08 Dinámica de Lagrange

Este cuadernillo:

08 Dinámica de Lagrange

2011

Teoremas de la Dinámica

Cinemática

Sistemas de Partículas

Ecuaciones Cardinales de la Dinámica

Dinámica del Movimiento Plano

Campo de Fuerzas

Oscilador Lineal Unidimensional

Función Lagrangiana

Diego E. García Dinámica de Lagrange ₁₄₂

Presentación

El presente texto “Teoremas de la Dinámica”, corresponde a una selección de contenidos tomados del amplio campo de la Mecánica Clásica. Está destinado a los estudiantes de diversas ramas de Ingeniería, que hayan completado los cursos de Análisis Matemático y de Física. Parte de ellos, corresponden a las clases Mecánica Analítica (Ingeniería Civil), en el Departamento de Física de la F. de C.E.F y N. de la UNC, a mi cargo entre 2001 y 2010. El trabajo lo desarrollé a partir de una Mecánica de nivel intermedio, necesariamente limitado a un curso breve, por las restricciones de tiempo en la formación de grado en Ingeniería. En este cuadernillo se analizan la configuración de un sistema de partículas, los conceptos de desplazamientos reales y virtuales, coordenadas generalizadas y se presentan, sin demostración, las Ecuaciones de Lagrange, expresadas a partir de la Función Lagrangiana, todo ello a efectos de servir de introducción para la resolución de algunos problemas por el método de Lagrange. En cuadernillo separado se desarrolla este tema con mayor amplitud.

8 Dinámica de Lagrange Página

Contenidos de este cuadernillo

Determinación de la posición de un sistema de partículas, parámetros de configuración

con vínculos fijos, (sistema esclerónomo) 143

Configuración de un sistema de partículas en el caso de vínculos móviles, (sistema

reónomo) 144

Desplazamiento virtual y desplazamiento real de las partículas de un sistema 145

Grados de libertad, sistemas holónomos y anholónomos 146

Coordenadas generalizadas 147

Algunos ejemplos de coordenadas generalizadas 147

Función Lagrangiana, ecuaciones de Lagrange 149

Resolución del péndulo simple mediante las ecuaciones de Lagrange 150

Algunas aplicaciones de la función lagrangiana 152

1 – Péndulo simple con punto de suspensión oscilante 152

2 - Cadena deslizante 159

3 – Cilindro rodante en plano inclinado 161

4 - Partícula en un plano vertical rotante 163

Referencias Bibliográficas 168

Derechos reservados. Ley 11723 ISBN 978-987-05-4041-0

Impreso en la ciudad de Córdoba, Argentina 2º edición, marzo 2008

Reimpresiones en 2009, 2010, 2011

Prof. Diego Edgardo García Córdoba, marzo de 2008

Teoremas de la dinámica. Dinámica de Lagrange ₁₄₃

8 Dinámica de Lagrange

Determinación de la posición de un sistema de partículas, parámetros de configuración con vínculos fijos, (sistema esclerónomo)

Un sistema con vínculos fijos, se denomina esclerónomo. (del griego sklerós, duro rígido y de

nomos, ley).

Imaginemos una partícula que se puede mover libremente en el espacio, en ese caso, su posición queda determinada cuando se conocen, en cada instante, sus 3 coordenadas. Si se tienen N partículas, habrá que fijar 3N coordenadas para determinar la posición del sistema. El término

configuración del sistema se refiere a las posiciones que ocupan las partículas en un determinado

instante: cuando se conocen las ubicaciones de las mismas, decimos que el sistema está configurado. Ahora bien: puede ocurrir que algunos puntos del sistema estén vinculados entre sí, por ejemplo: 2 masas puntuales libres en el plano, suman 4 grados de libertad y hacen falta 4 coordenadas para configurar el sistema. Pero supongamos que las dos partículas estén vinculadas entre sí por un

segmento inextensible de longitud

l

: en este caso bastará fijar las 2 coordenadas de una de ellas más el

ángulo que forma el segmento con la horizontal, en total 3 coordenadas independientes entre sí, para tener determinado el sistema. Ciertamente, esta restricción de vínculo, se podrá establecer mediante una determinada ecuación que deberán satisfacer las coordenadas. Esa ecuación es:

2 2 ₂

2 1 2 1

x

x

y

y

l

Se llaman parámetros de configuración , o coordenadas de Lagrange, a las coordenadas que se usan, o que se pueden usar, para configurar un sistema. Decimos, que se pueden usar, porque, en realidad, la posición de las dos masas acopladas por una barra, queda definida también usando los 4 parámetros _{2 3 4}

1

x x x x

, aunque si la definimos así, estaríamos usando un parámetro superabundante: Llamaremos por lo tanto parámetros de Lagrange a todas las coordenadas de configuración, ya sean estas superabundantes o ya sean independientes. Designaremos con

q

_k a estos parámetros, con

1, 2,3,...

k

n

.

De acuerdo con el ejemplo que se ha mostrado, resulta entonces, que, si los parámetros de configuración deben satisfacer una ecuación de vínculo, eso hace que el sistema se configure con 3, en vez de con 4 parámetros.

Hablando en general, si llamamos

n

a la cantidad de parámetros de Lagrange y

m

a la cantidad de ecuaciones que representan las restricciones de vínculo, podemos expresar:

Cantidad de parametros independientes

n

m

Si llamamos

P

_i

O

al vector posición de una partícula

i

del sistema, podemos expresar finalmente la configuración de un sistema de partículas mediante la siguiente función vectorial:

i i k

P

O

P q

con

k

1, 2, 3,...

n m

(1)

en donde los

q

_k son parámetros independientes entre sí. Cada uno de estos parámetros es función del tiempo.

También podemos expresar, en forma escalar, las coordenadas de posición

x y z

i

,

i

,

i de una partícula

i

del sistema, en función de los

n m

parámetros independientes:

i i k

x

x q

i i k

y

y q

(1’) con

k

1, 2, 3,...

n m

z

_i

z q

_{i k}

Si N es la cantidad de partículas del sistema tendremos 3 N ecuaciones como las (1’) que nos permitirán conocer las coordenadas de cada una de las N partículas en función de los parámetros

k

q

independientes. Entonces podemos llamar a las (1) o (1’), ecuaciones de transformación, porque nos permiten pasar de los parámetros de configuración, a las coordenadas de posición de las partículas. También podríamos designarlas como ecuaciones de configuración.

