Ninguna parte de esta publicación, puede ser reproducida o almacenada o transmitida en alguna manera ni por ningún medio, ya sea electrónico, químico, mecánico, óptico, de grabación o fotocopia, sin previa autorización del editor.
universidad Empresarial siglo 21
Whitney international university system
Rector: Juan Carlos Rabbat
Director de Operaciones de Whitney International University System: Nestor Ferraresi Decano de Educación Distribuida: Fernando Sastre
Director de Tecnología: Jose Garello Directora Académica: Maria Belén Mendé Directora de Comunicación: Cristina Schwander Director de Marketing: Martin Vásquez
Directora de Operaciones: Valeria Domínguez Secretaria de alumno: Maria Eugenia Scocco Coordinadora general: Elida Gimenez
Procesamiento metodológico y didáctico: Olga Singeser Corrector de estilo gramatical: Rodolfo Bellomo
Revisión Editorial: Diego Yorbandi y Mariana Vigo
Derechos Reservados Editorial:
ISBN:
Universidad Empresarial Siglo 21
Mons. Pablo Cabrera Km 8 ½. Camino a Pajas Blancas Córdoba, Argentina
Índice
Presentación del tutor 5
Carta al Alumno 6
Orientación del Aprendizaje 7
Fundamentación 8
Objetivos Generales 9
Programa de Contenidos 9
Esquema Conceptual de la Asignatura 11
Bibliografía 11
Evaluación y Acreditación de la Asignatura 11 MÓDULO 1: Ecuaciones e Inecuaciones Lineales 15
Introducción 15
Objetivos Específicos 15
Esquema conceptual 16
Desarrollo de los contenidos 16
Ecuaciones 16
Inecuaciones 23
Autoevaluación 28
Claves de Autoevaluación 34
Referencias bibliográficas 39
MODULO 2: MATRICES Y VECTORES 43
Introducción 43
Objetivos específicos 43
Esquema conceptual del módulo 44
Desarrollo de los contenidos 44
Matrices 44
Vectores 48
Formas de representación de un sistema 51
Autoevaluación 52
Claves de autoevaluación 56
Referencias bibliográficas 58
MODULO 3: Herramientas Matriciales 61
Introducción 61
Objetivos específicos 61
Esquema conceptual 62
Desarrollo de los contenidos 62
Determinante 62
Matriz inversa 65
Rango de una matriz 69
Autoevaluación 71
Claves de autoevaluación 74
Referencias bibliográficas 77
MODULO 4: Métodos de Resolución de
Introducción 81
Objetivos específicos 81
Esquema conceptual 82
Desarrollo de los contenidos 82
Sistemas de ecuaciones lineales 82
Autoevaluación 88
Claves de autoevaluación 91
HErraMiEntas MatEMÁticas i
Presentación del tutor
ProfesoraNancy Stanecka datos de la tutora
• Licenciada en Matemática egresada de F.A.M.A.F. (Universidad Nacional Córdoba.)
• Tesista del Magister de Estadística Aplicada de la U. N. C.
• Profesora Adjunta por Concurso en la Facultad de Ciencias Económicas de la U. N. C. Asignada a Matemática I y Matemática II.
• Integrante de equipo en proyectos de investigación acreditados.
• Expositora en distintos congresos de Estadística
• Coordinadora de Introducción a la Matemática del Ciclo de Nivelación de Ciencias Económicas (2005-2008).
• Profesora Programática en Herramientas Matemáticas I y Herramientas Matemáticas IV en la Universidad Empresarial Siglo 21 en las modalidades presencial y a distancia.
Carta al Alumno
Estimado alumno,
Como docente tutor de la modalidad a distancia me es muy grato
darle la bienvenida a esta asignatura.
La educación a distancia es una modalidad de estudio seguramente
diferente a la que Ud. ha desarrollado hasta hoy, pero igualmente
efectiva cuando hay esfuerzo, tiempo y dedicación. Es importante tener
presente que cada uno de nosotros sigue un recorrido propio en ésto de
“aprender”, y por lo tanto nuestros tiempos de comprensión, desarrollo
y asimilación también son distintos. Sin embargo en esta propuesta no
estará solo, tendrá el apoyo permanente de tutores que lo apoyarán y lo
guiarán, materiales de trabajo adecuados y el acceso a clases virtuales
donde podrá participar activamente de los ejes fundamentales de cada
módulo.
Herramientas Matemáticas 1 contiene fundamentalmente elementos
de Álgebra. Es una materia básica, herramental y a la vez formativa.
La incorporación de esta asignatura en la carrera, que ha elegido, tiene
como objetivo contribuir a la formación matemática básica de un
estu-diante universitario, es decir que, a través del conocimiento de elementos
del Algebra Lineal se pretende brindar parte del marco
teórico-prác-tico necesario para acceder a distintos conceptos, técnicas y métodos que
se desarrollarán en materias subsiguientes. Además, la experiencia nos
indica que la ejercitación, la correcta formalización lógico-simbólica
de las ideas y la transferencia de los contenidos teóricos a situaciones
problemáticas constituyen parte de la labor indispensable que se requiere
para lograr cierta ductilidad en el manejo algebraico, pero lo más
impor-tante es que estos aspectos contribuyen al desarrollo estructural, lógico
y crítico de cualquier estudiante en formación.
Se pretende no sólo que asimile conceptos y técnicas de cálculo, sino
también que aprenda a interrelacionar contenidos y en eso deseamos que
Ud. ponga el máximo empeño. En tal sentido habrá que tener en cuenta
lo siguiente:
“El manejo algebraico se logra haciendo, pero previo al “hacer” hay
que saber “cómo” hacerlo. Es decir que es indispensable tener conceptos
claros para poder aplicarlos, por ello el conocimiento teórico es tan
importante como la destreza en el cálculo y el análisis de los resultados
ó conclusiones.”
Comienza hoy una nueva etapa, es un nuevo desafío, una especie de
viaje. En este viaje el lugar de destino lo eligió Ud. pero como en todo
viaje puede que la ruta no sea del todo predecible. Seguramente tendrá
una valija de ilusiones pero también una gran cantidad de preguntas y
dudas.
¡No se preocupe! estaremos muy cerca suyo, a la distancia, para
ayudarlo a transitar ese camino, algunas veces recto, otras sinuoso, con
trayectos que requerirán más esfuerzo que otros, pero con su dedicación y
nuestro apoyo arribará a la meta final.
Por todo ello sólo me resta pedirle que nos exija y se exija mucho
esfuerzo.
Orientación del Aprendizaje
¡Bienvenido!
Comenzamos aquí el estudio de la asignatura Principios de Administración. Lo haremos por medio de este manual de estudio, en el cual usted encon-trará todos los temas del programa.
A su vez, usted podrá utilizar cualquiera de los libros mencionados en la Bibliografía Básica para la consulta de dichos temas.
El método de estudio que le proponemos es el siguiente:
• Inicie la lectura de cada módulo por la Introducción y los Objetivos. Esto le proporcionará una visión global de lo que está a punto de estudiar. Luego observe y analice el Esquema Conceptual del módulo, le mostrará los con-ceptos fundamentales involucrados y sus relaciones.
• Lleve a cabo la lectura completa de los temas da cada Módulo. Para que el estudio sea eficiente siga estos pasos:
1. Prelectura: realice una primera lectura exploratoria para captar las ideas fundamentales.
2. Preguntas: piense interrogantes frente a cada título de los temas del módu-lo. Si es necesario escríbalos.
3. Lectura: lea las secciones o temas del módulo detenidamente, con un pro-pósito bien definido: buscar respuestas a las preguntas antes realizadas.
4. Registro de notas: tome nota por escrito y con sus propias palabras de los aspectos relevantes de cada tema. Esta actividad es la más importante ya que le permite fijar los conocimientos.
5. Repaso: luego de todos los pasos anteriores, es conveniente que realice una revisión completa de los temas del módulo. Tras la revisión, tome nota de los interrogantes que aún no ha podido esclarecer y envíelas por correo electrónico a su Tutor Virtual, quien las responderá.
