )⊥.
Entonces TW es una extensi´on sim´etrica cerrada de T . Rec´ıprocamente, si S es cualquier extensi´on
sim´etrica cerrada de T , existe una ´unica isometr´ıa parcial W tal que S = TW como en (8).
Si W tiene rango finito y es una isometr´ıa parcial, entonces n±(TW) = n±(T ) − dim ran(W ).
Demostraci´on. Sea W una isometr´ıa parcial con espacio inicial I+ en L+ y espacio final I− en L−.
Definimos DW y TW como en (7) y (8). Sea M = {g + W g : g ∈ I+}; luego M es una variedad en
L++ L−. Si g, h ∈ I+, entonces hW g, W hi = hg, hi. Entonces,
hT∗(g + W g), h + W hi = hT∗g, hi + hT∗g, W hi + hT∗W g, hi + hT∗W g, W hi . Dado que g ∈ ker(T∗− iI) y W g ∈ ker(T∗+ iI),
hT∗(g + W g), h + W hi = i hg, hi + i hg, W hi − i hW g, hi − i hW g, W hi = i hg, W hi − i hW g, hi .
An´alogamente, hg + W g, T∗(h + W h)i = i hg, W hi − i hW g, hi, de modo que M es T -sim´etrica. Si {gn} ⊆ I+ y (gn+ W gn) ⊕ (ign− iW gn) −→ f ⊕ h en H ⊕ H, entonces
2ign= i(gn+ W gn) + (ign− iW gn) −→ if + h,
2iW gn= i(gn+ W gn) − (ign− iW gn) −→ if − h.
Si g = (2i)−1(if + h), entonces f = g + W g y h = ig − iW g. Luego, M es T -cerrada. Por el lema 4.0.24, TW es una extensi´on sim´etrica cerrada de T .
Para probar que n+(TW) = n+(T ) − dim(I+), sea f ∈ dom(T ), g ∈ I+. Entonces,
(TW + iI)(f + g + W g) = (T + iI)f + ig − iW g + ig + iW g
= (T + iI)f + 2ig.
Luego, ran(TW + iI) = ran(T + iI) ⊕ I+, y as´ı n+(TW) = dim(ran(TW + iI)⊥) = dim(L+ I+) =
n+(T ) − dim(I+). An´alogamente, n−(TW) = n−(T ) − dim(I−) = n−(T ) − dim(I+).
Sea ahora S una extensi´on sim´etrica cerrada de T . Por el lema 4.0.24 existe una variedad M T -sim´etrica, T -cerrada en L++ L− tal que gra(S) = gra(T ) + gra(T∗|M). Si f ∈ M, sea
f = f+ + f−, donde f± ∈ L± y ponemos I+ = {f+ : f ∈ M}. Dado que M es T -sim´etrica,
0 = hT∗f, f i − hf, T∗f i = 2i hf+, f+i − 2i hf−, f−i; entonces ||f+|| = ||f−||, ∀f ∈ M. As´ı, si
W f+ = f− cuando f = f++ f−M y si I+ es cerrado, W es una isometr´ıa parcial y se cumplen (7) y (8).
Queda por demostrar que I+es cerrado. Supongamos que {fn} ⊆ M y fn+−→ g+ en L+. Dado
que ||fn+− f+
m|| = ||fn−− fm−||, existe g−∈ L− tal que fn−−→ g−. Es claro que fn−→ g++ g−= g.
Tambi´en, T∗fn±= ±ifn± −→ ±ig±. Se sigue que g ⊕ T∗g ∈ gra(T∗|M) = gra(T∗|M); as´ı g+∈ I+.
Corolario 4.0.26. Sea T un operador sim´etrico cerrado con ´ındices de deficiencia n±.
(a) T es autoadjunto si y s´olo si n+= n−= 0.
(b) T tiene una extensi´on autoadjunta si y s´olo si n+ = n−. En este caso, el conjunto de las
extensiones autoadjuntas est´a en correspondencia natural con el conjunto de isomorfismos de L+
(c) T es un operador sim´etrico maximal que no es autoadjunto si y s´olo si n+= 0 y n−> 0 ´o n+> 0
y n−= 0.