Diego E. García Dinámica de Lagrange ₁₄₄

Debemos observar que en las (1) y (1’), no aparece el tiempo en forma explícita: ello significa que si bien las coordenadas

x y z

_i

,

_i

,

_i dependen del tiempo, lo hacen a través a través de las

q

_k.

Esta no dependencia en forma explícita del tiempo, se debe a que hemos considerado que

los vínculos permanecen fijos en el tiempo, por ejemplo, si un punto se mueve sobre una curva en

el espacio, esa curva no cambia su forma con el tiempo, entonces, si dejamos constante un valor

del parámetro

( por ejemplo el recorrido sobre la curva), la posición de la partícula no

cambia porque la curva no se mueve.

Veamos el siguiente ejemplo, figura 2: Una partícula P se mueve en un plano sujeto a un vínculo tal que su distancia al punto “O” es constante e igual a

l

, figura 1

Los parámetros de Lagrange son

q

₁

x

;

q

₂

y

y la ecuación de ligadura es

2 2 2

1 2

0

q

q

l

.

Podemos tomar como parámetro independiente a

q

₁, en cuyo caso

q

₂ es superabundante. También podemos tomar como parámetro independiente al ángulo en cuyo caso

q

₁ y

q

₂ pasan a ser superabundantes. Si consideramos los 3 parámetros

q q

₁

,

_2, ,

n

3

podremos establecer entre ellos 2 ecuaciones de ligadura (

m

2

), de manera que la cantidad de parámetros independientes siempre será

3 2

1

.

Las ecuaciones de transformación que dan las coordenadas de la partícula en función del

parámetro son:

cos

x

l

y

lsen

donde es una cierta función del tiempo.

Como vemos, el tiempo no aparece explícitamente en la expresiones que dan las coordenadas de

P

, cuando los vínculos son fijos.

Configuración de un sistema de partículas en el caso de vínculos móviles, (sistema reónomo)

Cuando los vínculos cambien su forma, o su posición en función del tiempo, el sistema se llama

sistema reónomo, ( del griego rhéos, corriente y nomos, ley). En este caso, en la función (1), que da el

vector posición de la partícula, o en las ecuaciones de transformación (1’), aparecerá explícitamente el tiempo. Para que ello ocurra, es necesario que la ley que representa la variación de la forma, o posición del vínculo, sea un dato. Veamos un ejemplo, consistente en un péndulo simple, con su articulación oscilante, como se muestra en la figura 2:

El punto de suspensión del péndulo se mueve de acuerdo con: 1

O

O

sen

t i

(2)

La posición queda determinada con una única coordenada , ya que la posición de

O

₁ está predeterminada por la (2).

La coordenada vectorial de posición de la partícula

P

será:

cos

P O

sen t

l

i lsen j

(3) o bien:

cos

x

sen t

l

y

lsen

(3’)

Como vemos, se trata de un sistema reónomo y en la (3) aparece explícitamente el tiempo, cosa que no ocurre cuando los vínculos no se mueven.

y

x

l

f

Figura 1

y

x

l

f

Figura 2

o

i

o

1

j

i

m

Teoremas de la dinámica. Dinámica de Lagrange ₁₄₅

También podríamos haber expresado la posición con vínculo superabundantes:

1 2

i

P

O

q i

q j

, con

q

₁

x

y

q

₂

y

con la siguiente ecuación de ligadura:

2 _{2 2}

1 2

0

q

sen t

q

l

(4)

Desplazamiento virtual y desplazamiento real de las partículas de un sistema

Llamaremos desplazamiento virtual de un sistema, al conjunto de desplazamientos que experimentan las partículas del mismo, cuando se produce una variación de uno, de varios, o de todos los parámetros de configuración del sistema, con la condición de suponer que las ligaduras que vinculan a los elementos del sistema con el exterior, permanecen inmóviles mientras dura esa variación.

Desplazamiento real o simplemente desplazamiento es el que experimentan las partículas del

sistema debido a la variación del, o los parámetros de configuración, mas el desplazamiento producido por el movimiento de la o las ligaduras del sistema, mientras dura esa variación.

Si el sistema tiene ligaduras fijas ( sistema esclerónomo), no hay diferencia entre un desplazamiento real y un desplazamiento virtual.

Si el sistema tiene ligaduras móviles, los desplazamiento reales son diferentes de los virtuales: para tener el desplazamiento real de las partículas, hay que sumar, al desplazamiento virtual de las mismas, el desplazamiento provocado por el movimiento de las ligaduras durante el intervalo de tiempo considerado.

Consideremos el siguiente ejemplo:

Designemos con

i

a un punto genérico del péndulo con articulación deslizante de la figura 3. El desplazamiento real que experimenta dicha partícula cuando transcurre un tiempo

dt

, proviene de la variación del único parámetro

q

₁ y del desplazamiento de la ligadura, que en este caso, es la articulación

O

₁. Si llamamos

P

_i al vector posición de la partícula, referido al sistema

x y

,

, resulta que dicho vector será una función de

q

₁ y del tiempo, a la que llamaremos

P

_i

P q t

_{i 1}

,

. En esta función, el tiempo aparece en forma explícita, por tratarse de un sistema reónomo. Entonces, podemos expresar el

desplazamiento real de la partícula

i

, como el diferencial de la función vectorial

P

_i, que se obtiene como

la suma de los 2 diferenciales parciales con respecto a cada variable: ₁ 1 i i i

P

P

dP

dq

dt

q

t

(5)

Si se tratase de un sistema de partículas con

h

coordenadas independientes, el desplazamiento real de una partícula, de un sistema reónomo se expresaría como:

1 k h i i i k k k

P

P

dP

dq

dt

q

t

(6)

Si ahora, en cambio, queremos expresar el desplazamiento virtual, de una partícula del péndulo de la figura 3, desaparece el segundo término de la (5), porque suponemos que la ligadura no se mueve. Entonces, se tendrá ₁ 1 i i

P

P

q

q

(7)

Si se tratase de un sistema de partículas con

h

coordenadas independientes, el desplazamiento

virtual de una partícula, de un sistema reónomo se expresaría como:

1 k h i i k k k

P

P

q

q

(8)

Observamos que si se trata de un sistema esclerónomo, o de vínculos fijos, las (5) y (6), se transforman en las (7) y (8).

