Durante el ensayo de tracción de una probeta de acero estirado en frío de diámetro 13mm y longitud 5cm se han obtenido los siguientes datos:
Carga axial (N) Alargamiento de la longitud patrón (cm)
0 0
8300 0,0015
13800 0,0025
26400 0,0045
Determinar:
a) El módulo de Elasticidad del material.
b) Alargamiento que experimenta una barra cilíndrica de 6cm de diámetro y 50cm de longitud del mismo material al aplicar a sus extremos una carga de 50000N, suponiendo que no haya superado el límite de elasticidad.
a.
Se podría considerar una carga baja, que cumpla la ley de Hooke. Podemos calcular la media aritmética de los valores centrales2 1 4 6 8 ε ( x10 ) 4 2 0,5 1 1,5 3 5 7 9 x108
1
(
2)
m
N
ε
σ
=
E
(
N
m
2)
A
F
=
σ
ε
2,08 · 1011 0,62 · 108 3 · 10-4 2,06 · 1011 1,03 · 108 5 · 10-4 2,2 · 1011 1,98 · 108 9 · 10-4 2 11m
N
10
07
,
2
⋅
=
medioE
410
4
⋅
−=
medioε
b.
El alargamiento experimentado por la barra de las dimensiones especificadas se obtiene o o o oA
l
l
F
l
l
A
F
E
⋅
∆
⋅
=
∆
=
=
ε
σ
Despejando∆
l
nos quedao o
A
E
l
F
l
⋅
⋅
=
∆
Antes calculamos la sección de la barra
2 2 2
cm
2
,
28
4
6
4
=
⋅
=
⋅
=
π
D
π
A
omm
042
,
0
m
10
2
,
4
10
07
,
2
10
2
,
28
10
50
10
5
5 11 4 2 4=
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
∆
− − o oA
E
l
F
l
Un latón tiene un módulo de elasticidad E = 120·109 N/m2 y un límite elástico de 250·106 N/m2. Si disponemos de una varilla de dicho material de 10mm2 de sección y 100 mm de longitud, de la que suspendemos verticalmente una carga en su extremo de 1500N, se pide:
a) ¿Recuperará el alambre su longitud primitiva si se retira la carga?. b) ¿Cuál será el alargamiento unitario y total en estas condiciones?. c) ¿Qué diámetro mínimo habrá de tener una barra de este material
pa-ra que sometida a una carga de 8.104N no experimente deforma-ción permanente.
a.
Calculamos la tensión de tracción aplicada a la varilla. 2 8 61
,
5
10
N
m
10
10
1500
=
⋅
⋅
=
=
− oA
F
σ
Como el valor obtenido es inferior al límite elástico, la varilla recuperará la lon-gitud primitiva.
b.
El alargamiento unitario será3 3 9 8
10
25
,
1
10
120
150
10
120
10
5
,
1
=
⋅
−⋅
=
⋅
⋅
=
=
E
σ
ε
y el alargamiento totalmm
125
,
0
mm
10
25
,
1
100
10
25
,
1
⋅
3⋅
=
⋅
1=
=
⋅
=
∆
− − ol
l
ε
c.
Calculamos la sección mínima, que vendrá determinada por el límite elástico 2 4 6 4m
10
2
,
3
10
250
10
8
=
⋅
−⋅
⋅
=
=
E mínF
A
σ
El diámetro mínimo será consecuencia del valor anterior obtenido
mm
18
,
20
m
02018
,
0
10
2
,
3
4
4
4=
=
⋅
⋅
=
⋅
=
−π
π
minA
D
de la barra
mm de diámetro y 100mm de distancia en-tre puntos, es sometida a un ensayo de tracción, experimentando, en un de-terminado instante, un incremento de longitud de 3x10-3mm. Si el módulo de Young del material es 21,5x105 Kgf/cm2, determine:
a) El alargamiento unitario. b) La tensión unitaria en KN/m2.
c) La fuerza actuante en dicho instante en N.
a.
El alargamiento unitario 5 310
3
100
10
3
⋅
−=
⋅
−=
∆
=
ol
l
ε
b.
La tensión unitaria enkN/m
2 2 2 6 5 4 5m
KN
6321
m
N
10
32
,
6
10
3
10
8
,
9
10
5
,
21
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
=
⋅
=
− − −ε
σ E
c.