Demostraci´on. El ´ıtem (a) es una reformulaci´on del corolario 4.0.16. Para (b), n+ = n− si y s´olo
si L+ y L− son isomorfos. Esto, a su vez, es equivalente a afirmar que existe una isometr´ıa parcial
sobre H con espacio inicial L+y espacio final L−. El ´ıtem (c) se deduce inmediatamente del teorema
anterior.
Ejemplo 4.0.27. Sea T y D como en 3.0.33; luego T es sim´etrico. El operador S del ejemplo 3.0.34 es una extensi´on autoadjunta de T . Determinemos ahora todas las extensiones autoadjuntas de T . Para hacer esto es necesario determinar L±. Ahora bien, f ∈ L± si y s´olo si f ∈ dom(T∗) y
±if = T∗f = if0, con lo cual L
± = {αe±x : α ∈ C}. Luego, n± = 1. Adem´as, los isomorfismos de
L+ en L− son de la forma Wλex = λe−x, donde |λ| = 1. Si |λ| = 1, sea
Dλ ≡f + αex+ λαe−x: α ∈ C, f ∈ D ,
Tλ(f + αex+ λαe−x) = if0+ αiex− iλαe−x,
con f ∈ D, α ∈ C.
De acuerdo al teorema 4.0.25, {(Tλ, Dλ) : |λ| = 1} son todas las extensiones autoadjuntas de T .
4.1 Ejercicios
4.1. Ejercicios
4.1.1. Si T es sim´etrico, mostrar que todos los autovalores de T son reales.
Demostraci´on. En 4.0.12 vimos que para λ = α + iβ, si β 6= 0 entonces ker(T − λI) = (0). Luego, si ker(T − λI) 6= (0) resulta λ ∈ R.
4.1.2. Si T es sim´etrico y λ, µ son autovalores distintos, mostrar que ker(T − λI)⊥ ker(T − µI). Demostraci´on. Sean λ, µ autovalores distintos de T y x ∈ ker(T − λI), y ∈ ker(T − µI) . Luego,
λ hx, yi = hλx, yi = hT x, yi = hx, T∗yi = hx, µyi = µ hx, yi
con λ 6= µ. Por lo tanto, hx, yi = 0.
4.1.3. Mostrar que la clausura de un operador sim´etrico es sim´etrica.
Demostraci´on. Ya sabemos que un operador sim´etrico es clausurable. Para todos x, y ∈ dom(T ), existen {xn}n, {ym}m⊆ Dom(T ) tales que xn−→ x, T xn−→ T x, ym −→ y y T ym−→ T y. As´ı,
T x, y = l´ım
n,mhT xn, ymi = l´ımn,mhxn, T ymi =x, T y .
4.1.4. Sea D el conjunto de todas las funciones f ∈ L2(0, ∞) tales que ∀c > 0, f es absolutamente continua sobre [0, c], f (0) = 0 y f0 ∈ L2(0, ∞). Definimos T f = if0, para f ∈ D. Mostrar que T es
un operador cerrado densamente definido y hallar dom(T∗). Mostrar que T es sim´etrico con ´ındices de deficiencia n+= 0 y n−= 1.
Demostraci´on. T es un operador densamente definido dado que D contiene a las funciones de clase C∞(0, ∞) con soporte compacto.
Veamos que T es cerrado. Supongamos que {fn} ⊆ D y fn⊕ ifn0 −→ f ⊕ g en L2⊕ L2. Sea
h(x) = −iRx
0 g(t)dt. Luego, h es absolutamente continua en [0, c], para cada c > 0. Adem´as,
|fn(x) − h(x)| = Z x 0 f0 n(t) + ig(t) dt ≤ ifn0 − g L2([0, x]),
para cada x ∈ [0, ∞). As´ı, f = h a.e, f (0) = 0 y h ∈ L2(0, ∞) pues f ∈ L2(0, ∞).
