Simulación Numérica de
Yacimientos
Dr. Fernando Rodríguez de la Garza
e-mail:
[email protected]
Tel: 55508712, 5622 3017 al 19
Capítulo 7.
Solución de Sistemas de
Ecuaciones Lineales
7. Solución de Sistemas de Ecuaciones
Lineales.
Se presentan métodos de solución comúnmente
empleados en la simulación numérica de yacimientos.
Los sistemas de ecuaciones que se generan en la
simulación de yacimientos se resuelven mediante:
Métodos Directos
Requieren de un número fijo de operaciones para resolver
un sistema dado.
Métodos Iterativos
No se puede predeterminar el número de operaciones, ya
que la solución consiste en aplicar algoritmos cíclicos. Se
espera que al paso de las iteraciones el método converja a
la solución.
7.1 Métodos Directos.
Como se vio en el Capítulo 5, la solución numérica de las
ecuaciones que de flujo en yacimientos generan sistemas
lineales de ecuaciones con matrices bandadas y dispersas,
en los que el ancho de banda es predecible.
En los métodos directos, el trabajo computacional y el
requerimiento de memoria están directamente
relacionados con el número de ecuaciones o de incógnitas
a resolver.
7.1 Métodos Directos…
Entre mayor es el número de ecuaciones, el ancho de
banda es generalmente mayor y la cantidad de memoria
de cómputo y de tiempo de procesamiento son también
mayores.
El número de ecuaciones y de incógnitas, para un
problema dado, depende del número total de bloques o de
celdas, en que se discretiza el dominio de interés y del
número de pseudo componentes considerados.
7.1 Métodos Directos…
Los métodos directos, se basan en el
Método de
Eliminación Gaussiana, MEG,
y consisten de dos pasos:
Paso 1:
En un barrido hacia delante se eliminan
todos los elementos diferentes de cero ubicados
debajo de la diagonal principal: Esto es, se
transforma la matriz de coeficientes en una matriz
triangular superior.
Paso 2:
En un barrido hacia atrás (… sustitución hacia
atrás) se se obtiene la solución de las incógnitas.
7.1 Métodos Directos…
Existen variaciones del MEG, que han sido motivadas
por las características particulares de los sistemas de
ecuaciones que se generan en algunas aplicaciones de
las ciencias e ingenierías (…como es el caso de la
simulación numérica de yacimientos) .
Dentro de estos métodos, los
Algoritmos de Banda
y las
Técnicas
para resolver sistemas de ecuaciones con
Matrices Dispersas
son de interés en la Simulación
Numérica de Yacimientos.
7.1 Métodos Directos.
Los
algoritmos de banda
toman ventaja de la
estructura bandada de la matriz para confinar las
operaciones de eliminación dentro de la banda.
Las
técnicas de matrices dispersas
,
reconocen la existencia de un gran número de
ceros en la matriz de coeficientes y evitan su
almacenamiento y operaciones innecesarias.
7.1 Métodos Directos.
El trabajo de los algoritmos de banda depende del ancho
de la banda. Para una cierta malla de cálculo,
el menor
ancho de banda se obtiene ordenando las ecuaciones e
incógnitas en la dirección del menor número de celdas.
La eficiencia de los métodos directos se mejora
grandemente cuando se emplean técnicas especiales de
ordenamiento de las ecuaciones e incógnitas, como es el
caso del
Ordenamiento D4.
7.1.1 Método de Eliminación Gaussiana
El método de Eliminación Gaussiana es la base de todos los métodos de solución directa de sistemas lineales de ecuaciones. Sus bases se expondrán con un ejemplo simple:
Considerar el sistema de ecuaciones:
Donde
d
Au
=
−
=
=
−
=
7
2
1
;
;
1
2
2
0
1
4
1
1
2
3 2 1d
u
u
u
u
A
o bien,
El método consiste en
eliminar
, en unaprimera etapa
, los elementos ubicados debajo de la diagonal principal, medianteoperaciones entre las ecuaciones, y en una
segunda etapa
, resolver las incógnitas mediante substitución hacia atrás.
−
=
−
7
2
1
1
2
2
0
1
4
1
1
2
3 2 1u
u
u
7.1.1 Método de Eliminación Gaussiana.
En el ejemplo, durante la primera etapa se realizan 3 operaciones de eliminación:
1a. Operación: Restamos 2 veces la primera ecuación de la segunda. 2a. Operación: Restamos –1 veces la primera ecuación de la tercera.
7.1.1 Método de Eliminación Gaussiana.
−
=
−
−
8
4
1
2
3
0
2
1
0
1
1
2
3
2
1
u
u
u
−
−
=
−
−
−
4
4
1
4
0
0
2
1
0
1
1
2
3
2
1
u
u
u
7.1.1 Método de Eliminación Gaussiana.
3a. Operación: Restamos –3 veces la segunda ecuación de la tercera.
El coeficiente del vector
u
, es un matriz triangular superior,U
: “Todos los valores debajo de la diagonal principal son cero”.El vector
c
se obtuvo a partir ded
con las mismas operaciones quetransformaron a
A
en U.
−
−
=
−
−
−
=
4
4
1
;
4
0
0
2
1
0
1
1
2
3 2 1c
u
u
u
Uu
7.1.1 Método de Eliminación Gaussiana.
Cuál es la relación entre A y U?
Veremos primero la forma matricial de las operaciones de eliminación: Notar que la 1aoperación de eliminación es equivalente a efectuar la
siguiente operación sobre
Au=d
.d
E
Au
E
21
=
21
7.1.1 Método de Eliminación Gaussiana.
1
0
0
0
1
2
0
0
1
21
−
=
E
donde,Matriz
Elemental 21
Los subíndices de
E
indican que la ecuación 2 fue alterada por un múltiplo de la ecuación 1: El múltiplo de 1 que se restó de la ecuación 2 fue:–e
21= 2
.relación entre A y U...