En las (7) y (8) se han indicado tanto la variación de

q

₁ como el desplazamiento de la partícula, con la letra en lugar de usar la letra “d” de diferencial de una función. El uso de

P

_i para el

Vector desplazamiento real de la partícula

i

, con una

única coordenada

q

₁

Vector desplazamiento real de la partícula

i

, con h

coordenadas independientes

q

_k

Vector desplazamiento virtual de la partícula

i

, con

una única coordenada

q

₁

Vector desplazamiento virtual de la partícula

i

, con h

Diego E. García Dinámica de Lagrange ₁₄₆

desplazamiento, es para indicar que se trata de un desplazamiento virtual, que, como se dijo, se realiza imaginando que los vínculos se inmovilizan mientras ocurre la variación de las coordenadas

q

_k. El uso de

q

_k es para poner de manifiesto que dicha coordenada experimenta una variación, mientras el vínculo permanece “inmovilizado” en la posición que ocupaba en un determinado instante

t

t

₁ ó

t

t

₂.

Llamamos “isocrónica” a esa variación

q

_k. El término isocrónico se refiere a la suposición ya expresada que, mientras dura la variación de las

q

_k, el vínculo queda transitoriamente inmovilizado en la posición que ocupaba en un determinado instante

t

t

₁ ó

t

t

₂ etc.

Podemos establecer el siguiente resumen con respecto a las características salientes del

desplazamiento virtual de una partícula i del sistema:

Suponiendo el vínculo fijo, debe ser compatible con la condición de vínculo, es decir moverse

según la tangente a la trayectoria que le impone dicha condición.

Si los vínculos son móviles, se consideran inmovilizados mientras dura la variación de las

q .

k

En el caso que los vínculos sean fijos, no se establece diferencias entre el vector

desplazamiento real dP

i

y el vector desplazamiento virtual P

i

de cada partícula. Tal sería el

caso que el vínculo fuese realmente fijo en la figura 3. Como no lo es , para tener dP

i

el vector

desplazamiento de arrastre de P

i

debido al movimiento del vínculo.

No necesariamente debe ser un valor diferencial: puede ser un valor finito, siempre cuando

los desplazamientos de las partículas del sistema, sean compatibles con los vínculos.

El símbolo

usado para indicar un desplazamiento virtual, cuando éste es una magnitud

diferencial y participa de las mismas propiedades usuales del símbolo d usado como

diferencial.

Un desplazamiento virtual puede ser un desplazamiento de un punto, como tal, pero también

puede corresponder a la variación de un ángulo. O sea que puede medirse en metros o en

radianes.

Grados de libertad

Se llaman grados de libertad a cada uno de los desplazamientos virtuales, independientes entre

sí, que pueden tener las partículas de un sistema.

Supongamos un sistema de N partículas materiales, tal que su configuración está dada por n parámetros de Lagrange.

q

_j con

j

1, 2, 3...

n

. El sistema está sometido a m ecuaciones de restricción de vínculo, o también puede no tener vínculos. Esta definición de grados de libertad es válida independientemente de la forma que tengan las ecuaciones de vínculo, es decir, ya sean estas ecuaciones finitas o diferenciales, integrables o no.

Entonces, si llamamos

h

a la cantidad de grados de libertad de un sistema, ésta queda dada por:

h

n m

(9) Sistemas holónomos y anholónomos

Decimos que un sistema es holónomo, si no tiene vínculos, o bien, si los tiene, éstos son expresables mediante m ecuaciones finitas en los parámetros de Lagrange. Mediante estas

m

ecuaciones finitas, podemos obtener m parámetros del sistema en función de los otros

n m

parámetros que hemos tomado como independientes.

En ese caso, siempre será posible considerar el sistema como si fuese un sistema libre, sin vínculos, pero que, en vez de tener 3N grados de libertad, tuviese

h

3

N

m

grados de libertad.

En un sistema holónomo, la cantidad de parámetros o coordenadas necesarios para

configurar el sistema, coincide con la cantidad de grados del libertad del mismo.

Teoremas de la dinámica. Dinámica de Lagrange ₁₄₇

Decimos que un sistema es no holónomo o anholónomo si una, o más, de las m relaciones de vínculo, está expresada como una ecuación diferencial no integrable. Si la ecuación diferencial que expresa el vínculo fuese integrable, dicha expresión se transformaría en finita y el sistema pasaría a ser

holónomo. Es importante hacer notar que, si el sistema es anholónomo, no es posible encontrar los m

parámetros de configuración en función de los restantes. En este tipo de sistemas, la cantidad de grados de libertad sigue siendo

h

, pero es posible demostrar que ya no resultan suficientes

h

parámetros para configurar el sistema, sino que para ello son necesarios

h

r

parámetros, en donde

r

es la cantidad de ecuaciones de vínculo que no son integrables. (ver nota 1)

Nota 1: puede consultarse al respecto, el capítulo XIII del texto Mecánica Analítica del Ing. Nilo Penazzi, Cátedra de Mecánica, Ingeniería Aeronáutica de la Facultad de Ingeniería de la UNC, 1998.

Coordenadas generalizadas

A los parámetros

q

_kindependientes entre sí, que determinan la configuración instantánea de un sistema y ya mencionados al hablar de la configuración de un sistema, es usual y resulta cómodo, darles el nombre de coordenadas generalizadas.

En los sistemas holónomos, como ya se dijo, la cantidad de coordenadas generalizadas coincide con la cantidad de grados de libertad

h

del sistema. En consecuencia podemos expresar las ecuaciones

de transformación que dan las coordenadas cartesianas de las

N

partículas, en función de las

h

coordenadas generalizadas

q

_k, de la siguiente forma:

1 2 1 2 1 2

,

,...

,

,

,...

,

,

,...

,

i i h i i h i i h

x

x q q

q t

y

y q q

q t

z

z q q

q t

i

1, 2, 3,...

N

y

k

1, 2, 3,...

h

En las ecuaciones (1) aparece el tiempo en forma explícita, porque se considera el caso general de vínculos móviles.