Por ´ultimo, f0(x) = −ig(x) ∈ L2(0, ∞); con lo cual f ∈ D y T f = g, como quer´ıamos probar. Veamos que
dom(T∗) =g ∈ L2(0, ∞) : ∀c > 0 g es absolutamente continua sobre [0, c] , g0 ∈ L2(0, ∞) . Dado g ∈ dom(T∗), sea h = T∗g. Luego,∀f ∈ D
Z ∞ 0 if0(x)g(x)dx = Z ∞ 0 f (x)h(x)dx.
Reemplazando por las funciones fn ∈ D definidas por fn= 1 si x ∈ [x0, t], 0 si x ≥ t + n1, x ≤ x0−n1, lineal en el resto , nos queda n Z x0 x0−n1 ig(x)dx − n Z t+1 n t ig(x)dx = Z ∞ 0 fn(x)h(x)dx.
Tomando l´ımite para n −→ ∞, se tiene
ig(x0) − ig(t) =
Z t
x0
h(x)dx,
para casi todo x0 y t. Luego, h es integrable sobre cualquier intervalo finito; con lo cual g es
absolutamente continua sobre [0, c], para cada c > 0. Adem´as, −ig0(t) = h(t) ∈ L2(0, ∞) para casi todo t y as´ı T∗g = −ig0.
Por otro lado, sea g ∈ L2(0, ∞) tal que para cada c > 0 g es absolutamente continua en [0, c] y g0 ∈ L2(0, ∞); y sea f ∈ D. Dado que T es cerrado, usando la densidad de C∞
c (0, ∞) en D y el
m´etodo de la diagonal, se sigue que existe {fn} ⊆ Cc∞(0, ∞) tal que fn−→ f y T fn−→ T f .Luego,
hT f, gi = l´ım n→∞hT fn, gi = l´ımn→∞ Z ∞ 0 ifn0(x)g(x)dx = l´ım n→∞− Z ∞ 0 ifn(x)g0(x)dx = l´ım n→∞hfn, T gi = hf, T gi .
Por lo tanto, dom(T∗) contiene a las funciones g ∈ L2(0, ∞) tales que para cada c > 0, g es absolutamente continua sobre [0, c], g0 ∈ L2(0, ∞) y T es sim´etrico.
Hallemos los ´ındices de deficiencia de T . Para ello, notemos que si f ∈ ker(T∗− iI), entonces if0− if = 0, con lo cual f (x) = αex, α ∈ C; pero f /∈ dom(T∗), por lo que ker(T∗− iI) = (0) y
as´ı n+= 0.
Por otra parte, si f ∈ ker(T∗+ iI) entonces if0+ if = 0, con lo cual f (x) = αe−x, α ∈ C, y f ∈ dom(T∗), por lo que n−= dim ker(T∗+ iI) = 1.
4.1.5. Sea E el conjunto de todas las funciones f ∈ L2(−∞, 0) tales que ∀c < 0, f es absolutamente continua sobre [c, 0], f (0) = 0 y f0 ∈ L2(−∞, 0). Definimos T f = if0, para f ∈ E . Mostrar que
T es un operador cerrado densamente definido y hallar dom(T∗). Mostrar que T es sim´etrico con ´ındices de deficiencia n+= 1 y n−= 0.
Demostraci´on. Es inmediato del ejercicio anterior.
4.1.6. Si k, l son enteros no negativos o ∞, mostrar que existe un operador sim´etrico cerrado T con n+= k y n−= l. (Sugerencia: Usar los ejercicios 4.1.4 y 4.1.5)
Demostraci´on. Consideremos primero el caso en que k y l son finitos.
Para cada i = 1, . . . , l, sea Ti el operador definido en 4.1.4, y para i = l + 1, . . . , l + k, sea Ti el
operador definido en 4.1.5. Definimos el operador
T =
k+l
M
i=1
4.1 Ejercicios
donde dom(T ) es el conjunto de vectores de la forma f = (f1, f2, . . . , fk+l), con fn ∈ dom(Tn).
