De Todo Ojoo

(1)

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

Departamento Académico de Ingeniería Civil

TEMA: CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

LECTURA:

NOTA:

ALUMNO: GRUPO Nº 4

CLAVE:

CURSO: DINÁMICA

FECHA:25-01-2012

HORARIO:

CODIGO:

En una rampa se colocan cajas a

intervalos uniformes de tiempos t

R

y se

deslizan hacia abajo de la rampa con

aceleración uniforme. Si se sabe que

cuando se suelta la caja B, la caja A ya se

ha deslizado s y que en

t

después están

separadas por una distancia de N m,

determine:

a) El valor de t

R

b) La aceleración de las cajas

0 0 0 0

.

t v v

dv

a

dt

a dt

dv

a t

v

a t



 







Luego:





0 0 0 0 0 2 0

.

. .

.

2

t s s t

dx

v

dt

v dt

dx

v

a t dt

s

a t

v t

s





 







a) Tramo AB: Para A

Cuando: 0 0 R A x s t t v    , entonces: 2 2

.

2

2 .

....(1)

R R

t

s

a

s

a t



a) Cuando t=t Para B:

 

2

.

2 t

x



a



(2)

Para A:

     

2

.

2

A

t

N

 

s

x



a





v



t

c) 0

.

A R A A R

v

a t

v

a t







Reemplazando en (1) 2

2 .

R A R

s

a t

s

V t



(3)

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

Departamento Académico de Ingeniería Civil

TEMA: CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

LECTURA:

NOTA:

ALUMNO: GRUPO Nº 4

CLAVE:

CURSO: DINÁMICA

FECHA:25-01-2012

HORARIO:

CODIGO:

En una rampa se colocan cajas a

intervalos uniformes de tiempos t

R

y se

deslizan hacia abajo de la rampa con

aceleración uniforme. Si se sabe que

cuando se suelta la caja B, la caja A ya se

ha deslizado 6m y que 1s después están

separadas por una distancia de 10m,

determine:

a) El valor de t

R

b) La aceleración de las cajas

a) Tramo AB: Para A

0

.

0

.

A t v A

dv

a

dt

a dt

dv

a t

v





Luego: 0 0 0 2

.

. .

.

2

t x t

dx

v

dt

v dt

dx

a t dt

x

t

a

x





Cuando x=6, entonces: 2 2

.

6

2 .

1 2....(1)

R R

t

a

a t



a) Cuando t=1 s Para B:

 

2

1 .

2

2 x

a

x



-( VA)o

(4)

Para A:

   

 

2

1 4 .

.1

2

4

2

4

4 /

A A A A

x

a

v

a

x

v

x

v

m s

















c) 0

.

. 4

A R A R

v

a t

v

a t







Reemplazando en (1) 2

.

1

2 . .

1

2 4. 1

2

3

R R R R R

a t

a t t

t

s



Finalmente:

 

2 2 2 . 1 2 . 3 1 2 4 100 1 lg 1 . . . . 3 1 2, 54 12 lg 4, 4 4 R a t a m cm pu pie a m cm pu s a pies pies     

(5)

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Departamento Académico de Ingeniería Civil

TEMA: CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

LECTURA:

NOTA:

ALUMNO: GRUPO Nº 4

CLAVE:

CURSO: DINÁMICA

FECHA:25-01-2012

HORARIO:

CODIGO:

Un golfista golpea una pelota desde el punto A

con una velocidad inicial

v0

A un ángulo



con la

horizontal. Determine el radio de curvatura de la

trayectoria descrita por la pelota.

a) En el punto A

b) En el punto más alto de la trayectoria.

Solución:

Para determinar el radio de

curvatura en el punto A y en la

altura máxima, tenemos que utilizar

la siguiente fórmula:

2 n

v

a







2 n

v

a

 

Como la magnitud de la velocidad

disminuye, la

a

T

se dirige al punto A.

a) En el punto A el radio de

curvatura es:





2 0 2 0 . 90 A n A V a V g sen      

(6)

b) En la altura máxima





2 0 .max

.cos

h

V

g







(7)

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Departamento Académico de Ingeniería Civil

TEMA: CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

LECTURA:

NOTA:

ALUMNO: GRUPO Nº 4

CLAVE:

CURSO: DINÁMICA

FECHA:25-01-2012

HORARIO:

CODIGO:

Un golfista golpea una pelota desde el punto

A con una velocidad inicial de 50 m/s a un

ángulo de 25

0

_{con la horizontal. Determine el}

radio de curvatura de la trayectoria descrita

por la pelota.

a) En el punto A

b) En el punto más alto de la trayectoria.

Solución:

Para determinar el radio de curvatura en el punto A y en la altura máxima, tenemos que utilizar la siguiente fórmula: 2 n

v

a





 2 n

v

a

 

Como la magnitud de la velocidad disminuye, la

a

Tse dirige al punto A.

a) En el punto A el radio de curvatura es: 2 2

50 9,81

.

65 281,18

A A n A A

V

a

sen





(8)

B) En la altura máxima 2 .max .max

45, 315

209, 32

9,81

209, 32

h h

m





(9)

(10)

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Departamento Académico de Ingeniería Civil

TEMA: TRABAJO Y ENERGÍA

LECTURA:

NOTA:

ALUMNO: GRUPO Nº 4

CLAVE:

CURSO: DINÁMICA

FECHA:29-02-2012

HORARIO:

CODIGO:

1) El collar tiene masa de 20kg y se desliza a lo largo de la barra lisa. Dos resortes están unidos al collar y a los Extremos de la barra como se muestra. Si cada resorte tiene longitud no comprimida de un metro y el collar tiene rapidez de 2m/s cuando s=0, determine la compresión máxima de cada resorte debido al movimiento del vaivén (Oscilatorio) del collar.