Algunos ejemplos de coordenadas generalizadas

a) Partícula que se mueve sobre vínculo con forma de elipse

La partícula tiene un solo grado de libertad. Tomamos como coordenada generalizada el ángulo , en forma tal que (figura 1):

sen

cos

y

b

x

a

b) Cilindro que rueda sobre un plano inclinado

Si la rodadura se hace sin deslizamiento se tiene una sola coordenada generalizada, que puede ser la coordenada

x

( ver en la figura 2). El ángulo se relaciona con x mediante la relación:

x

R

b

a

x

y

P

m Figura 1 Ecuaciones de transformación

Diego E. García Dinámica de Lagrange ₁₄₈

En cambio si hay deslizamiento en el punto de contacto, el sistema tiene 2 grados de libertad y las coordenada generalizadas son

x

y .

c) Barra articulada, con una masa deslizante, sujeta a un resorte

Se tiene una barra puede girar en un plano vertical alrededor de la articulación O1 , como se muestra en la figura 3. La masa

m

, puede deslizar sobre la barra y a su vez, está sujeta por un resorte a la articulación

O

₁. El sistema está formado por la barra y la masa

m

y al resorte, lo consideramos sin masa. La ligadura del sistema con el exterior es la articulación

O

₁, la que, a su vez, puede, o no, deslizarse a lo largo del eje

X

. “a” es una determinada longitud del resorte, a partir de la cual medimos las elongaciones x de la masa m.

En la tabla siguiente, se analizan diversas alternativas que pueden presentarse

Situación Coordenadas

generalizadas

Ecuaciones de Transformación Vínculo

O1 Fijo ,

x

( , )

( , )

P P P P

X

X

x

Y

Y

x

Esclerónomo

O1 Fijo, variación de ley

conocida:

t

x

( , )

( , )

P P P P

X

X

x t

Y

Y

x t

Reónomo Distancia

O

O

₁ y siguen una ley conocida

1

O

O

sen t

y

t

x

( , )

( , )

P P P P

X

X

x t

Y

Y

x t

Reónomo Situación Coordenadas generalizadas Ecuaciones de Transformación Vínculo

O1 se puede mover sobre colisas deslizante y sigue ley

conocida:

t

1

O

O

,

x

1 1

( ,

, )

( ,

, )

P P P P

X

X

x O

O

t

Y

Y

x O

O

t

Reónomo

Sólo la distancia

O

O

₁ sigue una ley conocida

,

x

( , , )

( , , )

P P P P

X

X

x

t

Y

Y

x

t

Reónomo

x

R

Figura 2

x

a

X

Y

O

O

1

m

Figura 3

Teoremas de la dinámica. Dinámica de Lagrange ₁₄₉

Ninguno de los parámetros obedece a una ley

predeterminada ,

x

,

O

O

1 1 1

( , ,

)

( , ,

)

P P P P

X

X

x

O

O

Y

Y

x

O

O

Esclerónomo d) Péndulo doble

En la figura 4 se muestra un sistema formado por dos varillas articuladas que se conoce como péndulo doble. Las coordenadas generalizadas son ₁ y ₂. Como se observa en la figura, ₁ puede variar independientemente de ₂ y además ₂ puede variar independientemente de ₁.

e) Bloque deslizante y polea

En la figura 5, se muestra un bloque que desliza sobre un plano horizontal liso. El bloque es traccionado por una cuerda, cuyo otro extremo está enrollado sobre una polea. Al caer la polea, se va desenrollando la cuerda.

Las coordenadas generalizadas pueden ser:

x

₁ y

x

₂, o también

x

₁ y

, como se indica en la figura 5.

Función Lagrangiana, ecuaciones de Lagrange

Si llamamos

P

a los vectores velocidad de cada una de las partículas del sistema, la energía cinética del sistema resulta expresada por:

2 1

1

2

N i i i

T

m

P

(10)

donde

N

es la cantidad de partículas del sistema.

A su vez, el vector posición

P

_i , es una función de las coordenadas generalizadas

q

_k y del tiempo. Entonces, de acuerdo con la (10), la energía cinética de un sistema de partículas, puede expresarse como una función de las coordenadas generalizadas

q

_k del sistema, de sus derivadas con respecto al tiempo,

q

_ky del tiempo:

,

,

k k

T

f q q t

(11) 2 ! 1 2 ! 1 Figura 4 1

x

2

x

Polea Nudo Figura 5 2

x

Diego E. García Dinámica de Lagrange ₁₅₀

Supongamos ahora, que la totalidad de las fuerzas que obran sobre el sistema son de carácter

conservativo: En este caso y de acuerdo con la definición de fuerzas conservativas, es posible definir

una cierta función energía potencial, correspondiente a dichas fuerzas.

Sabemos, por otra parte, que en un campo de fuerzas, la energía potencial depende de la posición de las partículas del sistema y del tiempo, pero no depende de la velocidad de las mismas. Ello significa que la energía potencial, será una función de las coordenadas generalizadas y del tiempo, pero no de las derivadas con respecto al tiempo de dichas coordenadas generalizadas. Entonces, si

V

es la energía potencial del sistema, podemos expresar la misma como función de las coordenadas

q

_k y del tiempo, de la siguiente forma:

,

k

V

f q t

(12)

De acuerdo con las consideraciones precedentes, en aquellos sistemas conservativos que admiten energía potencial

V

, vamos a definir una cierta función que llamaremos Función

Lagrangiana, de la siguiente manera:

T

V

(13) Función Lagrangiana

Las ecuaciones que se expresarán a continuación, se conocen como Ecuaciones de lagrange y fueron desarrolladas por Louis de Lagrange, en Mécanique Analytique, Paris, 1788. En ellas interviene la

Función Lagrangiana y su importancia consiste en que permiten la resolución de problemas, sin

intervención de las ecuaciones cardinales de la dinámica. En ese sentido, constituyen un método autónomo de la dinámica.

Las ecuaciones de Lagrange, que presentamos sin demostración, se expresan de la siguiente manera:

0

k k

d

dt

q

q

(14)

k

1, 2, ...,

h

Podemos hacer el siguiente resumen de los pasos a seguir para plantear las ecuaciones de Lagrange:

Determinar el número de grados de libertad del sistema y elegir las coordenadas generalizadas. Expresar la energía cinética

T

del sistema

q

_k y

q

_k y del tiempo (si se tienen vínculos móviles). Calcular la energía potencial

V

en función de

q

_k y del tiempo y plantear la expresión del Lagrangiano

T

V

.