Luego, T es cerrado, sim´etrico y
n±(T ) = k+l X i=1 n±(Ti). Para i = 1, . . . , l, n+(Ti) = 0 y n−(Ti) = 1 y para i = l + 1, . . . , l + k, n+(Ti) = 1 y n−(Ti) = 0. Por lo tanto, n+= k y n−= l.
Para el caso en que k = ∞ y l finito, definimos T =
∞
M
i=1
Ti, con Ti definido como en 4.1.4 para
i = 1, . . . , l y Ti como en 4.1.5 para i ≥ l + 1, donde dom(T ) es el conjunto de vectores de la forma
f = (f1, . . . , fn, . . .), con fi ∈ dom(Ti).
Luego, T es cerrado, sim´etrico y n±= ∞
X
i=1
n±(Ti). Se sigue que n+= k y n−= l.
Para el caso en que k = l = ∞, se utiliza un razonamiento similar al anterior. 4.1.7. Sea Cc2(0, 1) el conjunto de las funciones definidas sobre (0, 1) con derivada segunda continua y soporte compacto, y sea T f = −f00para f ∈ Cc2(0, 1). Mostrar que la clausura de T es un operador sim´etrico densamente definido y determinar todas sus extensiones autoadjuntas.
Demostraci´on. El hecho de que la clausura de T es un operador densamente definido se sigue de 3.0.29. Veamos que T es sim´etrico. Dadas f, g ∈ Cc2(0, 1), existen {fn} , {gm} ⊆ Cc2(0, 1) tales que
fn−→ f , T fn−→ T f , gm −→ g y T gm −→ T g. Luego, T f, g = l´ım n,mhT fn, gmi = l´ımn,m Z 1 0 −fn00gmdx = l´ım n,m Z 1 0 fn0g0 mdx = l´ım n,m Z 1 0 −fng00 mdx = l´ımn,mhfn, T gmi =f, T g .
Para estudiar las extensiones autodjuntas, recordemos que T = T∗∗. Se puede ver que dom(T∗) =f ∈ L2(0, 1) : f0es absolutamente continua en (0, 1), f00 ∈ L2(0, 1) ,
dom(T∗∗) =f ∈ L2(0, 1) : f0es absolutamente continua en (0, 1), f00∈ L2(0, 1), f (0) = 0 = f0(0) y T∗f = −f00, T∗∗f = −f00.
Determinemos L±. Ahora bien, f ∈ L± si y s´olo si f ∈ dom(T ∗ ) y −f00 ∓ if = 0. Para −f00− if = 0, se tendr´a f (x) = e( −1+i√ 2 )x, f (x) = e( 1−i√ 2)x; y para −f00+ if = 0, f (x) = e( 1+i√ 2)x, f (x) = e( −1−i√
2 )x. Por otra parte, los isomorfismos de L
+ en L− est´an dados por Wλ(z) = λz con
|λ| = 1. As´ı, si Dλ= n f + αe( −1+i√ 2 )x+ βe( 1−i√ 2)x+ λαe( −1−i√ 2 )x+ λβe( 1+i√ 2)x, α, β ∈ C, f ∈ C2 c(0, 1) o , TW(f +αe( −1+i√ 2 )x+βe( 1−i√ 2)x+λαe( −1−i√ 2 )x+λβe( 1+i√ 2)x) = −f00+iαe( −1+i√ 2 )x+iβe( 1−i√ 2)x−λαie( −1−i√ 2 )x−λβie( 1+i√ 2)x,
entonces {(TW, Dλ) : |λ| = 1} son todas las extensiones autoadjuntas de T .
4.1.8. Si T ∈ C(H), mostrar que T∗T es autoadjunto.
Demostraci´on. Sea S = I + T T∗. En el ejercicio 3.1.6 se definieron los operadores B y C mediante la ecuaci´on
h0, hi = h−T Bh, Bhi + hCh, T∗Chi
y se mostr´o que BS ⊆ I y SB = I, de modo que B es inyectivo de H en Dom(S). Si h ∈ H, entonces h = Sx para alg´un x ∈ Dom(S). Luego,
hBh, hi = hBSx, Sxi = hx, Sxi ≥ 0,
pues hx, xi + hT x, T xi = hx, xi + hx, T∗T xi = hx, Sxi . Por 2.0.17, B es autoadjunto y por 4.0.11, S es autoadjunto. Luego, T∗T = S − I es autoadjunto.