• Elabore el Trabajo Práctico incluido en cada módulo. Esta actividad es obli-gatoria y una vez resuelta, la debe enviar por correo electrónico a su Tutor Virtual. El Trabajo Práctico nos permitirá evaluar su proceso de aprendizaje.
• Al final de cada módulo, hay actividades de Auto-evaluación que le permiti-rán verificar su evolución en el proceso de aprendizaje. Todas las actividades de auto-evaluación tienen su clave de respuesta.
• Con el estudio de todos los temas del presente Manual, la elaboración y envío de los Trabajos Prácticos y la comprobación de su conocimiento con la actividad de Auto-evaluación, usted podrá asistir a la Clase Satelital. Allí profundizará y asegurará el conocimiento del módulo.
• Al finalizar la Clase tendrá una Examen Escrito individual. Allí usted demos-trará los conocimientos aprendidos, y si ha seguido el plan de trabajo antes presentado, el resultado será óptimo.
Fundamentación
Como se dijo en la carta que leyó al comienzo, ésta es una materia básica, herramental y a la vez formativa. Básica porque contiene elementos matemá-ticos simples, que no pueden ser ignorados por el futuro profesional. Herra-mental pues sirve como conocimiento previo a diferentes métodos y técnicas, y es por sí sola una elemento importante en la esquematización de la toma de decisiones. Finalmente formativa porque es una de las primeras asignaturas que permite el desarrollo, la transferencia y la interrelación de contenidos, lógicos, simbólicos y conceptuales.
Interesa no sólo que el estudiantes incorpore conceptos y principios teóricos sino fundamentalmente que desarrolle operaciones intelectuales del pensamiento lógico-matemático y habilidades para la resolución de problemas, que le serán de utilidad al transferirlas en estudios posteriores y sin dudas en la vida profesional y cotidiana.
Las ecuaciones son muy importantes al momento de resolver problemas, y nuestra tarea en esta asignatura es aprender a trabajar con ellas y con las herramientas matemáticas más avanzadas para su resolución.
Es habitual escuchar frases como las siguientes: “…el ingreso por retensio-nes a las exportacioretensio-nes se incrementó un 50% con respecto al año anterior”, “el número de votos obtenidos por los tres partidos mayoritarios suma un millón”, etc. Planteos como éstos y otros darán origen al que es el tema central: la resolución de forma organizada de sistemas de ecuaciones lineales mediante el uso de una simple pero potente herramienta denominada “Matriz”. No obstante también se incorporarán elementos que nos permitan resolver inecuaciones. Así el estudio comenzará con un repaso de sistemas de ecuaciones e inecuaciones y de los métodos de resolución elementales vistos en el colegio secundario, pero poniendo especial énfasis en la interpretación gráfica y en planteos de distinta índole. A continuación se abordará un estudio exhaustivo de matrices y vectores. Trabajaremos con elementos relacionados con las matrices tales como determinantes, matrices inversas y rango, que nos permitirán lograr el objetivo de encontrar formas alternativas de resolución de sistemas de ecuacio-nes lineales como así también presentar el método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales más utilizado y de mayor potencial matemáticamente hablando, el método de Gauss-Jordan.
Objetivos Generales
Se pretende que el estudiante logre los siguientes objetivos:
• Profundizar el conocimiento de los métodos elementales de resolución de sistemas de ecuaciones lineales y sus aplicaciones.
• Desarrollar habilidades para el planteo y la solución gráfica de problemas de optimización lineal con dos variables.
• Lograr ductilidad en la operatoria matricial y vectorial.
• Rescatar conceptos importantes vinculados a las matrices tales como determinante, rango y matriz inversa.
• Aplicar el álgebra lineal en la resolución de sistemas de ecuaciones linea-les.
• Desarrollar habilidades para el planteo y la solución de problemas cuya estructura responde a un sistema de ecuaciones lineales.
• Reconocer el valor instrumental del Algebra Lineal.
Para hacer efectivos estos objetivos se sugiere el desarrollo de distintos tipos de ejercicios, complementando con los contenidos teóricos, relacionando conceptos y rescatando conclusiones. En ese marco se presentan aplicaciones sencillas, que tienden a amenizar el largo camino que implica contar con los elementos necesarios para que los conceptos sean presentados de manera formal.
En las distintas áreas de trabajo, surgen situaciones que involucran incóg-nitas y que generan ecuaciones e inecuaciones, y el éxito de nuestro trabajo dependerá en principio de la traducción que hagamos al lenguaje matemático de dicho problema. Así, esta asignatura constituye un primer desafío en cuanto a la toma de decisiones con base a herramientas formales y avaladas univer-salmente.
Desde una postura realista habrá que decir que estudiar no es fácil, se requiere dedicación, concentración y por ende esfuerzo, y esta asignatura necesita de todos estos elementos. Cada uno de nosotros es el hacedor de su propia realidad, detrás de cada logro hay trabajo y perseverancia. Ud. es el protagonista de su propio proceso de aprendizaje, nosotros le brindaremos todos los elementos para que pueda llegar a la meta.
Programa de Contenidos
UNIDAD 1: ECUACIONES
1. Ecuaciones: concepto, clasificación, solución.
2. Ecuación lineal con dos incógnitas, representación gráfica de las soluciones. 3. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Concepto, solución
gráfica. Clasificación.
4. Métodos de resolución convencionales.
5. Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas. 6. Aplicaciones prácticas.
UNIDAD 2: MATRICES
1. Matrices: Definición, matrices especiales.
3. Operaciones con matrices y sus propiedades. 4. Vectores. Concepto. Operaciones con vectores. 5. Dependencia e independencia lineal de vectores. UNIDAD 3: DETERMINANTES
1. Definición de determinante de una matriz 2. Cálculo de determinantes. Regla de Sarrus 3. Propiedades. Aplicaciones
UNIDAD 4: MATRIZ INVERSA
1. Matriz inversa: Definición y Propiedades.
2. Operaciones elementales. Matrices elementales. Propiedad fundamental. 3. Matrices equivalentes.
4. Matriz escalonada y matriz reducida.
5. Cálculo de la inversa de una matriz. Método de Jordan. UNIDAD 5: RANGO DE UNA MATRIZ
1. Rango de una matriz: Definición. 2. Propiedades.
3. Cálculo del rango matricial
UNIDAD 6: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1. Sistemas Lineales: Sistemas homogéneos y no homogéneos. 2. Soluciones de un sistema lineal.
3. Teorema de Equivalencia.
4. Teorema de ROUCHE-FROBENIUS.
5. Resolución de sistemas. Método de GAUSS-JORDAN.
6. Otros métodos de resolución: Método de la Inversa. Regla de Cramer. UNIDAD 7: INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
1. Inecuaciones con una incógnita: concepto, solución gráfica. 2. Inecuaciones con dos incógnitas: concepto, solución gráfica.
3. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolución gráfica. 4. Optimización lineal. Características del problema de Programación Lineal.
Método gráfico. 5. Aplicaciones.
composición de los módulos semanales:
MODULO 1: ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES Comprende las unidades 1 y 7 del programa.
MODULO 2: MATRICES Y VECTORES Corresponde a la unidad 2 del programa. MODULO 3: HERRAMIENTAS MATRICIALES Comprende las unidades 3,4 Y 5 del programa.
MODULO 4: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES Corresponde la unidad 6 del programa.
Bibliografía
bibLiOGraFÍa bÁsica:
CHECA J.C.; “Algebra Lineal para economía y administración’; Ed. Eudecor; 1998.
bibLiOGraFÍa aMPLiatOria:
ANTON H.; “Introducción al Algebra Lineal” ; Ed. Limusa; 1998. AYRE F.; “Matrices- Teoría y Problemas”; Ed. Mc Graw Hill. 1969. GROSSMAN S. I.; “Algebra Lineal”; Ed. Mc Graw Hill.