Calcular las correspondientes derivadas del Lagrangiano con respecto a

q

_k,

q

_k y el tiempo, para ser introducidas en las ecuaciones de Lagrange:

0

k k

d

dt

q

q

k

1, 2, ...,

h

Es decir: 1 1

0

d

dt

q

q

2 2

0

d

dt

q

q

(14’) . . .

0

h h

d

dt

q

q

Resolución del péndulo simple mediante las ecuaciones de Lagrange

A modo de ejemplo, encontraremos la ecuación diferencial correspondiente al péndulo simple por el método de Lagrange.

Se trata de un sistema con un solo grado de libertad y podemos adoptar la coordenada como única coordenada generalizada,

q

₁ , como se muestra en la figura 1.

Teoremas de la dinámica. Dinámica de Lagrange ₁₅₁

La variación de energía potencial cuando el peso

mg

experimenta un desplazamiento

dxi

, es igual, por definición, al trabajo de

mg

, pero cambiado de signo y lo expresamos mediante el siguiente producto escalar:

dV

m g dxi

dV

m gdx

cos 180º

dV

mgdx

Si integramos la expresión anterior, entre cero y la posición

x

, resulta:

V

mgx

Pero:

cos

x

l

l

x

l

1

cos

Entonces, obtenemos finalmente la siguiente expresión para la energía potencial:

1

cos

V

mgl

(1)

Seguidamente, debemos calcular la energía cinética este sistema, que es: 2

1

2

T

mv

donde

v

es la velocidad de la partícula. El módulo de la misma lo calculamos multiplicando el largo del péndulo por su velocidad angular que vale:

d

dt

. Entonces:

v

l

Si reemplazamos este valor de la velocidad en la expresión de la energía cinética se tendrá: 2

1

2

T

m l

(2) Reemplazamos ahora (1) y (2), en la expresión del Lagrangiano:

T

V

2 2

1

1

cos

2

ml

mgl

(3)

De acuerdo con las (14) y como se tiene un solo grado de libertad, la única ecuación de Lagrange que se tiene en este caso es:

1 1

0

d

dt

q

q

O bien:

0

d

dt

(4)

Seguidamente, efectuaremos las correspondientes derivadas del Lagrangiano, para poder reemplazar en la (4).

Observamos que la (3) es función de

q

₁ y de

q

1 , pero el tiempo no aparece en forma explícita, porque se trata de un sistema con ligadura fija. Para derivar la (3) con respecto a

q

₁ debemos considerar a como constante y cuando derivemos con respecto a , supondremos constante. Derivando (3):

x

m

m

l

cota cero

Figura 1

Diego E. García Dinámica de Lagrange ₁₅₂

2

ml

(5)

Además, pare obtener el primer término de la (4), falta aún derivar la (5) con respecto al tiempo, para lo cual deberemos tener presente que la velocidad angular es función del tiempo:

2

d

d

ml

dt

dt

2 k

d

ml

dt

(6)

Llevamos ahora (5) y (6) a la ecuación de Lagrange (4): 2

sen

0

ml

m gl

(7)

Para oscilaciones pequeñas, resulta que:

sen

Entonces, la (7) queda:

0

l

g

O bien:

0

g

l

(8)

La (8) es la conocida ecuación diferencial de un movimiento armónico simple, cuya solución es:

A cos t

B sen t

en donde: 2

g

l

;

2

g

T

l

2

2

l

T

g

_g

l

Ejemplos de aplicación de la función Lagrangiana 1 – Péndulo simple con punto de suspensión oscilante

Hallar, por el método de Lagrange, la ecuación diferencial del movimiento de un péndulo cuyo punto de suspensión oscila según la ley

x

₁

a

sen

t

, suponiendo que la amplitud de las oscilaciones es pequeña.

Resolución:

Grados de libertad

El sistema tendría dos grados de libertad, si la posición de la articulación

O

₁ no estuviese determinada. Pero como la posición del punto o1 está definida por la función

x

1

(

t

)

que es un dato, tenemos sólo un grado de libertad. Tomaremos el ángulo como coordenada generalizada.

Energía cinética

Teoremas de la dinámica. Dinámica de Lagrange ₁₅₃

cos

sen

1

l

y

l

x

x

Derivamos con respecto al tiempo para obtener las componentes del vector velocidad: (ver en figura 2)

sen

cos

1

l

y

l

x

x

Entonces, podemos expresar:

2 2 2

v

x

y

Teniendo en cuenta que la energía cinética es:

T

₂1

mv

2 , resulta:

2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1

cos

sen

cos

2

cos

sen

2

cos

T

m

x

l

l

T

m x

l

x l

l

T

m x

l

x l

De la expresión precedente surge que la energía cinética es función de

x

₁ ,

x

₁ , y (aparte de las constantes m y

l

)

Energía Potencial

Tomamos el potencial cero de referencia en el eje x, y teniendo en cuenta la definición de potencial resulta: (ver en figura 3)

dV = -m g dy V = - m g y Entonces:

cos

mgl

V

y

x

y

mg

Figura 3

v

lcos

1

x

l sen

x

1

o

1

x

y

Figura 1

v

y j

xi

Figura 2 1

O

Diego E. García Dinámica de Lagrange ₁₅₄

Función Lagrangiana

Recordemos que

L

T

V

por lo tanto la función lagrangiana resulta:

2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2

2

cos

cos

2

cos

cos

L

m x

l

x l

mgl

L

m x

l

x l

mgl

a continuación efectuaremos las derivadas que corresponden para poder escribir el binomio de Lagrange:

cos

cos

2

2

1 2 1 2 2 1

l

x

l

m

l

x

l

m

L

derivamos ahora con respecto al tiempo para tener el 1º término del binomio:

sen

cos

1 1 2

l

x

l

x

l

m

L

dt

d

(1) Téngase en cuenta que:

cos

sen

d

dt

Para hallar el segundo término del binomio de Lagrange, para lo cual derivamos el lagrangiano con respecto a :

sen

sen

1

mgl

x

ml

L

(2) reemplazaremos 1) y 2) en la única ecuación de Lagrange para este problema:

0

L

L

dt

d

resulta: 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1

cos

sen

sen

sen

0

cos

sen

sen

sen

0

cos

sen

0

m l

x l

x l

mlx

mgl

l

x l

x l

lx

gl

l

x l

gl

dividiendo miembro a miembro por

l

2: 1

cos

sen

0

x

g

l

l

(3) si

x

1

a

sen

t

, será: 1 1 2 1

sen

cos

sen

x

a

t

x

a

t

x

a

t

(4) reemplazando (4) en (3), queda:

0

sen

cos

sen

2 2 2

l

g

t

l

a

dt

d

Teoremas de la dinámica. Dinámica de Lagrange ₁₅₅

Esta ecuación diferencial permitiría encontrar la función solución de la misma

f

(t

)

, en el caso más general en que la amplitud de las oscilaciones no sea pequeña.