−
−
−
=
−
−
3 2 1 3 2 11
2
2
2
1
0
1
1
2
1
2
2
0
1
4
1
1
2
1
0
0
0
1
2
0
0
1
u
u
u
u
u
u
7.1.1 Método de Eliminación Gaussiana.
O sea que,
d
21
E
Haciendo ahora,
−
=
−
−
7
4
1
7
2
1
1
0
0
0
1
2
0
0
1
(
E
A
)
u
E
(
E
d
)
E
31 21=
31 217.1.1 Método de Eliminación Gaussiana.
Similarmente, la operación 2 de eliminación se representa matricialmente como:
1
0
1
0
1
0
0
0
1
31
=
E
Matriz
Elemental 31
Los subíndices de
E
indican que la ecuación 3 fue alterada por un múltiplo de la ecuación 1: El múltiplo de 1 que se restó de la ecuación 3 fue:–e
31= -1
.
−
=
−
−
8
4
1
2
3
0
2
1
0
1
1
2
3 2 1u
u
u
7.1.1 Método de Eliminación Gaussiana.
−
=
−
−
−
7
4
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
2
2
2
1
0
1
1
2
1
0
1
0
1
0
0
0
1
3 2 1u
u
u
Esto es: Realizando operaciones:1
3
0
0
1
0
0
0
1
=
32E
7.1.1 Método de Eliminación Gaussiana.
y la operación 3 de eliminación es:
(
E
E
A
)
u
E
(
E
E
d
)
E
32 31 21=
32 31 21donde:
Matriz
Elemental 32
Los subíndices de
E
indican que la ecuación 3 fue alterada por un múltiplo de la ecuación 2: El múltiplo de 2 que se restó de la ecuación 3 fue: –e32= -3.
=
−
−
8
4
-1
1
3
0
0
1
0
0
0
1
2
3
0
2
1
0
1
1
2
1
3
0
0
1
0
0
0
1
3 2 1u
u
u
7.1.1 Método de Eliminación Gaussiana.
y realizando operaciones, se tiene que:
=
−
−
−
4
-4
-1
4
0
0
2
1
0
1
1
2
3 2 1x
x
x
c
Uu
=
La operación 3 de eliminación es entonces,
Resumiendo: Las operaciones de eliminación generaron,
U
es una matriz triangular superiorNótese que para formar las matrices elementales
E
ij se parte de la matriz identidad,I
, y se remplaza el cero en la filai
, columnaj
por( –l
ij)
siendol
ij el múltiplo de la ecuaciónj
que se resta de la ecuacióni
.7.1.1 Método de Eliminación Gaussiana.
c
d
E
E
E
32 31 21=
U
A
E
E
E
32 31 21=
Las 3 operaciones matriciales que convierten a la matriz
A
enU
son:
Similarmente:
Nótese también que se pudo haber realizado, independientemente, la siguiente operación:
−
−
=
1
3
5
0
1
2
0
0
1
21 31 32E
E
E
7.1.1 Método de Eliminación Gaussiana.
U
E
A
E
E
E
E
32−1 32 31 21=
32−17.1.1 Método de Eliminación Gaussiana.
Notar que: Recordando que: Donde:
I
E
E
−1 32=
32
−
=
−1
3
0
0
1
0
0
0
1
1 32E
(
E
31−1E
31)
E
21A
=
E
31−1E
32−1U
=
−
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
3
0
0
1
0
0
0
1
1
3
0
0
1
0
0
0
1
o sea:7.1.1 Método de Eliminación Gaussiana.
De igual forma: Finalmente:
U
E
E
E
A
=
21
−
1
31
−
1
32
−
1
L
E
E
E
− − −1=
32 1 31 1 217.1.1 Método de Eliminación Gaussiana.
Pero:
Es la matriz que convierte U en A:
−
−
=
1
3
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
2
0
0
1
L
−
−
=
1
3
1
0
1
2
0
0
1
L
d
Au
=
7.1.1 Método de Eliminación Gaussiana.
Resumiendo:
pero A se puede descomponer en el producto
LU
:(
LUu
)
L
d
L
−1=
−1d
LUu
=
de manera que por eliminación se transformó en:
c
Uu
=
7.1.1 Método de Eliminación Gaussiana.
Entonces:c
U
x
=
−
1
d
U
L
x
=
−
1
−
1
b
A
x
=
−
1
ó,Una vez que se calculan
L
yU
, es posible obtener la soluciónx’
para cualquier nuevod’
enn
2 operaciones:n
2/2
hacia delante, para obtenerc’
yn
2/2
hacia atrás para obtenerx’
7.1.2 Solución de Sistemas Tridiagonales:
Algoritmo de Thomas.
Considerar el siguiente sistema tridiagonal de ecuaciones:
a
1u
1+ b
1u
2= d
1c
iu
i-1+ a
iu
i+ b
iu
i+1= d
i;
i=2,3,...,I-1
c
Iu
I-1+ a
Iu
I= d
I…(7.1)
o bien,
7.1.2 Solución de Sistemas Tridiagonales…Thomas.
donde,
=
I Ia
c
b
a
c
b
a
c
b
a
A
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 3 3 2 2 2 1 1u
T= (u
1,u
2,...,u
I)
d
T= (d
1,d
2,...,d
I).
y,
7.1.2 Solución de Sistemas Tridiagonales.. Thomas.
La matriz A se descompone como el siguiente el producto
A = WQ
…(7.3)Donde,
=
I Iw
c
w
c
w
c
w
W
.
.
.
.
.
.
3 3 2 2 17.1.2 Solución de Sistemas Tridiagonales… Thomas.
y,
= − 1 1 . . . . 1 1 1 1 3 2 1 I q q q q Q7.1.2 Solución de Sistemas Tridiagonales… Thomas.
Efectuando el producto
WQ
e igualando la matriz
resultante, elemento elemento, con la matriz
A
, se obtiene
un sistema de 2I-1 ecuaciones con 2I-1 incógnitas: w
1, w
2,...,
w
Iy q
1, q
2,..., q
I-1. Su solución da lo siguiente:
1 1 1 1 1
w
b
q
a
w
=
=
;
i i iw
b
q
=
…(7.4) 1 −−
=
i i i ia
c
q
w
I
i
=
2
,
3
,....,
…(7.5)7.1.2 Solución de Sistemas Tridiagonales…Thomas.