Desarrollo :

Calculo de la deformación máxima del collar ; Por el principio de trabajo y energía ,

+ = 1 2 + = 1 2 =1₂ +1₂ , , ₌1 2(50)( Á ) +1_{2 (100)(} Á ) Como = 2 / ; = 0 y m=20kg 1 2 20(2) .− 1 2(50),( ) − 1 2(100)( Á ) = 0 De donde : = 0.730

(11)

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Departamento Académico de Ingeniería Civil

TEMA: TRABAJO Y ENERGIA

LECTURA:

NOTA:

ALUMNO: GRUPO Nº 4

CLAVE:

CURSO: DINÁMICA

FECHA:29-02-2012

HORARIO:

CODIGO:

1.a) El collar tiene masa de M kg y se desliza a lo largo de la barra lisa. Dos resortes están unidos al collar y a los Extremos de la barra como se muestra. Si cada resorte tiene longitud no comprimida de “m” metro y el collar tiene rapidez de “V” m/s cuando s=0, determine la compresión máxima de cada resorte debido al movimiento del vaivén (Oscilatorio) del collar.

Desarrollo :

Calculo de la deformación máxima del collar ; Por el principio de trabajo y energía ,

+ = 1 2 + = 1 2 =1₂ .+ 1 2 Como = " " / ; = 0 y m=M kg 1 2 ( ) .− 1 2 ( )( ) − 1 2 ( )( Á ) = 0 De donde :

=

(12)

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Departamento Académico de Ingeniería Civil

TEMA: TRABAJO Y ENERGIA

LECTURA:

NOTA:

ALUMNO: GRUPO Nº 4

CLAVE:

CURSO: DINÁMICA

FECHA:29-02-2012

HORARIO:

CODIGO:

2) Un bloque de 2 lb descansa sobre la superficie lisa cilíndrica. Una cuerda elástica de rigidez k=2 lb/pie esta unida al bloque en B y a la base del semicilindro en el punto C. si el bloque es liberado del reposo en A (θ=0), determine la longitud no alargada de la cuerda de manera que el bloque empiece a dejar el semicilindro en el instante θ= 45. Desprecie el tamaño del bloque.

Solución:

Calculo de la longitud inicial del resorte; 2da ley en la dirección radial paraθ=45°

∑ = 2sen45°= _. ( _. )

= 5.8441 / ;

Por el principio de de conservación de la energía entre A-B; tenemos

+ = + ;

.+ = .+ ………..(1)

Bloque en A con = 0;

Situación b; el bloque en B enθ=45° Como = 0; = 5.8441 / y m=2lb

La línea de referencia o para la energía potencial es la horizontal que pasa por A; Estos datos en (1) tenemos;

0 +1₂(2)(1.5 − ) =1_{2 (}_{32.2)(5.844) +}2 1₂(2) 1.5 −₄(1.5) − + 2(1.5 45°); : = 2.77 .

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Departamento Académico de Ingeniería Civil

(13)

ALUMNO: GRUPO Nº 4

CLAVE:

CURSO: DINÁMICA

FECHA:29-02-2012

HORARIO:

CODIGO:

1) Un bloque de peso w lb descansa sobre la superficie lisa cilíndrica. Una cuerda elástica de rigidez “k lb/pie” esta unida al bloque en B y a la base del semicilindro en el punto C. si el bloque es liberado del reposo en A (θ=0), determine la longitud no alargada de la cuerda de manera que el bloque empiece a dejar el semicilindro en el instante θ= 45. Desprecie el tamaño del bloque.

Solución:

Calculo de la longitud inicial del resorte; 2da ley en la dirección radial paraθ=45°

∑ = wsen45°= _. ( )

= 3.896 ;

Por el principio de de conservación de la energía entre A-B; tenemos

+ = + ;

.+ = .+ ………..(1)

Bloque en A con = 0;

Situación b; el bloque en B enθ=45° Como = 0; = 3.896 y peso=w

La línea de referencia o para la energía potencial es la horizontal que pasa por A; Estos datos en (1) tenemos;

0 +1₂( )(1.5 − ) =1_{2 (9.81)(3.896 ) +}1₂( ) 1.5 −₄(1.5) − + ( 45°);

(14)

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Departamento Académico de Ingeniería Civil

TEMA: Cantidad de movimiento

LECTURA:

NOTA:

ALUMNO: GRUPO Nº 4

CLAVE:

CURSO: DINÁMICA

FECHA:

HORARIO:

CODIGO:

Ing. MC Yrma Rodríguez Llontop

La carretilla B de

W

B esta apoyada en rodillos

de tamaño insignificante. Si se lanza

horizontalmente una maleta A de

W

A sobre la

carretilla a

v

Acuando está en reposo,

determine el tiempo durante el cual A se desliza con respecto a B, y la velocidad final de A y B. El coeficiente de fricción cinética entre A y B es



_k.

Diagrama de cuerpo libre

Por conservación de la cantidad de movimiento:

 

1 1 2 2 1 2 2 1 A A B A A A A A A B

m v

W

v

g

W

v

W



 





_



























 

_







Para

 

v

B ₂:

   

₂ ₂ A B A B A B B A

v

 



Por principio de impulso y cantidad de movimiento lineal:

 

 



 

2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2

(

)

(

)

t t A A A k A A A k A A A A A k

m v

Fdt m v

W

v

W

t

v

g

W

t

W

v

g

v

t

g



 









































_

_









 





Rpta. Rpta .