KLEIMAN A.: “Matrices”; Ed. Limusa. 1995.
Evaluación y Acreditación de la Asignatura
Para la evaluación del aprendizaje y acreditación de la asignatura se consi-deran los siguientes items:
a) Nota de preclase: esta nota resulta de las calificaciones que realiza el Tutor Virtual sobre los Trabajos Prácticos individuales realizados por los alumnos.
b) Nota de parciales: que se administran en oportunidad de las clases sate-litales. La sumatoria de las calificaciones de las notas de parciales dará el puntaje sobre el cual se valorará la nota obtenida por Exámenes parciales individuales.
Esquema Conceptual de la Asignatura
Se vinculan en su forma de resolución analítica
Los sistemas pueden ser representados usando generan ECUACIONES LINEALES (Unidad 1) INECUACIONES (Unidad 7) MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES (Unidad 6) MATRICES
(Unidad 2) VECTORES(Unidad 2)
RANGO (Unidad 5) INVERSA (Unidad 4) DETERMINANTE (Unidad 3) involucran
c) Examen Final: en función de la asistencia al Centro de Apoyo Distante y de las calificaciones resultantes de la nota de preclase y las notas de parciales, se establece que los alumnos de condición Regular Preferente y Regular deberán realizar exámenes finales de materia (de 30 y 50 preguntas respec-tivamente), quedando promovido y eximido de examen final aquel alumno en cuyo desempeño se haya comprobado tanto la asistencia a clases como un rendimiento superior a nota seis en las instancias de evaluación.
De lo precedente tenemos tres condiciones de alumnos: Asistencia a
Clases
Nota de preclase
Nota de
parciales Examen final
Alumno promovido 75% 6 ó + 6 ó + No rinde examen final Alumno Regular Preferente 75% 4 y 5 4 y 5 Rinde examen final de 30 preguntas Alumno Regular - 4 ó + -Rinde examen final de 50 preguntas
• Alumno promocional: el cual debido a su alto nivel de rendimiento no debe-rá rendir el examen final de materia.
• Alumno Regular Preferencial: es el alumno que habiendo cumplido con el requisito de asistencia no tuvo una calificación superior al 6 (seis) ya sea en las actividades preclases como en las evaluaciones individuales en los Cen-tros Distantes, y por tanto debe rendir un examen final de 30 preguntas.
• Alumno Regular: para obtener su condición de regularidad se le exige al alumno la aprobación con nota superior a 4 (cuatro) de las cuatro Trabajos Prácticos de los módulos. Este alumno, que no ha realizado los Exámenes de los módulos, deberá por tanto someterse a una evaluación más exhaus-tiva, realizando un examen final de 50 preguntas.
MÓDULO 1
MóduLO 1: EcuaciOnEs E inEcuaciOnEs LinEaLEs
Introducción
Este módulo comprende dos unidades del programa: la unidad 1 y la 7. Cualquiera sea la rama de la ciencia que se estudie, una palabra se incorpora de manera sutil, la palabra “incógnita”. Cuando en un problema concreto, que contiene incógnitas, se pueda describir algebraicamente la situación a través de lo que llamamos ecuación, será necesario aplicar las técnicas de resolución que nos permitan dar respuesta a esos problemas. En tal sentido veremos uno de los muchos modos de resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales y focalizaremos nuestro trabajo en el planteo de problemas.
Comenzamos con ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales con un triple enfoque: algebraico, gráfico y aplicado, rescatando métodos y técnicas conocidas por los estudiantes. Es importante que en esta instancia logre supe-rar las dificultades que implica despejar incógnitas, establecer la relación entre un sistema de ecuaciones y su visualización gráfica, cuando ello sea posible, y finalmente aprender a plantear los problemas. Este último item es quizás el mayor desafío del Módulo 1, ya que no es algo estructurado, no se puede estandarizar, plantear ecuaciones en cierta forma es un arte.
Complementando a las ecuaciones también existen desigualdades que involucran incógnitas, a las que llamaremos inecuaciones. Comenzaremos con inecuaciones con una única incógnita y luego extenderemos el análisis a situaciones con dos incógnitas, en este último caso recurrimos a la resolución gráfica y con ello tendremos el marco visual necesario para introducir problemas aplicados en donde existen restricciones, éste es uno de los problemas que plantea la toma de decisiones y se conoce con el nombre de Optimización o Programación Lineal.
Si bien muchos de los contenidos de este módulo son conocidos por el estudiante su extensión requiere de bastante tiempo dedicado a la ejercitación y comprensión de los distintos detalles.
Objetivos Específicos
Al finalizar el módulo, usted estará en condiciones de alcanzar los siguien-tes objetivos:
• Diferenciar entre incógnitas y datos en un problema.
• Traducir un problema que involucre incógnitas al lenguaje algebraico, es decir generar las ecuaciones y /o inecuaciones a partir de un caso, cuando esto sea factible.
• Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de sustitución.
• Interpretar gráficamente sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
• Resolver inecuaciones lineales con una incógnita.
• Resolver gráficamente sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.
• Encontrar la solución óptima a un problema de Optimización lineal con dos incógnitas.
Esquema conceptual
En este módulo rescataremos el concepto de ecuación en particular y en primer lugar, ecuaciones lineales con una incógnita. A través de planteo de situaciones problemáticas, estudiaremos los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, su solución gráfica y clasificación. Luego resolveremos sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas usando el método de susti-tución. Revisaremos el tema de inecuaciones con una y dos incógnitas a través de la resolución gráfica. Finalmente realizaremos aplicaciones a problemas.
Observe este esquema, lo ayudará a entender la relación entre los conteni-dos principales a tratar en este módulo como así también muestra la conexión y orden lógico de tratamiento.
INECUACIONES ECUACIONES
Puede requerir de Planteos de Problemas que
involucran incógnitas
MÉTODOS ANALÍTICOS (Pasaje de términos y técnica de sustitución)
Ecuación lineal con dos incógnitas Ecuaciones lineales
con una incógnita ecuaciones linealesSistemas de Optimización LinealProblemas de
incluye el estudio de: + Función Objetivo
pueden ser resueltos por:
MÉTODOS GRÁFICOS pueden ser resueltos por:
Desarrollo de los contenidos
Ecuaciones
Generalidades
Las ecuaciones son igualdades entre expresiones algebraicas que se verifican para ciertos valores de las letras, a las cuales se denominan incógnitas.
Ejemplos de ecuaciones:
x + 1 = 3 ; ; ;
Si bien hay distinto tipo de ecuaciones (con una incógnita, con dos incóg-nitas, con la incógnita elevada al cuadrado, etc.), en todos los casos se intenta buscar el valor de las incógnitas que satisfacen la igualdad.
2x+3y xy z- =
x
2+
3
x
- =
4 0
2
x
4
x
1
Por ejemplo en el caso de la ecuación x + 1 = 3 podemos afirmar que x = 2 verifica la igualdad.
Los valores que satisfacen la ecuación reciben el nombre de raíces o soluciones de la misma.
¿Cómo surgen las ecuaciones?
Hace más de 3000 años el hombre intentaba resolver problemas y observó que su traducción al lenguaje de los símbolos posibilitaba su resolución. Mu-chos siglos después se llegó a la simbología actual y con el objetivo de encon-trar respuesta a problemas de cierta naturaleza se intenta traducir el mismo al lenguaje matemático.
Veamos como hacerlo, en una situación particular.
El gerente de producción de una pequeña empresa dispone de un presu-puesto de $8.000.- que desea destinar totalmente a la producción mensual, sabe que los gastos fijos ascienden a $500.- por mes y que el costo de fabrica-ción de cada producto es $30.- Se pregunta, bajo estas condiciones, ¿cuántas unidades como máximo podrá producir por mes?
• El primer paso para resolver un problema es analizar detenidamente la situa-ción, estableciendo cuáles son las incógnitas y cuáles son datos.