La solución del sistema tridiagonal se obtiene como sigue:
( )ν (ν ) ( )ν
=
+ I I I Id
d
d
d
g
g
g
g
w
c
w
c
w
c
w
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 2 1 1 3 2 1 3 3 2 2 1Au = WQu = Wg
donde
…(7.6)g = Qu
Es decir,
7.1.2 Solución de Sistemas Tridiagonales…Thomas.
y en un barrido hacia delante se resuelve
g
:
I
i
w
g
c
d
g
w
d
g
i i i i i;
2
,
3
,....,
1 1 1 1=
−
=
=
− ( )ν (ν ) ( )ν = + − I I I g g g g u u u u q q q q . . . . . . 1 1 . . . . 1 1 1 3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1Finalmente se puede resolver Qu=g como sigue
:7.1.2 Solución de Sistemas Tridiagonales: Algoritmo de
Thomas.
y en un barrido hacia atrás se obtiene la solución deseada:
Resumiendo:
Para resolver el sistema tridiagonal
Au = d
, es necesario
calcular primero los elementos
q
i, w
iy
g
imediante las Ecs.
7.4, 7.5 y 7.7 y posteriormente obtener la solución de
u
imediante las Ecs. 7.8.
u
I= g
Iu
i= g
i- q
iu
i+1;
i= I-1, I-2,…, 1
…(7.8)
7.1.3 Algoritmos de matrices dispersas:
Descomposición LDU.
7.2 Métodos Iterativos.
Los métodos iterativos adquieren interés en el caso de problemas multidimensionales, donde el número de ecuaciones a resolver es relativamente grande. Básicamente existen dos tipos:
1. Métodos iterativos por punto, (MIP).
2. Métodos iterativos por línea o bloque, (MIL/B).
En los métodos iterativos por punto, MIP, las incógnitas de cada nodo se resuelven explícitamente en cada iteración.
En los métodos iterativos por línea/bloque, MIL/B, las incógnitas de un grupo de celdas se resuelven simultáneamente (ó implícitamente).
7.2 Métodos Iterativos.
Entre mayor sea el número de íncógnitas que se resuelven
simultáneamente, o dicho de otra manera, entre más implícito sea el MIL/B, la convergencia a la solución será más rápida (...se necesitarán menos iteraciones).
A mayor implicitud se requerirá , sin embargo, una mayor capacidad de memoria de cómputo y un mayor esfuerzo computacional por iteración.
Por lo anterior, en la implementación de un método iterativo por bloques, es necesario hacer un balance entre implicitud y
simplicidad para resolver el sistema de ecuaciones generado por los bloques.
7.2 Métodos Iterativos.
Los métodos iterativos están ligados a parámetros de iteración, que se introducen en el algoritmo para acelerar la convergencia a la solución.
El ritmo de convergencia de un algoritmo dado, depende de varios factores, como son:
– Las características de la malla de cálculo,
– La anisotropía y las heterogeneidades de la formación, – La estimación inicial de la solución
– El criterio de convergencia
7.2 Métodos Iterativos.
A continuación se presentan algunos de estos métodos. Considérese el siguiente sistema de ecuaciones:
ij j i ij j i ij j i ij j i ij j i ij
u
c
u
a
u
b
u
e
u
d
f
, −1+
−1,+
,+
+1,+
, +1=
Dentro de los métodos iterativos que han recibido atención en la
simulación numérica de yacimientos están el PSOR, LSOR, BSORy
algunas variantes de estos. Otros métodos son el ADIPy SIP.
Ninguno de estos métodos es universal: algunos funcionan bien bajo algunas circunstancias y mal bajo otras.
…(7.9) J j I i ,..., 2 , 1 ,..., 2 , 1 = =
Como antecedentes a los métodos SOR
se presenta primeramente los métodos
de:
Jacobi y de Gauss Seidel.
La solución del sistema de ecuaciones, Ec. 7.9, mediante el método de Jacobi consiste en la aplicación sucesiva del siguiente proceso
iterativo:
…(7.10) donde
m+1
ym
son los niveles iterativos, desconocido y conocido respectivamente. ( ){
( ) ( ) ( ) ( )m}
j i j i m j i j i m j i j i m j i j i j i j i m j id
f
u
c
u
b
u
e
u
a
u
, , , 1 , 1, , 1, , , 1 , 1 ,1
+ + − − +−
−
−
−
=
7.2.1 Método de Jacobi.
7.2.1 Método de Jacobi.
Nótese que la solución de las incógnitas se obtienen puntualmente, o explícitamente y que el orden en que estas se resuelven es irrelevante. Como cualquier proceso iterativo, se requiere de una estimación inicial de la solución y se espera que en la medida en que las iteraciones avancen, el método converja a la solución.
La converjencia ocurre cuando los cambios iterativos de las incógnitas en
todos los nodos
sean, en valor absoluto, menor que unatolerancia preestablecida.
7.2.2 Método de Gauss-Seidel.
Se observa que si en el método de Jacobi se establece un orden en la solución de las incógnitas mediante, el ordenamiento normal por ejemplo, en la medida que se avanza la solución, existe ya en los nodos barridos una mejor estimación de la solución.
El método de Gauss-Seidel reconoce este hecho y modifica el algoritmo iterativo de Jacobi de la siguiente manera:
( )
{
( ) ( ) ( ) ( )m}
j i j i m j i j i m j i j i m j i j i j i j i m j id
f
u
c
u
b
u
e
u
a
u
, , , 11 , 1,1 , 1, , , 1 , 1 ,1
+ + + − + − +−
−
−
−
=
donde el barrido se hace por renglones. Esto es, en orden creciente de
j
, y para cada renglónj
se barre en orden creciente dei
.(7.11)
El método de Gauss-Seidel es computacionalmente más
simple que el método de Jacobi y converge más rápido a la
7.2.3 Método de SOR en Punto o PSOR.
El método iterativo del PSOR es en una modificación del método de Gauss-Seidel, donde se introduce el uso de un parámetro de iteración, con el objeto de acelerar el proceso de convergencia a la solución. Si se denomina a la solución obtenida mediante el método de Gauss-Seidel en la iteración m+1, el método PSOR se define como:
(
)
2
1
1
(, ) *(, 1) ) 1 ( ,≤
≤
+
−
=
+ +ω
ω
ω
m j i m j i m j iu
u
u
donde
ω
es un parámetro de sobrerrelajación que, como ya semencionó, acelera el ritmo de convergencia de la solución. El parámetro adquiere valores en el rango de 1 a 2. Mas adelante se darán algunos criterios para la estimación de este parámetro.