5.
La Transformada de Cayley
Consideremos la transformaci´on de M¨obius
M (z) = z − i z + i.
Esta transformaci´on aplica el semiplano superior complejo en el disco D = {z ∈ C : |z| < 1} y M (R ∪ ∞) = ∂D. Luego, si T es autoadjunto, M (T ) deber´ıa ser unitario. Supongamos que T es sim´etrico. ¿Tiene sentido M (T )? ¿Qu´e es M (T )?
Para responder estas preguntas, primero debemos investigar el significado de M (T ) si T es sim´etrico. Podemos definir M (T ) como (T − iI)(T + iI)−1. Como hemos visto en la ´ultima secci´on, ran(T + iI) no es necesariamente todo H si T no es autoadjunto. En efecto, ran(T + iI)⊥ = L+
y ran(T − iI)⊥ = L−. Sin embargo (4.0.12), si T es cerrado y sim´etrico, ran(T ± iI) es cerrado.
Adem´as, observar que si w = M (z), entonces z = M−1(w) = i1+w1−w. Teorema 5.0.9.
(a) Si T es un operador sim´etrico cerrado, con subespacios de deficiencia L±, y si U : H → H se
define tomando U = 0 sobre L+ y
U = (T − iI)(T + iI)−1 (9)
sobre L⊥+, entonces U es una isometr´ıa parcial con espacio inicial L⊥+, espacio final L⊥−, y tal que
(I − U )(L⊥+) es denso en H.
(b) Si U es una isometr´ıa parcial con espacios inicial y final M y N , respectivamente, y tal que (I − U )M es denso en H, entonces
T = i(I + U )(I − U )−1 (10)
es un operador sim´etrico cerrado, densamente definido, con subespacios de deficiencia son L+ = M⊥
y L−= N⊥.
(c) Si T est´a dado como en (a) y U est´a definido por (9), entonces T y U satisfacen (10). Si U est´a dado como en (b) y T est´a definido por (10), entonces T y U satisfacen (9).
Demostraci´on.
(a) Por 4.0.12, ran(T ± iI) es cerrado y as´ı L⊥± = ran(T ± iI). Adem´as, ker(T + iI) = (0), con lo
cual (T +iI)−1est´a bien definido sobre L⊥+. M´as a´un, (T +iI)−1L⊥
+⊆ dom(T ), por lo que U definido
por (9) tiene sentido y da un operador bien definido. Si h ∈ L⊥+, entonces h = (T + iI)f para un ´
unico f ∈ dom(T ). Entonces, ||U h||2 = ||(T − iI)f ||2 = ||T h||2 + ||f ||2 = ||(T + iI)f ||2 = ||h||2. Luego, U es una isometr´ıa parcial, ker(U )⊥ = L⊥+ y ran(U ) = L⊥−. Una vez m´as, si f ∈ dom(T ) y h = (T + iI)f , entonces (I − U )h = h − (T − iI)f = (T + iI)f − (T − iI)f = 2if . Luego, (I − U )L⊥+= dom(T ) y es denso en H.
(b) Sea U es una isometr´ıa parcial como indica (b). Se sigue que ker(I − U ) = (0). En efecto, si f ∈ ker(I − U ) entonces U f = f , con lo cual ||f || = ||U f || y as´ı f ∈ M.Dado que U∗U es la proyecci´on sobre M, resulta f = U∗U f = U∗f , con lo cual f ∈ ker(I − U∗) = [ran(I − U )]⊥ ⊆ [(I − U )M]⊥ = (0), por hip´otesis. Luego, f = 0 y el operador I − U es inyectivo.