Anteriormente al cálculo de la fuerza actuante necesitamos calcular la sección(
)
4 2 2 3 2 2m
10
5
,
1
4
10
8
,
13
4
− −⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
⋅
=
π
r
π
D
π
A
oAhora calculamos la fuerza actuante
N
15
,
948
10
5
,
1
10
321
,
6
⋅
6⋅
⋅
4=
=
⋅
=
− oA
F
σ
Una barra normalizada de 13,8
Una pieza de 300mm de longitud tiene que soportar una carga de 5000N sin experimentar deformación plástica. Elija el material más adecuado entre los tres propuestos para que la pieza tenga un peso mínimo.
Material Límite elástico (Mpa) Densidad (g/cm3)
Latón 345 8,5
Acero 690 7,9
Aluminio 275 2,7
Se calcula la sección de cada material según la fuerza aplicada y su límite elástico
2 5
m
10
45
,
1
MPa
KN
345
5
⋅
=
⋅
−=
=
Latón LatónF
A
σ
2 6m
10
25
,
7
MPa
KN
690
5
⋅
=
⋅
−=
=
Acero AceroF
A
σ
2 5m
10
8
,
1
MPa
KN
275
5
⋅
=
⋅
−=
=
Aluminio AluminioF
A
σ
Calculamos la masa de cada uno de los materiales en función de la longitud re-querida y las secciones obtenidas.
g
97
,
36
10
5
,
8
3
,
0
10
45
,
1
⋅
5⋅
⋅
⋅
6=
=
⋅
⋅
=
⋅
=
ρ
ρ
−l
A
V
m
Latóng
18
,
17
10
9
,
7
3
,
0
10
25
,
7
⋅
6⋅
⋅
⋅
6=
=
⋅
⋅
=
ρ
−l
A
m
Acerog
72
,
14
10
7
,
2
3
,
0
10
8
,
1
⋅
5⋅
⋅
⋅
6=
=
⋅
⋅
=
ρ
−l
A
m
AluminioUna barra cilíndrica de acero con un límite elástico de 325Mpa y con un mó-dulo de elasticidad de 20,7 x 104 Mpa se somete a la acción de una carga de 25000 N. Si la barra tiene una longitud inicial de 700mm, se pide:
a) ¿Qué diámetro ha de tener si se desea que no se alargue más de 0,35mm?
b) Explique si, tras eliminar la carga, la barra permanece deformada?
a.
La sección de la barra en función de las condiciones establecidas 2 4 4 3 3 3m
10
4
,
2
10
7
,
20
10
35
,
0
10
700
10
25
− − − −⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
∆
⋅
=
E
l
l
F
A
o opor lo que el diámetro
mm
5
,
17
m
0175
,
0
10
4
,
2
4
4
4
4 2=
=
⋅
⋅
=
⋅
=
⇒
⋅
=
−π
π
π
D
D
A
A
b.
Calculamos la tensión de tracción para compararla con el límite elásticoMPa
104
Pa
10
4
,
10
10
4
,
2
10
25
7 4 3=
⋅
=
⋅
⋅
=
=
−A
F
σ
Como la tensión de tracción
σ
=
104
MPa
es menor que el límite elásticoMPa
325
=
E
σ
, al eliminar la carga la barra no permanece deformada y volve-rá a su posición inicial.Una aleación de cobre tiene un módulo de elasticidad E = 12600Kgf/mm2 y un límite elástico de 26Kgf/mm2. Se pide:
a) La tensión unitaria necesaria para producir, en una barra de 400mm de longitud, un alargamiento elástico de 0,36mm.
b) ¿Qué diámetro ha de tener una barra de este material para que, so-metida a un esfuerzo de tracción de 8000Kgf, no experimente de-formaciones permanentes?
a.
Calculamos el alargamiento unitario de la forma 4 10 9 400 36 , 0 = ⋅ − = ∆ = o l l εy obtenemos a continuación la tensión unitaria
2 4
mm
kgf
34
,
11
10
9
12600
⋅
⋅
=
=
⋅
=
ε
−σ E
b.
Calculamos la sección despejando de la expresión del límite elásticoA
F
E=
σ
2mm
7
,
307
26
8000 =
=
=
EF
A
σ
El diámetro mínimo serámm
79
,
19
3
,
307
4
4
4
2=
⋅
=
⋅
=
⇒
⋅
=
π
π
π
D
D
A
A
En el diagrama de tracción adjunto, la figura pequeña corresponde a la re-gión ampliada del origen de coordenadas. Dicho gráfico se ha obtenido de un ensayo de tracción efectuado a una probeta cilíndrica de una aleación de aluminio. Sabiendo que, inicialmente, la probeta tenía un diámetro de 10mm y una longitud de 75mm, calcule:
a) Módulo de elasticidad.
b) El alargamiento, al aplicar una carga de 13500N.
c) La carga máxima que puede soportar esta probeta sin que se deforme permanentemente.
a.