…(7.12)
7.2.4 Método de SOR en Línea o LSOR.
Se establecen, en cada iteración, sistemas de ecuaciones similares a los generados en problemas lineales: Se resuelven simultáneamente las incógnitas correspondientes a una línea o columna de celdas En la solución de las incógnitas de una línea determinada, se emplean los nuevos valores de las incógnitas obtenidos en líneas anteriores.
Como una extensión del método de Gauss-Seidel, para cada
j
seestablece el siguiente sistema de ecuaciones:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m j i j i m j i j i j i m j i j i m j i j i m j i j i
u
a
u
b
u
d
f
u
e
u
c
, *−1,+1+
, *, +1+
, *+1,+1=
,−
, ,−+11−
, , +1i = 1,2,....,I
para cadaj
7.2.4 Método de SOR en Línea o LSOR.
El sistema de ecuaciones generado con la Ec. 7.13 es tridiagonal. Se puede entonces resolver mediante el algoritmo de Thomas. Una vez que se obtiene la solución de las incógnitas ,
i=1,2,...,I
para la líneaj
, esta se sobrerrelaja como en la Ec. 7.12, esto es:(
)
2
1
1
(, ) *(, 1) ) 1 ( ,≤
≤
+
−
=
+ +ω
ω
ω
m j i m j i m j iu
u
u
El ritmo de convergencia del método LSOR, depende del valor del parámetro de sobrerelajación. Existe un valor óptimo de este parámetro, que se puede obtener por ensaye y error, como se verá posteriormente.
…(7.14)
7.2.4 Método de SOR en Línea o LSOR.
El proceso iterativo LSOR comienza con la siguiente estimación inicial:
( ) n j i j i
u
u
,0δ
,δ
=
( ) ( )tolerancia
u
u
imj+−
imj≤
, 1 ,δ
δ
y termina cuando los cambios iterativos de las incógnitas son, en valor absoluto, menores que una cierta tolerancia estipulada, esto es:
(7.15) (7.16)
J
j
I
i
,...,
2
,
1
,...,
2
,
1
=
=
Para todo7.2.5 Método de SOR en Bloque o BSOR.
La idea principal de este método consiste en rearreglar por planos el sistema de ecuaciones generado para un problema tridimensional:
j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i
d
u
g
u
e
u
b
u
a
u
c
u
f
u
h
, 1 , , , , , 1 , , , , , 1 , , , , , , , , 1 , , , 1 , , , 1 , , , ,=
+
+
+
+
+
+
+ + + − − −El problema tridimensional, Ec. 7.17, se resuelve mediante una serie de barridos bidimensionales, empleando los nuevos valores de las incógnitas de los planos previamente resueltos.
i = 1,2,...,I ; j = 1,2,...,J ; k = 1,2,…,K
(7.17)
7.2.5 Método de SOR en Bloque o BSOR.
El método de sobrerelajación en Bloque, BSOR, aplicado a la solución del sistema lineal de ecuaciones definido por la Ec. 7.17, consiste en conservar en el lado izquierdo de la ecuación a los términos
correspondientes a dos direcciones así como a la diagonal principal y pasar al lado derecho los términos correspondientes a una dirección y a los términos de residuos, con lo que se establece el siguiente proceso iterativo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m k j i k j i m k j i k j i j i m k j i k j i m k j i k j i m k j i k j i m k j i k j i m k j i k j i
u
g
u
h
d
u
e
u
b
u
a
u
c
u
f
1 , , , , 1 1 , , , , , 1 * , 1 , , , 1 * , , 1 , , 1 * , , , , 1 * , , 1 , , 1 * , 1 , , , + + − + + + + + + − + −−
−
=
+
+
+
+
(7.18)Se resuelven simultáneamente: i = 1,2,...,I ; j = 1,2,...,J
Para cada plano,
k = 1,2,…,K
7.2.5 Método de SOR en Bloque o BSOR.
El problema bidimensional, Ec. 7.18, genera para un ordenamiento normal, una matriz de coeficientes pentadiagonal que se resuelve más eficientemente que el problema original.
Cada uno de estos problemas reducidos, se resuelve empleando un esquema directo de solución, con lo que se genera una solución intermedia que sirve de base para obtener la solución al nivel de iteración desconocido,
(m+1).
Una vez que se obtiene la solución intermedia de las incógnitas ,i=1,2,...,I
yj=1,2,….,J
correspondientes al plano
k
, ésta se sobrerrelaja como la Ec. 7.14.7.2.5 Método de SOR en Bloque o BSOR.
En problemas donde el método LSOR no converge debido, por ejemplo, a que la formación es altamente heterogénea y anisotrópica, el método BSOR tiene un mejor comportamiento.
Las propiedades de convergencia de estos método iterativos mejoran a medida que el número de ecuaciones resueltas simultáneamente aumenta. Esto; sin embargo, ocasiona un aumento en el trabajo computacional realizado en cada iteración.
Al igual que el método anterior, el método BSOR comienza con una estimación inicial dada por la Ec. 7.15 y termina cuando alcanza la convergencia estipulada, dada por la Ec. 7.16
7.2.6 Algoritmo para el cálculo del parámetro
de sobrerelajación.
Una forma de obtener el valor óptimo de
ω
a emplear en LSOR y BSOR es mediante ensaye y error:Se realizan corridas de sensibilidad con diferentes valores de
ω
y se gráficaω
contra el No. de Iteraciones requeridas en la solución. Elω
óptimo,
ω
ópt, es aquel que requiere el menor número de iteraciones.7.2.6 Algoritmo para el cálculo del parámetro de
sobrerelajación.