Sea D = (I − U )M y definimos (I − U )−1 sobre D. Dado que I − U es acotado, gra(I − U )−1 es cerrado. Si T est´a definido como en (10), se sigue que T es un operador cerrado densamente definido. Si f, g ∈ D, sea f = (I − U )h y g = (I − U )k, con h, k ∈ M. Entonces,
hT f, gi = i h(I + U )h, (I − U )ki
= i [hh, ki + hU h, ki − hh, U ki − hU h, U ki] .
Dado que h, k ∈ M, hU h, U ki = hh, ki; entonces hT f, gi = i [hU h, ki − hh, U ki]. De manera similar, hf, T gi = −i h(I − U )h, (I + U )ki = −i [hh, U ki − hU h, ki] = hT f, gi. Luego, T es sim´etrico.
Por ´ultimo, si h ∈ M y f = (I −U )h, entonces (T +iI)f = T f +if = i(I +U )h+i(I −U )h = 2ih. As´ı, ran(T + iI) = M. An´alogamente, (T − iI)f = i(I + U )h − i(I − U )h = 2iU h, de modo que ran(T − iI) = ran(U ) = N .
(c) Supongamos que T est´a dado como en (a) y U est´a definido como en (9). Si g ∈ (I − U )L⊥+, tomamos g = (I − U )h, donde h ∈ L⊥+ = ran(T + iI). Entonces h = (T + iI)f , para alg´un f ∈ dom(T ). Luego, g = h − U h = (T + iI)f − (T − iI)f = 2if ; con lo cual f = −12ig. Adem´as,
i(I + U )(I − U )−1g = i(I + U )h = i [h + U h]
= i [(T + iI)f + (T − iI)f ] = 2iT f
= T g. Por lo tanto, (10) se cumple.
Por ´ultimo, supongamos que U est´a definido como en (b) y T est´a definido por (10). Para f = (I −U )h, h ∈ L⊥+vimos que (T +iI)f = 2ih y (T −iI)f = 2iU h, con lo cual U (T f +if ) = T f −if
y as´ı se cumple (9).
Definici´on 5.0.10. Si T es un operador sim´etrico cerrado, la isometr´ıa parcial U definida por (9) es llamada Transformada de Cayley de T .
Corolario 5.0.11. Si T es un operador autoadjunto y U es su transformada de Cayley, entonces U es un operador unitario con ker(I − U ) = (0). Rec´ıprocamente, si U es unitario y 1 no es su autovalor, entonces el operador T definido por (10) es autoadjunto.
Demostraci´on. Si T es un operador sim´etrico, entonces T es autoadjunto si y s´olo si L±= (0). Una
isometr´ıa parcial es un operador unitario si y s´olo si sus espacios inicial y final son todo H. Una de las utilidades de la transformada de Cayley es el estudio de operadores autoadjuntos mediante el uso de la teor´ıa de operadores unitarios. De hecho, los resultados anteriores dicen que hay una correspondencia biun´ıvoca entre los operadores autoadjuntos y el conjunto de operadores unitarios sin el 1 como un valor propio.
5.1 Ejercicios
5.1. Ejercicios
5.1.1. Si U es una isometr´ıa parcial, mostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes: (a) ker(I − U ) = (0).
(b) ker(I − U∗) = (0). (c) ran(I − U ) es denso. (d) ran(I − U∗) es denso. Demostraci´on.
a) ⇒ b) : Supongamos que ker(I − U ) = (0) y sea h ∈ ker(I − U∗). Luego, h = U∗h. En particular, h ∈ ran(U∗), con lo cual h ∈ ker(U )⊥ y de la igualdad anterior se sigue que
U∗U h = U∗h. (11)
Por otra parte, h ∈ ran(U ). En efecto, si escribimos h = h1⊕h2con h1 ∈ ker(U∗) y h2∈ ker(U∗)⊥,
resulta U∗h = U∗h2. Luego, ||h|| = ||U∗h|| = ||U∗h2|| = ||h2||. As´ı, h1 = 0 y h ∈ ker(U∗)⊥. Por lo
tanto, de (11) se sigue que U U∗(U h − h) = 0 y as´ı, U h − h = 0, con lo cual h ∈ ker(I − U ) = (0). b) ⇒ c) : Es inmediato de la proposici´on 3.0.35.
c) ⇒ d) : Se sigue de aplicar el teorema 3.0.35 y a) ⇒ b). d) ⇒ a) : Es inmediato.
