Estado Biaxial de Esfuerzos

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(1)

Estado Biaxial de

Estado Biaxial de

Esfuerzos

Esfuerzos

Deniciones Deniciones

Si dos caras paralelas de un elemento prismático, representativo Si dos caras paralelas de un elemento prismático, representativo del estado de esfuerzos en un sólido, están LIBRES DE del estado de esfuerzos en un sólido, están LIBRES DE ESFUERZ se

ESFUERZ se presenpresentan tan EL ES!EL ES!"D #L"$ DE ESFU"D #L"$ DE ESFUERZS%ERZS%

Seleccionemos al e&e z como el e&e perpendicular a las caras Seleccionemos al e&e z como el e&e perpendicular a las caras li'res de esfuerzo%

li'res de esfuerzo%

La matriz de esfuerzos, es( La matriz de esfuerzos, es(

                               ==  z  z  zy  zy  zx  zx  yz  yz  y  y  yx  yx  xz  xz  xy  xy  x  x σ  σ  τ  τ  τ  τ  τ  τ  σ  σ  τ  τ  τ  τ  τ  τ  σ  σ  σ  σ 

)ue para el caso, puede )ue para el caso, puede representarse( representarse(

 

  

 

 

 

 

 



 

 

 

 

==

 y  y  yx  yx  xy  xy  x  x σ  σ  τ  τ  τ  τ  σ  σ  σ  σ 

*+atriz representativa del estado plano de *+atriz representativa del estado plano de esfuerzos%

(2)

Esfuerzos del estado Esfuerzos del estado plano con si-no positivo plano con si-no positivo *.$/E$I% *.$/E$I% Transformación de Esfuerzos Transformación de Esfuerzos Bidireccionales Bidireccionales

El estado plano de esfuerzos es 'astante usado 0 1til, por cuanto El estado plano de esfuerzos es 'astante usado 0 1til, por cuanto apro2imadamente corresponde a innumera'les situaciones f3sicas apro2imadamente corresponde a innumera'les situaciones f3sicas de inter4s en In-enier3a%

de inter4s en In-enier3a%

En esta sección estudiaremos las ecuaciones de transformación de En esta sección estudiaremos las ecuaciones de transformación de esfuerzos, cuando se cam'ia el sistema de coordenadas de esfuerzos, cuando se cam'ia el sistema de coordenadas de referencia% Sólo analizaremos el caso de rotación de coordenadas, referencia% Sólo analizaremos el caso de rotación de coordenadas, de&ando el e&e 5z6 invariante%

(3)

 

 

 

 

 

 

 

=

0 0 0 0 0 ´ ' ' ' ' ' '  y  y  x  y  x  x σ  τ  τ  σ  σ 

La matriz transformación de coordenadas es(

                 θ θ − θ θ = → 1 0 0 0 cos sen 0 sen cos  A

(4)

La matriz de esfuerzos en el sistema rotado, se e2presa por T  A  A '= σ σ  Lue-o(                  θ θ θ − θ                  σ τ τ σ                  θ θ − θ θ =                  σ τ τ σ 1 0 0 0 cos sen 0 sen cos 0 0 0 0 0 1 0 0 0 cos sen 0 sen cos 0 0 0 0 0 y yx xy x ' y ' y ' x ' y ' x ' x

Desarrollando los productos matriciales, e identi7cando los respectivos elementos, tenemos(

(

)

(

)

( )* cos 2 cos cos cos cos 2 cos 2 2 ' 2 2 ' ' 2 2 ' θ  θ  τ  θ  σ  θ  σ  σ  θ  θ  τ  θ  θ  σ  σ  τ  θ  θ  τ  θ  σ  θ  σ  σ   sen  sen  sen  sen  sen  sen  xy  y  x  y  xy  x  y  y  x  xy  y  x  x − + = − + − = + + =

(5)

Esfuerzos Principales

Ecuación caracter3stica( 0

=

λ  σ  τ  τ  λ  σ   y  xy  xy  x

Desarrollando el determinante o'tenemos(

(

x y

)

(

x y xy2

)