Otra manera de obtener
ω
opt es a través del procedimiento siguiente:* ) ( * ) 1 (
d
u
A
u
m+=
m+
( )
[
* 2]
121
1
2
A
bρ
ω
−
+
=
donde
ω
bes el parámetro de sobrerelajación óptimo.Se parte de considerar que cualquier esquema iterativo para resolver el sistema de ecuaciones puede expresarse de la siguiente forma:
(7.19) donde
m+1
es el nivel iterativo desconocido ym
el conocido.El valor óptimo de está en función del radio espectral de la matriz
A
*,ρ(Α
∗)
, de la siguiente manera:7.2.6 Algoritmo para el cálculo del parámetro de
sobrerelajación.
El radio espectral de la matriz
A
*, , está definido como:(7.21) donde es el valor promedio del ritmo al cual converge la solución,
el cual se calcula con la siguiente expresión:
(7.22) donde es el vector de los cambios iterativos de la solución, definido como:
(7.23) y es la norma del vector solución de los cambios iterativos.
( )
(
12)
1
*θ
ω
ω
θ
ρ
A
=
+
−
( )
*A
ρ
( ) ( ) ( )m m mu
u
δ
δ
θ
1 1 + +=
θ
(m+1)θ
(m+1)u
δ
(m ) (m ) ( )mu
u
u
+1=
+1−
δ
u
δ
7.2.6 Algoritmo para el cálculo del parámetro de
sobrerelajación.
Los valores de deben estar muy próximos a un valor límite de y este valor se usa como una aproximación en el cálculo del radio espectral.
También se requiere un valor inicial de en la Ec. 7.21 para obtener el vector solución . Por tal motivo, se requiere que este proceso iterativo se inicialice con y se cumpla con la siguiente condición:
(7.24) De tal manera que este proceso iterativo se detiene hasta lograr la convergencia estipulada, Ec. 7.24. Cabe mencionar, que este proceso
converge solo si el valor de es menor que el nuevo valor de
calculado. De otra forma, los valores de oscilarán y no se podrá obtener una aproximación correcta del radio espectral, . En este último caso, debe reducirse hasta que logre la convergencia.
(m+1) θ
θ
ω
(m+1)u
δ
1 = ω ( ) ( )tolerancia
m m≤
−
+θ
θ
1 ) (mω
) 1 (m+ω
θ
( )m( )
Aρ
ω
( )mθ
7.2.7 Método ADIP (Procedimiento
Iterativo de Dirección Alternada).
ij j i ij j i ij j i ij ac ij y ij x j i ij j i ij
d
u
e
u
b
u
a
a
a
u
c
u
f
=
+
+
+
+
+
+
+ + − − 1 , , 1 , , , , , 1 1 ,(
)
El desarrollo del método ADIP, comienza por reconocer que en problemas de flujo bidimensional, el coeficiente
a
ijde la ecuación 7.9 puede descomponerse como la suma de las contribuciones de los términos de flujo enx, y
y del término de acumulacion, esto es:Matricialmente, podemos escribir este sistema de ecuaciones como sigue: J j I i ,..., 2 , 1 ,..., 2 , 1 = =
Peaceman, D.W. y Rachford, H.H.:” The Numerical Solution of Parabolic and Elliptic Differential Equations,” SIAM J. Numerical Analysis (1955) 3, 28-41
7.2.7 Método ADIP ...
d
u
S
V
H
+
+
)
=
(
Donde:H
= Matriz que contiene las contribuciones del término de flujo en xV
= Matriz que contiene las contribuciones del término de flujo en yS
= Matriz que contiene la contribución del término de acumulación = x x x x x x x x x x x x a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a H = y y y y y y y y y y y y a f a f a f e a f e a f e a f e a f e a f e a f e a e a e a V = ac ac ac ac ac ac ac ac ac ac ac ac a a a a a a a a a a a a S
7.2.7 Método ADIP ...
d
u
S
S
V
H
+
+
+
)
=
2
2
(
El sistema matricial --- puede rearreglarse como:
El algoritmo iterativo del ADIP consiste de resolver las incógnitas de la iteración m+1 en dos barridos. En el primer barrido, en
x
, se obtiene una solución intermedia,u*
, rearreglando ---- como sigue:d
u
rI
rI
S
S
V
H
+
+
+
+
−
)
=
2
2
(
y se suma y resta la constante r (parámetro de iteración) en la diagonal principal (o sea la matriz
rI
, dondeI
es la matriz identidad):) ( ) 1 ( ) 1 *( ) 1 (
)
2
(
)
2
(
V
+
S
+
r
m+I
u
m+=
d
−
H
−
S
+
r
m+I
u
m7.2.7 Método ADIP ...
En el segundo barrido, en
y
, se obtiene la solución de la iteración m+1:) *( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (
)
2
(
)
2
(
H
+
S
+
r
m+I
u
m+=
d
−
V
−
S
+
r
m+I
u
mAl final de cada iteración se verifica la convergencia, esto es, se habrá alcanzado la solución solo si para todo
i,j
se cumple que:ε
≤
−
+1) ( ) ( m ij m iju
u
Nótese que la ecuación matricial ---- que representa el
primer
barrido
se puede escribir equivalentemente como:7.2.7 Método ADIP ...
) ( 1 , ) ( ) 1 ( , , ) ( 1 , ) 1 ( *, , 1 ) 1 ( *, , ) 1 ( , , ) 1 ( *, , 1)
2
1
(
)
2
1
(
m j i ij m ij m ij ac ij y m j i ij ij m j i ij m j i m ij ac ij x m j i iju
e
u
r
a
a
u
f
d
u
b
u
r
a
a
u
c
+ + − + + + + + −−
−
+
−
−
=
+
+
+
+
J j I i ,..., 2 , 1 ,..., 2 , 1 = =Al escribir esta ecuación en cada
j
y todas lasi’es
(i=1,2,...I
) se genera un subsistema deI
ecuaciones conI
incógnitas, similar al que se resulta de problemas de flujo 1D:j=1 2 J 1=1 2 I ) ( *, ) 1 ( *, , 1 ) 1 ( *, , ) 1 ( , ) 1 ( *, , 1 m ij m j i ij m j i m ij X m j i ij
u
a
u
b
u
d
c
+
+
+ +=
+ + + − dada j I i=1,2,...,Primer Barrido:
Solución
Intermedia
u*
i,j7.2.7 Método ADIP ...