(15)

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

Departamento Académico de Ingeniería Civil

TEMA: Cantidad de movimiento

LECTURA:

NOTA:

ALUMNO: GRUPO Nº 4

CLAVE:

CURSO: DINÁMICA

FECHA:

HORARIO:

CODIGO:

Ing. MC Yrma Rodríguez Llontop

La carretilla B de 20 libras está apoyada en rodillos de tamaño insignificante. Si se lanza horizontalmente una maleta A de 10 libras sobre la carretilla a 10 pies/s cuando está en reposo, determine el tiempo durante el cual A se desliza con respecto a B, y la velocidad final de A y B. El coeficiente de fricción cinética entre A y B es



k=0.4

Diagrama de cuerpo libre

Por conservación de la cantidad de movimiento:

 

1 1 2 2 2 2

10

30

10

32.2

3.33 / ...

A A

m v

v

pies s Rpta



 





_























Para

 

vB ₂:

Por principio de impulso y cantidad de movimiento lineal:

 





2 1 1 1 2 2 2 1 10 10 10 (0.4)(10) (3.33) 32.2 32.2 0.52 ... t t m v Fdt m v t t t segundos Rpta      _ _ _           



   

 

   

2 2 2 2 2 3.33 / ... 3.33 / . A B A B A B B A A B A v v v v v v v v pies s Rpta v v pies s       

(16)

UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO” Departamento Académico de Ingeniería Civil

TEMA: Impulso y Cantidad de Movimiento CURSO: Dinámica G. HORARIO:

• ALUMNOS:

Becerra Hernández Ana Julia 41

Coronel Díaz Juan Antonio 42

Guevara Barrera Jorge Israel 43

Guevara Dávila Javier 44 Grupo: # 04

FECHA: 08/02/12

Enunciado:El bloque de M kg es mantenido en reposo sobre el plano inclinado por medo del tope colocado en A. Si la bala de m g está viajando a A m/s cuando se incrusta en el bloque de M kg, determine la distancia que el bloque se deslizara hacia arriba del plano antes de detenerse

momentáneamente.

(17)

Solución:

Calculo de la distancia que sube el bloque por el plano inclinado hasta parar: Por conservación de momento lineal :(+ )



mv

1





mv

2

Instante 1: Bala antes de chocar al bloque

Instante 2: Bala incrustada en bloque luego del choque

En la dirección paralela al eje inclinado: se tiene

m v

b b



(

m

b



m v

B

)

x

(+ )

( cos 30)

(

)

1000

m

A





M v

Entonces la velocidad inicial del bloque con la bala es: v=

( cos 30)

1000

m A

v

m

M





Luego aplicamos la conservación de energía mecánica=

T

1

 

V

1

T

2



V

2

Instante 1: Bloque después del impacto Instante 2: Bloque se detiene al subir

Con los datos conocidos :

0

1 (

)( )

2

0 (

)( )

2 M

m v

M g h



 

De donde : h= 2 2

1 ( cos 30)

(

)

2000

(

1000

)

m a

Mg m



M

La distancia que sube en el plano es D =

2 2

1 ( cos 30)

(

)

2000

(

1000

)

m a

Mg m



M

/sin30 D = 2 2

1 ( cos 30)

(

)

2000

30 (

1000

)

m a

sen

Mg m



M

(18)

TEMA: Impulso y Cantidad de movimiento CURSO: Dinámica G. HORARIO:

• ALUMNOS:

FECHA: 08/02/12

Enunciado:El bloque de 10 kg es mantenido en reposo sobre el plano inclinado por medo del tope colocado en A. Si la bala de 10 g está viajando a 300 m/s cuando se incrusta en el bloque de 10 kg, determine la distancia que el bloque se deslizara hacia arriba del plano antes de detenerse momentáneamente.

(19)

Solución:

Calculo de la distancia que sube el bloque por el plano inclinado hasta parar:

Por conservación de momento lineal :(+ )



mv

1





mv

2

Instante 1: Bala antes de chocar al bloque

Instante 2: Bala incrustada en bloque luego del choque

En la dirección paralela al eje inclinado: se tiene

m v

b b



(

m

b



m v

B

)

x

Como mb=0.10kg , mB=10kg

(+ )

0.01(300 cos 30)



(0.01 10)v



Entonces la velocidad inicial del bloque con la bala es: v=0.259548 m/s Luego aplicamos la conservación de energía mecánica=

T

1

 

V

1

T

2



V

2

Instante 1: Bloque después del impacto Instante 2: Bloque se detiene al subir

Con los datos conocidos :

0

1 (10 0.01)(0.259548 )

2

0 (10)(9.81)

2 h



 

De donde : h= 0.003433498= 3.433498 mm

(20)

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

Departamento Académico de Ingeniería Civil

TEMA: VIBRACIONES

LECTURA:

NOTA:

ALUMNO: GRUPO Nº 4

CLAVE:

CURSO: DINÁMICA

FECHA:15-02-2012

HORARIO:

CODIGO:

Entonces:

Calcular la frecuencia y el periodo, con la que

oscilará el carrito de masa”m”, considerando

que todos los resortes son iguales y de

constante K.

Primero vamos a calcular la constante

equivalente (

K

Eq

) del conjunto de

resortes:

La configuración mostrada es equivalente a

dos resortes en paralelo.

1

2

3

5

3

Eq Eq Eq

K











La frecuencia con la que oscilará será:

1 1 1

(2 )( )

2 (2 )( )

3

2

3 K K

K

K K

K







(21)

1

2

5

1 ₃

2

1

5

2

3

Eq

K

f

m

K

f

m

K

f

m









 







Calculamos el periodo de oscilación:

2

5

3

2

5

Eq Eq

m

T

K

m

T

K

m

T

K

m

T

K









 







Ing. MC Yrma Rodriguez LLontop

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

Departamento Académico de Ingeniería Civil

TEMA: VIBRACIONES

LECTURA:

NOTA:

(22)

CURSO: DINÁMICA

FECHA:15-02-2012

HORARIO:

CODIGO:

El observador no inercial observa equilibrio en el sistema. Luego cumple:

El sistema mecánico mostrado, constituido

por dos resortes, una barra ingrávida y una

esferita de masa “m”; está en equilibrio. Si la

esferita es desviada ligeramente hacia abajo y

soltada; ¿Cuánto será el periodo de las

oscilaciones de la esferita?