5.1.2. Sea U una isometr´ıa parcial con espacios inicial y final M y N , respectivamente. Mostrar que las siguientes condiciones son equivalentes:
(a) (I − U )M es denso. (b) (I − U∗)N es denso. (c) ker(U∗− U∗U ) = (0).
(d) ker(U − U U∗) = (0). Demostraci´on.
a) ⇒ b) : Supongamos que (I − U )M es denso y sea x ∈ ((I − U∗)N )⊥. Luego, hx, (I − U∗)yi = 0, para todo y ∈ ran(U ). As´ı,
0 = hx, yi − hx, U∗yi = hx, U U∗yi − hx, U∗yi
pues y ∈ ker(U∗)⊥y U∗es isometr´ıa parcial. Por lo tanto, hx, (I − U )U∗yi = 0, con U∗y ∈ ker(U )⊥. Por hip´otesis, x = 0.
b) ⇒ c) : Sea (I − U∗)N denso y x ∈ ker(U∗− U∗U ). Luego, U∗x − U∗U x = 0. Notemos que, para y ∈ dom(U ), hx, (I − U∗)U yi = hx, U y − U∗U yi = hx, U yi − hx, U∗U yi = hU∗x, yi − hU∗U x, yi = hU∗x − U∗U x, yi = 0 Por lo tanto, x = 0.
c) ⇒ d) : Supongamos que ker(U∗− U∗U ) = (0) y sea x ∈ ker(U − U U∗). Luego, U x − U U∗x = 0,
con lo cual, 0 = U∗U x − U∗U U∗x = U∗U x − U∗x. Por lo tanto, x ∈ ker(U∗− U∗U ) = (0). d) ⇒ a) : Supongamos que ker(U − U U∗) = (0) y sea hx, (I − U )yi = 0, ∀y ∈ ker(U )⊥. Entonces,
0 = hx, yi − hx, U yi = hx, U∗U yi − hx, U yi = hU∗U x, yi − hU∗x, yi ,
∀y ∈ ker(U )⊥, con lo cual, U∗U x − U∗x ∈ ker(U ). Luego, 0 = U U∗U x − U U∗x = U x − U U∗x, con lo cual x ∈ ker(U − U U∗) = (0).
5.1.3. Hallar una isometr´ıa parcial U tal que ker(I − U ) = (0) pero que (I − U )ker(U )⊥ no sea denso.
Demostraci´on. Sea U el operador shift de multiplicidad 1, definido en 3.1.1. Si α = (αn)n∈N,
entonces U α = (0, α1, α2, α3, . . .).
El operador U es una isometr´ıa parcial. En efecto, ker(U ) = (0) y ∀α ∈ l2,
kU αk2=X
n∈N
|αn|2 = kαk2.
Por otra parte, si α − U α = 0, entonces
(α1, α2− α1, α3− α2, . . .) = 0,
con lo cual, α = 0 y ker(I − U ) = (0).
Por ´ultimo, notemos que si α ∈ ker(U∗(I − U )), entonces U∗((α1, α2− α1, . . .)) = 0. Luego,
(α2− α1, α3− α2, . . .) = 0. Por lo tanto, ker(U∗(I − U )) 6= (0), y por lo visto en el ejercicio 5.1.2,
(I − U )ker(U )⊥ no es denso.
5.1.4. Si A es un operador sim´etrico, cerrado, densamente definido y B y C son los operadores definidos en el ejercicio (3.1.6), verificar que la transformada de Cayley de A es una extensi´on de (C − iB)(C + iB)−1.