) ( , 1 ) ( *, ) 1 ( , , ) ( *, , 1 ) 1 ( 1 , ) 1 ( , ) 1 ( , , ) 1 ( 1 ,)
2
1
(
)
2
1
(
m j i ij m ij m ij ac ij y m j i ij ij m j i ij m j i m ij ac ij y m j i iju
b
u
r
a
a
u
c
d
u
e
u
r
a
a
u
f
+ + − + + + + + −−
−
+
−
−
=
+
+
+
+
J j I i ,..., 2 , 1 ,..., 2 , 1 = =Vemos de nuevo que esta ecuación escrita en cada
i
, para todaj
(
j=1,2,...J
) genera subsistemas deJ
ecuaciones conJ
incógnitas Similarmente, la ecuación ---- delsegundo barrido
se escribe como:j=1 2 J i=12 I ) ( **, ) 1 ( 1 , ) 1 ( , ) 1 ( , ) 1 ( 1 , m ij m j i ij m j i m ij Y m j i ij
u
a
u
e
u
d
f
+
+
++=
+ + + − dada i J j=1,2,...,Segundo Barrido:
Solución
u
i,j(m+1)7.2.7 Método ADIP ...
Bjordammen y Coats, (1969) sugieren calcular
r
maxyr
mincomo: Los parámetros de iteración se calculan mediante una progresión geométrica: ) ( ) 1 (m mr
r
+=
ω
m=1,2,...,M-1
1 1 min max −
=
Mr
r
ω
1
max=
r
∆ ∆ + ∆ ∆ + = j i y x j i x y j i k k x y J k k y x I r , 2 2 2 , 2 2 2 , min 1 2 , 1 2 min π π7.2.7 Método ADIP ...
La aplicación de estos parámetros durante el proceso iterativo de solución es cíclica. Esto es, si se requiere un número iteraciones mayor que
M
, los parámetros de iteración se repiten nuevamente,r
(1), r
(2),
...., hasta alcanzar la convergencia.El número de parámetros de iteración,
M
, se determina generalmente por ensaye y error: TípicamenteM = 6
7.2.8 Método SIP (Procedimiento
Fuertemente Implícito)
Fue el primer método de factorización aproximada empleado en la SNY. La solución se obtiene mediante un proceso de eliminación que trabaja sobre una versión modificada de la matriz original. Sea nuevamente el problema a resolver el siguiente:
Stone, H.L.:”Iterative Solution of Implicit Approximations of Multidimensional Partial Differential Equations,” SIAM J. Numerical Analysis (1968) 5, 530-58.
d
Au
=
Se busca reemplazar
A
porA*
, siendo esta última tal que pueda factorizarse mas fácilmente en el producto de dos matrices,LU
, triangular inferior y triangular superior, respectivamente.7.2.8 Método SIP ...
En problemas bidimensionales,
L
yU
se condicionan a tener sólo tres elementos diferentes de cero en cada renglón. Esto se traduce en menos trabajo computacional para resolver el sistema por eliminación.La definición del algoritmo iterativo parte de sumar y restar A*u al sistema original: o bien,
d
u
A
u
A
Au
=
*−
*+
y se rearregla iterativamente como:
d
Au
u
A
u
A
* (m+1)−
* (m)=
(m)−
) ( ) 1 ( * m mR
u
A
δ
+=
7.2.8 Método SIP ...
donde: ) ( ) 1 ( ) 1 (m m mu
u
u
+=
+−
δ
y ,d
Au
R
(m)=
(m)−
pero,LU
A
*=
) ( ) 1 (m mR
u
LU
δ
+=
entonces,7.2.8 Método SIP ...
Si hacemos:tenemos que podemos resolver el vector
v
(m+1)hacia adelante,Una vez resuelto
v
(m+1) la solución deδ
u
(m+1)se obtiene mediantesubstitución hacia atrás,
) 1 ( ) 1 ( + +
=
m mv
u
U
δ
) ( ) 1 (m mR
Lv
+=
Se procede luego a verificar la convergencia, y se dará por concluido el proceso iterativo cuando de solución cuando
ε
≤
−
+1) ( ) ( m ij m iju
u
7.2.8 Método SIP ...
Se derivará el algoritmo del SIP mediante un problema bidimensional. Considérese nuevamente el sistema problema:
ij j i ij j i ij j i ij j i ij j i ij
d
u
e
u
b
u
a
u
c
u
f
=
+
+
+
+
+ + − − 1 , , 1 , , 1 1 , J j I i ,..., 2 , 1 ,..., 2 , 1 = =i = 1
j = 1
2
3
4
2
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 127.2.8 Método SIP ...
Se tiene entonces, siguiendo el ordenamiento indicado:
= 3 , 4 3 , 3 3 , 2 3 , 1 2 , 4 2 , 3 2 , 2 2 , 1 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 , 1 3 , 4 3 , 3 3 , 2 3 , 1 2 , 4 2 , 3 2 , 2 2 , 1 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 , 1 3 , 4 3 , 4 3 , 4 3 , 3 3 , 3 3 , 3 3 , 3 3 , 2 3 , 2 3 , 2 3 , 2 3 , 1 3 , 1 3 , 1 2 , 4 2 , 4 2 , 4 2 , 4 2 , 3 2 , 3 2 , 3 2 , 3 2 , 3 2 , 2 2 , 2 2 , 2 2 , 2 2 , 2 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 1 , 4 1 , 4 1 , 4 1 , 3 1 , 3 1 , 3 1 , 3 1 , 2 1 , 2 1 , 2 1 , 2 1 , 1 1 , 1 1 , 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 d d d d d d d d d d d d u u u u u u u u u u u u a c f b a c f b a c f b a f e a c f e b a c f e b a c f e b a f e a c e b a c e b a c e b a
7.2.8 Método SIP ...
Si definimos L como: = 3 , 4 3 , 4 3 , 4 3 , 3 3 , 3 3 , 3 3 , 2 3 , 2 3 , 2 3 , 1 3 , 1 2 , 4 2 , 4 2 , 4 2 , 3 2 , 3 2 , 3 2 , 2 2 , 2 2 , 2 2 , 1 2 , 1 1 , 4 1 , 4 1 , 3 1 , 3 1 , 2 1 , 2 1 , 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A C F A C F A C F A F A C F A C F A C F A F A C A C A C A L7.2.8 Método SIP ...