(Considere en la situación mostrada que el

resorte (K

1

) está estirado y el resorte (K2) está

comprimido)

Hacemos el diagrama de cuerpo libre(al sistema), para la situación de equilibrio mostrada:

Si queremos calcular el periodo de oscilaciones, haremos el D.C.L. a la barra cuando la esferita ha sido desviada de su posición de equilibrio (P.E)

El observador agrega en el D.C.L. la fuerza inercial (F´= ma); en dirección opuesta a la aceleración del M.A.S. medido desde tierra. Si consideramos un desplazamiento angular

pequeño, los arcos girados serán

(23)

De (I); simplificando:

En el Gráfico:

También:

Luego:

Ing. MC Yrma Rodriguez LLontop

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

Departamento Académico de Ingeniería Civil

(24)

ALUMNO: GRUPO Nº 4

CLAVE:

CURSO: DINÁMICA

FECHA:15-02-2012

HORARIO:

CODIGO:

El observador no inercial observa equilibrio en el sistema. Luego cumple:

El sistema mecánico mostrado, constituido

por dos resortes, una barra ingrávida y una

esferita de masa “m = 30 kg”; está en

equilibrio. Si la esferita es desviada

ligeramente hacia abajo y soltada; ¿Cuánto

será el periodo de las oscilaciones de la

esferita?

(Considere en la situación mostrada que el

resorte (K

1=

7N/m) está estirado y el resorte

(K

2

=2N/m) está comprimido)

Hacemos el diagrama de cuerpo libre(al sistema), para la situación de equilibrio mostrada:

Si queremos calcular el periodo de

oscilaciones, haremos el D.C.L. de la barra cuando la esferita ha sido desviada de su posición de equilibrio (P.E)

El observador agrega en el D.C.L. la fuerza inercial (F´= ma); en dirección opuesta a la aceleración del M.A.S. medido desde tierra. Si consideramos un desplazamiento angular

pequeño, los arcos girados serán

(25)

De (I); simplificando:

En el Gráfico:

También:

Luego:

Entonces reemplazando valores, obtenemos:

30 2(3.14)

4(7

/

)

2 /

6.28 Kg

T

N m

T

s







Ing. MC Yrma Rodriguez LLontop

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

Departamento Académico de Ingeniería Civil

(26)

ALUMNO: GRUPO Nº 4

CLAVE:

CURSO: DINÁMICA

FECHA:15-02-2012

HORARIO:

CODIGO:

Entonces:

1

2

1

400 /

2

1

10 3.1831

Eq

K

f

m

N m

f

kg

f

Hz

f

Hz





Calcular la frecuencia y el periodo, con la que

oscilará el carrito de 1Kg de masa,

considerando que todos los resortes son

iguales y de constante K= 240N/m

Primero vamos a calcular la constante

equivalente (

K

Eq

) del conjunto de

resortes:

La configuración mostrada es equivalente a

dos resortes en paralelo.

1

2

3

5

3

5 (240

/

)

3

400 /

Eq Eq Eq Eq Eq

K

N m

K

N m











La frecuencia con la que oscilará será:

1 1 1 (2 )( ) 2 (2 )( ) 3 2 3 K K K K K K K K K K K    

(27)

Calculamos el periodo de oscilación:

1

2

1

0.314

3.18

0.3

Eq

m

T

K

f

T

s

T

s







Ing. MC Yrma Rodriguez LLontop

(28)

TEMA: Vibraciones Mecánicas CURSO: Dinámica G. HORARIO:

• ALUMNOS:

Guevara Barrera Jorge Israel 43 Guevara Dávila Javier 44

Grupo: # 04

FECHA: 15/02/12

1.

Enunciado: La fuerza inicial de la vibración armónica de una

partícula es igual a cero. Cuando la Elongación del punto es igual a x1cm su velocidad es igual a v1cm/s y cuando dicha elongación es

de x2 cm la velocidad es igual a v2 cm/s. Hallar la amplitud y el

periodo de esta vibración.

Gráfico

Solución:

 Ya que la fase inicial es nula, se tendrá que:

X(T)= A Sen (wt) y V(T)= A w Cos (wt)

 De acuerdo con los datos se tiene que:

X1= A Sen (wt) y V1= A w Cos (wt), de donde: Sen (wt) = X1/A y Cos (wt) = V1/Aw

 De estas últimas ecuaciones, elevando al cuadrado , se llega a:

+ = A2_{……… (a)}

 Asimismo se tendrá que:

2,8 = A Sen (wt) y 2 = Aw Cos (wt), de donde: Sen (wt) = , y Cos (wt) =

 Elevando al cuadrado estas ecuaciones se tiene que:

7,84 + = A2_{………. (b)}

 Igualando las ecuaciones (a) y (b) y resolviendo:

2,08 = , de donde w = _, = 1,55 rad/s

 Dado que:

W =





= 1,55 rad/s y que



es el periodo del movimiento, se tiene:



=



,

= 4,05 s  La amplitud del movimiento es:

(29)

• ALUMNOS:

Guevara Barrera Jorge Israel 43 Guevara Dávila Javier 44

Grupo: # 04

FECHA: 15/02/12

2.

Enunciado: La fuerza inicial de la vibración armónica de una

partícula es igual a cero. Cuando la Elongación del punto es igual a x1cm su velocidad es igual a v1cm/s y cuando dicha elongación es

de x2 cm la velocidad es igual a v2 cm/s. Hallar la amplitud y el

periodo de esta vibración.