0

2 σ + σ λ + σ σ τ =

λ

.onviene e2presar las ecuaciones en t4rminos del

án-ulo do'le( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )** 2 2 cos 2 1 2 1 2 cos 2 2 1 2 2 cos 2 1 2 1 ' ' ' ' θ  τ  θ  σ  σ  σ  σ  σ  θ  τ  θ  σ  σ  τ  θ  τ  θ  σ  σ  σ  σ  σ   sen  sen  sen  xy  y  x  y  x  y  xy  y  x  y  x  xy  y  x  y  x  x − − − + = + − − = + − + + =

Las ecuaciones o sus e8uivalentes son las ecuaciones de

transformación de esfuerzos planos por rotación de coordenadas% Nota(

'servar 8ue primer invariante de esfuerzos *sumar la primera 0 tercera de las ecuaciones 

(6)

Ra3ces caracter3stica( ( ) ( ) 2 4 2 2 1  xy  y  x  y  x σ  σ  σ  τ  σ  λ  = + + − + ( ) ( ) 2 4 2 2 2  xy  y  x  y  x σ  σ  σ  τ  σ  λ  = + − − +

Los Esfuerzos #rincipales, son(

( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 4 2 2 2 2 2 1  xy  y  x  y  x  xy  y  x  y  x τ  σ  σ  σ  σ  σ  τ  σ  σ  σ  σ  σ  + − − + = + − + + =

(7)

0 ' y ' x

=

τ

*.ondición para Esfuerzos #rincipales%

( )sen2 cos2 0 2 1 p xy p y x −σ θ +τ θ = σ − → de donde o'tenemos(  y  x  xy  p σ  σ  τ  θ  − = 2 2 tan

(8)

De7nición

Las direcciones 2:, 0: a lo lar-o de las cuales act1an los esfuerzos principales se denominan Direcciones #rincipales% Los planos donde act1an los esfuerzos principales, se denominan #lanos #rincipales% Estado Inicial 2 ;: Direcciones #rincipales

(9)

Esfuerzo Cortante Máximo.

Efectuada la rotación de coordenadas, el esfuerzo cortante es

(

σ  σ 

)

θ  τ  θ  τ  2 cos2 2 1 ' ' y  x  y xy  x = − − sen +

#ara <allar su valor má2imo, <acemos 0 d d x'y' = θ τ de donde o'tenemos xy y x s 2 2 tan τ σ − σ − = θ

(10)

La ma-nitud del má2imo Esfuerzo .ortante, es(

(

)

             − +               − − − =  xy  x  y  xy  xy  x  y  y  x  MÁX  sen τ  σ  σ  τ  τ  σ  σ  σ  σ  τ  2 arctan cos 2 arctan 2 1

Evaluando la composición de funciones, tenemos(

(

 y  x

)

xy  xy  x  y  MÁX  2 2 2 2 4 2 1 2 τ  σ  σ  τ  σ  σ  τ     + = − +          − =

(11)

(

 y  x

)

2 2xy 2 1 σ  σ  σ  4τ  σ 

=

+

En consecuencia( 2 2 1 MÁX σ − σ = τ

*.oincidente con las e2presiones para el caso -eneral% Notas y x xy p 2 2 tan σ − σ τ = θ ( ) xy y x s 2 2 tan τ σ − σ − = θ *Esfuerzos #rincipales *Esfuerzo .ortante +á2imo

(12)
(13)

>% En un elemento c1'ico 8ue está sometido al Estado #rincipal de Esfuerzos *'idimensionales, los esfuerzos cortantes se presentan en los planos dia-onales%

(14)

?% So're los planos de Esfuerzo .ortante +á2imo, act1an esfuerzos normales, cu0as intensidades son(

                 +                                +            +

=

 xy  x  y  xy  xy  x  y  y  x  y  x  x sen τ  σ  σ  τ  τ  σ  σ  σ  σ  σ  σ  σ  arctan -2 -arctan cos 2 1 2 1 -' Simpli7cando se o'tiene            +σ σ = σx' x y 2 1