En nuestro caso la incógnita es “la cantidad de unidades a producir por mes”, la cual puede ser representada por la letra x.
x : “cantidad de unidades a producir por mes”
Los valores 30, 500 y 8.000 son datos, ahora debemos traducir al lenguaje algebraico lo que ellos representan.
Como producir una unidad le cuesta $30, el costo de producción de “x” unidades será:
30 x
Además existe un gasto fijo mensual de $500.-, independiente de las canti-dades producidas, que deberemos agregar al gasto total.
30 x + 500
Si el gerente dispone de un presupuesto de $8.000.-, quiere decir que el gasto máximo que puede realizar en la producción es igual a $8.-000, así la situación planteada puede ser representada algebraicamente por la ecuación:
30 x + 500 = 8000
• Hemos obtenido una ecuación, que debido a su estructura, se la denomina lineal. Ecuaciones lineales con una incógnita
Una ecuación lineal en una variable x es una ecuación donde la incógni-ta está elevada a la potencia 1, y en general puede escribirse en la forma:
a x + b = 0
donde a y b son constantes y a es distinta de cero.
• El proceso de encontrar las raíces se denomina resolver la ecuación. La idea es transformar la ecuación, a través de operaciones algebraicas (como suma, resta, multiplicación, división, etc), en otra más simple de resolver, pero que admite las mismas raíces que la ecuación original.
• En tal sentido diremos que dos ecuaciones con las mismas incógnitas son equivalentes si y sólo si tienen las misma soluciones.
¿Cómo pasar de una ecuación a otra equivalente?
Para ello podemos valernos de las siguientes operaciones algebraicas:
1) Sumar algebraicamente a ambos miembros de la igualdad la misma expre-sión.
2) Multiplicar ambos miembros de la igualdad por un mismo factor no nulo. Por ejemplo si queremos dar solución al problema planteado por el gerente de la empresa la ecuación a resolver es
30 x + 500 = 8000
Como el objetivo es encontrar el valor de x, parece razonable tratar de “ais-lar” de algún modo la variable en cuestión. Si sumamos a ambos miembros de la igualdad (-500)
30 x + 500 - 500 = 8000 - 500
obtenemos así una ecuación equivalente, más simple que la original, 30 x = 7500
pero aún no hemos encontrado la incógnita.
Podemos entonces simplificar más la ecuación si multiplicamos ambos miembros por 1/30
de donde surge que x = 250
Así el gerente de la empresa podrá producir, de acuerdo a su presupuesto, 250 unidades mensuales.
OBSERVACIÓN
Por lo general el estudiante para encontrar el valor de x usa reglitas tales como:
• “Lo que esta sumando en un miembro pasa restando al otro”,
• “lo que esta multiplicando pasa dividiendo”.
Estas reglitas no son incorrectas, pues en cierta medida constituyen una forma abreviada de las operaciones enunciadas, el problema está en la forma indiscriminada en que se las aplica.
¡Esté atento!
1 30 1 7500 30 x =30
Ecuaciones lineales con dos incógnitas
No todos los problemas involucran una sola variable, puede que en el plan-teo surjan dos, tres o más incógnitas, y cuanto mayor es el número de ellas, mas complicada es la búsqueda de sus soluciones.
• Dentro de la gama de posibilidades que pueden darse, tenemos el caso de una ecuación lineal con dos incógnitas x e y , la cual tiene la siguiente estructura:
a x + b y = c
donde a, b y c son los parámetros de la ecuación con a y b distintos de cero. Ejemplifiquemos a través de un problema particular.
Un criador de animales puede adquirir, para la alimentación de los mismos, dos tipos de productos A y B, ambos del mismo costo. Si sabe que el alimento A contiene 60 gr. de grasa por kg., mientras que el alimento B contiene 30 gr. por kg. ¿cómo debe combinar los alimentos si desea que el contenido de grasa sea 600 gramos?
Llamemos
“x” a la cantidad de alimento A en la mezcla, en kg. “y” a la cantidad de alimento B en la mezcla, en kg.
El aporte de grasa del alimento A es de 60 gr/kg. entonces el aporte de grasa de x kg será:
60 x
Análogamente el aporte de grasa del alimento B en y kg. será 30 y
Dado que el aporte total debe ser de 600 gramos, la ecuación que describe la situación planteada será:
60 x + 30 y = 600
Estamos en presencia de una sola ecuación con dos incógnitas, veamos cuáles son las soluciones;
Si x = 0 entonces y = 20 Si x = 5 entonces y = 10 Si x = 6,5 entonces y = 7
• Cada una de ellas se denomina solución particular.
Así podríamos encontrar infinitas alternativas de mezcla de los alimentos que contengan un total de 600 gramos de grasa.
• La solución general, se obtiene despejando una de las variables en función de la otra, esto es despejando x en términos de y ó y en términos de x, En nuestro caso, despejemos y
60 x + 30 y = 600
Distribuyendo denominador, la solución general será: cualquiera sea x 600 6 30 x y -Û = 20 2 y= - x
Visualización gráfica del conjunto solución:
Los pares (x, y) que verifican la ecuación, se pueden graficar en un sistema de coordenadas cartesianas, ¿Qué forman?...Los pares que son solución se alinean formando una recta.
Por ejemplo en el caso anterior se obtendría la siguiente solución gráfica
10 5 20
y
x
sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
¿Qué ocurriría si en el caso anterior agregamos una nueva restricción? Por ejemplo, que el criador de animales desee que la mezcla contenga exac-tamente 15 kg de alimento.
Algebraicamente podemos expresar esta condición a través de la ecuación x + y = 15
es decir la cantidad de alimento de tipo A más la cantidad de alimento de tipo B debe ser igual a 15 kg.
Tendremos pues que la solución del problema consistirá en encontrar los valores de x e y que satisfagan simultáneamente ambas ecuaciones.
60 x + 30 y = 600
x + y = 15
• Esto es lo que se denomina un sistema de ecuaciones lineales, en este caso de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas , tiene la estructura
donde a, b, c, d, e, f, g son constantes. ¿Cómo obtener el conjunto solución?
Apliquemos el método por sustitución, el cual consiste en despejar de cualquiera de las ecuaciones, una de las incógnitas, por ejemplo de la segunda ecuación despejemos “y”.
Así
y = 15 - x verificará la segunda condición.
Para que también verifique la primera condición, deberíamos sustituir el ax by f cx dy g ì + = ïï íï + = ïî ax by f cx dy g ì + = ïï íï + = ïî
valor de y en la primera ecuación por la expresión hallada anteriormente. Esto es, si teníamos
60 x + 30 y = 600 reemplazamos y , de donde resulta
60 x + 30 (15 - x) = 600
la cual es una ecuación de primer grado con una incógnita, cuya solución es x = 5: Pero para dar respuesta a nuestro interrogante también debemos encontrar el valor de y.
Como vimos para que se verifique la segunda ecuación “y” debía ser igual a 15 - x , ahora dado que x = 5 , resulta el valor de y es 10.
Así, la respuesta al problema planteado será: para que el criador de anima-les obtenga una mezcla de 15 kg. con un aporte de 600 gramos de grasa deberá usar 5 kg de alimento A y 10 kg de alimento B.
También podemos especificar la solución, de una manera más algebraica diciendo que:
“El par (x , y) = (5 , 10) es la solución del sistema.”
Visualización gráfica de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas
Ahora agreguemos al gráfico anterior las soluciones de la segunda ecuación. Como nos interesa los valores de x y de y que verifiquen simultáneamente ambas ecuaciones, la solución al sistema estará dado por la intersección entre ambos conjuntos de soluciones, es decir por el punto de encuentro entre las dos rectas.
10 15 20
y
x
En este caso hemos encontrado una única solución a nuestro problema, pero esto no siempre ocurre.