(30)

Solución:

 Ya que la fase inicial es nula, se tendrá que:

X(T)= A Sen (wt) y V(T)= A w Cos (wt)

 De acuerdo con los datos se tiene que:

x1= A Sen (wt) y v1= A w Cos (wt), de donde: Sen (wt) = x1/A y Cos (wt) = v1/Aw

 De estas últimas ecuaciones, elevando al cuadrado , se llega a:

x12+ v12/w2= A2……… (a)

 Asimismo se tendrá que:

x2= A Sen (wt) y v2= Aw Cos (wt), de donde: Sen (wt) = x2/A y Cos (wt) = v2/Aw

 Elevando al cuadrado estas ecuaciones se tiene que:

x22+ v22/w2= A2………. (b)

 Igualando las ecuaciones (a) y (b) y resolviendo:

X22– x12= (v12- v22)/w2, de donde 2 2 1 2 2 2 2 1

v

X – x

w





 Dado que: W =





y que



es el periodo del movimiento, se tiene:

2 2 2 2 1 2 2 1

2 (v

v ) / (X

– x )



 



 La amplitud del movimiento es:

2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1

v

x

((v

v ) / (X

– x ))

A







• ALUMNOS:

(31)

Guevara Dávila Javier 44

FECHA: 15/02/12

1. Enunciado: Un bloque de 30 kg. Se mueve entre guías verticales como se muestra el bloque que es empujado 10 mm hacia abajo desde su posición de equilibrio y se suelta. Para cada arreglo de resorte, determine el periodo de la vibración, la máxima velocidad del bloque y su máxima aceleración.

Gráfico

Solución:

-Resortes conectados en serie: Se determina primero la constante K de un solo resorte equivalente para los dos resortes determinando la elongación total d de los resortes bajo una carga estática determinada p.

d = d1 + d2 = + p = Kd d = = + =

(

)

.

. P =

.

=

( )

= 2,4 KN/m = 2,4 x 103_N/m  Periodo de vibración: Wn2= =

,

/

Wn= 8,944 rad/s



=



=



,



= 0,702 s  Velocidad máxima: Vm = Xm. Wn= (0,010 m) (8,944 rad/s) Vm= 0,089 m/s  Aceleración Máxima: am= Xm. Wm2= (0,010 m) (8,944 rad/s)2 am= 0,800 m/s2

(32)

• ALUMNOS:

FECHA: 15/02/12

2. Enunciado: Un bloque de 30 kg. Se mueve entre guías verticales como se muestra el bloque que es empujado 10 mm hacia abajo desde su posición de equilibrio y se suelta. Para cada arreglo de resorte, determine el periodo de la vibración, la máxima velocidad del bloque y su máxima aceleración.

Gráfico

Solución:

-Resortes conectados en serie: Se determina primero la constante K de un solo resorte equivalente para los dos resortes determinando la elongación total d de los resortes bajo una carga estática determinada p.

d = d1 + d2 = + p = Kd d = = + =

(

)

.

p =

.

=

( )

= 2,4 KN/m = 2,4 x 103_N/m  Periodo de vibración: Wn2= =

,

/

Wn= 8,944 rad/s



=



=



,



= 0,702 s  Velocidad máxima: Vm = Xm. Wn= (0,010 m) (8,944 rad/s) Vm= 0,089 m/s  Aceleración Máxima: am= Xm. Wm2= (0,010 m) (8,944 rad/s)2 am= 0,800 m/s2

(33)

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

Departamento Académico de Ingeniería Civil

TEMA: CINETICA DEL SOLIDO

LECTURA:

NOTA:

ALUMNO: GRUPO Nº 4

CLAVE:

CURSO: DINÁMICA

FECHA:22-02-2012

HORARIO:

CODIGO:

Ing. MC Yrma Rodríguez Llontop

Una varilla homogénea de longitud AB=L m y de m

kg de masa se encuentra en reposo sobre una

superficie

horizontal

lisa.

Se

aplica

instantáneamente en B una fuerza de

F

N

horizontal y perpendicular a la varilla. Calcular en

dicho instante:

a) La aceleración del centro G de la varilla.

b) La aceleración angular de la varilla.

c) La aceleración de los puntos A y B.

SOLUCION: DCL:

Para encontrar la aceleración del centro G de la varilla.

Para encontrar la aceleración angular de la

varilla.

Aceleración de A:

Aceleración de B:

2 ˆ / j G G G G F ma F ma F a j m F a m s m        _{ }



2 2

( )

2

12 ( ) 12

2

6

G G

M

I

L

mL

F

L

F

x

mL

xF

mL









/

6 _ˆ

ˆ

_{´ (}

ˆ

₎

2

3 ˆ

ˆ

A G A A A

a

xr

G

F

L

a

j

k x

i

m

mL

F

a

j

m

















_

_



_

_





















_

_



_

_











/

6 _ˆ

ˆ

₍

ˆ

₎

2

3 ˆ

ˆ

B G B B B

a

xr

G

F

L

a

j

kx

i

m

mL

F

a

j

m







 







_{ }



_

_

 





 







_{ }



_

_

 







(34)

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

Departamento Académico de Ingeniería Civil

TEMA: CINETICA DEL SOLIDO

LECTURA:

NOTA:

ALUMNO: GRUPO Nº 4

CLAVE:

CURSO: DINÁMICA

FECHA:22-02-2012

HORARIO:

CODIGO:

Ing. MC Yrma Rodríguez Llontop

1. Una varilla homogénea de longitud

AB=1.2m y de 8kg de masa se encuentra

en reposo sobre una superficie horizontal

lisa. Se aplica instantáneamente en B una

fuerza de 16 N horizontal y perpendicular a

la varilla. Calcular en dicho instante:

a) La aceleración del centro G de la varilla.

b) La aceleración angular de la varilla.

c) La aceleración de los puntos A y B.