Se trata de una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que no es lineal. Teniendo en cuenta las condiciones impuestas en el enunciado de pequeños valores de , podemos considerar que:

0

sen

1

cos

En el supuesto anterior se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal no homogénea la cual permitirá encontrar = f(t) para oscilaciones pequeñas:

t

l

a

l

g

dt

d

sen

2 2 2 (5)

Los valores de g; a; l; y son constantes y datos del problema; y la solución de esta ecuación diferencial constará de dos partes:

Una parte, será la solución de la homogénea asociada La otra parte, será la solución particular.

La ecuación homogénea asociada es:

2

2

0

d

g

dt

l

(6)

La (6) es la ecuación diferencial del péndulo simple, para valores pequeños de . La solución de esta ecuación es la misma del oscilador armónico simple (ver la (4) de ese tema), donde en vez de la elongación

x

, aparece el ángulo . Entonces es:

1 2 hom

g

g

C cos

t

C sen

t

l

l

(7) donde ₀

g

l

es la frecuencia angular del péndulo ideal de longitud

l

, supuesto que la articulación

1

O

fuese fija. Los valores de las constantes son

C

_{1 0} , ₂ 0 0

C

. La (7) también se puede expresar como (ver la (5) de movimiento armónico simple):

0 hom

A cos

t

(7’) donde

A

C

₁2

C

₂2 y 2 1

C

arc tan

C

.

La solución particular es de la forma:

part

Mcos t

N sen t

(8) Si reemplazamos la función _part en la ecuación diferencial (5), resulta:

0

M

2 2 2 0

a

N

l

Finalmente, la función solución para el caso de ₀, será la suma de (7’) y (8): hom part

Diego E. García Dinámica de Lagrange ₁₅₆

0

A cos

t

N sen t

(9)

La (9) corresponde a la suma de dos funciones armónicas de diferentes frecuencias, ₀ y , lo que ya no es una función armónica simple, el valor de un determinada elongación máxima, no es igual a la que le sigue. En forma cualitativa, la curva

f t

, tendrá la forma que se muestra en la figura (4)

La función

f t

es análoga a la función

x t

del oscilador forzado sin amortiguamiento, caso a), ver la expresión (10) y la figura (5) de ese tema.

Si fuese

₀, es decir, si la frecuencia de la articulación oscilante coincidiera con la frecuencia natural del péndulo, la función (8) ya no es solución de la ecuación diferencial (5). Debe buscarse una solución de la forma (ver ):

part

M cos t

Nsen t t

(10)

Puede consultarse el texto clásico de Análisis Matemático N. Piskunov, Cálculo diferencial e Integral, capítulo Ecuaciones Diferenciales, artículo “ecuaciones diferenciales de las oscilaciones mecánicas”.

Si reemplazamos la función (10) en la ecuación diferencial (5), obtendremos

2

2

a

M

l

;

0

N

o bien, siendo ₀: 0

2

a

M

l

N

0

(11)

Entonces, la solución particular resulta: 0 0

2

part

a

t cos

t

l

(12)

La elongación en función del tiempo, la escribimos finalmente como: 0 0 0

2

a

A cos

t

t cos

t

l

(13)

Como vemos, cuando ₀ se tiene una situación de resonancia y la amplitud de las oscilaciones comenzará a crecer indefinidamente. En este caso, la función _part

f t

(segundo término de la (13), es análoga a la función

x

_part del oscilador forzado sin amortiguamiento, ver el tema oscilador forzado sin amortiguamiento caso a), segundo término de la expresión (9). Ver nota 2

Figura 4

Teoremas de la dinámica. Dinámica de Lagrange ₁₅₇

La gráfica de la función representada por la solución particular, en el caso de resonancia, se muestra en la figura 5 siguiente y es análoga a la del oscilador forzado sin amortiguamiento en resonancia, tema oscilador forzado sin amortiguamiento caso a), figura 4 de ese tema.

No obstante, debe recordarse que este problema ha sido resuelto con la aproximación de

cos

1

y

sen

0

y que tanto la ecuación diferencial (5), como sus soluciones (9) y (13), son válidas para pequeñas amplitudes de oscilación. Entonces la figura (5) será representativa mientras que las amplitudes de la oscilación se ajusten a esta hipótesis. Cuando las amplitudes sean mayores, la ecuación diferencial que describe el comportamiento del sistema, será de la forma

2 2

2

sen

cos sen

d

g

a

t

dt

l

l

.

Nota 2

Podemos plantear cierta analogía entre la ecuación diferencial (8) de oscilador forzado sin amortiguamiento, capítulo oscilador lineal, y la ecuación diferencial (5), en donde

2

a

sen t

l

sería análogo al 0

Q

cos t

m

de la (8).

Además, de este problema sería equivalente al del oscilador forzado y ₀ del péndulo sería equivalente a la frecuencia natural del resorte.