Veamos el siguiente sistema
Despejemos y de la primera ecuación y = 10 - 2 x 2 10 3 3 15 2 x y x y ì + = ïï ïí ï + = ïïî
sustituimos y en la segunda ecuación por su expresión equivalente y ope-ramos, resultando:
0 x + 15 = 15
¡Hemos obtenido una identidad! Esto significa que cualquiera sea el valor de x, verifica la ecuación propuesta. Toda vez que ello suceda diremos que el sistema es compatible indeterminado, compatible porque admite solución e indeterminado pues para cada valor de “x”, “y” asumirá el valor “10 - 2x”, como lo establecía la primera ecuación.
Así la solución como par ordenado en este caso será: ( x , y ) = ( x , 10 - 2 x) se lee “Para todo x que pertenece a los reales”
Finalmente consideremos el siguiente sistema,
Es muy parecido al anterior, y los cálculos son bastantes similares Despejemos y de la primera ecuación
y = 10 - 2 x
sustituimos y en la segunda ecuación por su expresión equivalente y resol-vemos.
Realizando las operaciones indicadas, resulta 0 x + 15 = 20
¡Llegamos a una proposición que es falsa! obviamente 15 no es igual a 20, esto significa que no existen valores de x e y que verifiquen simultáneamen-te las dos ecuaciones propuestas.
Toda vez que ello suceda diremos que el sistema es incompatible, es decir no posee solución.
• Resumiendo un sistema de ecuaciones lineales será:
Compatible determinado: cuando el sistema posea una única solución. Compatible indeterminado: cuando el sistema posea múltiples soluciones. Incompatible: cuando el sistema no admita solución.
sistemas de ecuaciones con tres incógnitas
Si tenemos ecuaciones lineales con tres incógnitas se procede de mane-ra similar teniendo en cuenta que nuestro conjunto solución, si existe, debe estar compuesto por ternas ordenadas. La idea básica es pasar de un sistema de tres ecuaciones a un sistema de dos ecuaciones y luego resolver como antes.
Veamos cuáles son los pasos a seguir, insistiendo en el método de susti-tución.
x R
" Î
2 10 3 3 20 2 x y x y ì + = ïï ïí ï + = ïïîConsideremos el sistema:
El primer paso es despejar una de las incógnitas de cualquiera de las ecua-ciones, en nuestro caso conviene despejar x de la segunda ecuación.
x = - 2 + z
Sustituimos el valor de x por la expresión anterior, en las ecuaciones restantes
Operamos algebraicamente en cada ecuación, obteniendo un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
Resolviendo como antes resulta que y = 2 y z = 3 , pero para encontrar el valor de la solución, falta hallar el valor de x. Como esta variable había sido despejada anteriormente:
x = - 2 + z Reemplazamos z por 3, de donde surge que
x = 1
Así nuestro sistema es compatible determinado, siendo su única solución la terna
(x, y , z ) = (1 , 2, 3)
Al igual que en el caso de dos ecuaciones con dos incógnitas se podría haber presentado una situación de indeterminación o incompatibilidad.
En todos los casos los resultados pueden ser verificados a través de su reemplazo en las ecuaciones originales, este es un punto en que no nos deten-dremos, pero que sugerimos como forma de autoevaluación.
Inecuaciones
inecuaciones con una incógnita Analicemos las siguientes expresiones:
• El número de inscriptos no llega a 40.
• Se deben imprimir por lo menos 600 copias.
• El total de empleados no pasa de 55.
• El porcentaje de deserción es superior al 30%.
2 3 3 2 6 x y z x z x y z ì - + = ïï ïï - =-íï ï + + = ïïî + 3 = 7 + 2 = 8 y z y z ì-ïï íï ïî 2 ( 2 + ) + = 3 ( 2 + ) + + = 6 z y z z y z - -ìïï íï ïî
¿Las podremos expresar matemáticamente? La respuesta es sí.
Si llamamos x al número de inscriptos, podemos simbolizar la primera ex-presión como x < 40
Si llamamos y a la cantidad de copias a imprimir tendremos y ≥ 600 Si llamamos z a la cantidad de empleados surge que z ≤ 55
Finalmente, llamando w al porcentaje de deserción se tiene que w > 30 Como vemos estas y otras relaciones, mucho más complejas, se pueden expresar matemáticamente como desigualdades que involucran incógnitas, en tales casos decimos que estamos en presencia de inecuaciones.
Formalmente
Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas que se verifica para algunos valores de sus letras, a las que denominamos incógnitas.
El objetivo es encontrar el conjunto de valores de las incógnitas que verifican la desigualdad, este conjunto se denomina SOLUCIÓN DE LA INECUACIÓN.
Ejemplifiquemos este último concepto:
1) Si x pertenece a los números naturales y x < 5 , entonces el conjunto solución de esta inecuación es:
S = { 1, 2, 3, 4 }
2) Si x pertenece a los números enteros y x < 5 , entonces el conjunto solu-ción de esta inecuasolu-ción es:
S = {. . . −1, 0 , 1 , 2, 3, 4 }
3) Si x pertenece a los reales y x < 5 , entonces el conjunto solución ya no puede ser expresado por enumeración de sus elementos sino que debe recurrirse a la notación por intervalos:
S = ( ∞ , 5 ) De estos ejemplos surge una primera observación:
“En la resolución de una inecuación es fundamental el conocimiento del conjunto de referencia”
Concentraremos nuestra atención en las inecuaciones definidas sobre el conjunto de los reales.
Para avanzar sobre el tema revisemos algunas propiedades de las desigual-dades:
Propiedades de las desigualdades
Propiedad 1: Si a ambos miembros de una desigualdad se agrega la misma cantidad, el sentido de la desigualdad no cambia.
4 < 7 è 4 + 2 < 7 + 2 4 < 7 è4 + (-3) < 7 + (-3)
mis-ma cantidad positiva, el sentido de la desigualdad no cambia. 8 > 6 è 2 . 8 > 2 . 6
8 > 6 è 1/2 . 8 > 1/2 . 6
Propiedad 3: Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por la mis-ma cantidad negativa, el sentido de la desigualdad se invierte.
8 > 6 è −2 . 8 < − 2 . 6 8 > 6 è −1/2 . 8 < −1/2 . 6
Estas propiedades nos servirán para encontrar el conjunto solución de cual-quier inecuación, efectivamente con ellas podemos transformar inecuaciones de aspecto complicado en inecuaciones simples. Veamos como hacerlo a través de ejemplos.
Estas propiedades nos servirán para encontrar el conjunto solución de cual-quier inecuación, efectivamente con ellas podemos transformar inecuaciones de aspecto complicado en inecuaciones simples. Veamos como hacerlo a través de ejemplos.
Ejemplo 1:
Sea la inecuación x − 3 < 5
Queremos los valores de x que la verifiquen entonces debemos dejar sola la x en el primer miembro, para ello debe eliminarse el (−3), por lo tanto podemos sumar a ambos miembros el valor 3
x −3 + 3 < 5 + 3 x < 8
Así hemos logrado el objetivo de establecer para qué valores de x se cum-ple la desigualdad.
El conjunto solución a la inecuación dada será:
S = { x / x ∈ R ^ x < 8} ó S = (-∞ , 8 )
También es posible graficar el conjunto solución. Dado que hay una sola incógnita nos bastará con expresar dicha solución sobre la recta real.
Usando el x = 8 de referencia tendremos la semirrecta sombreada:
Observemos que la solución no incluye al valor 8. Ahora avancemos un poco más.
Ejemplo 2:
Si tenemos 2 x + 1 ≤ 3
Restamos en ambos miembros 1
2 x + 1 − 1 ≤ 3 −1 2 x ≤ 2 Multiplicamos ambos miembros por ½
)
8
(1/2) . 2 x ≤ (1/2) . 2 x ≤ 1 Gráficamente:
Observemos que se incluye en la solución al valor 1 Ejemplo 3
−1/3 x+ 2 < 4 Restamos a ambos miembros el valor 2
−1/3 x < 2
Multiplicamos ambos miembros por (−3) , recordemos que hay que inver-tir el sentido de la desigualdad.