SOLUCION: DCL:

Para encontrar la aceleración del centro G de la varilla.

Para encontrar la aceleración angular de la

varilla.

Aceleración de A:

Aceleración de B:

2 ˆ 1 6 _ˆ 8 ˆ 2 / j G G G G G F m a F m a F a j m N a j K g a m s j     



2 2 ( ) 2 12 1.2 8 (1.2) 16 ( ) 2 12 ˆ 10 / . G G M I L ml F x x rad s k        



    2

/

ˆ

2 10 ´ ( 0.6 )

ˆ

2

6 ˆ

4 /

A G A A A A

a

xr

G

a

j

k x

i

a

j

a

jm s

















 



2

/

ˆ

2

10 (0.6 )

ˆ

2

6 ˆ

8 /

B G B B B B

a

xr

G

a

j

kx

i

a

j

a

jm s



















(35)

TEMA: Cinética del Solido Rígido CURSO: Dinámica G. HORARIO:

• ALUMNOS:

FECHA: 29/02/12

Enunciado:El automóvil deportivo tiene un peso de W lb y centro de gravedad en G. Si parte del reposo tus ruedas posteriores deslizan cuando acelera. Determine cuánto tiempo le toma alcanzar una rapidez de V pies/s. ¿Cuáles son las reacciones normales en cada una de las cuatro ruedas sobre el camino?

Los coeficientes de fricción estática y cinemática en el camino son

μ

s y

μ

k respectivamente. Desprecia la masa de las

ruedas.

(36)

Solución:

La figura muestra el diagrama de cuerpo libre del automóvil. Como solo deslizan las ruedas posteriores se tiene que:

FA=0; FB=

μ

k. NB ← FX= m (

a

G)x; 2 FB= (

a

G)2

μ

k. NB= (

a

G)……….(1) + ↑ Fy= m (

a

G)y; 2NA+ 2NB–W = O………….……… (2) +  MG= 0; 2 (

μ

k. NB) (z) + (2 NA) (Y) – (2NB) (X) = 0………..….(3) Resolviendo (2) y (3) tenemos: NB= .. ( . ) NA= ( . ) ( . )

a

G= . . .

Luego para determinar el tiempo para adquirir la velocidad de “V” utilizamos la siguiente expresión: () V = Vi + (

a

G) (T)

V = 0 + (

a

G) (T)

T = ( . )

(37)

TEMA: Cinética del Solido Rígido CURSO: Dinámica G. HORARIO:

• ALUMNOS:

FECHA: 22/02/12

Enunciado:El automóvil deportivo tiene un peso de 4500 lb y centro de gravedad en G. Si parte del reposo tus ruedas posteriores deslizan cuando acelera. Determine cuánto tiempo le toma alcanzar una rapidez de 10 pies/s. ¿Cuáles son las reacciones normales en cada una de las cuatro ruedas sobre el camino?

Los coeficientes de fricción estática y cinemática en el camino son

μ

s = 0.5 y

μ

k= 0.3 respectivamente. Desprecia la

masa de las ruedas.

(38)

Solución:

La figura muestra el diagrama de cuerpo libre del automóvil. Como solo deslizan las ruedas posteriores se tiene que:

FA= O; FB= 0.3 NB ← FX= m (

a

G)x; 2 ( 0.3NB) = ( . ) (

a

G) (1) + ↑ Fy= m (

a

G)x; 2NA+ 2NB– (4500) = O (2) +  MG= 0 (2) (0.3 NB) (2.5) + (2NA) (2) – (2NB) (4) = 0 (3)

Resolviendo las ecuaciones (2) (3) tenemos que:

NB= 857 Ib; NA= 1393 Ib



a

G= 3.68 pies/ s2

Luego para determinar el tiempo para adquirir la velocidad de 10 pies/s utilizamos la siguiente expresión:

()  =  +

a

G

(39)

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

Departamento Académico de Ingeniería Civil

TEMA: CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO

LECTURA:

NOTA:

ALUMNO: GRUPO Nº 4

CLAVE:

CURSO: DINÁMICA

FECHA:22-02-2012

HORARIO:

CODIGO:

El camión con brazo de levantamiento y el

operador tienen un peso combinado de

“W” lb y centro de masa en G. Si el camión se

usa para levantar y el tubo de concreto de

“W

P

” lb, determine las reacciones normales

en cada una de sus cuatro ruedas si el tubo

recibe una aceleración hacia arriba de “a”

pies/s

2

_.

Realizamos el D.C.L del cuerpo:

Aplicando la ecuación de movimiento rotatorio en A, tenemos:

  

 

  

 

( ) ( )( ) (2 )( ) ( )( ) (2 )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 ( ) ( )( ) 2 ( ) A k A P P B P B P P P B P B M M W W b N d c W c a b g W N d c a b W c W b g W a b W c W b g N d c W a b gb W c g N d c       _{  } _       _ _       _ _         _ _{ }  _    



(40)

Ing. MC Yrma Rodriguez LLontop

Luego, aplicamos la ecuación de movimiento: +↑



F_y m a( _G) ;_y

 

2 2 2 2 2 P A P A P B P P B A W N a g W N a W W N g W a W W N g N          _ _               

(41)

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

Departamento Académico de Ingeniería Civil

TEMA: CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO

LECTURA:

NOTA:

ALUMNO: GRUPO Nº 4

CLAVE:

CURSO: DINÁMICA

FECHA:22-02-2012

HORARIO:

CODIGO:

Donde: b=5 pies c=4 pies d=6 pies

Ing. MC Yrma Rodriguez LLontop

El camión con brazo de levantamiento y el

operador tienen un peso combinado de 10 000 lb

y centro de masa en G. Si el camión se usa para

levantar y el tubo de concreto de 2000 lb,

determine las reacciones normales en cada una

de sus cuatro ruedas si el tubo recibe una

aceleración hacia arriba de 4 pies/s

2

_.