y U como: = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 | 3 , 3 3 , 2 3 , 1 2 , 4 2 , 3 2 , 3 2 , 2 2 , 2 2 , 1 2 , 1 1 , 4 1 , 3 1 , 3 1 , 2 1 , 2 1 , 1 1 , 1 B B B E E B E B E B E E B E B E B U7.2.8 Método SIP ...
Entonces tenemos: = = * 3 , 4 * 3 , 4 * 3 , 4 * 3 , 3 * 3 , 3 * 3 , 3 * 3 , 3 * 3 , 3 * 3 , 2 * 3 , 2 * 3 , 2 * 3 , 2 * 3 , 2 * 3 , 1 * 3 , 1 * 3 , 1 * 3 , 1 * 2 , 4 * 2 , 4 * 2 , 4 * 2 , 4 * 2 , 4 * 2 , 3 * 2 , 3 * 2 , 3 * 2 , 3 * 2 , 3 * 2 , 3 * 2 , 3 * 2 , 2 * 2 , 2 * 2 , 2 * 2 , 2 * 2 , 2 * 2 , 2 * 2 , 2 * 2 , 1 * 2 , 1 * 2 , 1 * 2 , 1 * 2 , 1 * 1 , 4 * 1 , 4 * 1 , 4 * 1 , 4 * 1 , 3 * 1 , 3 * 1 , 3 * 1 , 3 * 1 , 3 * 1 , 2 * 1 , 2 * 1 , 2 * 1 , 2 * 1 , 2 * 1 , 1 * 1 , 1 * 1 , 1 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a c f b a c h f b a c h f b a h f e g a c f e g b a c h f e g b a c h f e b a h f e g a c e g b a c e g b a c e b a LU A7.2.8 Método SIP ...
donde: j i j iF
f
, * ,=
1 , , * ,j=
i j i j− iF
B
h
j i j iC
c
, * ,=
j i j i j i j i j i j iF
E
C
B
A
a
, , 1 , 1, , * ,=
−+
−+
j i j i j iA
B
b
, , * ,=
j i j i j iC
E
g
* , 1, ,=
− j i j i j iA
E
e
* , , ,=
7.2.8 Método SIP ...
Vemos entonces que se tiene ahora lo siguiente:
ij j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i
d
u
e
u
g
u
b
u
a
u
c
u
h
u
f
=
+
+
+
+
+
+
+ + − + − − + − 1 , * , 1 , 1 * , , 1 * , , * , , 1 * , 1 , 1 * , 1 , * , J j I i ,..., 2 , 1 ,..., 2 , 1 = = i,j i+1,j i-1,j i-1,j-1 i,j-1 i+1,j+1 i,j+1Donde aparecen dos incógnitas adicionales en los nodos
i-1.j-1
e
i+1,j+1
:7.2.8 Método SIP ...
Ahora bien, si modificamos ligeramente el sistema original de ecuaciones como sigue:
ij j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i
d
u
e
u
u
u
u
g
u
b
u
a
u
c
u
u
u
u
h
u
f
=
+
−
+
−
+
+
+
+
−
+
−
+
+ − + + − + − − + − + − 1 , , , , 1 1 , 1 , 1 , , 1 , , , , 1 , , 1 , , 1 1 , 1 , 1 , ,)]
(
[
)]
(
[
α
α
Nótese que j i j i j i j iu
u
u
u
+1, −1≈
+1,+
, −1−
, y j i j i j i j iu
u
u
u
−1, +1≈
, +1+
−1,−
,7.2.8 Método SIP ...
)
(
2 1 , 1 , 1 , 1O
x
x
u
x
u
u
j i i j i j i+
∆
∂
∂
∆
−
=
+ + + −)
(
2 , 1 , 1 ,O
x
x
u
x
u
u
j i i j i j i+
∆
∂
∂
∆
+
=
− −)
(
2 , 1 , 1 1 , 1O
y
y
u
y
u
u
j i j j i j i+
∆
∂
∂
∆
−
=
+ + − +)
(
2 1 , 1 , ,O
y
y
u
y
u
u
j i j j i j i+
∆
∂
∂
∆
+
=
− − restando, y considerando que se obtiene la aproximación para ui-1,j+1 j i i j i i x u x x u x , 1 1 ,+ ∂ − ∂ ∆ = ∂ ∂ ∆ restando, y considerando que se obtiene la aproximación para ui+1,j-1 1 , , 1 − + ∂ ∂ ∆ = ∂ ∂ ∆ j i j j i j y u y y u y7.2.8 Método SIP ...