-3 (-1/3) x > (-3) 2 x > -6 Gráficamente:
En cuanto a la mecánica de resolución de inecuaciones es muy similar a la de ecuaciones con la salvedad de que hay un caso en el cambia el sentido de la desigualdad. ¿Cuál es ese caso?. La respuesta está en este mismo texto.
inecuaciones lineales con dos incógnitas
Una inecuación lineal con 2 incógnitas es aquella que responde a algunas de las siguientes estructuras:
1) ax + by + c ≥ 0 2) ax + by + c > 0 3) ax + by + c ≤ 0 4) ax + by + c < 0
En todos los casos el conjunto solución será un semiplano, es decir que el conjunto solución puede ser representado como pares (x, y) en un sistema de ejes cartesianos.
Así como cuando teníamos una sola incógnita, despejábamos “x”, tomá-bamos de referencia un punto y luego establecíamos si eran los que estaban a la derecha ó a la izquierda de ese punto, ahora vamos a despejar “y”, tomare-mos de referencia la recta que surge de igualar “y” al segundo miembro de la inecuación y luego estableceremos si son los puntos que están por encima ó por debajo de esa recta.
Veamos como hacerlo en un ejemplo. Sea la siguiente inecuación: 4 x – 2 y ≥ 6
Para despejar “y” pasamos 4x al segundo miembro
]
1
(
-6
– 2 y ≥ 6 – 4 x
El (–2) está multiplicando pasa dividiendo, pero por ser negativo cambia el sentido de la desigualdad.
y ≤ (6 – 4 x ) / (–2) Aplicando propiedad distributiva resulta
y ≤ –3 + 2 x
Volviendo al objetivo que era encontrar los pares (x, y) que satisfacen la inecuación, resulta que podemos usar de referencia la recta “y = –3 + 2x”
Para graficar la recta basta encontrar dos puntos que pertenezcan a ella, es decir dos pares (x, y) que verifiquen la ecuación.
Por ejemplo:
Si x = 0 è y = –3 Si x = 3/2 è y= 0
¿Qué ocurre si tenemos un conjunto de inecuaciones?
En tal caso diremos que estamos en presencia de un sistema de inecua-ciones y la solución será aquella región del plano que satisfaga simultá-neamente todas las inecuaciones, gráficamente sería la intersección de las respectivas soluciones.
Por ejemplo:
4 x – 2 y ≥ 6 (1) 3 x + y ≥ 2 (2)
En el ejemplo anterior encontramos la región solución a la primera inecua-ción, falta ver cuál es la solución a la segunda.
Nuevamente despejamos “y”
y ≥ 2 – 3 x
Graficamos la recta en el mismo sistema de coordenadas cartesianas y encontramos la región común a ambas (zona rayada), esa es la solución del sistema.
(3/2, 0)
(0, -3)
(3/2, 0)
(0, -3) Graficamos la recta que
pasa por esos dos puntos Luego seleccionamos el semiplano formado por todos los puntos que verifican la inecuación.
Como aplicación revise el tema Solución Gráfica de un Problema de Progra-mación Lineal a partir del texto de la bibliografía base.
Autoevaluación
actividad 1:Resuelva las siguientes ecuaciones lineales: (verifique el resultado obtenido)
a)
2
3
2
x
x- =
b)1 2
2
x
x
=
-
+
c)1
3
2
4
x-+
=
-d)2
x
- = - + +
3
(
x
3)
x
actividad 2:Plantee y resuelva los siguientes problemas.
a. Un automovilista recorre 764 km en tres etapas; en la segunda el recorrido es 124 km más que en la primera, y en la tercera el 20% más que en la primera. ¿Cuántos km recorrió en la primera etapa?
b. Los administradores de una compañía disponen de los siguientes datos con respecto a determinado producto: Precio unitario de venta $20.-, Costos variables por unidad $15.-, Costos fijos totales $600.000.- En base a esta información desean saber el total de unidades que deben venderse para que la empresa obtenga una utilidad de $100.000.-
actividad 3:
Analice como resulta la visualización gráfica de un sistema de dos
ecua-3/2
-3
2 (1)
(2) semiplano superior a esta recta.
x
ciones lineales con dos incógnitas, en los casos compatible indeterminado e incompatible, estableciendo claramente sus conclusiones.
actividad 4:
Si “x” e “y” representan cantidades a fabricar de dos productos A y B res-pectivamente indique, frente a cada planteo particular cuál de las afirmaciones es falsa.
a. “Debemos producir el triple de A que de B”, se puede expresar matemática-mente como x = 3y.
b. “Debemos producir el un 15% menos de B que de A”, se puede expresar matemáticamente como y = x – 0,15 x.
c. “La producción de A debe ser 20 unidades superior a la de B”, se puede expresar matemáticamente como x = 20y
d. “La producción de B debe representar el doble del total producido”, se pue-de expresar matemáticamente como y = 2 x + 2y
e. “Debemos producir 9 unidades de A por cada dos unidades de B”, se puede expresar matemáticamente como 2x = 9y
actividad 5: indique la alternativa correcta.
Se tienen dos números naturales. Si se divide el mayor de esos números por el menor se obtiene 3 de cociente y 1 de resto. Si se divide, en cambio, el mayor por el menor aumentado en una unidad, el cociente es 2 y el resto es 3. Para determinar cuáles son esos números es necesario resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales, donde x es el mayor de los números e y es el menor.
A)
3
1
2(
1) 3
x
y
x
y
=
+
= + +
B)3 1
2(
1)
y
x
y
y
=
+
= +
C)3
1
2(
1) 3
(
1)
x
y
y
x
y
y
= +
=
+ +
+
D)3
2(
1)
x
y
x
y
=
= +
actividad 6:
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones e interprete gráficamente la situación. a) x + 3 y = −2 −2x − 4 y = -6 b) 2 x = 6 − y 6 x + 3 y = 10 c) 1/2 x + 3 y = 1 6 y − 2 = −x actividad 7:
Plantee y resuelva los siguientes problemas:
a. En una clase de Diseño el total de alumnos, varones y mujeres, es de 52. Si el número de alumnos varones es siete más que el doble de mujeres, ¿cuántas mujeres y cuántos varones hay?
b. Dos Agrónomos han recorrido distintas distancias. La suma de las distan-cias recorridas por ambos es igual a 11/2 de su diferencia. Además el que recorrió la mayor de las distancias supera en 2000 km. a la recorrida por el otro. ¿Cuantos kilómetros recorrió cada uno de ellos?
actividad 8:
Resuelva y clasifique los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.
a) - x + y + z = 1 c) y + z = 1 - x + 3 z = 4 3 x + y + 2 z = 1 - 2 x + y = -4 z + 5 3 x + 2 y + 3 z = 2 b) 2 x - 3 y = -1 d) - x + y + z = 0 2 x - 2 y - z = -2 - 2 x + 2 y = 0 x + y - 2 = 0 3 x + y + 2 z = -4 actividad 9:
Plantee y resuelva los siguientes problemas:
a) La ganancia de una empresa es de $14.600. La misma se distribuye entre tres socios.El segundo socio recibió el 10% menos que el primero y el tercero 3/4 partes más que lo que recibió el primero. ¿Cuánto recibió cada uno.?
b) De 1350 alumnos que cursaron Álgebra se informó que el número de alum-nos regulares supera al de libres en 100 y que la suma de ambos supera en 50 al número de promocionados. ¿Cuántos alumnos resultaron libres, cuántos regulares y cuántos promocionados?
dis-tinto importe de acuerdo a su ubicación en tres sectores; $10 por la Platea A, $ 5 por la Platea B y $2 por la Popular. Además se nos informó que en la Popular hay un 50% más de personas que en la Platea B. Si la recaudación total fue de $18.000 ¿Cuántas personas había en cada sector?
d) Un Problema de producción.