Observando el detalle realizado en la gráfica podemos determinar aproxima-damente que el límite elástico tiene un valor de 200MPa, valor al que le
corres-pondería una deformación de 0,032300 200 100 00 0,005 0,010 MPa 0,032
Podemos calcular el módulo de elasticidad, de la forma
2
m
MN
62500
Pa
62500
Mpa
032
,
0
200
=
=
=
=
ε
σ
E
b.
Para calcular el alargamiento, primeramente calcularemos la sección de la pro-beta 2 5 2 2 2m
10
85
,
7
mm
53
,
78
4
10
4
−⋅
=
=
⋅
=
⋅
=
π
D
π
A
Deformación T e n s ió n (M P a ) 400 300 200 100 0 0 0,05 0,10 0,15 0,20 300 200 100 00 0,005 0,010 MPa7
c.
Según la gráfica, podemos determinar que, el límite elástico se encuentra en250
MPa, aproximadamente,
Deformación T ens ió n ( M P a ) 400 300 200 100 0 0 0,05 0,10 0,15 0,20 σΕpor lo que la máxima carga aplicable será
N
19625
10
85
,
7
10
250
⋅
6⋅
⋅
5=
=
⋅
=
−A
F
σ
ECalcule el diámetro del vástago de un cilindro que debe soportar una fuerza de 5000Kg fabricado en acero de tensión admisible 30Kg/mm2. (La carrera del cilindro no excederá de 100mm para que no exista pandeo).
La sección del cilindro deberá ser
2
mm
6
,
166
30
5000 =
=
=
EF
A
σ
por lo que el diámetromm
56
,
14
6
,
166
4
4
⋅
=
⋅
=
=
π
π
A
D
8
2 8 51
,
78
10
N
m
10
85
,
7
13500
=
⋅
⋅
=
=
−A
F
σ
El alargamiento unitario será3 6 8 10 75 , 2 10 62500 10 718 , 1 = ⋅ − ⋅ ⋅ = = E σ ε y el alargamiento total
mm
21
,
0
75
10
75
,
2
⋅
3⋅
=
=
⋅
=
∆
− ol
l
ε
Un alambre de acero con un módulo elástico de 210000MPa y un límite elás-tico de 1800MPa, tiene una longitud de 2m y un diámetro de 1mm. Calcule su longitud cuando se somete a una carga de tracción de 100kg y dibuje un croquis del alambre con la carga aplicada.
F l
∆l
l0
La sección del alambre
2 7 2 2 2 0
0
,
78
mm
7
,
8
10
m
4
1
4
−⋅
=
=
⋅
=
⋅
=
π
D
π
A
De la expresión del módulo elástico, despejamos el valor del incremento de longitud
∆
l
o o o o
A
E
I
F
l
l
l
A
F
E
⋅
⋅
=
∆
⇒
∆
=
=
ε
σ
mm
9
,
11
m
0119
,
0
10
8
,
7
10
21
2
8
,
9
100
7 10=
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
∆
− o oA
E
l
F
l
La longitud total cuando el alambre está sometido a la carga
0
l
l
l
=
−
∆
mm
9
,
2011
9
,
11
2000
0=
+
=
+
∆
=
l
l
l
Si calculamos la tensión a la que está sometido el alambre
MPa
1250
m
N
10
25
,
1
10
8
,
7
8
,
9
100
9 2 7 0=
⋅
=
⋅
⋅
=
=
−A
F
σ
Al ser el límite elástico 1800
MPa y superior a la tensión aplicada de 1250
MPa, el
alambre no sufrirá una deformación permanente, recuperando su longitud inicial cuando se elimine la carga aplicada.Una varilla se ha fabricado con acero de límite elástico 350MPa y de módulo de elasticidad 200GPa. La varilla tiene una sección uniforme de 12mm2 y una longitud de 50cm.
a) Si se carga en uno de sus extremos con una fuerza de 1800N en la di-rección del eje de la barra, ¿ recuperará la varilla su longitud inicial cuando se elimine la fuerza?
b) Calcule el alargamiento unitario en las condiciones de carga plantea-das en a).
c) ¿Cuál deberá ser el diámetro mínimo de la varilla si no se desea que se alargue permanentemente tras ser sometida a una carga de 5000N?
a.
La tensión de tracciónMPa
150
Pa
10
5
,
1
m
N
10
12
1800
8 2 6=
⋅
=
⋅
=
=
−A
F
σ
La varilla recuperará la longitud inicial puesto que el esfuerzo o tensión de trac-ción a la que se le somete (150