Realizamos el D.C.L del cuerpo:

Aplicando la ecuación de movimiento rotatorio en A, tenemos:     ( ) 2000 (2000)(5) (2 )(10) (10000)(4) 4 5 32.2 1437.9 A k A B B M M N N lb       _{  }_ _ _     



Luego, aplicamos la ecuación de movimiento: +↑



F_y m a( _G) ;_y

 

2000

2

2 2000 10000

4

32.2 2000

2 2(1437.9) 2000 10000

4

32.2 4686.3

A B A A

N

lb









_{ }

_













_{ }

_







(42)

UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO” Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: Cinética del Solido Rígido: Impulso y Cantidad

de Movimiento

CURSO: Dinámica G. HORARIO:

• ALUMNOS:

FECHA: 29/02/12

Enunciado: En el disco de W lb mostrada actúan un momento

de par de M lb.pie y una fuerza de F lb la cual se aplica a una cuerda enrollada alrededor de su periferia. Determine la

velocidad angular del disco T segundos después de que empieza a moverse del reposo. Además ¿Cuáles son los componentes de la reacción en el pasador?

(43)

Solución:

Diagrama de cuerpo libre: El centro de masa del disco no se mueve; sin embargo, la carga hace que el disco gire en el sentido de las manecillas del reloj.

El momento de inercia del disco con respecto a su eje de rotación es:

2 2

1

1 (

)( )

2

A

W

Wr

I

mr

r

g



Principio de impulso y cantidad de movimiento:

(+ ) 1 1 2 2

(

Ax

)

x

(

Ax

)

t

m v

F dt m v

t







0 

A T

x

( )



0

(+ ) 1 1 2 2

(

Ay

)

y

(

Ay

)

t

m v

F dt m v

t







0 

A T

Y

( )



W T

( )



F T

( )



0

(+ ) 1 1 2 2 A A A

t

I w

M dt I w

t







2

0 ( ) ( ( ))( )

2 Wr

M T

F T

r

w

g





Al resolver estas ecuaciones resulta:

AX=0

AY=(W+F)lb

(44)

TEMA: Cinética del Solido Rígido: Impulso Y Cantidad de movimiento

CURSO: Dinámica G. HORARIO:

• ALUMNOS:

FECHA: 29/02/12

Enunciado: En el disco de 20 lb mostrado actúan un momento

de par de 4lb.pie y una fuerza de 10 lb la cual se aplica a una cuerda enrollada alrededor de su periferia. Determine la

velocidad angular del disco 2 segundos después de que empieza a moverse del reposo. Además ¿Cuáles son los componentes de la reacción en el pasador?

Gráfi co

(45)

Solución:

Diagrama de cuerpo libre: El centro de masa del disco no se mueve; sin embargo, la carga hace que el disco gire en el sentido de las manecillas del reloj.

El momento de inercia del disco con respecto a su eje de rotación es:

2 2 2 2

1

20 (

)(0.75)

0.1747

.

2 2 32.2

/

A

lb

I

mr

slug pie

pies s



Principio de impulso y cantidad de movimiento:

(+ ) 1 1 2 2

(

Ax

)

x

(

Ax

)

t

m v

F dt m v

t







0 

A

x

(2)



0

(+ ) 1 1 2 2

(

Ay

)

y

(

Ay

)

t

m v

F dt m v

t







0 

A

Y

(2)



20(2) 10(2)





0

(+ ) 1 1 2 2 A A A

t

I w

M dt I w

t







2

0 

4(2) (10(2))(0.75)





0.1747w

Al resolver estas ecuaciones resulta:

AX=0

AY=30lb

(46)

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

Departamento Académico de Ingeniería Civil

TEMA: CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

LECTURA:

NOTA:

ALUMNO: GRUPO Nº 4

CLAVE:

CURSO: DINÁMICA

FECHA:29-02-2012

HORARIO:

CODIGO:

Donde : a = 1.5 m b= 1.5 m g= 9.81 m/s2

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

Cuando la barra AB de masa M igual a 10 kg , está

en posición horizontal está en reposo y el resorte

no está alargado. Determine la rigidez “K” del

resorte de modo que el movimiento de la barra se

detenga momentáneamente cuando ha girado 90

º en sentido de las manecillas de reloj.

SOLUCIÓN

Aplicamos el principio de la conservación de la energía: Hacemos el DCL:













1 1 2 2 2 2 ₂ 2 2 ₂ 2 2 ₂

1 0 0

0

2

2 (10).(9.81)(1.5)

1.5 1.5

1.5

42.8 T V

T

V

a

k

a

b

a

b

Mg

Mga

k

a

b

a

b

k

N

k

m

 







  

_





_











_

_















_

_













(47)

Departamento Académico de Ingeniería Civil

TEMA:

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

CUERPO RÍGIDO

LECTURA:

NOTA:

ALUMNO: GRUPO Nº 4

CLAVE:

CURSO: DINÁMICA

FECHA:29-02-2012

HORARIO:

CODIGO:

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

Cuando la barra AB de masa M está en posición

horizontal, está en reposo y el resorte no está

alargado. Determine la rigidez “K” del resorte de

modo que el movimiento de la barra se detenga

momentáneamente cuando ha girado 90 º en

sentido de las manecillas de reloj.