Una compañía elabora tres productos cada una de los cuales debe ser procesado en tres departamentos. La Tabla 1 resume el requerimiento de las horas de mano de obra y las unidades de materia prima de cada unidad de producto. Se dispone mensualmente de 1500 horas de mano de obra y 3800 unidades de materia prima. Si se desea una combinación de los tres productos que totalice 500 unidades, determine si existe esta combinación de manera que agote la disponibilidad de los insumos.
Tabla 1
INSUMOS PROD. A PROD. B PROD. C
HORAS DE MANO DE OBRA 3 2 4
UNIDADES DE MATERIA PRIMA 10 8 6
e) Un Problema de Mezcla.
Una nutricionista está planeando una dieta diaria que consiste en tres tipos de alimento. Conoce el aporte de vitaminas, hierro y proteínas de cada uno de los alimentos, los cuales se dan en la Tabla 2. Por experiencia sabe que la dieta completa debe contener 52 unidades de vitamina, 56 unidades de hierro y 34 unidades de proteínas. Determine si existe alguna combinación de los tres alimentos que pueda satisfacer exactamente los requerimientos mínimos de vitaminas, hierro y proteínas.
Tabla 2
Tipo de alimento Vitaminas Hierro Proteínas
1 4 2 1
2 6 8 6
3 3 4 2
f) Un inversor tiene $500.000 para invertir en tres tipos de negocios. Se es-pera que el primer tipo de negocio le redituará un 15% de ganancias el segundo un 10% y el tercero un 18%. La meta del inversionista es lograr un promedio del 15% entre las tres inversiones. Además la inversión en el tercer negocio debe ser del 40% del total. ¿Cuál es la alternativa que permite lograr todos estos objetivos?
g) Se posee un presupuesto de $ 200.- que se quiere destinar totalmente a publicidad. La misma se puede desarrollar por tres medios: TV, radio y avisos en periódicos. El costo de cada aviso en TV es de $5, en radio de $3 y en periódico de $1. El número total de avisos debe ser de 64 y se quiere lle-gar a una audiencia de 7000 personas. Los medios de divulgación nos han proporcionado los siguientes datos: Cada aviso en TV llega a una audiencia de 200 personas, cada aviso de radio a 60 y cada aviso en periódico a una audiencia de 50 personas. Calcular el número de avisos publicitarios que debemos hacer en cada medio.
actividad 10:
En cada uno de los siguientes ítems señale la alternativa correcta.
I) Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
=
−
=
+
+
=
−
+
0
3
0
2
2
0
2
2
z
x
z
y
x
z
y
x
¿Cuál de las siguientes ternas (x, y, z) constituye una solución particular del sistema? a. (−1, 0, 2) b. (−1, 1, 0) c. (3, −5/2 , 1) d. (−2, 1, 0) e. (−5, 3 , −4)
II) Resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
=
−
=
+
+
=
+
0
3
1
2
2
0
3
z
x
z
y
x
z
x
Se puede afirmar que el valor de la incógnita “y” es: a. −1 b. 1 c. 3 d. 0 e. 1/2 actividad 11:
Resuelva las siguientes inecuaciones: a. 2+3x<x−4 b. x 3 2x 2 5+ > − − c.
x
−
≤
2
−
x
2
1
d.1
2
2
1
4
<
−
−
x
x
e.2
3
1
3
1
x
x
−
≥
−
actividad 12:Encuentre la solución a los siguientes sistemas de inecuaciones:
a) 2 y + 4 x ≤ 3 2 y + x ≥ 3
b) y + 2 x ≤ 3 -2 y – 4 x ≤ -8 c) - y - 2 x ≤ 4 2 y - x ≤ 2 x ≤ 1 d) x ≥ y + 2 y ≥ x + 1 actividad 13:
En cada uno de los siguientes problemas, se pide:
a) Defina las variables del problema.
b) Plantee el problema. (no resuelva)
I) La Toy company esta planeando su programa de producción para navidad; en particular quiere saber cuántos juguetes de moda y cuántos juguetes clásicos debe producir. Un clásico lleva 10 horas de moldeo más 6 horas de maqui-naria; mientras que uno de moda ocupa 5 horas de moldeo y 7 horas de maquinaria. El beneficio de un clásico es de $8 y el de uno de moda es de $6. Si se disponen de 40 horas de tiempo de moldeo y 32 horas de maquinaria, ¿cuántos juguetes de cada tipo se deben fabricar para maximizar beneficios?
II) Se ha decidido invertir hasta $ 1.500 en la fabricación de circuitos impresos, de los cuales se pueden elaborar dos modelos para la utilización en un equipo electrónico. El costo de producir cada uno de los modelos es de $2 y $3 respectivamente.
Para su fabricación se requiere el uso de una maquinaria especial para el dibu-jo y la limpieza de los mismos, de la cual se dispone sólo de 30 hs. El tiempo de utilización de la maquinaria para cada circuito del modelo 1 es de 6 minutos y para el modelo 2 de 5 minutos.
Se ha establecido que la demanda conjunta de los circuitos es por lo menos de 300 unidades y del total del presupuesto disponible, a lo sumo el 10% deber corresponder al gasto en el modelo 1.
Se desea encontrar las cantidades de cada modelo a elaborar para minimizar los costos.
actividad 14:
Considere un problema de Optimización lineal con dos variables, cuya región factible se representa gráfica y algebraicamente como sigue:
y x (1) Restricciones: (2) (3) (1) 4 3 1 b x y (2) 2y 2xb6 (3) 2y 2xb2 x≥0 y≥0
Suponiendo que el óptimo se alcanza en “ “ , encuentre los valores que maximizan la función objetivo.
Claves de Autoevaluación
actividad 1: a) x=2 b) x= 3 c) x= -9 d) x= 0A continuación se muestra una posible forma de resolución a los apartados b y d:
b)
1 2
2
x
x
=
-
+
aplicamos común denominador 2
1 4
2
x
x
=
- +
multiplicamos ambos miembros por 2 y simplificamos 2 x = x + 3 2 x – x = 3 x = 3 c)
1
3
2
4
x-+
=
4
3
2
4
x
+
=
-x+1 = -8 x = -9 actividad 2:a) Planteo: Sea x = distancia recorrida por el automovilista en la primer etapa. x+ ( x+ 124) + (x + 0,2 x) = 764
Rta: Recorrió en la primera etapa 200 km.
b) Planteo: Sea x =cantidad de producto a vender 20 x – (15 x + 600.000) = 100.000
Rta: Deberán venderse 140.000 unidades de producto para que la empresa obtenga una utilidad de $100.000
actividad 3:
compatible indeterminado gráficamente se puede observar dos rectas super-puestas (coincidentes para todo valor de x e y). Mientras que en el caso de un sistema incompatible, se visualizan dos rectas paralelas no coincidentes. actividad 4:
Opción C) es falsa. actividad 5:
Opción A) es correcta. actividad 6:
a) Sistema compatible determinado. x=1 y = -1 . Su gráfica consiste en dos rectas que se cortan en el punto (1,-1).
b) Sistema incompatible. No posee solución. Su gráfica consiste en dos rectas paralelas
c) Sistema compatible indeterminado. Solución general: x = -6 y + 2, y Î R. Su gráfica consiste en dos rectas idénticas.
actividad 7:
a) Planteo:
Siendo x = cantidad de mujeres y = cantidad de varones
52
2
7
x y
y
x
+ =
= +
Rta: x = 15 y = 37 b) Planteo:11(
)
2
2000
x y
x y
x y
+ =
−
= +
Rta: Los agrónomos recorrieron 6.500 Km. y 4.500 Km. respectivamente. actividad 8:
a) Sistema compatible Indeterminado x = 3 z - 4; y= -3 + 2 z ; z ÎR b) Sistema compatible Determinado x = 1; y = 1; z = 2
c) Sistema compatible Indeterminado x = -z / 3; y = 1-z; z ÎR d) Sistema compatible Determinado x = -1; y = -1; z = 0 actividad 9:
a) x: cantidad de dinero que recibió el primer socio; y: cantidad de dinero que recibió el segundo socio; z: cantidad de dinero que recibió el tercer socio Rta: x = 4000; y = 3600, z = 7000
b) x: cantidad de alumnos regulares; y: cantidad de alumnos libres; z: cantidad de alumnos promocionados
Rta: x = 400; y = 300; z = 650 c) A = 1000; B = 1000; P = 1500 d) Planteo del Problema de producción.