Es interesante destacar que mediante la formulación de Lagrange hemos hallado la ecuación diferencial que permite resolver el sistema, por un camino prescindente de las ecuaciones cardinales de la dinámica; si hubiéremos usado estas ecuaciones, habríamos llegado a la misma ecuación diferencial. Resolución usando la ley de Newton en un sistema no inercial

Elegimos un sistema de referencia x1 e y1 que tiene movimiento armónico simple de traslación, dado por = a sen t, se trata de un sistema llamado “no inercial” por que todos los puntos del mismo

están sometidos a una aceleración de arrastre que vale: 2 2 2

sen

d

a

t

dt

(14)

En estas condiciones, cualquier masa de ese sistema está sometida a fuerzas de inercia que vale: 2 2 in

d

F

m

dt

Las fuerzas que actúan sobre la masa en este sistema no inercial se muestran en la figura 6 y son:

T

: fuerza del vínculo sobre la masa

mg

: peso in

F

: fuerza de inercia Figura 6

mg

in

F

T

1

O

1

y

1

x

m

part

t

Figura 5

Diego E. García Dinámica de Lagrange ₁₅₈

Escribimos ahora la ley de Newton en la dirección de la tangente a la trayectoria de m:

cos 90º

sen

_in

cos

T

mg

F

ma

a

es la componente de la aceleración de la masa m, en la dirección de . Como se trata de oscilaciones pequeñas aceptamos que: cos 1 sen : Como

a cos

x

resulta que

a

x

Con las hipótesis simplificativas, la ecuación diferencial de Newton queda entonces: 2 1 2

d

mg

m

mx

dt

(15) Además: 1 1 1 1

sen

;

y

(16)

x

l

x

l

x

l

x

l

Reemplazamos en (15) 2 2

d

dt

y

x

1 dadas por (14) y (16): 2

sen

g

a

t

l

o bien dividiendo ambos miembros por

l

, llegamos finalmente a la misma ecuación diferencia (5) que habíamos obtenido por el método de lagrange:

2

sen

g

a

t

Teoremas de la dinámica. Dinámica de Lagrange ₁₅₉

2 - Cadena deslizante

Una cadena cuya densidad lineal es

k

y apoyada sobre un plano horizontal liso como se muestra en la figura, se suelta, desde una posición inicial en reposo. En el instante inicial, la coordenada del extremo inferior de la cadena es

y

y

₀.

Se pide encontrar la coordenada

y

en función del tiempo Resolución

Se trata de un sistema con un solo grado de libertad y adoptamos la coordenada

y

como coordenada generalizada.

Energía cinética

La energía cinética del sistema se expresa como 2 1 2

T

mv

(1)

donde

m

es la masa del sistema, o sea, en este caso la masa de la cadena y

v

es la velocidad, que es la misma para todos los puntos de la cadena.

Es:

m

k

m

k l

l

(2)

dy

v

v

y

dt

(3) Reemplazamos (2) y (3) en (1): 2 1 2

T

k l y

(4) Energía potencial

Tomamos como referencia el plano horizontal, entonces la energía potencial de la cadena coincide con la energía potencial del tramo y:

1 2 2

2

2

y

y

V

mg

V

k y g

V

k g y

(5)

2

y

es la distancia al centro de masa

Función lagrangiana y ecuación diferencial La función lagrangiana es:

L

T V

Reemplazamos los valores de

T

y

V

de (4) y (5):

2 2

1 1

2 2

(6)

L

k l y

k g y

A continuación efectuaremos las derivadas correspondientes para plantear la ecuación de Lagrange:

L

k l y

y

d

L

k l y

dt

y

(7)

Ahora, buscamos el segundo término del binomio de Lagrange, para lo cual derivamos el lagrangiano con respecto a y

L

k g y

y

(8)

Reemplazamos (7) y (8) en las ecuaciones de Lagrange:

d

L

L

0

Diego E. García Dinámica de Lagrange ₁₆₀

Resulta la ecuación diferencial:

0

g

y

y

l

(9)

cuya solución es:

cos (

)

sen (

)

y

A

h

t

B

h

t

(10)

en donde:

l

g

Calcularemos las constantes A y B:

Para t =0 es y = y0 entonces, si valuamos la (10) en

t

0

resulta:

0

cosh(0)

senh(0)

y

A

B

, de donde surge que:

A

y

₀ (11)

La segunda condición inicial, es la de velocidad cero,

y

₀'

0

, porque la cadena parte del reposo. Para encontrar la constante

B

, derivamos la (10):

senh(

)

cosh(

)

y

A

t

B

t

(12)

Valuamos la (12) en

t

0

, lo que conduce a:

0

A

senh(0)

B

cosh(0)

de donde surge que:

B

0

(13) Si reemplazamos (12) y (13) en la (10), resulta finalmente:

t

l

g

y

Teoremas de la dinámica. Dinámica de Lagrange ₁₆₁

3 – Cilindro rodante en plano inclinado

Se tiene un cilindro de radio

R

y masa

m

que rueda sin resbalar sobre un plano inclinado de ángulo y altura

h

, como se muestra en la figura siguiente. El cilindro parte del reposo.

Se pide encontrar la ecuación diferencial del movimiento, mediante el método de lagrange Parámetros de configuración, coordenada generalizada

La coordenada de posición

x

del centro de la esfera y el ángulo , que ha girado el cilindro, desde su posición inicial hastala posición

x

, son parámetros de configuración. Como no hay resbalamiento no son independiente una del otro, sino que están relacionadas con la siguiente condición de vínculo (ver en la figura 1)

R

x

x

0

El sistema tiene un solo grado de libertad. Elegimos como coordenada generalizada, a la coordenada

x

. Función Lagrangiana

Se trata de un sistema conservativo, porque las fuerzas actuantes son gravitatorias y porque no hay disipación de energía, debido a que, por hipótesis, el cilindro no desliza sobre el plano. En consecuencia, podemos usar la función lagrangiana para plantear la ecuación de Lagrange correspondiente a la coordenada

x

.

Encontraremos, en primer término, la energía cinética del cilindro rodante, usamos el teorema de König, con polo en el centro “G”

2 2

1 1

2 2 G

T

m x

I

El 1º término es la energía cinética de traslación y el 2º es la energía cinética de rotación;

I

_G es el momento de inercia del cilindro con respecto al eje que pasa por “G”. En lo que sigue suprimiremos por simplicidad el subíndice “G”. La velocidad del centro de masas

G

es

x

R

, de donde surge que

R

x

. Si reemplazamos

x

R

en la expresión anterior, queda:

h- xsen

x

x

0 G Figura 1

Rcos

R

h

Y

X

Diego E. García Dinámica de Lagrange ₁₆₂ 2 2

1

1

2

2

x

T

mx

I

R

2 2

2

I

x

T

m

R

(1)