De manera similar, tenemos(

( ) ( )                    −                    − − + =  xy  x  y  xy  xy  x  y  y  x  y  x

 y arc  sen arc

τ  σ  σ  τ  τ  σ  σ  σ  σ  σ  σ  σ  tan 2 tan cos 2 1 -2 1 -' Simpli7cando se o'tiene ( x y) ' y 2 1 σ σ = σ +

(15)

          σ +σ = σx' y x 2 1           

σ

+

σ

=

σ

y' y x 2 1 0 2 2 90 2 2 tan 1 2 1 2 + = +            − − − = = S  S   xy  y  x  s  xy  x  y  MAX  θ  θ  τ  σ  σ  θ  τ  σ  σ  τ 

(16)

Ejercicios

#ara el estado plano de esfuerzos representado, determinar( i Los planos principales

ii Los esfuerzos principales

iii El má2imo esfuerzo cortante 0 sus correspondientes esfuerzos normales             − = σ 10 40 40 50 *+#a i #lanos #rincipales(

( ) ( ) 3 4 10 50 40 2 2 2 tan = − − = − =  y  x  xy  p σ  σ  τ  θ  50 MPa 40 MPa 10 MPa 40 MPa

(17)

0 1 P 53.1 2θ = 0 2θP2 =180+53.10 = 233.10 0 1 P

=

26.6

θ

0 2 P 116.6 2θ = 0 ii Esfuerzos #rincipales( MPa 30 40 2 10 50 2 10 50 2 2 MPa 70 40 2 10 50 2 10 50 2 2 2 2 2 2 xy 2 y x y x 2 2 2 1 2 xy 2 y x y x 1 − = +            + − − = σ τ +           σ σ − σ σ = σ = +            + + − = σ τ +           σ σ + σ σ = σ − + − +

(18)

iii  : MAX τ ( ) 50MPa 2 30 70 2 2 1 MÁX = − − = σ − σ = τ *.oincide con 2  xy 2 y x MAX 2    +τ       σ −σ = τ Esfuerzos $ormales correspondientes( ( x y) y x 2 1 , , σ σ σ σ = = + MPa 20 , , y x = σ = σ Direcciones de @+"; ( xy y x s 2 2 tan τ σ σ − = θ − ( ) ( ) 0 0 0 2 s 0 1 s s 565 . 71 435 . 18 0 435 . 18 , !"e#o , 4 3 40 2 10 50 2 tan = − = θ − = θ − = − − − = θ

(19)

Los esfuerzos principales en un punto de un sólido son A

0 C l'pul->% allar los esfuerzos 8ue act1an en dirección

de unos e&es 8ue forman un án-ulo de ?, en sentido

<orario, con los e&es principales%

0

2

! "!

(20)

             = σ 500 0 0 1000             σ τ τ σ = σ , , , , , , y y x y x x , *Estado inicial *Estado Rotado Usamos las Ecuaciones(

( ) ( ) ( ) ( ) ( σ  σ ) θ  τ  θ  τ  θ  τ  θ  σ  σ  σ  σ  σ  θ  τ  θ  σ  σ  σ  σ  σ  cos 2 2 1 2 cos 2 1 2 1 2 cos 2 1 2 1 , , , ,  xy  y  x  y  x  xy  y  x  y  x  y  xy  y  x  y  x  x  sen  sen  sen + − = − − = + + = − − + − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 500) ( )60 0 2 1 0 60 cos 500 2 1 1500 2 1 0 60 cos 500 2 1 1500 2 1 , , , , + − − − = + − − = + − + =  sen  y  x  y  x τ  σ  σ 

(21)
(22)

El estado de esfuerzo plano en un punto so're un cuerpo se muestra en el elemento de la 7-ura% Representar este estado de esfuerzo en t4rminos de los esfuerzos principales

De acuerdo con la convención de si-nos esta'lecida%

 y  x  xy  p σ  σ  τ  θ  − = 2 2 tan "l aplicar la ecuación

(23)
(24)

Esfuerzos principales ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 4 2 2 2 2 2 1  xy  y  x  y  x  xy  y  x  y  x τ  σ  σ  σ  σ  σ  τ  σ  σ  σ  σ  σ  + − − + = + − + + =

(25)

Figure

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