La ecuación modificada se escribe entonces como:
ij j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i
d
u
g
e
u
g
u
h
b
u
g
h
a
u
g
c
u
h
u
h
f
=
−
+
+
−
+
+
+
+
−
+
+
−
+ + − + − − + − 1 , , , 1 , 1 , , 1 , , , , , , , 1 , , 1 , 1 , 1 , , ,)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
α
α
α
α
α
α
Comparando esta ecuación con la obtenida previamente del producto
A*=LU
encontramos las siguientes equivalencias:7.2.8 Método SIP ...
j i j i j if
h
f
, , * ,=
−
α
j i j ih
h
, * ,=
j i j i j ic
g
c
, , * ,=
−
α
j i j i j i j ia
h
g
a
, , , * ,=
+
α
+
α
j i j i j ib
h
b
, , * ,=
−
α
j i j ig
g
, * ,=
j i j i j ie
g
e
, , * ,=
−
α
7.2.8 Método SIP ...
j i j i j ih
F
f
,−
α
,=
, 1 , , ,j=
i j ij− iF
B
h
j i j i j ig
C
c
,−
α
,=
, j i j i j i j i j i j i j i j ih
g
F
E
C
B
A
a
,+
α
,+
α
,=
, , −1+
, −1,+
, j i j i j i j ih
A
B
b
,−
α
,=
, , j i j i j iC
E
g
,=
, −1, j i j i j i j ig
A
E
e
,−
α
,=
, ,y de acuerdo a la definición de
f*, h*, c*...,
en términos de los elementos deL
yU
, tenemos:Sistema de 7
ecuaciones
con 7
incógnitas:
G,C,A,B,F,h,e
7.2.8 Método SIP ...
j i j i j ih
F
f
,−
α
,=
, 1 , , ,j=
ij ij− iF
B
h
j i j i j ig
C
c
,−
α
,=
, j i j i j i j i j i j i j i j ih
g
F
E
C
B
A
a
,+
α
,+
α
,=
, ,−1+
, −1,+
, j i j i j i j ih
A
B
b
,−
α
,=
, , j i j i j iC
E
g
,=
, −1, j i j i j i j ig
A
E
e
,−
α
,=
, ,Resolviendo se obtiene que:
Sistema de 7
ecuaciones con 7
incógnitas:
G,C,A,B,F,h,e
Si se introduce
h
ijy
g
ijen el resto, se
reduce a 5
ecuaciones con 5
incógnitas:
G, C, A, B, F
7.2.8 Método SIP ...
1 , , ,1
+
−=
j i j i j iB
f
F
α
Resolviendo se obtiene: j i j i j iE
c
C
, 1 , ,1
+
−=
α
)
(
)
(
, 1 , 1 , 1, 1, , , ,j ij i j i j i j i j i j i j ia
F
B
E
C
E
B
A
=
+
α
−−
−+
α
−−
− j i j i j i j i j iA
B
F
b
B
, 1 , , , , −−
=
α
j i j i j i j i j iA
E
C
e
E
, , 1 , , , −−
=
α
Hemos entonces encontrado la manera de calcular los elementos de las matrices L y U en términos de los elementos de la matriz original.
vemos que se escribe como:
) ( ) 1 (m m
R
Lv
+=
7.2.8 Método SIP ...
Regresando entonces a, ) ( , ) 1 ( , , ) 1 ( , 1 , ) 1 ( 1 , , m j i m j i j i m j i j i m j i j iv
C
v
A
v
R
F
−++
− ++
+=
y se resuelve por substitución hacia adelante:
Una vez resuelto , resolvemos mediante substitución hacia atrás las incógnitas de la iteración (
m+1
)lo que es igual a: ) 1 ( ) 1 ( + +
=
m mv
u
U
δ
7.2.8 Método SIP ...
) ( , ) 1 ( 1 , , ) 1 ( , 1 , ) 1 ( , m j i m j i j i m j i j i m j iB
u
E
u
v
u
++
δ
+ ++
δ
++=
δ
Entonces ) 1 ( , + m j iv
) 1 ( 1 , , ) 1 ( , 1 , ) ( , ) 1 ( , + + + + +−
−
=
m j i j i m j i j i m j i m j iv
B
u
E
u
u
δ
δ
δ
Stone recomienda usar una secuencia de parámetros de iteración, de manera cíclica como en el ADIP. Los parámetros se espacían
geométricamente entre 0 y
α
maxdonde,7.2.8 Método SIP ...
y los parámetros se calculan como:
∆ ∆ + ∆ ∆ + = − j i y x j i x y j i k k x y J k k y x I , 2 2 2 , 2 2 2 , max 1 2 , 1 2 min ) 1 (
α
π
π
1 max)
1
(
)
1
(
−
=
−
M− m mα
α
m=0,1,2,..., M-1M es el No. de parámetros por ciclo: Stone recomienda
M = 4
y usar cada parámetro dos veces en cada ciclo7.3 Solución de Sistemas de Ecuaciones
estructurados en Bloques.
Los métodos directos e iterativos descritos previamente se extienden en forma natural a la solución de sistemas estructurados en bloques.
La diferencia estriba en que en lugar de operar con escalares, como hasta ahora se ha mostrado, debe hacerse operaciones matriciales.
El orden de las operaciones es entonces importante en este caso.
Se toma como ejemplo la extensión del algoritmo de Thomas a la solución de sistemas tridiagonales en bloques, como los generados en la aplicación del método de Newton a la linealización de las ecuaciones de flujo
multifásico en diferencias. Se puede representar el sistema como:
a
1u
1+ b
1u
2= d
1c
iu
i-1+ a
iu
i+ b
iu
i+1= d
i;
i=2,3,...,I-1
7.3 Solución de Sistemas de Ecuaciones estructurados
en Bloques.
o bien:Au = d
…(7.26) donde,A
= así comou
T= (u
1,u
2,...,u
I) yd
T= (d
1,d
2,...,d
I).
Los elementos
a
i, b
iyc
ison para el caso de flujo trifásico de fluidos tipo beta, aceite, gas y agua, submatrices de (3x3). Los elementosu
i yd
ison entonces subvectores de orden 3.
I I a c b a c b a c b a . . . . . . . . . 3 3 3 2 2 2 1 1
En forma similar con el procedimiento establecido anteriormente, la solución del sistema tridiagonal en bloque consiste en descomponer la matriz A en el producto WQ. Por lo que se establece el sistema g=Qu, como paso intermedio de la solución. En este caso, las matrices W y Q se definen como sigue:
= I I w w w w w w w w w c c c c c c c c c w w w w w w w w w c c c c c c c c c w w w w w w w w w c c c c c c c c c w w w w w w w w w W 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 3 9 8 7 6 5 4 3 2 1 3 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1