Demostraci´on. Notemos que C − iB = AB − iB = (A − iI)B, (C + iB)−1 = B−1(A + iI)−1 y que si h ∈ dom((C − iB)(C + iB)−1), entonces h ∈ ran(A − iI) = L⊥+. Luego, para cada h ∈ dom((C − iB)(C + iB)−1),
(C − iB)(C + iB)−1h = (A − iI)BB−1(A + iI)−1h = (A − iI)(A + iI)−1h = U h.
5.1.5. Hallar la transformada de Cayley del operador del ejemplo 3.0.31 cuando cada αn es real.
5.1 Ejercicios
Demostraci´on. Sea (αn)n ⊆ R y T el operador definido en 3.0.31. Luego, Si h = (λ1, λ2, λ3, . . .),
entonces T h = (α1λ1, α2λ2, α3λ3, . . .). As´ı, (T + iI)h = ((α1+ i)λ1, (α2+ i)λ2, (α3+ i)λ3, . . .) y
(T + iI)−1h = ( 1 α1+ i λ1, 1 α2+ i λ2, 1 α3+ i λ3, . . .)
Adem´as, (T − iI)h = ((α1− i)λ1, (α2− i)λ2, . . .); con lo cual, la transformada de Cayley de T
est´a dada por
U h = (α1− i α1+ i λ1, α2− i α2+ i λ2, α3− i α3+ i λ3, . . .). 5.1.6. Hallar la transformada de Cayley del operador del ejemplo 3.0.32 cuando φ es a valores reales.
Demostraci´on. Sea φ una funci´on a valores reales y T el operador definido en 3.0.32. Entonces, (T + iI)f = (φ + i)f y (T + iI)−1f = φ+i1 f .
Adem´as, (T − iI)f = (φ − i)f ; con lo cual, la transformada de Cayley de T es U f = φ − i
φ + if.
5.1.7. Sea S el operador shift unilateral de multiplicidad 1. Hallar el operador sim´etrico T tal que S sea la transformada de Cayley de T .
Demostraci´on. Ya vimos que S es una isometr´ıa parcial y que I − S es inyectivo; de modo que el teorema 5.0.9 garantiza la existencia de un operador T sim´etrico cuya transformada de Cayley es S. Notemos que para α = (α1, α2, . . .), (I − S)α = (α1, α2− α1, . . .) con lo cual,
(I − S)−1α = (α1, α1+ α2, . . . , n
X
i=1
αk, . . .).
Adem´as, (I + S)α = (α1, α1+ α2, . . .), de modo que
T α = i(I + S)(I − S)−1α = i(α1, α2+ 2α1, . . . , αn+ 2 n−1 X k=1 αk, . . .) y dom(T ) =(αn)n∈N: |α1|2+ |α1+ α2|2+ . . . |Pnk=1αk|2+ . . . < ∞ 5.1.8. Sea U = S∗, donde S es el operador shift unilateral con multiplicidad 1. ¿Es U la transfor-mada de Cayley de un operador sim´etrico T ? De ser as´ı, hallarlo.
Demostraci´on. Recordemos que el operador U est´a definido como en 3.1.1.Es f´acil ver que I − U no es inyectivo. Luego, U no puede ser la transformada de Cayley de un operador sim´etrico. En efecto, si U es la transformada de Cayley de un operador T y (I − U )x = 0; llamando y = (T + iI)−1x se tiene que x = U x = (T − iI)y, con lo cual, (T + iI)y = (T − iI)y y as´ı, y = 0. Luego, x = 0.
Bibliograf´ıa
[C] Conway J.; A course in Functional Analysis.Graduate Texts in Mathematics 96. Springer-Verlag, New York, 1990.
[RS] Reed M., Simon B.; Methods of modern mathematical physics I. 1980. [R] Rudin W.; Functional Analysis. 1973.
[P] Pedersen G.; Analysis Now. Graduate Texts in Mathematics 118. Springer-Verlag, New York, 1989.
[B] Br´ezis H.; An´alisis Funcional. 1983.
[L] J.M. Lindsay [1984]. A family of operators with everywhere dense graph. Expos. Alath., 2, 375-378.