SOLUCIÓN

Aplicamos el principio de la conservación de la energía: Hacemos el DCL:









1 1 2 2 2 2 ₂ 2 2 ₂

1 0 0 0

2

2 T V

T

V

a

k

a b

a

b

Mg

Mga

k

a b

a

b

  





  

_



 

_











_

_{ }











(48)

Departamento Académico de Ingeniería Civil

TEMA: TRABAJO Y ENERGIA DEL SOLIDO RIGIDO

LECTURA:

NOTA:

ALUMNO: GRUPO Nº 4

CLAVE:

CURSO: DINÁMICA

FECHA:22-02-2012

HORARIO:

CODIGO:

Reemplazamos los valores en T2:

1. La barra delgada uniforme de masa

mkg está en reposo en la posición

que se muestra cuando se aplica una

fuerza P

Determine su velocidad angular

cuando alcanza la posición

vertical.

SOLUCION DIAGRAMA CINETICO

Posición De Reposo

Posición Vertical

Ahora primero hallamos la energía cinética; como VG1=0 entonces:

Para hallar T2primero hallamos:

Hallamos IG: 1 0 T  2 2 / 2

(

V

_G

)





(

r

_{G CI}

)





(2.5)

2 2 2 1 1 ( )(5 ) 2.083 . 2 12 G I  ml  mkg  mkg m

(49)

 Hallamos los trabajos de la fuerza P y del peso W:

Aplicando el principio de trabajo y energía

Ing. MC Yrma Rodríguez LLontop

2 2 2 2 2 1 1 ( ) 2 G 2 G T  m v  I 





2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) (2.5) (2.083 ) 4.167 * 2 2 T  m   m  m ( ) (3) 3 P p U P s P  PJ

( )

(9.81)(2.5 2.5sin(53))

4.905

w w

U

W h

m

U

mJ

 



 

1 1 2 2 2 2 2

0 3

4.94 4.167 *

3

4.905 4.167 *

T

U

T

P

m

P

m





















(50)

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

Departamento Académico de Ingeniería Civil

TEMA: TRABAJO Y ENERGIA DEL SOLIDO RIGIDO

LECTURA:

NOTA:

ALUMNO: GRUPO Nº 4

CLAVE:

CURSO: DINÁMICA

FECHA:22-02-2012

HORARIO:

CODIGO:

2. La barra delgada uniforme de masa

50kg está en reposo en la posición

que se muestra cuando se aplica una

fuerza P=600N.

Determine su velocidad angular

cuando alcanza la posición

vertical.

SOLUCION DIAGRAMA CINETICO

Posición De Reposo

Posición Vertical

Ahora primero hallamos la energía cinética; como VG1=0 entonces:

Para hallar T2primero hallamos:

Hallamos IG: 1

0 T



2 2 / 2

(

V

_G

)





(

r

_{G CI}

)





(2.5)

2 2 2 1 1 (50 )(5 ) 104.17 . 2 12 G I  ml  kg  kg m

(51)

Reemplazamos los valores en T2:

 Hallamos los trabajos de la fuerza P y del peso W:

Aplicando el principio de trabajo y energía

Ing. MC Yrma Rodríguez LLontop

2 2 2 2 2 1 1 ( ) 2 G 2 G T  m v  I 





2 ₂ ₂ 2 2 2 2 1 1 (50) (2.5) (104.17) 208.33 2 2 T       ( ) 600(3) 1800 P p U P s   J

( )

50(9.81)(2.5 2.5sin(53))

245.25

w w

U

W h

U

J

 



 

1 1 2 2 2 2 2

0 1800 245.25

208.33

2.732 /

T

U

T

rad s

















(52)

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

Departamento Académico de Ingeniería Civil

TEMA: CINETICA IMPULSO Y MOMENTUM

LECTURA:

NOTA:

ALUMNO: GRUPO Nº 4

CLAVE:

CURSO: DINÁMICA

FECHA:29-02-2012

HORARIO:

CODIGO:

El disco tiene masa de 20kg y originalmente está girando en el extremo del puntal con una velocidad angular de w= 60rad/s. si entonces es colocado contra la pared para la cual el coeficiente de fricción cinética es = 0.3, determine el tiempo requerido para que el movimiento cese. ¿Cuál es la fuerza en el puntal BC durante este tiempo?

Desarrollo:

Aplicando el principio de impulso y momentum Eje x: ( ) ∑ ∫ = ( ) 0 + 30°( ) − = 0 0.5 = Eje y: = ( ) 0 + 30°( ) − 20(9.81) + 0.3 = 0 0.86603 + 0.3 = 196.2 = 193 = 96.553 Ahora aplicando, ( ) + = ( ) 1 2(20)(0.15) (60) − 0.3(96.553) (0.15) = 0 t=3.11s

(53)

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

Departamento Académico de Ingeniería Civil

TEMA: CINETICA IMPULSO Y MOMENTUM

LECTURA:

NOTA:

ALUMNO: GRUPO Nº 4

CLAVE:

CURSO: DINÁMICA

FECHA:29-01-2012

HORARIO:

CODIGO:

El disco tiene masa de mkg y originalmente está girando en el extremo del puntal con una velocidad angular de w rad/s. si entonces es colocado contra la pared para la cual el coeficiente de fricción cinética es determine el tiempo requerido para que el movimiento cese. ¿Cuál es la fuerza en el puntal BC durante este tiempo?

Desarrollo:

Aplicando el principio de impulso y momentum Eje x: ( ) ∑ ∫ = ( ) 0 + 30°( ) − = 0 0.5 = Eje y: = ( ) 0 + 30°( ) − (9.81) + = 0 0.86603 + = 196.2 =_{(0.86603 + 0.5 )}193 = 0.5 Ahora aplicando, ( ) + = ( ) ( )(0.15) ( ) − ( ) (0.15) = 0 = 1 2 (0.15)