Para determinar la energía potencial del cilindro rodante, tomamos como referencia el plano horizontal. La altura del punto de contacto sobre la base, vale:

h

x

sen

, ver en la figura 1. Para encontrar la altura del centro

G

, habrá que sumarle

Rcos

:

sen

cos

G

h

h

x

R

La energía potencial es:

G

V

mgh

o bien:

sen

cos

V

mg h

x

R

(2)

Expresamos ahora la función lagrangiana:

V

T

L

(3) por lo tanto, reemplazando (1) y (2) en (3), resulta:

2 2

sen

cos

2

I

x

L

m

mg h

x

R

R

Efectuamos las derivadas parciales correspondientes para formar las ecuaciones de Lagrange:

2

sen

(4)

L

I

m

x

x

R

L

mg

x

derivando ahora con respecto al tiempo:

x

R

I

m

x

L

dt

d

2 (5)

Reemplazamos (4) y (5) en la ecuación de Lagrange correspondiente a

x

:

0

x

L

x

L

dt

d

2

sen

0

I

m

x

m g

R

2

sen

mg

x

I

m

R

considerando que el momento de inercia de masas es:

2

2

mR

I

I

_G ; entonces 2 2

sen

sen

1

1

2

2

mg

g

x

x

mR

m

R

2

sen

3

x

g

Como la aceleración de

G

es constante, su trayectoria corresponde a un movimiento rectilíneo con aceleración constante:

2

sen

3

x

g

. A este mismo resultado hubiéramos llegado con las ecuaciones cardinales de la dinámica.

Teoremas de la dinámica. Dinámica de Lagrange ₁₆₃

4 - Partícula en un plano vertical rotante

Una partícula de masa m se mantiene sobre una placa sin masa que rota con velocidad angular constante alrededor del eje

Z

y no hay rozamiento entre la placa y la partícula.

x y z

, ,

son los ejes del cuerpo que rotan con la placa y

X Y Z

, ,

son los ejes “fijos”. Las condiciones iniciales son, para t= 0

0

x

x

,

z

z

₀ ;

x

0

0,

z

0

Se pide encontrar las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, referidas al sistema del cuerpo, planteando:

a) Las leyes de newton, en el sistema no inercial

x y z

, ,

b) La función lagrangiana y las ecuaciones de lagrange

c) Encontrar la fuerza de reacción

N

que el plano ejerce sobre la partícula

a) Planteo de las Leyes de Newton en el sistema no inercial x y z

Un punto cualquiera del plano

x z

,

, tiene una aceleración centrípeta que vale: 2

c

a

x

En consecuencia, la masa m estará sometida en ese plano rotante, a una fuerza de inercia de arrastre de sentido contrario a la aceleración centrípeta

a

c y que vale (ver en la figura 1):

x 2 x

(1)

in c in

F

m a

F

m

x

Esta es la única fuerza actuante en la dirección del eje x, por lo tanto la ecuación diferencial de Newton en esta dirección es:

m

x

z

mg

2 in x

F

m

x i

Figura 1

Z

y

t

x

X

Y

mg

z

Diego E. García Dinámica de Lagrange ₁₆₄ 2 2 in

d x

F

m

dt

(2)

De acuerdo con (1) y (2), la ecuación diferencial del movimiento, resulta entonces:

2 2

0

m

x

mx

x

x

(3)

Se trata de una ecuación de 2º orden lineal, homogénea y cuya solución, para las condiciones iniciales establecidas, da una de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, correspondiente a la coordenada

x

: (ver en la figura 2)

La pendiente de esta curva es la velocidad en x de la partícula; inicialmente es cero y es mayor a medida que se aleja del eje de rotación.

Con respecto a la ecuación paramétrica correspondiente a la coordenada

z

:

La única fuerza actuante en la dirección de z es

mg

, de manera que la ecuación de Newton en esta dirección es:

2 2

d z

mg

m

dt

0

z

g

z

g

La partícula, como no podía ser de otro modo al no haber rozamiento, tiene, en la dirección

z

, una aceleración

g

. Entonces:

2 0

1

2

z

z

g t

(4)

b) Planteo por el Método de Lagrange Coordenadas generalizadas

En principio, el sistema tiene tres grados de libertad, que corresponderían a las coordenadas

x

,

z

y . Pero el valor de ya está determinado previamente por la función

t

, que es dato del problema.

Entonces, tenemos 2 grados de libertad y adoptaremos como coordenadas generalizadas a las coordenadas cartesianas

x z

,

de la partícula en el plano rotante.

Energía cinética

El vector velocidad de la partícula, referido o “visto” desde el sistema “fijo” , pero expresado en función de sus proyecciones sobre los ejes en rotación es:

v

xi

xj

zk

(5)

En la figura (3) se ha dibujado el plano rotante

x y

,

y allí se han indicado las componentes

v

x y y

v

del vector velocidad expresado por la (5).

x

x

0

t

Figura 2 0

cos (

)

x

x

h

t

y

j

x

i

y

v

x

x

v

x i

m

Figura 3

Teoremas de la dinámica. Dinámica de Lagrange ₁₆₅

El cuadrado del módulo del vector velocidad resulta entonces:

2 2 2 2

(

)

v

x

x

z

(6) La energía cinética de la partícula es:

2

1

2

T

mv

Si reemplazamos el valor de

v

2 dado por (6), se tendrá:

2 2 2

1

1

1

(

)

2

2

2

T

m x

mz

m

x

(7)

Energía potencial, función lagrangiana, ecuaciones Planteamos

V = mgz (8) L = T – V

Reemplazamos en la función lagrangiana los valores de (7) y (8):

2 2 2

1

1

1

(

)

2

2

2

L

mx

m z

m

x

mgz

2

(9)

(10)

(11)

(12)

d

L

mx

dt x

L

m

x

x

d

L

mz

dt z

L

mg

z

Las ecuaciones de Lagrange , referidas a cada una de las coordenadas generalizadas x , z son:

0

0

d

L

L

dt x

x

d

L

L

dt z

z

Reemplazando (9) (10) (11) y (12) en las ecuaciones de Lagrange resultan las siguientes ecuaciones diferenciales, para cada una de las coordenadas

x

,

z

:

2

0

0

m x

m

x

m z

m g

2

0

0

x

x

z

g

(13)

La solución de la segunda de las (13), para las condiciones iniciales dadas, es inmediata:

2 0

1

2

z

z

g

z

z

gt

v

gt

(14)