En primer lugar nos preguntamos ¿cuáles son las incógnitas? Definamos: x = cantidad a elaborar del producto A
y = cantidad a elaborar del producto B z = cantidad a elaborar del producto C
En base a la tabla de datos el producto A requiere de 3 unidades de MO, es decir que si producimos x unidades de A, vamos a necesitar “3 x” horas de MO. De la misma manera una unidad de producto B requiere 2 horas de MO por lo cual el total de horas necesarias para producir B será “2y” finalmente para producir C requerimos en total “4z”
Por lo tanto, lo que utilicemos para la producción de A, B y C será “3x + 2y+ 4z” Esto debe totalizar la cantidad de horas que disponemos, es decir debe ser igual a 1500.
De allí surge la primera ecuación:
3 x + 2 y+ 4 z = 1500
Con respecto a la materia prima el razonamiento es idéntico, por lo cual surge la segunda ecuación:
10 x +8 y +6z= 3800
Finalmente como se quiere totalizar 500 unidades, lo que se produzca de A más lo que se produzca de B más lo que se produzca de C debe dar 500 de donde surge la ecuación:
x + y + z = 500.
Resolviendo este sistema resulta: x =100 ; y = 200; z = 200 e) Planteo del Problema de Mezcla.
¿Cuáles son las incógnitas? ¿ y cuáles los datos?
Las incógnitas son: Cantidades de alimentos de cada que tipo habrá que combinar para lograr los requerimientos establecidos. Digamos x, y, z.
En cuanto a los datos: tenemos los aportes de vitaminas , hierro y proteínas de cada alimento como así también los requerimientos de ellos en la dieta.
¿Cómo se relacionan las incógnitas y los datos?
Hay 3 tres restricciones, de vitaminas de hierro y de proteínas que deben verificarse.
Cada alimento de tipo 1 aporta 4 unidades de vitaminas, entonces x unida-des de alimento1 aportará 4x unidaunida-des de vitaminas.
Cada alimento de tipo 2 aporta 6 unidades de vitaminas, entonces y unida-des de alimento2 aportará 6y unidaunida-des de vitaminas.
Cada alimento de tipo 3 aporta 3 unidades de vitaminas, entonces z unida-des de alimento3 aportará 3z unidaunida-des de vitaminas.
Entonces el total de vitaminas que aportarán x, y, z será 4x + 6y + 3z , pero este aporte debe ser de 52 unidades en total, por lo tanto se tiene la ecuación
4 x + 6 y +3 z = 52
genera el siguiente planteo. ( la resolución queda a cargo del estudiante como así también su verificación)
x = cantidad de alimento 1 a introducir en la mezcla. y = cantidad de alimento 2 a introducir en la mezcla. z = cantidad de alimento 3 a introducir en la mezcla.
Planteo: 4 6 3 52 2 8 4 56 6 2 34 x y z x y z x y z + + = + + = + + = Rta: x = 4; y = 3 ; z = 6 f)
x = cantidad de dinero a invertir en la opción 1 y = cantidad de dinero a invertir en la opción 2 z = cantidad de dinero a invertir en la opción 3
Planteo: 0,15 x + 0,1 y + 0,18 z = 75.000 z = 0,4 (x + y +z) x + y + z = 500.000 Rta: x= 180.000 ; y = 120.000 ; z = 200.000 g)
x = cantidad de avisos a realizar por T.V. y = cantidad de avisos a realizar por radio z = cantidad de avisos a realizar en periódicos
Planteo: 5 x + 3 y + z = 200 x + y + z = 64 200 x + 60 y + 50 z = 7.000 Rta: x= 24 ; y= 20 ; z= 20 actividad 10:
En cada uno de los siguientes ítems señale la alternativa correcta.
I) Opción C II) Opción E actividad 11: a) x < -3 b) 16 5 x > c)
5
3
x ≤
4 6 3 52
2 8 4 56
6 2 34
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
+
=
+
+
=
+
+
=
4 6 3 52
2 8 4 56
6 2 34
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
+
=
+
+
=
+
+
=
a) b) c) d) d)
2
7
x <
e)5
11
x ≥
actividad 12: actividad 13: Planteos: I)x: cantidad de juguetes clásicos a producir para la próxima navidad. y: cantidad de juguetes de moda a producir para la próxima navidad
max(z) = 8x +6y s.a 10 x + 5 y ≤ 40 6 x + 7 y ≤ 32 x≥ 0 y≥ 0 II)
x: cantidad de circuitos impresos a fabricar del modelo 1. y: cantidad de circuitos impresos a fabricar del modelo 2
min(z) = 2x +3 y 2 x +3 y ≤ 1500 6 x+5 y ≤ 1800 2x ≤ 150 x + y ≥ 300 x ≥ 0 y ≥ 0
4 6 3 52
2 8 4 56
6 2 34
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
+
=
+
+
=
+
+
=
4 6 3 52
2 8 4 56
6 2 34
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
actividad 14:
El punto O tiene coordenadas x = 1 y = 2
Referencias bibliográficas
1. BUDNICK F.; “Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales”. McGraw_Hill.
2. CHECA J.C.; “Algebra para economía y administración”; Ed.; Capítulo 7 pá-ginas 307-339
MOduLO 2: MatricEs Y VEctOrEs
Introducción
Este módulo coincide con la unidad 2 del programa.
Comenzamos con la introducción de una nueva herramienta matemática conocida con el nombre de matriz, rescatando su simbología, notación, clasifi-cación de acuerdo a su estructura que implica para el estudiante apropiarse de nuevos nombres. Además se definen las operaciones básicas entre matrices y sus propiedades. A continuación se incorpora el concepto de vector y operacio-nes con vectores. En este punto hay que tener mucho cuidado pues si bien los conceptos de matrices y vectores son sencillos, el estudio detallado, la simbo-logía y la formalización que implican las combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal de vectores requiere de la integración entre precisión, mecánica y razonamiento. Para poder aplicar en situaciones prácticas este mó-dulo se necesitan más elementos que serán completados en los mómó-dulos si-guientes. No obstante se presentan aplicaciones muy sencillas que amenizarán el difícil, pero indispensable trayecto de lo formal. En esta etapa usted debe lograr superar las dificultades de la simbología, afianzar la notación e incorporar las nuevas herramientas que serán utilizadas en el resto de la materia.
Además de la ejercitación que sin duda es un el modo de apropiarse de gran parte de la operatoria matemática, se debe lograr una captación más amplia de los contenidos a través de la conceptualización y la comprensión; ésto implica una ida y vuelta desde y hacia la teoría, pasando por la ejercitación.
En la búsqueda de formas simples de describir situaciones matemáticas, económicas, físicas, administrativas, etc. se creó la estructura matricial, la que siendo básicamente un arreglo rectangular de números, ha permitido estructu-rar procesos de cálculo y a la vez hacerlos viables computacionalmente.
En esta unidad definiremos conceptos, implementaremos simbología y operatoria de trabajo ligadas a las matrices y a los vectores. Es necesario fami-liarizarse con la notación respetando formatos, tipo de letras, subíndices, etc. ya que ellos hacen al lenguaje matemático universalmente aceptado y porque además en capítulos subsiguientes deberemos rescatar aspectos relacionados con los mismos.
Objetivos específicos
Al finalizar el módulo, usted estará en condiciones de alcanzar los siguien-tes objetivos:
Operar con matrices y vectores.
•
Reconocer los distintos tipos de matrices.
•
Interpretar simbólicamente los elementos de una matriz o de un vector.
•
Verificar formalmente la dependencia ó independencia lineal de vectores.
•
Analizar en base a propiedades la dependencia ó independencia lineal de
•